Tài liệu Bài giảng nguyên hàm toán 12

  • Số trang: 23 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 116 |
  • Lượt tải: 0
vndoc

Đã đăng 7399 tài liệu

Mô tả:

Bài toán vật lý • Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm. • Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t) • Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t). Từ đó ta có bài toán: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x). &1. NGUYÊN HÀM I. Nguyên hàm và tính chất : II. 1. Nguyên hàm : a. Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những hàm số nào? a. F(x) = x2 b. F(x) = x2 + 3 c. F(x) = x2 - 4 d. Tất cả các hàm số trên Hãy chọn phương án đúng Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R. • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số trªn các khoảng x¸c ®Þnh. 1 g(x)  2 cos x Tổng quát ta có định lý: b.Định lý: • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì: *Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. *Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số. F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x) kí hiệu :  f ( x).dx  F ( x)  C 2.Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 :  Tính chất 2 : kf ( x ) dx  k f ( x )  C ..( k  0)   Tính chất 3 : f ( x)dx  f ( x)  C / [ f ( x )  g ( x )] dx  f ( x ) dx  g ( x ) dx    3. Sự tồn tại nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp x . 0dx  C a x  2 . 3 . dx  4 . 1 1 dx  d x  ln x  C 8. 2 cos x x 1 5. a dx  X+C ln a 6. cos x .dx  Sinx + C 1 1 x dx  x C7. sin x .dx  1  5 . e d x  e  C x x C - Cosx + C Tanx + C 1 9. dx  - cotx + C 2 sin x VD: Tính nguyên hàm 1  2 1 3 1. (3 x  ) dx  3  x d x   x d x 1 x 3 4  x  2x2  C 4 3 2,  (2sin x 2 )dx  2  sin xd x  2  2 d x x1 x x 2   2 cos x  2 C ln 2 1 3,  2 sin 2 x.cos xdx  .2(  sin xdx   sin 3xdx) 2 1   cos x  cos3x  C 3 Qua bài học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước. - Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C. VD 2: Chứng minh rằng: t a n x  x  C tan x . dx   2 Ta có : tan xdx .   2 (1  tan x  1) dx  2 1   ( 2  1)dx  tan x  x  C cos x 1    Hàm số F(x)  cos  2x  là nguyên 2 3  hàm của hàm số nào sau đây?  1    a. c. f1  x  sin 2x   3  b. 1   f2 x  sin 2x 2 3  f3  x  sin   2x  2 3  d.   f4 x  sin 2x 3  ax 1 2. Xác định a để hàm số Fx  là x 1 một nguyên hàm của hàm số f x  1 x 1 2 a 1  trên R \ 1   1 1   a  1  / Ta có F ( x)   2 2 ( x  1) (x 1) Suy ra : - a – 1 = 1 Vậy a = - 2 3. Cho f x  x1 2x1 và F x  ax  b 2. x 1 Xác định a, b để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên   1 ;     2 GIẢI:   1 F ( x )  a. 2 x  1  ( ax  b). 2 x  1 a(2x 1)  ax  b 3ax  a  b   1  2x  1 2x  1 a / Suy ra :  3a  1  a  b  1  3  b  2  3 4. Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R. 1 Hàm số F ( x )  2 x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? a. f1  x   x b. f2 x 1  2x x c. d. f3 x   f4  x   1 4x x 1 4x x Bài tập: Tìm F(x) biết F(x)   2 xdvàx F(1)=3. Hướng dẫn: F(x)=x2+C Mà F(1)=3  1+C=3C=2 Vậy F(x)=x2+2 II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số: a. Định lý 1: Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì: b.Phương pháp: B1: đặt u = u(x) B2: tính du = u’(x)dx B3: tính   f (u)dx  F (u)  C f ( u ) u ( x ) dx  F ( u ( x ))  C  / f (u)u ( x)dx  F (u( x))  C / VD: Tính các nguyên hàm sau: 1.  ( 2 x  1) d x B1: Đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: 5 du  (2 x  1) dx   u . 2 1 1 1 6 6 5   u du  u  C  (2x 1)  C 12 2 12 5 5 VD: tính các nguyên hàm sau 2.  x x  5 .d x 2 3 B1: Đặt u  x 5 2 B2: du  3x dx B3: 3 du  x dx  3 2 du  x x  5.dx   u . 3 3 1 3 2 2 2 3 2 2   u .du  u  C  (x  5)2  C 9 9 9 2 3
- Xem thêm -