BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP VÀ XÂY DỰNG
BÀI GIẢNG MÔN HỌC
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG
Dùng cho hệ Cao đẳng chuyên nghiệp
(Lưu hành nội bộ)
Người biên soạn:
Nguyễn Ngọc Dung
Uông Bí, năm 2011
Ch¬ng 1: c¬ häc
1.1. ®éng häc chÊt ®iÓm
1.1.1. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ ph¬ng tr×nh quü
®¹o
I. C¸c kh¸i niÖm më ®Çu
a. ChuyÓn ®éng
ChuyÓn ®éng cña vËt lµ sù dÞch chuyÓn t¬ng ®èi cña vËt thÓ nµy ®èi víi
c¸c vËt thÓ kh¸c trong kh«ng gian theo thêi gian.
b. HÖ quy chiÕu
§Ó nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña vËt thÓ, ngêi ta chän nh÷ng vËt thÓ kh¸c
nµo ®ã lµm mèc mµ ta quy íc lµ ®øng yªn. HÖ to¹ ®é g¾n liÒn víi vËt lµm mèc
®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt thÓ trong kh«ng gian vµ chiÕc ®ång hå g¾n víi hÖ nµy
®Ó chØ thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu (hqc)
c. TÝnh t¬ng ®èi cña chuyÓn ®éng
Mét vËt sÏ lµ chuyÓn ®éng hay ®øng yªn tuú thuéc vµo hqc mµ ta chän.
VËt cã thÓ chuyÓn ®éng so víi hqc nµy nhng l¹i ®øng yªn so víi hqc kh¸c.
d. ChÊt ®iÓm: Mét vËt thÓ ®îc coi lµ chÊt ®iÓm kh«ng ph¶i do kÝch thíc tuyÖt
®èi cña nã x¸c ®Þnh mµ do tØ sè gi÷a kÝch thíc cña vËt vµ ®é dµi ®Æc trng cho
chuyÓn ®éng cña nã x¸c ®Þnh,
e. HÖ chÊt ®iÓm: Lµ tËp hîp hai hay nhiÒu chÊt ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c
chÊt ®iÓm lµ kh«ng ®æi hoÆc chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm nµy phô thuéc c¸c chÊt
®iÓm kh¸c.
Lùc t¬ng t¸c gi÷a c¸c chÊt ®iÓm trong cïng mét hÖ lµ néi lùc.
f. Kh«ng gian vµ thêi gian trong c¬ häc cæ ®iÓn
- Thêi ®iÓm lµ mét ®iÓm trªn trôc thêi gian.
- Kho¶ng thêi gian lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai thêi ®iÓm trªn trôc thêi gian
* XÐt chuyÓn ®éng cña vËt tõ vÞ trÝ M1M2
z
- §èi víi hqc k kho¶ng thêi gian tr«i qua: t2- t1
z’
- §èi víi hqc k kho¶ng thêi gian tr«i qua: t’2- t’1
- Ta thõa nhËn t2- t1= t’2- t’1
M
r’
o’
y’
Khi t1= t’1=0 t2=t’2=t
+ M ë thêi ®iÓm t ®îc x¸c ®Þnh (x,y,z) trong hÖ k r r0’
x’
quy chiÕu k b»ng b¸n kÝnh r
o
y
r xi y j z k
+ M ë thêi ®iÓm t ®îc x¸c ®Þnh (x’,y’,z’)
trong hÖ quy chiÕu k’ b»ng b¸n kÝnh r ’
r ' x' i y ' j z ' k
i
j
x
ro ' oo'
- Ta thõa nhËn gi÷a c¸c b¸n kÝnh vecto cña cïng 1 ®iÓm trong c¸c hqc k vµ k’
kh¸c nhau ë thêi ®iÓm t bÊt k× cã hÖ thøc:
r ro ' r '
hay r ' r ro '
- XÐt chuyÓn ®éng cña 2 chÊt ®iÓm bÊt k× M1 vµ M2 ë thêi ®iÓm t:
1
r1 ro '1 r '1 ;
r2 ro '2 r ' 2
=> r2 r1 r ' 2 r '1
Hay r2 r1 {(x2-x1)2 + (y2- y1)2 + (z2 – z1)2}1/2= r ' 2 r '1
= {(x’2-x’1)2 + (y’2- y’1)2 + (z’2 – z’1)2}1/2
(1.1)
=> NghÜa lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai vÞ trÝ cña hai chÊt ®iÓm bÊt k× cïng thêi ®iÓm
®· cho lµ nh nhau trong tÊt c¶ mäi hqc.
- Khi 2 ®iÓm M1M2 rÊt gÇn nhau th× kho¶ng dr gi÷a hai chÊt ®iÓm x¸c ®Þnh:
dr= {dx2+dy2+dz2}1/2
=> Nh vËy c¬ häc cæ ®iÓn thõa nhËn: VÞ trÝ cña chÊt ®iÓm cã tÝnh chÊt t¬ng
®èi, ®èi víi nh÷ng hqc kh¸c nhau lµ kh¸c nhau nhng kho¶ng thêi gian vµ
kho¶ng kh«ng gian cã tÝnh chÊt tuyÖt ®èi, lµ nh nhau trong mäi hqc.
II. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ ph¬ng tr×nh quü ®¹o
a. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
- Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng lµ ph¬ng tr×nh m« t¶ sù phô thuéc cña ®¹i lîng
cho ta x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt víi thêi gian.
* Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng d¹ng tù nhiªn:
Gi¶ sö chÊt ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®êng cong C
- Chän ®iÓm O lµm hqc vµ chiÒu + trªn ®êng cong khi ®ã vÞ trÝ M ®îc x¸c
®Þnh bëi cung s= OM . Khi M chuyÓn ®éng th× s thay ®æi theo thêi gian
* Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng d¹ng to¹ ®é:
M.
G¾n ®êng cong C vµo hÖ to¹ ®é Oxyz vÞ trÝ M ®îc . o S
.c
x¸c ®Þnh: x=ƒ1(t) ; y= ƒ2(t) ; z= ƒ3(t)
* Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng d¹ng vecto
Dùng vecto r OM gäi lµ b¸n kÝnh vecto cña M khi M chuyÓn ®éng r thay
®æi r= ƒ(t)
b. Ph¬ng tr×nh quü ®¹o
BiÕt ®îc c¸c ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ta cã thÓ t×m quü
®¹o cña nã: ThËt vËy khö thêi gian t trong c¸c ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta t×m
®îc ph¬ng tr×nh quü ®¹o.
2
1.1.2 vect¬ VËn tèc. Vect¬ Gia tèc
I. vect¬ VËn tèc
1. §Þnh nghÜa
VËn tèc lµ ®¹i lîng ®Æc trng cho sù chuyÓn ®éng nhanh
hay chËm cña
.M
chuyÓn ®éng.
. M’
.O s
s’
2. VËn tèc trung b×nh vµ vËn tèc tøc thêi
a. VËn tèc trung b×nh
XÐt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm trªn ®êng cong C
Trªn C chän gèc O vµ mét chiÒu (+)
t0=0 t¹i vÞ trÝ M trïng O
T¹i thêi ®iÓm t chÊt ®iÓm ë M cã s= OM
T¹i thêi ®iÓm t’ chÊt ®iÓm ë M’ cã s’= OM '
Trong kho¶ng thêi gian t t 't chÊt ®iÓm di chuyÓn ®îc qu·ng ®êng s s ' s
=> VËn tèc trung b×nh: vtb
b. VËn tèc tøc thêi
s
t
(1.2)
Theo (1.2) khi M’ cµng gÇn M => v lim
t 0
Hay v
s
t
ds
dt
(1.3)
(1.4)
VËy vËn tèc cña chÊt ®iÓm cã gi¸ trÞ b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt cña qu·ng
®êng theo thêi gian
- NÕu chÊt ®iÓm dÞch chuyÓn theo chiÒu (+) cña quü ®¹o th× v>0
- NÕu chÊt ®iÓm dÞch chuyÓn theo chiÒu (-) cña quü ®¹o th× v<0
c. Vecto vËn tèc
- §Æc trng ®Çy ®ñ ph¬ng, chiÒu chuyÓn ®éng vµ ®é nhanh chËm cña chuyÓn
®éng
- T¹i mét ®iÓm trªn quü ®¹o lµ mét vect¬ v cã ph¬ng tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o t¹i
®iÓm ®ã, cã chiÒu theo chiÒu chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm cã trÞ sè b»ng gi¸ trÞ
tuyÖt ®èi cña vËn tèc t¹i ®iÓm ®ã.
d. Vecto vËn tèc trong hÖ to¹ ®é
- Gi¶ thiÕt ë thêi ®iÓm t: M => OM r
- Gi¶ thiÕt ë thêi ®iÓm t+dt: M’ => OM ' r dr
Khi dt<< => MM ' OM ' OM dr ds
NghÜa lµ (1.4) cã thÓ viÕt thµnh v
dr
dt
(1.5)
VËy: v b»ng ®¹o hµm cña b¸n kÝnh vecto ®èi víi thêi gian
v { vx
dx
dt
; vy
dy
dz
; vz }
dt
dt
(1.6)
§é lín vËn tèc ®îc tÝnh theo c«ng thøc:
v v x2 v y2 v z2 (
II. Gia tèc
dx 2
dy
dz
) ( )2 ( )2
dt
dt
dt
(1.7)
3
1. §Þnh nghÜa
Gia tèc lµ ®¹i lîng ®Æc trng cho sù biÕn thiªn cña vecto vËn tèc.
2. BiÓu thøc
XÐt chÊt ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn quü ®¹o lµ ®êng cong (C) t¹i thêi
®iÓm t cã vËn tèc v , t¹i thêi ®iÓm t’=t+∆t nã cã vËn tèc v' v v
Lîng biÕn thiªn cña vecto vËn tèc trong kho¶ng thêi gian ∆t lµ: v v' v
=> Vecto gia tèc trung b×nh b»ng ®é biÕn thiªn trung b×nh cña vecto vËn tèc
trong mét ®¬n vÞ thêi gian: atb
v
t
(1.8)
Khi ∆t 0 th× a cña chÊt ®iÓm ë thêi ®iÓm t ®îc x¸c ®Þnh:
v d v d 2 r
a lim
2
dt
dt
t 0 t
(1.9)
=> + Gia tèc chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm lµ mét vecto b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt
theo thêi gian cña vecto vËn tèc.
+ Hay b»ng ®¹o hµm bËc 2 theo thêi gian cña b¸n kÝnh vecto r
- Trong hÖ to¹ ®é §ecac ta viÕt ®îc:
dv dv y dv z dx 2 dy 2 dz 2
a xi
j
k 2 i 2 j 2 k
dt
dt
dt
dt
dt
dt
- C¸c h×nh chiÕu cña a trªn c¸c trôc x,y,z b»ng:
dv y d 2 y
dv
dv
d 2x
d 2z
ax x 2 ;
ay
2
; az z 2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(1.10)
(1.11)
- §é lín cña gia tèc ®îc tÝnh theo c«ng thøc:
a a x2 a y2 a z2 (
d 2x 2
d2y 2
d 2z 2
)
(
)
(
)
dt 2
dt 2
dt 2
(1.12)
3. Gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn
- T¹i thêi ®iÓm t ®iÓm M cã vËn tèc: v
- T¹i thêi ®iÓm t’=t+∆t ®iÓm M cã vËn tèc v' v v
v' v BD v v v v' v
ChiÕu (1.9) nªn trôc vµ n ta ®îc:
a lim
t 0
vt
t
vµ
a n lim
t 0
a : gia tèc tiÕp tuyÕn
v n
t
an: gia tèc ph¸p tuyÕn
a. Gia tèc tiÕp tuyÕn:att
∆vt=BC=│MC-MB│=v’cos - v= v’ (1 2 sin 2
)
2
)v
2 sin 2
v'v
2
2 lim v 0
lim
lim
=> a lim
(1.13)
t 0
t 0 t
t 0
t 0 t
t
t
dv d 2 s
Theo ®Þnh nghÜa ®¹o hµm: a 2
(1.14)
dt dt
=> KÕt luËn: a ®Æc trng cho sù biÕn thiªn cña vect¬ vËn tèc vÒ gi¸ trÞ vect¬ nµy.
v' (1 2 sin 2
4
- Cã ph¬ng trïng víi tiÕp tuyÕn cña quü ®¹o t¹i M.
- Cã chiÒu lµ chiÒu chuyÓn ®éng khi v t¨ng vµ chiÒu ngîc l¹i khi v gi¶m.
- Cã ®é lín b»ng ®¹o hµm ®é lín vËn tèc theo thêi gian.
b. Gia tèc ph¸p tuyÕn: an
v n
t 0 t
(1.15)
a n lim
Theo h×nh cã ∆vn=ME=v’sin∆
v' sin
sin s
sin
s
1
v2
lim v'
lim
lim
lim
lim v' 1.v. .v
t 0
t 0
t
t s t 0 t 0 t t 0 s t 0
R
R
a n lim
(1.16)
=> a n ®Æc trng cho sù biÕn thiªn vÒ ph¬ng cña vect¬ vËn tèc, a n cã:
+ Ph¬ng trïng víi ph¸p tuyÕn cña quü ®¹o t¹i M
+ Cã chiÒu híng vÒ t©m cña quü ®¹o
+ Cã ®é lín a n
v2
R
c. Gia tèc toµn phÇn: a at a n
(1.17)
+ an=0 : v kh«ng thay ®æi ph¬ng: chuyÓn ®éng th¼ng
+ a =0 : v kh«ng thay ®æi chiÒu vµ gi¸ trÞ: chuyÓn ®éng cong ®Òu.
+ a= 0 : v kh«ng thay ®æi ph¬ng chiÒu vµ gi¸ trÞ: chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu.
1.1.3. Mét sè d¹ng chuyÓn ®éng ®Æc biÖt.
I. ChuyÓn ®éng th¼ng ®Òu.
Lµ chuyÓn ®éng cã quü ®¹o lµ ®êng th¼ng, v kh«ng ®æi, a= 0
Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng: S=S0+vt
S0: qu·ng ®êng ban ®Çu
II. ChuyÓn ®éng th¼ng biÕn ®æi ®Òu
Lµ chuyÓn ®éng cã quü ®¹o th¼ng vµ gia tèc a kh«ng ®æi: an=0;
a
dv
const ;
dt
a at
v v0
v v 0 at
t
+ ChuyÓn ®éng chËm dÇn ®Òu: a.v<0
+ ChuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu: a.v>0
- Ph¬ng tr×nh qu·ng ®êng: v
LÊy tÝch ph©n hai vÕ ta cã: s
ds
ds vdt (v0 at )dt
dt
(1.18)
at 2
vo t
2
(1.19)
Khö thêi gian t trong (1.19) ta ®îc v 2 v02 2as
III. ChuyÓn ®éng trßn
+ VËn tèc gãc:
d
dt
+ VËn tèc dµi: v = R.
(1.20)
(1.21)
5
+ Gia tèc ph¸p tuyÕn: a n
+ Gia tèc gãc: tb
t
v 2 ( R ) 2
R 2
R
R
(1.22)
(1.23)
* Bµi tËp: 1.1; 1.2; 1.12; 1.13; 1.14;
1.15;
1.241.27/19 sbt
1.2. §éng lùc häc chÊt ®iÓm
1.2.1. C¸c ®Þnh luËt Newton. C¸c lùc liªn kÕt
I. §Þnh luËt I.
- Khi mét chÊt ®iÓm c« lËp (ko chÞu mét t¸c ®éng nµo tõ bªn ngoµi), nÕu ®ang
®øng yªn nã sÏ tiÕp tôc ®øng yªn, nÕu ®ang chuyÓn ®éng th× chuyÓn ®éng cña nã
lµ th¼ng ®Òu.
- §Þnh luËt qu¸n tÝnh: Mét chÊt ®iÓm c« lËp b¶o toµn tr¹ng th¸i chuyÓn ®éng cña
nã.
II. §Þnh luËt II.
a) ChuyÓn ®éng cña mét chÊt ®iÓm chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã tæng hîp F≠0 lµ
mét chuyÓn ®éng cã gia tèc.
b) Gia tèc chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm tØ lÖ víi tæng hîp lùc t¸c dông F vµ tØ lÖ
nghÞch víi khèi lîng cña chÊt ®iÓm Êy: a k
F
NÕu k=1 a
m
F
m
(1.24)
(1.24) lµ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña
c¬ häc chÊt ®iÓm
- Ph¬ng tr×nh Newton: F ma
v const
+ Víi ®Þnh luËt Newton I: F 0 a 0
+ Víi ®Þnh luËt Newton II: F 0 a
F
0
m
III. §Þnh luËt III.
- Khi chÊt ®iÓm A t¸c dông lªn chÊt ®iÓm B mét lùc F th× chÊt ®iÓm B còng t¸c
dông lªn chÊt ®iÓm A mét lùc F ' , 2 lùc F vµ F ' tån t¹i ®ång thêi cïng ph¬ng,
ngîc chiÒu vµ cïng cêng ®é.
- Nãi c¸ch kh¸c tæng h×nh häc c¸c lùc t¬ng t¸c gi÷a 2 chÊt ®iÓm =0
F F' 0
(1.25)
- Chó ý: ë c«ng thøc (1.25) tæng 2 lùc F vµ F ' b»ng kh«ng nhng t¸c dông
cña chóng kh«ng khö nhau v× ®iÓm ®Æt cña chóng kh¸c nhau.
- Tæng c¸c néi lùc cña mét hÖ chÊt ®iÓm c« lËp (hÖ kÝn)=0
1.2.2. §éng lîng
1. ThiÕt lËp c¸c ®Þnh lý vÒ ®éng lîng.
6
- ChÊt ®iÓm khèi
lîng m chÞu
t¸c dông cña mét lùc F (hay nhiÒu lùc).
- ma F m
dv
d (mv )
F
F d (mv ) Fdt
dt
dt
(1.26)
- §Æt K mv : gäi lµ vecto ®éng lîng
§éng lîng lµ ®¹i lîng vecto ®îc x¸c ®Þnh b»ng tÝch sè gi÷a khèi lîng vµ
vecto vËn tèc: K mv
(1.27)
Thay (1.27) vµo (1.26) ta cã dK Fdt
(1.28)
§Þnh lý 1: §¹o hµm ®éng lîng cña mét chÊt ®iÓm ®èi víi thêi gian cã gi¸ trÞ
b»ng lùc (hay tæng hîp c¸c lùc) t¸c dông lªn chÊt ®iÓm ®ã.
t2
d
K
Fdt Ft K Ft
(1.29)
t1
§Þnh lý 2: §é biÕn thiªn ®éng lîng cña mét chÊt ®iÓm trong mét kho¶ng thêi
gian nµo ®ã cã gi¸ trÞ b»ng xung lîng cña lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm trong
kho¶ng thêi gian ®ã.
(1.29) F
K
t
(1.30)
§é biÕn thiªn ®éng lîng cña chÊt ®iÓm trong ®¬n vÞ thêi gian cã gi¸ trÞ b»ng
lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm ®ã.
2. ý nghÜa cña ®éng lîng vµ xung lîng cña lùc.
- ý nghÜa cña ®éng lîng: Khi kh¶o s¸t vÒ mÆt ®éng lùc häc chÊt ®iÓm ta
kh«ng thÓ chØ xÐt vËn tèc mµ ph¶i ®Ò cËp ®Õn khèi lîng. NghÜa lµ vËn tèc kh«ng
®Æc trng cho chuyÓn ®éng vÒ ph¬ng diÖn ®éng lùc häc. Do ®ã mµ ®éng lîng
míi ®Æc trng cho chuyÓn ®éng vÒ ph¬ng diÖn ®éng lùc häc. Khi hai vËt va
ch¹m ®µn håi víi nhau th× kÕt qu¶ va ch¹m ®îc thÓ hiÖn b»ng ®éng lîng cña
c¸c vËt. VËy ®éng lîng ®Æc trng cho kh¶ n¨ng truyÒn chuyÓn ®éng.
- ý nghÜa cña xung lîng: VÒ mÆt ®éng lùc häc th× kÕt qu¶ t¸c dông cña
lùc kh«ng nh÷ng phô thuéc cêng ®é lùc t¸c dông mµ cßn phô thuéc thêi gian
t¸c dông cña lùc. NÕu cïng mét lùc t¸c dông nhng thêi gian t¸c dông kh¸c nhau
th× kÕt qu¶ t¸c dông sÏ kh¸c nhau.
3. C¸c ®Þnh lý vÒ ®éng lîng
- §Þnh lý 1: K Ft
(1.31)
- §Þnh lý 2:
K
F
t
(1.32)
4. §Þnh luËt b¶o toµn ®éng lîng
XÐt mét hÖ vËt c« lËp gåm n chÊt ®iÓm cã khèi lîng m1, m2....., mn gi¶ sö
F1 , F2 ......, Fn lµ c¸c ngo¹i lùc vµ F '1 , F ' 2 ......, F ' n lµ c¸c néi lùc t¸c dông lªn mçi chÊt
®iÓm trong hÖ vËt. ¸p dông ®Þnh lý ®éng lîng (1.28) ®èi víi mçi chÊt ®iÓm m1,
m2..., mn:
d Kn
d K1
d K2
F1 F1' ;
F2 F2' ;...........
Fn Fn'
dt
dt
dt
Céng vÕ víi vÕ cña c¸c ph¬ng tr×nh nµy víi nhau:
n
dK d n
n
K
F
F 'i
i
i
dt
dt
i 1
i 1
i 1 i 1
(1.33)
n
(1.34)
7
n
- NÕu hÖ c« lËp
F
i
i 1
d n
Ki
dt i 1 =0 hay
0
n
K
i 1
i
n
vµ
F'
i 1
i
0
(1.35)
K 1 K 2 .... K n const
(1.35) biÓu diÔn ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng lîng
- Thùc tÕ kh«ng cã hÖ vËt c« lËp hÖ qu¶
n
F
i
0
* NÕu tæng c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ triÖt tiªu ( i 1
cña hÖ chÊt ®iÓm kh«ng c« lËp còng
n
K
i 1
i
) th× tæng ®éng lîng
®îc b¶o toµn
K 1 K 2 .... K n const .
* NÕu h×nh chiÕu trªn ph¬ng x nµo ®ã cña tæng c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ
vËt triÖt tiªu
n
F
i 1
ix
0 , th× h×nh chiÕu trªn ph¬ng x cña tæng ®éng lîng cña hÖ
n
vËt kh«ng c« lËp còng ®îc b¶o toµn K i K 1x K 2 x .... K nx const .
i 1
5. øng dông ®Þnh luËt
a. Gi¶i thÝch hiÖn tîng sóng bÞ giËt lïi khi b¾n
V
m
v
M
trong ®ã:
v: cña ®¹n
V: cña sóng
b. Nguyªn t¾c cña chuyÓn ®éng ph¶n lùc
v u ln
M0
M
1.2.3. Trêng hÊp dÉn. nguyªn lý Galile
1. §Þnh luËt hÊp dÉn
F1 F2 G
m1 m2
r2
(1.36)
G=6,67.10-11N.m/kg2
2. Trêng hÊp dÉn
- Trêng hÊp dÉn ®ãng vai trß truyÒn lùc hÊp dÉn tõ vËt nµy ®Õn vËt kh¸c.
3. Nguyªn lý t¬ng ®èi Galile
Kh«ng thÓ b»ng c¸c thùc nghiÖm c¬ häc thùc hiÖn trong hÖ quy chiÕu
qu¸n tÝnh mµ ta cã thÓ ph¸t hiÖn ®îc hÖ quy chiÕu ®ã ®ang ®øng yªn hoÆc ®ang
chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu.
4. PhÐp biÕn ®æi Galileo vµ sù bÊt biÕn c¸c ph¬ng tr×nh c¬
häc
a. Kh«ng gian vµ thêi gian trong c¬ häc cæ ®iÓn
8
- XÐt 2 hqc O x y z t - ®øng yªn vµ O'
x' y' z' t'- chuyÓn ®éng ®èi víi O däc
theo trôc Ox, chän gèc thêi gian t¹i
thêi ®iÓm O trïng O'.
- t = t' : thêi gian cã tÝnh chÊt tuyÖt
®èi, kh«ng phô thuéc hqc
- VÞ trÝ kh«ng gian cã tÝnh chÊt t¬ng
®èi, phô thuéc vµo hqc.
x = x' + OO'
; y = y'
z = z'
z
z’
o
o’
. .
AB
x
x’
y
y’
b. PhÐp biÕn ®æi Galileo
NÕu O' chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu víi vËn tèc V ®èi víi hqt O th× : OO' = V.t
Khi ®ã t = t'; x = x' + V.t
; y = y'
z = z'
(1.37)
hoÆc t' = t; x' = x + V.t ; y' = y
z' = z
(1.37) lµ phÐp biÕn ®æi Galileo
* HÖ qu¶:
- Kho¶ng thêi gian diÔn biÕn cña mét qu¸ tr×nh cã tÝnh chÊt tuyÖt ®èi,
kh«ng phô thuéc hqc. ThËt vËy t = t2 - t1 trong O vµ t' = t'2 - t'1 trong hÖ O'
t = t' .
- Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm trong kh«ng gian cã tÝnh chÊt tuyÖt ®èi,
kh«ng phô thuéc vµo hqc. ThËt vËy gi¶ sö chiÕc thíc AB ®Æt däc trôc O'x' trong
hÖ O' cã ®é dµi lµ l0= x'B - x'A , trong hÖ O ®é dµi cña thíc nµy lµ l= xB - xA
v× xA = xA' + V.t vµ xB = xB' + V.t l = l0
c. Sù bÊt biÕn cña c¸c ph¬ng tr×nh c¬ häc
- Gi¶ sö chÊt ®iÓm M cã khèi lîng m chÞu t¸c dông cña lùc F chuyÓn ®éng víi
gia tèc a trong hÖ qu¸n tÝnh O.
Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng trong O lµ : F ma
ChiÕu ph¬ng tr×nh nµy xuèng c¸c trôc täa ®é Ox, Oy, Oz:
d 2x
d2y
d 2z
ma
m
ma
m
;
;
(1.38)
y
z
dt 2
dt 2
dt 2
d 2 x d 2 x'
d 2 y d 2 y'
d 2 z d 2 z'
Ta cã thÓ viÕt: dt= dt'; 2 2 a x'
; 2 2 a 'y
2 a z'
2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
ma x m
(1.39)
Thay (1.39) vµo (1.38) ta t×m ®îc ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng trong hÖ O':
ma' F
C¸c ph¬ng tr×nh c¬ häc bÊt biÕn qua phÐp biÕn ®æi Galileo nghÜa lµ hÖ quy
chiÕu O' chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ®èi víi hÖ quy chiÕu O còng lµ hqc qu¸n tÝnh
ma ma ' mA
NÕu O’ chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu th× A=0 a a' F ma' (1.40)
(1.40) lµ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong O’
Hay ®Þnh luËt Neewton tho¶ m·n c¶ trong hÖ O’→O’ còng lµ hÖ quy chiÕu
qu¸n tÝnh.
9
- Nguyªn lý: C¸c ph¬ng tr×nh c¬ häc trong mäi hqc qu¸n tÝnh cã d¹ng nh
nhau.
-Mäi ®Þnh luË c¬ häc x¶y ra trong c¸c hÖ qcqt lµ nh nhau chiÕu ph¬ng tr×nh
F ma lªn c¸c trôc x’,y’,z’ ta cã:
Fy ma y ;
Fx ma x ;
(1.41)
Fz ma z
5. ChuyÓn ®éng trong hÖ quy chiÕu cã gia tèc
a. Qui t¾c tæng hîp vËn tèc vµ gia tèc
XÐt vËn tèc vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng ®èi víi hai hÖ O vµ O'
O: lµ hqc qu¸n tÝnh ®øng yªn gäi lµ hqc tuyÖt ®èi
O': lµ hqc t¬ng ®èi
vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm ®èi víi hai hÖ O vµ O' x¸c ®Þnh bëi vect¬ b¸n kÝnh r OM vµ
r ' OM ' . §Æt R OO' , ta cã hÖ thøc: r r ' R
(1.42)
LÊy ®¹o hµm theo thêi gian cña (2.17)
dr dr ' dR dr ' dR
hay v v' V
dt dt dt dt ' dt
(1.43)
VËn tèc tuyÖt ®èi cña chÊt ®iÓm b»ng tæng vect¬ cña vËn tèc t¬ng ®èi cña
chÊt ®iÓm ®ã vµ vËn tèc theo.
LÊy ®¹o hµm theo thêi gian cña (1.43)
dv dv' dV dv' dV
hay a a' A
dt dt
dt
dt ' dt
Gia tèc tuyÖt ®èi cña chÊt ®iÓm b»ng tæng vect¬ cña gia tèc t¬ng ®èi cña
chÊt ®iÓm ®ã vµ gia tèc theo.
b. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng trong hqc cã gia tèc - Lùc qu¸n tÝnh
a : lµ gia tèc tuyÖt ®èi cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ tuyÖt ®èi O,
a ' : lµ gia tèc t¬ng ®èi cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ t¬ng ®èi O'
A : lµ gia tèc theo cña hÖ t¬ng ®èi O' ®èi víi hÖ tuyÖt ®èi O.
Theo qui t¾c tæng hîp gia tèc, ta cã: a' a A
Nh©n 2 vÕ víi m ta nhËn ®îc ph¬ng tr×nh: ma' F (mA) F Fqt (1.44)
Fqt: lµ lùc qu¸n tÝnh, nã lu«n cïng ph¬ng ngîc chiÒu
HÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng cã gia tèc ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh sÏ kh«ng
ph¶i lµ hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh.
* Chó ý: Khi kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm khèi lîng m trong hqc kh«ng
qu¸n tÝnh O', ngoµi ngo¹i lùc F t¸c dông lªn chÊt ®iÓm ta ph¶i kÓ ®Õn lùc qu¸n
tÝnh F m A . Lùc qu¸n tÝnh Fqt chØ xuÊt hiÖn trong hqc kh«ng qu¸n tÝnh O'
chuyÓn ®éng víi gia tèc theo A 0 , nã lu«n cïng ph¬ng vµ ngîc chiÒu víi gia
tèc theo A cña hqc kh«ng qu¸n tÝnh O'.
*Bµi tËp: 2.1;
2.82.16/ sbt
10
1.2.4. thùc hµnh
Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng kh«ng ma s¸t trªn ®Öm khÝ
KiÓm chøng ba ®Þnh luËt niuton
1.3. C«ng vµ C«ng suÊt
§Þnh luËt biÕn ®æi vµ b¶o toµn c¬ n¨ng
1.3.1. C«ng vµ c«ng suÊt cña lùc
1. C«ng cña lùc.
- Lùc F t¸c dông vµo chÊt ®iÓm lµm chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng ®îc ®o¹n ®êng
th¼ng S MN :
A=F.S. cosα
dA=Fds.cosα= F.ds
ChÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®êng cong CD → C«ng cña lùc F thùc hiÖn
trªn CD lµ: A dA Fds
(1.45)
CD
CD
+ A> 0 F: Sinh c«ng ph¸t ®éng.
+ A< 0 F: Sinh c«ng c¶n.
2. C«ng suÊt cña lùc.
- Lµ ®¹i lîng ®Æc trng cho tèc ®é sinh c«ng, nã cã gi¸ trÞ b»ng c«ng sinh ra
trong mét ®¬n vÞ thêi gian.
A
A dA Fds
Ptb
P lim
Fv Fs cos
(1.46)
t 0 t
t
dt
dt
C«ng suÊt b»ng tÝch v« híng cña lùc t¸c dông víi vecto vËn tèc chuyÓn dêi.
1.3.2. §Þnh luËt biÕn ®æi vµ b¶o toµn c¬ n¨ng
trong trêng lùc thÕ
I. C¬ n¨ng
W2- W1=A
§é biÕn thiªn n¨ng lîng cña mét hÖ trong qu¸ tr×nh nµo ®ã cã gi¸ trÞ b»ng
c«ng mµ hÖ nhËn ®îc tõ bªn ngoµi trong qu¸ tr×nh nµo ®ã.
+ A>0: N¨ng lîng hÖ t¨ng → HÖ nhËn c«ng
+ A<0: N¨ng lîng hÖ gi¶m → HÖ sinh c«ng
+ A= 0: N¨ng lîng cña hÖ ®îc b¶o toµn (hÖ c« lËp).
KL: N¨ng lîng kh«ng tù mÊt ®i mµ còng kh«ng tù sinh ra, n¨ng lîng chØ
chuyÓn tõ hÖ nµy sang hÖ kh¸c,
* Ph©n biÖt n¨ng lîng vµ c«ng:
- Víi mét tr¹ng th¸i x¸c ®Þnh th× vËt cã n¨ng lîng x¸c ®Þnh → N¨ng lîng lµ
mét hµm tr¹ng th¸i.
- C«ng ®Æc trng cho ®é biÕn ®æi n¨ng lîng cña vËt, lîng c«ng trao ®æi bao
giê còng t¬ng øng víi mét qu¸ tr×nh cô thÓ. VËy c«ng lµ hµm cña qu¸ tr×nh biÕn
®æi tr¹ng th¸i.
II. §éng n¨ng
- Lµ phÇn n¨ng lîng xuÊt hiÖn do sù chuyÓn ®éng cña vËt gäi lµ W® phô thuéc
vËn tèc cña c¸c vËt chuyÓn ®éng vµ liªn quan ®Õn c«ng cña ngo¹i lùc t¸c dông
lªn c¸c vËt trong hÖ.
11
→§Þnh nghÜa: §éng n¨ng lµ phÇn n¨ng lîng tån t¹i do sù chuyÓn ®éng cña vËt
vµ nã cã trÞ sè b»ng mét nöa tÝch sè gi÷a khèi lîng cña vËt vµ b×nh ph¬ng vËn
1
2
tèc cña nã lµ: W®= mv2
(1.47)
- §Þnh lý: §é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña chÊt ®iÓm trªn qu·ng ®êng nµo ®ã b»ng
c«ng cña lùc tæng hîp t¸c dông lªn chÊt ®iÓm thùc hiÖn trªn qu·ng ®êng ®ã.
- ThËt vËy:XÐt chÊt ®iÓm cã khèi lîng m chÞu t¸c dông cña lùc tæng hîp F lµm
nã chuyÓn ®éng tõ (1) →(2) trªn quü ®¹o C. VËn tèc cña vËt thay ®æi V1→V2.
( 2)
( 2)
- C«ng cña F thùc hiÖn trªn qu·ng ®êng ®ã: A Fds mad s
(1)
( 2)
dv
A m ds mv dv mv 2
dt
(1)
(1)
( 2)
(1)
( 2)
Wd 2 Wd 1
(1.48)
(1)
III. ThÕ n¨ng.
- ThÕ n¨ng lµ phÇn n¨ng lîng ®îc t¹o thµnh do sù t¬ng t¸c gi÷a c¸c vËt. Nã
phô thuéc vµo vÞ trÝ t¬ng ®èi cña c¸c vËt trong hÖ vµ liªn quan ®Õn néi lùc t¬ng
t¸c gi÷a c¸c vËt trong hÖ ®ã.
- ThÕ n¨ng träng trêng: Wt=mgh + const
(1.49)
- ThÕ n¨ng lùc ®µn håi: Wt
kx 2
2
(1.50)
- §é gi¶m thÕ n¨ng gi÷a 2 ®iÓm trong trêng thÕ cña chÊt ®iÓm b»ng c«ng cña
lùc thÕ t¸c dông vµo chÊt ®iÓm thùc hiÖn
øng víi sù dÞch chuyÓn cña chÊt ®iÓm
gi÷a hai ®iÓm ®ã. Wt ( M ) Wt ( N ) AMN Fds
(1.51)
NM
IV. §Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng trong trêng thÕ.
- Khi chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong trêng lùc thÕ (mµ kh«ng chÞu t¸c dông cña
mét lùc nµo kh¸c th× c¬ n¨ng cña chÊt ®iÓm ®îc b¶o toµn.
W Wd Wt
mv 2
mgh const
2
(1.52)
- C¬ n¨ng cña chÊt ®iÓm m chuyÓn ®éng trong träng trêng ®îc b¶o toµn, cßn
®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm cã thÓ chuyÓn hãa lÉn nhau: ®éng n¨ng
t¨ng th× thÕ n¨ng gi¶m vµ ngîc l¹i.
Hay N¨ng lîng cña mét hÖ vËt kh«ng tù sinh ra vµ kh«ng tù mÊt ®i, nã chØ
truyÒn tõ hÖ vËt nµy sang hÖ vËt kh¸c hoÆc biÕn ®æi tõ d¹ng nµy sang d¹ng kh¸c.
1.3.3. sù va ch¹m gi÷a c¸c vËt
1. VA ch¹m ®µn håi
- Sau va ch¹m 2 vËt chuyÓn ®éng víi vËn tèc v1' vµ v2'
§éng lîng cña hÖ ®îc b¶o toµn
m1v1' m2 v 2' m1v1 m2 v 2
(1.53)
12
Tæng ®éng n¨ng cña hÖ ®îc b¶o toµn:
m1v1'2 m1v 2'2 m1v12 m1v 22
2
2
2
2
(m m2 ).v1 2m2 v 2
v1' 1
m1 m2
v 2'
(1.54)
(1.55)
(m2 m1 ).v 2 2m1v1
m1 m2
(1.56)
2. va ch¹m mÒm
Sau va ch¹m hai qu¶ cÇu g¾n chÆt víi nhau vµ cïng chuyÓn ®éng víi cïng
vËn tèc:
v
m1v1 m2 v 2
m1 m2
(1.57)
Nhng tæng ®éng n¨ng cña hÖ vËt sau va ch¹m bÞ gi¶m mét lîng b»ng:
m1v12 m1v 22
Wd
2
2
(m1 m2 )v '2
m1 m2
hay Wd
(v1 v 2 ) 2
2
2(m1 m2 )
§é gi¶m ®éng n¨ng cña hÖ vËt nµy chuyÓn mét phÇn thµnh c«ng lµm biÕn
d¹ng c¸c vËt vµ mét phÇn chuyÓn thµnh nhiÖt lµm nãng c¸c vËt va ch¹m.
* Bµi tËp: 2.23; 2.24;
2.25;
2.26;
1.4. ®éng lùc häc vËt r¾n.
1.4.1. ChuyÓn ®éng tÞnh tiÕn
- Khi vËt r¾n chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn mäi chÊt ®iÓm cña nã ®Òu v¹ch nh÷ng quü
®¹o gièng nhau, v× vËy mäi chÊt ®iÓm cña vËt r¾n chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn ®Òu cã
cïng ®êng ®i s, cïng vËn tèc v v, vµ cïng gia tèc a
- Gäi m1 , m2 ,........mi ,... lµ c¸c phÇn tö khèi lîng trong vËt r¾n.
- F1 , F2 ,......Fi ..... lµ tæng c¸c ngo¹i lùc.
- F1 ', F2 ',......Fi '..... lµ tæng c¸c néi lùc t¸c dông lªn c¸c phÇn tö khèi lîng t¬ng
øng.
m1 .a F1 F1' ; m2 .a F2 F2' ;...................mi .a Fi Fi '
Céng vÕ víi vÕ cña c¸c ph¬ng tr×nh nµy, ta ®îc: mi .a F i F 'i
V×
F ' 0
i
i
i
i
i
nªn m.a F
1.4.2. ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét trôc cè
®Þnh
Khi mét vËt r¾n chuyÓn ®éng quay chung quanh mét ®êng th¼ng cè ®Þnh ∆ th×:
+ Mäi ®iÓm cña vËt r¾n v¹ch nh÷ng vßng trßn cã cïng trôc ∆
13
+ Trong cïng mét kho¶ng thêi gian, mäi ®iÓm cña vËt r¾n ®Òu quay ®îc
cïng mét gãc θ
+ T¹i cïng mét thêi ®iÓm, mäi ®iÓm cña vËt r¾n ®Òu cã cïng vËn tèc gãc
d d 2
d
vµ gia tèc gãc
2
dt
dt
dt
(1.58)
+ t¹i mét thêi ®iÓm, vecto vËn tèc th¼ng vµ vecto gia tèc tiÕp tuyÕn cña
mét chÊt ®iÓm bÊt k× cña vËt r¾n c¸ch trôc quay 1 kho¶ng x¸c ®Þnh r ®îc x¸c
®Þnh bëi c¸c c«ng thøc: v r ;
(1.59)
at r
(1.60)
a. M«men lùc ®èi víi trôc quay
* T¸c dông cña lùc trong chuyÓn ®éng quay:
- Gi¶ sö lùc F t¸c dông lªn vËt r¾n quay xung quanh trôc∆ ®Æt t¹i ®iÓm M:
F F 1 F 2 F t F r F 2 (3.16)
∆
F t OM nghÜa lµ n»m theo tiÕp tuyÕn
cña vßng trßn t©m O b¸n kÝnh OM.
+ F 2 : kh«ng g©y ra chuyÓn ®éng quay
chØ cã t¸c dông lµm cho vËt r¾n trît däc
M
theo trôc ∆→ kh«ng x¶y ra v× gi¶ thiÕt
vËt r¾n chØ quay xung quanh ∆.
F
F2
+ F n : kh«ng g©y ra chuyÓn ®éng quay,
chØ cã t¸c dông lµm vËt r¾n dêi khái trôc
O
Ft
∆ → kh«ng x¶y ra
F1
M
+ F t : t¸c dông lµm vËt quay quanh ∆
Fn
→ F Ft
→KÕt luËn: Trong chuyÓn ®éng quay cña mét vËt r¾n xung quanh mét trôc chØ
nh÷ng thµnh phÇn lùc tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cña ®iÓm ®Æt míi cã t¸c dông thùc
sù.
* M«men lùc:
- Thùc nghiÖm chøng tá t¸c dông cña F t kh«ng nh÷ng phô thuéc vµo cêng ®é
cña nã mµ cßn phô thuéc kho¶ng c¸ch r, kho¶ng c¸ch cµng lín th× t¸c dông cña
lùc cµng m¹nh.
- §Þnh nghÜa: M«men cña lùc F t ®èi víi trôc quay ∆ lµ mé vecto M x¸c ®Þnh
bëi
M r Ft rFt sin( r , Ft ) rFt
(1.61)
- DÔ dµng chøng minh r»ng:
+ M«men cña mét lùc F ®èi víi trôc quay ∆ sÏ b»ng kh«ng khi lùc ®ã
b»ng kh«ng hoÆc khi lùc ®ã ®ång ph¼ng víi ∆.
+ M«men M cña F ®èi víi trôc quay ∆ lµ m«men cña F t ®èi víi ®iÓm O
(giao ®iÓm cña ∆.vµ mÆt ph¼ng chøa F t ).
b. ThiÕt lËp ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng quay
14
- Gi¶ sö cã vËt r¾n quay quanh trôc cè ®Þnh z, xÐt chÊt ®iÓm thø i cã khèi lîng
c¸ch trôc ri chÞu t¸c dông cña ngo¹i lùc tiÕp tuyÕn Fti :
Fti mi ati
nh©n cã híng 2 vÕ víi b¸n kÝnh vecto:
M
ri OM i
Z
→ Fti ri mi ati ri mµ Fti ri M i
mÆt kh¸c
ati ri ri ( ri ) (ri , ri ) (ri )ri ri 2 0
→ mi ri 2 M i
(1.62)
n
hay ( mi ri 2 ) M
(1.63)
i 1
O
®Æt M i M : Tæng hîp m«men c¸c
ngo¹i lùc t¸c dông lªn vËt r¾n
mi ri2 I : Gäi lµ m«men qu¸n tÝnh
ri
M
Ft
ati
I M
(1.64)
(1.64) lµ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n
M
I
(1.65)
NhËn xÐt:
- Gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n xung quanh mét trôc tØ lÖ víi
tæng hîp m«men c¸c ngo¹i lùc ®èi víi trôc vµ tØ lÖ nghÞch víi m«men qu¸n tÝnh
cña vËt r¾n ®èi víi trôc.
- Ph¬ng tr×nh (1.65) cã d¹ng t¬ng tù ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc vËt
r¾n tÞnh tiÕn.
- M«men lùc M (gièng F) ®Æc trng cho t¸c dông cña ngo¹i lùc lªn vËt r¾n
chuyÓn ®éng quay.
- Gia tèc gãc (gièng a) ®Æc trng cho biÕn thiªn tr¹ng th¸i cña chuyÓn ®éng
quay.
- M«men qu¸n tÝnh I (gièng m) ®Æc trng cho qu¸n tÝnh cña vËt r¾n chuyÓn ®éng
quay.
- ThËt vËy cïng m«men lùc M t¸c dông. NÕu m«men qu¸n tÝnh I cµng lín th× gia
tèc gãc cµng nhá vµ vËn tèc gãc biÕn thiªn cµng Ýt, nghÜa lµ tr¹ng th¸i
chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n thay ®æi cµng Ýt. NghÜa lµ tr¹ng th¸i chuyÓn ®éng
quay cña vËt r¾n thay ®æi cµng Ýt.
c. M«men qu¸n tÝnh cña mét sè vËt r¾n cã d¹ng ®èi xøng.
- Thanh ®ång chÊt ®èi víi trôc quay : I 0
- Khèi trô ®Æc ®ång chÊt: I 0
- Vµnh trô rçng: I0 =mR2
mR 2
2
ml 2
12
2
5
- Khèi cÇu: I 0 mR 2
15
- B¶n ph¼ng ch÷ nhËt: I 0
1
m.(a 2 b 2 )
12
d. §Þnh lý Steiner- Huyghens
Muèn tÝnh m«men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n ®èi víi trôc song song víi
trôc0 th× ph¶i sö dông ®Þnh lý Steiner- Huyghen
- §Þnh lý: M«men qu¸n tÝnh I cña vËt r¾n ®èi víi trôc bÊt kú b»ng m«men
qu¸n tÝnh I0 cña vËt r¾n ®èi víi trôc 0 ( ®i qua khèi t©m G) song song víi
céng víi tÝch sè gi÷a khèi lîng m cña vËt víi b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch a gi÷a
hai trôc ®ã.
I= I0 + m. a2
1.4.3. c¸c ®Þnh lý m«men ®éng lîng
®Þnh luËt b¶o toµn m«men ®éng lîng
I. M«men ®éng lîng cña vËt r¾n
- Gi¶ sö vËt r¾n quay quanh trôc cè ®Þnh z víi vËn tèc gãc
- XÐt chÊt ®iÓm thø i c¸ch trôc quay ri, cã khèi lîng mi, vi=ri ; ®éng lîng
K i mi v i
- M«men ®éng lîng cña chÊt ®iÓm ®èi víi trôc z lµ
Li ri K i v× ri K i nªn Li ri K i ri mi v
z
2
Li mi ri
VËt r¾n lµ hÖ chÊt ®iÓm nªn m«men ®éng lîng cña vËt
®èi víi trôc z sÏ lµ LZ Li v× c¸c m«men ®éng lîng
cïng híng nªn: Lz Li mi ri 2
Theo ®Þnh nghÜa vÒ m«men qu¸n tÝnh ®èi víi trôc z th×:
ri
2
m
r
I
vËy
hay
(1.66)
L
I
L
I
ii z
z
Z
z
Z
VËy m«men ®éng lîng cña vËt r¾n quay quanh trôc
Vi
Ki
cè ®Þnh b»ng tÝch gi÷a m«men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi
trôc quay vµ vËn tèc cña nã.
Vecto m«men ®éng lîng cã ph¬ng n»m trªn trôc
quay cña vËt vµ cã híng trïng víi híng cña vÐc t¬ v©n tèc gãc.
II. C¸c ®Þnh lý m«men ®éng lîng
16
®Þnh
Trong ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®énglùc häc vËt r¾n quay quanh trôc cè
d
d I .
dL
I . M I .
M
M
dt
dt
dt
(1.67)
VËy: §¹o hµm theo thêi gian cña vect¬ m«men ®éng lîng cña vËt r¾n quay
quanh mét trôc cè ®Þnh cã gi¸ trÞ b»ng tæng m«men c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn
vËt r¾n ®ã.
Tõ (1.67) dL M .dt
(1.68)
LÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (1.68) ta cã:
t2
L L2 L1 M dt
(1.69)
t1
§é biÕn thiªn vect¬ m«men ®éng lîng cña vËt r¾n quay quanh mét trôc cè
®Þnh cã gi¸ trÞ b»ng xung lîng cña tæng vect¬ m«men ngo¹i lùc t¸c dông lªn vËt
r¾n trong cïng kho¶ng thêi gian t¬ng øng.
III. §Þnh luËt b¶o toµn m«men ®éng lîng
- M«men ®éng lîng cña vËt r¾n c« lËp ®îc b¶o toµn
L I . const
1.4.4. C«ng cña lùc vµ ®éng n¨ng cña vËt r¾n
Quay quanh mét trôc cè ®Þnh
I. C«ng cña lùc trong chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n
XÐt mét vËt r¾n quay quanh trôc cè ®Þnh do t¸c dông cña lùc tiÕp tuyÕn.
dA=Ft.ds=Ft.r.dα= M.dα
lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (1.70) A= M.α
II. §éng n¨ng cña vËt r¾n quay quanh trôc cè ®Þnh
I 2
Wd
2
(1.70)
(1.71)
W® =A
(1.72)
§é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña vËt r¾n quay quanh trôc cè ®Þnh b»ng c«ng
cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn vËt r¾n ®èi víi cïng trôc quay ®ã.
III. §éng n¨ng cña vËt r¾n võa quay võa tÞnh tiÕn
Wd
I 2 mv 2
2
2
* Bµi tËp: 3.73.23/ sbt
(1.73)
*Thùc hµnh
* KiÓm tra häc tr×nh
17
Ch¬ng 2. NhiÖt ®éng lùc häc
2.1. tHUYÕT §éNG HäC PH¢N Tö KHÝ Vµ C¸C §ÞNH LUËT PH¢N
Bè
2.1.1. Nh÷ng ®Æc trng c¬ b¶n cña khÝ lý tëng
ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i khÝ
I. Nh÷ng ®Æc trng c¬ b¶n cña khÝ lý tëng
1. HÖ nhiÖt ®éng
Lµ mét hÖ vËt lý bao gåm mét sè lín c¸c h¹t nguyªn tö ph©n tö, c¸c h¹t
nµy lu«n chuyÓn ®éng nhiÖt hçn lo¹n vµ trao ®æi n¨ng lîng cho nhau khi t¬ng
t¸c.
- NÕu hÖ kh«ng trao ®æi nhiÖt víi m«i trêng bªn ngoµi th× ®îc gäi lµ hÖ
c« lËp nhiÖt .
- NÕu hÖ kh«ng trao ®æi c«ng víi m«i trêng bªn ngoµi th× ®îc gäi lµ hÖ
c« lËp c¬.
2. Th«ng sè tr¹ng th¸i
Tr¹ng th¸i cña hÖ ®îc x¸c ®Þnh bëi mét tËp hîp c¸c ®¹i lîng vËt lý
(V,T,P,m...) c¸c ®¹i lîng vËt lý nµy gäi lµ c¸c th«ng sè tr¹ng th¸i.
3. ¸p suÊt
Lµ mét ®¹i lîng vËt lý cã ®é lín b»ng lùc nÐn vu«ng gãc lªn mét ®¬n vÞ
diÖn tÝch p
Fn
S
4. NhiÖt ®é
Lµ ®¹i lîng ®Æc trung cho møc ®é nãng l¹nh
II. C¸c ®Þnh luËt thùc nghiÖm vÒ khÝ lý tëng
1. §Þnh luËt Boilo- Mariot
- T= const P.V=const
§Þnh luËt: Trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®¼ng nhiÖt, thÓ tÝch vµ ¸p suÊt cña khèi
lîng khÝ x¸c ®Þnh tØ lÖ nghÞch víi nhau.
P1.V1=P2. V2
(2.1)
2. §Þnh luËt Saclo
- §Þnh luËt: Khi thÓ tÝch kh«ng ®æi th× ¸p suÊt cña mét khèi lîng khÝ x¸c ®Þnh
tû lÖ thuËn víi nhiÖt ®é tuyÖt ®èi cña nã:
P P
P
const ; 1 2
T1 T2
T
(V= const)
(2.2)
3. §Þnh luËt Gay- Luyxac
- §Þnh luËt: Khi ¸p suÊt kh«ng ®æi th× thÓ tÝch khèi lîng khÝ x¸c ®Þnh tØ lÖ thuËn
víi T0 tuyÖt ®èi cña nã: P=const
th×
V V
V
const 1 2
T1 T2
T
(2.3)
4.Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i
18
- ë tr¹ng th¸i (1) chÊt khÝ cã ¸p suÊt P1, thÓ tÝch V1, nhiÖt ®é T1
- ë tr¹ng th¸i (2) chÊt khÝ cã ¸p suÊt P2, thÓ tÝch V2, nhiÖt ®é T2
P1V1 P2V2
PV
hay
const
T1
T2
T
(2.4)
* X¸c ®Þnh h»ng sè:
xÐt 1 mol khÝ ë ddktc cã P0=1,013.105N/m2=1,033at
1at=9,81.104N/m2, V0 22,41dm 3 ; T0=273,16 0K
P0V0
J
dm 3 at
cal
0
,
084
2.10 3
0
0
T0
mol K
mol K
Kmol 0 K
PV
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cho 1 mol :
R
T
VËy
R R 8,31
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña khèi khÝ cã khèi lîng m, lµ khèi lîng cña 1 mol
th× sè mol:
m
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña m lµ: PV
m
RT
(2.5)
* Bµi tËp: 0.10.10/ sbt
2.1.2. thùc hµnh
2.2 Nguyªn lý thø nhÊt cña nhiÖt ®éng lùc häc
vµ øng dông
I. Kh¸i niÖm vÒ hÖ nhiÖt ®éng vµ th«ng sè tr¹ng th¸i.
Khi kh¶o s¸t sù vËn ®éng cña c¸c h¹t rÊt nhá: ph©n tö, nguyªn tö ta kh¶o
s¸t mét tËp hîp c¸c ho¹t ®éng gièng nhau, mµ sù vËn ®éng cña nã ®îc thÓ hiÖn
b»ng mét sè th«ng sè ®éc lËp víi nhau. HÖ c¸c phÇn tö ®ã lµ hÖ nhiÖt ®éng, c¸c
th«ng sè ®ã lµ th«ng sè tr¹ng th¸i.
II. Kh¸i niÖm néi n¨ng - c«ng - nhiÖt
1) Kh¸i niÖm néi n¨ng
- N¨ng lîng cña hÖ: W=W®+Wt+U
+ W® : ®éng n¨ng cña hÖ, lµ phÇn n¨ng lîng ®îc t¹o ra do sù chuyÓn ®éng cña
hÖ
+ Wt : Lµ phÇn n¨ng lîng ®îc t¹o thµnh do sù t¬ng t¸c gi÷a hÖ víi bªn ngoµi
+U: Lµ phÇn n¨ng lîng ®Æc trng cho møc ®é vËn ®éng bªn trong cña hÖ
NÕu hÖ kh«ng chuyÓn ®éng, kh«ng t¬ng t¸c th× W®=0, Wt=0 W=U
Néi n¨ng lµ ®¹i lîng ®Æc trng cho møc ®é vËn ®éng bªn trong cña hÖ.
- ë tr¹ng th¸i x¸c ®Þnh hÖ cã néi n¨ng x¸c ®Þnh nªn néi n¨ng lµ mét hµm sè
tr¹ng th¸i.
- Lîng biÕn thiªn n«i n¨ng: U U 2 U 1
(2.6)
2) Néi n¨ng cña khÝ lý tëng
- Víi mét lîng khÝ ®· cho vµ ë mét nhiÖt ®é x¸c ®Þnh th× P.V=const KhÝ lý
tëng.
19
- ChÊt khÝ lý tëng khi va ®Ëp vµo thµnh b×nh g©y nªn ¸p suÊt chÊt khÝ. XÐt
chuyÓn ®éng cña c¸c ph©n tö khÝ theo Ox thµnh b×nh
coi va ch¹m ®µn håi v1=v2=vx
- ¸p dông ®Þnh lý vÒ ®éng lîng: mv 2 mv1 F t
(2.7)
F: lùc t¸c dông cña thµnh b×nh lªn ph©n tö khÝ
2mv=- F∆t
Lùc nÐn do ph©n tö t¸c dông lªn thµnh b×nh: F ' F
2mv
t
- XÐt khèi khÝ trong h×nh trô diÖn tÝch ®¸y S n»m ë thµnh b×nh, chiÒu dµi h×nh trô
lµ l, l=vx.∆t.
- ThÓ tÝch h×nh trô lµ: V=S.l=S.vx.∆t
- n0x: MËt ®é ph©n tö khÝ cã vËn tèc vx
- n: Sè ph©n tö khÝ trong h×nh trô cã vËn tèc vx: n=n0xV
- nx: Sè ph©n tö cã vËn tèc vx tiÕn ®Õn ®Ëp vµo thµnh b×nh
nx
n n âV n â
Sv x t
2
2
2
Fx: ¸p lùc dông vµo diÖn tÝch S th× Fx=F’.nx=n0xmvx2S
- V× mçi ph©n tö cã vËn tèc kh¸c nhau nªn Fx n0 xi mv xi2 S
xi
n0: lµ mËt ®é ph©n tö khÝ hay Fx
ta thÊy
n0
n0
n0 xi mv xi2 S n0 Sm
xi
n0 xi v xi2
n0
(2.8)
n0 xi v xi2
xi n v x2
0
- VËn tèc chÊt khÝ: v 2 v x2 v y2 v z2
- V× chÊt khÝ chuyÓn ®éng kh«ng cã ph¬ng u tiªn nªn v x2 v y2 v z2
1
Fx n0 Smv 2
3
(2.9)
P: ¸p suÊt chÊt khÝ th× P
1
2
v2
3
2
3
Fx
n
P 0 mv 2
S
3
®Æt W d mv 2 P n0 Wd
(2.10)
(2.11)
XÐt 1mol thÓ tÝch V theo ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i P. V =RT
2
3
n0 Wd V RT
(2.12)
Víi 1mol th× n0 V = NA: sè ph©n tö khÝ trong 1 mol
3 RT
2 NA
R
3
®Æt k b
1,38.10 23 J / oK Wd k bT
NA
2
Wd
(2.13)
(2.14)
- Ph©n tö khÝ cã cÊu t¹o 1 guyªn tö i= 3
- Ph©n tö khÝ cã cÊu t¹o 2 nguyªn tö i= 5
- Ph©n tö khÝ cã cÊu t¹o 3 nguyªn tö i= 6
20
* NhËn xÐt: víi chÊt khÝ lÝ tëng kh«ng cã lùc t¬ng t¸c gi÷a c¸c ph©n tö nªn thÕ
n¨ng t¬ng t¸c b»ng 0 nªn néi n¨ng khèi khÝ b»ng tæng ®éng n¨ng trung b×nh
cña c¸c ph©n tö khÝ nghÜa lµ néi n¨ng cña 1 mol.
U N A Wd N A
i
2
i
i R
k bT N A
T
2
2 NA
(2.15)
VËy U RT
Víi khèi khÝ cã khèi lîng m th× U
mi
RT
2
(2.16)
- NÕu nhiÖt ®é biÕn thiªn mét lîng ∆t th× biªn néi n¨ng
U
mi
mi
RT hay dU
RT
2
2
3) C«ng vµ nhiÖt
Khi t¬ng t¸c víi bªn ngoµi th× nã trao ®æi n¨ng lîng víi bªn ngoµi cã 2
c¸ch trao ®æi n¨ng lîng :
+ Trao ®æi c«ng
+ Trao ®æi nhiÖt
- PhÇn n¨ng lîng trao ®æi liªn quan ®Õn sù chuyÓn ®éng cã trËt tù cña c¸c phÇn
trong hÖ gäi lµ c«ng.
- PhÇn n¨ng lîng trao ®æi liªn quan ®Õn sù chuyÓn ®éng hçn lo¹n cña c¸c phÇn
tö trong hÖ gäi lµ nhiÖt.
C«ng vµ nhiÖt lµ hµm cña qu¸ tr×nh biÕn ®æi tr¹ng th¸i
* C«ng mµ chÊt khÝ trao ®æi
- Gi¶ sö mét khèi khÝ ®îc biÕn ®æi theo qu¸ tr×nh c©n b»ng díi t¸c dông cña
ngo¹i lùc F. Khi pitt«ng chuyÓn ®éng mét ®o¹n dl th× khèi khÝ nhËn c«ng
A Fdl
- F’: Lµ ¸p lùc cña chÊt khÝ t¸c dông vµo pitt«ng, v× F=F’ (qu¸ tr×nh c©n b»ng)
A F ' dl
* NhiÖt trao ®æi trong qu¸ tr×nh c©n b»ng
- NhiÖt lîng thu vµo hay to¶ ra ®îc tÝnh: Q=mc(T2-T1)=mc∆T
(2.17)
- Chó ý: C: nhiÖt dung mol cña mét chÊt lµ nhiÖt lîng cÇn thiÕt lµm mét mol
chÊt ®ã biÕn ®æi 10: C c
Q
m
CT
- Víi qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®¼ng tÝch ta cã: CV Q
- Víi qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®¼ng ¸p ta cã: Cp Q
m
m
CV T
(2.18)
C P T
III. Nguyªn lý I nhiÖt ®éng lùc häc
- Gi¶ sö khèi lîng khÝ nhËn c«ng A, nhËn nhiÖt Q, th× néi n¨ng biÕn thiªn ∆U:
∆U=U2-U1
- Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng lîng: ∆U=A+Q
(2.19)
21
- Nguyªn lý: §é biÕn thiªn néi n¨ng cña hÖ trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi b»ng tæng
c«ng vµ nhiÖt mµ hÖ trao ®æi víi bªn ngoµi: ∆U=A+Q
∆U>0 th× biÕn thiªn néi n¨ng t¨ng
∆U<0 th× biÕn thiªn néi n¨ng gi¶m
Q>0 hÖ nhËn nhiÖt
Q<0 hÖ truyÒn nhiÖt
A>0 hÖ nhËn c«ng
A<0 hÖ truyÒn c«ng
- Trêng hîp hÖ thùc hiÖn biÕn ®æi v« cïng nhá th× du dA dQ
- Trêng hîp hÖ biÕn ®æi theo chu tr×nh, nghÜa lµ sau mét d·y c¸c qu¸ tr×nh biÕn
®æi nã l¹i trë vÒ tr¹ng th¸i ban ®Çu nªn:
∆U=U2-U1=0
→A=-Q hay Q=-A cã ý nghÜa lµ mét ®éng c¬ muèn sinh c«ng ph¶i nhËn nhiÖt tõ
bªn ngoµi, kh«ng thÓcã mét ®éng c¬ sinh c«ng mµ kh«ng cÇn tiªu thô n¨ng
lîng bªn ngoµi, v× vËy kh«ng tån t¹i ®éng c¬ vÜnh cöu lo¹i 1.
→A=0 vµ Q=0 nghÜa lµ trong mét hÖ c« lËp gåm 2 vËt trao ®æi nhiÖt, nhiÖt lîng
vËt nµy to¶ ra b»ng nhiÖt lîng do vËt kia thu vµo
IV. øng dông nguyªn lý I kh¶o s¸t qu¸ tr×nh c©n b»ng
cña khÝ lý tëng
P
1. Qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®¼ng tÝch
a) C«ng trao ®æi
V2
Theo c«ng thøc tæng qu¸t: A P.dV
V× ®¼ng tÝch lªn: V1=V2 A=0
b) NhiÖt trao ®æi:
Q
m
P2
P1
P’2
V1
(4.22)
2
1
V
2’
C v T
Theo c«ng thøc biÕn ®æi néi n¨ng: U
mi
RT
2
Theo nguyªn lý I: ∆U=A+Q ∆U=Q
mi
m
iR
RT C v T CV
2
2
(2.20)
BiÕt nhiÖt dung mol ®¼ng tÝch ta tÝnh ®îc nhiÖt lîng trao ®æi
2. Qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®¼ng ¸p
a) C«ng trao ®æi
P=const
V2
A P.dV P (V1 V2 )
V1
b) NhiÖt trao ®æi
Q
m
(2.21)
P
P1 P2
C p T
Theo nguyªn lý I:
V
V’2
V1
V2
22
∆U=A+Q=P(V1- V2)+
m
C p T
mi
RT vµ P(V1- V2)=- P(V2- V1)=-P∆V
2
mi
m
m
iR
i2
RT RT C P T C P
R
R
2
2
2
mµ U
(2.22)
BiÕt nhiÖt dung mol ®¼ng ¸p ta hoµn toµn x¸c ®Þnh ®îc nhiÖt lîng trao ®æi
- HÖ thøc Maye: Tõ biÓu thøc trªn ta suy ra: CP=CV+R
C P - CV = R
- HÖ sè Poatxong:
C
§Æt P
CV
(i 2)
i
R
2
R
2 i2
i
(2.23)
3. BiÕn ®æi ®¼ng nhiÖt
T=const
a) C«ng trao ®æi
V2
A P.dV
V1
m
V2
V
P
dV m
m
RT ln 1 RT ln 2
V
V2
P1
V1
RT
(2.24)
b) NhiÖt trao ®æi
Theo nguyªn lý I: ∆U=A+Q
Trong ®ã U
mi
RT v× biÕn ®æi ®¼ng nhiÖt ∆T=0 ∆U=0
2
VËy A=- Q hoÆc Q=-A
Q
m
RT ln
V2 m
P
RT ln 1
V1
P2
(2.25)
+ NÕu A>0 th× Q<0 khèi khÝ nhËn c«ng to¶ nhiÖt
+ NÕu A< th× Q>0 khèi khÝ nhËn nhiÖt sinh c«ng
+ §å thÞ (P,V) cña qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt lµ 1 ®o¹n ®êng hypecbol. Mçi ®êng
hypecbol øng víi mét nhiÖt ®é x¸c ®Þnh. NhiÖt ®é cµng cao th× ®å thÞ cµng n»m
xa gèc to¹ ®é O.
4. ¸p dông nguyªn lý I kh¶o s¸t qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®o¹n nhiÖt
- Lµ qu¸ tr×nh kh«ng trao ®æi nhiÖt Q=0 hoÆc Q 0
a) Ph¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®o¹n nhiÖt
dU= A Q dU A
Trong ®ã dU
mi
RdT
2
vµ A PdV
T
V
mi
m
i dT
dV
i T
RdT PdV RTdV
ln 2 ln 1 2
2
2 T
V
2 T1
V2
T1
i/2
V1
V2
1
T
i2
i
1
2
i
2 1 T1
T2V2 1 T1V1 1 TV 1
1
V
V
T
1 2 1
V2
T1 V2
const
1
(2.26)
23
1
m T
T
hay T R 1 const
P
P
PV 1
hay
V
PV const
mR
(2.27)
(2.28)
b) C«ng trao ®æi
U A Q
v× ®o¹n nhiÖt Q=0 U A
mi
RT
2
* Cã thÓ tÝnh theo c¸ch kh¸c:
V2
A PdV mµ cã PV P1V1 P
V1
V2
P1V1
V
V
2
P1V1
P V P1V1
dV P1V1 1
dV
P
V
(V2 V11 ) 2 2
1 1
1
1
V1 V
V1 V
A
P V V
1 1 2
1 V1
1
1
mµ theo ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i:
m RT1 V2
A
1 V1
1
(2.29)
P1V1 m
RT1
1
m RT P
1
1
1
1
P2
1
1
* Chó ý: §å thÞ (P,V) cña qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt lµ 1 ®o¹n cña ®êng cong tu©n
theo ph¬ng tr×nh PV const nã dèc h¬n h¬n ®å thÞ cña qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt.
* Bµi tËp: 8.18.28/ sbt
2.3. Nguyªn lý II nhiÖt ®éng lùc häc
2.3.1. Nh÷ng h¹n chÕ cña nguyªn lý thø nhÊt N§LH.
Qu¸ tr×nh thuËn nghÞch vµ kh«ng thuËn nghÞch
I. nh÷ng h¹n chÕ cña nguyªn lý thø nhÊt
- Néi dung cña nguyªn lý 1: §Þnh luËt b¶o toµn vµ biÕn ®æi n¨ng lîng. Nã chØ
cho ta biÕt quy luËt trao ®æi vµ chuyÓn ho¸ d¹ng n¨ng lîng, kh«ng cho ta biÕt
chiÒu diÔn biÕn cña qu¸ tr×nh trao ®æi.
VD: + 2 vËt cã T0 kh¸c ®Æt gÇn nhau th× nhiÖt truyÒn tõ vËt cã T0 cao sang vËt cã
T0 thÊp. Nguyªn lý 1 chØ cho ta x¸c ®Þnh dîc nhiÖt lîng mµ vËt l¹nh nhËn ®îc
®óng b»ng nhiÖt lîng mµ vËt nãng nh¶ ra nguyªn lý kh«ng chØ ra ®îc chiÒu
diÔn biÕn cña qu¸ tr×nh truyÒn nhiÖt.
24
+ 1 vËt cã khèi lîng m ë ®é cao h cã Wt=mgh khi r¬i ®Õn mÆt ®Êt nã cã W®=Wt
vËt va ch¹m vµo ®Êt th× ®éng n¨ng biÕn mÊt vµ ®Êt nãng lªn. §éng n¨ng cña vËt
biÕn ®æi hoµn toµn thµnh nhiÖt. HiÖn tîng x¶y ra tu©n theo nguyªn lý 1. Ta
tëng tîng ngîc l¹i vËt nãi trªn mÆt ®Êt, ta cung cÊp cho nã 1 lîng nhiÖt
®óng b»ng nhiÖt lîng nãi trªn ®Ó nã chuyÓn ®éng nªn ®Õn ®é cao h. §iÒu ®ã
kh«ng vi ph¹m nguyªn lý 1 nhng thùc tÕ kh«ng x¶y ra.
NhËn xÐt: Trong nguyªn lý I th× vai trß nhiÖt vµ c«ng hoµn toµn t¬ng ®¬ng
nhau. NhiÖt cã thÓ biÕn ®æi hoµn toµn thµnh c«ng vµ ngîc l¹i. Nhng trong thùc
tÕ ®iÒu ®ã kh«ng thÓ x¶y ra, mµ chØ cã c«ng cã thÓ biÕn ®æi hoµn toµn thµnh
nhiÖt. Ngîc l¹i nhiÖt kh«ng biÕn ®æi hoµn toµn thµnh c«ng ®îc
II. Qu¸ tr×nh thuËn nghÞch vµ bÊt thuËn nghÞch
- Qu¸ tr×nh thuËn nghÞch: Lµ khi hÖ biÕn ®æi thuËn tõ tr¹ng th¸i (1)→(2) ®i qua
nh÷ng tr¹ng th¸i trung gian nµo ®ã th× qu¸ tr×nh biÕn ®æi ngîc l¹i còng qua c¸c
tr¹ng th¸i trung gian ®ã
- Qu¸ tr×nh bÊt thuËn nghÞch: Lµ qu¸ tr×nh mµ khi tiÕn hµnh theo chiÒu ngîc l¹i
hÖ kh«ng qua c¸c tr¹ng th¸i trung gian nh qu¸ tr×nh biÕn ®æi thuËn
- §èi víi qu¸ tr×nh biÕn ®æi thuËn nghÞch th× c«ng vµ nhiÖt mµ hÖ nhËn vµo tõ
bªn ngoµi trong qu¸ tr×nh ngîc kh«ng b»ng c«ng vµ nhiÖt mµ hÖ cung cÊp trong
qu¸ tr×nh thuËn. KÕt qu¶ lµ ®èi víi qu¸ tr×nh kh«ng thuËn nghÞch th× sau khi tiÕn
hµnh qu¸ tr×nh thuËn vµ qu¸ tr×nh nghÞch ®Ó ®a hÖ vÒ tr¹ng th¸i ban ®Çu th× m«i
trêng xung quanh bÞ biÕn ®æi.
* ý nghÜa: Trong tù nhiªn chØ x¶y ra qu¸ tr×nh kh«ng thuËn nghÞch. Do ®ã trong
tù nhiªn qu¸ tr×nh diÔn biÕn tù ph¸t theo chiÒu ®¶m b¶o cho hÖ tiÕn tíi tr¹ng th¸i
c©n b»ng.
1. §éng c¬ nhiÖt
a) Nguyªn t¾c: BiÕn nhiÖt thµnh c«ng. VD: m¸y h¬i níc, ®éng c¬ ®èt trong
b) CÊu t¹o: 3 bé phËn chÝnh: nguån nãng + nguån l¹nh + bé phËn sinh c«ng.
+ Trong c¸c ®éng c¬ nhiÖt, chÊt vËn chuyÓn (h¬i níc, khÝ....) biÕn nhiÖt thµnh
c«ng lµ t¸c nh©n.
+ C¸c vËt trao ®æi nhiÖt víi t¸c nh©n lµ nguån nhiÖt
c) Ho¹t ®éng
T¸c nh©n nhËn nhiÖt tõ nguån nãng, dÉn ®Õn bé phËn sinh c«ng nã d·n në
sinh c«ng lîng nhiÖt thõa dÉn ®Õn nguån l¹nh.
d) HiÖu suÊt
- Gi¶ sö sau khi t¸c nh©n thùc hiÖn 1 chu tr×nh, nã nhËn nhiÖt lîng Q1(T1) nh¶
nhiÖt lîng Q’2 cho nguån l¹nh (T2) vµ sinh c«ng A’
A'
Q1
- Theo nguyªn lý 1: Trong 1 chu tr×nh ®é biÕn thiªn néi n¨ng cña t¸c nh©n = 0.
→∆U=0, ∆U=-A’+Q1- Q’2 =0 A’=Q1- Q’2
(2.30)
HiÖu suÊt cßn ®îc tÝnh bëi biÓu thøc:
Q1 Q2'
Q'
1 2
Q1
Q1
(2.31)
25
2.3.2 . Nguyªn lý thø II nhiÖt ®éng lùc häc
1. Néi dung nguyªn lý thø 2
a) Ph¸t biÓu cña Clausius: NhiÖt kh«ng thÓ tù ®éng truyÒn tõ vËt l¹nh sang vËt
nãng h¬n → qu¸ tr×nh truyÒn nhiÖt tõ vËt l¹nh sang vËt nãng h¬n ®ßi hái ph¶i cã
t¸c dông cña bªn ngoµi, nghÜa lµ m«i trêng bªn ngoµi ph¶i thay ®æi.
b) Ph¸t biÓu cña Thomspson: Mét ®éng c¬ nhiÖt kh«ng thÓ sinh c«ng nÕu cã chØ
trao ®æi nhiÖt víi 1 nguån nhiÖt duy nhÊt → kh«ng thÓ chÕ t¹o ®éng c¬ vÜnh cöu
lo¹i 2.
2. Chu tr×nh Carnot
- XÐt chu tr×nh carnot víi t¸c nh©n lµ khÝ lý tëng
a) Chu tr×nh carnot thuËn nghÞch
1→2; 3→4: §¼ng nhiÖt
2→3; 4→1: §o¹n nhiÖt
- Qu¸ tr×nh d·n ®¼ng nhiÖt 1→ 2: t¸c nh©n nhËn nhiÖt lîng Q1 cña nguån nãng
nhiÖt ®é T1 vµ sinh c«ng.
- Qu¸ tr×nh d·n ®o¹n nhiÖt 2→ 3: T¸c nh©n sinh c«ng vµ gi¶m nhiÖt ®é xuèng tíi
nhiÖt ®é T2 cña nguån l¹nh
- Qu¸ tr×nh nÐn ®¼ng nhiÖt 3→ 4: T¸c nh©n nhËn c«ng vµ to¶ nhiÖt Q’2 cho
nguån l¹nh nhiÖt ®é T2
- Qu¸ tr×nh nÐn ®o¹n nhiÖt 4→ 1: T¸c nh©n nhËn c«ng vµ trë l¹i tr¹ng th¸i ban
®Çu.
b) HiÖu suÊt vµ chu tr×nh Carnot C
- C«ng thøc: C 1
Q2'
Q1
(2.32)
Q1: lµ nhiÖt lîng mµ t¸c nhËn ®îc tõ nguån nãng T1, trong qu¸ tr×nh d·n ®¼ng
nhiÖt tõ thÓ tÝch V1→ V2:
Q1
m
RT1 ln
V2
V1
(2.33)
Q’2 lµ nhiÖt lîng mµ t¸c nh©n nh¶ cho nguån l¹nh T2 trong qu¸ tr×nh nÐn ®¼ng
nhiÖt tõ V3 → V4.
Q2 lµ nhiÖt lîng mµ t¸c nh©n nhËn ®îc cña nguån l¹nh T2 trong qu¸ tr×nh trªn
Q2' Q2
Q2'
m
RT2 ln
m
RT2 ln
V4
V3
V3
V4
(2.34)
(2.35)
Thay Q’2 vµ Q1 vµo (2.32):
V3
T
V4
C 1 2
T1 V2
ln
V1
ln
(2.36)
MÆt kh¸c ta cã trong qu¸ tr×nh (2→3) vµ (4→1) ta cã:
T1V2 1 T2V3 1 V3 V2
T1V1 1 T2V4 1 V4 V1
26
C 1
T2
T1
(2.37)
c) §Þnh lý C¸cn«:
HiÖu suÊt tÊt c¶ c¸c ®éng c¬ thuËn nghÞch ch¹y theo chu tr×nh Cacno víi
cïng nguån nãng vµ cïng nguån l¹nh ®Òu b»ng nhau, kh«ng phô thuéc t¸c nh©n
còng nh c¸ch chÕ t¹o m¸y. HiÖu suÊt cña ®éng c¬ kh«ng thuËn nghÞch nhá h¬n
hiÖu suÊt cña ®éng c¬ thuËn nghÞch.
- Víi ®éng c¬ thuËn nghÞch: tn 1
T2
T1
(2.38)
- Víi ®éng c¬ kh«ng thuËn nghÞch: ktn 1
T2
T1
(2.39)
3. BiÓu thøc ®Þnh lîng cña nguyªn lý II
Q1 Q2'
- Theo ®Þnh nghÜa hiÖu suÊt:
Q1
vµ hiÖu suÊt chu tr×nh Can«:
T
1
T
T1
2
Q1 Q2' T1 T2
nªn
Q1
T1
(2.40)
(2.40) lµ biÓu thøc ®Þnh luËt cña nguyªn lý II
Q2'
T2
Q2' T2
Q1 Q2'
0
Q1
T1
Q1 T1
T1 T2
NÕu gäi Q2 lµ nhiÖt mµ hÖ nhËn tõ nguån l¹nh th× Q2=- Q’2
Nªn
Q1 Q2
0
T1 T2
(2.41)
- NÕu m¸y nhiÖt ho¹t ®éng theo 1 chu tr×nh gåm v« sè c¸c qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt
vµ ®o¹n nhiÖt kÕ tiÕp nhau trong ®ã c¸c qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt cã nhiÖt ®é lÇn lît
T1, T2, ...cña c¸c nguån vµ nhiÖt lîng nhËn tõ c¸c nguån t¬ng øng Q1, Q2,
Q3....th× cã thÓ viÕt
Qi
T
(2.42)
0
i
NÕu trong chu tr×nh cña hÖ mµ hÖ tiÕp xóc víi v« sè nguån nhiÖt ®é T vµ nhiÖt
lîng biÕn thiªn liªn tôc th× biÓu thøc trªn ®îc viÕt
* Bµi tËp: 9.1; 9.4; 9.6/sbt
dQ
0
T
27
Ch¬ng 3. §iÖn häc
3.1. §iÖn tÝch. §iÖn trêng
3.1.1. §iÖn tÝch vµ lùc
- Thùc nghiÖm chøng tá trong tù nhiªn cã 2 lo¹i ®iÖn tÝch: (+) vµ (- )
- §iÖn tÝch nguyªn tè lµ ®iÖn tÝch nhá nhÊt ®· ®îc biÕt trong tù nhiªn, cã ®é lín
e=1,6.10-19C.
- Trong sè c¸c h¹t mang mét ®iÖn tÝch nguyªn tè lµ pr«t«n vµ electr«n:
Mp=1,67.10-27kg; me=9,1.10-31kg
e
3
- H¹t quark ;
2e
3
* ThuyÕt ®iÖn tö
- C¸c vËt mang ®iÖn bao giê còng chøa mét sè nguyªn lÇn cña ®iÖn tÝch nguyªn
tè
- Nguyªn tö cã cÊu t¹o c¸c pr«t«n n»m trong h¹t nh©n, c¸c e chuyÓn ®éng xung
quanh h¹t nh©n.
- ë ®iÒu kiÖn b×nh thêng c¸c vËt trung hoµ vÒ ®iÖn
- NÕu nguyªn tö mÊt ®i 1 hay nhiÒu e trë thµnh i«n (+)
- NÕu nguyªn tö thu thªm 1 hay nhiÒu e trë thµnh i«n (-)
- n: lµ sè e th× ®é lín cña ®iÖn tÝch trªn vËt sÏ lµ: q=n.e
NhËn xÐt:
+ C¸c ®iÖn tÝch kh«ng tù sinh ra mµ còng kh«ng tù mÊt ®i, chóng chØ cã thÓ
truyÒn tõ vËt nµy sang vËt kh¸c hoÆc dÞch chuyÓn bªn trong mét vËt mµ th«i
+ Tæng ®¹i sè c¸c ®iÖn tÝch trong mét hÖ c« lËp kh«ng ®æi
* §Þnh luËt Cul«ng
C¸c ®iÖn tÝch cïng dÊu ®Èy nhau, c¸c ®iÖn tÝch tr¸i dÊu hót nhau
28
T¬ng t¸c gi÷a c¸c ®iÖn tÝch ®øng yªn ®îc gäi lµ t¬ng t¸c tÜnh ®iÖn
- §Þnh luËt Cul«ng trong ch©n kh«ng
- Hai ®iÖn tÝch q1, q2 ®Æt trong ch©n kh«ng vµ c¸ch nhau mét kho¶ng r
- §Þnh luËt: Lùc t¬ng t¸c tÜnh ®iÖn gi÷a 2 ®iÖn tÝch ®iÓm cã ph¬ng n»m trªn
®êng th¼ng nèi 2 ®iÖn tÝch cã chiÒu ( 2 ®iÖn tÝch cïng dÊu ®Èy nhau, 2 ®iÖn tÝch
tr¸i dÊu hót nhau) cã ®é lín tØ lÖ thuËn víi tÝch sè ®é lín cña 2 ®iÖn tÝch vµ tØ lÖ
nghÞch víi b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®iÖn tÝch ®ã.
q1 q 2
r2
qq
F21 k 1 2 2
r
F12 k
r12
r
r21
r
k: hÖ sè tØ lÖ
r12=r21=r
F12 F21 k
(3.1)
F21
(3.2)
q1 q 2
q1
(3.3)
r2
q2
F21
Nm 2
k
9.10 ( 2 )
4 0
C
1
F12
F12
9
o 8,86.10 12 C 2 / N .m 2 : h»ng sè ®iÖn
(3.3) F12 F21
1
q1 q 2
4 0
r2
*.§Þnh luËt Cul«ng trong c¸c m«i trêng
- Thùc nghiÖm chøng tá lùc t¬ng t¸c gi÷a c¸c ®iÖn tÝch ®Æt trong m«i trêng
gi¶m ®i lÇn so víi lùc t¬ng t¸c gi÷a chóng trong ch©n kh«ng.
F12
q1 q 2 r12
4 0 r 2 r
1
hay F12 F21
1
;
F21
q1 q 2 r21
4 0 r 2 r
1
q1 q 2
4 0 r 2
- Gi¶ sö cã mét hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm q1, q2....qn ®îc ph©n bè gi¸n ®o¹n trong kh«ng
gian vµ mét ®iÖn tÝch q0 ®Æt trong kh«ng gian ®ã, F1.....Fn lµ lùc t¸c dông cña c¸c
q1...qn lªn ®iÖn tÝch q0 lùc nµy ®îc x¸c ®Þnh:
n
F F1 F2 ....... Fn Fi
(3.4)
i 1
3.1.2. ®iÖn trêng vµ ®êng søc ®iÖn trêng
I. Kh¸i niÖm ®iÖn trêng
- C¸c ®iÖn tÝch t¬ng t¸c víi nhau ngay c¶ khi chóng c¸ch nhau 1 kho¶ng r vËy
lùc t¬ng t¸c gi÷a c¸c ®iÖn tÝch ®îc truyÒn ®i nh thÕ nµo? cã sù tham gia cña
m«i trêng?
29
*ThuyÕt t¸c dông xa: Lùc t¬ng t¸c tÜnh ®iÖn ®îc truyÒn tõ ®iÖn tÝch nµy tíi
®iÖn tÝch kia mét c¸ch tøc thêi kh«ng cÇn th«ng qua m«i trêng trung gian nµo
nghÜa lµ truyÒn ®i víi vËn tèc .
*ThuyÕt t¸c dông gÇn: Trong kh«ng gian bao quanh mçi ®iÖn tÝch cã xuÊt hiÖn
mét d¹ng ®Æc biÖt cña vËt chÊt gäi lµ ®iÖn trêng. ChÝnh ®iÖn trêng lµm nh©n tè
trung gian, lùc t¬ng t¸c tÜnh ®iÖn ®îc truyÒn dÇn tõ ®iÖn tÝch nµy tíi ®iÖn tÝch
kia, nghÜa lµ truyÒn ®i víi vËn tèc h÷u h¹n.
II. Vecto cêng ®é ®iÖn trêng
- §Æt mét ®iÖn tÝch thö q0>0 t¹i M, vµo trong ®iÖn trêng mét ®iÖn tÝch q, t¹i M
ta thÊy tØ sè
E
F
phô thuéc vµo ®iÖn tÝch q0 mµ chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M.
q0
F
const
q0
®¬n vÞ V/m
(3.5)
III. Nguyªn lý chång chÊt ®iÖn trêng
a) Nguyªn lý: cêng ®é ®iÖn trêng do 1 hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm g©y ra t¹i mét ®iÓm
b»ng tæng vecto cêng ®é ®iÖn trêng do tõng ®iÖn tÝch ®iÓm g©y ra t¹i ®iÓm ®ã
n
E M E Mi
(3.6)
i 1
(3.6) cã thÓt ¸p dông cho trêng hîp ®iÖn tÝch ®îc ph©n bè liªn tôc. ThËt vËy
chia vËt mang ®iÖn thµnh nhiÒu phÇn nhá sao cho ®iÖn tÝch dq mang trªn mçi
phÇn tö cã thÓ coi lµ ®iÖn tÝch ®iÓm. Gäi d E lµ vecto cêng ®é ®iÖn trêng g©y ra
bëi ®iÖn tÝch dq t¹i mét ®iÓm M c¸ch dq 1 kho¶ng r, r lµ b¸n kÝnh vecto híng tõ
dq tíi ®iÓm M.
E dE
dq r
4 0 r 2 r
1
(3.7)
3.1.3 ®iÖn trêng cña mét ®iÖn tÝch ®iÓm
E 9.10 9
q r
.
r2 r
(3.8)
3.1.4 ®iÖn trêng cña mét lìng cùc ®iÖn
Lµ mét hÖ hai ®iÖn tÝch ®iÓm b»ng nhau nhng tr¸i dÊu ®Æt c¸ch nhau mét
®o¹n l rÊt nhá so víi kho¶ng c¸ch ®Õn ®iÓm cÇn x¸c ®Þnh cêng ®é ®iÖn trêng
E 9.10 9
ql
p
9.10 9 3
3
r
r
E 9.10 9
p
r 3
(3.9)
3.1.5 ®iÖn trêng g©y bëi mét d©y tÝch ®iÖn dµi v« h¹n
t¹i mét ®iÓm c¸ch d©y mét ®o¹n r0
+ NÕu vËt mang ®iÖn lµ 1 d©y (C) tÝch ®iÖn th× ®iÖn tÝch trªn mét phÇn tö chiÒu
dµi dl cña d©y cho bëi dq dl
(3.10)
: mËt ®é ®iÖn dµi cña d©y
30
dl r
4 0 r 2 r
E
2 0 r0
E
1
(3.11)
3.1.6 ®iÖn trêng g©y bëi mét ®Üa trßn mang ®iÖn ®Òu t¹i
mét ®iÓm n»m trªn trôc cña ®Üa
+ NÕu vËt mang ®iÖn lµ mÆt (S) tÝch ®iÖn th× ®iÖn tÝch trªn mét phÇn tö diÖn tÝch
ds cho bëi dq ds
(3.12)
: mËt ®é ®iÖn mÆt (lîng ®iÖn tÝch trªn 1 ®¬n vÞ diÖn tÝch cña S)
E
1 ds r
4 0 r 2 r
(3.13)
1
E
1
2
2 0
R
1
h
(3.14)
NÕu R ®Üa trßn sÏ trë thµnh mÆt ph¼ng v« h¹n:
E
2 0
(3.15)
+ NÕu vËt mang ®iÖn lµ mét khèi tÝch ®iÖn th× ®iÖn tÝch trong mét phÇn tö thÓ
tÝch d cña vËt cho bëi dq d .
(3.16)
Trong ®ã
vÞ thÓ tÝch)
E
dq
lµ mËt ®é ®iÖn khèi cña vËt (lîng ®iÖn tÝch chøa trong mét ®¬n
d
d r
4 0 r 2 r
1
(3.17)
* Bµi tËp: 1.11.20
3.2 ®Þnh luËt gauss
3.2.1 th«ng lîng cña ®iÖn trêng - ®Þnh luËt Gaus
1. Kh¸i niÖm ®êng søc ®iÖn trêng
- §êng søc ®iÖn trêng lµ nh÷ng ®êng mµ t¹i mäi ®iÓm trªn nã E t¹i ®ã cã
ph¬ng tiÕp tuyÕn víi ®êng søc mµ chiÒu cña E lµ chiÒu cña ®êng søc.
- MËt ®é ®êng søc cho ta biÕt ®é m¹nh yÕu cña cêng ®é ®iÖn trêng
- Quy íc vÏ sè ®êng søc ®iÖn trêng qua mét ®¬n vÞ diÖn tÝch ®Æt vu«ng gãc
víi ®êng søc b»ng cêng ®é ®iÖn trêng ®îc gäi lµ phæ ®êng søc ®iÖn trêng
hay ®iÖn phæ.
31
2. Vecto c¶m øng ®iÖn (®iÖn c¶m)
D o E
(3.18)
D gièng E , ®iÓm kh¸c nhau gi÷a phæ ®êng søc lµ ë chç khi ®i qua mÆt mÆt
ng¨nc¸ch gi÷a 2 m«i trêng cã kh¸c nhau, phæ ®êng søc D lµ liªn tôc, cßn
cña E gi¸n ®o¹n
3. Th«ng lîng c¶m øng ®iÖn (®iÖn th«ng)
- Gi¶ sö ®Æt mét diÖn tÝch S trong mét ®iÖn trêng
bÊt
k×
D . Ta chia diÖn tÝch S
thµnh nh÷ng diÖn tÝch v« cïng nhá, sao cho D t¹i mäi ®iÓm trªn diÖn tÝch ds Êy
cã thÓ coi lµ b»ng nhau.
- §ÞnhnghÜa: Th«ng lîng c¶m øng ®iÖn qua diÖn tÝch ds b»ng:
d e Dds
(3.19)
D : lµ vecto c¶m øng ®iÖn t¹i mét ®iÓm bÊt k× trªn ds
ds : lµ vecto diÖn tÝch híng theo ph¸p tuyÕn n cña ds cã ®é lín b»ng chÝnh diÖn
tÝch ds ®ã
(5.19) e d e Dds D cos .ds D n ds
(3.20)
4.§Þnh lý O-G (Ostrogradsky- Gauss)
a) Ph¸t biÓu ®Þnh lý :
§iÖn th«ng qua mÆt kÝn S bÊt k× ( mÆt Gauss) b»ng tæng d¹i sè c¸c ®iÖn
tÝch cã ë bªn trong
mÆt kÝn ®ã:
(3.21)
e Dds qi
i
b) §Þnh lý O-G díi d¹ng vi ph©n
Dds divD.dv
S ( kin )
(3.22)
V
V: lµ
thÓ tÝch bªn trong mÆt kÝn S
divD : lµ ®¹i lîng v« híng trong to¹ ®é §ec¸c ®îc x¸c ®Þnh:
D x D y D z
divD
x
y
z
(3.23)
- NÕu ®iÖn tÝch ph©n bè liªn tôc víi mËt ®é ®iÖn khèi ta cã:
(3.24)
qi dV
i
V
divD
(3.25)
(3.25) gäi lµ ph¬ng tr×nh poisson
3.2.2. §Þnh luËt Gauss ®èi xøng trô
XÐt mét mÆt
trô b¸n kÝnh R dµi v« h¹n tÝch ®iÖn ®Òu cã mËt ®é ®iÖn dµi
(3.26)
e Dds D cos .ds Dn ds D 2rl
MÆt kh¸c theo ®Þnh lý O-G ta cã =q=l
=2R
(3.27)
(3.28)
32
q
R
2rl 2r
r
D
R
Vµ E
0 2 0 r 0 r
(3.29)
D
(3.30)
Víi d©y dµi v« h¹n tÝch ®iÖn ®Òu
2r
E
2 0 r
(3.31)
D
(3.32)
3.2.3. §Þnh luËt Gauss ®èi xøng ph¼ng
T×m ®iÖn trêng mét mÆt v« h¹n tÝch ®iÖn ®Òu g©y ra t¹i mét ®iÓm M
vÏ mét mÆt trô ®øng c¾t vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng sao cho ®iÓm M n»m
trªn mét ®¸y h×nh trô. Hai ®¸y h×nh trô b»ng nhau, song song víi nhau vµ víi
mÆt ph¼ng, c¸ch ®Òu mÆt ph¼ng.
e Dn 2s q
Dn D
D
E
2
D
0
1 q
2 s
2 0
(3.33)
- §iÖn trêng g©y bëi 2 mÆt ph¼ng v« h¹n song song víi nhau tÝch ®iÖn b»ng
nahu nhng tr¸i dÊu,
mËt ®é
®iÖn mÆt lÇn lît lµ +, -. Theo nguyªn lý chång
chÊt ®iÖn trêng: D D1 D2
+ ë gi÷a 2 b¶n ph¼ng lµ ®iÖn trêng ®Òu: D= D1+D2=
+ ë ngoµi b¶n ph¼ng ®iÖn trêng lµ: D=0
3.2.4. §Þnh luËt Gauss ®èi xøng cÇu
Gi¶ sö mÆt cÇu mang ®iÖn ®Òu cã b¸n kÝnh R, ®é lín ®iÖn tÝch trªn mÆt
cÇu b»ng q (q>0), v× ®iÖn tÝch
ph©n bè ®Òu nªn ®iÖn trêng do nã sinh ra cã tÝnh
chÊt ®èi xøng cÇu nghÜa lµ D
t¹i 1 ®iÓm bÊt kú ph¶i híng qua t©m mÆt cÇu.
* Trêng hîp 1: X¸c ®Þnh D do mÆt cÇu mang ®iÖn g©y ra t¹i 1 ®iÓm M c¸ch t©m
mÆt cÇu 1 ®o¹n r> R.
- VÏ qua M mét mÆt cÇu S cïng t©m víi mÆt cÇu mang ®iÖn tÝnh th«ng lîng
c¶m øng ®iÖn qua mÆt cÇu S ®ã e Dn ds D ds D 4r 2 q
S
* Trêng hîp 2: NÕu ®iÓm N c¸ch t©m mÆt cÇu 1 kho¶ng r0 R th× ta cã:
e D.4r2 0
(3.34)
v× mÆt cÇu S0 vÏ qua N kh«ng chøa ®iÖn tÝch nµo ( qi= 0 )
3.4. §iÖn thÕ
33
I. C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn. TÝnh chÊt thÕ cña trêng tÜnh
®iÖn.
a) c«ng cña lùc tÜnh ®iÖn.
- Gi¶ sö dÞch chuyÓn q0 trong ®iÖn trêng cña ®iÖn tÝch q tõ ®iÓm M N trªn
®êng cong (C).
F q0 E
- C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn trong chuyÓn dêi v« cïng nhá ds
dA F .ds q 0 E.ds q 0
q
r ds
q0 q
3
r cos .ds
q0 q
cos .ds (3.35)
4 0 r
4 0 r
4 0 r 2
: lµ gãc hîp bëi r vµ ds
q q
mµ cos .ds dr dA k 02 dr
(3.36)
r
N
1
q q
1
(3.37)
AMN q 0 E.ds k 02 dr kq0 q
r
r
r
M
N
M
NhËn xÐt: C«ng cña lùc ®iÖn trong sù dÞch chuyÓn ®iÖn tÝch q0 trong ®iÖn
3
trêng cña mét ®iÖn tÝch ®iÓm kh«ng phô thuéc vµo d¹ng cña ®êng cong dÞch
chuyÓn mµ chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña chuyÓn dêi.
- NÕu ta dÞch chuyÓn ®iÖn tÝch q0 trong ®iÖn trêng cña mét hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm th×
lùc ®iÖn tæng hîp t¸c dông nªn ®iÖn tÝch q0.
n
F Fi
i 1
N
AMN Fds
M
N n
n N
1
1
F
i ds Fi ds kq 0 q i
M
i 1
i 1 M
riM riN
(3.38)
riM: lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÖn tÝch qi tíi ®iÓm M
riN: lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÖn tÝch qi tíi ®iÓm N
C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn trong sù dÞch chuyÓn ®iÖn tÝch q 0 trong ®iÖn trêng bÊt
k× kh«ng phô thuéc vµo d¹ng cña ®êng cong dÞch chuyÓn mµ chØ phô thuéc vµo
vÞ trÝ ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña chuyÓn dêi.
b) TÝnh chÊt thÕ cña trêng tÜnh ®iÖn
- NÕu dÞch chuyÓn q0 theo ®êng cong kÝn th× A=0 trêng tÜnh ®iÖn lµ mét
trêng thÕ.
A q 0 Eds 0
Lu sè cña E däc theo mét ®êng cong kÝn b»ng kh«ng.
II. ThÕ n¨ng cña mét ®iÖn tÝch trong ®iÖn trêng.
- C«ng cña lùc t¸c dông lªn vËt trong trêng lùc thÕ b»ng ®é gi¶m thÕ n¨ng.
dA= - dW
N
N
1
1
AMN dA dW WM W N kqq0
rM rN
M
M
ThÕ n¨ng cña ®iÖn tÝch ®iÓm q0 ®Æt trong ®iÖn trêng cña ®iÖn tÝch q:
W
qq 0
4 0 r
C
nÕu r W= C= 0
34
W
qq 0
(3.39)
4 0 r
n
n
i 1
i 1
- NÕu xÐt trong hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm: W Wi
qi q 0
(3.40)
4 0 ri
ThÕ n¨ng cña ®iÖn tÝch ®iÓm q0 t¹i 1 ®iÓm trong ®iÖn trêng lµ mét ®¹i lîng
cã gi¸ trÞ b»ng c«ng cña lùc tÜnh ®iÖn trong sù dÞch chuyÓn ®iÖn tÝch ®ã tõ ®iÓm
®ang xÐt ra xa v« cïng.
II. §iÖn thÕ - hiÖu ®iÖn thÕ.
a) §Þnh nghÜa:
V
W
q0
V kh«ng phô thuéc vµo ®é lín cña ®iÖn tÝch q0 mµ chØ phô thuéc vµo c¸c
®iÖn tÝch g©y ra ®iÖn trêng vµ vµo vÞ trÝ cña ®iÓm ®ang xÐt trong ®iÖn trêng.
Hay V
kq
r
- §iÖn thÕ cña ®iÖn trêng g©y ra bëi hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm q1, q2,......qn t¹i 1 ®iÓm
n
n
i 1
i 1
nµo ®ã trong ®iÖn trêng: V Vi
qi
(3.41)
4 0 ri
§iÖn thÕ t¹i 1 ®iÓm M trong ®iÖn trêng bÊt kú:
VM E.ds
M
(3.42)
VËy: C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn trong sù dÞch chuyÓn ®iÖn tÝch ®iÓm q0 tõ ®iÓm
M tíi ®iÓm N trong ®iÖn trêng b»ng tÝch sè cña ®iÖn tÝch q0 víi hiÖu ®iÖn thÕ
gi÷a 2 ®iÓm M vµ N ®ã.
b) ý nghÜa cña ®iÖn thÕ vµ hiÖu ®iÖn thÕ.
AMN WM W N q 0 (VM V N )
AMN
q0
(3.42) VM V N
(3.43)
nÕu q0=+1 ®¬n vÞ ®iÖn tÝch VM V N AMN
NhËn xÐt: VËy hiÖu ®iÖn thÕ gi÷a 2 ®iÓm M vµ N trong ®iÖn trêng lµ 1 ®¹i
lîng vÒ trÞ sè b»ng c«ng cña lùc tÜnh ®iÖn trong sù dÞch chuyÓn 1 ®¬n vÞ ®iÖn
tÝch d¬ng tõ ®iÓm M tíi ®iÓm N.
IV. N¨ng lîng cña trêng tÜnh ®iÖn
1. N¨ng lîng cña hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm
WtM q E.dl
M
VtM E.dl WtM qVM
M
- Gi¶ sö q2 n»m trong ®iÖn trêng cña q1, cã n¨ng lîng dù tr÷:W2= q2.V2
V2: lµ ®iÖn thÕ do q1 g©y ra t¹i ®iÓm ®Æt q2
r: k/c q1vµ q2: V2
q1
4 0 r
; W2
q 2 q1
4 0 r
cã thÓ coi q1 n»m trong ®iÖn trêng cña q2;
35
W1
q1 q 2
4 0 r
VËy W1=W2=W lµ n¨ng lîng t¬ng t¸c gi÷a 2 ®iÖn tÝch ®iÓm.
W q1. V1 q2.V2
W
1
qiVi
2 i 1
1
( q1. V1 q2.V2)
2
2. N¨ng lìng cña vËt dÉn ë tr¹ng th¸i c©n b»ng.
- Gi¶ sö vËt dÉn ®iÖn dung C, tÝch ®iÖn Q, vËt dù tr÷ n¨ng lîng lµ W. Ta quan
niÖm ®iÖn tÝch Q lµ tæng c¸c ®iÖn tÝch ®iÓm dq;
Q dq W
1
Vdq
2
ë tr¹ng th¸i c©n b»ng V
Q
1
1
1
1 Q2
W V dq VQ CV 2
C
2
2
2
2 C
(3.44)
3. N¨ng lîng cña tô ®iÖn:
1
1
1
1
1
1 Q2
W V1Q1 V2 Q2 QV1 V2 QU CU 2
2
2
2
2
2
2 C
4. N¨ng lîng ®iÖn trêng:
0 S
(3.45)
1
1
CU 2 0 S 2 E 2 d
d
2
2
2
E
W
E.D
MËt ®é n¨ng lîng ®iÖn trêng lµ:
0
V
2
2
XÐt n¨ng lîng cña tô ®iÖn: C
;U E.d , W
N¨ng lîng ®iÖn trêng trong 1 ®¬n vÞ thêi gian.
* Bµi tËp: 1.36 1.39
Ch¬ng 6. Dßng ®iÖn
6.1. Dßng ®iÖn - nh÷ng ®¹i lîng ®Æc trng cho dßng
®iÖn
6.1.1. §Þnh nghÜa dßng ®iÖn
- Dßng ®iÖn lµ dßng chuyÓn dêi cã híng cña c¸c h¹t mang ®iÖn tÝch díi t¸c
dông cña lùc ®iÖn trêng.
- Quy íc chiÒu dßng ®iÖn lµ chiÒu chuyÓn ®éng cña c¸c h¹t mang ®iÖn tÝch (+),
chuyÓn ®éng cïng chiÒu ®iÖn trêng.
6.1.2. Cêng ®é dßng ®iÖn.
- Lµ ®¹i lîng ®o b»ng tû sè gi÷a ®iÖn lîng chuyÓn qua tiÕt diÖn th¼ng cña mét
d©y dÉn vµ thêi gian ®iÖn lîng truyÒn qua.
I
dq
dq I .dt q I .dt
dt
(6.1)
6.1.3. MËt ®é dßng ®iÖn (J)
- §Þnh nghÜa: Vecto mËt ®é dßng ®iÖn qua mét ®iÓm nµo ®ã lµ mét ®¹i lîng
vect¬ cã ph¬ng lµ chiÒu c¸c ®iÖn tÝch d¬ng chuyÓn ®éng qua ®iÓm ®ã, cã ®é
36
lín b»ng cêng ®é dßng ®iÖn qua 1 ®¬n vÞ diÖn tÝch ®Æt vu«ng gãc víi J t¹i ®iÓm
®ã: j
dq
dI
ds n .dt ds n
(6.2)
- ý nghÜa cña J : biÕt J cã thÓ tÝnh ®îc I
j
dI
dI jds n I dI jds n
ds n
sn
Víi mÆt S bÊt kú, tÝnh I ta chia S thµnh c¸c phÇn tö ds, gäi lµ dsn lµ h×nh chiÕu
cña ds trªn ph¬ng vu«ng gãc cña J
(6.3)
jds j.ds I J ds
®¬n vÞ: (A/m2)
6.1.4. Sù liªn hÖ gi÷a J vµ V
- XÐt mét d©y dÉn cã tiÕt diÖn dsn, n0 lµ mét ®é ®iÖn tÝch tù do cña d©y, xÐt trong
mét ®¬n vÞ thêi gian c¸c h¹t cã vËn tèc V ®i ®îc qu·ng ®êng V
dq=n0.dsn.V.e
(6.4)
j
dq
n.Ve
ds n
(6.5)
(6.6)
j n0 e.V
§6.2 §Þnh luËt «m - Nguån ®iÖn
6.2.1. §Þnh luËt «m ( cho d©y dÉn ®ång chÊt)
- §Æt vµo 2 ®Çu 1 lîng ®iÖn thÕ (V1, V2) ta cã:
V V1 V1 V2
dV
E
2
dl
l
l
b»ng thùc nghiÖm I=k.(V1-V2)
R
1
V1-V2=I.R
k
k: lµ hÖ sè tû lÖ
§Þnh luËt: Trong mét ®o¹n m¹ch ®ång chÊt cêng ®é dßng ®iÖn ch¹y qua
trong ®o¹n m¹ch tû lÖ thuËn víi hiÖu ®iÖn thÕ 2 ®Çu ®o¹n m¹ch vµ tû lÖ nghÞch
víi ®iÖn trë.
6.2.2. §iÖn trë d©y dÉn:
R
l
S
6.2.3. §Þnh luËt «m d¹ng vi ph©n
- XÐt 1 d©y dÉn kh«ng ®ång chÊt, xÐt mét thÓ tÝch nhá trong d©y th× trong thÓ
tÝch ®ã coi nh ®ång chÊt, gäi dSn lµ diÖn tÝch cña tiÕt diÖn, V, V+dV lµ hiÖu
®iÖn thÕ 2 ®Çu, dI lµ cêng ®é dßng ®iÖn qua ds.
dI
j
V1 V2 V (V dV )
1 dV
.dS n
dl
dR
dl
dS n
(6.9)
dV
1
dI 1 dV
E ; ®Æt
: ®iÖn dÉn suÊt
ta cã
dl
dS dl
ta cã: j E
(6.10)
37
§Þnh luËt: T¹i mçi ®iÓm cña m«i trêng trong ®ã cã dßng ®iÖn ch¹y qua
vecto mËt ®é dßng ®iÖn tû lÖ thuËn víi vecto cêng ®é ®iÖn trêng t¹i ®iÓm ®ã.
6.2.4. Nguån ®iÖn
a) §Þnh nghÜa:
NÕu cã 2 vËt tÝch ®iÖn (1) tÝch ®iÖn (+) vµ (2) tÝch ®iªn (-), nèi 2 vËt b»ng
d©y dÉn kim lo¹i: ®iÖn tÝch ©m sÏ tõ vËt (2) sang vËt (1): ®Õn 1 lóc nµo ®ã ®iÖn
thÕ vËt (1) b»ng ®iÖn thÕ vËt (2) th× c¸c ®iÖn tÝch sÏ kh«ng di chuyÓn ®îc n÷a.
- Muèn dßng ®iÖn tån t¹i l©u dµi ph¶I ®a c¸c ®iÖn tÝch chuyÓn ®éng
ngîc l¹i víi chiÒu cña lùc ®iÖn trêng ( nguån ®iÖn): lùc g©y ra chuyÓn ®éng
ngîc chiÒu nµy gäi lµ lù l¹, nguån t¹o ra lùc l¹ gäi lµ nguån ®iªn.
- SuÊt ®iÖn ®éng:
A
q
- §Þnh nghÜa: SuÊt ®iÖn ®éng cña nguån ®iÖn ®îc ®o b»ng c«ng lµm dÞch
chuyÓn 1 ®¬n vÞ ®iÖn tÝch d¬ng theo mét m¹ch kÝn cña nguån ®iÖn
E : lµ cêng ®é ®iÖn trêng cña trêng tÜnh ®iÖn
*
E lµ cêng ®é ®iÖn trêng cña trêng lùc l¹
A Fds q ( E E * ) ds q Eds q E * ds q E * ds
A
E * ds v× q Eds 0 2.6)
q
qu·ng ®êng V
gian c¸c h¹t cã vËn tèc ña vÞ diÖn tÝch ®Æt vu«ng gãc víi µ chiÒu c¸c ®iÖn tÝch
d¬ng chuyÓn ®éng qua ®iÓm
38
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP VÀ XÂY DỰNG
BÀI GIẢNG
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2
(Dùng cho sinh viên hệ cao đẳng chuyên nghiệp)
Lưu hành nội bộ
UÔNG BÍ - 2009
==========
39
CHƯƠNG I: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN
Theo cơ học cổ điển (cơ học Newton) thì không gian, thời gian và vật chất
không phụ thuộc vào chuyển động; không gian và thời gian là tuyệt đối, kích
thước và khối lượng của vật là bất biến. Nhưng đến cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ
20, khoa học kĩ thuật phát triển mạnh, người ta gặp những vật chuyển động
8
nhanh với vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng trong chân không (3.10 m/s), khi đó xuất
hiện sự mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học Newton: Không gian, thời gian
và khối lượng của vật khi chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng
thì phụ thuộc vào chuyển động. Năm 1905, Einstein mới 25 tuổi đã đề xuất lí
thuyết tương đối của mình. Lí thuyết tương đối được xem là một lí thuyết tuyệt
đẹp về không gian và thời gian. Lí thuyết đó đã đứng vững qua nhiều thử thách
thực nghiệm trong suốt 100 năm qua. Lí thuyết tương đối dựa trên hai nguyên lí:
nguyên lí tương đối và nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Hiểu được ý nghĩa của nguyên lí tương đối Einstein, nguyên lí về tính bất
biến của vận tốc ánh sáng.
2. Hiểu và vận dụng được phép biến đổi Lorentz. Tính tương đối của không
gian, thời gian.
3. Nắm được khối lượng, động lượng tương đối tính, hệ thức Einstein và ứng
dụng.
II. NỘI DUNG
1.1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LORENT
A.TIÊN ĐỀ CỦA EINSTEIN
1. Nguyên lí tương đối:
“ Mọi định luật vật lí đều như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính”.
Galileo đã thừa nhận rằng những định luật của cơ học hoàn toàn giống nhau
trong mọi hệ qui chiếu quán tính. Einstein đã mở rộng ý tưởng này cho toàn bộ
các định luật vật lí trong các lĩnh vực điện từ, quang học...
2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng:
“Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán
8
tính. Nó có giá trị bằng c = 3.10 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự
nhiên”.
B. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ
1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tương đối Einstein
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với
vận tốc V so với hệ K, dọc theo phương x. Theo phép biến đổi Galileo, thời gian
diễn biến một quá trình vật lí trong các hệ qui chiếu quán tính K và K’ đều như
nhau: t = t’. Khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó đo được trong hai hệ K và
K’ đều bằng nhau:
/
trong hệ K
trong hệ K
Vận tốc của chất điểm chuyển động trong hệ K bằng tổng các vận tốc của chất
điểm đó trong hệ K’ và vận tốc V của hệ K' đối với hệ K:
40
Tất cả các kết quả trên đây đều đúng đối với v << c. Nhưng chúng mâu
thuẫn với lí thuyết tương đối của Einstein. Theo thuyết tương đối: thời gian
không có tính tuyệt đối, khoảng thời gian diễn biến của một quá trình vật lí phụ
thuộc vào các hệ qui chiếu. Đặc biệt khái niệm đồng thời phụ thuộc vào hệ qui
chiếu, tức là các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong hệ qui chiếu quán tính này
sẽ không xảy ra đồng thời ở trong hệ qui chiếu quán tính khác. Để minh họa
chúng ta xét ví dụ sau:
Hai hệ qui chiếu quán tính K
và K’ với các trục tọa độ x, y, z và
x’, y’, z’. Hệ K’ chuyển động thẳng
đều với vận tốc V so với hệ K theo
phương x. Từ một điểm A bất kì,
trên trục x’ có đặt một bóng đèn
phát tín hiệu sáng theo hai phía
ngược nhau của trục x. Đối với hệ
K’ bóng đèn là đứng yên vì nó
cùng chuyển động với hệ K’. Trong
hệ K’ các tín hiệu sáng sẽ tới các
điểm B và C ở cách đều A cùng
một lúc. Nhưng trong hệ K, điểm B
Hình 5-1. Thí dụ minh họa khái niệm
chuyển động đến gặp tín hiệu sáng,
đồng thời có tính tương đối
còn điểm C chuyển động ra xa khỏi
tín hiệu sáng, do đó trong hệ K tín
hiệu sáng sẽ đến điểm B sớm hơn
đến điểm C. Như vậy trong hệ K,
các tín hiệu sáng tới điểm B và
điểm C không đồng thời.
Định luật cộng vận tốc, hệ quả của nguyên lí tương đối Galileo cũng không
áp dụng được. Theo định luật này thì ánh sáng truyền đến B với vận tốc c +V >
c, còn ánh sáng truyền đến C với vận tốc c -V< c. Điều này mâu thuẫn với
nguyên lí thứ 2 trong thuyết tương đối Einstein.
2. Phép biến đổi Lorentz
Lorentz tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển
từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác, thỏa mãn các yêu cầu của thuyết
tương đối Einstein. Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi Lorentz. Phép
biến đổi Lorentz dựa trên hai tiên đề của Einstein.
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K’. Tại t = 0, hai gốc O, O’ trùng nhau,
K’ chuyển động thẳng đều so với K với vận tốc V theo phương x. Theo thuyết
tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà phụ thuộc vào hệ qui chiếu,
nghĩa là t ≠ t’.
Giả sử tọa độ x’ là hàm của x và t theo phương trình:
x’ = f(x,t)
(1-1)
Để tìm dạng của phương trình trên ta hãy viết phương trình chuyển động của hai
41
gốc tọa độ O và O’. Đối với hệ K, gốc O’ chuyển động với vận tốc V. Ta có:
x = Vt hay x – Vt = 0
(1-2)
x là tọa độ của gốc O’ trong hệ K. Đối với hệ K’, gốc O’ đứng yên, do đó tọa độ
x’ của nó sẽ là:
x’ = 0
(1-3)
Phương trình (5-1) cũng phải đúng đối với điểm O’, điều đó có nghĩa là khi ta
thay x’ = 0 vào phương trình (5-1) thì phải thu được phương trình (5-2), muốn
vậy thì:
(1-4)
trong đó α là hằng số. Đối với hệ K’, gốc O chuyển động với vận tốc –V. Nhưng
đối với hệ K, gốc O là đứng yên. Lập luận tương tự như trên ta có
(1-5)
trong đó β là hằng số. Theo tiên đề thứ nhất của Einstein thì mọi hệ qui chiếu
quán tính đều tương đương nhau, nghĩa là từ (5-4) có thể suy ra (5-5) và ngược
lại bằng cách thay V→-V, x x’, t t’. Suy ra: .
Theo tiên đề hai: x = ct → t = x/c
x’ = ct’ → t’ = x’/c
Thay t và t’ vào (1-4) và (1-5) ta có:
x' ( x
xV
),
c
x ( x'
x'V
)
c
Nhân vế với vế của hai hệ thức trên, sau đó rút gọn ta nhận được:
Thay α vào các công thức trên ta nhận được các công thức của phép biến đổi
Lorentz.
Phép biến đổi Lorentz:
x'
x Vt
V2
1 2
C
,
x
x'Vt '
V2
1 2
C
(1-6)
và
,
(1-7)
Vì hệ K’ chuyển động dọc theo trục x nên y = y’ và z = z’.
Từ kết quả trên ta nhận thấy nếu c → ∞ (tương tác tức thời) hay khi V ⁄c
→ 0 (sự gần đúng cổ điển khi V << c) thì:
x’ = x –Vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t
x = x’ +Vt, y = y’, z = z’, t = t’
nghĩa là chuyển về phép biến đổi Galileo.
Khi V > c, tọa độ x, t trở nên ảo, do đó không thể có các chuyển động với
vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng.
1.2 TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN
1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả
42
Giả sử trong hệ quán tính K có hai biến cố A1(x1, y1, z1, t1) và biến cố
A2(x2, y2, z2, t2) với . Chúng ta hãy tìm khoảng thời gian x1≠x2. t1≠t2 giữa hai
biến cố đó trong hệ K' chuyển động đều đối với hệ K với vận tốc V dọc theo trục
x. Từ các công thức biến đổi Lorentz ta có
t 2' t1'
V
( x2 x1 )
c2
V2
1 2
c
t 2 t1
(1-8)
Từ (5-8) ta suy ra rằng những biến cố xảy ra đồng thời ở trong hệ K (t1 = t2)
sẽ không đồng thời trong hệ K’ vì , chỉ có một trường hợp ngoại lệ là khi hai
biến cố xảy ra đồng thời tại những điểm có cùng giá trị của x (y có thể khác
nhau). Như vậy khái niệm đồng thời là một khái niệm tương đối, hai biến cố xảy
ra đồng thời ở trong một hệ qui chiếu quán tính này nói chung có thể không
đồng thời ở trong một hệ qui chiếu quán tính khác. t’2-t’1≠0
Nhìn vào công thức (5-8) ta thấy giả sử trong hệ K: t2 - t1>0 (tức là biến cố
A1 xảy ra trước biến cố A2), nhưng trong hệ K’: t’2 - t’1 chưa chắc đã lớn hơn 0,
nó phụ thuộc vào dấu và độ lớn của
V
( x 2 x 2 ) . Như vậy trong hệ K’ thứ tự
c2
của các biến cố có thể bất kì.
Tuy nhiên điều này không được xét cho các biến cố có quan hệ nhân quả
với nhau. Mối quan hệ nhân quả là mối quan hệ có nguyên nhân và kết quả.
Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước, kết quả xảy ra sau. Như vậy: Thứ tự
của các biến cố có quan hệ nhân quả bao giờ cũng được đảm bảo trong mọi hệ
qui chiếu quán tính. Thí dụ: viên đạn được bắn ra (nguyên nhân), viên đạn trúng
đích (kết quả). Gọi A1(x1, t1) là biến cố viên đạn bắn ra và A2(x2, t2) là biến cố
viên đạn trúng đích. Trong hệ K: t2 > t1. Gọi u là vận tốc viên đạn và giả sử x2 >
x1, ta có x2 - x1 = u(t2-t1). Thay vào (5-8) ta có:
(1-9)
Ta luôn có u << c, do đó nếu t2 > t1 thì ta cũng có t’2> t’1 . Trong cả hai hệ
K và K’ bao giờ biến cố viên đạn trúng đích cũng xảy ra sau biến cố viên đạn
được bắn ra.
2. Sự co của độ dài (sự co ngắn Lorentz)
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với
vận tốc V so với hệ K dọc theo trục x. Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ
K’ đặt dọc theo trục x’, độ dài của nó trong hệ K’ bằng: .
Gọi l là
độ dài của thanh trong hệ K.
Từ phép biến đổi Lorentz ta có:
43
x2 '
x2 Vt 2
V2
1 2
C
,
x1 '
x1 Vt1
V2
1 2
C
,
Ta phải xác định vị trí các đầu của thanh trong hệ K tại cùng một thời điểm: t2 =
t1, do đó:
x2' x1'
x2 x1
V2
1 2
c
→
o 1
V2
o
c2
(1-10)
Hệ K' chuyển động so với hệ K, nếu ta đứng ở hệ K quan sát thì thấy thanh
chuyển động cùng hệ K'. Chiều dài của thanh ở hệ K nhỏ hơn chiều dài của nó
ở trong hệ K'.
Vậy: “độ dài (dọc theo phương chuyển động) của thanh trong hệ qui chiếu
mà thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng
yên”.
Nói một cách khác khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo
phương chuyển động.
Ví dụ: một vật có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng V=260000 km/s thì
V2
1 2 0,5 khi đó
c
l = 0,5l0, kích thước của vật sẽ bị co ngắn đi một nửa. Nếu quan sát một vật hình
hộp vuông chuyển động với vận tốc lớn như vậy ta sẽ thấy nó có dạng một hình
hộp chữ nhật, còn một khối cầu sẽ có dạng hình elipxoit tròn xoay.
Như vậy kích thước của một vật sẽ khác nhau tuỳ thuộc vào chỗ ta quan sát
nó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên rằng không gian có
tính tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển động. Khi vật chuyển động với vận tốc
nhỏ (V << c), từ (1-10) ta có l = l0 , ta trở lại kết quả của cơ học cổ điển, không
gian được coi là tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động.
3. Sự giãn của thời gian
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K, K’. Hệ K’ chuyển động đều với vận tốc V
so với hệ K dọc theo trục x. Ta đặt một đồng hồ đứng yên trong hệ K’. Xét hai
biến cố xảy ra tại cùng một điểm A trong hệ K’. Khoảng thời gian giữa hai biến
cố trong hệ K’ là ∆t’=t’2-t’1.. Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K
t1
V '
x1
c2
V2
1 2
c
t1'
, t2
V '
x2
c2
,
V2
1 2
c
t 2'
x’1=x’2 → t t 2 t1
t 2' t1'
1
hay
V2
c2
(1-11)
Như vậy: “ Khoảng thời gian ∆t’ của một quá trình trong hệ K’ chuyển
44
động bao giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian ∆t của quá trình đó xảy ra trong
hệ K đứng yên.”
Ví dụ: nếu con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc V=260000 km/s thì
∆t’=0,5.∆t, tức là nếu khoảng thời gian diễn ra một quá trình trên con tàu vũ trụ
là 5 năm thì ở mặt đất lúc đó thời gian đã trôi qua là 10 năm. Đặc biệt nếu nhà
du hành vũ trụ ngồi trên con tàu chuyển động với vận tốc rất gần với vận tốc ánh
sáng V=299960 km/s trong 10 năm để đến một hành tinh rất xa thì trên trái đất
đã 1000 năm trôi qua và khi nhà du hành quay trở về trái đất, người đó mới già
thêm 20 tuổi, nhưng trên trái đất đã 2000 năm trôi qua. Có một điều cần chú ý là
để đạt được vận tốc lớn như vậy thì cần tốn rất nhiều năng lượng, mà hiện nay
con người chưa thể đạt được. Nhưng sự trôi chậm của thời gian do hiệu ứng của
thuyết tương đối thì đã được thực nghiệm xác nhận.
Như vậy khoảng thời gian có tính tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển
động. Trường hợp vận tốc chuyển động rất nhỏ V << c, từ công thức (1-11) ta có
, ta trở lại kết quả của cơ học cổ điển, ở đây khoảng thời gian được coi là
tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động.
4.Phép biến đổi vận tốc.
Giả sử v là vận tốc của chất điểm đối với hệ quy chiếu quán tính K, v’ là vận tốc
cũng của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu quán tính K’. Hệ K’ chuyển động
thẳng đều đối với hệ K dọc theo phương x. Ta hãy tìm định luật tổng hợp vận
tốc liên hệ giữa v và v’. Theo phép biến đổi Lorentz:
dx'
v x'
dx Vdt
V2
1 2
c
v V
dx' dx Vdt
x
V
Vv
dt '
dt 2 dx 1 2x
c
c
V2
V2
v
1
y
c2
c2
dy ' dy v 'y
V
Vv
dt 2 dx
1 2x
c
c
dy 1
V2
V2
v
1
z
c2
c2
dz ' dz v z'
V
Vv
dt 2 dx
1 2x
c
c
dz 1
dt '
V
dx
c2
V2
1 2
c
dt
(1-12)
(1-13)
(1-14)
Các công thức trên biểu dĩnh định lý tổng hợp vận tốc trong thuyết tương đối.
Nếu V/c << 1 thì v’x=vx- V, v’y=vy, v’z=vz
45
Nếu v x c v x'
c V
c như cơ học cổ điển.
Vc
1 2
c
Điều đó chứng minh tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong chân không đối với
các hệ quy chiếu quán tính.
1.3. ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI
1.Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm.
Theo thuyết tương đối, khi một vật chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc
ánh sáng thì khối lượng của vật không phải là một hàng số mà phụ thuộc vận tốc
theo hệ thức:
(1-15)
Trong đó m0 là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó đứng yên, được gọi là
khối lượng nghỉ. Khối lượng có tính tương đối, nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
Như vậy phương trình biểu diễn định luật II Newton F m
dv
không thể mô tả
dt
chuyển động của chất điểm với vận tốc lớn được. Để mô tả chuyển động cần có
phương trình tổng quát hơn. Theo thuyêt tương đối phương trình đó có dạng:
(1-16)
Khi v << c, m = m0= const, phương trình (1-16) se trở thành phương trình của
định luật II Newton.
2.Động lượng và năng lượng.
Động lượng của một vật bằng: p mv
mo
2
v
1 2
c
v
(1-17)
Khi v << c ta thu được biểu thức cổ điển:
.
Ta hãy tính năng lượng của vật. Theo định luật bảo toàn năng lượng của vật,
độ tăng năng lượng của vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật:
dE dA F d S
Để đơn giản ta giả sử ngoại lực F cùng pương với chuyển dời d S , khi đó:
d mo
dE Fds
2
dt
1 v
c2
ds
Sau khi biế đổi ta được:
46
dE
mo vdv
v2
1 2
c
3/ 2
(1-18)
Mặt khác từ (1-15) ta có:
(1-19)
So sánh (1-18) và (1-19) ta được: dE c 2 dm , hay E mc 2 C
Trong đó C là một hằng số. Do m = 0 thì E = 0, ta rút ra C = 0. Vậy:
(1-20)
Hệ thức (1-20) gọi là hệ thức Einstein.
Ý nghĩa của hệ thức Einstein: Khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức
quán tính của vật, năng lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật. Như vậy,
hệ thức Einstein nối liền hai tính chất của vật chất: quán tính và mức độ vận
động. Hệ thức đó cho ta thấy rõ, trong điều kiện nhất định, một vật có khối
lượng nhất định thì cũng có năng lượng nhất định tương ứng với khối lượng đó.
3. Các hệ quả
a. Năng lượng nghỉ của vật: đó là năng lượng lúc vật đứng yên: E m0 c 2
lúc chuyển động vật có thêm động năng Eđ:
mc 2 mo c 2 Eđ
1
2
2
2
Eđ mc mo c mo c
1
2
1 v
c2
(1-21)
Khi v << c thì:
v2
1 2
v2 c
1 2
c
1
1 / 2
1 v2
1
...
2 c2
1 v2
mo v 2
Eđ mo c 2 1
1
2
2
2c
Đây là biểu thức động năng trong cơ học cổ điển.
b.Năng lượng và động lượng của vật
47
Bình phương hai vế ta có:
Thay E = mc2 va p = mv ta được:
Đây là hệ thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng.
(1-22)
III.TÓM TẮT NỘI DUNG
Cơ học Newton chỉ ứng dụng cho các vật thể vĩ mô chuyển động với vận tốc rất
nhỏ so với vận tốc ánh sáng trong chân không. Các vật thể chuyển động với vận
tốc lớn vào cỡ vận tốc ánh sáng thì phải tuân theo thuyết tương đối hẹp Einstein.
1. Các tiên đề của Einstein
* Nguyên lí tương đối: “ Mọi định luật vật lí đều như nhau trong các hệ qui
chiếu quán tính”.
* Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: “Vận tốc ánh sáng trong chân
8
không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có giá trị bằng c = 3.10 m/s
và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên”.
2. Phép biến đổi Lorentz
Đó là phép biến đổi giữa các tọa độ không gian và thời gian trong hai hệ qui
chiếu quán tính K và K’ chuyển động thẳng đều với nhau với vận tốc V (dọc
theo trục x):
V
x ' x Vt ; y ' y; z ' z; t ' t 2 x
c
V
x x ' Vt ' ; y ' y; z ' z; t t ' 2 x '
c
Trong đó
1
2
1 V
c2
Từ phép biến đổi Lorentz ta rút ra các hệ quả:
* Khi vật chuyển động, kích thước của nó co ngắn theo phương chuyển động:
*Đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên:
* Đối với các biến cố không có quan hệ nhân quả với nhau, khái niệm đồng thời
chỉ có tính tương đối. Còn đối với các biến cố có quan hệ nhân quả, thứ tự xảy
48
các biến cố được đảm bảo: nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả xảy
ra sau, điều này không phụ thuộc hệ qui chiếu.
3. Động lực học tương đối tính.
Hệ thức eistein: E=mc2
Trong đó m
m0
1
v2
c2
M0 là khối lượng nghỉ của vật
Năng lượng nghỉ của vật E0=m0c2
Động năng của vật Eđ E E0 m0c 2 (
1
2
1 v
1)
2
c
1
Nếu v<< c có thể tính gần đúng: Eđ m0v 2
2
Biểu thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
2. Phát biểu hai tiên đề Einstein
4. Giải thích sự co ngắn của độ dài và sự giãn c
5. Phân tích tính tương đối của s
với nhau.
6. Dựa vào phép biến đổi Lorentz, chứng tỏ trật tự kế tiếp v
quan hệ nhân quả với nhau vẫn được tôn trọng. 7. Chứng t
hay coi c lớn vô cùng.
8. Viết biểu thức chứng tỏ trong thuyết tương đối Einstein, khối lượng m của
một vật tăng lên khi chuyển động.
9. Từ công thức cộng vận tốc trong thuyết tương đối, tìm lại định luật cộng vận
tốc trong cơ học Newton.
10. Viết và nêu ý nghĩa của hệ thức Einstein về năng lượng. 11. Từ hệ thứ
v<
0
Khi D bên trái C: A- , K+, UAK < 0
Hình 2-4. Thí nghiệm quang
Khi rọi chùm bức xạ điện từ đơn sắc bước điện
sóng thích hợp vào catốt K, chùm ánh
56
sáng này
sẽ giải phóng các electrôn khỏi mặt bản cực âm K. Dưới tác dụng của điện
trường giữa A và K, các quang electrôn sẽ chuyển động về cực dương anốt, tạo
ra trong mạch dòng quang điện. Điện thế G đo cường độ dòng quang điện còn
vôn kế V sẽ đo hiệu điện thế UAK giữa A và K. Thay đổi UAK ta được đồ thị
dòng quang điện như hình 6-5.
* UAK > 0: Khi UAK tăng thì I tăng theo, khi UAK đạt đến một giá trị nào đó
cường độ dòng quang điện bão hòa.
* Khi UAK= 0 cường độ dòng quang
điện vẫn có giá trị . Điều đó chứng tỏ
quang electrôn bắn ra đã có sẵn một động
năng ban đầu.
* Để triệt tiêu dòng quang điện ta
phải đặt lên A-K một hiệu điện thế ngược
Uc sao cho công cản của điện trường ít
Hình 2-5. Đồ thị Inhất phải bằng động năng ban đầu cực đại
của các electrôn bị bứt khỏi bản K, nghĩa V
là:
quang điện sẽ không tăng nữa và đạt giá trị Ibh, được gọi là cường độ dòng
quang điện bão hòa.
(2-17)
Uc được gọi là hiệu điện thế cản.
2. Các định luật quang điện và giải thích
Từ các kết quả thí nghiệm người ta đã tìm ra ba định luật sau đây gọi là ba
định luật quang điện. Các định luật này chỉ có thể giải thích được dựa vào thuyết
phôtôn của Einstein.
a. Phương trình Einstein
Khi có một chùm ánh sáng thích hợp rọi đến catốt, các electrôn tự do trong
kim loại hấp thụ phôtôn. Mỗi electrôn hấp thụ một phôtôn và sẽ nhận được một
57
năng lượng bằng h. Năng lượng này một phần chuyển thành công thoát A th
electrôn ra khỏi kim loại, phần còn lại chuyển thành động năng ban đầu của
quang electrôn. Động năng ban đầu càng lớn khi electrôn càng ở gần mặt ngoài
kim loại, vì đối với các electrôn ở sâu trong kim loại, một phần năng lượng mà
nó hấp thụ được của phôtôn sẽ bị tiêu hao trong quá trình chuyển động từ trong
ra mặt ngoài kim loại. Như vậy động năng ban đầu sẽ cực đại đối với các
electrôn ở sát mặt ngoài kim loại. Theo định luật bảo toàn năng lượng, Einstein
đã đưa ra phương trình cho hiệu ứng quang điện
(2-18)
Phương trình này được gọi là phương trình Einstein.
b. Định luật về giới hạn quang điện
Phát biểu: Đối với mỗi kim loại xác định, hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi
bước sóng (hay tần số ) của chùm bức xạ điện từ rọi tới nhỏ hơn (lớn hơn)
một giá trị xác định
( ), gọi là giới hạn quang điện của kim loại đó.
Giới hạn quang điện phụ thuộc vào bản chất của kim loại làm catốt. Định
luật này nói lên điều kiện cần để có thể xảy ra hiện tượng quang điện. Ở đây cần
nhấn mạnh rằng, nếu chùm sáng tới có bước sóng
thì dù cường độ sáng rất
mạnh, nó cũng không thể gây ra hiện tượng quang điện.
Giải thích: Trong phương trình Einstein (6-15), vì
>
Nghĩa là chùm ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện phải có bước sóng λ
nhỏ hơn một giá trị xác định λo = hc/Ath (
). λo chính là giới hạn quang điện
và rõ ràng nó chỉ phụ thuộc vào công thoát Ath, tức là phụ thuộc vào bản chất
kim loại làm catốt.
c. Định luật về dòng quang điện bão hoà
Phát biểu: Cường độ dòng quang điện bão hoà tỉ lệ với cường độ của chùm bức
xạ rọi tới.
Giải thích: Cường độ dòng quang điện tỉ lệ với số quang electrôn thoát ra khỏi
catốt đến anốt trong một đơn vị thời gian. Dòng quang điện trở nên bão hoà khi
số quang electrôn thoát khỏi catốt đến anốt trong đơn vị thời gian là không đổi.
Số quang electrôn thoát ra khỏi catốt tỉ lệ với số phôtôn bị hấp thụ. Số phôtôn bị
hấp thụ lại tỉ lệ với cường độ của chùm bức xạ. Do đó cường độ dòng quang
điện bão hoà tỉ lệ thuận với cường độ chùm bức xạ rọi tới.
Ne ~ Nph , Nph ~ Iph N e ~ Iph
Ibh ~ Ne I bh ~ Iph
d. Định luật về động năng ban đầu cực đại của quang electrôn
Phát biểu: Động năng ban đầu cực đại của quang electrôn không phụ thuộc vào
58
cường độ chùm bức xạ rọi tới mà chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm bức xạ đó.
Giải thích:
Ta thấy rõ động năng ban đầu cực đại của quang electrôn chỉ phụ thuộc vào
tần số của chùm bức xạ điện từ, mà không phụ thuộc vào cường độ của bức xạ
đó.
Thuyết phôtôn đã giải thích được tất cả các định luật quang điện, nó đã
đưa ra một quan niệm mới về bản chất ánh sáng. Theo Einstein, mỗi phôtôn có
một năng lượng ε = hν. Tính chất hạt thể hiện ở năng lượng ε gián đoạn. Tính
chất sóng thể hiện ở tần số ν (và bước sóng λ) của ánh sáng. Như vậy ánh sáng
vừa có tính sóng, vừa có tính hạt. Ta nói rằng ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt.
2.3. TÍNH SÓNG HẠT CỦA VẬT CHẤT TRONG THẾ GIỚI VI MÔ
1. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng
Như chương trước chúng ta thấy ánh sáng vừa có tính sóng vừa có tính hạt:
hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ thể hiện tính chất sóng, còn hiệu ứng quang điện,
hiệu ứng Compton thể hiện tính chất hạt của ánh
sáng. Lưỡng tính sóng hạt của
ánh sáng được Einstein nêu trong
thuyết phôtôn: ánh sáng được
cấu tạo bởi các hạt phôtôn, mỗi
hạt mang năng lượng và động
lượng
. Ta thấy các
Hình 2-6. Sự truyền sóng phẳng ánh sáng
đại lượng đặc trưng cho tính chất
hạt (E,p) và các đại lượng đặc
trưng cho tính chất sóng ( )
liên hệ trực tiếp với nhau. Chúng
ta sẽ thiết
lập hàm sóng cho hạt phôtôn.
Xét chùm ánh sáng đơn sắc, song song. Mặt sóng là các mặt phẳng vuông
góc với phương truyền sóng. Nếu dao động sáng tại O là
(2-19)
thì biểu thức dao động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng đi qua điểm M cách mặt
sóng đi qua O một đoạn d là:
(2-20)
59
trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không, λ là bước sóng ánh sáng trong
chân không:
với T là chu kì , ν là tần số của sóng ánh sáng. Từ hình 7-1 ta có:
(2-21)
: vectơ pháp tuyến đơn vị. Thay (2-21) vào (2-20) ta nhận được:
(2-22)
Đó là hàm sóng phẳng đơn sắc. Sử dụng kí hiệu ψ cho hàm sóng và biểu
diễn nó dưới dạng hàm phức ta có
(2-23)
Nếu thay
,
và
i
vào (2-24) ta được:
0 exp ( Et p r )
(2-25)
2. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi)
Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã suy ra lưỡng
tính sóng hạt cho electrôn và các vi hạt khác.
Giả thuyết de Broglie:
Một vi hạt tự do có năng lượng, động lượng xác định tương ứng với một
sóng phẳng đơn sắc. Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của
sóng tương ứng thông qua hệ thức: hay . Động lượng
của vi hạt liên hệ
với bước sóng của sóng tương ứng theo hệ thức:
hay
.
là vectơ sóng, có phương, chiều là phương, chiều
truyền sóng, có
độ lớn
. Sóng de Broglie là sóng vật chất, sóng của các vi hạt.
3. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mô
a. Nhiễu xạ của electrôn qua khe hẹp:
Cho chùm electrôn đi qua một khe hẹp. Trên màn huỳnh quang ta thu được
hình ảnh nhiễu xạ giống như hiện tượng nhiễu xạ của ánh sáng qua một khe hẹp.
Nếu ta cho từng electrôn riêng biệt đi qua khe trong một thời gian dài để số
electrôn đi qua khe đủ lớn, ta vẫn thu được hình ảnh nhiễu xạ trên màn huỳnh
quang. Điều này chứng tỏ mỗi hạt electrôn riêng lẻ đều có tính chất sóng.
60
Hình 2-7. Nhiễu xạ của electrôn qua một khe hẹp
b. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh thể
Thí nghiệm của Davisson và Germer quan sát được hiện tượng nhiễu xạ
của electrôn trên mặt tinh thể Ni (hình 7-3). Khi cho một chùm electrôn bắn vào
mặt tinh thể Ni, chùm e sẽ tán xạ trên mặt tinh thể Ni dưới các góc khác nhau.
Trên màn hình ta thu được các vân nhiễu xạ. Hiện tượng xảy ra giống hệt hiện
tượng nhiễu xạ của tia X trên mặt tinh thể Ni. Tinh thể Ni như một cách tử nhiễu
xạ. Hiện tượng electrôn nhiễu xạ trên cách tử chứng tỏ bản chất sóng của
chúng. Thay Ni bằng các tinh thể khác, tất cả các thí nghiệm đều xác nhận chùm
electrôn gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh thể. Các vi hạt khác như nơtrôn,
prôtôn cũng gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh thể.
Các kết quả thí nghiệm trên
đều xác nhận tính chất sóng của
vi hạt và do đó chứng minh sự
đúng đắn của giả thuyết de
Broglie.
Cuối cùng, ta phải nhấn
mạnh về nội dung giới hạn của
Hinh 2-8. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh
giả thiết de Broglie. Bước sóng thể
de Broglie tỉ lệ nghịch với khối
lượng của hạt:
do đó đối với những hạt thông thường mà khối lượng rất lớn, thậm chí là vô
cùng lớn so với khối lượng của electrôn chẳng hạn thì bước sóng de Broglie
tương ứng có giá trị vô cùng bé và không còn ý nghĩa để mô tả tính chất sóng
nữa. Như vậy, khái niệm lưỡng tính sóng hạt thực sự chỉ thể hiện ở các hạt vi
mô mà thôi và sóng de Broglie có bản chất đặc thù lượng tử, nó không tương tự
với sóng thực trong vật lí cổ điển như sóng nước hay sóng điện từ...
4. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
Do có lưỡng tính sóng hạt nên qui luật vận động của vi hạt trong thế giới vi
mô khác với qui luật vận động của hạt trong thế giới vĩ mô. Một trong những
điểm khác biệt đó là hệ thức bất định Heisenberg. Để tìm hệ thức đó chúng ta
xét hiện tượng nhiễu xạ của chùm vi hạt qua một khe hẹp có bề rộng b.
61
Sau khi qua khe hạt sẽ bị nhiễu
xạ theo nhiều phương khác nhau,
tuỳ theo góc nhiễu xạ , mật độ hạt
nhiễu xạ trên màn sẽ cực đại hoặc
cực tiểu. Xét tọa độ của hạt theo
phương x, nằm trong mặt phẳng khe
và song song với bề rộng khe. Tọa
độ x của hạt trong khe sẽ có giá trị
trong khoảng từ 0 đến b (). Nói
cách khác, vị trí của hạt trong khe
được xác định với độ bất định .
Hình 2-9
Sau khi hạt qua khe, hạt bị nhiễu xạ, phương động lượng
thay đổi. Hình
chiếu của theo phương x sẽ có giá trị thay đổi trong khoảng
,
nghĩa là sau khi đi qua khe, hạt có thể rơi vào cực đại giữa hoặc cực đại phụ và
được xác định với một độ bất định nào đó. Xét trường hợp hạt rơi vào cực đại
giữa
, là góc ứng với cực tiểu thứ nhất:
Theo giả thuyết de Broglie
thức bất định Heisenberg:
. Do đó ta có:
. Thay vào biểu thức trên ta nhận được hệ
Lý luận tương tự :
(2-26)
Hệ thức bất định Heisenberg là một trong những định luật cơ bản của cơ
học lượng tử. Hệ thức này chứng tỏ vị trí và động lượng của hạt không được xác
định chính xác một cách đồng thời. Vị trí của hạt càng xác định thì động lượng
của hạt càng bất định và ngược lại.
-10
Ví dụ: Trong nguyên tử e chuyển động trong phạm vi 10 m. Do đó độ
bất định về vận tốc là:
vx
px
h
6,625.1034
7.106 m / s
31
10
me
me x 9.10 10
-
-
Ta thấy khá lớn cho nên e không có vận tốc xác định, nghĩa là e không
chuyển động theo một quĩ đạo xác định trong nguyên tử. Điều này chứng tỏ rằng
trong thế giới vi mô khái niệm quĩ đạo không có ý nghĩa.
-15
Ta xét hạt trong thế giới vĩ mô khối lượng của hạt m = 10 kg, độ bất định
về vị trí . Do đó độ bất định về vận tốc là
62
vx
px
h
6,625.1034
6,6.1011 m / s
me
me x
.1015108
Như vậy đối với hạt vĩ mô và
đều nhỏ, nghĩa là vị trí và vận tốc có
thể được xác định chính xác đồng thời.
Theo cơ học cổ điển, nếu biết được toạ độ và động lượng của hạt ở thời
điểm ban đầu thì ta có thể xác định được trạng thái của hạt ở các thời điểm sau.
Nhưng theo cơ học lượng tử thì toạ độ và động lượng của vi hạt không thể xác
định được đồng thời, do đó ta chỉ có thể đoán nhận khả năng vi hạt ở một trạng
thái nhất định. Nói cách khác vi hạt chỉ có thể ở một trạng thái với một xác suất
nào đó. Do đó qui luật vận động của vi hạt tuân theo qui luật thống kê.
Ngoài hệ thức bất định về vị trí và động lượng, trong cơ học lượng tử người
ta còn tìm được hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian:
∆E.∆th
(2-28)
Ý nghĩa của hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian: nếu năng lượng
của hệ ở một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng
thái đó càng ngắn và ngược lại, nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó
càng xác định thì thời gian tồn tại của hệ ở trạng thái đó càng dài. Như vậy trạng
thái có năng lượng bất định là trạng thái không bền, còn trạng thái có năng
lượng xác định là trạng thái bền.
2.4. HÀM SÓNG
1. Hàm sóng:
Do lưỡng tính sóng hạt của vi hạt ta không thể xác định đồng thời được tọa
độ và động lượng của vi hạt. Để xác định trạng thái của vi hạt, ta phải dùng một
khái niệm mới đó là hàm sóng.
Theo giả thuyết de Broglie chuyển động của hạt tự do (tức là hạt không
chịu một tác dụng nào của ngoại lực) được mô tả bởi hàm sóng tương tự như
sóng ánh sáng phẳng đơn sắc
(2-29)
Trong đó
và là biên độ được xác định bởi:
(2-30)
là liên hợp phức của .
Nếu hạt vi mô chuyển động trong trường thế, thì hàm sóng của nó là một
hàm phức tạp của toạ độ và thời gian t
2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng
63
Xét chùm hạt phôtôn truyền trong
không gian. Xung quanh điểm M lấy thể
tích bất kì (hình 7-5)
*Theo quan điểm sóng: Cường độ
sáng tại M tỉ lệ với bình phương biên độ
dao động sáng tại M: I ~
Hình 2-10. Chùm hạt phôtôn
truyền qua thể tích ΔV
*Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với năng lượng các hạt
trong đơn vị thể tích bao quanh M, nghĩa là tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích
đó.Từ đây ta thấy rằng số hạt trong đơn vị thể tích tỉ lệ với . Số hạt trong đơn vị
thể tích càng nhiều thì khả năng tìm thấy hạt trong đó càng lớn. Vì vậy có thể
nói bình phương biên độ sóng
tại M đặc trưng cho khả năng tìm thấy hạt
trong đơn vị thể tích bao quanh M . Do đó
suất tìm thấy hạt trong toàn không gian là
là mật độ xác suất tìm hạt và xác
.
Khi tìm hạt trong toàn không gian,
chúng ta chắc chắn tìm thấy
hạt. Do đó xác suất tìm hạt trong toàn không gian là 1:
(2-31)
Đây chính là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng.
Tóm lại:
- Để mô tả trạng thái của vi hạt người ta dùng hàm sóng ψ.
biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái đó.
- không mô tả một sóng thực trong không gian. Hàm sóng mang tính chất
thống kê, nó liên quan đến xác suất tìm hạt.
3. Điều kiện của hàm sóng
- Hàm sóng phải hữu hạn. Điều này được suy ra từ điều kiện chuẩn hoá,
hàm sóng phải hữu hạn thì tích phân mới hữu hạn.
- Hàm sóng phải đơn trị, vì theo lí thuyết xác suất: mỗi trạng thái chỉ có một
giá trị xác suất tìm hạt.
- Hàm sóng phải liên tục, vì xác suất
không thể thay đổi nhảy vọt.
- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.
4. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của vi hạt tự do có năng lượng và
động lượng xác định:
64
i
i
r , t 0 exp ( Et p r ) (r ) exp Et
(2-32) x
trong đó
(2-33)
là phần phụ thuộc vào tọa độ của hàm sóng. Ta có thể biểu diễn
tọa độ Đề các như sau:
i
r , t 0 exp ( px x p y y pz z
trong hệ
(2-34)
Lấy đạo hàm , ta được:
i
px r
x
Lấy đạo hàm bậc hai của ψ theo x:
2 i 2 2
px2
p
r
r
x
x 2
2
2
(2-35)
Ta cũng thu được kết quả tương tự cho các biến y và z.
Theo định nghĩa của toán tử Laplace trong hệ toạ độ Đề các :
(2-36)
ta được:
Gọi Eđ là động năng của hạt, ta viết được:
2
Eđ
(2-37)
2
hay p =2mEđ
Thay p vào (7-17) và chuyển sang vế trái ta thu được:
(2-38)
Phương trình (7-18) được gọi là phương trình Schrodinger cho vi hạt chuyển
động tự do. Mở rộng phương trình cho vi hạt không tự do, nghĩa là vi hạt chuyển
động trong một trường lực có thế năng U không phụ thuộc thời gian. Năng
lượng của vi hạt E = Eđ + U. Thay
Eđ = E - U vào (7-18) ta được:
(2-39)
Biết dạng cụ thể của U( ), giải phương trình Schrodinger ta tìm được
và E, nghĩa là xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Ta giới hạn chỉ
xét hệ là kín hay đặt trong trường ngoài không biến thiên theo thời gian. Năng
lượng của hệ khi đó không đổi và trạng thái của hệ được gọi là trạng thái dừng.
Phương trình (7-19) được gọi là phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng.
Cho đến nay ta vẫn xét hạt chuyển động với vận tốc v << c, do đó phương
65
trình (7-9) mô tả chuyển động của vi hạt phi tương đối tính, có khối lượng nghỉ
khác không. Phương trình Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt, nó có vai
trò tương tự như phương trình của các định luật Newton trong cơ học cổ điển.
Một điểm cần chú ý là, phương trình Schrodinger không được chứng minh hay
rút ra từ đâu. Nó được xây dựng trên cơ sở hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh
sáng và giả thuyết sóng-hạt de Broglie, do đó được coi như một tiên đề. Việc mở
rộng phương trình Schrodiger cho hạt tự do sang trường hợp hạt chuyển động
trong trường thế cũng được coi là một sự tiên đề hóa. Dưới đây là những ứng
dụng phương trình Schrodinger trong những bài toán cụ thể như hạt trong giếng
thế, hiệu ứng đường ngầm...
5. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
A. Hạt trong giếng thế năng
Trong những bài toán thực tế, ta thường
gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động
trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào
thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như
electrôn trong mạng tinh thể hay nuclôn trong
hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong
giếng thế năng.
Hình 2-11. Giếng thế năng
Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong
giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên
trong giếng thế (hình 2-11). Thế năng U được xác định theo điều kiện:
Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài
giếng.
Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có
dạng:
Đặt
, ta có:
(2-40)
(2-41)
Nghiệm của phương trình (7-21) có dạng
(x)=Asinkx+ Bcoskx
(2-42)
A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài
thì hạt chỉ ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế
bằng không và hàm sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục
của hàm sóng ta suy ra: Thay điều kiện này vào (7-22) ta có
(0)=Asin(0)+B=0 → B = 0
và (a)=Asinka-0
66
B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì
luôn bằng 0 là một nghiệm tầm
thường). Do đó ta có:
Sinka=0=sinn với n = 1,2,...
Từ đó rút ra:
(2-43)
Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng:
(2-44)
thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn
hóa (7-11) của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy
hạt trong giếng là chắc chắn:
Tính giá trị tích phân:
a
a
n
A2
2n
A2 a
A
sin
xdx
(
1
cos
x
)
dx
1
0
a
2 0
a
2
Ta tìm được:
2
2
Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn:
(2-45)
Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi ta thay biểu thức (723) vào
:
En
2 2
2ma 2
n2
(2-46)
Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau:
a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng
b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến
thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa.
Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu
ứng với hàm sóng
, mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng khác
không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 7-7).
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên
n và n+1 bằng:
67
E n E n 1 E n
2 2
2ma 2
(2-47)
(2n 1)
càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế
giới vi mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electrôn m =
-31
-10
9,1.10 kg, a ~ 5.10 m thì ∆E ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối
-26
lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu xét một phân tử có m ~10 kg
chuyển động trong miền a ~ 10cm thì khoảng cách giữa các mức năng lượng
-20
ΔE~ 10 eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của phân tử
biến thiên liên tục.
c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng:
2
n ( x)
2 2 n
sin
x
a
a
Mật độ xác suất cực đại khi:
nhất tại:
(2-48)
. Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn
< a m = 0,1....
Hình 2-12. Hạt trong giếng thế năng một chiều, cao vô hạn
Ví dụ: Khi n = 1, xác suất tìm thấy hạt ở điểm x
a
là lớn nhất. Khi n = 2
2
a
3a
và x
là lớn nhất...
4
4
n
Mật độ xác suất cực tiểu khi: sin x 0 . Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ
a
xác suất tìm thấy hạt ở điểm x
nhất tại
νo
λo, νo tùy thuộc vào từng kim loại và được gọi là giới hạn quang điện của kim
loại đó.
* Định luật về dòng quang điện bão hòa: Cường độ dòng quang điện bão
hòa tỷ lệ với cường độ ánh sáng chiếu tới kim loại.
* Định luật về động năng ban đầu cực đại: Động năng ban đầu cực đại của
các quang electron không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng chiếu tới mà chỉ phụ
thuộc bước sóng của ánh sáng chiếu tới và bản chất kim loại.
Để giải thích ba định luật trên, Einstein đã đưa ra thuyết phôtôn. Thuyết
này cho rằng ánh sáng bao gồm những hạt phôtôn. Mỗi phôtôn mang năng
8
lượng
, chuyển động với vận tốc c=3.10 m/s. Cường độ của chùm
sáng tỉ lệ với số phôtôn do nguồn sáng phát ra trong một đơn vị thời gian.
Như vậy ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt.
3. Hiệu ứng Compton
Chùm ánh sáng (chùm hạt phôtôn) sau khi tán xạ lên các hạt electrôn tự
do thì bước sóng λ của nó tăng lên
Thực nghiệm đã xác định được độ tăng bước sóng Δλ này. Độ tăng bước
sóng không phụ thuộc vật liệu làm bia mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ. Để giải
thích hiệu ứng Compton, người ta đã dựa trên hai định luật bảo toàn: bảo toàn
năng lượng (vì va chạm đàn hồi) và bảo toàn động lượng (vì là hệ kín gồm hạt
phôtôn và hạt electrôn). Qua hiệu ứng này người ta chứng minh được hạt phôtôn
có động lượng p = mc = hν / c = h / λ.
Động lượng là một đặc trưng của hạt. Như vậy tính chất hạt của ánh sáng
đã được xác nhận trọn vẹn khi dựa vào thuyết phôtôn giải thích thành công
hiệu ứng Compton.
4. Lưỡng tính sóng hạt của vi hạt
Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã mở rộng ra cho
các vi hạt. Theo giả thuyết này, mọi vi hạt tự do có năng lượng xác định, động
74
lượng xác định tương đương với sóng phẳng đơn sắc. Lưỡng tính sóng hạt của
các vi hạt được biểu diễn bằng các hệ thức:
E = hν và p = mv = h /λ.
Ngoài ra, theo thuyết tương đối Einstein, mọi hạt vật chất có khối lượng m
2
đều mang năng lượng bằng E = mc
trong đó
mo là khối lượng nghỉ của hạt (khi v = 0).
5. Hàm sóng
Hàm sóng của vi hạt tự do có dạng của hàm sóng phẳng:
trong đó ћ = h/2π gọi là hằng số Planck rút gọn và
được gọi là số
sóng.
Hàm sóng ψ không những mô tả những tính chất của hệ tại một thời điểm
nào đó, mà nó còn xác định được động thái của hệ ở những thời điểm tiếp theo.
Hàm sóng có ý nghĩa thống kê.
là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại một điểm
nào đó đối với một trạng thái lượng tử đang xét. Như vậy, hàm sóng ψ không
mô tả một sóng thực, mà mô tả sóng xác suất. Do đó hàm sóng phải thỏa mãn ba
điều kiện: hàm sóng phải liên tục, hữu hạn và đơn trị. Điều kiện chuẩn hóa của
hàm sóng là
6. Nguyên lí bất định Heisenberg
Nguyên lí này thu được từ lưỡng tính sóng hạt của vi hạt, được biểu diễn
qua hệ thức dưới đây khi xét vị trí x và động lượng p của vi hạt
Nếu ∆x càng nhỏ (vị trí càng xác định) thì ∆px càng lớn (động lượng càng
bất định) và ngược lại. Như vậy đối với vi hạt, vị trí và động lượng không được
xác định chính xác đồng thời. Do đó, trong thế giới vi mô khái niệm quĩ đạo
không có ý nghĩa. Nếu ta biết được vị trí x ở thời điểm t, thì đến thời điểm t + dt
ta chỉ có thể xác định vị trí hạt với một xác suất nào đó thôi. Đối với các vi hạt
khái niệm quĩ đạo được thay thế bằng khái niệm xác suất tìm thấy hạt tại một vị
trí nào đó ở trạng thái lượng tử đang xét.
Ngoài hệ thức giữa vị trí và động lượng, vi hạt còn tuân theo hệ thức bất
định cho năng lượng
Ý nghĩa của hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian: nếu năng lượng
của hệ ở một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng
thái đó càng ngắn và ngược lại, nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó
càng xác định thì thời gian tồn tại của hệ ở trạng thái đó càng dài.
7. Phương trình Schrodinger và ứng dụng
Từ biểu thức của hàm sóng, Schrodiger đã đưa ra phương trình cơ bản của
75
cơ học lượng tử mang tên ông cho vi hạt.
Đối với vi hạt tự do:
Đối với vi hạt trong trường thế
Cần chú ý rằng các phương trình Schrodinger thu được trên cơ sở của giả
thuyết de Broglie, thuyết lượng tử của Planck và thuyết phôtôn của Einstein, do
đó cũng được coi là các tiên đề.
Hệ thức bất định Heisenberg và phương trình Schrodinger là những nguyên
lí cơ bản của cơ học lượng tử.
Ứng dụng của phương trình Schrodinger:
- Phương trình Schrodinger được áp dụng để giải một số bài toán đơn giản
của cơ học lượng tử như tìm năng lượng và hàm sóng của vi hạt khối lượng m
trong giếng thế năng, có bề rộng a và thành cao vô hạn. Kết quả ta có năng
lượng của vi hạt trong giếng thế bị lượng tử hóa:
Mỗi giá trị của năng lượng En tương ứng với một trạng thái lượng tử
Từ đây ta tìm được xác suất tìm thấy hạt tại các điểm khác nhau trong
giếng ứng với mỗi trạng thái lượng tử.
- Vận dụng phương trình Schrodinger, ta xét chuyển động của vi hạt qua
hàng rào thế Uo. Từ đó phát hiện hiệu ứng đường ngầm. Đó là hiệu ứng một vi
hạt có năng lượng E < Uo vẫn có xác suất vượt qua được rào thế Uo. Đây là hiệu
ứng thuần túy lượng tử, vì trong cơ học cổ điển một hạt có năng lượng E < Uo thì
không thể vượt qua được hàng rào thế năng.
- Một ứng dụng nữa hay gặp của cơ học lượng tử là dao động tử điều hòa.
Đó là một vi hạt thực hiện các dao động nhỏ bậc nhất quanh vị trí cân bằng.
Chuyển động nhiệt của mạng tinh thể cũng được biểu diễn dưới dạng tập hợp
của các dao động tử điều hòa tuyến tính. Thay biểu thức thế năng U của dao
động tử điều hòa vào phương trình Schrodinger, ta tìm được các mức năng
lượng của dao động tử:
Nếu n = 0, ta tìm được mức năng lượng thấp nhất của dao động tử
. Eo
được gọi là “năng lượng không”. Kết quả này đã được thực nghiệm xác nhận.
Nó nói lên rằng các nguyên tử của mạng tinh thể không bao giờ đứng yên. Suy
rộng ra, sự vận động của vật chất không bao giờ bị tiêu diệt. Đó là cơ sở khoa
học của triết học duy vật biện chứng
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
76
1. Định nghĩa bức xạ nhiệt cân bằng.
2. Viết biểu thức và nêu ý nghĩa của các đại lượng: năng suất phát xạ toàn phần,
hệ số phát xạ đơn sắc, hệ số hấp thụ đơn sắc của bức xạ nhiệt cân bằng ở nhiệt
độ T.
3. Định nghĩa vật đen tuyệt đối.
4. Phát biểu định luật Kirchhoff. Nêu ý nghĩa của hàm phổ biến. Vẽ đồ thị
đường đặc trưng phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối.
5. Phát biểu các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối .
6. Nêu quan niệm cổ điển về bản chất của bức xạ. Viết công thức của RayleighJeans. Nêu những khó khăn mà công thức đó gặp phải đối với hiện tượng bức xạ
nhiệt.
7. Phát biểu thuyết lượng tử của Planck. Viết công thức Planck. Nêu những
thành công của thuyết lượng tử.
8. Định nghĩa hiện tượng quang điện. Phát biểu ba định luật quang điện.
9. Phát biểu thuyết phôtôn của Einstein. Vận dụng thuyết phôtôn để giải thích ba
định luật quang điện.
10. Trình bày nội dung hiệu ứng Compton. Trong hiệu ứng này, chùm tia X tán
xạ lên electrôn tự do hay liên kết ?
11. Giải thích hiệu ứng Compton.
12. Tại sao coi hiệu ứng Compton là một bằng chứng thực nghiệm xác nhận trọn
vẹn tính hạt của ánh sáng.
13. Phát biểu giả thuyết de Broglie về lưỡng tính sóng hạt của vi hạt.
14. Viết biểu thức hàm sóng cho vi hạt và nêu ý nghĩa của các đại lượng có
trong biểu thức đó.
15. Viết phương trình Schrodinger cho vi hạt tự do và vi hạt chuyển động trong
trường lực thế. Nêu ý nghĩa các đại lượng có trong phương trình.
16. Hãy nêu bản chẩt và ý nghĩa thống kê của hàm sóng. Các điều kiện của hàm
sóng.
17. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg cho vị trí và động
lượng.
18. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định cho năng lượng.
19. Phân tích tại sao trong cơ học lượng tử khái niệm quĩ đạo của vi hạt không
còn có ý nghĩa. Khái niệm quĩ đạo của vi hạt được thay thế bằng khái niệm gì ?
20. Hãy tìm biểu thức của hàm sóng và năng lượng của vi hạt trong giếng thế
năng một chiều, có chiều cao vô cùng.
IV. BÀI TẬP
Thí dụ 1: Hỏi nhiệt độ của lò nung bằng bao nhiêu cho biết mỗi giây lò phát ra
2
một năng lượng bằng 8,28 calo qua một lỗ nhỏ có kích thước bằng 6,1cm . Coi
bức xạ được phát ra từ một vật đen tuyệt đối.
Bài giải:Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối: , R là năng suất do
một đơn vị diện tích phát ra trong một đơn vị thời gian, nên R liên hệ với công
suất phát xạ là: P = R.S
77
Thí dụ 2: Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A =
5eV. Tìm:
1. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu
bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,2μm.
3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
Bài giải
1. Giới hạn quang điện của catốt:
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các electrôn:
3. Hiệu điện thế hãm:
Thí dụ 3: Phôtôn mang năng lượng 0,15MeV đến tán xạ trên electrôn tự do. Sau
0
khi tán xạ bước sóng của chùm phôtôn tán xạ tăng thêm ∆λ = 0,015A . Xác định
bước sóng của phôtôn và góc tán xạ của phôtôn.
Bài giải:
Bài tập tự giải
1. Tìm công suất bức xạ của một lò nung, cho biết nhiệt độ của lò bằng t =
0
2
727 C, diện tích của cửa lò bằng 250cm . Coi lò là vật đen tuyệt đối.
Đáp số:
2.Vật đen tuyệt đối có dạng một quả cầu đường kính d = 10cm ở nhiệt độ T
không đổi. Tìm nhiệt độ T, cho biết công suất bức xạ ở nhiệt độ đã cho bằng
12kcalo/phút.
Đáp số:
,
3. Nhiệt độ của sợi dây tóc vonfram của bóng đèn điện luôn biến đổi vì được đốt
nóng bằng dòng điện xoay chiều. Hiệu số giữa nhiệt độ cao nhất và thấp nhất
0
bằng 80 , nhiệt độ trung bình bằng 2300K. Hỏi công suất bức xạ biến đổi bao
nhiêu lần, coi dây tóc bóng đèn là vật đen tuyệt đối.
Đáp số:
78
4. Nhiệt độ của vật đen tuyệt đối tăng từ 1000 K đến 3000 K. Hỏi:
1. Năng suất phát xạ toàn phần của nó tăng bao nhiêu lần?
2. Bước sóng ứng với năng suất phát xạ cực đại thay đổi bao nhiêu
lần?
Đáp số: 1.
lần ,
2.
lần
5. Một vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T1 = 2900 K. Do vật bị nguội đi nên bước
sóng ứng với năng suất phát xạ cực đại thay đổi ∆λ = 9μm. Hỏi vật lạnh đến
nhiệt độ bằng bao nhiêu?
Đáp số:
6. Tìm giới hạn quang điện đối với các kim loại có công thoát 2,4eV, 2,3eV,
2eV.
Đáp số:
,
,
7. Giới hạn quang điện của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện λ0 =
0,5μm. Tìm:
1. Công thoát của electrôn khỏi tấm kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu
bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,25μm.
Đáp số: 1.
2.
8. Chiếu một bức xạ điện từ đơn sắc bước sóng λ = 0,41μm lên một kim loại
dùng làm catôt của tế bào quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Nếu
dùng một hiệu điện thế hãm 0,76V thì các quang electrôn bắn ra đều bị giữ
lại.Tìm:
1. Công thoát của electrôn đối với kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi bắn ra khỏi catôt.
Đáp số: 1.
2.
79
9. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A= 2,48eV.
Tìm:
1. Giới hạn quan điện của tấm kim loại đó.
2.Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng
ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,36μm.
3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
Đáp số: 1.
2.
3.
10. Khi chiếu một chùm ánh sáng có bước sóng λ = 0,234μm vào một kim loại
dùng làm catốt của tế bào quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Biết
14
tần số giới hạn của catôt ν0= 6.10 Hz. Tìm:
1. Công thoát của electrôn đối với kim loại đó.
2. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
3. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn.
Đáp số: 1. ,
2.
3.
11. Khi chiếu một chùm ánh sáng vào một kim loại dùng làm catốt của tế bào
quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Nếu dùng một hiệu điện thế
hãm 3V thì các quang electrôn bắn ra đều bị giữ lại. Biết tần số giới hạn của
14
catôt ν0= 6.10 Hz. Tìm:
1. Công thoát của electrôn đối với tấm kim loại đó.
2. Tần số của ánh sáng chiếu tới.
3. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi bắn ra từ catôt.
-20
Đáp số: 1. A = hν0 = 39,75.10 J,
2.
h=ν,
3.
12. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A = 2,15eV.
Tìm:
1. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu
bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,489μm.
3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
80
Đáp số: 1.
2.
3.
14
13. Tìm động lượng, khối lượng của phôtôn có tần số ν = 5.10 Hz.
Đáp số:
14. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn ứng với bước sóng λ = 0,6μm.
Đáp số:
-12
15. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn ứng với bước sóng λ = 10 m.
Đáp số:
16. Phôtôn có năng lượng 250keV bay đến va chạm với một electrôn đứng yên
0
và tán xạ Compton theo góc 120 . Xác định năng lượng của phôtôn tán xạ.
Đáp số:
,
Năng lượng của phôtôn tán xạ:
17. Phôtôn ban đầu có năng lượng 0,8MeV tán xạ trên một electrôn tự do và
thành phôtôn ứng với bức xạ có bước sóng bằng bước sóng Compton. Tính:
1. Góc tán xạ.
2. Năng lượng của phôtôn tán xạ.
Đáp số: 1.
,
2.
18. Tính năng lượng và động lượng của phôtôn tán xạ khi phôtôn có bước sóng
81
-10
ban đầu
λ = 0,05.10 m đến va chạm vào electrôn tự do và tán xạ theo góc
0
0
60 , 90 .
Đáp số: 1.Bước sóng của phôtôn tán xạ:
Năng lượng của phôtôn tán xạ:
Động lượng của phôtôn tán xạ:
2. Bước sóng của phôtôn tán xạ:
Năng lượng của phôtôn tán xạ:
Động lượng của phôtôn tán xạ:
19. Trong hiện tượng tán xạ Compton, bức xạ Rơngen có bước sóng λ đến tán
xạ trên electrôn tự do. Tìm bước sóng đó, cho biết động năng cực đại của
electron bắn ra bằng 0,19MeV.
Đáp số: Động năng của electrôn
Theo định luật bảo toàn năng lượng: Eđ, , động năng cực đại khi . Do đó
0
20. Tìm động lượng của electrôn khi có phôtôn bước sóng λ = 0,05A đến va
0.
chạm và tán xạ theo góc θ = 90 Lúc đầu electrôn đứng yên.
Đáp số: Theo định luật bảo toàn động lượng:
8
Thí dụ 4: Electrôn chuyển động tương đối tính với vận tốc 2.10 m/s. Tìm:
1. Bước sóng de Broglie của electrôn.
2. Động lượng của electrôn.
Bài giải
1. ¸p dụng cơ học tương đối tính:
82
2. Động lượng của electrôn:
Thí dụ 5: Động năng của electrôn trong nguyên tử hiđrô có giá trị vào cỡ 10eV.
Dùng hệ thức bất định hãy đánh giá kích thước nhỏ nhất của nguyên tử.
Bài giải: Theo hệ thức bất định Heisenberg:
Giả sử kích thước của nguyên tử bằng , vậy vị trí của electrôn theo
phương x xác định bởi:
, nghĩa là
Từ hệ thức bất định:
Mặt khác
Vậy
giá
mà
trị
nhỏ
, trong đó Eđ là động năng.
nhất
của
kích
thước
nguyên
tử:
Bài tập tự giải
1. Electrôn phải có vận tốc bằng bao nhiêu để động năng của nó bằng năng
0
lượng của phôtôn có bước sóng λ = 5200A .
Đáp số:
2. Tìm vận tốc của electrôn để động lượng của nó bằng động lượng của phôtôn
0
có bước sóng λ = 5200A .
Đáp số:
3. Tìm động lượng của electrôn chuyển động với vận tốc
Đáp số: ¸p dụng cơ học tương đối tính:
4. Tìm bước sóng de Broglie của:
1. Electrôn được tăng tốc bởi hiệu điện thế 1V, 100V, 1000V.
8
2. Electrôn đang chuyển động tương đối tính với vận tốc 10 m/s.
Đáp số:
1.
83
2.
5. Xác định bước sóng de Broglie của electrôn có động năng
1. Eđ = 100eV.
2. Eđ= 3MeV
Đáp số:
1. Năng lượng nghỉ của electrôn E0 = 0,51MeV
Khi Eđ = 100eV nhỏ hơn rất nhiều so với năng lượng nghỉ của electrôn, do đó
áp dụng cơ học phi tương đối tính:
Eđ
2. Khi Eđ = 3MeV lớn hơn năng lượng nghỉ của electrôn, do đó áp dụng cơ học
tương đối tính:
, Eđ
-10
6. Electrôn có bước sóng de Broglie λ = 6.10 m. Tìm vận tốc chuyển động của
electrôn.
7. Electrôn
không vận tốc ban đầu được
gia tốc bởi
một hiệu điện thế U. Tính U
biết rằng
chuyển
de
Đáp số:
sau khi gia tốc hạt
động ứng với bước sóng
-10
Broglie 10 m.
8. Một hạt mang điện được gia tốc bởi hiệu điện thế U = 200V, có bước sóng de
-8
Broglie λ = 0,0202.10 m và điện tích về trị số bằng điện tích của electrôn. Tìm
khối lượng của hạt đó.
Đáp số:
9. Electrôn
có
động
84
-6
năng Eđ = 15eV, chuyển động trong một giọt kim loại kích thước d = 10 m.
Xác định độ bất định về vận tốc của hạt đó.
Đáp số:
10. Hạt vi mô có độ bất định về động lượng bằng 1% động lượng của nó. Xác
định tỷ số giữa bước sóng de Broglie và độ bất định về toạ độ của hạt.
Đáp số:
11. Viết
đối với hạt vi mô:
phương trình Schrodinger
1. Chuyển động một chiều trong trường thế
2. Chuyển động trong trường tĩnh điện Coulomb
Đáp số: 1.
, 2.
12. Dòng hạt có năng lượng E xác định chuyển động theo phương x từ trái sang
phải đến gặp một hàng rào thế năng xác định bởi:
Xác định hệ số phản xạ và hệ số truyền qua hàng rào thế đối với electrôn đó.
Đáp số:
Giải phương trình Schrodinger ở hai miền I
và II. Trong miền I hàm sóng
thoả
mãn:
Đặt
, nghiệm của phương
trình:
ikx
-ikx
Số hạng Ae mô tả sóng truyền từ trái sang phải (sóng tới), số hạng Be mô tả
sóng truyền từ phải sang trái (sóng phản xạ trong miền I).
Trong miền II, hàm sóng thoả mãn:
Đặt
d 2 2 2m0
( E U 0 ) 2 0
dx 2
2me
( E U 0 ) k12 , phương trình có nghiệm tổng quát: . Trong miền II chỉ có
2
sóng truyền từ trái sang phải nên D = 0. Vậy .
Để tìm A, B, C ta viết điều kiện liên tục của hàm sóng và của đạo hàm cấp 1 của
85
d 1 ( 0) d 2 ( 0)
dx
dx
A B k B k k1
Ta được: A+B=C, k ( A B) k1C
,
A B k1 A k k1
hàm sóng: 1 0 2 0,
Hệ số phản xạ:
Hệ số truyền qua:
CHƯƠNG III: VẬT LÍ NGUYÊN TỬ VÀ HẠT NHÂN
Năm 1911 dựa trên kết quả thí nghiệm về sự tán xạ của các hạt α qua lá
kim loại mỏng, Rutherford đã đưa ra mẫu hành tinh nguyên tử. Theo mẫu này,
nguyên tử gồm một hạt nhân mang gần như toàn bộ khối lượng nguyên tử nằm ở
tâm, xoay quanh có các electrôn chuyển động. Hạt nhân tích điện dương, điện
tích âm của các electrôn có giá trị bằng giá trị điện tích dương của hạt nhân.
Nhưng theo thuyết điện từ cổ điển, khi electrôn chuyển động có gia tốc xung
quanh hạt nhân tất yếu sẽ phải bức xạ năng lượng và cuối cùng sẽ rơi vào hạt
nhân. Như vậy nguyên tử sẽ không tồn tại. Đó là một khó khăn mà mẫu nguyên
tử của Rutherford gặp phải. Thêm vào đó, khi nghiên cứu quang phổ phát sáng
của nguyên tử Hiđrô, người ta thu được quang phổ vạch. Các sự kiện đó vật lí cổ
điển không thể giải thích được.
Dựa trên những thành công của lí thuyết lượng tử của Planck và Einstein,
năm 1913 Bohr đã đề ra một lí thuyết mới về cấu trúc nguyên tử, khắc phục
những mâu thuẫn của mẫu hành tinh nguyên tử của Rutherford. Tuy nhiên, bên
cạnh những thành công rõ rệt, thuyết Bohr cũng bộc lộ những thiếu sót và hạn
chế không sao khắc phục nổi. Thuyết Bohr được vận dụng thành công để giải
thích qui luật của quang phổ nguyên tử Hiđrô, nhưng nhiều đặc trưng quan trọng
khác của phổ và đối với những nguyên tử có nhiều electrôn thì lí thuyết của
Bohr không thể giải quyết được. Đó chính là tiền đề cho sự ra đời của cơ học
lượng tử, nền tảng của một lí thuyết hoàn toàn mới có khả năng giải quyết đúng
đắn và chính xác mọi hiện tượng và quy luật của thế giới vi mô và Bohr đã trở
thành một trong những người đã đặt nền móng cho môn cơ học mới đó khi ông
bắc nhịp cầu giữa hai thế giới vật lí: thế giới vĩ mô và thế giới vi mô.
86
Trong chương này chúng ta sẽ vận dụng những kết quả của cơ học lượng tử
để nghiên cứu phổ và đặc tính của các nguyên tử.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Vận dụng cơ học lượng tử để nghiên cứu những tính chất của nguyên tử
hiđrô. Từ đó rút ra những kết luận cơ bản.
2. Hiểu được cấu tạo và tính chất của hạt nhân. Đặc điểm tương các giữa các hạt
nhân.
II. NỘI DUNG
3.1. NGUYÊN TỬ HIĐRÔ
1. Chuyển động của electrôn trong nguyên tử hiđrô
Nguyên tử Hiđrô gồm có hạt nhân
mang điện tích +e và một electrôn mang
điện tích -e. Hạt nhân được coi là đứng
yên, còn electrôn quay xung quanh. Ta
lấy hạt nhân làm gốc O của hệ toạ độ và r
là khoảng cách từ electrôn đến hạt nhân
(hình 8-1). Tương tác giữa hạt nhân và
electrôn là tương tác Coulomb (Culông).
Thế năng tương tác là:
Hình 3-1
Do đó phương trình Schrodinger có dạng:
(3-1)
Vì bài toán có tính đối xứng cầu, để thuận tiện ta giải nó trong hệ toạ độ cầu với
ba biến là r, θ, φ. Hàm sóng trong hệ tọa độ cầu sẽ là
toạ độ Đề các sang hệ toạ độ cầu
.
Toán tử Laplace trong hệ toạ độ cầu:
(hình
. Biến đổi từ hệ
8-1) ta có:
(3-2)
Thay (8-2) vào (8-1) ta có phương trình Schrodinger trong toạ độ cầu:
1 2
1
1
2 2me
e2
(
r
)
(sin
)
(
E
) 0
r 2 r
r
r 2 sin
r 2 sin 2 2
2
4 0 r
(3-3)
Phương trình này được giải bằng phương pháp phân li biến số. Ta đặt :
trong đó hàm xuyên tâm R(r) chỉ phụ thuộc độ lớn của r, còn hàm Y(θ,φ) phụ
thuộc vào các góc θ,φ. Giải phương trình Schrodinger người ta nhận được biểu
thức của năng lượng và hàm sóng.
Biểu thức năng lượng của electrôn trong nguyên tử Hiđrô:
87
(3-4)
-1
R là hằng số Rydberg (Rittbe), R = 3,27.10 s , đã được thực nghiệm kiểm
chứng, n có giá trị nguyên dương, được gọi là số lượng tử chính.
Hàm xuyên tâm R(r) = Rn phụ thuộc hai số lượng tử n,
ố nguyên l
được gọi là số lượng tử quỹ đạo. Hàm Y(θ,φ) phụ thuộc vào hai số lượng tử l và
m. Số nguyên m được gọi là số lượng tử từ. Như vậy hàm sóng của electrôn có
dạng :
15
(r,θ,φ) = Rn (r)Ym (θ,φ)
(3-5)
trong đó số lượng tử chính n lấy các giá trị n = 1, 2, 3...
số lượng tử quỹ đạo lấy các giá trị = 0, 1, 2,..., n-1
số lượng tử từ m lấy các giá trị m = 0, ±1, ±2,...,± .
Dạng của Rn và Y rất phức tạp. Dưới đây, ta nêu một số dạng cụ thể của
các hàm đó:
trong đó
....
, a bằng bán kính Bohr.
Từ các kết quả trên ta thu được một số kết luận sau đây.
2. Các kết luận
a. Năng lượng của electrôn trong nguyên tử hiđrô chỉ phụ thuộc vào số
nguyên n (công thức 8-4). Ứng với mỗi số nguyên n có một mức năng lượng,
như vậy năng lượng biến thiên gián đoạn, ta nói năng lượng bị lượng tử hoá. En
luôn âm, khi
. Năng lượng tăng theo n.
Mức năng lượng thấp nhất E1 ứng với n = 1 được gọi là mức năng lượng cơ
bản. Các mức năng lượng lần lượt tăng theo thứ tự E2 < E3 < E4 ... Sơ đồ các
mức năng lượng trong nguyên tử hiđrô được biểu diễn trong hình 8-2. Càng lên
cao, các mức năng lượng càng xích lại và khi n → ∞ năng lượng biến thiên liên
tục. Trong vật lí nguyên tử người ta kí hiệu E1: mức K, E2 : mức L, E3 : mức
M...
b. Năng lượng ion hoá của nguyên tử Hiđrô
Đó là năng lượng cần thiết để electrôn bứt ra khỏi nguyên tử, có nghĩa là
electrôn sẽ chuyển từ mức năng lượng cơ bản E1 sang mức năng lượng E∞:
Giá trị này cũng phù hợp với thực nghiệm.
88
c. Giải thích cấu tạo vạch của
quang phổ Hiđrô
Khi không có kích thích bên ngoài
electrôn bao giờ cũng ở trạng thái
cơ bản (ứng với mức E1). Dưới tác
dụng của kích thích, electrôn nhận
năng lượng chuyển lên trạng thái
kích thích ứng với mức năng lượng
En cao hơn. Electrôn chỉ ở trạng thái
-
này trong thời gian rất ngắn (~10
8
Hình 3-2: Sơ đồ phổ hiđrô: a. Dãy
s), sau đó trở về mức năng lượng
En’ thấp hơn. Trong quá trình Lyman, b. Dãy Balmer, c. Dãy Paschen
chuyển mức từ En→En’ electrôn bức
xạ năng lượng dưới dạng sóng điện
từ, nghĩa là phát ra phôtôn năng
lượng . Theo định luật bảo toàn
năng lượng:
(3-6)
hay
(3-7)
Đây chính là tần số của vạch quang phổ được phát ra.
Khi n’=1 ta có:
n = 2,3,4...
Các vạch quang phổ tuân theo công thức này hợp thành một dãy có bước sóng
trong vùng tử ngoại, gọi là dãy Lyman.
Khi n’= 2, n = 3,4,5... ta có các vạch nằm trong dãy Balmer, có bước sóng trong
vùng nhìn thấy:
Khi n’= 3, n = 4,5,6... ta có các vạch nằm trong dãy Paschen, có bước sóng trong
vùng hồng ngoại:
Tiếp đến là dãy Bracket, Pfund trong vùng hồng ngoại. Sơ đồ các dãy được
cho trên hình 8-2.
d. Trạng thái lượng tử của electrôn
Trạng thái của electrôn được mô tả bởi hàm sóng:
89
(3-8)
trong đó n: số lượng tử chính, n = 1, 2...
: số lượng tử quĩ đạo, = 0, 1, 2...(n-1).
m: số lượng tử từ, m = 0,
.
Hàm sóng phụ thuộc vào các số lượng tử n, l , m. Do đó, nếu ít nhất một
trong ba chỉ số n, l , m khác nhau ta đã có một trạng thái lượng tử khác. Ta thấy
ứng với mỗi giá trị của n, có n giá trị khác nhau và ứng với mỗi giá trị của l ta
có 2 +1 giá trị khác nhau của m, do đó với mỗi giá trị của n ta có số trạng thái
lượng tử bằng:
(3-9)
Như vậy ứng với một số lượng tử n, tức là với mỗi mức năng lượng En,, ta
2
có n trạng thái lượng tử khác nhau.
Ví dụ:
n
l
m
1
0
0
2
0
0
1
Số trạng thái
1
ψ
4
ψ
-1
0
1
Năng lượng E1 (mức năng lượng thấp nhất) có một trạng thái lượng tử.
2
Trạng thái lượng tử ở mức E1 được gọi là trạng thái cơ bản. En có n trạng thái
2
lượng tử, ta nói En suy biến bậc n . Các trạng thái lượng tử ở các mức năng
lượng lớn hơn E1 được gọi là trạng thái kích thích.
Trạng thái lượng tử được kí hiệu theo các số lượng tử, cụ thể bằng nx, n là
số lượng tử chính, còn x tùy thuộc vào số lượng tử quĩ đạo như sau:
0
1
2
3
x
s
p
d
f
Ví dụ: trạng thái 2s là trạng thái có n = 2 và = 0.
e. Xác suất tìm electrôn trong thể tích dV ở một trạng thái nào đó
Vì
là mật độ xác suất, nên xác suất tồn tại của electrôn trong thể tích
dV ở tọa độ cầu là:
(3-10)
trong đó phần chỉ phụ thuộc khoảng cách r, biểu diễn xác suất tìm electrôn tại
một điểm cách hạt nhân một khoảng r, còn
biểu diễn xác
suất tìm electrôn theo các góc (θ,φ).
Ta xét trạng thái cơ bản (n = 1). Khi n = 1, l = 0, hàm xuyên tâm ở trạng
90
thái cơ bản là R1,0. Xác suất cần tìm w1,0 bằng
Hình 3-3 biểu diễn sự phụ thuộc của w1,0 theo r. Để tìm bán kính r ứng với
xác suất cực đại ta lấy đạo hàm của w1,0 theo r, rồi cho đạo hàm bằng 0. Kết quả
ta tìm được w1,0 có cực trị tại r=0 và r = a. Giá trị
r = 0 bị loại, vì hạt electrôn không thể rơi vào hạt nhân. Vậy xác suất cực đại
-10
ứng với bán kính r = a = 0,53.10 m. Khoảng cách này đúng bằng bán kính của
nguyên tử hiđrô theo quan niệm cổ điển. Từ kết quả trên ta đi đến kết luận:
electrôn trong nguyên tử không chuyển động theo một quĩ đạo nhất định mà bao
quanh hạt nhân như “đám mây”, đám mây này dày đặc nhất ở khoảng cách ứng
với xác suất cực đại. Kết quả này phù hợp với lưỡng tính sóng hạt của vi hạt.
Electrôn cũng phân bố theo góc. Ở trạng thái s (l =0, m = 0) xác suất tìm
thấy electrôn:
không phụ thuộc góc, như vậy phân bố có tính đối xứng cầu. Hình 8-4 biểu diễn
phân bố xác suất phụ thuộc góc ứng với các trạng thái s, p.
Hình 8-3: Sự phụ thuộc r của xác
suất tìm hạt ở trạng thái đ
cơ bản
Hình 8-4: Phân bố electrôn theo góc
à p (=1)
3.2 CẤU TẠO VÀ TÍNH CHẤT CỦA HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ
1.Cấu tạo hạt nhân.
Hạt nhân nguyên tử được cấu tạo từ hai loại hạt proton và nơtron
*Proton ( p): m p 1,67252.10 27 kg 1,007277u . Proton mang điện tích
q p e 1,6.10 19 C
Số proton có trong hạt nhân bằng số electron quay quanh hạt nhân và bằn số thứ
tự của nguyên tố trong bảng hệ thống tuần hoàn.
91
*Nơtron ( n ): mn 1,67428.10 27 kg 1,00867u .
Hạt nơtron không mang điện, gọi số nowtron trong hạt nhân là N, gọi A là số
nuclôn: A N Z ; N A Z
Đơn vị khối lượng: kg, u, MeV/c2: 1 1,6655.10 27 kg 931,5
*Kí hiệu hạt nhân : ZA X
Trong đó A là số nuclon; Z là số proton.
*Các đồng vị: là các hạt nhân có cùng số nguyên tử Z
MeV
c2
*Các idôtôn là các hạt nhân có cùng số nơtron.
*Các hạt nhân đồng khối: là các hạt nhân có cùng số khối A
2.Kích thước hạt nhân.
Phụ thuộc vào số nuclon có trong hạt nhân.
Gọi R là bán kính hạt nhân, kết quả thực nghiệm xác định được bàn kính hạt
1
3
nhân: R R0 A ; R0 (1,2 1,5).10 15 m
3.Lực hạt nhân.
Là lực liên kết giữa các nuclon.
a.Tính chất:
-Lực hạt nhân là lực tương tác gần, chỉ có tác dụng vào khoảng các cỡ fm.
-Lực hạt nhân là lực bão hòa: Mỗi nuclon chỉ tương tác với nuclon khác lân cận
nó
-lực hạt nhân không phụ thuộc vào nuclon có tích điện hay không tích điện.
b.Bản chất lực hạt nhân.
Là một loại lực trao đổi, nó là một quá trình trao đổi các mezon. Khi
nuclon này nhả mezon thi nuclon kia hấp thụ .
Có ba loại mezon: ; ; 0 chúng tương tác với nhau theo phản ứng sau:
p n (n ) n ( p ) p n p
p n p (p ) (p ) p p n
p p p (p 0) p (p 0) p p
n n (n 0 ) n n (n 0 ) n n
4.Năng lượng liên kết hạt nhân:
a.Độ hụt khối hạt nhân: m Zm p ( A Z )mn m X
b.Năng lượng liên kết: Elk mc 2
c.Năng lượng liên kết riêng:
Elk
A
3.3 HIỆN TƯỢNG PHÓNG XẠ
1.Hiện tượng phóng xạ:
Là hiện tượng hạt nhân của một nguyên tố tự động phát ra những bức xạ
và chuyển thành hạt nhân của nguyên tố khác và đi kèm các tia bức xạ gọi là tia
phóng xạ. Hạt nhân đó gọi là hạt nhân của chất phóng xạ, nguyên tố phóng xạ.
a.Các loại tia phóng xạ:
92
-Tia là chùm hạt nhân của nguyên tử Hêli: 24 He
-Tia + là chùm pôzitron ( electron dương )
-Tia - là chùm electron
-Tia là bức xạ điện từ có bước sóng ngắn
2.Định luật phóng xạ.
a.Định luật: Nếu lúc đầu có N0 hạt nhân mẹ không bền thì hạt nhân mẹ còn lại
sau thời gian t sẽ là : N N 0 e t ; với gọi là hằng số phân rã phụ thuộc vào quá
trình phân rã cho trước.
-Tương tự cho khối lượng: m m0 e t với m0 là khối lượng hạt nhân mẹ lúc đầu.
b.Chu kỳ bán rã T: Là khoảng thời gian cần thiết để số ạt nhân mẹ giảm đi một
nửa.
T
-Thời gian sống trung bình : Tm
1
ln 2
T
ln 2
0,693
c.Độ phóng xạ H: Là tốc độ phân rã của một mẫu phóng xạ.
dN
N 0 e t N
dt
Đơn vị: Bq = phân rã/ giây hay Ci: 1Ci 3,7.1010 Bq
H
3.4 TƯƠNG TÁC HẠT NHÂN
1.Các loại tương tác hạt nhân: Có 3 loại tương tác hạt nhân:
-Va chạm đàn hồi: Không có sự biến đổi hạt nhân mà chỉ có sự thay đổi động
năng hay động lượng.
-Va chạm không đàn hồi: trạng thái hạt nhân thay đổi
-Va chạm có sự biến đổi bản chất: Đó là phản ứng hạt nhân
-Phản ứng hạt nhân là sự tương tác giữa hai hạt nhân mà kết quả tạo ra các hạt
nhân mới mà phương trình là: zA X zA X zA X zA X
1
2
3
4
1
2
3
4
2.Các định luật bảo toàn trong phản ứng hạt nhân:
a.Định luật bảo toàn điện tích: (Z i ) t (Z k ) s
b.Định luật bảo toàn số nuclon: (Ai ) t (Ak ) s
c.Định luật bảo toàn động lượng: ( P i ) t ( P k ) s
d.Định luật bảo toàn năng lượng: (Ei ) t (E k ) s
e.ĐỊnh luật bảo toàn mômen động lượng: ( j i ) t ( j k ) s
3.Phản ứng thu và phản ứng tỏa năng lượng.
-Không có định luật bảo toàn khối lượng trong phản ứng hạt nhân, có nghĩa là
93
khối lượng có sự chênh lệch m mi mk
-Năng lượng tỏa ra hoặc thu vào sau phản ứng hạt nhân là Q mc 2
-Nếu Q > 0: Phản ứng tỏa năng lượng.
-Nếu Q < 0: Phản ứng thu năng lượng.
-Có hai loại phản ứng tỏa năng lượng đó là phản ứng Phân hạch và phản ứng
nhiệt hạch.
III.TÓM TẮT NỘI DUNG.
1.Nguyên tử rô Chúng ta nghiên cứu chuyển động của electrôn ong ngun tử
hiđrô trên cơ sở phương trình Schrodinger, phương trình cơ bản của cơ học
lượng tử
94
1.Cấu tạo hạt nhân.
Hạt nhân nguyên tử được cấu tạo từ hai loại hạt proton và nơtron
*Proton ( p): m p 1,67252.10 27 kg 1,007277u . Proton mang điện tích
q p e 1,6.10 19 C
Số proton có trong hạt nhân bằng số electron quay quanh hạt nhân và bằn số thứ
tự của nguyên tố trong bảng hệ thống tuần hoàn.
*Nơtron ( n ): mn 1,67428.10 27 kg 1,00867u .
Hạt nơtron không mang điện, gọi số nowtron trong hạt nhân là N, gọi A là số
nuclôn: A N Z ; N A Z
Đơn vị khối lượng: kg, u, MeV/c2: 1 1,6655.10 27 kg 931,5
*Kí hiệu hạt nhân : ZA X
Trong đó A là số nuclon; Z là số proton.
*Các đồng vị: là các hạt nhân có cùng số nguyên tử Z
MeV
c2
*Các idôtôn là các hạt nhân có cùng số nơtron.
*Các hạt nhân đồng khối: là các hạt nhân có cùng số khối A
2.Kích thước hạt nhân.
Phụ thuộc vào số nuclon có trong hạt nhân.
Gọi R là bán kính hạt nhân, kết quả thực nghiệm xác định được bàn kính hạt
1
nhân: R R0 A 3 ; R0 (1,2 1,5).10 15 m
3.Lực hạt nhân.
Là lực liên kết giữa các nuclon.
a.Tính chất:
-Lực hạt nhân là lực tương tác gần, chỉ có tác dụng vào khoảng các cỡ fm.
-Lực hạt nhân là lực bão hòa: Mỗi nuclon chỉ tương tác với nuclon khác lân cận
nó
-lực hạt nhân không phụ thuộc vào nuclon có tích điện hay không tích điện.
b.Bản chất lực hạt nhân.
Là một loại lực trao đổi, nó là một quá trình trao đổi các mezon. Khi
nuclon này nhả mezon thi nuclon kia hấp thụ .
Có ba loại mezon: ; ; 0 chúng tương tác với nhau theo phản ứng sau:
p n (n ) n ( p ) p n p
p n p (p ) (p ) p p n
p p p (p 0) p (p 0) p p
n n (n 0 ) n n (n 0 ) n n
4.Năng lượng liên kết hạt nhân:
a.Độ hụt khối hạt nhân: m Zm p ( A Z )mn m X
b.Năng lượng liên kết: Elk mc 2
c.Năng lượng liên kết riêng:
2.Định luật phóng xạ.
Elk
A
95
a.Định luật: Nếu lúc đầu có N0 hạt nhân mẹ không bền thì hạt nhân mẹ còn lại
sau thời gian t sẽ là : N N 0 e t ; với gọi là hằng số phân rã phụ thuộc vào quá
trình phân rã cho trước.
-Tương tự cho khối lượng: m m0 e t với m0 là khối lượng hạt nhân mẹ lúc đầu.
b.Chu kỳ bán rã T: Là khoảng thời gian cần thiết để số ạt nhân mẹ giảm đi một
nửa.
T
ln 2
T
-Thời gian sống trung bình : Tm
ln 2
1
0,693
c.Độ phóng xạ H: Là tốc độ phân rã của một mẫu phóng xạ.
dN
N 0 e t N
dt
Đơn vị: Bq = phân rã/ giây hay Ci: 1Ci 3,7.1010 Bq
H
2.Các định luật bảo toàn trong phản ứng hạt nhân:
a.Định luật bảo toàn điện tích: (Z i ) t (Z k ) s
b.Định luật bảo toàn số nuclon: (Ai ) t (Ak ) s
c.Định luật bảo toàn động lượng: ( P i ) t ( P k ) s
d.Định luật bảo toàn năng lượng: (Ei ) t (E k ) s
e.ĐỊnh luật bảo toàn mômen động lượng: ( j i ) t ( j k ) s
3.Phản ứng thu và phản ứng tỏa năng lượng.
-Không có định luật bảo toàn khối lượng trong phản ứng hạt nhân, có nghĩa là
khối lượng có sự chênh lệch m mi mk
-Năng lượng tỏa ra hoặc thu vào sau phản ứng hạt nhân là Q mc 2
-Nếu Q > 0: Phản ứng tỏa năng lượng.
-Nếu Q < 0: Phản ứng thu năng lượng.
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1. Hãy nêu các kết luận của cơ học lượng tử trong việc nghiên cứu nguyên tử
Hiđrô về:
a. Năng lượng của electrôn trong nguyên tử Hiđrô.
b. Cấu tạo vạch của quang phổ Hiđrô.
c. Độ suy biến của mức En.
2.Hãy nêu cấu tạo của hạt nhân nguyên tử. Vì sao các nuclon lai liên kết chặt
chẽ với nhau.
3.Năng lượng liên kết hạt nhân là gì? Năng lượng của phản ứng hạt nhân được
xác định như thế nào ?
96
PHỤ LỤC
MỘT SỐ HẰNG SỐ VẬT LÝ CƠ BẢN
Hằng số
Ký hiệu
97
Vận tốc ánh sáng trong
chân không
Điện tích nguyên tố
Khối lượng electrôn
Khối lượng prôtôn
Khối lượng nơtrôn
Hằng số Placnk
Bước sóng Compton của
electrôn
Hằng số Avogadro
Hằng số Boltzman
Hằng số Stephan –
Boltzman
Hằng số Wien
Hằng số Rydberg
Bán kính Bohr
98
Manhêtôn
Bohr
c
e
me
mp
mn
h
λc
NA
k
σ
b
R
rB
μB
8
3.10 m/s
-19
1,6.10 C
-31
9,11.10 kg =
-4
5,49.10 u
-27
1,67.10 kg =
1,0073u
-27
1,68.10 kg =
1,0087u
-34
6,625.10 J.s
-12
2,426.10 m
23
-1
6,023.10 mol
-23
1,38.10 J/K
-8
2 4
5,67.10 W/m K
-3
2,868.10 m.K
15 -1
3,29.10 s
-10
0,529.10 m