Tài liệu Bài tập lớn môn đàn hồi ứng dụng tấm vỏ

  • Số trang: 8 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 57 |
  • Lượt tải: 0
truongphan1776621

Tham gia: 03/06/2019

Mô tả:

Bài tập môn đàn hồi ứng dung - phần tấm vỏ
Baøi 1. Taám chöõ nhaät töïa ñôn chòu aùp löïc thuûy tónh ∂4w ∂4w ∂ 4 w q ( x, y ) Phöông trình vi phaân: 4 + 2 2 2 + 4 = D ∂x ∂x ∂y ∂y (1) nπ y mπ x sin a b m =1 n =1 ∞ ∞ mπx nπy sin Khai trieån q theo chuoãi Fourier: q( x, y ) = ∑∑ q mn sin a b m =1 n =1 ∞ ∞ Choïn haøm chuyeån vò theo Navier: w = ∑ ∑ Amn sin 4 mπx nπy = q ( x, y ) sin sin dxdy ∫ ∫ ab 0 0 a b (2) (3) a b Töø ñoù suy ra q mn (4) Ñeå xaùc ñònh Amn, ta theá (3) vaø (2) vaøo (1). Sau khi bieán ñoåi ta coù: 2 2 4 ⎧⎪ ⎡⎛ mπ ⎞ 4 mπx nπy ⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎤ q mn ⎫⎪ sin =0 ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥− ⎨ Amn ⎢⎜ ⎬ sin ∑∑ a a b b D a b ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m =1 n =1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ∞ ∞ Vì phöông trình ñuùng vôùi moïi x, y neân moãi soá haïng cuûa chuoãi phaûi baèng 0: 2 ⎛ m2 n2 Amnπ ⎜⎜ 2 + 2 b ⎝a ⎞ q ⎟⎟ − mn = 0 D ⎠ 4 Amn = 1 a b 4 abπ D ⎛ m 2 n 2 ⎞ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ b ⎠ ⎝a 4 2 ∫ ∫ q( x, y) sin( 0 0 (5) mπx nπy ) sin( )dxdy a b Do taám chòu taûi troïng phaân boá daïng tam giaùc neân: q ( x , y ) = Thay (7) vaøo (6) ta tìm ñöôïc Amn = − 4q 0 1 7 π D ⎛ m2 n2 ⎜⎜ 2 + 2 b ⎝a ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 [(sin(mπ ) − mπ cos(mπ ))(cos(nπ ) − 1)] Do ñoù ta tìm ñöôïc haøm chuyeån vò cuoái cuøng w( x, y ) = − 4q 0 1 ∞ ∞ ∑∑ 7 π D m =1 n =1 ⎛ m 2 n 2 ⎜⎜ 2 + 2 b ⎝a Nhaän xeùt: ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 [(sin(mπ ) − mπ cos(mπ ))(cos(nπ ) − 1)] sin (6) q0 x a (7) (8) mπx nπy sin a b Neáu laáy m = n =1, thì keát quaû theo nghieäm Navier thu ñöôïc laø ñoái xöùng. Tuy nhieân baøi toaùn khoâng ñoái xöùng do chòu taùc duïng taûi troïng phaân boá daïng tam giaùc, neân keát quaû naøy khoâng toát, maët duø chuyeån vò cöïc ñaïi ít coù sai soá do chuoãi hoäi tuï nhanh. Neáu laáy m = n = 3, keát quaû theo nghieäm Navier thu ñöôïc hôïp lyù hôn. Bôûi vì phía chòu taûi troïng lôùn hôn thì chuyeån vò phaûi lôùn hôn. Maët khaùc keát quaû naøy raát gaàn vôùi nghieäm cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000). BAØI TAÄP 1 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂN G TÖÏA ÑÔN CHÒU AÙP LÖÏC THUÛY TÓNH-NGHIEÄM NAVIER VAØ PTHH 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 -3 -4 -5 -6 -7 NAVIER - m=n=1 -8 NAVIER - m=n=3 -9 SAP2000 - 8x8 BAØI TAÄP 2 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂNG NGAØM 2 CAÏNH VAØ TÖÏA 2 CAÏNH - CHÒU AÙP LÖÏC THUÛY TÓNH - NGHIEÄM LEVY VAØ PTHH 0 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 LEVY - m=1 -3.5 -4 -4.5 LEVY - m=3 SAP2000 - 8x8 Baøi 2. Taám 2 bieân töïa (caïnh b) vaø 2 bieân ngaøm (caïnh a) chòu taùc duïng taûi troïng phaân boá daïng tam giaùc theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh). Coù theå ñöôïc phaân tích nhö sau: Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng taûi troïng troïng phaân boá daïng tam giaùc theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh), choïn haøm chuyeån vò theo nghieäm Levy w1. Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng cuûa moâment phaân boá taïi caùc caïnh song song truïc x. Baøi toaùn daïng ñoái xöùng, neân choïn nghieäm ñoái xöùng. Choïn haøm chuyeån vò theo nghieäm Levy w2. Do taám ban ñaàu laø ngaøm neân w1 vaø w2 phaûi thoûa maõn ñieàu kieän raøng buoäc laø goùc xoay taïi bieân ngaøm cuûa taám thöïc phaûi baèng khoâng, töùc laø: dw1 dw =− 2 dy dy Taïi bieân y = ± b 2 w = w1 + w2 ø vaø haøm chuyeån vò cuoái cuøng laø Thöïc hieän tính toaùn keát quaû cuoái cuøng nhö sau: q0 a 4 2(−1) m +1 mπy mπx mπx (−1) m +1 [2 + α m th(α m )] sin( )− ) sin( ) w= ch( ∑ 5 5 5 5 a a D m π m a π m ch(α m ) ( −1) m +1 mπy mπy mπx ( ) sin( ) sh a a π 5 m 5 ch (α m ) a + q0 a 4 (−1) m+1 mπx [αm − th(αm )(1 + αmth(αm )] ⎛ mπy mπy mπy ⎞ sin( ) )− )⎟ sh( ⎜αmth(αm )ch( ∑ 5 5 D m π m ch(αm ) a [αm − th(αm )(−1 + αmth(αm )] ⎝ a a a ⎠ Nhaän xeùt: Neáu laáy m = n =1, thì keát quaû nghieäm theo Levy thu ñöôïc laø ñoái xöùng. Tuy nhieân baøi toaùn khoâng ñoái xöùng do chòu taùc duïng taûi troïng phaân boá daïng tam giaùc, neân keát quaû naøy khoâng toát, maët duø chuyeån vò cöïc ñaïi ít coù sai soá do chuoãi hoäi tuï nhanh. Neáu laáy m = n = 3, keát quaû nghieäm theo Levy thu ñöôïc hôïp lyù hôn. Bôûi vì phía chòu taûi troïng lôùn hôn thì chuyeån vò phaûi lôùn hôn. Maët khaùc keát quaû naøy raát gaàn vôùi nghieäm cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000). Baøi 3. Taám 3 bieân töïa vaø 1 bieân ngaøm (caïnh a) chòu taùc duïng taûi troïng phaân boá daïng tam giaùc theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh) coù theå ñöôïc phaân tích nhö sau: Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng taûi troïng troïng phaân boá daïng tam giaùc theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh), choïn haøm chuyeån vò theo nghieäm Levy w1. Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng cuûa moâment phaân boá taïi 1 caïnh song song truïc x. Baøi toaùn daïng toång quaùt, phaûi phaân thaønh nghieäm ñoái xöùng vaø phaûn xöùng. Choïn haøm chuyeån vò theo nghieäm Levy w2. Phaûi thoûa maõn ñieàu kieän raøng buoäc laø goùc xoay taïi bieân ngaøm cuûa taám thöïc phaûi baèng khoâng. Töùc laø: Taïi bieân dw1 dw =− 2 dy dy y=± b 2 Vaø haøm chuyeån vò cuoái cuøng laø w = w1 + w2 ø Thöïc hieän tính toaùn keát quaû cuoái cuøng nhö sau: q0a4 2(−1)m+1 mπx (−1)m+1[2 +αmth(αm )] mπy mπx (−1)m+1 mπy mπy mπx ) sin( ) sh( w= sin( ) − )sin( ) + 5 5 ch( ∑ 5 5 5 5 a a D m πm a a a π m ch(αm ) a π m ch(αm ) q0 a 4 − D [αm − th(αm )(1 + α mth(α m )] (−1) m+1 mπx sin( ) ∑ 5 5 2 a [αmth (α m ) − th(α m ) + α mcth2 (α m ) − cth(α m ) − 2α m ] m π m mπy mπy mπy mπy mπy mπy ⎞ ⎛ )− sh( ) αmcth(α m )sh( )− ch( )⎟ ⎜ α mth(α m )ch( a a a + a a a ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ch(α m ) sh(α m ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ BAØI TAÄP 3 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂNG NGAØM 1 CAÏNH VAØ TÖÏA 3 CAÏNH - CHÒU AÙP LÖÏC THUÛY TÓNH - NGHIEÄM LEVYVAØ PTHH 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 LEVY - m=1 LEVY - m=3 -6 SAP2000 - 8x8 CHÖÔNG 9. Baøi 4 Taám chöõ nhaät caùc bieân töïa ñôn, chòu taûi troïng phaân boá ñeàu. Duøng phöông phaùp Ritz tìm chuyeån vò. ∞ ∞ mπx nπy sin Choïn haøm chuyeån vò nhö sau: w( x, y ) = ∑∑ C mn sin a b m =1 n =1 2 a b ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ 1 Theá naêng bieán daïng cuûa taám U = D ∫ ∫ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ dxdy 2 0 0 ⎝ ∂x ∂y ⎠ a b Coâng ngoaïi löïc A = ∫ ∫ qwdxdy 0 0 Theá naêng toaøn phaàn ∏= U − A Duøng nguyeân lyù Lagrange, caùc tham soá Cmn seõ ñöôïc xaùc ñònh döïa vaøo ñieàu kieän döøng cuûa theá naêng bieán daïng toaøn phaàn: C12 = C 21 = C 22 = 0 C11 = 16a 4 b 4 q Dπ 6 (a 2 + b 2 ) 2 Haøm chuyeån vò cuoái cuøng w= 16a 4 b 4 q πx πy sin sin 6 2 2 2 a b Dπ ( a + b ) Nhaän xeùt: Neáu laáy m = n =2, thì keát quaû nghieäm theo Ritz thu ñöôïc töông ñoái gaàn vôùi nghieäm phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000) - sai soá lôùn nhaát 2.3%. BAØ I TAÄ P 4 - CHUYEÅ N VÒ TAÁ M VUOÂ NG TÖÏ A ÑÔN CHÒU TAÛ I PHAÂ N BOÁ ÑEÀ U - NGHIEÄ M RITZ VAØ PTHH 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5 -1 -1.5 -2 RITZ - m=n=2 SAP2000 - 8x8 -2.5 Baøi 5 SAP2000 - 16x16 SAP2000 - 32x32 Taám chöõ nhaät caùc bieân ngaøm, chòu taûi troïng phaân boá ñeàu. Choïn haøm chuyeån vò nhö sau: ∞ ∞ w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos m =1 n =1 2 a b ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ 1 U = D ∫ ∫ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ dxdy 2 0 0 ⎝ ∂x ∂y ⎠ Theá naêng bieán daïng cuûa taám: Coâng ngoaïi löïc: a b A = ∫ ∫ qwdxdy 2mπx 2nπy )(1 − cos ) a b vaø Theá naêng toaøn phaàn ∏= U − A 0 0 Duøng nguyeân lyù Lagrange, caùc tham soá Cmn seõ ñöôïc xaùc ñònh: 1 a 4 b 4 q (5027b 4 a 8 + 760b 2 a 10 + 5027b 8 a 4 + 760b10 a 2 + 7146b 6 a 6 + 80b12 + 80a 12 ) C11 = 4 Dπ 4 (17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6 + 17965b 12 a 4 + 3000b14 a 2 + 400b16 + 35100b 6 a 10 ) C12 = 1 a 4 b 4 q(302b 4 a 8 + 40b 2 a 10 + 557b 8 a 4 + 80b 10 a 2 + 624b 6 a 6 + 80b 12 + 5a 12 ) 4 Dπ 4 (17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6 + 17965b12 a 4 + 3000b 14 a 2 + 400b 16 + 35100b 6 a 10 ) C 21 1 a 4 b 4 q (557b 4 a 8 + 280b 2 a 10 + 302b 8 a 4 + 40b10 a 2 + 624b 6 a 6 + 5b12 + 80a 12 ) = 4 Dπ 4 (17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6 + 17965b12 a 4 + 3000b14 a 2 + 400b16 + 35100b 6 a 10 ) C 22 = a 4 b 4 q(1487b 4 a 8 + 520b 2 a 10 + 1487b 8 a 4 + 520b 10 a 2 + 546b 6 a 6 + 80b12 + 80a 12 ) 1 64 Dπ 4 (17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6 + 17965b12 a 4 + 3000b 14 a 2 + 400b16 + 35100b 6 a 10 ) BAØ I TAÄP 5 - CHUYEÅ N VÒ TAÁ M VUOÂ N G NGAØ M CHÒU TAÛ I PHAÂ N BOÁ ÑEÀU - NGHIEÄM RITZ VAØ PTHH 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 RITZ - m=n=2 -0.6 SAP2000 - 8x8 -0.7 -0.8 SAP2000 - 16x16 SAP2000 - 32x32 Nhaän xeùt: Neáu laáy m = n =2, thì keát quaû nghieäm theo Ritz thu ñöôïc töông ñoái gaàn vôùi nghieäm phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000) - sai soá lôùn nhaát 3.1%. Baøi 6 Taám chöõ nhaät 2 bieân ngaøm( caïnh b) 2 bieân khôùp ( caïnh a), chòu taûi troïng phaân boá ñeàu. Duøng phöông phaùp Ritz tìm chuyeån vò. Choïn haøm chuyeån vò nhö sau: ∞ ∞ w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos m =1 n =1 Theá naêng bieán daïng cuûa taám: 2 ⎛ ∂ w ∂2w ⎞ 1 D ∫ ∫ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ dxdy 2 0 0 ⎝ ∂x ∂y ⎠ a b U = nπy 2mπx ) sin a b 2 a b Coâng ngoaïi löïc: A = ∫ ∫ qwdxdy 0 0 Theá naêng toaøn phaàn: ∏= U − A Duøng nguyeân lyù Lagrange, caùc tham soá Cmn seõ ñöôïc xaùc ñònh döïa vaøo ñieàu kieän döøng cuûa theá naêng bieán daïng toaøn phaàn: C12 = C 22 = 0 C11 = 8a 4 b 4 q(32a 2 b 2 + a 4 + 256b 4) Dπ 5 (120b 2 a 6 + 2560b 6 a 2 + 1072b 4 a 4 + 5a 8 + 1096b 8 ) C 21 = 8a 4 b 4 q (8a 2 b 2 + a 4 + 16b 4) Dπ 5 (120b 2 a 6 + 2560b 6 a 2 + 1072b 4 a 4 + 5a 8 + 1096b 8 ) Haøm chuyeån vò cuoái cuøng 2 2 w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos m =1 n =1 nπy 2mπx ) sin a b BAØI TAÄP 6 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂNG NGAØM 2 CAÏN H VAØ TÖÏA 2 CAÏN H - CHÒU TAÛI PHAÂN BOÁ ÑEÀU - NGHIEÄM RITZ VAØ PTHH 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 RITZ - m=n=2 SA P2000 - 8x8 SA P2000 - 16x16 -1.2 Nhaän xeùt: Neáu laáy m = n =2, thì keát quaû nghieäm theo Ritz thu ñöôïc raát gaàn vôùi nghieäm phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000) - sai soá lôùn nhaát 1.3%. Nhaän xeùt chung: - Ñoä hoäi tuï cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn nhanh. Chia löôùi 8x8 phaàn töû vaø chia löôùi 32x32 phaàn töû cho taám thì keát quaû gaàn nhö baèng nhau. Vôùi taám chòu taûi troïng ít thay ñoåi thì vieäc chia löôùi thoâ hôn vaãn ñaûm baûo ñöôïc ñoä chính xaùc caàn thieát. - Nghieäm chuoãi daïng giaûi tích theo Navier hoaëc Levy cho keát quaû raát toát vaø ñoä hoäi tuï nhanh, tuy nhieân neáu chæ laáy moät soá haïng duy nhaát thì luoân ñoái xöùng neân khoâng phaûn aùnh ñöôïc thöïc teá baøi toaùn. - Ñoä chính xaùc cuûa phöông phaùp Ritz phuï thuoäc nhieàu vaøo ñoä daøi cuûa chuoãi haøm chuyeån vò. Caùc baøi taäp 4, 5, 6 coù giaûi thöû khi laáy m = n = 1 nhöng keát quaû naøy raát keùm chính xaùc, khi m = n =2 thì keát quaû töông ñoái chính xaùc hôn.
- Xem thêm -