Tài liệu Bài tập hình học lớp 12

  • Số trang: 18 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 90 |
  • Lượt tải: 0
vndoc

Đã đăng 7399 tài liệu

Mô tả:

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ. A C B Giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ. Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông tại H có: Sin A’ = A’ 60 0  AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60 = 0 C’ H AH AA' b 3 2 Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là: h = B’ a 3 2 1 3a 2 a.h  2 4 1 3 2 Thể tích ABC.A’B’C’: V = .AH. SA’B’C’ = a b 3 8 Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ = Bài 2: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. S Giải: Kẻ SH  (ABC) Gọi I là giao điểm của AH và BC Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC. C A H B I  AI = a 3 3 2 2 a 3  AH = AI =  a 2 3 3 2 3 Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 600. Xét tam giác SAH vuông tại H ta có: tan 600 = SH  SH  AH. tan 60 0 = a AH 1a 3 3 2 1 AI.BC = a a 2 2 2 4 3 2 3 3 1 1 Thể tích khối chóp: V = SH. SABC = a  a  a 3 3 4 12 Diện tích tam giác ABC: SABC = Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 1 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a, SB' 2  SB 3 a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Giải a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P). Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD. S C’ D’ E H’ D B’  BD  SH  BD  (SAC)  BD  SC.  BD  AC Do mp (P)  SC  BD // mp (P) H A C B BD //( P)   Do  BD  (SBD)  BD // B' D' (P)  (SBD)  B' D'  SD' SH ' SB' 2    , H’D’ = H’B’ va B’D’  AC’ SD SH SB 3 SC' 2 Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. Khi đó: EC’ = EC,  SE 3 SE  SC' 1 EC'     SC’ = 2EC’ = CC’ SE 3 SE V 2 2 4 V 2 2 1 2 Ta có: S.AB'D'    , S.B'C 'D '     VS.ABD 3 3 9 VS.BCD 3 3 2 9 V Ta có: VS.ABD = VS.BCD = S.ABCD 2 1 4 2 V  VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ =    S.ABCD  VS.ABCD 2 3 9 9  b) Theo cm trên: AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC nên SA = AC  tam giác SAC đều  SH = VS.ABCD = 3 3 6 AC  a 2 a 2 2 2 6 3 6 3 1 6 3 a  a  VS.AB’C’D’ = a 3 2 6 18 Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi a = AB . Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón. 2 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 2 Học Thêm Toán A BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Giải Xét tùy ý đường thẳng d đi qua điểm A. Theo gt: A cố định  d đi qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định Trong mp (d, AB) kẻ BH  d tại H Gọi  = HAB Xét tam giác vuông ABCH ta có: H B d Sin  = (1) BH a 1 0     = 30 . AB AB 2 Vậy  không đổi (2) Từ (1) và (2) suy ra d luôn nằm trên một mặt nón đỉnh A, nhận AB làm trục và có góc ở đỉnh 2 = 600. Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. Giải B A O D Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r = C a 2 2 Độ dài đường sinh: l = a 5 a a2     2 2 Diện tích xung quanh của khối nón: A’ B’ O’ D’ C’ a a 5 a 2 5 Sxq =  rl   2 2 4 2 1 2 a  a 3 1 2 Thể tích khối nón: V = r h = r   a  3 3 12  2 Bài 6: Cho đường tròn (C) trong mp (P). Từ một điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuông góc với mp (P). Chứng minh đường thẳng d nằm trên một mặt trụ.  Giải Gọi  là đường thẳng vuông góc với mp (P) tại O Gọi r là bán kính của (C). O Do  d P M  d  (P)  d //    ( P ) Khoảng cách giữa d và  là: d(d, ) = OM = r: không đổi Vậy d nằm trên mặt trụ trụ  bán kính r Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 3 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Bài 7: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ) c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối trụ. Tính tỉ số của V và V’. Giải a) Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên đường sinh l bằng đường cao h l = h = 2r. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2 r l = 4 r2. Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2B = 6 r2. b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Ta có: ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy nên: AB = r 2 Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.SABCD = 4r3. c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2 r3 B A O C D B’ A’ O’ C’ D’ Vậy: V 2  V'  Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho. B A D C Bán kính r = O A’ B’ D’ Giải Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’. Ta có: O cách đều các đỉnh của hình lập phương Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O, AC' 2 AC’ = a 3  r = a 3 2 C’ Bài 9: Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện. D O A C B Giải Gọi O là trung điểm DC Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC   DAC vuông tại A  OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC  BA, BC  DA  BC  (ABD)  BC  BD  OB = CD/ 2 (2) Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 4 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2. Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp. S A C H Giải Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Do SABC là hình chóp đều nên tâm O của mặt cầu nằm trên SH. Gọi I là trung điểm của SA. Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH tại O Khi đó: O là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp. Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta có: SA 2 SO SI SA    SO = r SA SH 2SH 2SH B 2  2a 3   nên SH = Mà SH = SA  AH = b    3 . 2   2 Vậy: r = 2 2 2 3b 2  a 2 1  3b 2  a 2 3 3 SA 2 b2 3b 2  = 2 2SH 2 3b 2  a 2 3b 2  a 2 3 Bài 11: Cho mặt cầu S(O,r) và một điểm a biết OA = 2r. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D. Cho biết CD = r 3 a) Tính AB b) Tính khoảng cách từ O đến CD. C A D B H O Giải a) Ta có: AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB  OB  AB = OA 2  OB 2  4r 2  r 2  r 3 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD. Ta có: OC = OD = r Nên tam giác OCD cân tại O Do H là trung điểm của CD nên HC = CD r 3  2 2 Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với 2 OH = r 3 r   OC  HC  r    2  2  2 2 2 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 5 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Bài 12: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mp(ABC). Tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Giải a) Gọi O là trung điểm DC Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC   DAC vuông tại A  OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC  BA, BC  DA C  BC  (ABD)  BC  BD  OB = CD/ 2 (2) Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2. D O A B r= 5a 2 1 1 1 CD  AD 2  AC 2  AD 2  AB 2  BC 2 = 2 2 2 2 b) Diện tích mặt cầu: S = 4 r2 = 50 a2 4 3 125a 3 2 Thể tích của khối cầu tương ứng: V =  r = 3 3 Bài 13: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. a) Hạ AK  A1D ( K  A1 D) . Chứng minh AK = 2 b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1. A x x B x 2 D C x K h 5 A1 D1 B1 C1 Giải: a) Chứng minh AK = 2: AB  (ADD1A1)  AB  AK và Gt: AK  A1D  AK là đoạn vuông góc chung của AB và A1D Vậy AK = d  AB, A1D   AK  2 b) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1: Đặt h = AA1 là chiều cao của khối lăng trụ; x là cạnh đáy hình vuông. Gt AK = 2; A1D = 5 DAA1 vuông tại A có AK là đường cao nên: AK.A1D = AD.AH  10  x.h và AD2 + AA12  A1D 2  x 2  h 2  25  x 2  h 2  25 ( x  h)2  45  x  h  3 5   xh  10 xh  10  xh  10   Giải hệ:  Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 6 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay  x  2 5; h  5  V  x 2 h  20 5   x  5; h  2 5  V  x 2 h  10 5   450 Bài 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và BAD Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2. D1 A1 Giải:  Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = C 1 AC  (DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) = B 1 DB C1 0   1v  AC  CC .cot C  ACC1 , C 1 1 AC  2.cot 45  2 B1 2 3 0   1v  BD  BB .cot B  DBB1 , B 1 1 DB  2.cot 60  3 Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y 2 ADC có : AC 2  AD 2  DC 2  2.AD.DC.cos  ADC D A  4  x 2  y 2  2 xy cos1350  x 2  y 2  2 xy cos 450 (1)  BCD có : BD 2  BC 2  CD 2  2.BC.CD.cos BCD 4  x 2  y 2  2 xy cos 450 (2) 3 16 8 Từ (1) và (2)   2( x 2  y 2 )  x 2  y 2  thay 3 3  C vào (2) có: B 4 8 2 4   2 xy.  xy  3 3 2 3 2 1 xy 2 4 2 2 S ABCD  2.S BCD  2. BC .CD.sin C  xy.sin 450   .  2 2 3 3 2 2 2 4 Vậy V = SABCD. CC1= .2  (đvdt) 3 3 Bài 15: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 2 . Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = 3 , góc  A1 AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1 AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ. Giải: Gt: ( A1 AB)  ( ABC ) . Từ A1 dựng A1H vuông góc AB tại H thì A1H  ( ABC )  A1H là chiều cao lăng trụ. Đặt A1H = h Dựng HK  AC tại K (HK // BC) .  AKH cũng vuông cân tại K  AH  HK . 2  Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 h 2 3 Trang 7 Học Thêm Toán A1 B1 BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay   1v  A H 2  HA2  A A2 A1 HA, H 1 1 2h 2 3  3  5h 2  9  h  3 5 1 1 3 3CA2 V  S ABC . A1 H  CA.CB.h  CA2 .  2 2 5 2 5 ACB có : AC 2  CB 2  AB 2  2 AC 2  2 3  AC 2  1 . Vậy V = (đvdt) 2 5  h2  C1 h 3 2 A H B K C Bài 16: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tan  và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C. Giải: * Tính tan  : + Gọi H là tâm tam giác đều ABC. Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H. + Gọi M là giao điểm của AH với BC thì AM  BC. Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b  A ' M  BC  Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là:   AMA'  A’HM vuông tại H (vì A’H  (ABC)) '  A ' H  tan   tan AMA MH C’ A’ B’ b  ABC đều có cạnh a nên AM = a  AH  A’H = A C a H 3 2 2 a 3 1 a 3 AM  ; MH  AM  ; 3 3 3 6 a2 3b 2  a 2 2 2 2 A ' A  AH  b   3 3 3b2  a 2 a 3 2 3b 2  a 2 Vậy tan   :  3 6 a * Tính thẻ tích V của khối chóp A’.BB’C’C: M B Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 8 Học Thêm Toán V  VA' B 'C '. ABC  VA'. ABC a 2 3b 2  a 2 V 6 BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay 1 2 2  1 a 3  3b 2  a 2  S ABC . A ' H  S ABC . A ' H  S ABC . A ' H   a. . 3 3 3 2 2  3 (đvtt)  Bài 17: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc AS B  2 . Hãy tính thể tích khối chóp. Giải: Tính VS.ABC : + Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC). Vì: SA = SB = SC  HA = HB = HC  H là tâm của tam giác đều ABC. + Gọi M là giao điểm của CH và AB thì M là trung điểm của AB và SM  AB. + Đặt AB = 2x  AM = BM = x (x > 0)    BSM    (00    900 ) + gt: AS B  2  ASM S A C H M   1v  SM  AM cot AS  + ASM, M M  x cot  MH = 1 1 3 1 3 x 3 CM  AB.  .2 x.  3 3 2 3 2 3 2 B   1v  SH 2  MH 2  SM 2  h 2  x  x 2 cot 2  + SHM, H 3 2 x VS . ABC 3h 3cot 2   1 1 1 1 1 2x 3 3 3h 3  2  S ABC .SH   AB.CM  .h  h.2 x.  x h.  3 3 2 6 2 3 3cot 2   1  (đvtt) Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA  ( ABC ) , SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất. Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất: S + gt: SA  ( ABC ) & AC  CB  SC  CB  (00    900 ) + Gọi    ( SCB), ( ABC )     SCA    SA  SC .sin SCA  a sin  + SAC , A  1v     acos  AC  SC.cos SCA a 1 3 1 1 3 2 1 6 + VS . ABC  S ABC .SA  . AC 2 .SA  a 2 cos 2 .a sin  A B C 1 VS . ABC  a 3cos 2 .sin  6 + Xét hàm số: f ( )  cos 2 .sin  , 00    900 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 9 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay 2 3 2 f '( )  2cos  .sin   cos   2cos  (1  cos  )  cos3  3cos3   2cos   cos  Vì: 00    900  cos  0  cos   3cos  2  3cos  2   3cos  2  0 2    ; 3 Do đó: f '( )  0  3cos  2  0  cos    2 0 ; 0    900   cos  3   Lập bảng biến thiên hàm số f(  ) trên khoảng  00 ; 900  : 00  f’(  )   0 + 900 -  fmax f(  ) 0 0 Ta có f(  ) lớn nhất  cos  2 . 3 Vậy thể tích S.ABC lớn nhất  f(  ) lớn nhất  cos  2 . 3 Bài 19: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất ? Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất: S K B C N M O A D + Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD. + Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD với M  CD và N  AB. + CD  (SMN), trong (SMN) vẽ NK  SM, khi đó NK  CD  NK  (SCD). Vậy NK = d  N , ( SCD)  + Vì AB//CD  AB//(SCD)  d  A, (SCD )  = NK = 2a. Ta có: SM  CD và MN  CD      ( SCD ), ( ABCD)   SMN   1v  MN  NKM , K NK 2a a   OM   sin  sin  sin NMK   1v  SO  OM tan   a + SOM , O cos 1 1 1 4a 2 a 4a 3 2 + VS . ABCD  S ABCD .SO  MN .SO  . 2 .  3 3 3 sin  cos 3sin 2  cos Vậy VS . ABCD nhỏ nhất  f ( )  sin 2  cos lớn nhất, với 00    900 f '( )  2cos2 .sin   sin3  2sin  (1 sin2 )  sin3  2sin   3sin3  Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 10 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay  2  2   3sin    sin    sin    3  3   2 2 2 f '( )  0   sin   0  sin     arcsin 3 3 3 0 0 Lập bảng biến thiên hàm số f(  ) trên khoảng 0 ; 90 :   00 f’(  ) arcsin  + 2 3 0  900 -  fmax f(  ) 0 0 Ta có f(  ) lớn nhất    arcsin 2 . 3 2 . 3 Vậy thể tích S.ABCD nhỏ nhất  f(  ) lớn nhất    arcsin Bài 20: Khối chóp S.ABC có SA  ( ABC ) ; đáy là ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD = a, cạnh SB tạo với đáy một góc  và tạo với mặt (SAD) góc  . Tính thể tích khối chóp. Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC: + SA  (ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên (ABC) S  ABS     SB, ( ABC )  + BC  AD và BC  SA  BC  (SAD) nên SD là hình      SB, ( SAD )  chiếu của SB trên (SAD)  BSD + SAB, A  1v  AB  SB.cos   1v  BD  SB.sin + SDB, D   1v  AD 2  AB 2  BD 2 + ADB, D A C D  a 2  SB 2 (cos 2  sin 2  )  SB  Vậy BD  a cos 2  sin 2  a sin  cos 2  sin 2  B SA = SB sin   a.sin  cos 2  sin 2  1 1 AD.BC 1 VS . ABC  .S ABC .SA  . .SA  . AD.BD.SA 3 3 2 3 1 a sin  a sin  1 a 3 sin  sin   a. .  . 2 2 3 cos2  sin 2  cos 2  sin 2  3 cos   sin  (đvtt) Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 11 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Bài 21: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ . Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’: + Trong (SBD) gọi I là giao điểm của B’D’ và SO. Trong (SAC), gọi C’ là giao điểm của AI với SC thì: S C’là giao điểm của (AB’D’) với SC + SAB  SAD  SB  SD SA2 SA2 SB ' SD ' + SB '    SD '   (*) SB SD SB SD 2a C’ D’ + VS,AB’C’ + VS.AC’D’ = VS.AB’C’D’ 1 1 VS.ABCD = V (đặt VS.ABCD = V) 2 2 2VS . AB 'C ' SB ' SC ' SB ' SC '  . hay:  . V SB SC SB SC + VS,ABC = VS.ACD = I B’ A D O B a C VS . AB ' C ' VS . ABC Tương tự: 2VS . AC ' D ' SD ' SC ' SB ' SC '  .  . (do SD  SB ) V SD SC SB SC SB '.SC ' SB '.SC ' 2a 3  2VS . AB ' C ' D '  2 .V  2. . SB.SC SB.SC 3 SB '.SC ' 2a3 . SB.SC 3 SA2 SB ' SA2 4a 2 4a 2 4 Vì: SB '       2 2 2 2 2 SB SB SB SA  AB 4a  a 5 + Ta có: BC  AB & BC  SA  BC  ( SAB)  BC  AB ' . Mặt khác: SB  AB ' Vậy AB '  ( SBC )  AB '  SC ; tương tự: AD '  SC  SC  ( AB ' D ')  SC  AC '  VS . AB ' C ' D '  Tam giác SAC vuông tại A và AC’ là đường cao nên: SC ' SA2 4a 2 4a 2 2     2 2 2 2 2 SC SC SA  AC 4a  2a 3 3 3 4 2 2a 16a  . .  5 3 3 45 SC’.SC = SA2   VS . AB ' C ' D ' Bài 21: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 2 . Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = 3 , góc  A1 AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1 AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ. Giải: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1 + Gt: ( A1 AB)  ( ABC ) . Từ A1 dựng A1H  AB tại H  A1 H  ( ABC )  A1H là chiều cao lăng trụ. Đặt A1H = h Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 12 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay A1 B1 2 C1 h  HK  A1H .cot  A1KH  h cot 600  3 h 3 + Dựng HK  AC tại K (HK//BC) thì  AKH cũng vuông cân tại K. HK là hình chiếu của A1K trên (ABC) mà AC  HK nên AC  A1K. Vậy  ( A1 AC ), ( ABC )    A1 KH  600 .  A1HK vuông tại H:  AHK vuông cân tại K  AH  HK 2  A H B h 2 3  A1HK vuông tại H  A1 H 2  HA2  A1 A2  h2  K 2h 2 3  3  5h 2  9  h  3 5 C 1 1 3 V  S ABC . AH  .CA.CB.h  CA2 . 2 2 5 2 2 2  ABC , C  1v  AC  CB  AB  2 AC 2  2  AC  1 3 Vậy V  (đvtt) 2 5 Bài 22: (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia  đối của tia BA sao cho ECM   (  90 0 ) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a;  và tìm  để thể tích đó lớn nhất. Giải: * Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ: + Gọi V là thể tích khối tứ diện EHIJ. Ta có: 1 S .h , với S là diện tích IHE và h là chiều cao của khối tứ diện. 3 1 1 + GT suy ra IJ// SE và IJ= SE  .2a  a ; Vì SE  ( ABC )  IJ  ( IHE ) . Vậy h = IJ = a 2 2 1  EBC vuông tại B có EB = AB = a; BC = 2a nên EC = BC 2  BE 2  (2a )2  a 2  a 5 2 + Vì SE  (ABC) nên HE là hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC), do SH  CM nên   ECM   EH  CM. Vậy tam giác CHE vuông tại H và có ECH V=   a 5.cos  CH  CE.cos ECH Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 13 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay S 1 1  SECH  CE .CH .sin   .a 5.a 5cos .sin  2 2 2 5a  .sin 2 4 J Do I là trung điểm của CE C A I H E 1 5a 2 nên S = S ECH  .sin 2 2 8 5a 3 Vậy V = .sin 2 24 * Tìm  để thể tích V của khối tứ diện EHIJ lớn nhất: 5a 3 5a 3 Ta có: V = .sin 2  (do sin 2  1) . 24 24 Vậy V lớn nhất  sin 2  1  2  900    450 B M Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA  a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện SAMC và côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC. Giải: * Tính thể tích của khối tứ diên SAMC: + Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta có: V = V1 - V2 + SA  (ABCD) nên SA là chiều cao của khối S chóp S.ACD. Vậy V1 = M 1 1 1 a3 3 SA.S ACD  .a 3. AD.DC  3 3 2 6 Gọi H là trung điểm của AD thì MH//SA nên 1 3 SA  a 2 2 1 1 3 1 a3 3 V2 = MH .S ACD  .a . AD.DC  3 3 2 2 12 3 3 3 a 3 a 3 a 3 Vậy V =   6 12 12 MH  (ABCD) và MH = A H D O B * Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC: C Ta có: MO là đường trung bình của tam giác SBD nên: 1 2 MO = SB  1 1 SA2  AD 2  3a 2  a 2  a và MO//SB nên góc giữa SB và AC là góc giữa 2 2 OM và AC Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 14 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay 1 a 2 3a 2 a 2 2 2 OA = AC  ; AM  AH  MH   a 2 2 4 4 a2  a2  a2 2 2 2 OA  OM  AM 1 Trong tam giác OAM có: cos  AOM   2  2.OA.OM a 2 2 2 2. .a 2 1 Vậy cos  SB, AC   cos  OM , OA  2 2 Bài 24: Cho hình trụ có đáy là đường tròn tâm O và O’, tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o, tính thể tích khối trụ. Giải: Ta có: A ' A  ( ABCD)  A ' D có hình chiếu trên (ABCD) là B' AD. Do BC  AD  BC  A’D A' ( A ' B ' CD )  ( ABCD)  BC  A ' D  ( A ' B ' CD ); BC  ( ABCD)  ( A ' B ' CD ); ( ABCD )   A ' DA  600 Vì:   B   OAD vuông cân nên AD  OA 2  R 2 A C D Gọi h là chiều cao của hình trụ. 0  ADA’ có h = AA’=AD.tan60 = R 6 Thể tích khối trụ là V =  R 2 h   R 2 .R 6   R3 6 (đvtt) Bài 25: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, có cạnh AB = a 3 và các cạnh 2 còn lại đều bằng a. A Giải: Gọi I là trung đểm cạnh CD D I M B C AI  CD  BI  CD Gt    (1) a 3  AB 2   ABI  là mp trung trực cạnh CD . Gọi M là giao điểm của BI với mặt cầu S  ngoại tiếp tứ diện ABCD . , AI  BI   Đường tròn lớn của S  là đường tròn  ABM  . Mặt phẳng BCD  cắt S  theo đường tròn BCD  qua M, hơn nữa BM là đường kính. a 2a  BM   0 sin 60 3 13 (1)  ABI đều   ABM = 600 ; AM  AB 2  BM 2  2 AB.BM cos 60 0  a 12 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 15 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay AM a 13 4 13 13 3 R   V  R 3  a 0 2 sin 60 6 3 162 Bài 26: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy bằng R. Điểm M  SO là tâm đường tròn (C). 1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C). 2.Tìm x để thể tích này lớn nhất Giải: S Ta có SM R ' h  x R' R     R '  ( h  x) SO R h R h Thể tích khối nón: 1 3 1 3 V= R '2 .SM   (C) M R2 1 R2 3 2 ( h  x ) . x   2 ( x  2hx 2  h 2 x ) 2 3 h h 1 R2 V =  2 3x 2  4hx  h 2 , V’ = 0  3 h  ’   x  h3 x= h (loại)  x  h h O Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max  x = 3 Bài 27: Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là l, bán kính đường tròn đáy là r. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón). 1. Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I; 2. Giả sử độ dài đường sinh của nón không đổi. Với điều kiện nào của bán kính đáy thì diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất? Giải: +) Gọi rC là bán kính mặt cầu nội tiếp nón, và cũng là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB. S Ta có: S SAB  prC  (l  r ).rC  l  rC  I A M l 2  r 2 .2r l r r 2(l  r) l r 2 2 +) Scầu = 4 r C  4 r r +) Đặt: y(r)  B 1 SM . AB 2 l r l .r 2  r 3  4 lr lr lr2 r3 ,0  r l ; l r Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 16 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay   5 1 l r  2r(r  rl l ) 2  y '(r)  0 (l  r)2  5 1 l r   2 +) BBT: r 5 1 l 0 2 2 l 2 y'(r) y(r) ymax +) Ta có max Scầu đạt  y(r) đạt max  r 5 1 l 2 Bài 28: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2  . Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V. Giải: Ta có Stp= Sxq+2Sđ = 2xy  2x 2  2 ( xy  x 2 ) ; (x > 0) Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2) = 2  xy+x2 =1  y = 1 x2 . x Hình trụ tồn tại y > 0 (với x > 0)  1- x2 > 0  0 < x < 1. Khi đó V(x) =  x2y =  x(1- x2) =  ( -x3 + x) 2 1  x Khảo sát hàm số V(x) trên với x  (0;1) ta được giá trị lớn nhất của V = 3 3 3 Bài 29: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động. Biết  AOM   , góc tạo bỡi hai mặt phẳng (SAM) và (OAM) có số đo bằng β và khoảng cách từ O đến (SAM) bằng a. Tính thể tích khối nón theo a, α, β. Giải: Gọi I là trung điểm AM ∆SAM cân nên SI  AM ∆OAM cân nên OI  AM (C) H O I A (OAM )  OI , OI  AM  Góc tạo bỡi hai mặt phẳng  ( SAM )  SI , SI  AM  (SAM) và (OAM) bằng SIO MA  OI và MA  SO  MA  ( SOI )  ( SAM )  (SOI ) Và ( SAM )  ( SOI )  OI Kẽ OH  OI  OH  ( SAM )  d  O, (SAM )   OH  a   1v  OI  OH  a OHI , H sin  sin  OI a OMI , I  1v  OM   =R   cos cos .sin  2 2 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 17 Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay a cos 1  a V= SO. .OM 2  . . 3 3 cos  SO = OI tan  = a2 a 3    cos 2 sin 2  3 sin 2  cos  cos 2 2 2 Bài 30: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI = h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C). 1) Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). 2) Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất. Giải: Gọi EF là 1 đường kính cua (C) ta có: IE.IF = IA.IB hay IE2 = IA.IB = h(2R-h). Gọi r là bán kính của (C) thì: r = IE = h(2 R  h) Thể tích cần tính là: 1  V= V   r 2 h   2 Rh 2  h3  , với 0 - Xem thêm -