Mô tả:
VAÁN ÑEÀ 2
NHÒ THÖÙC NEWTON
A/ CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN CAÀN NHÔÙ:
I)Coâng thöùc nhò thöùc Newton:
1)Vôùi moïi soá töï nhieân n 1 vaø vôùi moïi caëp soá(a;b), ta coù:
a b n
C 0n a n C1n a n 1b C 2n a n 2 b 2 ...
C nk a n k b k
... C nn 1ab n 1 C nn b n
Soá haïng toång quaùt thöù k 1
2)Duøng daáu , ta coù theå vieát coâng thöùc nhò thöùc Newton döôùi daïng sau:
n
n
k 0
k 0
a b n C kn a n k b k C nk a k b n k
3)Vaøi khai trieån nhò thöùc Newton thöôøng gaëp:
x 1 n C 0n x n C1n x n 1 C 2n x n 2 ...... C nk x n k ...... C nn 1 x C nn
x 1 n C 0n x n C1n x n 1 C 2n x n 2 ...... 1 k C nk x n k ...... 1 n C nn
1 x n C 0n C1n x C 2n x 2 ...... 1 k C nk x k ...... 1 n C nn x n
II)Tính chaát:
1)Soá caùc soá haïng cuûa coâng thöùc baèng n+1.
2)Toång caùc soá muõ cuûa a vaø b trong moãi soá haïng baèng soá muõ cuûa nhò thöùc (n -k) + k = n.
k
3)Soá haïng toång quaùt thöù k+1 coù daïng Tk 1 C n a
Tn
4) + n chaün: Soá haïng chính giöõa laø
2
+ n leû: Hai soá haïng chính giöõa laø
n k
b k (k = 0,1,….,n)
1
Tn 1
2
&
Tn 1
2
1
5)Caùc heä soá nhò thöùc caùch ñeàu hai soá haïng ñaàu vaø cuoái baèng nhau.
n
n
0
1
k
n
6) 2 1 1 C n C n ...... C n ...... C n
(Toång caùc heä soá cuûa caùc soá haïng trong söï khai trieån cuûa nhò thöùc baèng 2n).
n
0
k
1
n
k
n
7) 0 1 1 C n C n ...... 1 C n ...... 1 C n
C 0n C 2n ...... C1n C 3n .....
(Toång taát caû caùc heä soá ñöùng ôû caùc vò trí leû baèng toång taát caû caùc heä soá ñöùng ôû caùc vò trí chaün).
II)Tam giaùc Pascal: (Heä soá cuûa ña thöùc trong coâng thöùc Newton)
1)Daïng 1:
n 0 :
n 1 :
n 2 :
1
1
n 3 :
n 4 :
n 5 :
n 6 :
1
1
1
1
2)Daïng 2:
1
3
4
5
6
1
2
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
........
n 0 :
1
n 1 :
n 2 :
1
1
n 3 :
1
3
3
n 4 :
n 5 :
1 6 :
n
1
1
4
5
6
10
4
10
1
5
1
1
6
15
20
15
6
1
2
1
1
........
B/ CAÙC DAÏNG TOAÙN CAÀN LUYEÄN TAÄP:
1) Duøng coâng thöùc nhò thöùc Newton ñeå khai trieån nhò thöùc.
2) Tìm soá haïng khoâng chöùa bieán, soá haïng toång quaùt thöù k+1, soá haïng chính giöõa,… trong
khai trieån nhò thöùc.
46
1
3) Duøng coâng thöùc nhò thöùc Newton ñeå tính toång hoaëc chöùng minh moät ñaúng thöùc chöùa caùc
soá toå hôïp.
BAØI TAÄP
5
1
6
4
5
6
Baøi 1: Khai trieån x 2y ; x 2 ; 3x 2 2x 1 x 1 ;
x
x 1
6
Baøi 2: Tìm heä soá cuûa x3 trong khai trieån bieåu thöùc :
(x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6
1
x
n
Baøi 3: Trong khai trieån nhò thöùc x , heä soá cuûa soá haïng thöù ba lôùn hôn heä soá cuûa soá haïng
thöù hai laø 35. Tìm soá haïng khoâng chöùa x cuûa khai trieån noùi treân.
(Ñeà thi TN THPT Kì I 1996-1997)
Baøi 4 : Tìm soá haïng khoâng chöùa aån x, soá haïng chính giöõa trong khai trieån nhò thöùc Niu-Tôn:
1
x
12
x .(Ñeà thi TN THPT Kì I 2000-2001)
0
1
2 2
3 3
4 4
5 5
Baøi 5: Tính toång C 5 2C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5
Baøi 6: Chöùng minh raèng :
1) 1 4C1n 4 2 C 2n 43 C3n ... 4 n 1 C nn 1 4 n 5n
2) C1n 2C 2n 3C3n 4C 4n ... ( 1) n 1 nC nn 0
3)
C
n 1
C1
C2
C3
Cn
1
0
n n ...
n 2
n
n 11 1 2 1 3
1 n
1 n
3n
1
Baøi 7: Toång caùc heä soá trong khai trieån nhò thöùc 2nx
baèng 64. Haõy xaùc ñònh soá haïng
2nx 2
khoâng chöùa x.
5
Baøi 8: Vôùi giaù trò naøo cuûa x, soá haïng thöù ba trong khai trieån x lg x x baèng 100?
6
x
10
Baøi 9 : Tìm soá haïng khoâng chöùa aån x, trong khai trieån cuûa luyõ thöøa: 1 x .
Baøi 10 : Tìm soá haïng thöù naêm trong söï khai trieån cuûa
1
33 9
söï khai trieån baèng
log 3 8
3
2
2 1
, neáu soá haïng cuoái cuøng cuûa
n
.
n
1
Baøi 11: Tìm soá töï nhieân n, bieát raèng trong daïng khai trieån x thaønh ña thöùc ñoái vôùi bieán
2
x, heä soá cuûa x6 baèng boán laàn heä soá cuûa x4 .
1 1 1
Baøi 12: 1) Tìm 3 heä soá ñaàu trong söï khai trieån cuûa nhò thöùc Newton cuûa x 2 x 4
2
n
x 0
2) Xaùc ñònh soá muõ n, bieát raèng 3 heä soá noùi treân laäp thaønh moät caáp soá coäng theo thöù töï
ñoù.
Baøi 13: Cho khai trieån nhò thöùc:
x2 1
... C nn 1
2
3x
2
n 1
x
x2 1
3
2
2
3x
C nn
2
n
x 1
C 0n 2 2
n
x 1
C1n 2 2
n 1
3x
2
2
(n laø soá nguyeân döông ). Bieát raèng trong khai trieån
3
1
ñoù C n 5C n vaø soá haïng thöù tö baèng 20n, tìm n vaø x.(ÑH KHOÁI A 2002)
0
1
2
n n
Baøi 14: Tìm soá nguyeân döông n sao cho C n 2C n 4C n ... 2 C n 243 .(ÑH KHOÁI D 2002)
n
1
Baøi 15: Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa 3 x 5 , bieát
x
n 1
n
k
raèng C n 4 C n 3 7(n 3) . (n laø soá nguyeân döông, x >0, C n laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n
phaàn töû).(ÑH KHOÁI A 2003)
Baøi 16: Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång :
8
47
C0n
2 2 1 1 23 1 2
2 n 1 1 n
Cn
Cn .....
Cn
2
3
n 1
( Ckn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû )(ÑH KHOÁI B 2003)
Baøi 17: Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a3n-n laø heä soá cuûa x3n – 3 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa
( x2 + 1 )n ( x + 2 )n. Tìm n ñeå a3n-n = 26.(ÑH KHOÁI D 2003)
2
Baøi 18: Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa 1 x 1 x .
(ÑH KHOÁI A 2004)
8
7
1 �
�
Baøi 19: Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Niu-Tôn cuûa: �3 x 4 � vôùi
x�
�
x > 0. (ÑH KHOÁI D 2004)
48
- Xem thêm -