PHẠM HỒNG PHONG
Phân loại chi tiết
Hệ thống ví dụ phong phú
Bài tập có đáp số đầy đủ
Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012
HÀ NỘI - 2012
Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84
Từ
khóa:
pham
hong
phong,
phuong
trinh
luong
giac
Mục lục
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung ....................................................................... 5
Loại 1.
Các phương trình lượng giác cơ bản ................................................................................. 5
Loại 2.
Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 15
Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác ..................................................23
Loại 1.
Một số phép đại số hóa đơn giản ...................................................................................... 23
Loại 2.
Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos ................................................. 31
Loại 3.
Phép đại số hóa t tan 2x ................................................................................................. 41
Loại 4.
Phép đại số hóa t = tanx ................................................................................................... 45
Chủ đề 3. Phương trình tích ...............................................................................48
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình cơ bản đối với sin
Xét phương trình
sin x m .
(0.1)
Điều kiện có nghiệm: (0.1) có nghiệm m 1;1 .
Công thức nghiệm: Với mọi m 1;1 , ta có
x arcsin m 2k
(0.1)
( k ).
x arcsin m 2k
Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn
y
2 ; 2
1
của phương trình
sin x m
(
y=sinx
m
Hình 1).
-
π
2
O
arcsinm
Ta thấy với mỗi m 1;1 , giá trị arcsin m
luôn tồn tại duy nhất.
π
2
x
-1
Hình 1
2. Phương trình cơ bản đối với cos
Xét phương trình
cos x m .
Điều kiện có nghiệm: (0.2) có nghiệm m 1;1 .
Công thức nghiệm: Với mọi m 1;1 , ta có
(0.2)
(0.2) x arccos m 2k ( k ).
5
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
y
1
y=cosx
Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn
m
0; của phương trình sin x m (Hình 2).
π
2
O
π
x
arccosm
Ta thấy với mỗi m 1;1 , giá trị arccos m
luôn tồn tại duy nhất.
-1
Hình 2
3
3. Phương trình cơ bản đối với tan
y
Xét phương trình
tan x m .
y=tanx
(0.3)
m
Với mọi m , (0.3) có nghiệm và
-
(0.3) x arctan m k ( k ).
π
2
π
2
O
x
arctanm
Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng ; của
2 2
phương trình tan x m (Hình 3).
Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất.
Hình 3
4. Phương trình cơ bản đối với cot
Xét phương trình
cot x m .
(0.4)
6
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
y
y=cotx
Với mọi m , (0.4) có nghiệm và
m
(0.4) x arctan m k ( k ).
Trong đó, arc cot m là nghiệm thuộc khoảng 0; của phương
π
2
O
π
x
arccotm
trình cot x m (Hình 4).
Ta thấy với mỗi m , giá trị arc cot m luôn tồn tại duy nhất.
Hình 4
5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống
phương trình cơ bản:
f x g x 2k
sin f x sin g x
( k );
f x g x 2k
cos f x cos g x f x g x 2k ( k );
f x g x k
tan f x tan g x
( k );
f x k
2
f x g x k
cot f x cot g x
( k ).
f x k
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
2cos2 x sin x 2 .
1
Giải. Ta có
7
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
1
2 1 sin 2 x sin x 2 2sin 2 x sin x 0 sin x 2 sin x 1 0
x k
sin x 0
1 x 2k , ( k ).
sin x
6
2
5
x
2k
6
Ví dụ 2. Giải phương trình:
1
sin 2 x cos x 0 .
Giải.
Cách 1. 1
2sin x cos x cos x 0 cos x 2 sin x 1 0
cos x 0
1
sin x 2
Cách 2. 1
x 2 k
x 2k , ( k ).
6
x 7 2k
6
sin 2 x cos x sin 2 x sin x
2
2k
2 x x 2 2k
x 6 3
, ( k ).
2 x 3 x 2k
x 3 2k
2
2
y
1
Chú ý. Trong ví dụ trên, ta thấy khi giải bằng hai cách khác
nhau ta được các công thức nghiệm khác nhau. Tuy nhiên các
công thức nghiệm nói trên cùng thể hiện một tập nghiệm của
-1
O
1
x
phương trình.
-1
Ví dụ 3. Giải phương trình: sin 2 x cos2 2 x 1 .
1
Giải.
8
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
1
cos 2 x cos x
.
cos2 2 x 1 sin 2 x cos2 2 x cos2 x
cos 2 x cos x
2
2 x x 2k
2 x x 2k
3
x 2k
2k
2k
( 2k k
x
k ).
2
k
x
3
3
3
cos 2 x cos x
Vậy nghiệm của 1 là: x
2
3
2k
x
2 x x 2k
3
3 .
2 x x 2k
x 2k
2k
2k
, x
, x 2k ( k ).
3
3
3
Ví dụ 4. Giải phương trình: sin 3x sin
5x
x
cos .
2
2
1
Giải. Ta có
1
sin 3x 12 sin 3x sin 2 x
sin 3x sin 2 x
3 x 2 x 2k
3 x 2 x 2k
x 2k
( k ).
x 2 k
5
5
Ví dụ 5. Giải phương trình: sin 3x 1 cos 4 x cos 3x sin 4 x .
1
Giải.
1
cos 3x sin 4 x sin 3 x cos 4 x sin 3x sin 7 x sin 3 x
k
x
7
x
3
x
2
k
2
( k ).
7 x 3x 2k
x k
10 5
Ví dụ 6. Giải phương trình: sin 4 x sin 7 x cos 3 x cos 6 x .
1
Giải.
1
12 cos11x cos 3x 12 cos 9 x cos 3x cos11x cos 9 x
9
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
k10
x 20
11x 9 x 2k
( k ).
cos11x cos 9 x
11x 9 x 2k
x 2 k
Ví dụ 7. Giải phương trình:
1
tan x
1.
2
cos x
3
1
Giải.
1
tan x
1
1
tan x
0 tan x tan x
1
0 tan 2 x
0
2
3
3
3
cos x
tan x 0
x k
( k ).
tan x 1
x k
3
6
Ví dụ 8. Giải phương trình:
2sin 2 x sin x 1
0
2 cos x 3
1
Giải.
Điều kiện để 1 có nghĩa: 2 cos x 3 0 cos x
3
x 2k ( k ).
2
6
x
2k
2
sin x 1
2
Ta có 1 2sin x sin x 1 0
1 x 2k ( k ).
sin x
2
2
x 7 2k
6
y
π
+2kπ 1
2
Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được
biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn
sin x 1
sin x 1 được biểu diễn bằng những điểm đen.
2
các họ nghiệm của 1 là
2
2k ,
7
6
2k ( k ).
π
+2kπ
6
-1
O
x
1
-π
+2kπ
6
7π
+2kπ
6
-1
10
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Chú ý. Khi biểu diễn họ x
2k
( k , n * , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác
n
ta được:
Một điểm trong trường hợp n 1 .
Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2 . Hai điểm này là các điểm
biểu diễn giá trị
2k
với k 0 , 1 .
2
n điểm cách đều nhau trong trường hợp n 3 . n điểm này là các điểm biểu diễn giá trị
-1
2k
với k 0 , 1 , …, n 1 .
n
y
y
y
1
1
1
O
1
x
-1
-1
O
1
x
-1
n2
n3
Ví dụ 9. Giải phương trình 1 5sin x 2cos 2 x cos x 0 .
-1
O
1
x
-1
n4
1
Giải. Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 .
1 5sin x 2 cos 2 x 0
1
.
cos x 0
2
3
Ta thấy
2
1 5sin x 2 1 sin 2 x 0 2sin 2 x 5sin x 3 0
11
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
x
2k
sin x 3 1 voâ nghieäm
6
.
1
7
sin
x
2
x
2k
6
3
cos x 0 x
k .
2
y
π
+2kπ 1
2
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của 2 và 3 trên
đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm
-1
O
x
1
điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm
của 1 là:
Ví dụ 10. Giải phương trình:
-π
+2kπ
6
7π
+2kπ
6
k , 2k ( k ).
2
6
π
- +2kπ -1
2
1
sin x .
8cos 2 x
Giải. Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 x
1
k .
2
sin x 0
Ta có 1 1
.
2
sin
x
8cos 2 x
4
2
3
4
2
2
8sin x cos x 1 cos x 0
2sin 2 2 x 1 cos 4 x 0
cos x 0
4x
k
k x
.
2
8 4
12
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
y
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của 4 trên đường
5π
+2kπ
8
1
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
7π
+2kπ
8
trong hai điều kiện 2 , 3 (điểm được khoanh trắng), ta
π
+2kπ
8
-1
được các họ nghiệm của 1 là:
Chú ý. Họ nghiệm x
O
x
1
-π
+2kπ
8
-7π
+2kπ
8
3
5
7
2k ,
2k ,
2k ,
2k ( k )
8
8
8
8
3π
+2kπ
8
-5π
+2kπ
8
-1
-3π
+2kπ
8
2k
( k ) thực ra là tập hợp 2kn k . Ta có
n
k 2k k 2n 2k k ... n 1 . 2n 2k k
x 2k
2
x n 2k
2k
nói cách khác x n
( k ).
...
x n 1 2n 2k
2 k
n
x
Ví dụ 11. [ĐHB06] Giải phương trình: cot x sin x 1 tan x tan 4 .
2
1
sin x 0
k
Giải. ĐK: cos x 0 sin 2x x
.
2
cos x 0
2
Ta có 1 tan x tan
sin x sin 2x cos x cos 2x sin x sin 2x
cos 2x
x
1
1
.
2
cos x cos 2x
cos x cos 2x
cos x cos 2x cos x
x
cot x sin x 1 tan x tan cot x tan x
2
Do đó
1
cos x
sin x
sin x
cos
x
cos2 x sin 2 x
sin x cos x
sin22 x .
2
1
4 sin 2 x (TMĐK)
sin 2x
2
13
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
2
x
2
k
x
k
6
12
( k ).
2 x 5 2k
x 5 k
6
12
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1) sin x 3 cos x 0 .
2) sin x cos x 14 .
3) sin 3x cos 2 x sin 2 x cos x .
4) cos x 4 cos 2 x 3 cos
x
0.
2
5) 2sin x 4sin 3 x 3sin x sin 2 x 0 .
6) sin x sin 2 x cos x cos 2 x 0 .
7) sin x sin 2 x cos x cos 2 x 0 .
Bài 2. Giải các phương trình sau
sin 2 x 4 .
1)
cos x cos 7 x
cos6 x
2)
1
sin x
cos1 x
3)
1
sin x
cos1 x sin 22 x .
2
sin 2 x
.
4) sin 2 x 1 tan 2 x tan x 1 .
5) sin 2 x tan x 1 sin 2 x tan 2 x .
6)
2 3 cos x 2sin 2 x2 4
2cos x 1
1.
7) tan 2 x 3 tan 2 x
cos 2 x 1
cos 2 x
.
D. Đáp số
Bài 1 1)
2k ,
6
3
k ; 2)
12
2 k3 ; 7) 2k ,
712 2k ; 4)
k ,
3
5
6
k ; 3) k ,
8
2 k3 . Bài 2 1) k ,
k
; 5) x k ; 6)
8 2
4
3
k4 ; 4)
k
5
4 k
5
,
4 k
7
; 5) k ,
; 2) 12 2k ,
7
12
8
k2 ,
2k ; 3)
4
k ;6)
12
2k ,
2k ; 7) 4 k .
14
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng:
1
A sin x B cos x C ,
trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 ( A2 B 2 0 ).
* Cách giải: chia hai vế của 1 cho
A
A2 B 2
sin x
A2 B 2 , ta được phương trình tương đương:
B
A2 B 2
cos x
C
A2 B 2
.
A
cos
A
B
A2 B 2
Vì
1 nên tồn tại 0; 2 để:
.
2
2
2
2
B
A B A B
sin
A2 B 2
2
2
Do đó: 1 sin x cos cos x sin
C
A2 B 2
sin x
C
A2 B 2
2
.
Ta thấy 2 là phương trình có dạng cơ bản sin f x m .
* Chú ý:
+) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình 1 :
1
+)
có nghiệm A2 B 2 C 2 0 .
B
cos
A2 B 2
Nếu chọn 0; 2 để:
thì 1 cos x
A
sin
A2 B 2
C
2
A B2
.
15
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
A
cos
A2 B 2
Nếu chọn 0; 2 để:
thì 1 sin x
B
sin
A2 B 2
B
cos
2
A B2
Nếu chọn 0; 2 để:
thì 1 cos x
A
sin
A2 B 2
C
A2 B 2
C
A2 B 2
.
.
Trong từng trường hợp, việc chọn phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
+) Một số công thức hay sử dụng:
sin x cos x 2 sin x 4 2 cos x 4 ,
sin x cos x 2 sin x 4 2 cos x 34 ,
sin x 3 cos x 2sin x 3 2 cos x 6 ,
sin x 3 cos x 2 sin x 3 2 cos x 56 ,
3 sin x cos x 2sin x 6 2 cos x 3 ,
3 sin x cos x 2sin x 6 2cos x 23 .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: sin x 3 cos x 1 0 .
1
Giải
Ta có
1
1
3
1
sin x
cos x sin x cos cos x sin sin
2
2
2
3
3
6
16
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
x
2
k
x
2k
3 6
2
( k ).
sin x sin
3
6
x 5 2k
x 7 2k
6
3
6
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 2 sin x cos x sin x cos x 0 .
1
Giải
Ta có
1
sin 2 x
1
3
3
sin x cos x sin 2 x sin x cos cos x sin
4
4
2
3
3
2
x
x
2
k
x
2k
3
4
4
( k ).
sin 2 x sin x
4
2 x x 2k
x 2k
12
3
4
Nhận xét. Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức
Ví dụ 3. Giải phương trình:
3 sin x
1
sin x cos x .
2
cos 2 x 1
.
2 cos x
1
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 x
k .
2
2
Ta có
1
2 3 sin x cos x cos 2 x 1
3 sin 2 x cos 2 x 1
3
1
1
sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos cos 2 x sin sin
2
2
2
6
6
6
2 x 2k
6
6
sin 2 x sin
7
6
6
2x
2k
6
6
17
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
x k
( k ) (thỏa mãn 2 ).
x 2 k
3
Ví dụ 4. [ĐHD07] Giải phương trình:
2
x
x
sin cos 3 cos x 2 .
2
2
1
Giải
2
x
x
x
x
x
x
Ta có sin cos sin 2 cos 2 2 sin cos 1 sin x . Do đó
2
2
2
2
2
2
1
sin x 3 cos x 1
sin x cos
1
3
1
sin x
cos x
2
2
2
1
1
cos x sin
sin x
3
3 2
3 2
x 3 6 2k
x 6 2k
( k ).
x 5 2k
x 2k
3
6
2
Ví dụ 5. [ĐHD09] Giải phương trình:
3 cos 5 x 2 sin 3 x cos 2 x sin x 0 .
1
Giải
Ta có 2sin 3 x cos 2 x sin 5 x sin x . Do đó
1
3 cos 5 x sin 5 x 2sin x
sin 5 x cos
3
1
cos 5 x sin 5 x sin x
2
2
2
2
2
cos 5 x sin
sin x sin 5 x
sin x
3
3
3
2
k
5 x 3 x 2k
x 6 2
( k ).
5 x 2 x 2k
x k
3
18 3
18
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Ví dụ 6. [ĐHA09] Giải phương trình:
1 2sin x cos x
1 2 sin x 1 sin x
1
3.
Giải
sin x 12
Đk:
sin x 1
x 6 2k
7
x
2k .
6
x 2 2k
Ta có 1 2sin x 1 sin x sin x 1 2sin 2 x sin x cos 2 x . Do đó
1
cos x sin 2 x 3 sin x cos 2 x sin 2 x 3 cos 2 x cos x 3 sin x
1
3
1
3
sin 2 x
cos 2 x cos x
sin x
2
2
2
2
sin 2 x cos
cos 2 x sin sin cos x cos sin x
3
3
6
6
2 x x 2k
3 6
sin 2 x sin x
3
6
2 x 5 x 2k
3
6
2k
x
18
3 (
k ).
x 2k
2
Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa ta có tập nghiệm của 1 là
Ví dụ 7. Cho phương trình
2 sin x cos x 1
a
sin x 2 cos x 3
1 , ( a
2k
( k ).
18
3
là tham số).
1
1) Giải phương trình khi a .
3
19
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
2) Tìm a để 1 có nghiệm.
Giải
Xét phương trình sin x 2 cos x 3 0
2 .
2
Ta có 12 2 32 4 0 2 vô nghiệm sin x 2cos x 3 0 x .
Do đó
1
2sin x cos x 1 a sin x 2 cos x 3
1
1) a : 1 trở thành
3
2
5
3
2 a sin x 2a 1 cos x 3a 1 .
sin x 53 cos x 0 tan x 1 x
2
k ( k ).
4
2
2) Ta có 2 a 2a 1 3a 1 4a 2 6a 4 2 a 2 3a 2 .
1
Do đó 1 có nghiệm 2 a 2 3a 2 0 a 2 3a 2 0 a 2 .
2
Ví dụ 8. Cho phương trình 2sin 2 x sin x cos x cos 2 x m .
1
1) Giải phương trình khi m 1 .
2) Tìm m để 1 có nghiệm.
Giải
Ta có
1
1
1 cos 2 x
m sin 2 x 3cos 2 x 1 2m .
1 cos 2 x sin 2 x
2
2
1) m 1 1 trở thành
sin 2 x 3cos 2 x 3
2sin x cos x 3 1 2sin 2 x 3 2sin x cos x 6sin 2 x 0
sin x cos x 3sin 2 x 0 sin x cos x 3sin x 0
20
- Xem thêm -
.PDF 
55 
126 
131 
