Tài liệu Bài tập giải tích 2

  • Số trang: 15 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 347 |
  • Lượt tải: 0
minhminh

Đã đăng 411 tài liệu

Mô tả:

Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG 0 , nếu hàm lẻ lẻ , nếuf (xf )(xlà) là hàm  a  f ( x)dx  2 f ( x)dx , nếu f (x) là hàm chẵn a  0 a Bài 1: Tính các tích phân sau e2 dx x ln x a/ I   e e c/ I   ln xdx 1 b/ I   1  x 2 dx 0  /2 d/ I n   sin n xdx 1 0 1  /3 dx 4x  4x  5 0 e/ I   2 2 2 x tg 2 x g/ I   dx 1 x4 2  x sin xdx 1  cos2 x 0 i/ I   2 dx k/ I   3  2 cos x 0 ln 8  m/ I  ln 3 dx ex 1 e o/ I   ln 2 xdx  2  h/ I  q/ I n   ln xdx n 6 dx 1 1  3x  2 j/ I   1 arcsin x dx 1 x 0 l/ I   3 n/ I   xarctgxdx 0  /2 dx  1  2 sin p/ I  0 2 x  /2  cos r/ I n  n x cos nxdx 0 1  /4 1  cos 2 x dx 0 1 e x sin x dx 2 cos x /3   f/ I  1 s/ I n   tg 2 n xdx t/ I n   x n e  x dx 0 0 Bài 2: Tính các tích phân suy rộng  dx a/ I   1 x2 0  dx c/ I   (1  x 2 ) 2   e/ I   x n e  x dx 0 e g/ I   1 dx x ln x Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 1 dx b/ I   1 x2 0  d/ I  dx  1 x 3 0     2 x x  1   2  f/ I    b h/ I   a dx xdx ( x  a )(b  x) Trang 1 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn 3  dx i/ I   j/ I   xe  x dx 2 4x  x2  3 1 0  2 x dx 2 x 2 k/ I   0 arctgx  1  x  l/ I  2 3/ 2 dx 0 Bài 3: Khảo sát sự hội tụ (hay phân kỳ) của tích phân suy rộng  dx x a/ I   a  , với   0 x3/ 2 dx 1 x2 1 d/ I   x 1 x2 1 cos2 x dx 2 1  x 0  dx c/ I    b/ I   b dx (b  x) a e/ I   , với   R 1 ln x dx 1 x2 0 h/ I    1 arctgx dx x 0 i/ I    1  o/ I  x 1  1 x 3 l/ I   dx ln  x , với   0   0 dx 2 r/ I  sin x dx x2 1  1 cos x s/ I   dx x 1 dx t/ I   e 0 x 1 2 dx x 1 dx ln x 1 v/ I   1 1 dx w/ I   x e  cosx 0 x/ I   0  y/ I  , với  x ln  x p/ I  0 0 dx ln  x 1   1 x 1 q/ I   cosxdx u/ I   ln(1  x) dx x 1  n/ I  dx 1 2  dx ( x 2  x  1) 2 xarctgx dx  1 x j/ I    1  x4  ln x dx g/ I   1 x2 0 m/ I  4 0 1 k/ I  dx f/ I   dx x  x2  xdx 0 x 3  2x  1 z/ I  1  4 sin 3x dx 3 3 x 1 x   Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường cong 2 a/ y 2  2 x và x2  2 y b/ S   | 1  x | dx 0 c/ y  2  x 2 và y3  x2 e/ x  t 2  1 và y  4t  t 3 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT  x  a (t  sin t ) và trục Ox  y  a (1  cost ) d/  f/ r  a(1  cos ) và r  a Trang 2 Bài tập Giải Tích 2 x2 y2 g/ 2  2  1 , với a  0, b  0 a b i/ x 2  y 2  4 và x 2  y 2  2 x  0 k/ x  0, y  0 và x  y 2 ( y  1) ThS. Lê Hoàng Tuấn h/ y  ( x  1) 2 và x  sin(y) j/ y  x và y  x  sin 2 x , với 0  x   l/ y 2  x 2 (a 2  x 2 ) , với a  0 Bài 5: Tính thể tích  x  a (t  sin t ) ; 0  t  2  y  a (1  cost ) a/   y  2x  x2 b/  y  0 và y  0 xoay quanh Ox xoay quanh Ox và Oy c/ vật bị giới hạn bởi mặt z  4  y 2 và x  a (với a  0 ), x  0, z  0 d/ vật bị giới hạn bởi 2 mặt trụ x 2  y 2  a 2 và y 2  z 2  a 2 e/ vật tròn xoay khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi y  sin x ( 0  x   ) và trục Ox khi quay quanh Ox và quay quanh Oy f/ vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y  x 2 và y  4 quay quanh Oy và quay quanh đường thẳng x  2 2 g/ y  ( x  4) 3 , x  0 xoay quanh trục Oy h/ y  e 2 x  1, y  e  x  1, x  0 quay quanh trục Ox Bài 6: Tính diện tích mặt tròn xoay a/ y  x 2 ; 0  x  1 xoay quanh Oy  x  a (t  sin t ) ; và  y  a (1  cost ) b/  y  0 xoay quanh Ox c/ 9 y 2  x(3  x) 2 ; 0  x  3 quay quanh Ox d/ 3 y  x 3 ; 0  x  a quay quanh Ox  x  a 2 cos3 t e/  3  y  a sin t ; 0  t  2 quay quanh Ox Bài 7: Tính độ dài đường cong a/ y 2  x 3 từ gốc toạ độ đến điểm A(4,8)  x  a cos3 t ; 0  t  2 3  y  a sin t  c/ r  sin 3 với 0     / 2 3 1 d/ y  (3  x) x ; 0  x  3 3 1 2 1 e/ y  x  ln x ; 1  x  e 4 2 b/  CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI Bài 1: Tính các tích phân bội hai a/ I   ( x  2 xy )dxdy , với 2 D Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT y  3  x2 D: 2  y  2x Trang 3 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn 2 y  x D:  y  2x 1 D  y  x 2 1 c/ I   ( x 2  5 xy )dxdy , với D :  y  1 x D 2 b/ I   ( xy  3x)dxdy , với x  y  D : x  2 y y 1  d/ I   xydxdy , với D 1  x 2  y 2  4 D:  x  y  3x x 2  y 2  2x 4  x 2  y 2 dxdy , với D :  y  0 e/ I   ( x  4 y )dxdy , với D f/ I   D g/ I   D 1 x2  y2 dxdy , với h/ I   ( x  2 y )dxdy D i/ I   (2 x  7 y )dxdy D j/ I   3xdxdy , với D k/ I   ( x  6 y )dxdy D x 2  y 2  2 y D: y  x x 2  y 2  4  , với D :  y   x y  0  y  2  x2  , với D :  y  0 y  x  2 y  x 2  y 2  4 y  D : y  x x  0   y  ln x  , với D :  y  0 x  e2  Bài 2: Tính các tích phân bội ba x 2  z 2  4  a/ I   x 2  z 2 dxdydz , với  :  y  0  y  2   x  y  z  0; x  y  z  2  b/ I  ( x  y  z )dxdydz , với  :  x  y  z  1; x  y  z  3   x  y  z  1; x  y  z  4  c/ I    d/ I   xdxdydz , với  x 2  y 2  z 2  4 : y  0 2 z  x  y 2 : z  y  2 1 dxdydz , với 2 x  y2  z2 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 4 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn 1  x  y  z  4 e/ I   zdxdydz , với  :  2 2 2 2 2  x  y z0 x 2  y 2  z 2  2 y f/ I  2 zdxdydz , với  :  z  0  x 2  y 2  z 2  4 g/ I  3zdxdydz , với  :  2 2   x y z   x2 y2 2  :  9  4  z 1  z  0 x 2  y 2  4   : x  0 0  z  5   x2 y2  h/ I     z 2 dxdydz , với 9 4    i/ I  ( x  4 y )dxdydz , với  y2  z2  4  j/ I   y 2  z 2 dxdydz , với  :  y  x  2  y  x  2  x 2  y 2  2x k/ I   z x 2  y 2 dxdydz , với  :  0  z  y  x 2  y 2  z 2  4z l/ I   xdxdydz , với  :  2 2 2 x  y  z  Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể  sau z  x  2 y 2 a/  :  2 z  1  x  0, y  0, z  0  c/  :  x 2  y 2  1 z  2  x 2  x 2  y 2  1  b/  :  z  x 2  y 2 x 2  y 2  4  z  x 2  y 2  z 2  1 d/  :  2 2 z  x  y Bài 4: Tính các tích phân sau  y  x, y  2 x  a/ I  ( x  z )dxdydz , với  :  y  1, z  0  z  x 2  y 2  y  x2 , y  x  b/ I   xdxdydz , với  :  z  0  z  1  y 2  c/ I    x 2  y 2  4  x 2  y 2 dxdydz , với  :  z  x 2  y 2 z  x 2  2 y 2  Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 5 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn x  y  z  2x d/ I   zdxdydz , với  :  2 2 2 z  0 x 2  y 2  z 2  4 e/ I   ydxdydz , với  :  2 2  z  x  y  x 2  y 2  1  f/ I  ( x  2)dxdydz , với  :  x  0, y  0, z  0  z  1  x 2  y 2  x  y 2  z 2  1  g/ I  2 xdxdydz , với  :  x  0  y2  z2 1  z  x 2  y 2 h/ I   zdxdydz , với  :  z  x  2  x 2  y 2  z 2  4z i/ I   ydxdydz, với  :  2 2  z  x  y y  2  x2  j/ I  ( y  z )dxdydz , với  :  y  1, z  0  z  2x  x 2  y 2  2x  k/ I  3dxdydz , với  :  x  z  4  x  z  4  x 2  y 2  z 2  4  l/ I  2dxdydz, với  :  x 2  y 2  1  z  0  z  x 2  y 2 m/ I   4dxdydz , với  :  2 2 z  2  x  y  x 2  y 2  z 2  2 y n/ I  2 ydxdydz , với  :  y 1  x 2  y 2  z 2  1  : o/ I   zdxdydz , với  z  0  z  1 p/ I  ( x  z )dxdydz , với  :  2 2 z  4  x  y  1  x 2  y 2  z 2  4 2 2 2 q/ I  ( x  y  z )dxdydz , với  :  2 2  z  x  y 0  x  1  r/ I  ( x  yz )dxdydz , với  : 0  y  1  1  z  4  Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 6 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn x  y  2x  s/ I   dxdydz , với  :  z  0  z  x 2  y 2  2 2 Bài 5: Biểu diễn các miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I   f ( x, y )dxdy , với D a/ D là hình chữ nhật bị giới hạn bởi x  2, x  3, y  4, y  6 và f ( x, y)  x  y b/ D bị giới hạn bởi y  2 x, x  0, y  4 và f ( x, y)  x c/ D bị giới hạn bởi x  4  y 2 , x  0,1  y  1 và f ( x, y )  xy 2 d/ D là hình thang bị giới hạn bởi x  0, y  0, x  y  2, x  y  1 và f ( x, y)  x e/ D là tam giác bị giới hạn bởi x  0, y  0, x  y  3 và f ( x, y)  x( x  1)e xy f/ D là hình tròn x 2  y 2  4 nằm trong phần tư thứ nhất, và f ( x, y )  x 2  2 y g/ D là miền | x |  | y | 1 và f ( x, y)  x 1 2 h/ D là miền nằm phía trên đường y  ; nằm trong vòng tròn x 2  y 2  1 và f ( x, y )  x y 2  1 i/ D bị giới hạn bởi y  5  x, y   x  7, x  10 và f ( x, y)  3x  5 j/ D là hình tròn x 2  y 2  16 nằm trong phần tư thứ hai, và f ( x, y)  x k/ D là hình chữ nhật [2,2]  [0,1] và f ( x, y)  x  y l/ D là hình chữ nhật [0,4]  [1,3] và f ( x, y)  xy Bài 6: Hãy tính tích phân I   x 2 ydxdy trên miền D cho bởi các hình vẽ sau D a/ b/ c/ d/ e/ f/ Bài 7: Tính các tích phân sau Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 7 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn 1 x 1 0 a/ I   dydx b/ I   dydx 0 0 1 3 0 x 2 x d/ I   c/ I    (1  y )dydx 6 0 0 x  /2 4 y y3 e/ I   3 dxdy x 2 1 f/ I  4 x 2  (4  x 2 3/ 2 ) dxdy 0  cos y 0 ydxdy 0 Bài 8: Tính thể tích của các khối  sau x y a/  có đáy là (0,0), (a,0), (0, b) , với a, b  0 và nằm dưới mặt phẳng z  2     a b b/  nằm phía trên mặt phẳng Oxy và dưới mặt z  1  x  2 y c/  nằm trong hình trụ x 2  2 y 2  8 , trên z  y  4 và dưới z  8  x d/  là tứ diện nằm trong góc x  0, y  0, z  0 , tạo ra bởi các mặt tọa độ và mặt 2 2 3x  4 y  2 z  12 e/  là tứ diện có các đỉnh (0,0,0), (3,0,0), (2,1,0), (3,0,5) f/  là nửa mặt cầu x 2  y 2  z 2  a 2 , z  0, a  0 g/  là tứ diện với các mặt x  0, z  0, x  y  5,8x  12 y  15 z  0 Bài 9: Tính tích phân I   xdydz  ydzdx  zdxdy , với S là phía trên của phần mặt phẳng S x  z 1 0 , nằm giữa 2 mặt phẳng y  0, y  4 và thuộc góc phần tám thứ nhất. Bài 10: Tính tích phân I   2dxdy  ydxdz  xzdydz , với S là phía ngoài ellipsoid S 4 x 2  y 2  4 z 2  4 và thuộc góc phần tám thứ nhất. Bài 11: Tính tích phân I   xydS , với S là mặt z  2 x,0  x  1,0  y  2 S Bài 12: Tính tích phân I   ( xy  y 2  yz )dS , với S là mặt x  y  z  1,0  y  1,0  z  2 S CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT Bài 1: Tính các tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) a/ I  y 2 dx  xdy , với (C ) : y 2  4 x từ (0,0) đến (1,2) (C ) b/ I   x 2 y 2 dx  xy 2 dy , với (C ) là đường x  1,2  y  4 (C ) c/ I  1 x y dx  2 dy , với (C ) là vòng tròn bán kính 1, từ (1,0) đến (0,1) . 2 2 4 x  y x  y (C )  2 d/ I    ydx  xdy , với (C ) là y 2  4 x từ (1,2) đến (0,0) (C ) e/ I   (3x  2 y )dx , với (C ) là y  8 x  2 x 2 từ (4,0) đến (0,0) (C ) Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 8 Bài tập Giải Tích 2 f/ I   xydx , với (C ) là đường thẳng nối (0,1) tới (1,0) ThS. Lê Hoàng Tuấn (C ) g/ I   ( x 2  y 2 )dx  xdy , với (C ) là vòng tròn x 2  y 2  4 , từ (0,2) đến (2,0) (C ) Bài 2: Tính các tích phân sau a/ I   x 2 y 2 dx  xy 2 dy , với (C ) là đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, tạo ra bởi (C ) đường x  1 và parabol x  y 2 b/ I    xdy  ydx , với (C ) là tam giác tạo bởi 3 đỉnh (0,0), (0, a), (b,0) ngược chiều kim (C ) đồng hồ.  xdy , với (C ) là ellipse c/ I  (C )  ydx , với d/ I  x2 y2   1 thuận chiều kim đồng hồ. a2 b2 (C ) là đường cong tạo bởi x 2  y 2  1, y  0 trong nửa mặt phẳng trên theo (C ) chiều ngược chiều kim đồng hồ. e/ I   ( x 3  y 2 )dx  2 xy 2 dy , với (C ) là đường ngược chiều kim đồng hồ, xung quanh hình (C ) vuông tạo bởi x  0, x  2, y  0, y  2 f/ I   xy 2 dx , với (C ) là đường tròn x 2  y 2  a 2 thuận chiều kim đồng hồ. (C ) g/ I   x 2 y 2 dx  x 3 ydy , với (C ) là hình vuông tạo bởi x  0, x  1, y  0, y  1 ngược chiều (C ) kim đồng hồ. Bài 3: Chứng minh các tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các tích phân a/ I   (e x  y )dx  ( x  2 y )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc, nối (0,1) (C ) đến (2,4). b/ I   (2 xy 2  1)dx  (2 x 2 y )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ nối từ (1,2) đến (2,3) . (C )  x(t )  t 1 / 2 c/ I   ( y  2 xe y )dx  ( x  x 2 e y )dy , với (C ) là đường   y (t )  ln t (C ) , nối từ (1,0) đến (2, ln 2) .   y 2 dx  (2 xy )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ nối từ (1,4) đến (3,2) trong  (C ) miền x, y  0 d/ I  e/ I   1   x 2  x cos(x  y)  sin( x  y)dx  x cos(x  y)dy , với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ (C )    (0,0) đến  ,  6 3 f/ I   (2 xy )dx  ( x 2  1)dy , với (C ) là đường cong tạo bởi bốn cạnh của hình vuông (C ) x  0, x  2, y  0, y  2 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 9 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn 2 g/ I   (2 xy )dx  ( x  1)dy , với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ (0,1) đến (2,3) (C ) h/ I   (4 x 2  4 y 2 )dx  (ln y  8 xy )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ (1,1) đến (4, e) (C ) trong miền y  0 Bài 4: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green a/ I  0  x  1 , với là đường cong kín bao quanh miền D : ydx  xdy (C )   0  y  1 (C ) b/ I   e x cos ydx  e x sin ydy , với (C ) là tam giác có 3 đỉnh (0,0), (0,1), (1,0) (C ) c/ I   ydx , với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D là phần hình tròn nằm trong (C ) góc phần tư thứ nhất. d/ I   xydx  ( x 3 / 2  y 3 / 2 )dy , với (C ) là đường cong kín, bao quanh miền D là hình vuông (C ) [0,1]  [0,1]      (C ) là biên của tam giác có 3 đỉnh (0,0),  ,0 ,  0,  . 2   2 (C ) f/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C ) là biên của tam giác có 3 đỉnh (0,0), (1,1), (1,0) g/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D : [0,2]  [0,1] . e/ I   y cos xdx  x sin ydy , với Bài 5: Chứng minh rằng với miền D thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích D bằng các công thức  xdy  , (C )  ydx 1  ydx  xdy 2 (C ) , (C ) với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D . Sau đó áp dụng để tính các diện tích sau a/ Tính diện tích hình tam giác D có các đỉnh (0,0), (5,2), (3,8) b/ Diện tích tứ giác với các đỉnh (0,0), (2,1), (1,3), (4,4) . c/ Diện tích tam giác với 3 đỉnh (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ) , với giả thiết 3 điểm này không thẳng hàng. Bài 6: Cho y x  y2 Q P  a/ Chứng minh rằng x y P ( x, y )  b/ Chứng minh rằng và Q ( x, y )  2  Q x x  y2 2 P   Pdx  Qdy    x  y dxdy , với (C ) (C ) là đường cong kín bao quanh D D : x2  y2  1 c/ Giải thích vì sao định lý Green không thỏa ở câu b/ Bài 7: Tính các tích phân đường sau Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 10 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn x  y  2x a/ I   xydx  y 2 dy , với (C ) là nửa đường tròn  (C ) b/ I   e ( x  y2 ) 2 ( x  2 y)dx  ( x 2 2 x  1  2 ngược chiều kim đồng hồ.  y )dy , với (C ) là đường tròn x 2  y 2  4 theo chiều dương (C ) lượng giác. ( x  y )dx ( x  y )dy , trong đó  2 2 2 2 x  y x  y (C )  c/ I  TH1: (C ) là đường tròn x 2  y 2  a 2 theo chiều dương lượng giác TH2: (C ) là đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ O , ngược chiều kim đồng hồ. ( 3, 4 )  (e d/ I  x  y )dx  ( x  y 3 )dy (1, 1) e/ I   ( x  y 2 )dx  2 xdy , với (C ) là (C ) 1 đường ellipse x 2  4 y 2  1 , phần y  0 , theo chiều 4 kim đồng hồ. f/ I   ( xy  2)dx  y 2 xdy , với (C ) là chu vi tam giác OAB , trong đó O(0,0), A(1,1), B(0,2) (C ) ngược chiều kim đồng hồ. g/ I   xydx  2 y 2 dy , với (C ) là 1/ 2 đường tròn x 2  y 2  4 cùng chiều kim đồng hồ. (C ) h/ I   ( x 2  y 2 )dx  2 xydy , với (C ) là 1/ 2 đường tròn x 2  y 2  4 x , y  0 ngược chiều (C ) kim đồng hồ i/ I  ( x  2 y )dx ( y  3x)dy , với (C ) là đường tròn x 2  y 2  9 ngược chiều kim đồng hồ  2 2 2 2 x  y x  y (C ) j/ I  2x  3y x  5y dx  2 dy , với (C ) là phần tư ellipse x 2  4 y 2  1 ở góc phần tư thứ 2 2 2 x  4 y x  4 y (C )   nhất, ngược chiều kim đồng hồ. k/ I   e  x  y (2 xy  1)dx  (3 y 2  x 2 )dy , với (C ) là đường tròn x 2  y 2  1 cùng chiều kim 2 2 (C ) đồng hồ. l/ I   xydx  (2 x  3 y )dy , với (C ) là chu tuyến (biên của chu vi) dương của miền (C ) y  x2 D: y  2  x m/ I   ( x 3  2 y )dx  (e y  2 x)dy , với (C ) là đường cong tùy ý, nối từ A(1,1) đến B(3,2) (C ) xdx  ydy theo đường cong tùy ý không chứa gốc O . x2  y2 (1,1) ( 3, 2 ) n/ I   o/ I   ( xy 2  1)dx  ( x 2  y 2 )dy , với (C ) là nửa đường tròn x 2  y 2  4 y , y  1 ngược chiều (C ) kim đồng hồ. p/ I   2 xdx  ( y  z )dy  zdz , trong đó (C ) Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 11 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn TH1: (C ) là đoạn thẳng nối từ A(2,1,1) đến B(3,3,2) (chiều từ A  B ) TH2: (C ) là giao của x 2  y 2  1 và z  2  x 2  y 2 theo chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz . q/ I   xydx  xzdy  yzdz , với (C ) là giao của y  x 2 và z  x từ (0,0,0) đến (1,1,1) . (C ) Bài 8: Cho P( x, y)  (1  x  y)e  y và Q( x, y)  (1  x  y)e  y a/ Tìm h  h(x) , với h(0)  1 để  h( x) P( x, y)dx  h( x)Q( x, y)dy không phụ thuộc vào I đường đi. (C ) b/ Với h(x) ở câu a/ hãy tính I , với (C ) là 1/ 2 đường tròn x 2  y 2  9 bên phải trục tung, ngược chiều kim đồng hồ. Bài 9: Tìm hàm h( x 2  y 2 ) , với h(1)  1 để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi  h( x I 2   y 2 ) ( x 3  xy 2 )dy  ( x 2 y  y 2 )dx  (C ) Bài 9: Tính các tích phân mặt (loại 1) sau a/ I   ( x  2 z )dS , với (S ) là phần mặt phẳng x  y  z  1 ở góc phần 8 thứ nhất. S b/ I   zdS , với (S ) là phần mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 nằm trên hình nón z  x 2  y 2 S c/ I   ( x  y)dS , với (S ) là phần mặt nón z  x 2  y 2 nằm trong hình trụ x 2  y 2  2 x S d/ I   dS , với (S ) là phần mặt paraboloic z  x 2  y 2 nằm trong hình trụ x 2  y 2  4 ở S góc phần 8 thứ nhất. z  0 z 1 e/ I   x 2 dS , với (S ) là phần mặt trụ x 2  y 2  4 nằm giữa 2 mặt phẳng  S f/ I   S y y 1 dS , với (S ) là phần mặt z  x 2  y 2 giới hạn bởi  2 2 z y  1 1 x g/ I   zdS , với (S ) là phần mặt nón z  x 2  y 2 nằm dưới mặt phẳng z  2 S h/ I   S x dS , với (S ) là phần 8 mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 trong góc x  0, y  0, z  0 2 x y 2 i/ I   xdS , với (S ) là phần mặt trụ x 2  y 2  1 nằm giữa 2 mặt phẳng z  0, z  4 S j/ I   zdS , với (S ) là phần mặt trụ x 2  z 2  4 z bị cắt bởi mặt nón z  x 2  y 2 S Bài 10: Tính các tích phân mặt (loại 2) sau a/ I   (2 x  y 2 )dydz  (3z  x 2 )dxdy , với (S ) là phần của mặt z  x 2  y 2 nằm trong hình S trụ x 2  y 2  1, phía dưới nhìn từ hướng dương Oz . Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 12 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn z  x  y  b/ I   xdydz , với (S ) là mặt phía dưới  z  0 S z  6  2 2 c/ I   ( x  2 y)dydz  ( y  z )dxdz  (2 x  z )dxdy , với (S ) là phần mặt nón z  x 2  y 2 nằm S trong hình trụ x 2  y 2  4 , phía dưới. d/ I   ( x  z )dxdy , với (S ) là biên của vật thể bị giới hạn bởi z  x 2  y 2 , z  4 , phía S ngoài. e/ I   ( x  2 y)dydz  ( y  2 z )dxdz  ( z  2 x)dxdy , với (S ) là phần mặt nón z  x 2  y 2 bị S cắt bởi mặt phẳng z  2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz . f/ I   xdydz  ydxdz  ( z 2  1)dxdy , với (S ) là nửa trên mặt cầu x 2  y 2  z 2  2 x (phần S z  0 ), phía trong. g/ I   xdydz  ydxdz  ( z  1)dxdy , với (S ) là phần mặt paraboloic z  x 2  y 2 nằm dưới S mặt phẳng x  z  2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz . h/ I   ( x  z )dydz  2 ydxdz  z 2 dxdy , với (S ) là phần mặt trụ x 2  y 2  4 nằm giữa 2 mặt S phẳng z  0, z  1 , phía ngoài. i/ I   ( z  x  2)dxdy , với (S ) là phần hình cầu x 2  y 2  z 2  1 ở góc phần 8 thứ nhất, phía S trong. j/ I   ( x  2 y)dydz  ( y  2 z )dxdz  z 2 dxdy , với (S ) là phần mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 nằm S trên mặt nón z  x 2  y 2 , phía ngoài. k/ I   2 ydx  3xdy  xdz , với (C ) là giao của x 2  y 2  2 x và mặt phẳng x  z  2 theo (C ) chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz . l/ I   ( y 2  z 2 )dx  ( z 2  x 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz , trong đó (C ) TH1: (C ) là giao giữa paraboloic z  x 2  y 2 và hình trụ x 2  y 2  1 chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz TH2: (C ) là giao của x 2  y 2  z 2  4 và x  y  z  1 , chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz . m/ I   (2 x  y)dydz  ( y  x 2 )dxdz  ( z  y 2 )dxdy , với (S ) là phần mặt phẳng x  y  z  2 ở S góc phần 8 thứ nhất, phía dưới nhìn từ hướng dương Oz . CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: giải các phương trình vi phân cấp 1 sau a/ y'2 y  4 x c/ y '2 xy  xe  x 2 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT b/ y' y  cos x  1  2x  y 1 2  x  d/ y ' Trang 13 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn y  x, y (1)  0 x 1 y h/ y '  2x f/ xy ' e/ xy ' y  e x  0, y(a)  b g/ (1  x 2 ) y'2 xy  (1  x 2 ) 2 i/ y '  3y 1 x j/ y '2e x y  e x Bài 2: giải các phương trình vi phân sau a/ y '  c/ e/ g/ i/ x2 y2 b/ x' e x sin t với y'  x 2 y 2 (1  x) ydx  (1  y) xdy  0 d/ f/ h/ j/ ( x 2  yx 2 ) y' y 2  xy 2  0 y'  y (1  y) với 2 y  y(x) y '  1  y 2 với y'  cos(x  y) x  x(t ) y  y(x) y' cos 2 y  sin y  0 y' sin( x  y)  sin( x  y) Bài 3: giải các phương trình a/ (2 x 3  xy 2 )dx  (2 y 3  x 2 y)dy  0   xdy y   2  1dx 2 2 x y x y  y y c/ e dx  ( xe  2 y)dy  0 xdx  (2 x  y )dy d/ 0 ( x  y) 2 b/ 2 e/ ( x  y  1)dx  ( x  y 2  3)dy  0 Bài 4: Khi gặp phương trình dạng y' a( x) y  b( x) y  ta có thể đặt z  y1 Lúc này, hãy chứng minh z thỏa z'(1   )a( x) z  (1   )b( x) Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên để giải các phương trình sau y  5x 2 y 5 2x c/ y '2 xy  2 x 3 y 3 y  y2  0 x 1 d/ xy ' y  y 2 ln x a/ y ' b/ y ' e/ y' ytgx  y 2 cos x  0 Bài 5: Khi gặp phương trình dạng  y y'  f   x ta đặt u y , khi đó x y  ux . Hãy chứng minh rằng dx du  x f (u )  u Áp dụng để giải các phương trình sau a/ ( y  x)dx  ( y  x)dy  0 c/ y '  x y  y x Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT b/ xyy ' x 2  2 y 2  0 d/ (3 y 2  3xy  x 2 )dx  ( x 2  2 xy )dy Trang 14 Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn e/ xdy  ( y  x 2  y 2 )dx  0 g/ xy '  y ln y i/ y '  e x  y x f/ (3x 2  y 2 ) y  ( y 2  x 2 ) xy '  0 h/ y '  2 xy x  y2 2 y x Bài 6: giải các phương trình vi phân sau a/ 2 y" y' y  2e x c/ y"a 2 y  e x e/ y"7 y'6 y  sin x g/ y"4 y'  0 i/ y" y  0 d 2x dx  20  25 x  0 2 dt dt 2 d x  4 x  0 với x  x(t ) m/ dt 2 o/ y"2 y'5 y  0 k/ 4 b/ d/ f/ h/ j/ y"6 y '9 y  2 x 2  x  3 y"3 y'2 y  e  x y" y'2 y  0 y"9 y  0 y"6 y'13 y  0 l/ x" x'7 x  0 với x  x(t ) n/ y"6 y'12 y  0 p/ y"2 y' y  0 Bài 7: giải các phương trình sau a/ y"4 y'3 y  0 với  y (0)  6   y ' (0)  10 c/ 4 y"4 y' y  0 với  y ( 0)  2   y ' ( 0)  0 Bài 8: giải các phương trình vi phân sau a/ y"5 y'6 y  0 c/ y"4 y  0 e/ y' ' ' ' y  0 g/ y' ' ' ' '6 y' ' ' '9 y' ' '  0 i/ y"2 y'2 y  x 2  y (0)  0  y ' (0)  15 b/ y"4 y'29 y  0 với  b/ y"4 y'4 y  0 d/ y' ' '4 y"3 y'  0 f/ 4 y' ' ' '4 y" y  0 h/ y"3 y'2 y  2 x 3  30 j/ y"2 y'3 y  4e  x 9 x sin 2 x 4 x n/ y"2 y'2 y  e sin x k/ y"6 y'9 y  4e 3 x l/ y" y  3 cos2 x  m/ y" y  x cos x o/ y' ' ' y"2 y'  x  e x q/ y"4 y'4 y  e 2 x ln x s/ y" y  xe x  3e  x p/ y"4 y'4 y  sin x cos 2 x r/ y" y'  x Bài 9: giải các phương trình vi phân sau (bằng cách đặt x  e t ) a/ x 2 y"4 xy '12 y  ln x b/ x 2 y"5 xy '8 y  0 c/ x 3 y' ' '6 x 2 y"18 xy '24 y  0 d/ ( x  2) 2 y"3( x  2) y'3 y  0 e/ x 2 y"3xy '5 y  3x 2 f/ x 2 y"2 xy '2 y  x 2 g/ x 2 y"4 xy '12 y  ln x Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 15
- Xem thêm -