Mô tả:
Bài toán vật lý
• Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động
thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm
số có đạo hàm.
• Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)
• Trong thực tế có khi ta gặp bài toán
ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình
chuyển động s=f(t).
Từ đó ta có bài toán: Cho hàm số f(x) xác định
trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên
khoảng đó: F’(x)=f(x).
&1. NGUYÊN HÀM
I. Nguyên hàm và tính chất :
II. 1. Nguyên hàm :
a. Định nghĩa:
Hàm số y = f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K.
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những
hàm số nào?
a. F(x) = x2
b. F(x) = x2 + 3
c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên
Hãy chọn phương án đúng
Nhận xét
• Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy
ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên
R.
• Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý)
đều là nguyên hàm của hàm số
trªn các khoảng x¸c ®Þnh.
1
g(x) 2
cos x
Tổng quát ta có định lý:
b.Định lý:
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng K thì:
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với
C là một hằng số.
F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x)
kí hiệu :
f ( x).dx F ( x) C
2.Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1 :
Tính chất 2 :
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
C
..(
k
0)
Tính chất 3 :
f ( x)dx f ( x) C
/
[
f
(
x
)
g
(
x
)]
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
3. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K.
4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
x
. 0dx C
a
x
2 .
3 .
dx
4 .
1
1
dx
d x ln x C 8.
2
cos x
x
1
5. a dx
X+C
ln a
6. cos x .dx Sinx + C
1 1
x dx
x C7. sin x .dx
1
5 . e d x e C
x
x
C
- Cosx + C
Tanx + C
1
9.
dx - cotx + C
2
sin x
VD: Tính nguyên hàm
1
2
1
3
1. (3 x
) dx 3 x d x x d x
1
x
3 4
x 2x2 C
4
3
2, (2sin x 2 )dx 2 sin xd x 2 2 d x
x1
x
x
2
2 cos x 2
C
ln 2
1
3, 2 sin 2 x.cos xdx .2( sin xdx sin 3xdx)
2
1
cos x cos3x C
3
Qua bài học ta đã biết
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách
chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm
của 1 hàm số cho trước.
- Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm
1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C.
VD 2:
Chứng minh rằng:
t
a
n
x
x
C
tan
x
.
dx
2
Ta có :
tan
xdx
.
2
(1
tan
x
1)
dx
2
1
( 2 1)dx tan x x C
cos x
1
Hàm số F(x) cos 2x là nguyên
2 3
hàm của hàm số nào sau đây?
1
a.
c.
f1 x sin 2x
3
b.
1
f2 x sin 2x
2 3
f3 x sin 2x
2 3
d.
f4 x sin 2x
3
ax 1
2. Xác định a để hàm số Fx
là
x 1
một nguyên hàm của hàm số f x
1
x 1
2
a 1
trên R \ 1
1 1
a
1
/
Ta có
F ( x)
2
2
( x 1)
(x 1)
Suy ra : - a – 1 = 1
Vậy a = - 2
3. Cho f x
x1
2x1
và F x ax b 2. x 1
Xác định a, b để F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên 1 ;
2
GIẢI:
1
F ( x ) a. 2 x 1 ( ax b).
2
x
1
a(2x 1) ax b 3ax a b
1
2x 1
2x 1
a
/
Suy ra :
3a 1
a b 1
3
b 2
3
4. Xác định a, b, c sao cho hàm số
F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm
của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R.
1
Hàm số F ( x ) 2 x là một nguyên
hàm của hàm số nào sau đây?
a. f1 x x
b.
f2
x
1
2x
x
c.
d.
f3
x
f4 x
1
4x
x
1
4x x
Bài tập:
Tìm F(x) biết
F(x)
2 xdvàx F(1)=3.
Hướng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3 1+C=3C=2
Vậy F(x)=x2+2
II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số:
a. Định lý 1: Nếu
và u = u(x) là hàm số có
đạo hàm liên tục thì:
b.Phương pháp:
B1: đặt u = u(x)
B2: tính du = u’(x)dx
B3: tính
f (u)dx F (u) C
f
(
u
)
u
(
x
)
dx
F
(
u
(
x
))
C
/
f (u)u ( x)dx F (u( x)) C
/
VD: Tính các nguyên hàm sau:
1.
( 2 x 1) d x
B1: Đặt u = 2x+1
B2: du = 2dx
B3:
5
du
(2 x 1) dx u . 2
1
1
1 6
6
5
u du u C (2x 1) C
12
2
12
5
5
VD: tính các nguyên hàm sau
2.
x
x 5 .d x
2
3
B1: Đặt u x 5
2
B2:
du 3x dx
B3:
3
du
x dx
3
2
du
x x 5.dx u . 3
3
1
3
2
2
2
3
2
2
u .du u C (x 5)2 C
9
9
9
2
3
- Xem thêm -
.PDF 
23 
243 
74 
