CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ÔN THI VÀO LỚP 10
I. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải:
Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4 xy
Ta có a b2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac
a b b c c a 64a 2 b 2 c 2 8abc
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
2
2
2
2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2:
1 1 1
9 (403-1001)
a b c
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z 4(1 x)(1 y)(1 z)
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR:
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0
CMR:
a
b
c
3
bc ca ab 2
4) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x y 1 ;CMR: x+y
1
5
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2 b 2 c 2 1
Chứng minh rằng
a3
b3
c3
1
bc a c a b 2
Giải:
a2 b2 c2
b
c
Do a, b, c đối xứng,giả sử a b c a
b c a c a b
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a
b
c
a2 b2 c2 a
b
c 1 3 1
b2.
c2.
.
= . =
bc
ac
ab
3
bc a c a b 3 2 2
a3
b3
c3
1
1
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Vậy
bc ac ab 2
3
a2.
Ví dụ 4:
Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :
a 2 b 2 c 2 d 2 ab c bc d d c a 10
Giải:
Ta có a b 2ab
2
2
c 2 d 2 2cd
Do abcd =1 nên cd =
1
1 1
(dùng x )
ab
x 2
Ta có a 2 b 2 c 2 2(ab cd ) 2(ab
Mặt khác: ab c bc d d c a
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1
) 4 (1)
ab
= ab
1
1
1
ac bc 2 2 2
ab
ac
bc
2
2
2
2
Vậy a b c d ab c bc d d c a 10
Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:
(a c) 2 (b d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2
mà a c2 b d 2 a 2 b 2 2ac bd c 2 d 2
a2 b2 2 a2 b2 . c2 d 2 c2 d 2
(a c) 2 (b d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2
II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
a2
b2
c2
abc
+
+
2
bc ac
ba
Bài giải:
a
bc
+
a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
4
bc
b2
c2
ac
ab
Tương tự ta có:
+
+
b; và
c
ac
ba
4
4
a2
b2
c2
abc
+
+
+
a+b+c
2
bc ac
ba
a2
b2
c2
abc
+
+
(đpcm)
2
bc ac
ba
a2
b2
c2
abc
Vậy
+
+
2
bc ac
ba
1
1
Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A =
+ .Bài giải:
x 2 y 2 xy
Với a, b, c > 0 ta có:
2
ab
4
1 1
4
(a, b > 0)
a b
ab
ab
ab
1
(x y)2
Mặt khác: x + y 2 xy => xy
= (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
4
4
1
1
1
4
1
1
1
4
A=
+
+
+
=
+
=4+2=6
2
4 +
2
2
1
x y 2xy 2xy
2xy
(x y)
x 2 y 2 2xy 2xy
2.
4
1
Vậy MinA = 6 khi x = y =
2
Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab =>
Bài 3.
Cho a, b, c 0 : abc 1
1
1
1
1
CMR : 2
2
2
2
2
2
a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2
Hướng dẫn
Ta có: a 2 b2 2ab; b2 1 2b a 2 2b2 3 2 ab b 1
1
1
2
2
a 2b 3 2 ab b 1
Tương
tự
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 ab b 1 bc c 1 ca a 1
Mặt khác:
1
1
1
1
ab
b
2
1
ab b 1 bc c 1 ca a 1 ab b 1 ab c abc ab bca ab b
1
1
1
1
=> 2
2
2
a b c 1
2
2
2
a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2
Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.
=>
CMR :
Bài giải
Ta có x3 y3 1 3 3 x3 y3 3xy
z 3 y3 1 3 3 z 3 y3 3zy
x3 z 3 1 3 3 x3 z 3 3xz
Nên vế trái =
1
3xy
3zy
3xz
1
1
3
3 3 3
xy
xy
zy
xz
zy
xz
Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:
a3
b3
c3 a b c
3
b3
c
a3 b c a
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
a3
b3
b3
c3
c3
a3
b3
b3
c3
c3
1 3
a
(1)
b
1 3
b
(2)
c
c
(3)
a
a3
a3
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
1 3
1
3 3
xy zy xz
a3
b3
c3
a b c
a b c
2( 3
)
3
2(
)
b
c3
a3
b c a
b c a
a b c
2( ) 3
b c a
a3
b3
c3 a b c
3
Vậy:
b3
c
a3 b c a
Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng:
1 2
3
x y
HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z 9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
1 1
2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn
Q
1
1
.
4
2
2
a b 2ab b a 2ba 2
4
2
Hướng dẫn
Với a 0; b 0 ta có: (a2 b)2 0 a4 2a2b b2 0 a 4 b2 2a 2b
a4 b2 2ab2 2a2b 2ab2
Tương tự có
1
1
(1)
2
a b 2ab
2ab a b
4
2
1
1
2
b a 2a b 2ab a b
4
2
(2) . Từ (1) và (2) Q
1
ab a b
1
1
1 1
.
2 a b 2ab mà a b 2 ab ab 1 Q
2
2(ab)
2
a b
1
1
Khi a = b = 1 thì Q . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là
2
2
Vì
Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị
x 2 y2
nhỏ nhất của biểu thức: M
xy
Hướng dẫn
Ta có M =
x2 y 2 x2 y 2 x y
x y 3x
( )
xy
xy xy y x
4y x 4y
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương
x y
x y
x y
; ta có
2
. 1,
4y x
4y x
4y x
dấu “=” xảy ra x = 2y
x
y
3 x 6 3
4 y 4 2
3 5
Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra x = 2y
2 2
5
Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y
2
Vì x ≥ 2y 2 . , dấu “=” xảy ra x = 2y
Bài 9:
Hướng dẫn:
Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1;b 4;c 9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P
bc a 1 ca b 4 ab c 9
abc
Hướng dẫn:
Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.
1 1
1
xy xz
1 1 11 1
4
4
HD
xy xz x y z x y z x 4 x
Chứng minh rằng
Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13)
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
8a 2 b
b2
4a
Hướng dẫn
a = b = 0,5
Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)
Cho x 0, y 0 thỏa mãn x2 y 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Hướng dẫn: Với x 0, y 0 ta có
x2 y 2
1
3
1
2
2
4
xy xy 1 xy
2
2
2
1 xy 3
1 xy 3
2 xy
2
4
2
Do đó A
2
2 .
1 xy
1 xy
3
3
Dấu “=” xảy ra khi x y .
x 0, y 0
2
xy
Từ x y
2
2
2
x y 1
Vậy min A
2
2
khi x y
.
3
2
Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)
2 xy
.
1 xy
Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh :
2 a 1 2b 8
1 a 1 2b 7
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
1
2
8
1 a 1 2b 7
1
2
1
1
1
=
(1) (bđt Côsi)
2
a 1 2b 1 a 1 b 1
1
(a 1)(b )
2
2
1
a 1 b
1
2 7 (bđt Cô si)
(a 1)(b )
2
2
4
2
8
(2)
7
1
(a 1)(b )
2
1
2
8
Từ (1) và (2) suy ra:
1 a 1 2b 7
1
3
5
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2 a = và b =
2
4
4
Ta có:
Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết P
ab
ab 2c
bc
bc 2a
ca
ac 2b
Hướng dẫn
* Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab)
= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b)
1
1
0 và
0 áp dụng cosi ta có
ac
bc
1
1
1
1
1
dấu (=)
a + c = b + c a = b
2.
(a c)(b c)
ac bc
ac bc
1
1 1
1
hay
(
)
(c a)(c b) 2 c a c b
vì a ; b ; c > 0 nên
ab
1 ab
ab
(1) dấu bằng a = b
c a (c b) 2 c a c b
bc
1 cb
bc
Tương tự:
(2) dấu bằng b = c
bc 2a 2 a b a c
ac
1 ca
ca
(3) dấu bằng a = c
2b ca 2 c b b a
ab
2c ab
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
ab
cb
cb
ac
ac
1 ab
ab
bc
ca
+
+
)
(
ab 2c
bc 2a
ca 2b 2 c a c b b a c a b a c b
1 ab
cb
ab
ac
cb
ac
P (
)(
)(
2 ca ca
bc cb
a b a b
1 (a c).b a.(b c) c.(b a) 1
1
=
a b c .2 1
2 ca
2
bc
ab 2
: P=
P=
2
ab
bc
ca
≤ 1 dấu bằng a = b = c =
3
ab 2c
bc 2a
ca 2b
2
Vậy min P = 1 khi a = b = c =
3
Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P =
ab
bc
ca
.
c ab
a bc
b ca
Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
a
b
ab
ab
Do đó
a c b c (Cô – si)
c ab
(b c)(c a)
2
b
c
c
a
bc
ca
bc ca ;
ca a b
Tương tự:
a bc
2
b ca
2
a c bc a b
a
c
b
c
a b 3
Vậy P
2
2
Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2
Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x 2 3x
Hướng dẫn
1
2011.
4x
1
1
2011 4 x 2 4 x 1 x
2010
4x
4x
1
(2 x 1) 2 ( x ) 2010
4x
1
Vì (2 x 1)2 0 và x > 0 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +
4x
1
1
1
2 x.
2. 1
4x
2
4x
1
M = (2 x 1)2 ( x ) 2010 0 + 1 + 2010 = 2011
4x
1
x
2
1
x
2 x 1 0
2
1
1
1
1
M 2011 ; Dấu “=” xảy ra x
x=
x 2 x
2
4x
4
2
x 0
x 0
1
x 2
x 0
1
Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x =
2
M 4 x 2 3x
Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
x
y
z
1.
x 3x yz y 3 y zx z 3z xy
Hướng dẫn
Từ x yz 0 x 2 yz 2x yz (*) Dấu “=” khi x2 = yz
2
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz
Suy ra 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z) (Áp dụng (*))
x 3x yz x ( x y z)
x
x
(1)
x 3x yz
x y z
y
y
z
z
(2),
(3)
y 3y zx
x y z
z 3z xy
x y z
x
y
z
1
Từ (1), (2), (3) ta có
x 3x yz y 3y zx z 3z xy
Tương tự ta có:
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn
25
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
a
b
c
.
2 b 5 2 c 5 2 a 5
25
Do a, b, c >
(*) nên suy ra: 2 a 5 0 , 2 b 5 0 , 2 c 5 0
4
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
Q
a
2 b 5 2 a (1)
2 b 5
b
2 c 5 2 b (2)
2 c 5
c
2 a 5 2 c (3)
2 a 5
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q 5.3 15 .
Dấu “=” xẩy ra a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15 a b c 25
- Xem thêm -
.PDF 
9 
738 
52 
