Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Bài tập giói hạn của dãy số và hàm số...

Tài liệu Bài tập giói hạn của dãy số và hàm số

.DOC
14
374
88

Mô tả:

Giíi h¹n A. KiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa I. Giíi h¹n cña d·y sè 1. D·y sè cã giíi h¹n 0 a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè  u n  cã giíi h¹n 0, kÝ hiÖu lim  u n   0 (hay lim u n  0 ), nÕu víi mäi sè d¬ng nhá bao nhiªu tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d¬ng ®ã. 1 1 lim  0; lim   0    0  ; lim q n  0  | q | 1 n n b. TÝnh chÊt: | u n |�v n � c. §Þnh lÝ: Cho hai d·y sè u n , v n : � � lim u n  0 (1) lim  v n   0 � 2. D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè  u n  cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu lim u n  L , nÕu lim  u n  L   0 b. C¸c ®Þnh lÝ: • Cho (un) mµ un = c, n : lim u n  c lim | u n || L | � � • limun = L � � lim 3 u n  3 L � lim u n  L � lim  u n  L   0 • NÕu lim u n  L, lim v n  M th×: lim  u n �v n   L �M; lim  u n .v n   L.M; lim k.u n  k.L (k ��); lim un L  (M �0) vn M �v n �u n �w n , n • � � lim u n  L (2) lim v n  lim w n  L  L �� � • D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n; D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. (3) c. Tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n 1  qn • Sn  u1  u1q  u1q 2  ...  u1q n 1  u1 . ; 1 q • S  u1  u1q  u1q 2  ...  u1q n 1  ...  limSn  lim u1 . u 1 qn  1 ; 1 q 1 q 3. D·y sè cã giíi h¹n v« cùc a. D·y sè cã giíi h¹n � Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n +∞, kÝ hiÖu limun = +∞, nÕu víi mçi sè d¬ng tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu lín h¬n sè d¬ng ®ã. KÕt qu¶: lim n  �; lim n  �;lim 3 n  � b. D·y sè cã giíi h¹n - ∞ Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n lµ - ∞, kÝ hiÖu limun = -∞, nÕu víi mäi sè ©m tïy ý cho tr íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu nhá h¬n sè ©m ®ã. c. C¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc • Quy t¾c nh©n • Quy lim u n lim v n � � � � � � � � t¾c chia lim u n  L �0 cã dÊu lim  u n .v n  � � � � lim u n � � � � lim v n  0, v n �0 cã dÊu lim v n +  +  lim  u n .v n  � � � � un vn � � � � lim + +  +  +   II. Giíi h¹n cña hµm sè 1. Giíi h¹n h÷u h¹n a. Giíi h¹n h÷u h¹n Cho x 0 � a; b  vµ f lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp  a; b  \  x 0  . Ta nãi r»ng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu lim f  x   L , khi x dÇn ®Õn x 0 (hoÆc t¹i ®iÓm x 0 ), nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong tËp  a; b  \  x 0  mµ lim x n  x 0 , ta x �x 0 ®Òu cã lim f  x n   L b. Giíi h¹n v« cùc lim f  x   �nÕu mäi d·y  x n  trong tËp  a; b  \  x 0  mµ lim x n  x 0 th× lim f  x n   � x �x 0 2. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 1 Trường THPT Lê Hồng Phong §Þnh nghÜa: Gi¶ sö hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng  a; � . Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn f  x   L , nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong kho¶ng  a; � mµ lim x n  �, ta ®Òu cã lim f  x n   L +∞, kÝ hiÖu xlim �� 3. C¸c ®Þnh lÝ f  x   L vµ lim g  x   M  L, M �� . Khi ®ã: a. §Þnh lÝ 1: Gi¶ sö xlim �x x �x 0 0 � f  x  �g  x  � • xlim � L �M �x 0 � � f  x  .g  x  � • xlim � L.M �x � � k.f  x  � � k.L • xlim �x � • lim 0 0  k �� x �x 0 f  x g x  L M  M �0  f  x   L . Khi ®ã: b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö xlim �x 0 | f  x  || L | ; • xlim �x 0 3 f x  3 L   • xlim ; �x 0 f  x  L . • NÕu f  x  �0 víi mäi x �J \  x 0  , trong ®ã J lµ mét kho¶ng nµo ®ã chøa x 0 th× L �0 vµ xlim �x 0 c. §Þnh lÝ 3: Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa x 0 vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp J \  x 0  . Khi ®ã: � x Σ� J \  x0 : g  x  f  x  h  x  � � lim f  x   L �lim g x  lim h x  L x �x 0     � x � x x � x 0 � 0 4. Giíi h¹n mét bªn a. §Þnh nghÜa: • Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng  x 0 ; b  , x 0 ��. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn ph¶i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn f  x   L , nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong kho¶ng  x 0 ; b  mµ lim x n  x 0 , ta ®Òu cã lim f  x n   L . x0, kÝ hiÖu: xlim �x  0 • Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng  a; x 0  , x 0 ��. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn tr¸i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn f  x   L , nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong kho¶ng  a; x 0  mµ lim x n  x 0 , ta ®Òu cã lim f  x n   L . x0, kÝ hiÖu: xlim �x  0 f  x   �; lim f  x   �; lim f  x   �; lim f  x   � ®îc ph¸t biÓu t¬ng tù nh trªn. • C¸c ®Þnh nghÜa xlim �x  x �x x �x x �x 0 0 b. §Þnh lÝ: • lim f  x   lim f  x   L � lim f  x   L x �x 0 0 0 x �x 0 x �x 0 1 0 0 f  x | f  x  | �� lim • xlim �x x�x 0 5. Quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc a. Quy t¾c nh©n lim g  x   L �0 lim f x x �x 0   x �x 0 cã dÊu +  +  b. Quy t¾c chia lim f  x   L �0 lim � f  x  .g  x  � � � x �x 0 x �x 0 cã dÊu + +   lim g  x   0 x �x 0 g(x) cã dÊu +  +  lim f  x g x � � � � x �x 0 � � � � � � � � 6. C¸c d¹ng v« ®Þnh f  x   , lim � f  x g x � , lim � f  x  g x � Khi t×m lim � � � �khi x � x 0 ; x � x 0 ; x � x 0 ; x � �; x � � ta gÆp c¸c d¹ng g x 0 � , , 0.�� ,  �, lóc ®ã ta kh«ng dïng ®îc c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n còng nh c¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« 0 � cùc. PhÐp biÕn ®æi vÒ c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c ®· biÕt gäi lµ phÐp khö c¸c d¹ng v« ®Þnh B. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: T×m giíi h¹n cña d·y sè Ph¬ng ph¸p gi¶i: Dïng ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt vµ c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y sè. v« ®Þn, kÝ hiÖu 2 VÝ dô 1: T×m: lim 3 8n  3n n2 Gi¶i: 8n 2  3n 3  lim 3 8   3 8  2 2 n n 2 2n  3n 1 VÝ dô 2: T×m: lim 2 n  2 Gi¶i: lim 3 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 2 Trường THPT Lê Hồng Phong 3 1 2  2 2n 2  3n  1 n n  2  2 lim  lim 2 2 n  2 1 1  2 n  VÝ dô 3: T×m: lim n  1  n 2  1 Gi¶i:   lim n  1  n 2  1  lim  2n n 1 n  1 2  lim 2 1 1 1  1 2 n n  1 . D¹ng 2: Chøng minh lim u n  0 Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ: | u n |�v n � Cho hai d·y sè u n , v n : � � lim u n  0 (1); lim  v n   0 � �v n �u n �w n , n � lim u n  L (2) � lim v n  lim w n  L  L �� � VÝ dô: Chøng minh: lim  Gi¶i: Ta cã:  1 n cos n n � 1 n 1 cos n n n vµ lim 1 n 0   0 nªn lim 1 cos n n n 0 D¹ng 3: Chøng minh lim u n tån t¹i Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n; D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. 1 VÝ dô: Chøng minh d·y sè  u n  cho bëi u n  cã giíi h¹n. n  n  1 Gi¶i: n  n  1 1 u 1 n  0, nªu .   1, n. Do ®ã d·y  u n  gi¶m. Ngoµi ra, n ��* : u n  Ta cã n 1  n  n  1 un 1 n2  n  1  n  2  d·y  u n  bÞ chÆn díi. VËy d·y  u n  cã giíi h¹n. D¹ng 4: TÝnh tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n u Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c«ng thøc: S  1 ,| q | 1 1 q VÝ dô: TÝnh tæng S  1  Gi¶i: 1 1 1  2  ...  n  .... 2 2 2 §©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi q  u 1 S 1  2 1  1 vµ u1  1 . VËy: 1 q 1 1 2 2 D¹ng 5: T×m giíi h¹n v« cùc Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc 2n 3  4n  3 VÝ dô: T×m: lim 3n 2  1 Gi¶i: C¸ch 1: 4 3 2  2  3 2n 3  4n  3 n n Ta cã: lim  lim 3 1 3n 2  1  n n3 4 3 � � �3 1 � 3 1 L¹i cã lim � 2  2  3 � 2  0, lim �  2 � 0 vµ  3  0  n ��*  nªn suy ra: n n � n n � �n n � 4 3 2  2  3 2n 3  4n  3 n n lim  lim  � 3 1 3n 2  1  3 n n C¸ch 2: Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 3 Trường THPT Lê Hồng Phong 2n 3  4n  3 Ta cã: lim  lim 3n 2  1 4 3 � � 4 3 � n3 � 2  2  3 � 2  2  3 � n n � � lim n. n n � 1 1 � 2� � 3 2 n � 3 2 � � n � n � � � � � � 4 3 4 3 �  3 2  2  3 3 2 � 2  2n  4n  3 n n    0 � lim n n L¹i cã lim n  �; lim  lim � n. 2 1 1 3 3n  1 � 3 2 3 2 � n n D¹ng 6: T×m giíi h¹n cña hµm sè Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c 1� � VÝ dô 1: TÝnh: lim �x.sin �. x �0 x� � Gi¶i: 1 XÐt d·y  x n  mµ x n �0, n vµ lim x n  0 . Ta cã: f  x n   x n sin � | xn | xn 2  � � � � � � 1� � V× lim | x n | 0 � lim f  x n   0. Do ®ã lim �x.sin � 0 . x �0 x� � VÝ dô 2: TÝnh: lim  x �� Gi¶i:  Ta cã: xlim ��  x  x  1  x  lim 2 VÝ dô 3: TÝnh: lim  x �� Gi¶i:  Ta cã: xlim �� x2  x  1  x  x2  x  1  x2 x2  x  1  x x �� x 2  3x  1  x  x 2  3x  1  x  lim  lim  3x  1 x �� x �� x 2  3x  1  x 1 1 x  lim  2 x �� 2 1 1 x  x 1  x 1  2 1 x x x 1 1 1 1 3 3 x x  lim  2 x�� 2 3 1 x  3x  1  1  2 1 1 x x x 3  lim x �� (Chó ý: khi x � � lµ ta xÐt x < 0, nªn x   x 2 ) D¹ng 7: Chøng minh lim f  x   0 (HoÆc b»ng L) x �x 0 Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ giíi h¹n kÑp Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa x 0 vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp J \  x 0  . Khi ®ã: � x Σ� J \  x0 : g  x  f  x  � �lim g x  lim h x  L   x �x 0   � �x �x0 h  x � lim f  x   L x �x0 2 VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x  0 x �� 1  x 4 Gi¶i: x 2 sin x x2 x2 x2 Ta lu«n cã: | f  x  | � �  � f x �   1 x4 1  x4 1  x4 1 x4 1 1 2 2 x2 x2 x2 x2 x 2 sin x x x lim  lim  0; lim  lim  0 � lim  lim  0 � lim 0. 4 4 4 4 x ��1  x x �� 1 x ��1  x x �� 1 x � �1  x x � �1  x x � � 1  x 4 1 1 x4 x4 D¹ng 8: T×m giíi h¹n mét bªn Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh nghÜa giíi h¹n mét bªn �x 3 v� i x  1 � f  x VÝ dô 1: Cho hµm sè f  x   � 2 . T×m xlim �1 2x  3 v� i x �1 � Gi¶i: 2 Ta cã: lim  f  x   lim   2x  3   2.  1  3  1 (1) 2 x � 1 x � 1 lim  f  x   lim  x 3  1 (2) x � 1 x � 1 f  x   1 Tõ (1) vµ (2) suy ra xlim �1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 4 Trường THPT Lê Hồng Phong �1 � � VÝ dô 2: Cho hµm sè f  x   �x  1 �1 �x  1 a. T×m lim f  x  khi x  1 khi x  1 x �2 f  x b. T×m lim x �1 Gi¶i: 1 1 a. lim f  x   lim  x �2 x �2 x  1 3 lim f x   b. x �1  1 1 1 f  x ; lim f  x  lim lim f  x  lim f  x  suy ra kh«ng tån t¹i lim x �1 x � 1 x � 1 x �1 x �1 2 1 x 2 f  x  tån t¹i khi vµ chØ khi lim f  x   lim f  x   L th× lim f  x   L ) (Chó ý: xlim �x x �x x �x x �x 1 lim 1 x  Ta cã: limf  x  x �1 x �1 0 0 0 0 D¹ng 9: T×m giíi h¹n v« cùc Ph¬ng ph¸p: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc VÝ dô: TÝnh lim 4x 2  1 x � � Gi¶i: 1 � 1 � x2 � 4  2 � lim | x | . 4  2 x �  � x � x � 4x 2  1  lim lim x �� x �� | x | � vµ lim V× xlim �� x �� 4 1  2  0 � lim 4x 2  1  � x � � x2 D¹ng 10: Khö d¹ng v« ®Þnh Ph¬ng ph¸p gi¶i P x P  x   lim Q  x   0 : 1. Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , víi xlim �x 0 x �x0 x �x 0 Q  x  • Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x  x 0 • NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho lîng liªn hiÖp. 2 VÝ dô 1: T×m: lim x  9x  14 x �2 x2 Gi¶i:  x  2  x  7  x 2  9x  14 lim  lim  lim  x  7   5 x �2 x � 2 x �2 x2 x2 VÝ dô 2: T×m: lim 4  x  2 x �0 4x Gi¶i: 4x 2  lim x �0 4x lim x �0  4 x 2 4x  x7 2 lim  lim x �1 x �1 x 1  lim x �1  3  x  7 x7 2  Gi¶i: 2x  5  3 x22  3 3    2   lim x �0  x  7  x  1 3  x  7   2. x  7  4 x �2 x �2 3 1 2 VÝ dô 4: T×m: lim lim  4 x  2 4x 2 3 VÝ dô 3: T×m: lim x  7  2 x �1 x 1 Gi¶i: 3  2 4x 4 4x  4x 2  2. 3 x  7  4  2. 3 x  7  4    lim x �1   lim x �0  4  1 4x 2   1 16 x  7  23  x  1 3  x  7  2  2. 3 x  7  4  1 12 2x  5  3 x22  lim x �2    x  2  2  2x  5  3   x  2  2  lim  2x  5  9   x  2  2   lim 2  x  2  2   4 3 2x  5  3 x  2  2   2x  5  3   x  2  4   2x  5  3  2x  5  3 x �2 x �2 3 VÝ dô 5: T×m: lim x  3x  2 x �1 x 1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 5 Trường THPT Lê Hồng Phong Gi¶i:   �  x3  1  3x  2  1 � x 3  3x  2 x3 1 3x  2  1 � 3x  2  1  lim  lim �   lim x2  x 1 � x �1 � x �1 x �1 x �1 � x 1 x 1 x  1 x  1  x  1 3x  2  1 � � � 3 3 3 �2 �  lim � x  x 1 � 3  2  2 x �1 3x  2  1� � lim VÝ dô 6: T×m: lim 4   � � � � x  2 1 x  2 1 Gi¶i: §Æt t  12 x  2 � x  2  t12 � x  t12  2, khi � �x � 1 th� t � 1 . Do ®ã: x �1 3 4 lim x �1 3  t  1  t 2  t  1 t3 1 t2  t 1 3  lim 4  lim  lim  t �1 t  1 t �1 t  1 t  1 t 2  1 t �1 t  1 t 2  1 x  2 1        4 x  2 1 3 VÝ dô 7: T×m: lim x  7  x  3 x �1 x 1 Gi¶i: 3 lim x 7  x 3  lim x �1 x 1  3   x7 2  x 3 2   lim � x  7  2  3 � x �1 x �1 x 1 � x 1 � � � � x  7  23 x  3 4  lim �  � 2 x �1 3 � x  7  2. 3 x  7  4�  x  1 x  3  2 �  x  1 � � � � � � �    x 3  2� � x 1 �  � � 1 1 � 1  1   1  lim �  2 x �1 � 3 6 3 x  3  2 � 12 4 �  x  7  2 x  7  4 � 2. Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim P x , ta lu ý: Q x • §Æt x m (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x) 1 • Sö dông kÕt qu¶: lim   0 ( víi   0 ) x �� x x ��� 2 VÝ dô 1: T×m: lim 3x  4x  1 x �� 2x 2  x  1 Gi¶i: 4 1 3  2 3x 2  4x  1 x x 3 lim  lim x �� 2x 2  x  1 x � � 1 1 2 2   2 x x x 2  x  1  3x 2  3x VÝ dô 2: T×m: lim x �� Gi¶i: x 2  x  1  3x  lim x � � 2  3x lim x �� VÝ dô 3: T×m: lim 3 x �� Gi¶i: 3 lim x ��  1 1 1  3 1  3 4 x x2   2 3 3 3 x 8x 3  3x 2  1  x 4x 2  x  2  3x 3 1  3 1 3 8 1 x x  lim  1 2 x �� 1 2  4 3 4x  x  2  3x  4  2 3 x x C. Bµi tËp tù luËn 8x 3  3x 2  1  x 3 8 1. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 2 1. lim x2  5x  6 x �3 x  8x  15 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 2. lim1 x� 2 8x 2  1 6x 2  5x  1 3 2 3. lim x  4x2  4x  3 x �3 x  3x 6 Trường THPT Lê Hồng Phong 4. lim 2x4  5x3  3x 2  1 x �1 4 3 5. lim x 4  3x  2 x �1 2 3x  8x  6x  1 x  4x  3 3 7. lim x 5  2x  1 x �1 x  2x  1 2. T×m c¸c giíi h¹n hµm sè sau: x2 1. lim x �2 3 x 7 4. 7. lim x �2 3 lim x �1 8. lim x �0 9. lim x �0 x 2. 5. x2  23 x 1 8. 2 x  8x  16  1  x   1  2x   1  3x   1 x 7 3 x2  4  x  1 3 2 6. lim x 4 2x 2 4x  8 x �2 3 2x  7  3 lim 3 lim x �2 3 lim x �0 x 3. x 3 2 x �1  1  x   1  2x   1  3x  ...  1  nx   1 1  x 2 1 x lim x �0 4x  2 x2 6. x 1 9. lim 1  x 2 1 x2 lim x 2  x7 5 x2 3 x �0 x 1 x �2 3 3 10. lim 1  x  1  x x �0 2 11. lim  3x  2 2 4x  x  2 x �1 12. lim 2x  2  3x  1 x �1 2 2 13. lim x  2x 2 6  x  2x  6 x �3 14. lim x  9  x  16  7 x �0 3 2 3 15. lim x  2  2 x  x  1 x �1 x x  3x  2 x  4x  3 3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: x 3 1. lim x 2 7  x  3 3 2. lim 2 1  x  8  x 4. lim x  112  8x  43 x �2 5. lim 7  x  3  x 7. lim 1  4x 1  6x  1 8. lim 1  2x 2 1  3x x �1 x  3x  2 3 2x  3x  2 3 x �0 3 3 x x �0 2 6. lim x  7  5  x 2 3 x 1 x �1 x 1 3 3. lim 1  x  1  x x x �0 x 1 x 1 x �1 3 x x x �0 4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:  2x  3  4x  7  3 2 1. lim 42x 33x 24x  1 x �� 2. lim x 2  x  1 x �� 3. x ��  2x  3  3x  2  4. x �� 50  2x  1 2 5. lim x  2x  3x 2 x �� 6. lim 5x  3 1  x x �� x  5x  2x  x  3 20 30 lim 5. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: � x 2  x  1  x 2  x  1� 1. xlim ��� � 2 2 lim 2x  x  1  3x 3 3  1  10x 2  9  1 x 4x  1  x  2 � 2. xlim  2x  5   4x 2  4x  1� ��� � �x  x  x � 3. xlim ��� � x. � x 2  1  x � 4. xlim �� � � x � 4x 2  9  2x � 5. xlim �� � � x 2 � 3x 4  5  3x 4  2 � 6. xlim �� � � 3 � x3  2  x 2  1� 7. xlim ��� � x � 4x 2  5  3 8x 3  1 � 8. xlim �� � � 1. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0? 1 1 a. b. n n 2. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0? n n 5� �1 � a. � b. �� �� �3 � �3 � 3. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0? a.  0,909  n b.  1,012  n 4. D·y sè nµo sau ®©y kh«ng cã giíi h¹n? a.  0,99  n b.  1 n 5. Gäi L  lim  1 . Khi ®ã L b»ng n4 1 1 a.  b.  5 4 6. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0? 1 1 a. b. n 2n D. Bµi tËp tr¾c nghiÖm D·y sè cã giíi h¹n 0 c. 2n  1 n n d. cos n n n 5� c. � � � � 3� 4� d. � � � � 3� c.  1, 013 n d.  1,901 n c.  0,99  n d.  0,89  n c. – 1 d. 0 n Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 n 4� c. � �� �3 � D·y sè cã giíi gi¹n h÷u h¹n 7 d.  1 n n Trường THPT Lê Hồng Phong 7. Cho u n  a. 1  4n . Khi ®ã un b»ng 5n 3 5 8. Cho u n  b.  3 5 c. 4 5 d.  c. 2 5 d. 4 5 2 n  5n . Khi ®ã limun b»ng 5n a. 0 b. 1 9. Gäi L  lim 9  cos 2n th× L b»ng sè nµo sau ®©y? n a. 0 b. 3 1 10. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 ,  1 , 1 ,...,   2 4 8 2n 1 a. 1 b. 3 c. 3 7 5 d. 9 n 1 ,... lµ c.  1 11. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 ,  1 , 1 ,...,   ,... lµ 3 9 27 3n 1 1 a. b. 4 2 n 1 1 12. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 ,  1 , 1 ,...,   ,... lµ 2 6 18 2.3n 1 8 3 a. b. 3 4 1 3 d.  2 3 n 1 c. 3 4 d. 4 c. 2 3 d. 1 13. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n: 1,  1 , 1 ,  1 ,...,   ,... lµ 2 4 8 2 n 1 2 2 3 a.  b. c. 3 3 2 D·y sè cã giíi h¹n v« cùc 14. KÕt qu¶ L  lim  5n  3n 3  lµ a. � b. – 4 c. – 6 2 15. BiÕt L  lim  3n  5n  3 th× L b»ng a. � b. 3 c. 5 3 2 16. lim  3n  2n  5  b»ng a. � b. – 6 c. – 3 3 17. lim 2 b»ng 4n  2n  1 3 a. � b.  c. – 1 4 2 18. lim 4 b»ng 5n  2n  1 2 1 a. b. c. 0 5 2 3 19. lim 3n  2n  1 b»ng 4n 4  2n  1 3 a. 0 b. � c. 4 4 2n  2n  2 20. lim 4 bằng 4n  2n  5 1 a. 0 b. � c. 2 2 4 5n  3n 21. lim 4 b»ng 4n  2n  1 3 5 a.  b. 0 c. 4 4 3 8 n 1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 8 d. 2 d. � d. � d. � d. 0 d. � d. 2 7 d. 3 11 d. 3 4 Trường THPT Lê Hồng Phong 3 22. lim 2n  3n b»ng 2 4n  2n  1 5 3 a. b. 7 4 23. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ �? a. u n  3n 2  n 3 b. u n  n 2  4n 3 24. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞? a. u n  n 4  3n 3 b. u n  3n 3  2n 4 2 25. lim 4n  5  n  4 b»ng 2n  1 a. 0 26. KÕt qu¶ lim   d. � c. u n  4n 2  3n d. u n  3n 3  n 4 c. u n  3n 2  n d. u n   n 2  4n 3 b. 1 c. 2 d. � b. 10 c. 10 d. 0 b. 1 c. 3 4 d.  4 3 d. L 3 n  10  n lµ a. +∞ 27. KÕt qu¶ lim c. 0 3  2n  4n lµ 4n 2  5n  3 2 a. 0 28. NÕu lim u n  L th× lim u n  9 b»ng a. L + 9 b. L + 3 29. NÕu lim u n  L th× lim 1 3 un  8 1 a. L9 b»ng bao nhiªu? 1 b. L 8 c. c. L8 2n  3 b»ng 2n  5 5 5 a. b. 7 2 4 10 n 31. lim 4 b»ng bao nhiªu? 10  2n a. � b. 10000 1  2  3  ...  n 32. lim b»ng bao nhiªu? 2n 2 1 a. 0 b. 4 1 L 2 3 d. 1 3 L8 30. lim 3 3 33. lim n  n b»ng 6n  2 1 a. 6 34. lim n  b.  c. 1 d. � c. 5000 d. 1 c. 1 4 c. 1 2 3 d. � 2 6 d. 0 n 2  1  n 2  3 b»ng bao nhiªu? a. +∞ b. 4 n  sin 2n 35. lim b»ng sè nµo sau ®©y? n 5 2 1 a. b. 5 5 36. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0? 1  2n n 2  2n a. u n  b. 2 5n  3n 2 5n  3n 37. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞? 1  2n n 2  2n a. u n  b. 2 5n  5n 2 5n  5n 38. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞? 2 2007  2008n a. u n  9n  7n b. u n  n 1 n  n2 39. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1? Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 c. 2 d. – 1 c. 0 d. 1 c. 1  2n 2 5n  3n 2 c. u n  1 n2 5n  5 c. u n  2008n  2007n 2 9 d. u n  n2  2 5n  3n 2 d. u n  n2  2 5n  5n 3 d. u n  n 2  1 Trường THPT Lê Hồng Phong 2 2 a. lim 2n  3 b. lim 2n  3 3 2n  4 2n 2  1 40. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0? 2 3 a. lim 2n  3 b. lim 2n  3n 2n 3  4 2n 2  1 41. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ �? 2 2 a. lim 2n  3 b. lim 2n  3n 3 2 n 4 2n  1 1 42. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng ? 5 2 1  2n n  2n a. u n  b. u n  5n  5 5n  5n 2 43. NÕu L  lim � n �  3 d. lim 2n  3 2n 2  1 c. lim 2n  3n 2n 3  n 2 4 d. lim 3  2n 2n 2  1 c. lim 2n  3n 2n 3  n 2 d. lim 3  2n 2n 2  1 2 2 c. u n   b.  2n 2  3 2n 3  2n 2 4 1  2n 2 5n  5 3 3 d. u n  1  2n 5n  5n 2 n 2  2  n 2  4 �th× L b»ng � a. � 44. Gäi L  lim � n � a. � c. lim 7 2 d. 0 c. 3 d. 2 c. 7 1  n 2  2  n 2  4 �. Khi ®ã L b»ng � b. 6 45. lim 4n  1  n  2 b»ng 2n  3 2 b. 3 2 c. 2 d. � b. 29 3 c. 9 d. 3 b. 2 1 50. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n  ? 3 2 3 n  3n 2n  n 2 a. u n  3 b. u n  2 9n  n  1 3n 2  5 Giíi h¹n cña hµm sè 51. lim  x 2  x  7  b»ng x �1 a. 5 b. 7 2 52. lim  3x  3x  8  b»ng c. 4 d. � c. 9 d. � a. 2 2 53. lim x  3x  2 b»ng x �1 x 1 a. 1 3 2 54. lim 3x  x  2 b»ng x �1 x2 b. 5 c. 9 d. 10 b. 1 c. 2 d. � b. 1 c. a. 1 46. lim cos 2n  9 b»ng 3n a. � 47. lim   n 2  2n  n 2  2n cã kÕt qu¶ lµ a. 1 x �2 a. 5 3x 4  2x 5 b»ng x �1 5x 4  3x 6  1 1 a. 9 3x 2  x 5 56. lim 4 b»ng x �1 x  x  5 4 a. 5 x 2  x3 57. lim 2 b»ng x �2 x  x  3 c. u n  5 3  n 4  2n 3  1 3n 3  2n 2  1 d. u n  d.  5 3 d.  2 3  n 2  2n  5 3n 3  4n  2 55. lim Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 b. 3 5 c.  b. 4 7 c. 10 2 5 2 5 d. 2 7 Trường THPT Lê Hồng Phong a.  4 9 b. x 4  2x 5 b»ng x �1 2x 4  3x 5  2 1 a.  12 x  x 3 b»ng 59. lim x �2 x 2  x  1 10 a.  7 12 5 c. 4 3 d. � 58. lim b.  1 7 c.  b.  10 3 c. 2 7 6 7 d. � d. � 60. lim 4x 3  2x  3 b»ng x �1 a. 5 3 61. lim x �1 3 x 1 x 3 2 2 b. 3 c. 1 b. 1 c. b»ng a. 0 62. lim 2x  x  2x  3 b»ng x �� x  2x 4 a. 2 b. 1 3x 4  2x  3 63. lim b»ng x �� 5x 4  3x  1 4 a. 0 b. 9 4 5 3x  2x 64. lim 4 b»ng x �� 5x  3x  2 2 3 a.  b. 5 5 3x 4  2x 5 65. lim 4 b»ng x �� 5x  3x 6  2 3 a. � b. 5 4 66. lim x �� 3 x �2 x �1 4 2 d.  2 3 c. 1 d. 2 3 5 d. � c. � d. � c. c.  2 5 d. 0 3x 4  4x 5  2 b»ng 9x 5  5x 4  4 2 3 b. 1 3 c. 5 3 d. b. 1 3 c. 35 9 d. � b. 3 8 x 4  4x 2  3 b»ng 7x 2  9x  1 1 15 a. 68. lim 1 3 2 a. 0 67. lim d. 5 x 4  4x 2  3x b»ng x 2  16x  1 1 8 a. | x 3| b»ng 3x  6 1 a. 2 3 8 Giíi h¹n mét bªn c. d. � c. 0 d. � 69. lim x �3 70. lim  x �1 b. 1 6 1  x 3 b»ng 3x 2  x a. 1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 b. 0 c. 11 1 3 d. � Trường THPT Lê Hồng Phong x2 b»ng x 1 1 a.  2 2 x  1 lµ 72. lim  x �1 x  1 a. � 3 73. lim x  2x  3 b»ng x �2 x 2  2x 71. lim  x �1 a. � 74. lim  x �0 2x  x 5x  x d. � b. 2 c. 1 d. � b. 1 8 c.  9 8 d. � b. 2 5 c. 1 d. � c. 1 d. � lµ a. � 75. lim 1 2 c. � b. x 2  4x  3 x3  x 2 a. 1 x �1 lµ b. 0 �x 2  3x  1 76. Cho hµm sè: f  x   � 5x  3 � a. 11 b. 7 v� ix2 . Khi ®ã lim f  x  b»ng: x �2 v� i x �2 c. 1 � 2x  2x v� i x �1 � 77. Cho hµm sè f  x   � 3 . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 i x 1 �x  3x v� a. – 4 b. –3 c. –2 �2  x  3 khi x �1 � � 2 78. Cho hµm sè y  f  x   � x  1 . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 �1 khi x  1 � �8 1 1 a. b.  c. 0 8 8 �x 2  1 v� i x 1 � 79. Cho hµm sè: f  x   �1  x . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 � 2x  2 v� i x �1 � a. –1 b. 0 c. 1 � 2x v� i x 1 � 80. Cho hµm sè f  x   � 1  x . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 � 3x 2  1 v� i x �1 � a. � b. 2 c. 4 d. 13 3 d. 2 d. � d. � d. � Mét vµi quy t¨c t×m giíi h¹n v« cùc (d¹ng v« ®Þnh) 81. Cho L  lim 2x  3x  1 . Khi ®ã x �1 1 x2 1 1 a. L  b. L  2 4 2 x 4 82. Cho L  lim 2 . Khi ®ã x �2 2x  3x  2 4 4 a. L  b. L   5 5 2 83. lim x  3x  2 b»ng x �2 2x  4 3 a. � b. 2 2 x  12x  35 84. lim b»ng x �2 x 5 2 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 c. L   c. L  c. 12 1 2 1 2 1 4 d.  1 2 d. L   d.  1 2 1 2 Trường THPT Lê Hồng Phong a. � b. 5 c. 2 5 d.  2 5 1 5 c. 2 5 d.  2 5 c. 1 2 d.  1 2 x 2  12x  35 b»ng x �5 5x  25 85. lim a. � b. x 2  2x  3x 86. lim b»ng x �� 4x 2  1  x  2 2 a. 3 87. lim  a. � x ��  a. 89. lim x x ��  2 3 x  1  x  3 b»ng x �� 88. lim x b.   b. 2 c. 0 d. � 5 2 d. � x  5  x b»ng 2 b. 5   5 c. 2 x 2  2  x b»ng a. � t4 1 90. lim b»ng t �1 t  1 a. � t4  a4 91. lim b»ng t �a t  a a. 4a 2 y4  1 92. lim 3 b»ng y �1 y  1 a. � 3x 2  x 5 b»ng x �� x 4  6x  5 a. � b. 2 c. 1 d. 0 b. 4 c. 1 d. � b. 3a 3 c. 4a 3 d. � b. 0 c. b. 3 c. –1 d. � b. 1 c. 2 d. � b. –1 c.  b. 1 c. 2 3 d.  b. –4 c. 1 2 d. � b. –1 c. 4 d. � b. –2 c.  3 4 d. 4 3 93. lim 4x  1  x  5 b»ng 2x  7 2 94. lim x �� a. 0 95. lim x  1  x  x  1 b»ng x �0 x 2 a. 0 3 96. lim x �1 x 1 x 3 2 2 1 2 d. � b»ng a. � 2 3 x 2  2x  15 b»ng x �5 2x  10 97. lim a. –8 x 2  2x  15 b»ng x �5 2x  10 a. –4 x 2  9x  20 99. lim b»ng x �5 2x  10 5 a.  2 98. lim Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 13 3 2 d. � Trường THPT Lê Hồng Phong 3x 4  2x 5 b»ng x �� 5x 4  x  4 2 a.  5 x 3  1 b»ng lim x �1 x 2  x a. –3 x b»ng lim  x  5  x �� x3 1 a. 0 x 2  3x  2 b»ng lim x �1 x3 1 2 a.  3 2x 3  x b»ng lim x �� x 2  2 a. � 100. lim 101. 102. 103. 104. 105. lim  x ��  3 5 c. � d. � b. –1 c. 0 d. 1 b. 1 c. 2 d. � c. 0 d. b. 1 c. 2 d. � b. 4 c. 0 d. � b. 2 c. 6 d. � b. b.  1 3 1 3 x  5  x  7 b»ng a. � 3x 2  7x 106. lim b»ng x �3 2x  3 3 a. 2 107. lim 2  x  3 b»ng x �1 1 x2 1 1 1 1 a. b. c. d.  6 8 8 4 108. Nèi mçi ý ë cét bªn tr¸i víi mçi ý ë cét bªn ph¶i ®Ó ®îc mét kh¼ng ®Þnh ®óng. Cét tr¸i Cét ph¶i x 2  2x  15 7 b) 01. lim b»ng a)  x �3 2x  10 2 2 3. lim x  2x  15 b»ng x �5 3x  15 3 c) 2 2 x  3x  10 2. lim b»ng x �5 2x  10 8 x 2  3x  10 4. lim b»ng d) x �5 3 2x  10 7 e) 2 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 14 Trường THPT Lê Hồng Phong
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan