Tài liệu Bài tập hóa phóng xạ

BÀI 1. HOÁ PHÓNG XẠ 1. ĐỊNH LUẬT CHUYỂN DỊCH PHÓNG XẠ:(1) Khi phân rã  số khối giảm 4 còn số thứ tự giảm 2 đơn vị (A'=A- 4; Z'=Z-2), (2) Khi phân rã - số khối không thay đổi, số thứ tự tăng 1 đơn vị. Các đồng vị thuộc cùng họ phóng xạ có số khối khác nhau 4n (u). Bảng 2.1(L5.1): Họ Thori (A=4n) Thêi gian b¸n H¹t nh©n huû D¹ng ph©n r· 232 10 Th 1,41.10 n¨m  228 Ra(MsTh1) 5,57 n¨m 228 Ac(MsTh2) 6,13 h 228 Th(RdTh) 1,91 n¨m  224 Ra(ThX) 3,66 ngµy  220 Rn(Tn) 55,6 s  216 Po(ThA) 0,15 s  212 Pb(ThB) 10,64h 212 Bi(ThC) 60,6 min , 212 Po(ThC') 3,05.10-7 s  208 Tl(ThC") 3,07 min 208 Pb(ThD) BÒn N¨ng l-îng bøc x¹ cùc ®¹i (MeV) 4,01 0,014 2,11 5,42 5,69 6,29 6,78 0,57 : 6,09; : 2,25 8,79 1,80 Bảng 2.2 (L5.3): Họ urani-radi (A=4n+2) H¹t nh©n 238 U(UI) Th(UX1) 234m Pa(UX2) 234 Pa(UZ) 234 U(UII) 230 Th(Io) 226 Ra 222 Rn 218 Po(RaA) 214 Pb(RaB) 218 At 218 Rn 214 Bi(RaC) 214 Po(RaC') 210 Tl(RaC") 210 Pb(RaD) 206 Hg 210 Bi(RaE) 206 Tl(RaE") 210 Po(RaF) 206 Pb(RaG) 234 1) < 0,1% Thêi gian b¸n huû 4,47.109 n¨m 24,1 ngµy 1,17 min 6,7 h 2,44.105 n¨m 7.7.104 n¨m 1600 n¨m 3,82 ngµy 3,05 min 2,68 min  2s 0,035s 19,8 min 1,64.10-4 s 1,3 min 22,3 n¨m 8,15 min 5,01 ngµy 4,2 min 138,4 ngµy D¹ng ph©n r·      , -1) , -1)  1),  1), 1),  BÒn N¨ng l-îng bøc x¹ cùc ®¹i (MeV) 4,20 0,199 2,30 1,2 4,78 4,69 4,78 5,49 : 6,00 1,02 : 6,76 7,13 : 5,51; -: 3,27 7,69 2,34 : 3,72; -: 0,061 1,31 : 4,69; -: 1,16 1,53 5,31 Bảng 2.3.(L5.4.): Họ actini (A=4n+3) 1) < 5% Bảng 2.4. (L5.2.): Họ neptuni (A=4n+1) H¹t nh©n 237 Np 233 Pa 233 U 229 Th 225 Ra 225 Ac 221 Fr 217 At 213 Bi 213 Po 209 Tl 209 Pb 209 Bi 1) Thêi gian b¸n huû 2,14.106 n¨m 27,0 ngµy 1,59.105 n¨m 7,34.103 n¨m 14,8 ngµy 10,0 ngµy 4,8 min 0,032 s 45,65 min 4,2.10-6 s 2,2 min 3,3 h D¹ng ph©n r·       1),  - N¨ng l-îng bøc x¹ cùc ®¹i (MeV) 4,87 0,25 4,82 4,89 0,32 5,83 6,34 7,07 : 5,87; -: 1,42 8,38 1,83 0,64 BÒn < 2,2% 2. NĂNG LƢỢNG HỌC CỦA PHÂN Rà PHÓNG XẠ VÀ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN Trên cơ sở nguyên lý 2 của nhiệt động lực học, ta biết rằng một quá trình hoá học chỉ có thể tự diễn ra khi nó làm cho hệ chuyển sang trạng thái bền vững hơn về mặt năng lƣợng, nghĩa là trong chuyển hoá ấy, hệ giải phóng một năng lƣợng dƣơng cho môi trƣờng. Quy luật ấy cũng áp dụng cho sự phân rã phóng xạ. Sự phân rã phóng xạ có thể biểu diễn bởi phƣơng trình phản ứng tổng quát: AB + x + E . (2.17) Phƣơng trình này cho biết rằng một nguyên tử A chuyển hoá thành nguyên tử B phát ra một hạt x và giải phóng năng lƣợng E. Sự tính E cho biết khả năng tự diễn ra phản ứng (2.17). E>0 nghĩa là sự phân rã là có khả năng tự xảy ra. Còn E<0 thì ngƣợc lại. E là kết quả của sự chuyển hoá độ hụt khối M thành năng lƣợng. Nhƣ thế, một nuclit có thể tự phân rã nếu khối lƣợng của các sản phẩm của phản ứng phân rã nhỏ hơn khối lƣợng của nuclit ban đầu. Năng lƣợng giải phóng E đƣợc chia cho hạt nhân B và hạt x. Hạt x nhận đƣợc phần năng lƣợng lớn hơn nhiều vì nó có khối lƣợng nhỏ. Trƣờng hợp x là electron (phân rã -) hoặc lƣợng tử  cũng đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình chung (2.17). Khi x= lƣợng tử , các nguyên tử A và B chỉ khác nhau về mức năng lƣợng, quá trình đƣợc gọi là phân rã đồng phân (isomere). Vì: m = mA - (mB + mx) (2.18) Nên theo phƣơng trình Einstein ta có: E =m.c2 . (2.19) Chú ý rằng 1đ.v.C = 1,660566.10-24g; c = 2,997925.108ms-1, nên theo (2.19), sự hụt khối 1đ.v.C phát sinh một năng lƣợng E = 1,49244.10-10J. Trong khoa học hạt nhân ngƣời ta thƣờng sử dụng đơn vị năng lƣợng eV, 1eV = 1,60219.10-19J, rút ra : 1đ.v.C = 931,5 MeV. (2.20) Khi m đƣợc biểu thị qua u (đ.v.C), thì: E =m. 931,5 MeV = m. 931,5x1,602.10-13J (1) Năng lƣợng E của phân rã  tính theo độ hụt khối dựa vào phƣơng trình Einstein: E = (m1 - m2 - m)c2 (2.88) trong đó m1, m2, m lần lƣợt là khối lƣợng của hạt nhân mẹ, con, hạt . Để tính E ngƣời ta cũng thƣờng sử dụng nguyên tử khối (M = m + Zme) của các nuclit mẹ, con và hêli: E = (M1 - M2 - MHe)c2 (2.89) (2) Năng lƣợng của sự phân rã - cũng đƣợc tính dựa vào phƣơng trình Einstein: ΔE = (m1 - m2 - me)c2 (2.97) Trong đó m1, m2, me lần lƣợt là khối lƣợng của hạt nhân mẹ, con và electron. Khối lƣợng của phản nơtrino có thể bỏ qua (< 2.10-7đ.v.C.). Khi thay khối lƣợng hạt nhân bằng nguyên tử khối, (2.97) trở thành: ΔE = [ M1 - Z1 me - M2 + (Z1 + 1) me - me] = (M1 - M2) c2 . (2.98) (3) Phóng xạ +. Khi ấy, một proton trong hạt nhân biến đổi thành một nơtron, một pozitron và một nơtrino, số thứ tự giảm một đơn vị còn số khối không thay đổi. Năng lƣợng phân rã đƣợc tính tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp phân rã -, nhƣng vì Z2 = Z1 - 1 nên ta có : ΔE = [ M1 - Z1 me - M2 + (Z1 - 1) me - me] = (M1 - M2 - 2me) c2 . (2.99) Như vậy, nếu chênh lệch nguyên tử khối của mẹ và con không lớn hơn 2 lần khối lượng electron (tính theo u) thì phóng xạ + không tự diễn biến được Nhƣng ngay cả khi E > 0, sự phân rã có diễn ra hay không lại còn là vấn đề khác. Năng lƣợng học của phản ứng (2.17) đƣợc mô tả bởi sơ đồ ở hình 2.1, ở đó sự chênh lệch về năng lƣợng của hạt nhân mẹ (A) và sản phẩm phân rã (B+x) là E. Cũng giống nhƣ trong phản ứng hoá học, các hạt nhân không bền (A) phải vƣợt qua một hàng rào thế có chiều cao ES để chuyển hoá thành sản phẩm phân rã (B+x). Chỉ những hạt nhân mẹ nào có năng lƣợng cao hơn một lƣợng ES so với năng lƣợng trung bình thống kê EA của tập hợp các hạt nhân A mới vƣợt qua đƣợc hàng rào thế và phân rã đƣợc. Chiều cao của hàng rào thế càng thấp, xác suất phân rã càng cao, tức là tốc độ của sự phân rã phóng xạ càng lớn. Tuy nhiên, sự phân rã phóng xạ không giống hoàn toàn với phản ứng hoá học. Trong phân rã , hạt nhân có thể không cần phải vƣợt qua đỉnh hàng rào thế mà xuyên qua hàng rào nhờ hiệu ứng đƣờng hầm. Xác suất của việc xuyên qua hàng rào thế nhƣ vậy sẽ càng cao khi E càng lớn. N¨ng l¦îng Tr¹ng th¸i Es A E B+ x Hình 2.1. (L5.2) Hàng rào thế trong phân rã phóng xạ Phân rã phóng xạ là một trƣờng hợp riêng của phản ứng hạt nhân: A + x  B + y + E E = (mA + mx – mB – my)c2 (m là khôí lƣợng hạt nhân) Thay m = M – Zme ta có: E = (MA + Mx – MB – My)c2 Khi khôí lƣợng nguyên tử đƣợc biểu diễn qua u (đ.v.C) thì: E = (MA + Mx – MB – My).931,5 MeV = (MA + Mx – MB – My).1,602.10-13. 931,5 J 3. ĐỘNG HỌC PHÓNG XẠ Phân rã phóng xạ tuân theo quy luật động học bậc nhất N=Noe-t ; (2.2) N là số nguyên tử của nuclit phóng xạ đang khảo sát,  là hằng số tốc độ phân rã, No là số nguyên tử của nuclit phóng xạ ở thời điểm t=0. Thời điểm ở đó một nửa số nguyên tử ban đầu đã bị phân rã (N=No/2), gọi là thời gian bán huỷ t1/2, có thể tính đƣợc bằng cách lấy lôgarit 2 vế của biểu thức: N/No=1/2= e-t1/2 (2.3) và thu đƣợc: t1/2=ln2/=0.69315/ (2.4) hoặc: =ln2/ t1/2 . (2.5) Đƣa (2.5) vào (2.2) ta có: N=No(1/2)t/ t1/2 . (2.6) Từ phƣơng trình (2.6) dễ thấy rằng số nguyên tử phóng xạ sau 1lần thời gian bán huỷ còn lại 1/2, sau 2 lần t1/2 còn 1/4, sau 7 lần t1/2 còn 1/128 (tức là ít hơn 1%), sau 10 t1/2 còn 1/1024 (ít hơn 1 phần nghìn) so với lƣợng ban đầu. Một đại lƣợng cũng thƣờng đƣợc sử dụng là đời sống trung bình của hạt nhân phóng xạ , đƣợc định nghĩa theo cách thông thƣờng của các giá trị trung bình: 1    Ndt N0 0 (2.8) Đƣa (2.2) vào (2.8) ta có:     e  t dt  0 1  (2.9) So sánh các biểu thức (2.9) và (2.4) dễ thấy rằng  bằng 1,443 lần thời gian bán huỷ. Đặt giá trị t==1/ vào (2.2) ta thu đƣợc N = N0/e và đƣa ra nhận xét sau đây: thời gian sống trung bình  là khoảng thời gian cần thiết để số nguyên tử phóng xạ giảm đi e lần. Sự khác biệt quan trọng giữa động học của quá trình phân rã phóng xạ với các quá trình hoá học là ở chỗ hằng số tốc độ phân rã, thời gian bán huỷ hoặc thời gian sống trung bình của các đồng vị phóng xạ nói chung không phụ thuộc vào các điều kiện bên ngoài như nhiệt độ, áp suất, trạng thái vật lý hoặc liên kết hoá học. 4.Hoạt độ và khối lƣợng Tốc độ phân rã tính bằng số phân rã, tức là số biến đổi hạt nhân, trong 1 giây cũng đƣợc gọi là hoạt độ phóng xạ A: A=-dN/dt=N. (2.10) Vì thế, quy luật thay đổi hoạt độ phóng xạ theo thời gian cũng chính là quy luật động học đã khảo sát ở mục 3. A=A0.e-t=A0(1/2)t/t1/2, (2.11) Trong đó A0 là hoạt độ phóng xạ ban đầu. Trong hệ SI đơn vị hoạt độ phóng xạ là Becquerel, viết tắt là Bq, đƣợc định nghĩa là 1phân rã trong 1giây, nghĩa là: 1Bq=1s-1 . Trong thực tế, để đo hoạt độ phóng xạ ngƣời ta thƣờng sử dụng đơn vị curi, các ƣớc số và cả các bội số của nó. 1 Ci = 3,7.1010 Bq Phƣơng trình (2.10) cũng cho biết quan hệ giữa hoạt độ và khối lƣợng chất phóng xạ, nó cho phép xác định đƣợc khối lƣợng chất phóng xạ khi đo hoạt độ phóng xạ của nó, hoặc lƣợng chất phóng xạ cần dùng để đạt đƣợc một hoạt độ phóng xạ cho trƣớc. Từ các biểu thức (2.5) và (2.10) rút ra: N A A  .t1 / 2  ln 2 (2.12) hay: m N.M A.M  .t1 / 2 N Av N Av . ln 2 (2.13) với M là nguyên tử gam, NAv là số Avogadro. Là ví dụ minh hoạ ta thử tính khối lƣợng 32P cần thiết để có hoạt độ phóng xạ 1Ci, cho t1/2 của đồng vị này bằng 14,3 ngày. Giải: Số nguyên tử 32P cần thiết để có hoạt độ phóng xạ 1Ci là: 3,7.1010 N .14,3.24.3600  6,6.1016 ln 2 Suy ra khối lƣợng 32P cần có là: m 32.6,6.1016 6,02.10 23  3,5.10  6 g  3,5g Một đại lƣợng quan trọng khác là hoạt độ riêng As của một nguyên tố phóng xạ, đƣợc định nghĩa là hoạt độ phóng xạ của 1 đơn vị khối lƣợng, thƣờng là 1g, nguyên tố ( bao gồm cả khối lƣợng các đồng vị phóng xạ và không phóng xạ: As   Ci  A  Bq  hoÆc g m  g    (2.14) Đôi khi hoạt độ phóng xạ riêng đƣợc quy về một mol hợp chất hoá học chứa nguyên tố phóng xạ: As  A  Bq   Ci  hoÆc  mol  n  mol  (2.15) Chẳng hạn hoạt độ phóng xạ riêng của benzen đƣợc đánh dấu bởi 14C thƣờng đƣợc cho theo đơn vị mCi/mmol=Ci/mol. Sự thay đổi hoạt độ phóng xạ riêng theo thời gian cũng tuân theo phƣơng trình (2.11): - t As  As 0 .e 1  As 0   2 t/t 1/2 (2.16) Trong đó As0 là hoạt độ phóng xạ riêng tại thời điểm t=0 (hoạt độ phóng xạ riêng ban đầu). Trong hoá học thông thƣờng ngƣời ta chỉ quan tâm đến khối lƣợng các chất có mặt trong hệ, nhƣng trong hoá phóng xạ, cũng nhƣ trong các ứng dụng chất phóng xạ, bên cạnh khối lƣợng, hoạt độ phóng xạ riêng là thông tin rất quan trọng. Ngoài ra, bằng cách đồng thời xác định khối lƣợng và hoạt độ phóng xạ ngƣời ta có thể nhận đƣợc những thông tin quan trọng về các quá trình biến đổi vật chất trong hệ khảo sát. 4. CÂN BẰNG PHÓNG XẠ 4.1. Khái niệm về cân bằng phóng xạ Khái niệm cân bằng phóng xạ về thực chất không đồng nhất với khái niệm cân bằng hoá học. Để hiểu rõ khái niệm này chúng ta khảo sát trƣờng hợp quan trọng và thƣờng gặp trong hoá phóng xạ, ở đó một đồng vị mẹ phân rã thành đồng vị con, rồi đồng vị con này lại phân rã tiếp tục. Những biến đổi nhƣ vậy đƣợc biểu diễn bằng sơ đồ: Nuclit 1 Nuclit 2Nuclit 3 (2.21) Tốc độ tích luỹ nuclit con (2) là hiệu giữa tốc độ hình thành đồng vị này do sự phân rã của nuclit mẹ (1) và tốc độ phân rã của con: dN2/dt = -dN1/dt - 2N2 = 1N1- 2N2 (2.22) Thay vào (2.22) biểu thức của N1 rút ra từ (2.2) ta có: dN2/dt + 2N2 - 1N10e-1t = 0 (2.23) Giải phƣơng trình vi phân tuyến tính (2.23) (xem phụ lục 1) ngƣời ta thu đƣợc: N2  1  t N10  e 1  e   2 t   N 02 e   2 t  2  1   (2.24) Giả định rằng ở thời điểm t=0 nuclit con đã đƣợc tách hoàn toàn khỏi nuclit mẹ, tức là N20=0 thì (2.24) trở thành: N2   1 N10 e  1t  e   2 t  2  1  (2.25) Rút ra: N2   1 N10e  1t 1  e  ( 2  1 )t  2  1  (2.26) hay: N2   1 N1 1  e  ( 2  1 )t  2  1  (2.27) Từ (2.27) đễ dàng nhận thấy rằng trong trƣờng hợp 2>1 sau một thời gian t đủ lớn có thể chấp nhận : e (2 1 )t  0 và (2.27) trở thành: (2.28) N2  1 N1  2  1 (2.29) Nghĩa là: N2 1   const N1  2  1 (2.30) Trạng thái ở đó tỷ số nồng độ nuclit mẹ và nuclit con trung gian không thay đổi theo thời gian gọi trạng thái cân bằng phóng xạ. Sự khác nhau căn bản giữa cân bằng phóng xạ với cân bằng hoá học nằm ở chỗ cân bằng phóng xạ không phải là trạng thái của một quá trình thuận nghịch. Từ điều kiện để có các biểu thức (2.29) và (2.30) có thể đƣa ra 4 trƣờng hợp sau đây: (1) 2>>1 cũng có nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t1/2(1) rất lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t1/2(2), hệ sẽ nhanh chóng đạt đƣợc cân bằng phóng xạ. Đây là trƣờng hợp cân bằng thế kỷ. (2) 2>1 nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t1/2(1) tuy lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t1/2(2) nhƣng tốc độ phân rã của mẹ cũng không thể bỏ qua. Đó là trƣờng hợp cân bằng tạm thời. (3) 2<1 nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t1/2(1) nhỏ hơn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t1/2(2), khi ấy không thể rút gọn (2.27) thành (2.29) và (2.30), hệ không thể đi đến trạng thái cân bằng phóng xạ. (4) Và cuối cùng là trƣờng hợp 21 nghĩa là t1/2(1)  t1/2(2). Sau đây, từng trƣờng hợp nói trên sẽ đƣợc mô tả chi tiết hơn. 4.2. Cân bằng phóng xạ thế kỷ Khi t1/2(2) <>1 có thể chấp nhận 2-1 2 và phƣơng trình (2.27) trở thành: N2/ N1 = 1/ 2 = t1/2(2)/ t1/2(1) . (2.32) Từ (2.32) rút ra: 2 N2 = 1 N1 (2.33) A2 =A1 (2.34) hay: ở đây A2 = 2 N2; A1 = 1 N1 là hoạt độ phóng xạ . Nhƣ thế khi đạt đến cân bằng phóng xạ, tỷ số giữa số nguyên tử của nuclit con và mẹ luôn luôn là hằng số và hoạt độ phóng xạ của mẹ và con luôn luôn bằng nhau. Cân bằng phóng xạ nhƣ vậy đƣợc gọi là cân bằng thế kỷ. Vì 1<<2, nghĩa là sự phân rã của nuclit mẹ có tốc độ rất nhỏ, trong một khoảng thời gian nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ là không thay đổi: N1 = N10 = const. (2.35) N2 = N11/ 2 = N101/ 2 = const. (2.36) Suy ra: Nhƣ vậy, khi đạt đến cân bằng phóng xạ, trong một khoảng thời gian nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ, số nguyên tử của nuclit con, hoạt độ phóng xạ của mẹ và con là không thay đổi. Các phƣơng trình (2.32) và (2.34) có nhiều ứng dụng thực tế rất quan trọng bởi vì nó không chỉ đúng cho các nuclit con trực tiếp mà cho các nuclit con cháu bất kỳ của một dãy phóng xạ, nếu các điều kiện để có cân bằng phóng xạ đƣợc thoả mãn. (1). Tính thời gian bán huỷ của các nuclit có thời gian bán huỷ quá dài, khi mà việc xác định thời gian bán huỷ gặp khó khăn do sự thay đổi hoạt độ phóng xạ không thể đo đƣợc bằng thực nghiệm. t1/ 2 (1)  N1 t1/ 2 (2) N2 (2.37) (2). Tính hàm lƣợng của các nuclit nằm trong cân bằng phóng xạ của một dãy. m 2 M 2 N 2 M 2 t 1 / 2 (2)  .  . m1 M1 N1 M1 t1 / 2 (1) (2.38) trong đó M1, M2 là nguyên tử lƣợng. (3).ứng dụng trong phân tích, chẳng hạn xác định hàm lƣợng đồng vị mẹ trong khoáng vật thông qua đo hoạt độ phóng xạ của nuclit con. Để xác định hàm lƣợng urani trong quặng ngƣời ta có thể tiến hành đo hoạt độ của Th-234 hoặc Pa-234m (Pa là kí hiệu của nguyên tố protactini). Hàm lƣợng rađi trong mẫu có thể đƣợc xác định với độ nhạy rất cao nhờ đo rađon nằm ở cân bằng phóng xạ với rađi. Công thức tính khối lƣợng của nuclit mẹ từ hoạt độ phóng xạ của nuclit con có thể rút ra trực tiếp từ các phƣơng trình (2.10) và (2.34): m1  M1 A2 . .t1 / 2 (1) N Av ln 2 (2.39) 4.3. Cân bằng phóng xạ tạm thời Cân bằng phóng xạ tạm thời xảy ra khi 2>1 nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t1/2(1) tuy lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t1/2(2) nhƣng tốc độ phân rã của mẹ cũng không thể bỏ qua. Để tiện lập luận chúng ta nhắc lại với giả thiết tại t=0 nuclit con đƣợc tách hoàn toàn khỏi nuclit mẹ, tức là N20 = 0 và trở lại với phƣơng trình (2.27) N2   1 N1 1  e  ( 2  1 )t  2  1  Khi t là đủ lớn, trong thực tế thƣờng lấy t  10 (2.27) t1 / 2 (1).t1 / 2 (2) , t1 / 2 (1)  t1 / 2 (2) e-(2 -1)t trở thành đủ nhỏ so với 1, ta có: N2  1 N1  2  1 (2.40) và rút ra: t1/2 (2) N2 1   N1  2  1 t1/2 (1) - t1/2 (2) (2.41) Nhƣ vậy tỷ số giữa số nguyên tử (cũng là tỷ số khối lƣợng) của hai nuclit mẹ và con trở thành hằng số, không thay đổi theo thời gian, hệ đã đạt đƣợc cân bằng phóng xạ. Dựa vào định nghĩa hoạt độ phóng xạ cho bởi phƣơng trình (2.10) và phƣơng trình (2.41) dễ dàng tìm thấy: t (2) A1 1N1    1  1  1  1/ 2 A2  2 N 2 2 t1 / 2 (1) (2.42) Có thể thấy rằng khác nhau cơ bản của cân bằng tạm thời với cân bằng thế kỷ là ở chỗ khi đạt đến cân bằng tạm thời hoạt độ của nuclit mẹ luôn nhỏ hơn hoạt độ phóng xạ của nuclit con, trong khi ở cân bằng thế kỷ hai hoạt độ phóng xạ này luôn luôn bằng nhau. Các biểu thức rút ra đƣợc từ việc nghiên cứu trạng thái cân bằng phóng xạ tạm thời cũng có các ứng dụng tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp cân bằng thế kỷ, sự khác nhau chỉ ở dạng cụ thể của các phƣơng trình tính toán mà thôi. Thay cho các phƣơng trình (2.37), (2.38), (2.39), ở đây ta có: N  t1 / 2 (1)  t1 / 2 (2) 1  1  N2  (2.43) t 1 / 2 (2 ) m2 M2 N2 M2  .  . m1 M1 N1 M1 t1 / 2 (1)  t1 / 2 (2) m1  (2.44) M1 A2 . .t1 / 2 (1)  t1 / 2 (2) N Av ln 2 A= A1 + A2 A1 2 10 (2.45) Ho¹t ®é A A2 10 A2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Thêi gian t/t1/2 Hình 2.2.( L5.9) Sự phụ thuộc thời gian của hoạt độ phóng xạ tổng cộng và hoạt độ phóng xạ riêng rẽ của các nuclit trong cân bằng thế kỷ. A= A1 + A2 Amax 2 10 A2max Ho¹t ®é A A1 10 A2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Thêi gian t/t1/2 Hình 2.3.(L5.10) Sự phụ thuộc thời gian của hoạt độ phóng xạ tổng cộng và hoạt độ phóng xạ riêng rẽ của các nuclit trong cân bằng tạm thời. Hình 2.2 và 2.3 cho thấy rõ sự khác nhau căn bản của cân bằng thế kỷ và cân bằng tạm thời. Khi đạt đến cân bằng thế kỷ hoạt độ phóng xạ của các đồng vị mẹ và con luôn luôn bằng nhau và không thay đổi. Trong trƣờng hợp của cân bằng tạm thời, đƣờng biến thiên hoạt độ A1 chỉ cắt A2 tại 1 điểm A2max , còn khi đạt tới cân bằng, các hoạt độ này không bằng nhau và luôn luôn giảm. (Chú ý: Trục tung của các đồ thị đƣợc chia theo thang logarit) 4.4. Phân rã nối tiếp trong trƣờng hợp tổng quát Đối với trƣờng hợp một dãy phóng xạ có n nuclit, phân rã theo sơ đồ tổng quát sau: Nuclit 1 Nuclit 2 Nuclit 3 Nuclit 4... Nuclit n (2.55). Nếu thời gian bán huỷ của nuclit mẹ là rất lớn hơn so với các nuclit con cháu, tức là: 1 << 2, 3, ..., n , Có thể chứng minh đƣợc các các phƣơng trình đã đƣa ra trong mục 4.2. khi nghiên cứu cân bằng thế kỷ: N n 1 t1 / 2 (n)   N1  n t1 / 2 (1) (2.67) và: An = A1 (2.68) Nhƣ thế các phƣơng trình (2.32) và (2.34) về trạng thái cân bằng thế kỷ không chỉ áp dụng cho nuclit con trực tiếp mà cho bất kỳ con cháu nào của họ phóng xạ bao gồm các phân rã nối tiếp nhau. Các ứng dụng trình bày trong mục 4.3. cũng đúng cho các con cháu không trực tiếp này. 2.5. Động học của phân rã rẽ nhánh Phân rã rẽ nhánh là sự phân rã phóng xạ diễn ra theo sơ đồ nguyên tắc dƣới đây: ab B ac c   B  A   C  (2.69) ab là tốc độ phân rã của nuclit A theo hƣớng tạo thành nuclit B; ac là tốc độ phân rã theo hƣớng tạo thành C; B; C là các hắng số tốc độ phân rã của các nuclit B và C. Tốc độ phân rã của A bằng tổng các tốc độ phân rã theo các hƣớng tạo thành B và C: -dNA/dt = ab NA + ac NA = (ab + ac)NA = ANA (2.70) Sự tích phân phƣơng trình vi phân (2.70) cho ta: NA = NA0e-(ab + ac)t (2.71) A có thể phân rã theo nhiều nhánh khác nhau với các tốc độ riêng rẽ khác nhau, nhƣng A chỉ có một thời gian bán huỷ t1/2(A): t 1 / 2 ( A)  ln 2 ln 2   A  ab   ac (2.72) Tốc độ tích luỹ của nuclit B và C bằng hiệu số giữa tốc độ hình thành (do sự phân rã của A) với tốc độ phân rã của chúng: dN B   ab N A   B N B dt (2.73) Với nuclit C ta cũng có phƣơng trình tƣơng tự: dN C   ac N A   C N C dt Thay (2,71) vào (2.74) ta đƣợc phƣơng trình : (2.74) dN B   ab N 0A e  ( ab   ac )t   B N B dt (2.75) Sự tích phân phƣơng trình vi phân (2.75) với các điều kiện đầu NB = 0 khi t=0 cho ta: NB    ab N 0A e  ( ab   ac )t  e   B t  B  ( ab   ac )  (2.76) Phƣơng trình (2.76) có dạng hoàn toàn tƣơng tự với phƣơng trình (2.25) của trƣờng hợp phân rã không rẽ nhánh đã khảo sát ở mục 2.3.4. Với nuclit C ta cũng có phƣơng trình tƣơng tự. Khi nuclit mẹ có đời sống dài hơn nhiều so với nuclit con, tức là khi ab + ac = A << B , phƣơng trình (2.76) có thể rút gọn thành: