Mô tả:
Bài tập môn đàn hồi ứng dung - phần tấm vỏ
Baøi 1. Taám chöõ nhaät töïa ñôn chòu aùp löïc thuûy tónh
∂4w
∂4w
∂ 4 w q ( x, y )
Phöông trình vi phaân: 4 + 2 2 2 + 4 =
D
∂x
∂x ∂y
∂y
(1)
nπ y
mπ x
sin
a
b
m =1 n =1
∞ ∞
mπx
nπy
sin
Khai trieån q theo chuoãi Fourier: q( x, y ) = ∑∑ q mn sin
a
b
m =1 n =1
∞
∞
Choïn haøm chuyeån vò theo Navier: w = ∑ ∑ Amn sin
4
mπx
nπy
=
q ( x, y ) sin
sin
dxdy
∫
∫
ab 0 0
a
b
(2)
(3)
a b
Töø ñoù suy ra
q mn
(4)
Ñeå xaùc ñònh Amn, ta theá (3) vaø (2) vaøo (1). Sau khi bieán ñoåi ta coù:
2
2
4
⎧⎪
⎡⎛ mπ ⎞ 4
mπx
nπy
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎤ q mn ⎫⎪
sin
=0
⎟ + 2⎜
⎟ ⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎥−
⎨ Amn ⎢⎜
⎬ sin
∑∑
a
a
b
b
D
a
b
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
m =1 n =1 ⎪
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎩
⎭
∞
∞
Vì phöông trình ñuùng vôùi moïi x, y neân moãi soá haïng cuûa chuoãi phaûi baèng 0:
2
⎛ m2 n2
Amnπ ⎜⎜ 2 + 2
b
⎝a
⎞
q
⎟⎟ − mn = 0
D
⎠
4
Amn =
1
a b
4
abπ D ⎛ m 2 n 2 ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟
b ⎠
⎝a
4
2
∫ ∫ q( x, y) sin(
0 0
(5)
mπx
nπy
) sin(
)dxdy
a
b
Do taám chòu taûi troïng phaân boá daïng tam giaùc neân: q ( x , y ) =
Thay (7) vaøo (6) ta tìm ñöôïc
Amn = −
4q 0
1
7
π D ⎛ m2 n2
⎜⎜ 2 + 2
b
⎝a
⎞
⎟⎟
⎠
2
[(sin(mπ ) − mπ cos(mπ ))(cos(nπ ) − 1)]
Do ñoù ta tìm ñöôïc haøm chuyeån vò cuoái cuøng
w( x, y ) = −
4q 0
1 ∞ ∞
∑∑
7
π D m =1 n =1 ⎛ m 2 n 2
⎜⎜ 2 + 2
b
⎝a
Nhaän xeùt:
⎞
⎟⎟
⎠
2
[(sin(mπ ) − mπ cos(mπ ))(cos(nπ ) − 1)] sin
(6)
q0 x
a
(7)
(8)
mπx
nπy
sin
a
b
Neáu laáy m = n =1, thì keát quaû theo nghieäm Navier thu ñöôïc laø ñoái xöùng. Tuy nhieân
baøi toaùn khoâng ñoái xöùng do chòu taùc duïng taûi troïng phaân boá daïng tam giaùc, neân keát quaû
naøy khoâng toát, maët duø chuyeån vò cöïc ñaïi ít coù sai soá do chuoãi hoäi tuï nhanh.
Neáu laáy m = n = 3, keát quaû theo nghieäm Navier thu ñöôïc hôïp lyù hôn. Bôûi vì phía
chòu taûi troïng lôùn hôn thì chuyeån vò phaûi lôùn hôn. Maët khaùc keát quaû naøy raát gaàn vôùi
nghieäm cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000).
BAØI TAÄP 1 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂN G TÖÏA ÑÔN CHÒU AÙP
LÖÏC THUÛY TÓNH-NGHIEÄM NAVIER VAØ PTHH
0
-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
-6
-7
NAVIER - m=n=1
-8
NAVIER - m=n=3
-9
SAP2000 - 8x8
BAØI TAÄP 2 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂNG NGAØM 2 CAÏNH VAØ TÖÏA 2
CAÏNH - CHÒU AÙP LÖÏC THUÛY TÓNH - NGHIEÄM LEVY VAØ PTHH
0
-0.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
LEVY - m=1
-3.5
-4
-4.5
LEVY - m=3
SAP2000 - 8x8
Baøi 2.
Taám 2 bieân töïa (caïnh b) vaø 2 bieân ngaøm (caïnh a) chòu taùc duïng taûi troïng
phaân boá daïng tam giaùc theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh).
Coù theå ñöôïc phaân tích nhö sau:
Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng taûi troïng troïng phaân boá daïng tam giaùc
theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh), choïn haøm chuyeån vò theo nghieäm Levy w1.
Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng cuûa moâment phaân boá taïi caùc caïnh song
song truïc x. Baøi toaùn daïng ñoái xöùng, neân choïn nghieäm ñoái xöùng. Choïn haøm
chuyeån vò theo nghieäm Levy w2.
Do taám ban ñaàu laø ngaøm neân w1 vaø w2 phaûi thoûa maõn ñieàu kieän raøng
buoäc laø goùc xoay taïi bieân ngaøm cuûa taám thöïc phaûi baèng khoâng, töùc laø:
dw1
dw
=− 2
dy
dy
Taïi bieân y = ±
b
2
w = w1 + w2 ø
vaø haøm chuyeån vò cuoái cuøng laø
Thöïc hieän tính toaùn keát quaû cuoái cuøng nhö sau:
q0 a 4
2(−1) m +1
mπy
mπx
mπx (−1) m +1 [2 + α m th(α m )]
sin(
)−
) sin(
)
w=
ch(
∑
5 5
5 5
a
a
D m π m
a
π m ch(α m )
( −1) m +1
mπy
mπy
mπx
(
)
sin(
)
sh
a
a
π 5 m 5 ch (α m ) a
+
q0 a 4
(−1) m+1
mπx [αm − th(αm )(1 + αmth(αm )] ⎛
mπy mπy mπy ⎞
sin(
)
)−
)⎟
sh(
⎜αmth(αm )ch(
∑
5 5
D m π m ch(αm )
a [αm − th(αm )(−1 + αmth(αm )] ⎝
a
a
a ⎠
Nhaän xeùt:
Neáu laáy m = n =1, thì keát quaû nghieäm theo Levy thu ñöôïc laø ñoái xöùng.
Tuy nhieân baøi toaùn khoâng ñoái xöùng do chòu taùc duïng taûi troïng phaân boá daïng
tam giaùc, neân keát quaû naøy khoâng toát, maët duø chuyeån vò cöïc ñaïi ít coù sai soá do
chuoãi hoäi tuï nhanh.
Neáu laáy m = n = 3, keát quaû nghieäm theo Levy thu ñöôïc hôïp lyù hôn. Bôûi
vì phía chòu taûi troïng lôùn hôn thì chuyeån vò phaûi lôùn hôn. Maët khaùc keát quaû
naøy raát gaàn vôùi nghieäm cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000).
Baøi 3.
Taám 3 bieân töïa vaø 1 bieân ngaøm (caïnh a) chòu taùc duïng taûi troïng phaân boá
daïng tam giaùc theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh) coù theå ñöôïc phaân tích nhö sau:
Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng taûi troïng troïng phaân boá daïng tam giaùc
theo caïnh a (aùp löïc thuûy tónh), choïn haøm chuyeån vò theo nghieäm Levy w1.
Taám 4 bieân töïa chòu taùc duïng cuûa moâment phaân boá taïi 1 caïnh song
song truïc x. Baøi toaùn daïng toång quaùt, phaûi phaân thaønh nghieäm ñoái xöùng vaø
phaûn xöùng. Choïn haøm chuyeån vò theo nghieäm Levy w2.
Phaûi thoûa maõn ñieàu kieän raøng buoäc laø goùc xoay taïi bieân ngaøm cuûa taám
thöïc phaûi baèng khoâng. Töùc laø:
Taïi bieân
dw1
dw
=− 2
dy
dy
y=±
b
2
Vaø haøm chuyeån vò cuoái cuøng laø w = w1 + w2 ø
Thöïc hieän tính toaùn keát quaû cuoái cuøng nhö sau:
q0a4 2(−1)m+1 mπx (−1)m+1[2 +αmth(αm )] mπy
mπx
(−1)m+1 mπy mπy
mπx
) sin( )
sh(
w=
sin( ) −
)sin( ) + 5 5
ch(
∑
5 5
5 5
a
a
D m πm
a
a
a
π m ch(αm ) a
π m ch(αm )
q0 a 4
−
D
[αm − th(αm )(1 + α mth(α m )]
(−1) m+1
mπx
sin(
)
∑
5 5
2
a [αmth (α m ) − th(α m ) + α mcth2 (α m ) − cth(α m ) − 2α m ]
m π m
mπy mπy mπy
mπy mπy mπy ⎞
⎛
)−
sh(
) αmcth(α m )sh(
)−
ch(
)⎟
⎜ α mth(α m )ch(
a
a
a +
a
a
a ⎟
⎜
⎜
⎟
ch(α m )
sh(α m )
⎜
⎟
⎝
⎠
BAØI TAÄP 3 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂNG NGAØM 1 CAÏNH VAØ TÖÏA
3 CAÏNH - CHÒU AÙP LÖÏC THUÛY TÓNH - NGHIEÄM LEVYVAØ PTHH
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
LEVY - m=1
LEVY - m=3
-6
SAP2000 - 8x8
CHÖÔNG 9.
Baøi 4
Taám chöõ nhaät caùc bieân töïa ñôn, chòu taûi troïng phaân boá ñeàu. Duøng
phöông phaùp Ritz tìm chuyeån vò.
∞ ∞
mπx
nπy
sin
Choïn haøm chuyeån vò nhö sau: w( x, y ) = ∑∑ C mn sin
a
b
m =1 n =1
2
a b
⎛ ∂2w ∂2w ⎞
1
Theá naêng bieán daïng cuûa taám U = D ∫ ∫ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ dxdy
2 0 0 ⎝ ∂x
∂y ⎠
a b
Coâng ngoaïi löïc
A = ∫ ∫ qwdxdy
0 0
Theá naêng toaøn phaàn
∏= U − A
Duøng nguyeân lyù Lagrange, caùc tham soá Cmn seõ ñöôïc xaùc ñònh döïa vaøo ñieàu
kieän döøng cuûa theá naêng bieán daïng toaøn phaàn:
C12 = C 21 = C 22 = 0
C11 =
16a 4 b 4 q
Dπ 6 (a 2 + b 2 ) 2
Haøm chuyeån vò cuoái cuøng
w=
16a 4 b 4 q
πx
πy
sin sin
6
2
2 2
a
b
Dπ ( a + b )
Nhaän xeùt:
Neáu laáy m = n =2, thì keát quaû nghieäm theo Ritz thu ñöôïc töông ñoái gaàn
vôùi nghieäm phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000) - sai soá lôùn nhaát 2.3%.
BAØ I TAÄ P 4 - CHUYEÅ N VÒ TAÁ M VUOÂ NG TÖÏ A ÑÔN CHÒU TAÛ I PHAÂ N
BOÁ ÑEÀ U - NGHIEÄ M RITZ VAØ PTHH
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.5
-1
-1.5
-2
RITZ - m=n=2
SAP2000 - 8x8
-2.5
Baøi 5
SAP2000 - 16x16
SAP2000 - 32x32
Taám chöõ nhaät caùc bieân ngaøm, chòu taûi troïng phaân boá ñeàu. Choïn haøm
chuyeån vò nhö sau:
∞
∞
w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos
m =1 n =1
2
a b
⎛ ∂2w ∂2w ⎞
1
U = D ∫ ∫ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ dxdy
2 0 0 ⎝ ∂x
∂y ⎠
Theá naêng bieán daïng cuûa taám:
Coâng ngoaïi löïc:
a b
A = ∫ ∫ qwdxdy
2mπx
2nπy
)(1 − cos
)
a
b
vaø Theá naêng toaøn phaàn
∏= U − A
0 0
Duøng nguyeân lyù Lagrange, caùc tham soá Cmn seõ ñöôïc xaùc ñònh:
1 a 4 b 4 q (5027b 4 a 8 + 760b 2 a 10 + 5027b 8 a 4 + 760b10 a 2 + 7146b 6 a 6 + 80b12 + 80a 12 )
C11 =
4 Dπ 4
(17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6
+ 17965b 12 a 4 + 3000b14 a 2 + 400b16 + 35100b 6 a 10 )
C12 =
1 a 4 b 4 q(302b 4 a 8 + 40b 2 a 10 + 557b 8 a 4 + 80b 10 a 2 + 624b 6 a 6 + 80b 12 + 5a 12 )
4 Dπ 4
(17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6
+ 17965b12 a 4 + 3000b 14 a 2 + 400b 16 + 35100b 6 a 10 )
C 21
1 a 4 b 4 q (557b 4 a 8 + 280b 2 a 10 + 302b 8 a 4 + 40b10 a 2 + 624b 6 a 6 + 5b12 + 80a 12 )
=
4 Dπ 4
(17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6
+ 17965b12 a 4 + 3000b14 a 2 + 400b16 + 35100b 6 a 10 )
C 22 =
a 4 b 4 q(1487b 4 a 8 + 520b 2 a 10 + 1487b 8 a 4 + 520b 10 a 2 + 546b 6 a 6 + 80b12 + 80a 12 )
1
64 Dπ 4
(17965b 4 a 12 + 3000b 2 a 14 + 400a 16 + 45662b 8 a 8 + 35100b10 a 6
+ 17965b12 a 4 + 3000b 14 a 2 + 400b16 + 35100b 6 a 10 )
BAØ I TAÄP 5 - CHUYEÅ N VÒ TAÁ M VUOÂ N G NGAØ M CHÒU TAÛ I
PHAÂ N BOÁ ÑEÀU - NGHIEÄM RITZ VAØ PTHH
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
RITZ - m=n=2
-0.6
SAP2000 - 8x8
-0.7
-0.8
SAP2000 - 16x16
SAP2000 - 32x32
Nhaän xeùt:
Neáu laáy m = n =2, thì keát quaû nghieäm theo Ritz thu ñöôïc töông ñoái gaàn vôùi nghieäm phöông
phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000) - sai soá lôùn nhaát 3.1%.
Baøi 6
Taám chöõ nhaät 2 bieân ngaøm( caïnh b) 2 bieân khôùp ( caïnh a), chòu taûi
troïng phaân boá ñeàu. Duøng phöông phaùp Ritz tìm chuyeån vò.
Choïn haøm chuyeån vò nhö sau:
∞
∞
w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos
m =1 n =1
Theá naêng bieán daïng cuûa taám:
2
⎛ ∂ w ∂2w ⎞
1
D ∫ ∫ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ dxdy
2 0 0 ⎝ ∂x
∂y ⎠
a b
U =
nπy
2mπx
) sin
a
b
2
a b
Coâng ngoaïi löïc:
A = ∫ ∫ qwdxdy
0 0
Theá naêng toaøn phaàn:
∏= U − A
Duøng nguyeân lyù Lagrange, caùc tham soá Cmn seõ ñöôïc xaùc ñònh döïa vaøo ñieàu
kieän döøng cuûa theá naêng bieán daïng toaøn phaàn:
C12 = C 22 = 0
C11 =
8a 4 b 4 q(32a 2 b 2 + a 4 + 256b 4)
Dπ 5 (120b 2 a 6 + 2560b 6 a 2 + 1072b 4 a 4 + 5a 8 + 1096b 8 )
C 21 =
8a 4 b 4 q (8a 2 b 2 + a 4 + 16b 4)
Dπ 5 (120b 2 a 6 + 2560b 6 a 2 + 1072b 4 a 4 + 5a 8 + 1096b 8 )
Haøm chuyeån vò cuoái cuøng
2
2
w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos
m =1 n =1
nπy
2mπx
) sin
a
b
BAØI TAÄP 6 - CHUYEÅN VÒ TAÁM VUOÂNG NGAØM 2 CAÏN H VAØ
TÖÏA 2 CAÏN H - CHÒU TAÛI PHAÂN BOÁ ÑEÀU - NGHIEÄM RITZ
VAØ PTHH
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
RITZ - m=n=2
SA P2000 - 8x8
SA P2000 - 16x16
-1.2
Nhaän xeùt:
Neáu laáy m = n =2, thì keát quaû nghieäm theo Ritz thu ñöôïc raát gaàn vôùi
nghieäm phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (SAP2000) - sai soá lôùn nhaát 1.3%.
Nhaän xeùt chung:
- Ñoä hoäi tuï cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn nhanh. Chia löôùi 8x8 phaàn töû
vaø chia löôùi 32x32 phaàn töû cho taám thì keát quaû gaàn nhö baèng nhau. Vôùi
taám chòu taûi troïng ít thay ñoåi thì vieäc chia löôùi thoâ hôn vaãn ñaûm baûo ñöôïc
ñoä chính xaùc caàn thieát.
- Nghieäm chuoãi daïng giaûi tích theo Navier hoaëc Levy cho keát quaû raát toát vaø
ñoä hoäi tuï nhanh, tuy nhieân neáu chæ laáy moät soá haïng duy nhaát thì luoân ñoái
xöùng neân khoâng phaûn aùnh ñöôïc thöïc teá baøi toaùn.
- Ñoä chính xaùc cuûa phöông phaùp Ritz phuï thuoäc nhieàu vaøo ñoä daøi cuûa chuoãi
haøm chuyeån vò. Caùc baøi taäp 4, 5, 6 coù giaûi thöû khi laáy m = n = 1 nhöng keát
quaû naøy raát keùm chính xaùc, khi m = n =2 thì keát quaû töông ñoái chính xaùc
hôn.
- Xem thêm -