LỚP TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH
11a Nguyễn Trường Tộ - Đà Nẵng
www.nhomtoan.com
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (2015)
Chuyên đề : HPT - PT - BPT
.........................
TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2014
A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải hệ phương trình
8x3 − y 3 = 63 (1)
y 2 + 2x2 + 2y − x = 9 (2)
Hướng dẫn : Lấy (1) + 6.(2) ⇒ (2x − 1)3 = (y + 2)3 . Đs : (2; 1); (−1/2; 4).
Câu 2. Giải hệ phương trình
9y 3 (3x3 − 1) = −125 (1)
45x2 y + 75x = 6y 2 (2)
5
Hướng dẫn : Chia (1) cho y 3 , (2) cho y 2 , đặt u = 3x; v = . Đs : (2/3; 5); (1/3; 5/2).
y
Câu 3. Giải hệ phương trình
√
y 3 + 3y 2 + 4x2 + y − 22x + 21 = (2x + 1) 2x − 1 (1)
2x2 − 11x + 9 = 2y (2)
√
√
Hướng dẫn : Lấy (1) − 2.(2) ⇒ (y + 1)3 + 2(y + 1) = ( 2x − 1)3 + 2 2x − 1. Đs : (1; 0); (5; 2).
Câu 4. Giải hệ phương trình
x4 − 4x2 + y 2 − 6y + 9 = 0 (1)
x2 y + x2 + 2y − 22 = 0 (2)
√
√
Hướng dẫn : Đặt a = x2 −2; b = y−3, suy ra (a; b) = {(2; 0); (0; 2)}. Đs : (2; 3); (−2; 3); ( 2; 5); (− 2; 5).
Câu 5. Giải hệ phương trình
x3 − 6x2 y + 9xy 2 − 4y 3 = 0 (1)
√
√
x − y + x + y = 2 (2)
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y)2 (x − 4y) = 0. Đs : (2; 2); (32 − 8 15; 8 − 2 15).
Câu 6. Giải hệ phương trình
p
p
2 x2 + 3y − y 2 + 8x − 1 = 0 (1)
x(x + 8) + y(y + 3) − 13 = 0 (2)
p
p
Hướng dẫn : Đặt a = x2 + 3y; b = y 2 + 8x, ⇒ (a; b) = (2; 3). Đs : (1; 1); (−5; −7).
Câu 7. Giải hệ phương trình
9(x2 + y 2 ) + 2xy +
4
= 13 (1)
(x − y)2
1
= 3 (2)
x−y
1
Hướng dẫn : Đặt a = x + y; b = x − y +
⇒ (a; b) = {(1; 2); (5/3; 4/5)}. Đs : (1; 1).
x−y
2x +
Câu 8. Giải hệ phương trình
(x√− y)(x2 + xy + y 2 + 3) = 3(x2 + y 2 ) + 2 (1)
√
4 x + 2 + 16 − 3y = x2 + 8 (2)
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)3 = (y + 1)3 ⇔ y = x − 2; (2) ⇔ 4 x + 2 + 22 − 3x = x2 + 8 ⇔
Liên hợp hai lần nhé !. Đs : (2; 0); (−1; −3).
Câu 9. Giải hệ phương trình
√
y−1 2 − 2 2 − x
2x − 1 − 1 2
=
(1)
x
log x = −y + 2 (2)
2
√
√
Hướng dẫn : Rút (2) thay vào (1) : 2x − 1 − 1 = 1 − 2 − x ⇔ Bình phương !. Đs : (1; 2); 17/9; 2 −
17
log2 .
9
√
Câu 10. Giải hệ phương trình
p
x + 3 = 2 (3y
(1)
√ − x)(y + 1) √
√
√
x 2y − 1 + x + 12 = 12 6 − 2y + 4 − x (2)
√
√
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔
y + 1 − 3y − x (3 y + 1 + 3y − x) = 0. Thay vào (2), dùng tính đơn điệu,
suy ra duy nhất nghiệm. Đs : (4; 5/2).
Câu 11. Giải hệ phương trình
ln(x + 1) + ln(y + 1) = ln(x − 2y + 1) (1)
x2 − 12xy + 20y 2 = 0 (2)
Hướng dẫn : (2) là phương trình đẳng cấp thuần nhất, chia y 2 . Đs : (0; 0).
Câu 12. Giải hệ phương trình
xy 2 + 4y 2 + 8√
= x(x + 2) (1)
x + y + 3 = 3 2y − 1 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x + 4)(y 2 − x + 2) = 0. Khi x = y 2 + 2, thay vào (2)
p
p
y 2 + y + 5 = (y 2 − y + 1) + (2y − 1) + 5 > (2y − 1) + 5 > 2 5(2y − 1) > 3 2y − 1 ⇔ Vô lý
√
. Đs : (−4; 10 + 3 10).
Câu 13. Giải hệ phương trình
r
r
2x + y
3x + 1
+
= 2 (1)
4x + 2y + 2
x−1
12x + 4y = 5(x − 1)(2x + y + 1) (2)
r
r
1
5
1
2x + y
3x + 1
Hướng dẫn :(2) ⇔
+
= , đặt a =
;b =
. Đs : (5; −10).
2x + y + 1 x − 1
4
4x + 2y + 2
x−1
Câu 14. Giải hệ phương trình
x4 + y 2 − 8x2 − 6y = 1 (1)
x2 y + 2x2 + y = 38 (2)
√
√
Hướng dẫn :Đặt a = x2 − 4; b = y − 3. Đs : ( 3; 8); (− 3; 8); (3; 2); (−3; 2).
Câu 15. Giải hệ phương trình
x3 − x2 y = x2 − x + y + 1 (1)√
x3 − 9y 2 + 6(x − 3y) − 15 = 3 3 6x2 + 2 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x − y)(x2 + 1) = x2 + 1, thay vào (2)
√
3
(x − 1)3 + 3(x − 1) = (6x2 + 2) + 3 6x2 + 2 ⇔ . . . ⇔ x3 − 9x2 + 3x − 3 = 0 ⇔ (x + 1)3 = 2(x − 1)3
!
√
3
2+1
2
. Đs : √
.
;√
3
2−1 32−1
Câu 16. Giải hệ phương trình
√
(4x2 + 1)x + (y −√
1) 1 − 2y = 0 (1)
4x2 + y 2 + 4y + 2 3 − 4x = 3 (2)
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x)3 + 2x = ( 1 − 2y)3 + 1 − 2y, thay vào (1) ⇔ (2x − 1).f (x) = 0. Đs : (1/2; 0).
Câu 17. Giải hệ phương trình
√
1 + xy + xy = x (1)
1
1
√
√
√ + y y = √ + 3 y (2)
x x
x
1
√
Hướng dẫn :Chia (1) cho x, đặt a = √ ; b = y. Đs : (1; 0).
x
Câu 18. Giải hệ phương trình
2 2
x y + 4x2 y − 3xy 2 + x2 + y 2 = 12xy + 3x − 4y + 1 (1)
3x2 − 2y 2 = 9x + 8y + 3 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ √
(x2 − 3x + 1)(y√2 + 4y + 1) = 2; (2) ⇔ 3(x2 − 3x) − 2(y 2 + 4y) = 3. Đặt a = x2 − 3x; b =
3 − 13
3 + 13
y 2 + 4y. Đs : (
; 0); (
; 0); ....
2
2
Câu 19. Giải hệ phương trình
10x − xy − y = 2 (1)
30x2 − xy 2 − 2xy − x − y = 1 (2)
Hướng dẫn :(1) chia x; (2) chia x2 . Đặt a =
1
; b = y + 1. Đs : (1; 4); (1/5; 0); (1/2; 2); (1/3; 1).
x
Câu 20. Giải hệ phương trình
2 2
x4 + x√
y − y 2 = y 3 + x2 y + x2 (1)
2y 3 − 5 − 2x2 − 1 = 0 (2)
Hướng√dẫn :(1) √
⇔ (x2 − y − 1)(x2 + y 2 ). Thay x2 = y + 1 vào (2), xét hàm, suy ra nghiệm duy nhất.
Đs : ( 2; 1); (− 2; 1).
Câu 21. Giải hệ phương trình
√
(4y − 1)( x2 + 1) = 2x2 + 2y + 1 (1)
x4 + x2 y + y 2 = 1 (2)
√
Hướng dẫn :Xem (1) là một phương trình bậc 2 theo x2 + 1. Đs : (0; 1).
Câu 22. Giải hệ phương trình
√
√
√x + 2 + √y − 2 = 4 (1)
x + 7 + y + 3 = 6 (2)
√
√
√
√
Hướng dẫn :(1) + (2); (1) − (2), đặt a = x + 7 + x + 2; b = y + 3 + y − 2. Đs : (2; 6).
Câu 23. Giải hệ phương trình
2x2 (4x + 1) + 2y 2 (2y + 1) = y + 32 (1)
1
x2 + y 2 − x + y =
(2)
2
2
2
1
1
1
1
Hướng dẫn :(2) ⇔ x −
+ y+
= 1, đặt a = x − ; b = y + . Thay vào (1)
2
2
2
2
(
(1) ⇔ (4a2 + 11a + 15)(a − 1) + 2b2 (b − 1) = 0 (3)
Dựa vào điều kiện suy ra V T (3) 6 0 ⇒ a = 1; b = 0. Đs : (3/2; 1/2).
Câu 24. Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
p
− x)(y!+ 1) (1)
x + 3 = 2 (3y
r
√
x+5
3y − 2 −
.m = xy − 2y − 2 (2)
2
√
√
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ 3(y + 1) − (3y − x) = 2 3y − x. y + 1 ⇔ . . . ⇔ y + 1 − 3y − x = 0. Thay vào
(2)
2m
√
(y − 2) √
− (2y + 1) = 0
3y − 2 + y + 2
√
Đs : (−∞; 7 6/9); 10.
Câu 25. Giải hệ phương trình
√ 2
√
x
+
21
=
y − 1 + y 2 (1)
p
√
y 2 + 21 = x − 1 + x2 (2)
p
√
√
√
Hướng dẫn :Lấy (1) − (2) ⇔ x2 + 21 + x − 1 + x2 = y 2 + 21 + y − 1 + y 2 , xét hàm, suy ra x = y.
Đs : x = 2.
Câu 26. Giải hệ phương trình
√
x + y + x − y = 4 (1)
x2 + y 2 = 128 (2)
√
Hướng dẫn :Bình phương hai lần (1), rút được y 2 = 16x − 64, thay vào (2). Đs : (8; 8); (8; −8).
Câu 27. Giải hệ phương trình
xy + x − 1 = 3y (1)
x2 y − x = 2y 2 (2)
√
√
1
x
Hướng dẫn :(1) chia cho y, (2) chia cho y 2 . đặt a = x− ; b = . Đs : (1± 2; 1± 2); (2; 1); (−1; −1/2).
y
y
Câu 28. Giải hệ phương trình
(
x2 + xy + x + 3 = 0 (1)
p
(x + 1)2 + 3(y + 1) + 2 xy − x2 y + 2y = 0 (2)
r
y
y
2
Hướng dẫn :(1) ⇔ xy = −x − x − 3, thay vào (2) ⇔ 3. 2
−2
− 1 = 0. Đs : (−1; 3).
2
x +2
x +2
Câu 29. Giải hệ phương trình
2y 3 − 2x3 = 3 (1)
y = 4x3 − x + 3 (2)
1
1
Hướng dẫn :Thay (1) vào (2), suy ra y+x = 2x3 +2y 3 ⇔ (x+y)(x2 −xy+y 2 − ) = 0. Từ x2 −xy+y 2 =
2
2
p
2 2
2
2
3
3
3
3
3
suy ra y 6 ; x 6 . Đánh giá :|y − x | 6 |x | + |y | 6 2( 2/3) < 3/2 ⇒ vô nghiệm. Đs :
3
p 3
p
(− 3 3/4; 3 3/4).
Câu 30. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn :Đặt a =
p
xp
+ y + x2 − y 2 = 12 (1)
y x2 − y 2 = 12 (2)
p
x2 − y 2 ; b = x + y ⇒ (a; b) = {(4; 8); (3; 9)}. Đs : (5; 3); (5; 4).
Câu 31. Giải hệ phương trình
√
√
√
xy + x − y = −x + 2y (1)
3 log3 (x + 2y + 6) = 2 log2 (x + y + 2) + 1 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔
√
√
x − y = 0, thay vào (2) ⇔ 3 log3 (x + 2) = 2 log2 (x + 1). Đs : (7; 7).
Câu 32. Giải hệ phương trình
2
(x
+ xy + y 2 + 3) = 3(x2 + y 2 ) + 2 (1)
√ − y)(x √
x − 2 + 2 − y = x2 − 6x + 11 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x − 1)3 = (y + 1)3 . Đs : (3; 1).
Câu 33. Giải hệ phương trình
p
√
x + x2 − 2x + 5 = 3y + y 2 + 4 (1)
x2 − y 2 − 3x + 3y + 1 = 0 (2)
p
p
Hướng dẫn :Lấy (1) + (2) ⇔ (x − 1)2 + (x − 1)2 + 4 = y 2 + y 2 + 4. Đs : (3/2; 1/2); (3/4; 1/4).
Câu 34. Giải hệ phương trình
log2 x = 2y+2 p
(1)
√
4 x + 1 + xy 4 + y 2 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (xy 2 − 4)(4x + xy 2 + 4) = 0 ⇔ x =
4
, thay vào (1), xét hàm, suy ra nghiệm duy
y2
nhất. Đs : (4; −1).
Câu 35. Giải hệ phương trình
√
√
(53
−
5x)
10 − x + √
(5y − 48) 9 − y (1)
√
2x − y + 6 + x2 = −2x + y + 11 + 2x + 66 (2)
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ (5(10 − x) + 3) 10 − x = (5(9 − y) + 3) 9 − y, xét hàm, suy ra y = x − 1. Đs :
(9; 8).
Câu 36. Giải hệ phương trình
√
√
x − 2 − y − 1 = 27 − x3 (1)
(x − 2)4 + 1 = y (2)
√
√
Hướng dẫn :(2) ⇔ y − 1 = (x − 2)2 ,thay vào (1) ⇔ x − 2 + x3 − x2 + 4x − 31 = 0, xét hàm VT,
chứng minh đồng biến, suy ra nghiệm duy nhất. Đs : (3; 2).
Câu 37. Giải hệ phương trình
27x3 y 3 + 7y 3 = 8 (1)
9x2 y + y 2 = 6x (2)
p
p
Hướng dẫn :Nhân (2) với 7y, rồi trừ vế theo vế với (1). Đs : (− 3 7/19; − 3 19/7); ....
Câu 38. Giải hệ phương trình
3
7x
+ y 3 + 3xy(x
− y) − 12x2 + 6x = 1 (1)
√
√
3
4x + y + 1 + 3x + 2y = 4 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x − 1)3 = (x − y)3 , thay vào (2), đặt a =
Đs : (2; −1).
Câu 39. Giải hệ phương trình
√
3
3x + 2; b =
√
x + 2 ⇒ a = 2; b = 2.
√
(3x + y)(x + 3y) xy = 14 (1)
(x + y)(x2 + y 2 + 14xy) = 36 (2)
√
Hướng dẫn :Đặt a = x + y; b = xy, suy ra hệ đẳng cấp theo a, b.
√
√
√
√
3−2 2 3+2 2 3+2 2 3−2 2
Đs : (
;
); (
;
).
2
2
2
2
Câu 40. Giải hệ phương trình
√
12x
4 xy = 16 (1)
√ + 3y − √
4x + 5 + y + 5 = 6 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = 4x + y; b = 4xy,rút thế, suy ra a = 8; b = 16. Đs : (1; 4).
Câu 41. Giải hệ phương trình
5x2 − 3y = x − 3xy (1)
x3 − x2 = y 2 − 3y 3 (2)
Hướng dẫn :Hệ đẳng cấp !. Đs : (0; 0); (1/2; 1/2); (−1; 1).
Câu 42. Giải hệ phương trình
s
x2 − 1
= 1 + 4y (1)
x2 + 3y
y
p
√
3
x + 6 + x + y − x2 = y (2)
x2 − 1
+3
Hướng dẫn :(1) ⇔
y
√
3
s
x2 − 1
− 4 = 0 ⇔ . . . ⇔ y = x2 − 1. Thay vào (2)
y
x+6+
√
x − 1 = x2 − 1 ⇔ . . . ⇔ (x − 2).f (x) = 0
. Đs : (2; 3).
Câu 43. Giải hệ phương trình
p
√
p
2y +
4 1 + 2x2 y −
1
=
3x
+
2
1
−
2x
1 − x2 (1)
p
√
2x3 y − x2 = x4 + x2 − 2x3 y 4y 2 + 1 (2)
r
p
1
1
1
1
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2y + 2y 4y 2 + 1 = +
+ 1. Xét hàm, suy ra 2y = , thay vào (1), đặt
2
x
x x
x
√
√
a = x + 1; b = 1 − x. Đs : (−3/5; −5/6); (0; t) t ∈ R .
Câu 44. Giải hệ phương trình
5x3 + 7y 3 + 2xy = 38 (1)
4x3 − 3y 3 − 7xy = −4 (2)
√ √
Hướng dẫn :(1) ⇔ x3 = xy + 2; (2) ⇔ y 3 = 4 − xy. Nhân vế theo vế, suy ra : xy = 2. Đs : ( 3 4; 3 2).
Vận dụng :
√
√
√
5(√x − y)3 + 2 xy + 5y y = 38 (1)
√
√
4( x − y)3 − 7 xy + 4y y = −4 (2)
Câu 45. Giải hệ phương trình
x2 − y(x + y) + 1 = 0 (1)
(x2 + 1)(x + y − 2) + y = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ x2 + 1 = y(x + y). Thay vào (2) ⇔ (x + y − 1)2 = 0. Đs : (0; 1); (−1; 2).
Câu 46. Giải hệ phương trình
p
x2 + 2y + 3 + 2y − 3 = 0 (1)
2(2y 3 + x3 ) + 3y(x + 1)2 + 6x(x + 1) + 2 = 0 (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2
x+1
y
3
+3
x+1
y
2
+ 4 = 0 ⇔ . . . ⇔ x = −2y − 1. Đs : (−14/9; 5/18).
Câu 47. Giải hệ phương trình
p
x2 − 5y + 3 + 6 y 2 − 7x + 4 = 0 (1)
y(y − x + 2) = 3x + 3 (2)
Hướng dẫn :Xem (2) là phương trình bậc hai theo y, suy ra : y = −3; y = x + 1. Đs : (1; 2); (4; 5).
Câu 48. Giải hệ phương trình
x2 + 1 + y(x + y) = 4y (1)
(x + y − 2)(x2 + 1) = y (2)
Hướng dẫn :Chia (1); (2) cho y, rồi đặt a =
x2 + 1
; b = x + y. Đs : (1; 2); (−2; 5).
y
Câu 49. Giải hệ phương trình
√
2 x
y
1
√ + =
+ 2 (1)
y √
x x
√ 2
y x + 1 = 2x + 3x2 + 3 (2)
√ √
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 2x; y = − x, thay vào (2), xét hàm. Đs : ( 3; 2 3).
Câu 50. Giải hệ phương trình
x(3x
√ − 7y +√1) = −2y(y − 1) (1)
x + 2y + 4x + y = 5 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 3x + 1; y = x = 2y. Đs : (2; 1); (17/25; 76; 25).
Câu 51. Giải hệ phương trình
3
x
y 3 − 3y 2 + 2 (1)
√ − 3x = √
x − 1 + y − 2 = 2 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ x3 − 3x = (y − 1)3 − 3(y − 1). Xét hàm, suy ra x = y − 1. Đs : (2; 3).
Câu 52. Giải hệ phương trình
√
√
2
1 + 2x
+
y
+
1
=
4(2x
+
y)
+
6x + 3y (1)
√
(x + 1) 2x2 − x + 4 + 8x2 + 4xy = 4 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (4x + 2y − 1).f (x) = 0 ⇔ 4x + 2y = 1, thay vào (2). Xét hàm, suy ra đồng biến. Đs
: (1/2; −1/2).
Câu 53. Giải hệ phương trình
√
√
1 − x = 3 1 − x − y (1)
2y 3 + 2x √
2x2 + 2xy 1 + x = y + 1 (2)
√
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1), suy ra y = 1 − x. Thay vào (2)
√
√
(2) ⇔ 1 − x = 2x2 − 1 + 2x 1 − x2 ; đặt x = cos t
√
Đs : cos(3π/10); 2. sin(3π/20).
Câu 54. Giải hệ phương trình
√
( x + 1 − 1)3y (1)
y + log3 x = 1 (2)
√
√
3
Hướng dẫn :(2) ⇔ 3y = , thay vào (1) : x + 1 = 1 + 4 − x. Đs : (3; 0).
x
Câu 55. Giải hệ phương trình
2
2
y +4x−2
3x+3y−2
=
35y−3x + 2.3(y+1) (1)
√
√ + 6.3
3
1 + 2 x + y − 1 = 3 3y − 2x (2)
√
√
2
4x−2
Hướng dẫn
−32y )(27y−x +6.3y ) = 0 ⇔ y = 2x−1, thay vào (2) : 1+2 3x − 2 = 3. 3 4x − 3,
√ :(1) ⇔ (3 √
đặt a = 3x − 2; b = 3 4x − 3. Đs : (1; 1); (11/4; 9/2).
Câu 56. Giải hệ phương trình
2x(x2 + 3) − y(y 2 + 3) = 3xy(x − y) (1)
(x2 − 2)2 = 4(2 − y) (2)
√
√
3
3
Hướng
dẫn
:(1)
⇔
x
+3x
=
(y
−x)
+3(y
−x),
xét
hàm,
suy
ra
y
=
2x.
Đs
:
(−1+
3;
−2+2
3); (−1−
√
√
3; −2 − 2 3).
Câu 57. Giải hệ phương trình
y 3 + 5y√− 2xy(y − 1) = 4x2 + 10x (1)
x2 − 6 2x + 5 + 18 = y (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x − y)(2x + y 2 + 5) = 0, suy ra y = 2x, thay vào (2)
√
√
x2 + 18 = 2x + 6 2x + 5 ⇔ (x − 2)2 + ( 2x + 5 − 3)2 = 0
. Đs : (2; 4).
Câu 58. Giải hệ phương trình
p
p
2 + 2xy + 2y 2 +
5x
2x2 + 2xy + 5y 2 = 3(x + y) (1)
√
√
3
2x + y + 1 + 2 7x + 12y + 8 = 2xy + y + 5 (2)
Hướng dẫn :(Đề THPT Chu Văn An - Lần 2) . Đánh giá (1), suy ra x = y, thay vào (2) ⇔ (x2 −x).f (x) =
0. Đs : (0; 0); (1; 1).
Câu 59. Giải hệ phương trình
2
4
(x
p + y)(x + 4y + y) + 3y = 0 (1)
x + 2y 2 + 1 − y 2 + y + 1 = 0 (2)
√
√
√
√
1 − 13
1 + 13
2
2
); (−2; −1); (−4− 13;
).
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x+y+y )(x+y+3y ) = 0. Đs : (−4+ 13;
2
2
Câu 60. Giải hệ phương trình
√
x − 1(1
√ − 2y) − y + 2 = 0 (1)
y(y + x − 1) + x − 4 = 0 (2)
√
Hướng dẫn :Đặt a √
= x − 1,√suy ra hệ theo a; y, suy ra 2(a − y)2 + 3(a − y) = 0.
19 − 3 13 3 + 13
Đs : (2; 1); (
;
).
8
4
Câu 61. Giải hệ phương trình
1
= y + 3 (1)
x+y
1
x2 + y 2 +
= xy + 2 (2)
(x + y)2
2x +
Hướng dẫn :Đặt a = x − y; b = x +
1
, suy ra hệ theo a; b, suy ra (a; b) = (1; 2); (2; 1). Đs :
x+y
(1; 0); (3/2; 1/2).
Câu 62. Giải hệ phương trình
3x − y
x+ 2
= 3 (1)
x + y2
x + 3y
y−
= 0 (2)
x2 + y 2
3y + 1
, thay vào (2) ⇔ 4y 4 − 3y 2 − 1 = 0. Đs :
Hướng dẫn :(1).y + (2).x ⇔ 2xy − 1 = 3y ⇔ x =
2y
(2; 1); (1; −1).
Câu 63. Giải hệ phương trình
p
2
√
3x − 2x − 5 + 2x x2 + 1 = 2(y + 1) y 2 + 2y + 2 (1)
x2 + 2y 2 = 2x − 4y + 3 (2)
p
√
Hướng dẫn :(1) − (2) ⇔ x2 + x x2 + 1 = (y + 1)2 + (y + 1) (y + 1)2 + 1, xét hàm, suy ra x = y + 1.
Đs : (−1; −2); (5/3; 2/3).
Câu 64. Giải hệ phương trình
√
√
x − 1 + y − 1 = 1 (1)
2x2 − 3xy + y 2 = y − 2x (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ y 2 − (3x + 1)y + 2x2 + 2x = 0 ⇔ y = x + 1; y = 2x. Đs : (1; 2).
Câu 65. Giải hệ phương trình
y√2 − (x2 +√2)y + 2x2 = 0 (1)
√
x + 4 + x − 4 − 2 y − 16 = 2x − 12 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 2; y = x2 . Đs : (5; 25).
Câu 66. Giải hệ phương trình
2
2
2
x −2y
4 + 9.3x −2y = (4
).72y−x +2 (1)
√+ 9
x
4 + 4 = 4x + 4 2y − 2x + 4 (2)
Hướng dẫn :Đặt t = x2 − 2y, (1) ⇔
4 + 3t+2
4 + 32t
=
⇔ t + 2 = 2t. Đs : 1; −1/2.
7t+2
72t
Câu 67. Giải hệ phương trình
2
2
4x
√ + 4xy + y2 + 2x + y − 2 = 0 (1)
8 1 − 2x + y − 9 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x + y − 1)(2x + y + 2) = 0. Đs : (0; 1); (1/2; −3).
Câu 68. Giải hệ phương trình
√
x2 + 1 = √ y − 1 + 2x (1)
y 2 + 1 = x − 1 + 2y (2)
Hướng dẫn :(1) − (2) ⇔ x = y. Đs : (1; 1); (2; 2).
Câu 69. Giải hệ phương trình
x
y
+p
= 2014 (1)
√ 2
x −1
y2 + 1
x
y
+p
= 2014 (2)
√ 2
2
x +1
y −1
Hướng dẫn : Lấy(1) − (2) ⇔ x = y. Đs : (∞; −1); (1; +∞).
Câu 70. Giải hệ phương trình
p
x2 − 2y + 2 + y = 2x (1)
3
x + 2x2 = (x2 + 3x − y)y (2)
Hướng dẫn : (2) ⇔ (x − y)(x2 + 2x − y) = 0. Đs : (1; 1).
Câu 71. Giải hệ phương trình
x
1
(1)
x2 − = y −
x
y
√
√
5y − 1 − x y = 1 (2)
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ (y − x2 )(xy + 1) = 0.Khi xy = −1, suy ra x < 0 < y và (1) ⇔ . . . y > 1; 2 y =
p
√
√
√
1 − 2y − 5y 2 ==>Vô nghiệm !. Đs : (1; 1); ( 2; 2); (− 7 − 41; 7 − 41).
Câu 72. Giải hệ phương trình
p
√
(x + √x2 + 1)(y + y 2√+ 1) = 1 (1)
x2 + 3 − x = 2y 2 − 4 2 − y + 5 (2)
Hướng dẫn : Xét hàm phương trình (1) ⇒ x = −y!. Đs : (−1; 1); (2; −2).
Câu 73. Giải hệ phương trình
p
√
√
x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y (1)
x2 + 2x(y − 1) + y 2 − 6y + 1 = 0 (2)
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ x = y 4 + 1. Đs : (1; 0); (2; 1).
Câu 74. Giải hệ phương trình
√
√
√
√
√
√
x + 1 + x + 3 + x + 5 = y − 1 + y − 3 + y − 5 (1)
x + y + x2 + y 2 = 80 (2)
√
√
5 5−7 5 5+5
;
).
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ x + 1 = y − 5. Đs : (
2
2
Câu 75. Giải hệ phương trình
√
√
2y 3 + y + 2x 1 − x = 3 1 − x (1)
p
√
2y 2 + 1 + y = 4 + x + 4 (2)
√
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ y = 1 − x. Thay vào (2) suy ra đồng - nghịch !. Đs : (−3; 2).
Câu 76. Giải hệ phương trình
√
√
x2 − y 2 + 1 = 2( y − x + 1 − x) (1)
√
√
x + 1 + y − 3 + x − y = 2 (2)
√
√
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ x + 1 = y. Đs : (3; 4).
Câu 77. Giải hệ phương trình
3
x√+ y 3 + xy 2 + x2 y + 3x
+ 3y = 3x2 + 3y 2 + 2xy + 2 (1)
√
3 x − 1 − x2 = 2y − 3 3 8 − 2y + 5 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y − 2)(x2 + y 2 − x − y + 1) = 0. Đs : (2; 0).
Câu 78. Giải hệ phương trình
x2 + y 2 − y = (2x + 1)(y − 1) (1)
√
5
√
(2)
3x − 8 − y =
x + y − 12
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ y = x + 1, thay vào (2) suy ra : 3x − 8 − x + 1 −
5
= 0. Đạo hàm, lập
2x − 11
bảng suy ra hai nghiệm. Đs : (3; 4); (8; 9).
Câu 79. Giải hệ phương trình
3
3
2
x
14 (1)
√ − y − 6y
√ + 3(x −35y) =
2
3 − x + y + 4 = x + y − 5 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y − 2)[x2 + x(y + 2) + (y + 2)2 + 3] = 0. Đs : (−1; −3); (2; 0).
Câu 80. Giải hệ phương trình
√
√
x 2y − y 3x + 1 = 2(x − y) (1)
3x2 + 2y 2 − 5xy + x − y = 0 (2)
Hướng dẫn : (2) ⇔ (x − y)(2y − 3x − 1) = 0. Đs : (0; 0); (1; 2).
Câu 81. Giải hệ phương trình
2
2
8(x
√ + y) − 3xy
√ = 2y + 2x (1)
4 2 − x + 3 − y = 2x − y 2 + 5 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y)(x + 2y − 8) = 0. Do x 6 2; y 6 3 ⇒ x + 2y 6 8, vậy nên x + 2y = 8 ⇒ x =
2; y = 3, suy ra hệ vô nghiệm !. Đs : (1; −1); (−2; 2).
Câu 82. Giải hệ phương trình
(xy + 1)x2 + (x +√1)2 = x2 y + 5x (1)
4x3 y + 7x2 + 2x2 y + 1 = 2x + 1 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)(x2 y + 2x − 1) = 0. Khi x2 y + 2x − 1 = 0 ⇒ y =
x
−
1
= 0. Đs : (1; −1); (−1; 3); (1/3; 3).
ra (x − 1)2 − 2x2
x
1 − 2x
, thay vào (2), suy
x2
Câu 83. Giải hệ phương trình
2xy
x2 + y 2 = 1 −
(1)
x+y
√x + y + y = x2 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y − 1)(x2 + y 2 + x + y) = 0. Đs : (1; 0); (−2; 3).
Câu 84. Giải hệ phương trình
√
√
3x − 1 + 4(2x + 1) = y − 1 + 3y (1)
(x + y)(2x − y) + 4 = −6x − 3y (2)
Hướng dẫn : (2) ⇔ (x + y + 1)(2x − y + 4) = 0. Đs : (4; 12).
Câu 85. Giải hệ phương trình
√
x√
− y + (x − 1) y + 5 =p
5 (1)
2
y x − 4x + 5 + (2 − x) y 2 + 1 = 0 (2)
√
√
x−2
=
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y + 5)(1 + y + 5) = 0 ⇔ x2 = y + 5. Thay vào (1) ⇔ p
2+1
(x
−
2)
√
√
y
1 + 13 −3 + 13
p
;
).
. Đs : (
2
2
y2 + 1
Câu 86. Giải hệ phương trình
√
√
7x + y − √2x + y = 4 (1)
√
2 2x + y − 5x + 8 = 2 (2)
√
√
Hướng dẫn : Đặt a = 7x + y > 0; b = 2x + y > 0, suy ra a = 9; b = 5. Đs : (56/5; 13/5).
Câu 87. Giải hệ phương trình
3y 2 + 1 + 2y(x + 1) = 4y
y(y − x) = 3 − 3y (2)
p
x2 + 2y + 1 (1)
Hướng dẫn :Thay xy vào (1), (1) ⇔ (y − 1)2 (9y 2 − 30y − 119) = 0. Đs : (1; 1); (415/51; 17/3).
Câu 88. Giải hệ phương trình
x2 + xy + x + 3 = 0 (1)
p
(x + 1)2 + 3(y + 1) + 2(xy − x2 y + 2y) = 0 (2)
p
y
Hướng dẫn :(1) ⇔ xy = −x2 − x − 3, thay vào (2) ⇔ −x2 − 2 + 3y − 2 x2 y + 2y = 0 ⇔ 3. 2
−
x +2
r
y
2
− 1 = 0. Đs : (−1; 3).
2
x +2
Câu 89. Giải hệ phương trình
3
3
2
x
+ 15x + 3y − 14 = 0 (1)
√ + y√− 6x√
√
x + y + 4 x + 4 y = 4 (2)
√
√
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2 − x)3 + 3(2 − x) = y 3 + 3y, thay vào (2) ⇔ x + 2 − x + 4 x + 4 2 − x = 4. Áp
dụng Côsi
1 + x √ 1 + (2 − x) √
1+1+1+x √
1 + 1 + 1 + (2 − x) √
> x;
> 2 − x;
> 4 x;
> 4 2 − x.
2
2
4
4
Đs : (1; 1).
Câu 90. Giải hệ phương trình
2
√
+
1)
2x − 1 = 0 (1)
y + 2(x + y) + 2(y
p
√
√
x
2x3 + y 3 = 2xy √ + x + 2x − 1 (2)
2
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ (y + 1 + 2x − 1)2 = 0. Đs : (1; −2); (1/2; −1).
Câu 91. Giải hệ phương trình
p
√
(x + x2 + 4)(y + √ y 2 + 1) = 2 (1)
12y 2 − 10y + 2 = 2 3 x3 + 1 (2)
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ x = −2y, (2) ⇔ (x + 1)3 + 2(x + 1) = (x3 + 1) + 2 3 x3 + 1. Đs : (−1; 2); (0; 0).
Câu 92. Giải hệ phương trình
p
√
√
√
(x + 1)y + (x − y + 1) y + x + 1 = y + y (1)
√
√
5
(2)
2x + y − 9 − 2x − y + 2 =
4x − 2y − 9
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x + 1 − y).f (x, y) = 0, (2) ⇔
√
√
3x − 8 − x + 1 =
5
, xét đồng biến-nghịch
2x − 11
biến. Đs : (3; 4); (8; 9).
Câu 93. Giải hệ phương trình
x4 + y 2 + 2x2 − 2y = 6 (1)
x2 y − x2 + y = −3 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x2 + 1)2 + (y − 1)2 = 8; (2) ⇔ (x2 + 1)(y − 1) = −4. Đs : (1; −1); (−1; −1).
Câu 94. Giải hệ phương trình
y
+ y 2 = 0 (1)
2
x +1+x
√
x2
+
2
x2 + 1 + y 2 = 3 (2)
y2
√
√
x
x
x
Hướng dẫn :(1) ⇔ + y + x2 + 1 − x = 0 ⇔ x2 + 1 = x − y − , thay vào (2) suy ra : ( + y +
y
y
y
x
1)( + y − 3) = 0. Đs : (0; −1).
y
x+ √
Câu 95. Giải hệ phương trình
x(3x + y) = 4 (1)
(x2 + y 2 + xy)(x2 + y 2 ) = 5x2 + 2y 2 − 1 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x2 − y 2 ) − 1 = 3 − (x2 + xy + y 2 ); (2) ⇔ (x2 + xy + y 2 )(x2 + y 2 ) − 3(x2 + y 2 ) =
(2x2 − y 2 ) − 1, giả sử 2x2 − y 2 > 1 ⇒ x2 + xy + y 2 6 3 ⇒ 2x2 − y 2 6 1 ⇒ 2x2 − y 2 = 1. Đs :
x + y = 0; 5x + 4y = 0....
Câu 96. Giải hệ phương trình
√
√ 2
√
x + 7 + −2 −√x + −1 − √
10y = 8 (1)
p
p
2
2
x y − 4y + 5 + x + 1 = y x2 + 1 − y 2 − 4y + 5 (2)
p
√
√
√
2 + 1 = (y − 1) x2 + 1 ⇔ y = x + 2, (2) ⇔
2+7+
Hướng
dẫn
:(2)
⇔
(x
+
1)
(y
−
2)
x
−2 − x +
√
−21 − 10x − 8 = 0, xét đồng biến - nghịch biến !. Đs : (−3; −1).
Câu 97. Giải hệ phương trình
p
( √ 2
( x + 1 − x)( y 2 + 4 + y) = 2 (1)
√
3
x2 − y = x − 1 (2)
4
√
√
3
Hướng dẫn :Xét hàm pt (1), suy ra y = 2x, thay vào (2) ⇔ x2 − x = x − 1. Đặt u = x − 1 ⇒ u = 1.
2
Đs : (2; 4).
Câu 98. Giải hệ phương trình
x3 − 4y 3 − 3x2 + 4y + 2 = 0 (1)
3x2 − 4y 2 − 6x − 1 = 0 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)3 − 3(x − 1) − 4y 3 + 4y = 0; (2) ⇔ 3(x − 1)2 − 4y 2 − 4 = 0, đặt a = x − 1,
√
5
1
8
suy ra hệ đẳng cấp !. Đs : (1 ± √ ; ± √ ); (1 ± 2; ± √ ).
23
23
2
Câu 99. Giải hệ phương trình
p
x2 − x − 4y = y −p
2 (1)
√
√
x + y + x − y − x2 − y 2 = 1 (2)
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ x2 − y 2 − x − 4 = 0, đặt u = x + y; v = x − y. Đs : (5; 4).
Câu 100. Giải hệ phương trình
x2
y2
+
= 8 (1)
(y + 2)2 (x + 1)2
8x + 4y + 3xy + 8 = 0 (2)
x
y
x
y
Hướng dẫn :(2) ⇔ 8(x + 1) + 4y(x + 1) = xy ⇔
.
= 4, đặt u =
;v =
. Đs :
y+2 x+1
y+2
x+1
(−8/3; −10/3).
Câu 101. Giải hệ phương trình
√
x
3
3
2x y +
+2
x3 = − x4 (1)
y
y
√
p
2
8x2 y 3 = x + x2 + 1
4y + 1 − 1 (2)
p
1 1
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2y 4y 2 + 1 + 2y = +
x x
nghịch biến !. Đs : (1; 1/2).
r
1+
1
1
⇔
.
.
.
2y
=
, thay vào (1), xét tính đồng biếnx2
x
Câu 102. Giải hệ phương trình
√
√
4x 8x − 4 −√12y 2 − 5 = 4y 3 + 13y + 18x − 9 (1)
4x2 − 8x + 4 2x − 1 + 2y 3 + 7y 2 + 2y = 0 (2)
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ [4(2x−1)+1] 2x − 1 = 4(y+1)3 +(y+1), thay vào (2), suy ra : y(y+1)(y 2 +5y+6) = 0.
Đs : (1; 0); (1/2; −1).
Câu 103. Giải hệ phương trình
10
1
+
= 1 (1)
2x + 3y xy
124
1
− 2 2 = 1 (2)
2
2
4x + 9y
xy
3
2
Hướng dẫn :(1).(2x + 3y); (2).(4x2 + 9y 2 ), đặt u = 2x − ; v = 3y − . Đs : ??.
x
y
Câu 104. Giải hệ phương trình
2
+ y 2 = 1 + xy (1)
x
2
2
x
y
+
= 1 (2)
y+1
x+1
x
y
x
y
Hướng dẫn :(1) ⇔
+
, đặt u =
;v =
. Đs : (0; 1); (1; 0).
y+1 x+1
y+1
x+1
Câu 105. Giải hệ phương trình
x2 − 6xy + 4y 2 =p9 (1)
x + 3 = y(x + 2) (x + 2)(y − 1) (2)
√
√
Hướng dẫn :Đặt a = x √
+ 2; b = xy + √
2y, pt(2) suy ra
√ a + 1 = b b√− a ⇒ b − a = 1. Đs :
(−3; 0); (0; 3/2); (1/2(5 − 89); 1/4(−5 − 89)); (1/2(5 + 89); 1/4(−5 + 89)).
Câu 106. Giải hệ phương trình
x2 + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5 (1)
4
5
4
2
x + y + xy(1 + 2x) = − (2)
4
p
p
Hướng dẫn :Đặt a = x2 + y; b = xy. Đs : ( 3 5/4 − 3 25/6); (1; −3/2).
Câu 107. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn :Đặt a =
√
(2x
+ y) + 6x − 3y = −6 (1)
√ − y + 2)(2x
√
2x + 1 + y − 1 = 4 (2)
2x + 1; b =
Câu 108. Giải hệ phương trình
√
y − 1; (1) ⇔ 4(a − b)(a2 + b2 + 3) = 0. Đs : (3/2; 5).
x y
x + y + + = 4 (1)
y x
x2 y 2
x+y+
+
= 4 (2)
y
x
Hướng dẫn :Đặt a = x + y; b =
x2 + y 2
. Đs : (1; 1).
xy
Câu 109. Giải hệ phương trình
√
√
3y = 3 (1)
√x + y −
√
x − 3 + y = 3 (2)
√
√
√
√
Hướng dẫn :Cộng - trừ - liên hợp, rồi đặt a = x + x − 3; b = y + y − 3. Đs : (4; 4).
Câu 110. Giải hệ phương trình
r
r
x2 + xy + y 2
x2 + y 2
+
= x + y (1)
3
2
√
x 2xy + 5x + 3 = 4xy − 5x − 3 (2)
r
r
√
x2 + xy + y 2
x2 + y 2
Hướng dẫn :Đặt a =
;b =
; ⇒ a = b ⇒ x = y. Thay vào (2) : x 2x2 + 5x + 3 =
3√
2
√
4x2 − 5x − 3. Đs : (3; 3); ((5 − 109)/14; (5 − 109)/14).
Câu 111. Giải hệ phương trình
x4 + 4x2 + y 2 − 4y = 2 (1)
x2 y + 2x2 + 6y = 23 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x2 + 2)2 + (y − 2)2 = 10; Đặt a = x2 + 2; b = y − 2. Đs : (1; 3); (−1; 3).
Câu 112. Giải hệ phương trình
√
√
x + y + 4 x − y = 8 (1)
p
4
x3 + x2 y − xy 2 − y 3 = 12 (2)
√
√
Hướng dẫn :Đặt :a = x + y; b = 4 x − y. Đs : (650; 646); (26; 10).
Câu 113. Giải hệ phương trình
√
x + 2y + 2 p
4x + y = 1 (1)
2(x + 3) = 46 − 2y(3 + 8x + 8y) (2)
Hướng dẫn :Bình phương (2); suy ra 4(x + 2y)2 + 6(4x + y) = 10. Đặt :a = x + 2y; b =
(3/7; −5/7).
√
4x + y. Đs :
Câu 114. Giải hệ phương trình
√
√
3
2y − 3
(x + y − 3) 2x − 3 =
(1)
2
√
(x − y) 2y − 3 = 2y − 3 (2)
4
√
√
Hướng dẫn :Đặt :a = √ 2x − 3; b √
= 2y − 3,
hệ đẳng cấp.
√ suy ra √
12 + 27 12 + 3 3 + 2 6 + 2
;
); (
;
).
Đs : (3/2; 3/2); (
8
8
2
4
Câu 115. Giải hệ phương trình
√
√
√
√
(2x
x + 3 + xy + x) = 8 x (1)
√ + y − 1)(
√
( x + 3 + xy)2 + xy = 2x(6 − x) (2)
√
Hướng dẫn :Dấu hiệu hệ số trội : (1) chia x, (2) chia x, đặt a = 2x + y; b =
r
x+3 √
+ y, suy ra
x
a = b = 3.Đs : (1; 1).
Câu 116. Giải hệ phương trình
3
x√+ y 3 + xy 2 + x2 y + 3x
+ 3y = 3x2 + 3y 2 + 2xy + 2 (1)
√
3 x − 1 − x2 = 2y − 3 3 8 − 2y + 5 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y − 2)(x2 + y 2 − x − y + 1) = 0. Đs : (2; 0).
Câu 117. Giải hệ phương trình
x2 + y 2 − y = (2x + 1)(y − 1) (1)
√
5
√
(2)
3x − 8 − y =
x + y − 12
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ y = x + 1, thay vào (2) suy ra : 3x − 8 − x + 1 −
bảng suy ra hai nghiệm. Đs : (3; 4); (8; 9).
5
= 0. Đạo hàm, lập
2x − 11
Câu 118. Giải hệ phương trình
3
3
2
x
14 (1)
√ − y − 6y
√ + 3(x −35y) =
2
3 − x + y + 4 = x + y − 5 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y − 2)[x2 + x(y + 2) + (y + 2)2 + 3] = 0. Đs : (−1; −3); (2; 0).
Câu 119. Giải hệ phương trình
√
√
x 2y − y 3x + 1 = 2(x − y) (1)
3x2 + 2y 2 − 5xy + x − y = 0 (2)
Hướng dẫn : (2) ⇔ (x − y)(2y − 3x − 1) = 0. Đs : (0; 0); (1; 2).
Câu 120. Giải hệ phương trình
2
2
8(x
√ + y) − 3xy
√ = 2y + 2x (1)
4 2 − x + 3 − y = 2x − y 2 + 5 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y)(x + 2y − 8) = 0. Do x 6 2; y 6 3 ⇒ x + 2y 6 8, vậy nên x + 2y = 8 ⇒ x =
2; y = 3, suy ra hệ vô nghiệm !. Đs : (1; −1); (−2; 2).
Câu 121. Giải hệ phương trình
(xy + 1)x2 + (x +√1)2 = x2 y + 5x (1)
4x3 y + 7x2 + 2x2 y + 1 = 2x + 1 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)(x2 y + 2x − 1) = 0. Khi x2 y + 2x − 1 = 0 ⇒ y =
2
2 x − 1
ra (x − 1) − 2x
= 0. Đs : (1; −1); (−1; 3); (1/3; 3).
x
1 − 2x
, thay vào (2), suy
x2
Câu 122. Giải hệ phương trình
2xy
x2 + y 2 = 1 −
(1)
x+y
√
x + y + y = x2 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y − 1)(x2 + y 2 + x + y) = 0. Đs : (1; 0); (−2; 3).
Câu 123. Giải hệ phương trình
√
√
3x − 1 + 4(2x + 1) = y − 1 + 3y (1)
(x + y)(2x − y) + 4 = −6x − 3y (2)
Hướng dẫn : (2) ⇔ (x + y + 1)(2x − y + 4) = 0. Đs : (4; 12).
Câu 124. Giải hệ phương trình
√
x√
− y + (x − 1) y + 5 =p
5 (1)
y x2 − 4x + 5 + (2 − x) y 2 + 1 = 0 (2)
√
√
x−2
=
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y + 5)(1 + y + 5) = 0 ⇔ x2 = y + 5. Thay vào (1) ⇔ p
2+1
(x
−
2)
√
√
y
1 + 13 −3 + 13
p
. Đs : (
;
).
2
2
y2 + 1
Câu 125. Giải hệ phương trình
p
3
x√
+ x x5 y√− y + 2 = 3x
3 x + y = 1 − y.
p
p
2
5 − 1)y = 0, mà (x+2)(x−1)2 > 0 và x (x5 − 1)y > 0,
Hướng dẫn : Ta có (1) ⇔ (x+2)(x−1)
+x
(x
√
suy ra x = 1. Đs : (1; −7/2 + 17/2).
Câu 126. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn : Đặt t = y +
p
xp
+ y + x2 − y 2 = 12 (1)
y x2 − y 2 = 12 (2)
p
x2 − y 2 , suy ra (x; t) = (5; 7). Đs : (5; 4); (5; 3).
Câu 127. Giải hệ phương trình
1 1
x(x + 1) +
+ 1 = 4 (1)
y y
3 3
x y + x2 y 2 + xy + 1 = 4y 3 (2)
1
1
Hướng dẫn : (2) chia cho y 3 , đặt a = x + ; b = x2 + 2 . Đs : (1; 1).
y
y
Câu 128. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn : Đặt a =
(1/2; 2).
√
4x3 + x + (y√
− 3) 5 − 2y = 0 (1)
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7 (2)
√
5 − 4x2
5 − 2y, suy ra 2x = a ⇒ y =
, xét hàm suy ra nghiệm duy nhất. Đs :
2
Câu 129. Giải hệ phương trình
√
√
(1 − y) x − y + x = 2√+ (x − y −√1) y (1)
2y 2 − 3x + 6y + 1 = 2 x − 2y − 4x − 5y − 3 (2)
√
√
1
1
5+1 5−1
Hướng dẫn : (1) ⇔ (y − 1)(x − y − 1) √
+√
= 0. Đs : (3; 1); (
;
).
y+1
x−y+1
2
2
Câu 130. Giải hệ phương trình
√
y − 2x + y − x + 1 = 0 (1)
√
xy
√
1 − xy + x2 − y 2 = 0 (2)
√ √
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ ( y − x)( y + 2 x + 1) = 0. Đs : (1; 1).
Câu 131. Giải hệ phương trình
2(x3 + y 3 ) 3(x2 + y 2 )
√
−
+ 5(x + y) = 8 xy (1)
√
xy
xy
√5x − 1 + √2 − y = 5x + y (2)
2
√
Hướng dẫn : Đặt a = x + y; b = xy, (1) suy ra a = 2b. Đs : (1; 1).
Câu 132. Giải hệ phương trình
x2 + 3xy − 3(x − y) = 0 (1)
x4 + 9y(x2 + y) − 5x2 = 0 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ x2 + 3y = 3x − 3xy; (2) ⇔ (x2 + 3y)2 + 3x2 y − 5x2 = 0, thay (1) vào (2). Đs :
(0; 0); (1; 1/3).
Câu 133. Giải hệ phương trình
2
2
(x
s + 2) + 4(y − 1) = 4xy + 13 (1)
x2 − xy − 2y 2 √
2
+ x+y = p
(2)
x−y
x2 − y 2
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 2y − 1)(x − 2y + 5) = 0. Đs : (1; 0).
Câu 134. Giải hệ phương trình
x2 − y
(y − 1) √
= 2 (1)
√
x2 − 1 + y − 1
p
√
√
(x2 + 4y) x2 − 1 + 6 = 5 x2 − 1 1 + (x2 − 1)(y − 1) (2)
Hướng dẫn : Đặt a =
√
x2 − 1; b =
√
√
√
y − 1, suy ra hệ đẳng cấp. Đs : ( 10; 2); (− 10; 2).
Câu 135. Giải hệ phương trình
2
2
10x
p38x − 6y + 41 = 0 (1)
p + 5y − 2xy −
3
x + xy + 6y − y 3 + x2 − 1 = 2 (2)
Hướng dẫn : Xem (1) là bậc hai theo x, suy ra y = 1. Đs : (2; 1).
Câu 136. Giải hệ phương trình
2
x+y
2(x − y)
+ xy = √
(1)
√ +√
xy
xy
x+ y
1
1
√ − √ + x + y = 4 (2)
y
x
√
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ ( y − x + xy)2 = 0 ⇒ x + y = x2 y 2 + 2 xy, thay vào (2) suy ra xy = 1. Đs :
√
√
3+ 5 3− 5
;
).
(
2
2
Câu 137. Giải hệ phương trình
√
x+3 y
√
= 1 (1)
4y + 2x + y
1
1
1
√
−√
= − (2)
3
2
3x − 4y − 8
y−1
Hướng dẫn : (1) ⇔ x = 4y. Đs : (8; 2).
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải bất phương trình
√
x + 2 + x2 − x − 2 6
√
3x − 2 (1).
Hướng dẫn : Liên hợp hai căn, suy ra (x − 2).f (x) 6 0. Chứng minh f (x) > 0. Đs : 2/3 6 x 6 2.
Câu 2. Giải bất phương trình
Hướng dẫn : Đặt y =
√
√
x3 + (3x2 − 4x − 4) x + 1 6 0 (1).
x + 1, chia hai vế cho y 3 , suy ra x 6 y. Đs : −1 6 x 6 (1 +
Câu 3. Giải bất phương trình
√
x+
3+x
< 1 (1).
3−x
Hướng dẫn : Câu này cho điểm nhé !. Đs : (3; 9).
√
5)/2.
Câu 4. Giải bất phương trình
r
r
2
8
2 1 − + 2x − > x (1).
x
x
√
√
√
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ 4 x − 2 + 2 x > 2x2 + 4x ⇔ ( x2 − 2x − 2)2 6 0. Đs : [−2; 0); 1 + 5.
Câu 5. Giải bất phương trình
√
1
log2 (2 + x) + log1/2 (4 − 4 18 − x) 6 0 (1).
2
√
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ 2 + x 6 4 − 4 18 − x, đặt t = 4 18 − x, suy ra 2 6 t 6 4 . Đs : −2 < x 6 2.
Câu 6. Giải bất phương trình
√
3 2x2 − x x2 + 3 < 2(1 − x4 ) (1).
r
√
√
−3
+
10
Hướng dẫn : Đặt t = x x2 + 3. Đs : −
< x < 1.
2
Câu 7. Giải bất phương trình
√
√
4
2x − 3 + 2 x + 2 > 3 2x2 + x − 6 (1).
√
3
Hướng dẫn : Chia hai vế cho x + 2. Đs : 6 x 6 5.
2
√
Câu 8. Giải bất phương trình
√
6x2
√
x − 1 + 1 (1).
>
2x
+
( 2x + 1 + 1)2
2
2
√
√
√
√
3
1
Hướng dẫn : (1) ⇔ x − 3 2x + 1 + 4 > x − 1 ⇔
2x + 1 −
>
x−1+
. Đs : x >
2
2
√
10 + 4 5.
Câu 9. Giải bất phương trình
√
Hướng dẫn :Đặt t =
√
5 − 4x
2x x + √
>
x
r
x+
10
− 2 (1).
x
x2 − 2x + 10 . Đs : x > 0.
Câu 10. Giải bất phương trình
s
x2 + x + 1
2
2
+ x2 − 4 6 √
(1).
2
x+4
x +1
!
r
√
x2 + x + 1
2 − x2 + 1
2
⇔ . . . ⇔ (x2 − 3).f (x) 6 0 .
Hướng dẫn :(1) ⇔ 2
−1 +x −36 √
2
x+4
x +1
√
√
Đs : − 3 6 x 6 3.
Câu 11. Giải bất phương trình
√
1 − 4x2
< 3 (1).
x
Hướng dẫn :Liên hợp ! . Đs : [−1/2; 0); (0; 1/2].
1−
Câu 12. Giải bất phương trình
√
3 − 2 x2 + 3x + 2
√
> 1 (1).
1 − 2 x2 − x + 1
√
√
√
13 − 1
.
Hướng dẫn : 1 − 2 x2 − x + 1 < 0; (1) ⇔ . . . ⇔ x2 − x + 1 < 2x. Đs : x >
6
- Xem thêm -