Tài liệu Bài giảng khối đa diện lồi và khối đa diện đều

BÀI 2 I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI A A B B Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với hai điểm A,B bất kỳ thuộc khối đa diện, ta có mọi điểm của đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đa diện. II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau: • Mỗi mặt là một đa giác đều p cạnh. • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của q mặt. • Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p;q}. .CÁC LOẠI ĐA DIỆN ĐỀU Loại {3;3}: Tứ diện đều Số mặt: 4 Số đỉnh: 4 Số cạnh: 6 Loại {4;3}: Lập phương Số mặt: 6 Số đỉnh: 8 Số cạnh: 12 Loại {3;4}: Bát diện đều Số mặt: 8 Số đỉnh: 6 Số cạnh: 12 Loại{5;3}: Mười hai mặt đều ( thập nhị diện đều) . Số mặt : 12 .Số đỉnh : 20 . Số cạnh : 30 Loại {3;5}: Hai mươi mặt đều (Nhị thập diện đều) .Số mặt: 20 .Số đỉnh: 12 .Số cạnh: 30 III. VÍ DỤ Cho khối bát diện đều ABCDEF. a. Cmr :AF(BCDE) , EC ( ABFD) BD(ACFE) A B E . Dễ thấy : D BA=BF=CA=CF=DA=DF=EA=EF nên B, C, D, E thuộc mp trung trực của AF. F Vậy AF  (BCDE) . Tương tự : A,B,F,D thuộc mp trung trực của EC nên EC (ABDE) . A,C,E,F thuộc mp trung trực của BD nên BD(ACFE) C b. CMR : các đọan thẳngAF;BD;CE đôi một vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. A B C E D F • C1: BD CE ( BCDE là hình thoi) AF BD , AF CE (do AF (BCDE)) Vậy AF,BD,CE dôi một vuông góc (*) Gọi O =ECBD. Do BCDE là hình thoi nên O là trung điểm của EC và BD (1) A Ta thấy: . A,O, F là các điểm chung của hai mp(ABFD) và (ACFE) B O AF  O là trung O (BCDE) O điểm AF (2) E D . Từ (1);(2) : AF,BD,CE cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (**) •Từ (*) ,(**) ta có đpcm F •C2 : BCDE, ABFD, ACFE là các hình thoi nên •các đường chéo EC, BD, AF đôi một vuông góc. •và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. C c.CMR : BCDE ,ADFB ,ACFE là các hình vuông. A B C O E D F AO (BCDE) tại O AB=AC=AD=AE  OB=OC=OD=OE Vậy BCDE là hình vuông. . CM tương tự : ADFB, ACFE là hình vuông.  BÀI TẬP Cho hình bát diện đều ABCDEF cạnh a: a. Tìm một mp đối xứng, một trục đối xứng và một tâm đối xứng của khối bát diện đều ABCDEF. b. M ,N theo thứ tự là trung điểm của AB và AE. Xác định giao tuyến của mp (OMN) với các mp (BCDE) ;(ACFE) ; (ABDF) c. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp (OMN) và khối bát diện. GIẢI a. Trục đối xứng: AF hoặc EC ; BD .Tâm đối xứng: O Mp đối xứng: (BCDE) hoặc (ABFD); (ACFE) A B C O E D F b. (OMN) (BCDE) =? Ta có: A O  (OMN )  ( BCDE)   MN / / BE  PS  (OMN )  ( BCDE) P: Trung điểm BC. S: trung điểm DE. M N B P O E D S F C A (OMN)(ACFE) Ta thấy :  N  (OMN )  ( ACFE)  ON / / EF  NQ  (OMN )  ( BCDE) Q: Trung điểm CF M N B P C O E D S Q F A (OMN)(ABFD) Ta thấy :  M  (OMN )  ( ABFD )  OM / / BF  MR  (OMN )  ( ABFD ) R : Trung điểm DF M N B P C O E D S Q R F c. Ta thấy: Thiết diện tạo bởi mp (OMN) với khối bát diện ABCDEF là lục giác đều NMPQRS cạnh a bằng 2 A N SNMPQRS= 6.SOMN (1) SOMN 2 3 a. 3  MN .  4 16 (2) 2 M E B P O D S Q Từ (1) ; (2) : R 2 2 SNMPQRS= 6. a . 3  3 3a (đvdt) 16 8 C F ()  ()  d  d1  ();d2  () : d1 / /d2 d d2 d1  d / /d1 (hay d2 ) A  PP tìm giao tuyến theo quan hệ song song  A  (  )  ( )   d 1 / /d 2 ( d 1  (  ); d 2  (  ))  (  )  (  )  A x ( A x / /d 1 / /d 2 ) 