Giíi h¹n
A. KiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa
I. Giíi h¹n cña d·y sè
1. D·y sè cã giíi h¹n 0
a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè u n cã giíi h¹n 0, kÝ hiÖu lim u n 0 (hay lim u n 0 ), nÕu víi mäi sè d¬ng nhá bao
nhiªu tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d¬ng ®ã.
1
1
lim 0; lim 0 0 ; lim q n 0 | q | 1
n
n
b. TÝnh chÊt:
| u n |�v n
�
c. §Þnh lÝ: Cho hai d·y sè u n , v n : �
� lim u n 0 (1)
lim v n 0
�
2. D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n
a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè u n cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu lim u n L , nÕu lim u n L 0
b. C¸c ®Þnh lÝ:
• Cho (un) mµ un = c, n : lim u n c
lim | u n || L |
�
�
• limun = L � �
lim 3 u n 3 L
�
lim u n L � lim u n L 0
• NÕu lim u n L, lim v n M th×: lim u n �v n L �M; lim u n .v n L.M; lim k.u n k.L (k ��); lim
un L
(M �0)
vn M
�v n �u n �w n , n
• �
� lim u n L (2)
lim v n lim w n L L ��
�
• D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n;
D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. (3)
c. Tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
1 qn
• Sn u1 u1q u1q 2 ... u1q n 1 u1 .
;
1 q
• S u1 u1q u1q 2 ... u1q n 1 ... limSn lim u1 .
u
1 qn
1 ;
1 q 1 q
3. D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
a. D·y sè cã giíi h¹n �
Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n +∞, kÝ hiÖu limun = +∞, nÕu víi mçi sè d¬ng tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ
tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu lín h¬n sè d¬ng ®ã.
KÕt qu¶: lim n �; lim n �;lim 3 n �
b. D·y sè cã giíi h¹n - ∞
Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n lµ - ∞, kÝ hiÖu limun = -∞, nÕu víi mäi sè ©m tïy ý cho tr íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ
tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu nhá h¬n sè ©m ®ã.
c. C¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
• Quy t¾c nh©n
• Quy
lim u n
lim v n
�
�
�
�
�
�
�
�
t¾c chia
lim u n L �0 cã dÊu
lim u n .v n
�
�
�
�
lim u n
�
�
�
�
lim v n 0, v n �0 cã dÊu
lim v n
+
+
lim u n .v n
�
�
�
�
un
vn
�
�
�
�
lim
+
+
+
+
II. Giíi h¹n cña hµm sè
1. Giíi h¹n h÷u h¹n
a. Giíi h¹n h÷u h¹n
Cho x 0 � a; b vµ f lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp a; b \ x 0 . Ta nãi r»ng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu
lim f x L , khi x dÇn ®Õn x 0 (hoÆc t¹i ®iÓm x 0 ), nÕu víi mäi d·y sè x n trong tËp a; b \ x 0 mµ lim x n x 0 , ta
x �x 0
®Òu cã lim f x n L
b. Giíi h¹n v« cùc
lim f x �nÕu mäi d·y x n trong tËp a; b \ x 0 mµ lim x n x 0 th× lim f x n �
x �x 0
2. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
1
Trường THPT Lê Hồng Phong
§Þnh nghÜa: Gi¶ sö hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng a; � . Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn
f x L , nÕu víi mäi d·y sè x n trong kho¶ng a; � mµ lim x n �, ta ®Òu cã lim f x n L
+∞, kÝ hiÖu xlim
��
3. C¸c ®Þnh lÝ
f x L vµ lim g x M L, M �� . Khi ®ã:
a. §Þnh lÝ 1: Gi¶ sö xlim
�x
x �x
0
0
�
f x �g x �
• xlim
� L �M
�x 0 �
�
f x .g x �
• xlim
� L.M
�x �
�
k.f x �
� k.L
• xlim
�x �
• lim
0
0
k ��
x �x 0
f x
g x
L
M
M �0
f x L . Khi ®ã:
b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö xlim
�x
0
| f x || L | ;
• xlim
�x
0
3 f x 3 L
• xlim
;
�x
0
f x L .
• NÕu f x �0 víi mäi x �J \ x 0 , trong ®ã J lµ mét kho¶ng nµo ®ã chøa x 0 th× L �0 vµ xlim
�x
0
c. §Þnh lÝ 3: Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa x 0 vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp J \ x 0 . Khi ®ã:
�
x Σ�
J \ x0 : g x f x h x
�
� lim f x L
�lim g x lim h x L
x �x 0
�
x
�
x
x
�
x
0
� 0
4. Giíi h¹n mét bªn
a. §Þnh nghÜa:
• Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng x 0 ; b , x 0 ��. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn ph¶i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn
f x L , nÕu víi mäi d·y sè x n trong kho¶ng x 0 ; b mµ lim x n x 0 , ta ®Òu cã lim f x n L .
x0, kÝ hiÖu: xlim
�x
0
• Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng a; x 0 , x 0 ��. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn tr¸i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn
f x L , nÕu víi mäi d·y sè x n trong kho¶ng a; x 0 mµ lim x n x 0 , ta ®Òu cã lim f x n L .
x0, kÝ hiÖu: xlim
�x
0
f x �; lim f x �; lim f x �; lim f x � ®îc ph¸t biÓu t¬ng tù nh trªn.
• C¸c ®Þnh nghÜa xlim
�x
x �x
x �x
x �x
0
0
b. §Þnh lÝ:
• lim f x lim f x L � lim f x L
x �x 0
0
0
x �x 0
x �x 0
1
0
0 f x
| f x | �� lim
• xlim
�x
x�x
0
5. Quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
a. Quy t¾c nh©n
lim g x L �0
lim f x
x �x 0
x �x 0
cã dÊu
+
+
b. Quy t¾c chia
lim f x L �0
lim �
f x .g x �
�
�
x �x 0
x �x 0
cã dÊu
+
+
lim g x 0
x �x 0
g(x) cã dÊu
+
+
lim
f x
g x
�
�
�
�
x �x 0
�
�
�
�
�
�
�
�
6. C¸c d¹ng v« ®Þnh
f x
, lim �
f x g x �
, lim �
f x g x �
Khi t×m lim
�
�
�
�khi x � x 0 ; x � x 0 ; x � x 0 ; x � �; x � � ta gÆp c¸c d¹ng
g x
0 �
, , 0.��
, �, lóc ®ã ta kh«ng dïng ®îc c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n còng nh c¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v«
0 �
cùc. PhÐp biÕn ®æi vÒ c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c ®· biÕt gäi lµ phÐp khö c¸c d¹ng v« ®Þnh
B. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n
D¹ng 1: T×m giíi h¹n cña d·y sè
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Dïng ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt vµ c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y sè.
v« ®Þn, kÝ hiÖu
2
VÝ dô 1: T×m: lim 3 8n 3n
n2
Gi¶i:
8n 2 3n
3
lim 3 8 3 8 2
2
n
n
2
2n
3n
1
VÝ dô 2: T×m: lim
2
n 2
Gi¶i:
lim 3
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
2
Trường THPT Lê Hồng Phong
3 1
2 2
2n 2 3n 1
n
n 2 2
lim
lim
2
2
n 2
1
1 2
n
VÝ dô 3: T×m: lim n 1 n 2 1
Gi¶i:
lim n 1 n 2 1 lim
2n
n 1 n 1
2
lim
2
1
1
1 1 2
n
n
1
.
D¹ng 2: Chøng minh lim u n 0
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ:
| u n |�v n
�
Cho hai d·y sè u n , v n : �
� lim u n 0 (1);
lim v n 0
�
�v n �u n �w n , n
� lim u n L (2)
�
lim v n lim w n L L ��
�
VÝ dô: Chøng minh: lim
Gi¶i:
Ta cã:
1
n
cos n
n
�
1
n
1 cos n
n
n
vµ lim
1
n
0
0 nªn lim
1 cos n
n
n
0
D¹ng 3: Chøng minh lim u n tån t¹i
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ
D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n;
D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n.
1
VÝ dô: Chøng minh d·y sè u n cho bëi u n
cã giíi h¹n.
n n 1
Gi¶i:
n n 1
1
u
1
n
0, nªu
.
1, n. Do ®ã d·y u n gi¶m. Ngoµi ra, n ��* : u n
Ta cã n 1
n n 1
un
1
n2
n 1 n 2
d·y u n bÞ chÆn díi. VËy d·y u n cã giíi h¹n.
D¹ng 4: TÝnh tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
u
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c«ng thøc: S 1 ,| q | 1
1 q
VÝ dô: TÝnh tæng S 1
Gi¶i:
1 1
1
2 ... n ....
2 2
2
§©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi q
u
1
S 1
2
1
1 vµ u1 1 . VËy:
1 q 1 1
2
2
D¹ng 5: T×m giíi h¹n v« cùc
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
2n 3 4n 3
VÝ dô: T×m: lim
3n 2 1
Gi¶i:
C¸ch 1:
4
3
2 2 3
2n 3 4n 3
n
n
Ta cã: lim
lim
3 1
3n 2 1
n n3
4
3 �
�
�3 1 �
3 1
L¹i cã lim �
2 2 3 � 2 0, lim � 2 � 0 vµ 3 0 n ��* nªn suy ra:
n
n �
n n
�
�n n �
4
3
2 2 3
2n 3 4n 3
n
n
lim
lim
�
3 1
3n 2 1
3
n n
C¸ch 2:
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
3
Trường THPT Lê Hồng Phong
2n 3 4n 3
Ta cã: lim
lim
3n 2 1
4
3 �
�
4
3
�
n3 �
2 2 3 �
2 2 3
�
n
n
�
� lim n.
n
n
�
1
1 �
2�
�
3 2
n �
3 2 �
�
n
� n �
�
�
�
�
�
4
3
4
3
�
3
2 2 3
3
2
�
2
2n
4n
3
n
n 0 � lim
n
n
L¹i cã lim n �; lim
lim �
n.
2
1
1
3
3n
1
�
3 2
3 2
�
n
n
D¹ng 6: T×m giíi h¹n cña hµm sè
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c
1�
�
VÝ dô 1: TÝnh: lim �x.sin �.
x �0
x�
�
Gi¶i:
1
XÐt d·y x n mµ x n �0, n vµ lim x n 0 . Ta cã: f x n x n sin
�
| xn |
xn
2
�
�
� �
�
�
1�
�
V× lim | x n | 0 � lim f x n 0. Do ®ã lim �x.sin � 0 .
x �0
x�
�
VÝ dô 2: TÝnh: lim
x ��
Gi¶i:
Ta cã: xlim
��
x x 1 x lim
2
VÝ dô 3: TÝnh: lim
x ��
Gi¶i:
Ta cã: xlim
��
x2 x 1 x
x2 x 1 x2
x2 x 1 x
x ��
x 2 3x 1 x
x 2 3x 1 x lim
lim
3x 1
x ��
x ��
x 2 3x 1 x
1
1
x
lim
2
x ��
2
1
1
x x 1 x
1 2 1
x x
x 1
1
1
1
3
3
x
x
lim
2
x��
2
3 1
x 3x 1
1 2 1
1
x
x
x
3
lim
x ��
(Chó ý: khi x � � lµ ta xÐt x < 0, nªn x x 2 )
D¹ng 7: Chøng minh lim f x 0 (HoÆc b»ng L)
x �x 0
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ giíi h¹n kÑp
Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa x 0 vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp J \ x 0 . Khi ®ã:
�
x Σ�
J \ x0 : g x f x
�
�lim g x lim h x L
x �x 0
�
�x �x0
h x
� lim f x L
x �x0
2
VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x 0
x �� 1 x 4
Gi¶i:
x 2 sin x
x2
x2
x2
Ta lu«n cã: | f x |
�
�
�
f
x
�
1 x4
1 x4
1 x4
1 x4
1
1
2
2
x2
x2
x2
x2
x 2 sin x
x
x
lim
lim
0; lim
lim
0 � lim
lim
0 � lim
0.
4
4
4
4
x ��1 x
x �� 1
x ��1 x
x �� 1
x � �1 x
x � �1 x
x � � 1 x 4
1
1
x4
x4
D¹ng 8: T×m giíi h¹n mét bªn
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh nghÜa giíi h¹n mét bªn
�x 3
v�
i x 1
�
f x
VÝ dô 1: Cho hµm sè f x � 2
. T×m xlim
�1
2x 3 v�
i x �1
�
Gi¶i:
2
Ta cã: lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1 (1)
2
x � 1
x � 1
lim f x lim x 3 1 (2)
x � 1
x � 1
f x 1
Tõ (1) vµ (2) suy ra xlim
�1
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
4
Trường THPT Lê Hồng Phong
�1
�
�
VÝ dô 2: Cho hµm sè f x �x 1
�1
�x 1
a. T×m lim f x
khi x 1
khi x 1
x �2
f x
b. T×m lim
x �1
Gi¶i:
1
1
a. lim f x lim
x �2
x �2 x 1
3
lim
f
x
b. x �1
1
1
1
f x
; lim f x lim
lim f x lim f x suy ra kh«ng tån t¹i lim
x �1
x
�
1
x
�
1
x �1
x �1
2
1 x
2
f x tån t¹i khi vµ chØ khi lim f x lim f x L th× lim f x L )
(Chó ý: xlim
�x
x �x
x �x
x �x
1
lim
1 x
Ta cã: limf x
x �1
x �1
0
0
0
0
D¹ng 9: T×m giíi h¹n v« cùc
Ph¬ng ph¸p: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
VÝ dô: TÝnh lim 4x 2 1
x � �
Gi¶i:
1
� 1 �
x2 �
4 2 � lim | x | . 4 2
x
�
�
x
� x �
4x 2 1 lim
lim
x ��
x ��
| x | � vµ lim
V× xlim
��
x ��
4
1
2 0 � lim 4x 2 1 �
x � �
x2
D¹ng 10: Khö d¹ng v« ®Þnh
Ph¬ng ph¸p gi¶i
P x
P x lim Q x 0 :
1. Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim
, víi xlim
�x 0
x �x0
x �x 0 Q x
• Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x x 0
• NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho lîng liªn hiÖp.
2
VÝ dô 1: T×m: lim x 9x 14
x �2
x2
Gi¶i:
x 2 x 7
x 2 9x 14
lim
lim
lim x 7 5
x �2
x
�
2
x �2
x2
x2
VÝ dô 2: T×m: lim 4 x 2
x �0
4x
Gi¶i:
4x 2
lim
x �0
4x
lim
x �0
4 x 2
4x
x7 2
lim
lim
x �1
x �1
x 1
lim
x �1
3
x 7
x7 2
Gi¶i:
2x 5 3
x22
3
3
2
lim
x �0
x 7
x 1 3 x 7
2. x 7 4
x �2
x �2
3
1
2
VÝ dô 4: T×m: lim
lim
4 x 2
4x 2
3
VÝ dô 3: T×m: lim x 7 2
x �1
x 1
Gi¶i:
3
2
4x 4
4x
4x 2
2. 3 x 7 4
2. 3 x 7 4
lim
x �1
lim
x �0
4
1
4x 2
1
16
x 7 23
x 1 3 x 7
2
2. 3 x 7 4
1
12
2x 5 3
x22
lim
x �2
x 2 2
2x 5 3
x 2 2 lim 2x 5 9 x 2 2 lim 2 x 2 2 4
3
2x 5 3
x 2 2 2x 5 3
x 2 4 2x 5 3
2x 5 3
x �2
x �2
3
VÝ dô 5: T×m: lim x 3x 2
x �1
x 1
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
5
Trường THPT Lê Hồng Phong
Gi¶i:
�
x3 1 3x 2 1
�
x 3 3x 2
x3 1
3x 2 1 �
3x 2 1
lim
lim �
lim
x2 x 1
� x �1 �
x �1
x �1
x �1
�
x 1
x 1
x
1
x
1
x 1 3x 2 1
�
�
�
3
3 3
�2
�
lim �
x x 1
� 3 2 2
x �1
3x 2 1�
�
lim
VÝ dô 6: T×m: lim
4
�
�
�
�
x 2 1
x 2 1
Gi¶i:
§Æt t 12 x 2 � x 2 t12 � x t12 2, khi �
�x � 1 th�
t � 1 . Do ®ã:
x �1 3
4
lim
x �1 3
t 1 t 2 t 1
t3 1
t2 t 1
3
lim 4
lim
lim
t �1 t 1
t �1 t 1 t 1 t 2 1
t �1 t 1 t 2 1
x 2 1
4
x 2 1
3
VÝ dô 7: T×m: lim x 7 x 3
x �1
x 1
Gi¶i:
3
lim
x 7 x 3
lim
x �1
x 1
3
x7 2
x 3 2
lim � x 7 2
3
�
x �1
x �1
x 1
� x 1
�
�
�
�
x 7 23
x 3 4
lim �
�
2
x �1
3
�
x 7 2. 3 x 7 4� x 1 x 3 2 �
x 1 �
�
�
�
�
�
�
x 3 2�
�
x 1 �
�
�
1
1
� 1 1 1
lim �
2
x �1 �
3
6
3
x 3 2 � 12 4
� x 7 2 x 7 4
�
2. Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim
P x
, ta lu ý:
Q x
• §Æt x m (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x)
1
• Sö dông kÕt qu¶: lim 0 ( víi 0 )
x �� x
x ���
2
VÝ dô 1: T×m: lim 3x 4x 1
x �� 2x 2 x 1
Gi¶i:
4 1
3 2
3x 2 4x 1
x x 3
lim
lim
x �� 2x 2 x 1
x � �
1 1
2
2 2
x x
x 2 x 1 3x
2 3x
VÝ dô 2: T×m: lim
x ��
Gi¶i:
x 2 x 1 3x
lim
x � �
2 3x
lim
x ��
VÝ dô 3: T×m: lim
3
x ��
Gi¶i:
3
lim
x ��
1
1 1
3
1 3 4
x x2
2
3
3
3
x
8x 3 3x 2 1 x
4x 2 x 2 3x
3 1
3 1
3
8 1
x
x
lim
1
2
x ��
1
2
4 3
4x x 2 3x
4 2 3
x x
C. Bµi tËp tù luËn
8x 3 3x 2 1 x
3
8
1. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
2
1. lim x2 5x 6
x �3
x 8x 15
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
2. lim1
x�
2
8x 2 1
6x 2 5x 1
3
2
3. lim x 4x2 4x 3
x �3
x 3x
6
Trường THPT Lê Hồng Phong
4. lim 2x4 5x3 3x 2 1
x �1
4
3
5. lim x 4 3x 2
x �1
2
3x 8x 6x 1
x 4x 3
3
7. lim x 5 2x 1
x �1 x 2x 1
2. T×m c¸c giíi h¹n hµm sè sau:
x2
1. lim
x �2
3 x 7
4.
7.
lim
x �2
3
lim
x �1
8. lim
x �0
9. lim
x �0
x
2.
5.
x2 23 x 1
8.
2
x 8x 16
1 x 1 2x 1 3x 1
x 7 3
x2 4
x 1
3
2
6. lim x 4 2x 2 4x 8
x �2
3
2x 7 3
lim
3
lim
x �2
3
lim
x �0
x
3.
x 3 2
x �1
1 x 1 2x 1 3x ... 1 nx 1
1 x 2 1
x
lim
x �0
4x 2
x2
6.
x 1
9.
lim
1 x 2 1
x2
lim
x 2 x7 5
x2
3
x �0
x 1
x �2
3
3
10. lim 1 x 1 x
x �0
2
11. lim 3x 2 2 4x x 2
x �1
12. lim 2x 2 3x 1
x �1
2
2
13. lim x 2x 2 6 x 2x 6
x �3
14. lim x 9 x 16 7
x �0
3
2
3
15. lim x 2 2 x x 1
x �1
x
x 3x 2
x 4x 3
3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
x
3
1. lim x 2 7 x 3
3
2. lim 2 1 x 8 x
4. lim x 112 8x 43
x �2
5. lim 7 x 3 x
7. lim 1 4x 1 6x 1
8. lim 1 2x 2 1 3x
x �1
x 3x 2
3
2x 3x 2
3
x �0
3
3
x
x �0
2
6. lim x 7 5 x
2
3
x 1
x �1
x 1
3
3. lim 1 x 1 x
x
x �0
x 1
x 1
x �1
3
x
x
x �0
4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
2x 3 4x 7
3
2
1. lim 42x 33x 24x 1
x ��
2. lim x 2 x 1
x ��
3. x ��
2x 3 3x 2
4. x ��
50
2x 1
2
5. lim x 2x 3x
2
x ��
6. lim 5x 3 1 x
x ��
x 5x 2x x 3
20
30
lim
5. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
� x 2 x 1 x 2 x 1�
1. xlim
���
�
2
2
lim
2x x 1
3x
3
3
1 10x 2 9
1 x
4x 1 x 2
�
2. xlim
2x 5 4x 2 4x 1�
���
�
�x x x �
3. xlim
���
�
x. � x 2 1 x �
4. xlim
�� �
�
x � 4x 2 9 2x �
5. xlim
�� �
�
x 2 � 3x 4 5 3x 4 2 �
6. xlim
��
�
�
3
�
x3 2 x 2 1�
7. xlim
���
�
x � 4x 2 5 3 8x 3 1 �
8. xlim
�� �
�
1. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
1
1
a.
b.
n
n
2. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
n
n
5�
�1 �
a. �
b.
��
��
�3 �
�3 �
3. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a. 0,909 n
b. 1,012 n
4. D·y sè nµo sau ®©y kh«ng cã giíi h¹n?
a. 0,99 n
b. 1 n
5. Gäi L lim 1 . Khi ®ã L b»ng
n4
1
1
a.
b.
5
4
6. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
1
1
a.
b.
n
2n
D. Bµi tËp tr¾c nghiÖm
D·y sè cã giíi h¹n 0
c.
2n 1
n
n
d.
cos n
n
n
5�
c. �
� �
� 3�
4�
d. �
� �
� 3�
c. 1, 013 n
d. 1,901 n
c. 0,99 n
d. 0,89 n
c. – 1
d. 0
n
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
n
4�
c. �
��
�3 �
D·y sè cã giíi gi¹n h÷u h¹n
7
d. 1
n
n
Trường THPT Lê Hồng Phong
7. Cho u n
a.
1 4n
. Khi ®ã un b»ng
5n
3
5
8. Cho u n
b.
3
5
c.
4
5
d.
c.
2
5
d.
4
5
2 n 5n
. Khi ®ã limun b»ng
5n
a. 0
b. 1
9. Gäi L lim 9 cos 2n th× L b»ng sè nµo sau ®©y?
n
a. 0
b. 3
1
10. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 , 1 , 1 ,...,
2 4 8
2n
1
a. 1
b.
3
c. 3
7
5
d. 9
n 1
,... lµ
c.
1
11. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 , 1 , 1 ,..., ,... lµ
3 9 27
3n
1
1
a.
b.
4
2
n 1
1
12. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 , 1 , 1 ,..., ,... lµ
2 6 18
2.3n 1
8
3
a.
b.
3
4
1
3
d.
2
3
n 1
c.
3
4
d. 4
c.
2
3
d.
1
13. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n: 1, 1 , 1 , 1 ,..., ,... lµ
2 4 8
2 n 1
2
2
3
a.
b.
c.
3
3
2
D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
14. KÕt qu¶ L lim 5n 3n 3 lµ
a. �
b. – 4
c. – 6
2
15. BiÕt L lim 3n 5n 3 th× L b»ng
a. �
b. 3
c. 5
3
2
16. lim 3n 2n 5 b»ng
a. �
b. – 6
c. – 3
3
17. lim 2
b»ng
4n 2n 1
3
a. �
b.
c. – 1
4
2
18. lim 4
b»ng
5n 2n 1
2
1
a.
b.
c. 0
5
2
3
19. lim 3n 2n 1 b»ng
4n 4 2n 1
3
a. 0
b. �
c.
4
4
2n 2n 2
20. lim 4
bằng
4n 2n 5
1
a. 0
b. �
c.
2
2
4
5n 3n
21. lim 4
b»ng
4n 2n 1
3
5
a.
b. 0
c.
4
4
3
8
n 1
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
8
d. 2
d. �
d. �
d. �
d. 0
d. �
d.
2
7
d.
3
11
d.
3
4
Trường THPT Lê Hồng Phong
3
22. lim 2n 3n
b»ng
2
4n 2n 1
5
3
a.
b.
7
4
23. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ �?
a. u n 3n 2 n 3
b. u n n 2 4n 3
24. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞?
a. u n n 4 3n 3
b. u n 3n 3 2n 4
2
25. lim 4n 5 n 4 b»ng
2n 1
a. 0
26. KÕt qu¶ lim
d. �
c. u n 4n 2 3n
d. u n 3n 3 n 4
c. u n 3n 2 n
d. u n n 2 4n 3
b. 1
c. 2
d. �
b. 10
c. 10
d. 0
b. 1
c.
3
4
d.
4
3
d.
L 3
n 10 n lµ
a. +∞
27. KÕt qu¶ lim
c. 0
3 2n 4n
lµ
4n 2 5n 3
2
a. 0
28. NÕu lim u n L th× lim u n 9 b»ng
a. L + 9
b. L + 3
29. NÕu lim u n L th× lim
1
3
un 8
1
a.
L9
b»ng bao nhiªu?
1
b.
L 8
c.
c.
L8
2n 3
b»ng
2n 5
5
5
a.
b.
7
2
4
10 n
31. lim 4
b»ng bao nhiªu?
10 2n
a. �
b. 10000
1 2 3 ... n
32. lim
b»ng bao nhiªu?
2n 2
1
a. 0
b.
4
1
L 2
3
d.
1
3
L8
30. lim
3 3
33. lim n n b»ng
6n 2
1
a.
6
34. lim n
b.
c. 1
d. �
c. 5000
d. 1
c.
1
4
c.
1
2
3
d. �
2
6
d. 0
n 2 1 n 2 3 b»ng bao nhiªu?
a. +∞
b. 4
n sin 2n
35. lim
b»ng sè nµo sau ®©y?
n 5
2
1
a.
b.
5
5
36. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
1 2n
n 2 2n
a. u n
b.
2
5n 3n 2
5n 3n
37. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞?
1 2n
n 2 2n
a. u n
b.
2
5n 5n 2
5n 5n
38. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞?
2
2007 2008n
a. u n 9n 7n
b. u n
n 1
n n2
39. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1?
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
c. 2
d. – 1
c. 0
d. 1
c.
1 2n 2
5n 3n 2
c. u n
1 n2
5n 5
c. u n 2008n 2007n 2
9
d. u n
n2 2
5n 3n 2
d. u n
n2 2
5n 5n 3
d. u n n 2 1
Trường THPT Lê Hồng Phong
2
2
a. lim 2n 3
b. lim 2n 3
3
2n 4
2n 2 1
40. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0?
2
3
a. lim 2n 3
b. lim 2n 3n
2n 3 4
2n 2 1
41. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ �?
2
2
a. lim 2n 3
b. lim 2n 3n
3
2
n 4
2n 1
1
42. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng ?
5
2
1 2n
n 2n
a. u n
b. u n
5n 5
5n 5n 2
43. NÕu L lim �
n
�
3
d. lim 2n 3
2n 2 1
c. lim 2n 3n
2n 3 n 2
4
d. lim 3 2n
2n 2 1
c. lim 2n 3n
2n 3 n 2
d. lim 3 2n
2n 2 1
2
2
c. u n
b.
2n 2 3
2n 3 2n 2
4
1 2n 2
5n 5
3
3
d. u n
1 2n
5n 5n 2
n 2 2 n 2 4 �th× L b»ng
�
a. �
44. Gäi L lim �
n
�
a. �
c. lim
7
2
d. 0
c. 3
d. 2
c.
7 1
n 2 2 n 2 4 �. Khi ®ã L b»ng
�
b. 6
45. lim 4n 1 n 2 b»ng
2n 3
2
b.
3
2
c. 2
d. �
b.
29
3
c. 9
d. 3
b. 2
1
50. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n ?
3
2
3
n 3n
2n n 2
a. u n 3
b. u n
2
9n n 1
3n 2 5
Giíi h¹n cña hµm sè
51. lim x 2 x 7 b»ng
x �1
a. 5
b. 7
2
52. lim 3x 3x 8 b»ng
c. 4
d. �
c. 9
d. �
a. 2
2
53. lim x 3x 2 b»ng
x �1
x 1
a. 1
3
2
54. lim 3x x 2 b»ng
x �1
x2
b. 5
c. 9
d. 10
b. 1
c. 2
d. �
b. 1
c.
a. 1
46. lim cos 2n 9 b»ng
3n
a. �
47. lim
n 2 2n n 2 2n cã kÕt qu¶ lµ
a. 1
x �2
a. 5
3x 4 2x 5
b»ng
x �1 5x 4 3x 6 1
1
a.
9
3x 2 x 5
56. lim 4
b»ng
x �1 x x 5
4
a.
5
x 2 x3
57. lim 2
b»ng
x �2 x x 3
c. u n
5
3
n 4 2n 3 1
3n 3 2n 2 1
d. u n
d.
5
3
d.
2
3
n 2 2n 5
3n 3 4n 2
55. lim
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
b.
3
5
c.
b.
4
7
c.
10
2
5
2
5
d.
2
7
Trường THPT Lê Hồng Phong
a.
4
9
b.
x 4 2x 5
b»ng
x �1 2x 4 3x 5 2
1
a.
12
x
x 3 b»ng
59. lim
x �2 x 2 x 1
10
a.
7
12
5
c.
4
3
d. �
58. lim
b.
1
7
c.
b.
10
3
c.
2
7
6
7
d. �
d. �
60. lim 4x 3 2x 3 b»ng
x �1
a. 5
3
61. lim
x �1 3
x 1
x 3 2
2
b. 3
c. 1
b. 1
c.
b»ng
a. 0
62. lim 2x x 2x 3 b»ng
x ��
x 2x 4
a. 2
b. 1
3x 4 2x 3
63. lim
b»ng
x �� 5x 4 3x 1
4
a. 0
b.
9
4
5
3x 2x
64. lim 4
b»ng
x �� 5x 3x 2
2
3
a.
b.
5
5
3x 4 2x 5
65. lim 4
b»ng
x �� 5x 3x 6 2
3
a. �
b.
5
4
66. lim
x ��
3
x �2
x �1
4 2
d.
2
3
c. 1
d. 2
3
5
d. �
c. �
d. �
c.
c.
2
5
d. 0
3x 4 4x 5 2 b»ng
9x 5 5x 4 4
2
3
b.
1
3
c.
5
3
d.
b.
1
3
c.
35
9
d. �
b.
3
8
x 4 4x 2 3 b»ng
7x 2 9x 1
1
15
a.
68. lim
1
3
2
a. 0
67. lim
d. 5
x 4 4x 2 3x b»ng
x 2 16x 1
1
8
a.
| x 3|
b»ng
3x 6
1
a.
2
3
8
Giíi h¹n mét bªn
c.
d. �
c. 0
d. �
69. lim
x �3
70. lim
x �1
b.
1
6
1 x 3 b»ng
3x 2 x
a. 1
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
b. 0
c.
11
1
3
d. �
Trường THPT Lê Hồng Phong
x2
b»ng
x 1
1
a.
2
2
x
1 lµ
72. lim
x �1 x 1
a. �
3
73. lim x 2x 3 b»ng
x �2
x 2 2x
71. lim
x �1
a. �
74. lim
x �0
2x x
5x x
d. �
b. 2
c. 1
d. �
b.
1
8
c.
9
8
d. �
b.
2
5
c. 1
d. �
c. 1
d. �
lµ
a. �
75. lim
1
2
c. �
b.
x 2 4x 3
x3 x 2
a. 1
x �1
lµ
b. 0
�x 2 3x 1
76. Cho hµm sè: f x �
5x 3
�
a. 11
b. 7
v�
ix2
. Khi ®ã lim f x b»ng:
x �2
v�
i x �2
c. 1
�
2x 2x v�
i x �1
�
77. Cho hµm sè f x � 3
. Khi ®ã lim f x b»ng
x �1
i x 1
�x 3x v�
a. – 4
b. –3
c. –2
�2 x 3
khi x �1
�
� 2
78. Cho hµm sè y f x � x 1
. Khi ®ã lim f x b»ng
x �1
�1
khi x 1
�
�8
1
1
a.
b.
c. 0
8
8
�x 2 1
v�
i x 1
�
79. Cho hµm sè: f x �1 x
. Khi ®ã lim f x b»ng
x �1
� 2x 2 v�
i x �1
�
a. –1
b. 0
c. 1
� 2x
v�
i x 1
�
80. Cho hµm sè f x � 1 x
. Khi ®ã lim f x b»ng
x �1
� 3x 2 1 v�
i x �1
�
a. �
b. 2
c. 4
d. 13
3
d. 2
d. �
d. �
d. �
Mét vµi quy t¨c t×m giíi h¹n v« cùc (d¹ng v« ®Þnh)
81. Cho L lim 2x 3x 1 . Khi ®ã
x �1
1 x2
1
1
a. L
b. L
2
4
2
x 4
82. Cho L lim 2
. Khi ®ã
x �2 2x 3x 2
4
4
a. L
b. L
5
5
2
83. lim x 3x 2 b»ng
x �2
2x 4
3
a. �
b.
2
2
x 12x 35
84. lim
b»ng
x �2
x 5
2
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
c. L
c. L
c.
12
1
2
1
2
1
4
d.
1
2
d. L
d.
1
2
1
2
Trường THPT Lê Hồng Phong
a. �
b. 5
c.
2
5
d.
2
5
1
5
c.
2
5
d.
2
5
c.
1
2
d.
1
2
x 2 12x 35
b»ng
x �5
5x 25
85. lim
a. �
b.
x 2 2x 3x
86. lim
b»ng
x ��
4x 2 1 x 2
2
a.
3
87. lim
a. �
x ��
a.
89. lim x
x ��
2
3
x 1 x 3 b»ng
x ��
88. lim x
b.
b. 2
c. 0
d. �
5
2
d. �
x 5 x b»ng
2
b.
5
5
c.
2
x 2 2 x b»ng
a. �
t4 1
90. lim
b»ng
t �1 t 1
a. �
t4 a4
91. lim
b»ng
t �a t a
a. 4a 2
y4 1
92. lim 3
b»ng
y �1 y 1
a. �
3x 2 x 5
b»ng
x �� x 4 6x 5
a. �
b. 2
c. 1
d. 0
b. 4
c. 1
d. �
b. 3a 3
c. 4a 3
d. �
b. 0
c.
b. 3
c. –1
d. �
b. 1
c. 2
d. �
b. –1
c.
b. 1
c.
2
3
d.
b. –4
c.
1
2
d. �
b. –1
c. 4
d. �
b. –2
c.
3
4
d.
4
3
93. lim
4x 1 x 5 b»ng
2x 7
2
94. lim
x ��
a. 0
95. lim x 1 x x 1 b»ng
x �0
x
2
a. 0
3
96. lim
x �1
x 1
x 3 2
2
1
2
d. �
b»ng
a. �
2
3
x 2 2x 15
b»ng
x �5
2x 10
97. lim
a. –8
x 2 2x 15
b»ng
x �5
2x 10
a. –4
x 2 9x 20
99. lim
b»ng
x �5
2x 10
5
a.
2
98. lim
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
13
3
2
d. �
Trường THPT Lê Hồng Phong
3x 4 2x 5
b»ng
x �� 5x 4 x 4
2
a.
5
x 3 1 b»ng
lim
x �1 x 2 x
a. –3
x b»ng
lim x 5
x ��
x3 1
a. 0
x 2 3x 2 b»ng
lim
x �1
x3 1
2
a.
3
2x 3 x b»ng
lim
x �� x 2 2
a. �
100. lim
101.
102.
103.
104.
105. lim
x ��
3
5
c. �
d. �
b. –1
c. 0
d. 1
b. 1
c. 2
d. �
c. 0
d.
b. 1
c. 2
d. �
b. 4
c. 0
d. �
b. 2
c. 6
d. �
b.
b.
1
3
1
3
x 5 x 7 b»ng
a. �
3x 2 7x
106. lim
b»ng
x �3
2x 3
3
a.
2
107. lim 2 x 3 b»ng
x �1
1 x2
1
1
1
1
a.
b.
c.
d.
6
8
8
4
108. Nèi mçi ý ë cét bªn tr¸i víi mçi ý ë cét bªn ph¶i ®Ó ®îc mét kh¼ng ®Þnh ®óng.
Cét tr¸i
Cét ph¶i
x 2 2x 15
7
b) 01. lim
b»ng
a)
x �3
2x 10
2
2
3. lim x 2x 15 b»ng
x �5
3x 15
3
c)
2
2
x 3x 10
2. lim
b»ng
x �5
2x 10
8
x 2 3x 10
4. lim
b»ng
d)
x �5
3
2x 10
7
e)
2
Nguyễn Xuân Thọ
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
14
Trường THPT Lê Hồng Phong
- Xem thêm -