Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG
0
, nếu
hàm
lẻ lẻ
, nếuf (xf )(xlà) là
hàm
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx , nếu f (x) là hàm chẵn
a
0
a
Bài 1: Tính các tích phân sau
e2
dx
x ln x
a/ I
e
e
c/ I ln xdx
1
b/ I 1 x 2 dx
0
/2
d/ I n sin n xdx
1
0
1
/3
dx
4x 4x 5
0
e/ I
2
2
2
x tg 2 x
g/ I
dx
1 x4
2
x sin xdx
1 cos2 x
0
i/ I
2
dx
k/ I
3 2 cos x
0
ln 8
m/ I
ln 3
dx
ex 1
e
o/ I ln 2 xdx
2
h/ I
q/ I n ln xdx
n
6
dx
1 1 3x 2
j/ I
1
arcsin x
dx
1 x
0
l/ I
3
n/ I xarctgxdx
0
/2
dx
1 2 sin
p/ I
0
2
x
/2
cos
r/ I n
n
x cos nxdx
0
1
/4
1 cos 2 x dx
0
1
e
x sin x
dx
2
cos
x
/3
f/ I
1
s/ I n tg 2 n xdx
t/ I n x n e x dx
0
0
Bài 2: Tính các tích phân suy rộng
dx
a/ I
1 x2
0
dx
c/ I
(1 x 2 ) 2
e/ I x n e x dx
0
e
g/ I
1
dx
x ln x
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
1
dx
b/ I
1 x2
0
d/ I
dx
1 x
3
0
2
x
x
1
2
f/ I
b
h/ I
a
dx
xdx
( x a )(b x)
Trang
1
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
3
dx
i/ I
j/ I xe x dx
2
4x x2 3
1
0
2 x
dx
2 x
2
k/ I
0
arctgx
1 x
l/ I
2 3/ 2
dx
0
Bài 3: Khảo sát sự hội tụ (hay phân kỳ) của tích phân suy rộng
dx
x
a/ I
a
, với 0
x3/ 2
dx
1 x2
1
d/ I
x 1 x2
1
cos2 x
dx
2
1
x
0
dx
c/ I
b/ I
b
dx
(b x)
a
e/ I
, với R
1
ln x
dx
1 x2
0
h/ I
1
arctgx
dx
x
0
i/ I
1
o/ I
x
1
1 x
3
l/ I
dx
ln x
, với 0
0
dx
2
r/ I
sin x
dx
x2
1
1
cos x
s/ I
dx
x
1
dx
t/ I
e
0
x
1
2
dx
x 1
dx
ln x
1
v/ I
1
1
dx
w/ I x
e cosx
0
x/ I
0
y/ I
, với
x ln x
p/ I
0
0
dx
ln x
1
1
x
1
q/ I cosxdx
u/ I
ln(1 x)
dx
x
1
n/ I
dx
1
2
dx
( x 2 x 1) 2
xarctgx
dx
1 x
j/ I
1 x4
ln x
dx
g/ I
1 x2
0
m/ I
4
0
1
k/ I
dx
f/ I
dx
x x2
xdx
0 x 3 2x 1
z/ I
1 4 sin 3x
dx
3
3
x
1 x
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường cong
2
a/ y 2 2 x và
x2 2 y
b/ S | 1 x | dx
0
c/ y 2 x 2 và
y3 x2
e/ x t 2 1 và
y 4t t 3
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
x a (t sin t )
và trục Ox
y a (1 cost )
d/
f/ r a(1 cos ) và r a
Trang
2
Bài tập Giải Tích 2
x2 y2
g/ 2 2 1 , với a 0, b 0
a
b
i/ x 2 y 2 4 và x 2 y 2 2 x 0
k/ x 0, y 0 và x y 2 ( y 1)
ThS. Lê Hoàng Tuấn
h/ y ( x 1) 2 và
x sin(y)
j/ y x và y x sin 2 x , với 0 x
l/ y 2 x 2 (a 2 x 2 ) , với a 0
Bài 5: Tính thể tích
x a (t sin t )
; 0 t 2
y a (1 cost )
a/
y 2x x2
b/
y 0
và
y 0 xoay quanh Ox
xoay quanh Ox và Oy
c/ vật bị giới hạn bởi mặt z 4 y 2 và x a (với a 0 ), x 0, z 0
d/ vật bị giới hạn bởi 2 mặt trụ x 2 y 2 a 2 và y 2 z 2 a 2
e/ vật tròn xoay khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi y sin x ( 0 x ) và trục Ox khi
quay quanh Ox và quay quanh Oy
f/ vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y x 2 và y 4 quay quanh Oy và quay
quanh đường thẳng x 2
2
g/ y ( x 4) 3 , x 0 xoay quanh trục Oy
h/ y e 2 x 1, y e x 1, x 0 quay quanh trục Ox
Bài 6: Tính diện tích mặt tròn xoay
a/ y x 2 ; 0 x 1 xoay quanh Oy
x a (t sin t )
; và
y a (1 cost )
b/
y 0 xoay quanh Ox
c/ 9 y 2 x(3 x) 2 ; 0 x 3 quay quanh Ox
d/ 3 y x 3 ; 0 x a quay quanh Ox
x a 2 cos3 t
e/
3
y a sin t
; 0 t 2 quay quanh Ox
Bài 7: Tính độ dài đường cong
a/ y 2 x 3 từ gốc toạ độ đến điểm A(4,8)
x a cos3 t
; 0 t 2
3
y a sin t
c/ r sin 3
với 0 / 2
3
1
d/ y (3 x) x ; 0 x 3
3
1 2 1
e/ y x ln x ; 1 x e
4
2
b/
CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1: Tính các tích phân bội hai
a/ I ( x 2 xy )dxdy , với
2
D
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
y 3 x2
D:
2
y 2x
Trang
3
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
2 y x
D:
y 2x 1
D
y x 2 1
c/ I ( x 2 5 xy )dxdy , với D :
y 1 x
D
2
b/ I ( xy 3x)dxdy , với
x y
D : x 2 y
y 1
d/ I xydxdy , với
D
1 x 2 y 2 4
D:
x y 3x
x 2 y 2 2x
4 x 2 y 2 dxdy , với D :
y 0
e/ I ( x 4 y )dxdy , với
D
f/ I
D
g/ I
D
1
x2 y2
dxdy , với
h/ I ( x 2 y )dxdy
D
i/ I (2 x 7 y )dxdy
D
j/ I 3xdxdy , với
D
k/ I ( x 6 y )dxdy
D
x 2 y 2 2 y
D:
y x
x 2 y 2 4
, với D : y x
y 0
y 2 x2
, với D : y 0
y x
2 y x 2 y 2 4 y
D : y x
x 0
y ln x
, với D : y 0
x e2
Bài 2: Tính các tích phân bội ba
x 2 z 2 4
a/ I x 2 z 2 dxdydz , với : y 0
y 2
x y z 0; x y z 2
b/ I ( x y z )dxdydz , với : x y z 1; x y z 3
x y z 1; x y z 4
c/ I
d/ I xdxdydz , với
x 2 y 2 z 2 4
:
y 0
2
z x y 2
:
z y 2
1
dxdydz , với
2
x y2 z2
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang
4
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
1 x y z 4
e/ I zdxdydz , với :
2
2
2
2
2
x y z0
x 2 y 2 z 2 2 y
f/ I 2 zdxdydz , với :
z 0
x 2 y 2 z 2 4
g/ I 3zdxdydz , với : 2
2
x y z
x2 y2
2
: 9 4 z 1
z 0
x 2 y 2 4
: x 0
0 z 5
x2 y2
h/ I z 2 dxdydz , với
9
4
i/ I ( x 4 y )dxdydz , với
y2 z2 4
j/ I y 2 z 2 dxdydz , với : y x 2
y x 2
x 2 y 2 2x
k/ I z x 2 y 2 dxdydz , với :
0 z y
x 2 y 2 z 2 4z
l/ I xdxdydz , với : 2
2
2
x y z
Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể sau
z x 2 y
2
a/ :
2
z 1
x 0, y 0, z 0
c/ : x 2 y 2 1
z 2 x 2
x 2 y 2 1
b/ : z x 2 y 2
x 2 y 2 4 z
x 2 y 2 z 2 1
d/ :
2
2
z x y
Bài 4: Tính các tích phân sau
y x, y 2 x
a/ I ( x z )dxdydz , với : y 1, z 0
z x 2 y 2
y x2 , y x
b/ I xdxdydz , với : z 0
z 1 y 2
c/ I
x 2 y 2 4
x 2 y 2 dxdydz , với : z x 2 y 2
z x 2 2 y 2
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang
5
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
x y z 2x
d/ I zdxdydz , với :
2
2
2
z 0
x 2 y 2 z 2 4
e/ I ydxdydz , với :
2
2
z x y
x 2 y 2 1
f/ I ( x 2)dxdydz , với : x 0, y 0, z 0
z 1 x 2 y 2
x y 2 z 2 1
g/ I 2 xdxdydz , với : x 0
y2 z2 1
z x 2 y 2
h/ I zdxdydz , với :
z x 2
x 2 y 2 z 2 4z
i/ I ydxdydz, với :
2
2
z x y
y 2 x2
j/ I ( y z )dxdydz , với : y 1, z 0
z 2x
x 2 y 2 2x
k/ I 3dxdydz , với : x z 4
x z 4
x 2 y 2 z 2 4
l/ I 2dxdydz, với : x 2 y 2 1
z 0
z x 2 y 2
m/ I 4dxdydz , với :
2
2
z 2 x y
x 2 y 2 z 2 2 y
n/ I 2 ydxdydz , với :
y 1
x 2 y 2 z 2 1
:
o/ I zdxdydz , với
z 0
z 1
p/ I ( x z )dxdydz , với :
2
2
z 4 x y
1 x 2 y 2 z 2 4
2
2
2
q/ I ( x y z )dxdydz , với :
2
2
z x y
0 x 1
r/ I ( x yz )dxdydz , với : 0 y 1
1 z 4
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang
6
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
x y 2x
s/ I dxdydz , với : z 0
z x 2 y 2
2
2
Bài 5: Biểu diễn các miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân
I f ( x, y )dxdy , với
D
a/ D là hình chữ nhật bị giới hạn bởi x 2, x 3, y 4, y 6 và f ( x, y) x y
b/ D bị giới hạn bởi y 2 x, x 0, y 4 và f ( x, y) x
c/ D bị giới hạn bởi x 4 y 2 , x 0,1 y 1 và f ( x, y ) xy 2
d/ D là hình thang bị giới hạn bởi x 0, y 0, x y 2, x y 1 và f ( x, y) x
e/ D là tam giác bị giới hạn bởi x 0, y 0, x y 3 và f ( x, y) x( x 1)e xy
f/ D là hình tròn x 2 y 2 4 nằm trong phần tư thứ nhất, và f ( x, y ) x 2 2 y
g/ D là miền | x | | y | 1 và f ( x, y) x
1
2
h/ D là miền nằm phía trên đường y ; nằm trong vòng tròn x 2 y 2 1 và
f ( x, y ) x y 2 1
i/ D bị giới hạn bởi y 5 x, y x 7, x 10 và f ( x, y) 3x 5
j/ D là hình tròn x 2 y 2 16 nằm trong phần tư thứ hai, và f ( x, y) x
k/ D là hình chữ nhật [2,2] [0,1] và f ( x, y) x y
l/ D là hình chữ nhật [0,4] [1,3] và f ( x, y) xy
Bài 6: Hãy tính tích phân I x 2 ydxdy trên miền D cho bởi các hình vẽ sau
D
a/
b/
c/
d/
e/
f/
Bài 7: Tính các tích phân sau
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang
7
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
1 x
1 0
a/ I dydx
b/ I dydx
0 0
1
3
0 x
2
x
d/ I
c/ I (1 y )dydx
6
0
0
x
/2
4 y
y3
e/ I 3 dxdy
x
2 1
f/ I
4 x 2
(4 x
2 3/ 2
)
dxdy
0
cos y
0
ydxdy
0
Bài 8: Tính thể tích của các khối sau
x y
a/ có đáy là (0,0), (a,0), (0, b) , với a, b 0 và nằm dưới mặt phẳng z 2
a
b
b/ nằm phía trên mặt phẳng Oxy và dưới mặt z 1 x 2 y
c/ nằm trong hình trụ x 2 2 y 2 8 , trên z y 4 và dưới z 8 x
d/ là tứ diện nằm trong góc x 0, y 0, z 0 , tạo ra bởi các mặt tọa độ và mặt
2
2
3x 4 y 2 z 12
e/ là tứ diện có các đỉnh (0,0,0), (3,0,0), (2,1,0), (3,0,5)
f/ là nửa mặt cầu x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0, a 0
g/ là tứ diện với các mặt x 0, z 0, x y 5,8x 12 y 15 z 0
Bài 9: Tính tích phân I xdydz ydzdx zdxdy , với S là phía trên của phần mặt phẳng
S
x z 1 0 , nằm giữa 2 mặt phẳng y 0, y 4 và thuộc góc phần tám thứ nhất.
Bài
10: Tính tích phân
I 2dxdy ydxdz xzdydz , với
S
là phía ngoài ellipsoid
S
4 x 2 y 2 4 z 2 4 và thuộc góc phần tám thứ nhất.
Bài 11: Tính tích phân I xydS , với S là mặt z 2 x,0 x 1,0 y 2
S
Bài 12: Tính tích phân I ( xy y 2 yz )dS , với S là mặt x y z 1,0 y 1,0 z 2
S
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT
Bài 1: Tính các tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy )
a/ I
y
2
dx xdy , với (C ) : y 2 4 x từ (0,0) đến (1,2)
(C )
b/ I x 2 y 2 dx xy 2 dy , với (C ) là đường x 1,2 y 4
(C )
c/ I
1
x
y
dx 2
dy , với (C ) là
vòng tròn bán kính 1, từ (1,0) đến (0,1) .
2
2
4
x
y
x
y
(C )
2
d/ I ydx xdy , với (C ) là y 2 4 x từ (1,2) đến (0,0)
(C )
e/ I (3x 2 y )dx , với (C ) là y 8 x 2 x 2 từ (4,0) đến (0,0)
(C )
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang
8
Bài tập Giải Tích 2
f/ I xydx , với (C ) là đường thẳng nối (0,1) tới (1,0)
ThS. Lê Hoàng Tuấn
(C )
g/ I ( x 2 y 2 )dx xdy , với (C ) là vòng tròn x 2 y 2 4 , từ (0,2) đến (2,0)
(C )
Bài 2: Tính các tích phân sau
a/ I x 2 y 2 dx xy 2 dy , với (C ) là đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, tạo ra bởi
(C )
đường x 1 và parabol x y 2
b/ I xdy ydx , với (C ) là tam giác tạo bởi 3 đỉnh (0,0), (0, a), (b,0) ngược chiều kim
(C )
đồng hồ.
xdy , với (C ) là ellipse
c/ I
(C )
ydx , với
d/ I
x2 y2
1 thuận chiều kim đồng hồ.
a2 b2
(C ) là đường cong tạo bởi x 2 y 2 1, y 0 trong nửa mặt phẳng trên theo
(C )
chiều ngược chiều kim đồng hồ.
e/ I ( x 3 y 2 )dx 2 xy 2 dy , với (C ) là đường ngược chiều kim đồng hồ, xung quanh hình
(C )
vuông tạo bởi x 0, x 2, y 0, y 2
f/ I xy 2 dx , với (C ) là đường tròn x 2 y 2 a 2 thuận chiều kim đồng hồ.
(C )
g/ I x 2 y 2 dx x 3 ydy , với (C ) là hình vuông tạo bởi x 0, x 1, y 0, y 1 ngược chiều
(C )
kim đồng hồ.
Bài 3: Chứng minh các tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân
a/ I (e x y )dx ( x 2 y )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc, nối (0,1)
(C )
đến (2,4).
b/ I (2 xy 2 1)dx (2 x 2 y )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ nối từ (1,2) đến (2,3) .
(C )
x(t ) t 1 / 2
c/ I ( y 2 xe y )dx ( x x 2 e y )dy , với (C ) là đường
y (t ) ln t
(C )
, nối từ (1,0) đến (2, ln 2) .
y 2 dx (2 xy )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ nối từ (1,4) đến (3,2) trong
(C )
miền x, y 0
d/ I
e/ I
1
x
2
x cos(x y) sin( x y)dx x cos(x y)dy ,
với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ
(C )
(0,0) đến ,
6 3
f/ I (2 xy )dx ( x 2 1)dy , với (C ) là đường cong tạo bởi bốn cạnh của hình vuông
(C )
x 0, x 2, y 0, y 2
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang
9
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
2
g/ I (2 xy )dx ( x 1)dy , với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ (0,1) đến (2,3)
(C )
h/ I (4 x 2 4 y 2 )dx (ln y 8 xy )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ (1,1) đến (4, e)
(C )
trong miền y 0
Bài 4: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green
a/ I
0 x 1
,
với
là
đường
cong
kín
bao
quanh
miền
D
:
ydx
xdy
(C
)
0 y 1
(C )
b/ I e x cos ydx e x sin ydy , với (C ) là tam giác có 3 đỉnh (0,0), (0,1), (1,0)
(C )
c/ I
ydx , với
(C ) là đường cong kín bao quanh miền D là phần hình tròn nằm trong
(C )
góc phần tư thứ nhất.
d/ I xydx ( x 3 / 2 y 3 / 2 )dy , với (C ) là đường cong kín, bao quanh miền D là hình vuông
(C )
[0,1] [0,1]
(C ) là biên của tam giác có 3 đỉnh (0,0), ,0 , 0, .
2 2
(C )
f/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C ) là biên của tam giác có 3 đỉnh (0,0), (1,1), (1,0)
g/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D : [0,2] [0,1] .
e/ I
y cos xdx x sin ydy , với
Bài 5: Chứng minh rằng với miền D thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích D bằng các
công thức
xdy
,
(C )
ydx
1
ydx xdy
2 (C )
,
(C )
với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D .
Sau đó áp dụng để tính các diện tích sau
a/ Tính diện tích hình tam giác D có các đỉnh (0,0), (5,2), (3,8)
b/ Diện tích tứ giác với các đỉnh (0,0), (2,1), (1,3), (4,4) .
c/ Diện tích tam giác với 3 đỉnh (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ) , với giả thiết 3 điểm này không
thẳng hàng.
Bài 6: Cho
y
x y2
Q P
a/ Chứng minh rằng
x y
P ( x, y )
b/ Chứng minh rằng
và Q ( x, y )
2
Q
x
x y2
2
P
Pdx Qdy x y dxdy , với
(C )
(C ) là đường cong kín bao quanh
D
D : x2 y2 1
c/ Giải thích vì sao định lý Green không thỏa ở câu b/
Bài 7: Tính các tích phân đường sau
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang 10
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
x y 2x
a/ I xydx y 2 dy , với (C ) là nửa đường tròn
(C )
b/ I e ( x
y2 )
2
( x 2 y)dx ( x
2
2
x 1
2
ngược chiều kim đồng hồ.
y )dy , với (C ) là đường tròn x 2 y 2 4 theo chiều dương
(C )
lượng giác.
( x y )dx ( x y )dy
, trong đó
2
2
2
2
x
y
x
y
(C )
c/ I
TH1: (C ) là đường tròn x 2 y 2 a 2 theo chiều dương lượng giác
TH2: (C ) là đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ O , ngược chiều kim
đồng hồ.
( 3, 4 )
(e
d/ I
x
y )dx ( x y 3 )dy
(1, 1)
e/ I ( x y 2 )dx 2 xdy , với (C ) là
(C )
1
đường ellipse x 2 4 y 2 1 , phần y 0 , theo chiều
4
kim đồng hồ.
f/ I ( xy 2)dx y 2 xdy , với (C ) là chu vi tam giác OAB , trong đó O(0,0), A(1,1), B(0,2)
(C )
ngược chiều kim đồng hồ.
g/ I xydx 2 y 2 dy , với (C ) là 1/ 2 đường tròn x 2 y 2 4 cùng chiều kim đồng hồ.
(C )
h/ I ( x 2 y 2 )dx 2 xydy , với (C ) là 1/ 2 đường tròn x 2 y 2 4 x , y 0 ngược chiều
(C )
kim đồng hồ
i/ I
( x 2 y )dx ( y 3x)dy
, với (C ) là đường tròn x 2 y 2 9 ngược chiều kim đồng hồ
2
2
2
2
x
y
x
y
(C )
j/ I
2x 3y
x 5y
dx 2
dy , với (C ) là phần tư ellipse x 2 4 y 2 1 ở góc phần tư thứ
2
2
2
x
4
y
x
4
y
(C )
nhất, ngược chiều kim đồng hồ.
k/ I e x y (2 xy 1)dx (3 y 2 x 2 )dy , với (C ) là đường tròn x 2 y 2 1 cùng chiều kim
2
2
(C )
đồng hồ.
l/ I xydx (2 x 3 y )dy , với (C ) là chu tuyến (biên của chu vi) dương của miền
(C )
y x2
D:
y 2 x
m/ I ( x 3 2 y )dx (e y 2 x)dy , với (C ) là đường cong tùy ý, nối từ A(1,1) đến B(3,2)
(C )
xdx ydy
theo đường cong tùy ý không chứa gốc O .
x2 y2
(1,1)
( 3, 2 )
n/ I
o/ I ( xy 2 1)dx ( x 2 y 2 )dy , với (C ) là nửa đường tròn x 2 y 2 4 y , y 1 ngược chiều
(C )
kim đồng hồ.
p/ I 2 xdx ( y z )dy zdz , trong đó
(C )
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang 11
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
TH1: (C ) là đoạn thẳng nối từ A(2,1,1) đến B(3,3,2) (chiều từ A B )
TH2: (C ) là giao của x 2 y 2 1 và z 2 x 2 y 2 theo chiều kim đồng hồ, nhìn từ
hướng dương Oz .
q/ I xydx xzdy yzdz , với (C ) là giao của y x 2 và z x từ (0,0,0) đến (1,1,1) .
(C )
Bài 8: Cho P( x, y) (1 x y)e y và Q( x, y) (1 x y)e y
a/ Tìm h h(x) , với h(0) 1 để
h( x) P( x, y)dx h( x)Q( x, y)dy không phụ thuộc vào
I
đường đi.
(C )
b/ Với h(x) ở câu a/ hãy tính I , với (C ) là 1/ 2 đường tròn x 2 y 2 9 bên phải trục tung,
ngược chiều kim đồng hồ.
Bài 9: Tìm hàm h( x 2 y 2 ) , với h(1) 1 để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi
h( x
I
2
y 2 ) ( x 3 xy 2 )dy ( x 2 y y 2 )dx
(C )
Bài 9: Tính các tích phân mặt (loại 1) sau
a/ I ( x 2 z )dS , với (S ) là phần mặt phẳng x y z 1 ở góc phần 8 thứ nhất.
S
b/ I zdS , với (S ) là phần mặt cầu x 2 y 2 z 2 4 nằm trên hình nón z x 2 y 2
S
c/ I ( x y)dS , với (S ) là phần mặt nón z x 2 y 2 nằm trong hình trụ x 2 y 2 2 x
S
d/ I dS , với (S ) là phần mặt paraboloic z x 2 y 2 nằm trong hình trụ x 2 y 2 4 ở
S
góc phần 8 thứ nhất.
z 0
z 1
e/ I x 2 dS , với (S ) là phần mặt trụ x 2 y 2 4 nằm giữa 2 mặt phẳng
S
f/ I
S
y
y 1
dS , với (S ) là phần mặt z x 2 y 2 giới hạn bởi
2
2
z
y 1 1 x
g/ I zdS , với (S ) là phần mặt nón z x 2 y 2 nằm dưới mặt phẳng z 2
S
h/ I
S
x
dS , với (S ) là phần 8 mặt cầu x 2 y 2 z 2 4 trong góc x 0, y 0, z 0
2
x y
2
i/ I xdS , với (S ) là phần mặt trụ x 2 y 2 1 nằm giữa 2 mặt phẳng z 0, z 4
S
j/ I zdS , với (S ) là phần mặt trụ x 2 z 2 4 z bị cắt bởi mặt nón z x 2 y 2
S
Bài 10: Tính các tích phân mặt (loại 2) sau
a/ I (2 x y 2 )dydz (3z x 2 )dxdy , với (S ) là phần của mặt z x 2 y 2 nằm trong hình
S
trụ x 2 y 2 1, phía dưới nhìn từ hướng dương Oz .
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang 12
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
z x y
b/ I xdydz , với (S ) là mặt phía dưới z 0
S
z 6
2
2
c/ I ( x 2 y)dydz ( y z )dxdz (2 x z )dxdy , với (S ) là phần mặt nón z x 2 y 2 nằm
S
trong hình trụ x 2 y 2 4 , phía dưới.
d/ I ( x z )dxdy , với (S ) là biên của vật thể bị giới hạn bởi z x 2 y 2 , z 4 , phía
S
ngoài.
e/ I ( x 2 y)dydz ( y 2 z )dxdz ( z 2 x)dxdy , với (S ) là phần mặt nón z x 2 y 2 bị
S
cắt bởi mặt phẳng z 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz .
f/ I xdydz ydxdz ( z 2 1)dxdy , với (S ) là nửa trên mặt cầu x 2 y 2 z 2 2 x (phần
S
z 0 ), phía trong.
g/ I xdydz ydxdz ( z 1)dxdy , với (S ) là phần mặt paraboloic z x 2 y 2 nằm dưới
S
mặt phẳng x z 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz .
h/ I ( x z )dydz 2 ydxdz z 2 dxdy , với (S ) là phần mặt trụ x 2 y 2 4 nằm giữa 2 mặt
S
phẳng z 0, z 1 , phía ngoài.
i/ I ( z x 2)dxdy , với (S ) là phần hình cầu x 2 y 2 z 2 1 ở góc phần 8 thứ nhất, phía
S
trong.
j/ I ( x 2 y)dydz ( y 2 z )dxdz z 2 dxdy , với (S ) là phần mặt cầu x 2 y 2 z 2 4 nằm
S
trên mặt nón z x 2 y 2 , phía ngoài.
k/ I 2 ydx 3xdy xdz , với (C ) là giao của x 2 y 2 2 x và mặt phẳng x z 2 theo
(C )
chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz .
l/ I ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz , trong đó
(C )
TH1: (C ) là giao giữa paraboloic z x 2 y 2 và hình trụ x 2 y 2 1 chiều ngược
chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz
TH2: (C ) là giao của x 2 y 2 z 2 4 và x y z 1 , chiều ngược chiều kim đồng
hồ, nhìn từ hướng dương Oz .
m/ I (2 x y)dydz ( y x 2 )dxdz ( z y 2 )dxdy , với (S ) là phần mặt phẳng x y z 2 ở
S
góc phần 8 thứ nhất, phía dưới nhìn từ hướng dương Oz .
CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1: giải các phương trình vi phân cấp 1 sau
a/ y'2 y 4 x
c/ y '2 xy xe x
2
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
b/ y' y cos x
1 2x
y 1
2
x
d/ y '
Trang 13
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
y
x, y (1) 0
x 1
y
h/ y '
2x
f/ xy '
e/ xy ' y e x 0, y(a) b
g/ (1 x 2 ) y'2 xy (1 x 2 ) 2
i/ y '
3y 1
x
j/ y '2e x y e x
Bài 2: giải các phương trình vi phân sau
a/ y '
c/
e/
g/
i/
x2
y2
b/ x' e x sin t với
y' x 2 y 2
(1 x) ydx (1 y) xdy 0
d/
f/
h/
j/
( x 2 yx 2 ) y' y 2 xy 2 0
y' y (1 y) với
2
y y(x)
y ' 1 y 2 với
y' cos(x y)
x x(t )
y y(x)
y' cos 2 y sin y 0
y' sin( x y) sin( x y)
Bài 3: giải các phương trình
a/ (2 x 3 xy 2 )dx (2 y 3 x 2 y)dy 0
xdy
y
2
1dx
2
2
x y
x y
y
y
c/ e dx ( xe 2 y)dy 0
xdx (2 x y )dy
d/
0
( x y) 2
b/
2
e/ ( x y 1)dx ( x y 2 3)dy 0
Bài 4:
Khi gặp phương trình dạng y' a( x) y b( x) y ta có thể đặt z y1
Lúc này, hãy chứng minh z thỏa z'(1 )a( x) z (1 )b( x)
Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên để giải các phương trình sau
y
5x 2 y 5
2x
c/ y '2 xy 2 x 3 y 3
y
y2 0
x 1
d/ xy ' y y 2 ln x
a/ y '
b/ y '
e/ y' ytgx y 2 cos x 0
Bài 5:
Khi gặp phương trình dạng
y
y' f
x
ta đặt
u
y
, khi đó
x
y ux . Hãy chứng minh
rằng
dx
du
x
f (u ) u
Áp dụng để giải các phương trình sau
a/ ( y x)dx ( y x)dy 0
c/ y '
x y
y x
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
b/ xyy ' x 2 2 y 2 0
d/ (3 y 2 3xy x 2 )dx ( x 2 2 xy )dy
Trang 14
Bài tập Giải Tích 2
ThS. Lê Hoàng Tuấn
e/ xdy ( y x 2 y 2 )dx 0
g/ xy ' y ln
y
i/ y ' e x
y
x
f/ (3x 2 y 2 ) y ( y 2 x 2 ) xy ' 0
h/ y '
2 xy
x y2
2
y
x
Bài 6: giải các phương trình vi phân sau
a/ 2 y" y' y 2e x
c/ y"a 2 y e x
e/ y"7 y'6 y sin x
g/ y"4 y' 0
i/ y" y 0
d 2x
dx
20 25 x 0
2
dt
dt
2
d x
4 x 0 với x x(t )
m/
dt 2
o/ y"2 y'5 y 0
k/ 4
b/
d/
f/
h/
j/
y"6 y '9 y 2 x 2 x 3
y"3 y'2 y e x
y" y'2 y 0
y"9 y 0
y"6 y'13 y 0
l/ x" x'7 x 0 với
x x(t )
n/ y"6 y'12 y 0
p/ y"2 y' y 0
Bài 7: giải các phương trình sau
a/ y"4 y'3 y 0 với
y (0) 6
y ' (0) 10
c/ 4 y"4 y' y 0 với
y ( 0) 2
y ' ( 0) 0
Bài 8: giải các phương trình vi phân sau
a/ y"5 y'6 y 0
c/ y"4 y 0
e/ y' ' ' ' y 0
g/ y' ' ' ' '6 y' ' ' '9 y' ' ' 0
i/ y"2 y'2 y x 2
y (0) 0
y ' (0) 15
b/ y"4 y'29 y 0 với
b/ y"4 y'4 y 0
d/ y' ' '4 y"3 y' 0
f/ 4 y' ' ' '4 y" y 0
h/ y"3 y'2 y 2 x 3 30
j/ y"2 y'3 y 4e x
9 x sin 2 x
4
x
n/ y"2 y'2 y e sin x
k/ y"6 y'9 y 4e 3 x
l/ y" y 3 cos2 x
m/ y" y x cos x
o/ y' ' ' y"2 y' x e x
q/ y"4 y'4 y e 2 x ln x
s/ y" y xe x 3e x
p/ y"4 y'4 y sin x cos 2 x
r/ y" y' x
Bài 9: giải các phương trình vi phân sau (bằng cách đặt x e t )
a/ x 2 y"4 xy '12 y ln x
b/ x 2 y"5 xy '8 y 0
c/ x 3 y' ' '6 x 2 y"18 xy '24 y 0
d/ ( x 2) 2 y"3( x 2) y'3 y 0
e/ x 2 y"3xy '5 y 3x 2
f/ x 2 y"2 xy '2 y x 2
g/ x 2 y"4 xy '12 y ln x
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT
Trang 15
- Xem thêm -
.PDF 
15 
860 
146 
