Tài liệu Bài tập lý thuyết sai số

  • Số trang: 28 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 2011 |
  • Lượt tải: 1
trancongdua

Đã đăng 1751 tài liệu

Mô tả:

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc BÀI TẬP LÝ THUYẾT SAI SỐ. Giáo viên: Đoàn Thị Bích Ngọc. Sinh viên: Nguyễn Văn Nhựt MSSV: 0250030258 Biên Hòa, ngày 7 tháng 5 năm 2015 CHƯƠNG I: Khái quát các thành phần lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Bài tập 1: Hãy xác định xác suất xuất hiện 3 lần sai số âm trong 10 lần đo, nếu như xác suất xuất hiện sai số âm trong một lần đo là P = 0.5 Bài tập 2: Cho biến ngẫu nhiên x tuân theo luật phân bố chuẩn với kỳ vọng 25 và phương sai 10. Xác định xác suất : P(16.75 ≤ x ≤ 23.82). Bài tập 3: Theo kết quả khảo sát máy đo dài vật lý CBB-1 có khoảng cách D và sai số m như sau: D(km) 8.7 3.7 5.1 4.9 6.1 5.6 6 2.7 m(cm) 8 4 5 4 3 3 4 3 Xác định hệ số tương quan giữa D và m, lập phương trình hồi quy. BÀI GIẢI: Bài 1: Tóm tắt: n=10 k=3 p=0.5 => q= 0.5 Xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo trong 10 lần đo là: Pn( k ) Cnk .q n  k . p k 10! 120 3!(10! 3!) 15 120 (0.5) 3 (0.5) 7  0.1172 128 Với P10( 3)  P10(3) C103 . p 3 .q 7 3 C10  Vậy xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo trong 10 lần đo là 11.72% Bài 2: Theo đề ta có: M(X)= 25 D(X)= 10    10 Tính: 1  x1  M ( X ) 16.75  25  8.25   8.25 t1  1   2.61  2  x2  M ( X ) 23.82  25  1.18 1 10   1.18 t2  2   0.37  (X ) 10 Tra bảng “Phụ lục 2”  F (t1 ) F ( 2.61) 0.005 F (t 2 ) F ( 0.37) 0.345 P( x1 x x2 ) F (t 2 )  F (t1 ) 0.345  0.005 0.34 34 % Di 8.7 3.7 5.1 4.9 6.1 5.6 6 2.7 Dtb 5.35 Vậy xác suất 1 lần thử để X rơi vào khoảng từ 16.75 đến 23.82 là 34%. Bài 3: mi t= Di - Dtb t.k t2 k2 b  k=mi mtb 8 3.35 3.75 12.56 11.22 14.06 3 -1.65 -1.25 2.06 2.72 1.56 4 -0.25 -0.25 0.06 0.06 0.06 4 -0.45 -0.25 0.11 0.20 0.06 5 0.75 0.75 0.56 0.56 0.56 0.76 3 0.25 -1.25 -0.31 0.06 1.56 4 0.65 -0.25 -0.16 0.42 0.06 3 -2.65 -1.25 3.31 7.02 1.56 mtb    4.25 18.20 22.28 19.50 1.78 n Với D  t n 2 1 n 1 m  k n 2 1 n 1   t.k 1 n. D . m Và: b= mtb- Dtb  Phương trình hồi quy: mi=Di+b  y=0.76Di+ 0.16 1.67 0.16 CHƯƠNG 2: Cơ sở lý thuyết sai số đo đạc Bài 1: Một góc β được đo 10 lần cùng một loại máy kinh vĩ. Kết quả thu được ghi trong bảng bên dưới. Giả thiết sai số trung phương cần đo góc trên là m = 2”.0 và mặt bằng tin cậy α = 0.01. Hãy đánh giá độ tin cậy của dãy kết quả đo trên theo các phương pháp: a. Phương pháp độ lệch cực đại. b. Phương pháp kiểm tra hiệu chênh. STT i  (0 ‘ “ ) 1 80 30 45.7 STT i (0 ‘ “ ) 6 80 30 46.9 2 80 30 48.0 7 80 30 46.7 3 80 30 44.9 8 80 30 44.8 4 80 30 45.3 9 80 30 47.0 5 80 30 47.2 10 80 30 45.9 Bài tập 2: Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương một lần đo. Bài tập 3: Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách. Bài tập 4: Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m. Bài tập 5: Đo hai góc trong một tam giác với sai số trung phương tương ứng là 4" và 5" . Góc thứ ba trong tam giác được tính trên cơ sở hai góc vừa đo. Hãy tính sai số trung phương của góc thứ 3. Bài tập 6: Trị trung bình cộng đo từ 14 lần đo góc A là 90030'12' ' , sai số trung phương đo góc mỗi lần đo là 3". Hãy xác định sai số trung phương và khoảng tin cậy của trị trung bình cộng với xác suất 95%. Bài tập 7: Để xác định diện tích một lô đất hình bình hành ABCD, ta tiến hành đo 2 cạnh SAB , SAD và góc kẹp giữa hai cạnh này với các kết quả như sau: SAB = 130 m , SAD = 160 m , góc  500 . Sai số trung phương tương đối đo cạnh ms 1  , sai số trung phương đo góc S 10000 m 6" . Hỏi: + Diện tích lô đất. + Tính sai số trung phương và sai số trung phương tương đối xác định diện tích. Bài tập 8: Biết điểm A có tọa độ xA = 500.00m; yA = 500.00m, khoảng cách AB là SAB = 500.00m, sai số trung phương đo cạnh AB là mS 2mm ; phương vị AB cạnh AB là  AB 300 và sai số trung phương phương vị m AB 3" . Đo khoảng cách BC được SBC = 1000.00m và sai số trung phương đo cạnh SBC là mS 7 mm , góc  1250 và sai số trung phương đo góc m 5" Tính: BC + Tọa độ điểm B và C. + Tính sai số trung phương vị trí điểm B và C Giả sử điểm A không có sai số. Bài tập 9: Trong tam giác ABC người ta đo: + Góc A = với sai số trung phương 20" + Góc B= với sai số trung phương 20" + Cạnh BC = 135.45 m với sai số trung phương tương đối 1/2000 a. Tính sai số0 trung ' " phương góc B. b.Tính sai số trung tương đối độ dài cạnh AC. 0 ' phương " 605050302949 BÀI GIẢI Bài 1:  Phương pháp độ lệch cực đại.   βmax= 80030’48” ; βmin= 80030’44.8”  Độ lệch cực đại trong dãy 10 trị đo: Rn=βmax - βmin= 80030’48”- 80030’44.8”= 3.2”  Với m  2" ; n=10  1   1  0.01 0.99  Tra bảng D-simow  d  , n = d0.01,10= 5.16  Xác định Rmax cho phép: Rmax =  .d ,n  2 x 5.16= 10.32”  Ta thấy: Rn = 3.2” < Rmax= 10.32”  Kết quả đo góc có thể chấp nhận được. Sai số thô không tồn tại trong dãy trị đo.  Phương pháp kiểm tra hiệu chênh.  βmax= 80030’48” ; βmin= 80030’44.8”  Trị trung bình cộng không tính đến cực đại: x1= 80030’46.04”  Trị trung bình cộng không tính đến cực tiểu: x2= 80030’46.4”  Hiệu chênh giữa cực đại và trị trung bình cộng: 1  max  x1 80 030'48" 80 030'46.04" 1.96"  Hiệu chênh giữa cực tiểu và trị trung bình cộng:  2 x2   min 80030'44.8" 80030'46.4" 1.6"  Tpmax=  T p min 1 1.96"  0.98  2"  1.6"  2  0.8  2"  Với  1   1  0.01 0.99 và n=10  Tra bảng “ phân bố Student” với số bậc tự do n- 1= 9  t p ( n  1), t p ( 9 ),0.01 3.25 Ta thấy: Tpmax < tp(n-1),  Tpmin < tp(n-1),  Vậy không có cơ sở để nói rằng trong dãy trị đo βmax, βmin có tồn tại sai số thô => Không có cơ sở để loại bỏ dãy trị đo. Bài 2:  Sai số trung phương 1 lần đo: m      n m 2.21(mm) 49  4.9 (mm) 10 Vậy sai số trung phương 1 lần đo là: m  4.9 ( mm) 2.21( mm) STT   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 3 -2 0 2 -2 1 -3 4 -1 1 9 4 0 4 4 1 9 16 1  49 Bài 3:  Lập mối quan hệ hàm số: S= S1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S8 S 9 S10 + + + + + + + + + 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10  Tính đạo hàm: S S i 1 = 10 với i= 1 10  Công thức: 2  S  S   mS21  ......   m   S1   S10 2 S 2   mS210  Vì các trị đo cùng độ chính xác Nên mS  m  4.9 (mm) (Tính ở bài 2) m 4 .9  0.7(mm) n 10 Vậy sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách là mS 0.7( mm) Bài 4: Với mS 0.7(mm) = 7x10-4 (m) (Tính ở bài 3) S= 100 (m)  Sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m là: 1 mS 7 10  4 1 1     T S 100 142857 140000 Vậy sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m là 1 1  T 140000 Bài 5:  Lập quan hệ hàm:  3 1800  1   2    Tính đạo hàm: 3   3  1 1 2  Công thức: 2 2 3 m 2        3  m21   3  m22  1    2  m23 (4" ) 2  (5" ) 2 41" m3  41" 6.4" Vậy sai số trung phương của góc thứ 3 là m3 6.4" Bài 6  Gọi β là góc được đo  Lập quan hệ hàm số: 1 14    i 14 i 1    1      14 với i= 114  i 2 2  S   S   m2  ......    m2 m2   S1   S14   Tính đạo hàm:  Công thức: Với 1 14 mi m 3"  Sai số trung phương: m  m 3"  0.8" n 14  Lập khoảng tin cậy: mà p=95% => t= 2 Vậy khoảng tin cậy là: 90 30’12”  2x0.8” Hay: 90030’10.4” < Bài 7: C SAB = 130 m SAD = 160 m góc  500  tm 0 D _  < 90030’13.6” ms 1  : Sai số trung phương tương đối đo cạnh. S 10000 m A 6"  6 ( m) 206265 B H Diện tích hình bình hành ABCD: S a h  AB DH  AB sin  AD S 130 160 sin 50 0 15933.72( m 2 ) Vậy diện tích lô đất là 15933.72 m2 Theo đề bài ta có sai số trung phương tương đối đo cạnh: ms 1  S 1000 m AB 1 S 130   m AB  AB  0.013(m) 13(mm) S AB 10000 10000 10000 Sai số trung phương cạnh AB: m AB 13(mm)  m AD 1 S 160   m AD  AD  0.016(m) 16(mm) S AD 10000 10000 10000 Sai số trung phương cạnh AD: m AD 16(mm)   Sai số trung phương diện tích:  S  AB sin  AD  S  AD sin  AB ; S  AB sin  AD S  AB AD cos    Công thức: 2 2 2  S   S   S  2 2 2 m   m AB    m AD    m  AB   AD     2 S  mS2  160 sin 500  13 10  2    130 160 cos 500   3 2  2   130 sin 50  16 10    6      206265  0 2 2 3 2    mS2 5.2289  mS 2.29(m 2 ) Vậy sai số trung phương xác địnhdiện tíchlà : mS 2.28(m 2 )  Sai số trung phương tương đối xác định diện tích: 1 mS 2.28 1    T S 15933.72 6988.47 Vậy sai số trung phương tương đối xác định diện tích là: 1 1  T 6988.47 Bài 8: x S 500 m; A   AB AB BC 3 0 0 ; xB  x A  S AB cos AB xB 500  500 cos 300 933.013(m) y B  y A  S AB sin  AB y B 500  500 sin 300 750(m) Vậy tọa độ điểm B(933.013m; 750m) Theo cách tính góc phương vị ta có:  BC  AB    1800  3600  BC 300  1250  1800  3600 3350 Suy ra: xC  xB  S BC cos BC xC 933.013  1000 cos 3350 1839.321( m) yC  y B  S BC sin  BC yC 750  1000 sin 3350 327.38( m) Vậy tọa độ điểm C (1839.321m; 327.38m) Tính sai số trung phương vị trí điểm: mB  mx2  m 2y ; mC  mx2  m y2 . C C Ta có: xB  x A  S AB cos AB xB cos  AB S AB x ;  B  sin  AB S AB ; AB (Giả sử A không có sai số)  Công thức:  xB mx2B   S AB 2   xB  mS2AB      AB 2   m2 AB   m Tính tọa độ điểm B và C Ta có:   m Giải: B A 5 0 mS  10 00m;  12 50 ; B y 50 0m; AB AB   m BC 5 "  m 2 xB 0 2 2  0 (cos 30 ) 2   sin 30 500 10  3 2 3      206265   mx2B 16.22(mm)  mxB 4.03(mm)  m 2 yB  y B   S AB 2   xB  mS2AB      AB 2   m2 AB  2 3    mx2B (sin 300 ) 2 2 2  cos 300 500 10  3    206265  mx2B 40.66(mm)    mxB 6.38(mm) Vậy sai số trung phương vị trí điểm B: mB  mx2B  m 2yB  16.22  40.66 7.54(mm) Điểm C Ta có:  BC  AB    1800  3600   BC 1    BC 1 ; AB  2  BC m    BC   AB 2     m2 AB   BC    2   m2  2 2  2 m BC  2 m BC m BC  Ta có:  xC xB  S BC cos   Công thức: m 2 xC m 0 2  5.83" xC  sin  BC S BC  BC  x  C  S BC 2   xC  mS2BC      BC  2 0 (cos 335 ) 7   sin 335 1000 10 2   m2 BC   3 2  5.83     206265  2  mx2C 182.93( mm)  mxC 13.53( mm) Ta có:  yC  y B  S BC sin  BC y yC cos  BC S BC  BC  S C sin  BC ; BC  Công thức: m 2 yC  y  C  S BC 2   yC  mS2BC      BC 2   m2 BC  2  5.83   m 2yC (sin 3350 ) 2 7 2  cos 3350 1000 103    206265   m 2yC 664.95(mm)    m yC 25.79( mm) Vậy sai số trung phương vị trí điểm C: mC  mx2C  m 2yC  182.93  664.95 29.12( mm) Bài 9: Gọi 3 góc A,B,C lần lượt là 3 góc Ta có: 1   2   3 1800     3 1800  1   2  3  3   1 1  2 2  2       m23  3  m21   3  m22  1    2   34" BC xC cos  BC ; S BC 2 xC (3" ) 2 1 ,  2 ,  3 2  5" 2  m23  20"   20" 800 2 2  m 3 m   800 28.28" C Vậy sai số trung phương góc C là: mC 28.28" Tính sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC. Ta có:  S BC 135.45 103 1 mS BC   mS BC   67.73(mm) T S BC T 2000 sin 1 sin  2  S BC S AC  S sin  S AC S BC cos  2   2 sin 1  S AC  sin 2 ; BC 1 S AC S BC sin  2   cos  2   1  sin 1  2  Công thức: 2 S AC m  S  AC  S BC 2   S  mS2BC   AC   2  2   S  m22   AC   1 2   m21  2 mS AC  sin 60 0 50'29" 67.73 2 sin 50 0 30'49"  135.45  10 3 cos 60 0 50'29"      sin 50 0 30'49"   2 + 20      206265  2 20      206265  2 + +  135.45  10 3 sin 60 0 50'29"      sin 50 0 30'49"   2  mS2AC 6091.09 mm   mS AC 78.04 mm  Vậy sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC: 1 mS AC 78.04 1    3 T S AC 153.26 10 1964 . Chương 3: Xử lí số liệu đo lặp đo kép Bài 1: Cho kết quả đo chênh cao giữa các điểm theo phương pháp thay đổi chiều cao máy như trong bảng. Hãy tính sai số của một lần đo chênh cao và sai số trung phương của trị trung bình cộng của hai lần đo. Trạm đo Chênh cao h’ h” 1 1.357 1.359 2 0.980 0.974 3 1.220 1.218 4 1.458 1.463 5 0.638 0.639 6 0.743 0.74 7 0.596 0.598 8 1.157 1.154 9 0.934 0.937 Bài 2: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương ứng như trong bảng. Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung phương tương đối của nó. Chênh cao (m) Trạm đo 1 1.352 4 2 1.354 6 3 1.356 8 4 1.358 9 5 1.359 7 6 1.362 8 7 1.35 10 8 1.361 6 9 1.357 5 Bài 3: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương ứng như trong bảng. a. Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung phương tương đối của nó. b. Xác định trị đo nào vượt quá khoảng tin cậy cho chênh cao đo trên ứng với xác suất 97%. STT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Chênh cao (m) Trạm đo 1.346 1.354 1.356 1.358 1.349 1.362 1.35 1.361 1.363 Bài giải: 4 6 8 9 7 8 10 6 5 Bài 1: Trạm đo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Chênh h’ 1.357 0.980 1.220 1.458 0.638 0.743 0.596 1.157 0.934 cao h” 1.359 0.974 1.218 1.463 0.639 0.74 0.598 1.154 0.937 di(mm) -2 6 2 -5 -1 3 -2 3 -3 |[d]|= 1 [|d|]= 27 didi 4 36 4 25 1 9 4 9 9 [dd]= 101 Ta thấy: Hay: d 10.2527 6.75  d  d 0.25 d  . Vậy không tồn tại sai số thô còn dư. => Sai số trung phương của một lần đo chênh cao là: mL   dd  2n  101 2.37( mm) 18 =>Sai số trung phương trị trung bình cộng của 2 lần đo là: mx   dd  4n  101 1.67( mm) 36 Bài 2: Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của  chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo.   m1TĐ  10  Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính: mi m1TĐ m STĐ  Trọng số của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:   2 2 m  10 Pi  2  1TĐ mi m1TĐ  STĐ      10 STĐ Chọn h0= 1.350(m) Tính: δi= hi - h0 Tính chênh cao gần đúng nhất: hAB h0    2  Pi i  1.350   88.246  10 3 1.356(m)    Pi   13.873  Tính hiệu chỉnh: vi= hAB - hi STT hi 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1.352 1.354 1.356 1.358 1.359 1.362 1.35 1.361 1.357  Trạm Pi=10/STĐ δI(mm) PIδi(mm) vi(mm) đo 4 2.5 2 5 4 6 1.667 4 6.667 2 8 1.250 6 7.5 0 9 1.111 8 8.889 -2 7 1.429 9 12.857 -3 8 1.250 12 15 -6 10 1 0 0 6 6 1.667 11 18.333 -5 5 2 7 14 -1 13.873 88.246  Pvv n 1 10 3.333 0 -2.222 -4.286 -7.5 6 -8.333 -2 40 6.667 0 4.444 12.857 45 36 41.667 2 188.635  188.635 4.856(mm) 8 Tính sai số trung phương của chênh cao gần đúng nhất: mhAB   Pvv Tính sai số trung phương trọng số đơn vị :    Pv  4.856  1.304( mm)  P 13.873 Tính sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất: 1 mhAB 1.304 10  3 1 1     T hAB 1.356 1039.877 1000 Vậy chênh cao gần đúng nhất: hAB= 1.356(m) Sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất: 1 1  T 1000 Bài 3: Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của  chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo.   m1TĐ  10  Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính: mi m1TĐ m STĐ  Trọng số của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:   2 2 m  10 Pi  2  1TĐ mi m1TĐ  STĐ    Chọn h0= 1.346(m) Tính: δi= hi - h0  2  10 STĐ
- Xem thêm -