TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
(Dùng cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi)
SECTION 12.1 DOUBLE INTEGRALS OVER RECTANGLES
◆
843
and the corresponding approximations become more accurate when we use 16, 64, and
256 squares. In the next section we will be able to show that the exact volume is 48.
(a) m=n=4, VÅ41.5
(b) m=n=8, VÅ44.875
(c) m=n=16, VÅ46.46875
FIGURE 8 The Riemann sum approximations to the volume under z=16-≈-2¥ become more accurate as m and n increase.
ⱍ
EXAMPLE 2 If R 苷 兵共x, y兲 1 x 1, 2 y 2其, evaluate the integral
yy s1 x
2
dA
R
z
SOLUTION It would be very difficult to evaluate this integral directly from Definition 5
(0, 0, 1)
but, because s1 x 2 0, we can compute the integral by interpreting it as a volume. If z 苷 s1 x 2, then x 2 z 2 苷 1 and z 0, so the given double integral
represents the volume of the solid S that
below
the circular cylinder x 2 z 2 苷 1
Hàlies
nội
2013
and above the rectangle R. (See Figure 9.) The volume of S is the area of a semicircle
with radius 1 times the length of the cylinder. Thus
S
x
FIGURE 9
(1, 0, 0)
(0, 2, 0)
y
yy s1 x
2
dA 苷 12 共1兲2 4 苷 2
R
The Midpoint Rule
The methods that we used for approximating single integrals (the Midpoint Rule, the
Trapezoidal Rule, Simpson’s Rule) all have counterparts for double integrals. Here we
consider only the Midpoint Rule for double integrals. This means that we use a double
Mục lục
Chương 1. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
4
1.1. Hệ tọa độ Oxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Mặt trụ và mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4. Hệ tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5. Hệ tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6. Hàm véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.7. Hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.8. Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.9. Sự liên tục của hàm nhiều biến số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.10. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.11. Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.12. Ứng dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.13. Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.14. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.15. Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.16. Đạo hàm của hàm ẩn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.17. Cực trị tự do của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.18. Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . .
29
1.19. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến . . . . . . .
33
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
35
2.1. Tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2. Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3. Cách tính tích phân bội hai trong toạ độ Đề-các . . . . . . . . . . .
38
2.4. Phép đổi biến trong tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.5. Các ứng dụng của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.6. Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.7. Cách tính tích phân trong tọa độ đề các . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2
2.8. Phép đổi biến trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.9. Các ứng dụng của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT
71
3.1. Trường véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.2. Tích phân đường của trường véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.3. Định lý cơ bản của tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.4. Định lý Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.5. Curl và Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.6. Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.7. Ứng dụng của tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.8. Mặt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.9. Tích phân mặt của trường véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.10. Định lý Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.11. Định lý Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
Lời nói đầu
Bài giảng này được dành cho sinh viên của Trường Đại học Thủy lợi khi học môn
Toán 2 (Giải tích hàm nhiều biến số).
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
systems for three-dimensional space. This is the setting
for the study of functions of two variables because the
graph of such a function is a surface in space. Vectors
planes in space as well as velocities and acceleration
of objects that move in space.
Chương 1
9.1
Three-Dimensional Coordinate Systems
●
●
●
●
●
●
●
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
z
To locate a point in a plane, two numbers are necessary. We know that any
in the plane can be represented as an ordered pair 共a, b兲 of real numbers, whe
the x-coordinate and b is the y-coordinate. For this reason, a plane is calle
dimensional. To locate a point in space, three numbers are required. We represe
O
648
CHAPTER
VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE
point■in space
by9 an
ordered triple 共a, b, c兲 of real numbers.
In order to represent points in space, we first choose a fixed point O (the
1.1. Hệ tọa độ Oxyz
y
anythat
bottom
corner of a room
the corn
and three directed lines through O
are perpendicular
to and
eachcall
other,
call
xz-plane,
wall
on your
right is
the y
coordinate axes and labeled the xthe
-axis,
y-axis,the
and
z-axis.
Usually
weinthink
x
Quy tắc bàn tay phải
: Ngón tay cái hướng theo
chiều
Oz thì
hướng
quay
Thethe
x-axis
runs
along vertical,
the intersection
of thet
x- and
y-axesdương
as beingtrục
horizontal
and
z-axis
as being
and we draw
FIGURE 1
intersection
floor
and the righ
of the
axeschiều
as in Figure
Thethe
direction
of theofzthe
-axis
is determined
ngược chiều kim Coordinate
đồng hồaxes
từ chiều dương củaentation
trục Ox
đến
dương1.along
của
trục
Oy.
toward2:
theIfceiling
along
intersection
th
right-hand rule as illustrated in Figure
you curl
the the
fingers
of your of
righ
you can now imagine
around the zz-axis in the direction ofoctant,
a 90 and
counterclockwise
rotationseven
fromother
the p
z
on the points
same floor
four ondirection
the floo
x-axis to the positive y-axis, then (three
your thumb
in theand
positive
corner
point
O
.
z-axis.
P(a, b, c)
Now
P is coordinate
any point inplanes
space, let
a be the
The three coordinate axes determine
theifthree
illustrated
Pthat
, let contains
b be the the
distance
from
the the
xz-plane
to
ure 3(a). The xy-plane
is
the
plane
x
and
y
-axes;
yz-plan
c
O
-plane tothe
P. xWe
represent
point
P by
th
tains theay- and z-axes; the xz-planexycontains
- and
These
three
coor
z-axes. the
and we call a, b, and c the coordinates of P;
planes divide space into eight
650
■
CHAPTER 9 VECTORS AND
y parts, called octants. The first octant, in the
y THE GEOMETRY OF SPACE
nate,axes.
and c is the z-coordinate. Thus, to locate
x ground, is determined by the positive
b
x
gin O and move a units along the x-axis, the
A ⱍ2 ⱍ to
ABthe
FIGURE 2
and 4
ⱍ P1 B ⱍ2c units
ⱍ P1parallel
ⱍ2 z-axis as in Figure 4.
FIGURE
z
Hình
1.1:
Quy
tắc
bàn
tay
phải
và
tọa
độ
của
một
điểm.
Right-hand rule
The point P共a, b, c兲 determines
a rectangu
z
Combining these equations, we get pendicular from P to the xy-plane, we get a p
of P on the xy-plane. Similarly
Tọa độ của một điểm: Một điểm P có tọa độ (a, b, c) trong
đó a, the
b, projection
c được
xác
2
P1 P2 ⱍ2 ⱍ P1 A ⱍ2tions
ⱍ AB
BP2yz
of ⱍP
onⱍthe
ⱍ
ⱍ2-plane and xz-plane, respe
y
z
-plane
định bằng cách chiếu lên các trục tọa độ (Hình 1.1). plane
ght wall共4
As numerical2 illustrations, 2theripoints
2
l
xz ⱍ x 2 xFigure
1 ⱍ ⱍ y2 y1 ⱍ ⱍ z2 a
wl Oz1 ⱍ
6.
t
Khoảng cách giữa hai điểm P1 (x1 , y1 , z1 ) và P2 (x2 , y2 , zO2 ):
f
le
2
2
2
p
xy 共x 2 x 1 兲 共y2 y1z兲 x 共z2 z1 兲 fl
P1 P2 =
-pla
(x1 − x2 )2 + (y1 − xy2 )2z + (z1 − z2n)e2
Therefore
ⱍ P P ⱍ s共x
(0, 0, c)
1
2
oor
y
x 1 兲2 共y2 y1 兲2 共z2 z1 兲32
2
_4
R(0, b, c)
(b)
(a)k,
Coordinate
planes r:
3
Phương trình mặt cầu (Hình 1.2 FIGURE
bên trái)
tâm 3C(h,
l) bán
EXAMPLE
The distance
fromkính
the point P共2, 1, 7兲 to the point Q共1, 3, 5兲 is
S(a, 0, c)
(x − h)2 + (y
0
Because many people P(a, b, c)
have some difficulty visualizing diagrams of three-d
ⱍ PQ ⱍ s共1 2兲2 共3 1兲2 共5 7兲2 y _53(b)]. L
2 sional figures,
− k) + (z − l)2 =your2may find it helpful to dox the following [see Figure
s1 4 4 3
0
(0, b, 0)
(a, 0, 0)
EXAMPLE 4
z
P(x, y, z)
r
(_4, 3, _5)
SECTION C共h,
9.1 THREE-DIMEN
Find an equation of a ysphere with radius r and center
k, l兲.
x
SOLUTION By definition,
a sphere is the set of all points P共x, y, z兲 whose distance f
Q(a, b, 0)
z
SOLUTION The inequalities
ⱍ ⱍ
C is r. (See Figure 10.) Thus, P is on the sphere if and only if PC r. Squarin
FIGURE 5
FIGURE 6
1 x2 y2
both sides, we have PC 2 r 2 or
ⱍ ⱍ
The
2Cartesianasproduct
bek兲rewritten
共x h兲2 can
共y
共z l兲2 r 2 ⺢ ⺢ ⺢ 兵共x
dered triples of real numbers and is denoted
1 sx 2 y 2
0
respondence
between
points
P
in space and o
1
The result
of Example 4 is wortha remembering.
rectangular
sothree-dimensional
they represent the points
共x, y, z兲coordinat
whose di
0
2
dinates,
the
first
octant
can
be
described
th
and
at
most
2.
But
we
are
also
given
thatasz
x
y
x
positive.
xy-plane.
Thus,
the
given
inequalities
represen
Equation
of
a
Sphere
An
equation
of
a
sphere
with
center
C共h,
k,
l兲
and
radius
r
y
2
two-dimensional
geometry,
the In
spheres
x 2 y 2 zanalytic
1 and
x 2 y 2the
is
2
is a curve Itinis⺢sketched
. In three-dimensional
xy-plane.
in Figure 11. analytic
FIGURE 10
FIGURE 11
3
Hình 1.2: Mặt cầu và biểu diễn phần nằm giữa hai nửa
mặt
共x
h兲2 cầu.
resents
共y k兲a2 surface
共z in
l兲2⺢. r 2
C(h, k, l)
In particular, if the center
, 1then
an surfaces
equation in
of ⺢theare
sphere
is
2 ≤O4,
represent
Phần không gian xác định bởi các bất đẳng
thức 1 ≤ x2 + yis2 the
+ origin
zEXAMPLE
zWhat
≤
0
(a)
z
3
(b
9.1
Exercises
2
2
2
2
biểu diễn vùng ở giữa (tính cả phần nằm trên) hai mặt cầu x + xy2 +y 2z z=
1r 2và
3
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
SOLUTION
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
The
z 3 represents
theequation
set 兵共x
1. Suppose you start at the origin, move (a)
along
theequation
10. Find an
x-axis a dis3
tance of 54 units
the positive
then
radius
. Descr
in
⺢ move
whose
isequation
3s7
. This
is
x 2 y 2direction,
EXAMPLE
Showinthat
z 2 points
and
4x
6y
2z z-coordinate
6 0 is the
of
http://nguyenduchau.wordpress.com
downward
distance
of 3 units.
Whatthe
are xy
the-plane
coordinates
nate planes.
and three units above
it as in Fig
sphere,
and afind
its center
and radius.
of your position?
11. Find an equation
SOLUTION We can rewrite the given equation in the form of an equation of a sphere
共4, 3, 1兲 and ha
2.we
Sketch
the points
(3, 0, 1), 共1, 0, 3兲, 共0, 4, 2兲, and
complete
squares:
(1, 1, 0) on a single set of coordinate axes.
12. Find an equation
2
2
2
4兲P共6,
2,
共y3兲
6y 1,
9兲
9whose
1 ce
3. Which共xof
the4x
points
,Q共5,
and 2z 1兲 6 gin4 and
4兲, 共z
Which point lies in the
R共0, 3, 8兲 is closest to the xz-plane?
共x 2兲2 共y 3兲2 共z 1兲2 8 13–14
yz-plane?
■
Show that t
676 tròn
■
CHAPTER
1.2. Mặt trụ và mặt
xoay 9
5
VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE
x2 + y 2 + z 2 = 4 đồng thời nằm phía dưới (tính
cả phần
nằm trên)
mặt
Oxy
3. Suppose
the tetrahedron
in the
figurephẳng
has a trirectangular
vertex S. (This means t
three
angles
at
are
all
right
angles.)
Let
,
, and C be the areas of the three fa
S
A
B
(Hình 1.2 bên phải).
that meet at S, and let D be the area of the opposite face PQR. Using the result o
Phương trình đường thẳng đi qua điểm P0 (x0 ,lem
y0 ,1,zor0 )otherwise,
và có và
có that
véc tơ chỉ phương
show
v(a, b, c):
D 2 A2 B 2 C 2
x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct
SECTION 9.5 EQU
(This is a three-dimensional version of the Pythagorean Theorem.)
Nếu cả ba số a, b, c đều khác 0 thì phương trình đường thẳng có But
thểif viết
dưới
we solve
the first two equations, we ge
dạng:
don’t satisfy the third equation. Therefore, th
the three equations. Thus, L 1 and L 2 do not in
lines.
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a
b
c
9.5
Equations of Lines and Planes
●
●
●
Planes
●
●
●
●
●
●
●
Although a line in space is determined by a
morewhen
difficult
to describe.
A single
vector
pa
A line in the xy-plane is determined
a point
on the line
and the
directi
the “direction”
theequation
plane, but
vector
line (its slope or anglenof inclination)
are given.of
The
ofathe
line per
ca
specify its direction. Thus, a plane in space
written using
the
P (x, y,
z) point-slope form.
the plane space
and a is
vector
n that iswhen
orthogonal
Likewise, a line L in three-dimensional
determined
we knot
called a normal vector. Let P共x, y, z兲 be an a
P0共x 0 , yr0 , zr-r¸
0兲 on L and the direction of L. In three dimensions the direction o
r be
P0 and to
P. LThen
conveniently described by a vector,
sothe
weposition
let v be vectors
a vectorofparallel
. Let
r¸
0
Figure
normal
vectorofn P
is0 ortho
be an
arbitrary point on L and let(See
r0 and
r be 6.)
theThe
position
vectors
and P
P¸(x¸, y¸, z¸)
In particular,
orthogonal
to r
r0 and so
A0 and
OP
A). If anisisthe
vector with
representa
x they have representations OP
y
as in Figure 1, then the Triangle
Law for vector addition gives r r0 a. B
a and6 v are parallel vectors, there is a4 scalar t such that a tv. Thus
n ⴢ 共r r0
FIGURE
z
z
P¸(x¸, y¸, z¸)
a
P(x, y, z)
L
r¸
O
r
v
x
y
FIGURE 1
Hình 1.3: Đường thẳng và mặt phẳng.
r can
r0 be
rewritten
tv
which
as
1
Phương trình mặt phẳng đi qua P0 (x0 , y0 , z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n(A, B, C):
ⴢr
5 value of the parameter t n
z
a vector
of L. Each
gives
then
A(x
− x0 ) + B(y − y0 ) which
+ C(zis −
z0 ) =equation
0
t>0
vector r of a point on L. In other words, as t varies, the line is traced out by
the vector r. As Figure 2 indicates,
positive
values
of Equation
t correspond
to points
Either
Equation
4 or
5 is called
av
1.2. Mặt trụ và mặtr¸ tròn xoay
lie on one side of P0 , whereas negative
valuesaof
t correspond
to points
thatw
To obtain
scalar
equation for
the plane,
other side of P0 .
r0 具x 0 , y0 , z0 典 . Then the vector equation (4
the vectorsinh)
the direction
of the line
in componen
v that gives
Mặt trụ là mặt được tạo bởi một đường thẳng LIf(đường
giữ nguyên
phương
và L is written
b, c典write
ⴢ 具x rx 0具x,
,y
v 具a, b, c典 , then we have tv 具ta, tb, tc典 . We can具a,also
di chuyển sao chox luôn luôn song song với
chính
trên
đường
cong
C
(đường
y
r0 nó,
具x 0 , ytựa
,
z
典
,
so
the
vector
equation
(1)
becomes
0
0
or
t=0
t<0
tựa).
L
FIGURE 2
具x, y, z典 具x 0 ta, y0 tb, za共x
0 tc典
x 0 兲 b共y y0
6 trụ.
Khi đường tựa là một đường cong đơn phẳng khép kín, ta có mặt lăng
Two vectors are equal if and only if corresponding components are equal. T
Tùy theo bậc của đường cong C mà người
ta gọi bậc của mặt trụ. Với C là
we have the three scalar equations:
Equation 6 is the scalar equation of the pl
đường cong bậc hai thì ta có mặt trụ bậc hai. Nếu đường tựa của là ellipse,
vector nparabol
具a, b, c典 .
hay hyperbol thì mặt trụ được gọi là mặt trụ elliptic, parabolic hay hyperbolic. Nếu
x x 0 at
y y40 Find
btan equation
z z0 of
the
ct plane thro
2
đường tựa là một vòng tròn trong mặt phẳng vuông góc với L thì ta cóEXAMPLE
mặt trụ
tròn
vector n 具2, 3, 4 典 . Find the intercepts and
xoay.
where t 僆z ⺢. These equations areSOLUTION
called parametric
L
Putting a 2equations
, b 3, c of
the
4, xline
0 2
Một phương trình trong hệ tọa độ Oxyz khuyết
biến đều biểu diễn
the pointmột
P0共x
to the
vector
vequation
具a, b,ofc典the
. Each
value
seemột
that anmặt
plane
is of th
0 , y0 , z0兲 and parallelwe
(0, 0, 3)
gives a point
z兲 on Lkhuyết.
.
trụ với các đường sinh song song với trục tọaeter
đột tương
ứng 共x,
vớiy, biến
2共x 2兲 3共y 4兲
Ví dụ 1.1 Hình 1.4 biểu diễn mặt trụ elliptic
(6, 0, 0)
z = x2 .
x
x2
a2
FIGURE 7
+
y2
b2
(0, 4, 0)
= 1 và ymặt ortrụ parabolic
2x
To find the x-intercept we set y z 0 in t
larly, the y-intercept is 4 and the z-intercept i
tion of the plane that lies in the first octant (s
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
x
which is called a linear func
z ax by c, or ax by
that linear functions of one var
see that linear functions of two
6
FIGURE 4
1.3. Mặt bậc hai
EXAMPLE 5 Sketch the graph o
z
SOLUTION Notice that, no matter
x 2. The equation of the graph
any vertical plane with equatio
in a curve with equation z x
formed by taking the parabola
of the y-axis. So the graph is a
infinitely many shifted copies
0
x
y
In sketching the graphs of
determining the shapes of cros
x fixed by putting x k (a con
Mặt tròn xoay. Cho đường cong C thuộc mặt phẳng Oyz có phương trình
z
f (y, z) = 0. Cho C xoay quanh trục Oz (trục
đối
xứng
của
mặt
tròn
xoay).
Khi
đó
p
2
mặt tròn xoay tạo thành có phương trình f ± x2 + y 2 , z .
5 trụ parabolic.
Hình 1.4: Mặt trụ ellipticFIGURE
và mặt
The graph of f(x, y)=≈ is the
parabolic cylinder z=≈.
0
1
FIGURE 12
x
Hình 1.5: Mặt tròn xoay.
Tab
standa
face is
Tương tự chúng ta có phương trình của mặt tròn xoay trong các trường hợp mà
trục đối xứng là Ox và Oy.
Ví dụ 1.2 Tìm phương trình của mặt tròn xoay khi cho đường thẳng z = 3y nằm
trong mặt phẳng Oyz quanh quanh trục Oz.
p
p of quadric surfaces
TABLE 2 Graphs
Giải. Thay y bởi ± x2 + y 2 sau đó bình phương ta được z = ±3 x2 + y 2 hay là
z 2 = 9(x2 + y 2 ). Đây là phương trình của mặt nón.
Surface
1.3.
Mặt bậc hai
x2
y2
2
a2
b
All traces a
If a b
a sphere.
Ellipsoid
Ellipsoid
z
Phương trình
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
Tất cả các giao tuyến đều là các đường ellipse.
Nếu a = b = c thì ellipsoid là mặt cầu.
Eq
y
x
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
Elliptic Paraboloid
z
z
x2
2
c
a
If a b c, the ellip
a sphere.
z
z
2
x
1
1-≈- 9
f(x, y)=2 œ„„„„„„„
¥
g(x, y)=_2
y
0
1.3. Mặt bậc hai
0
7
z g(x, y)=_2
x2
2
yElliptic Paraboloid
a
2c
z
z
x
y2
0
0
Elliptic
Paraboloid
2
x Paraboloid Elliptic
t
FIGURE 12
x
c
aHorizontal
b2
z
1
Horizontal
traces trac
are e
3
Vertical
y
Phương trình
Vertical traces are par
The variable
z
x2 y 2 2 shows computer-drawn graphs of the six basic
The variable
raised
to
types
of
quad
= 2 +Table
x
FIGURE 12
x
firstindicates
power
2
power
thi
c
astandard
b
form. All surfaces are symmetric with respectfirst
to
the
z
-axis.
If
of
the
parab
of the paraboloid.
Giao tuyến thẳng đứng là các
đường
parabol. about a different axis, its equation changes accordin
face
is symmetric
Giao tuyến ngang là các đường Table
ellipse.2 shows computer-drawnxxgraphs ofy the six basic types of quad
y
Trục Oz là trục của paraboloid.
standard
form.
All
surfaces
are
symmetric
with
respect to the z-axis. If
TABLE 2 Graphs of
quadric surfaces
Paraboloid
Hyperbolic (Mặt yên ngựa)
z
x 2 accordin
y2
face is symmetric about a different
axis,
its
equation
changes
Hyperbolic Paraboloid
2 2 2
c
a z b Equat
x
Surfacetrình
Equation
Phương
Hyperbolic Surface
Paraboloid
z
Horizontal
traces2 are
2
2
z
y
x
c 2 a 2
hyperbolas.
TABLE 2 Graphs of quadric surfaces=
2
2
2
2
−
z
z
x
y
2 y b2
c x a
z
Horizontal
Vertical
traces
are par
2 1
Ellipsoid
Cone
2
2
2
2
2
a
b
c
c
a
b
Surface
Equation
Surface
Equat
hyperbolas.
Giao
tuyến thẳng đứng là các đường
parabol.
c
0
The
case
where
z
y
z
illustrated.
traces
are ellipses.
Horizontal trace
Giao tuyến ngang là các All
đường
hyperbol.
Vertical
tra
2
2
2
x
xtrường
z2
x 2tracesy 2in
a
ybhợp
cc,zthe
is
Vertical
Hình vẽ minh họa trong If
<
0.ellipsoid
1
2case
w2
Ellipsoid
Cone
2
y xc 2The
sphere.
k and
b2
c2
a y
bk
Mặtaanón
(Cone)
illustrated.
z
z
hyperbolas
if k
x
Phương trình
1
3
All traces are ellipses.
b c, the ellipsoid is
If a
z2
x2 y 2
a
sphere.
=
+
c2
a2
b2
y
xx
y
y
x
Horizontal trace
pairs of lines if
Vertical traces in
x k and y k
hyperbolas if k
pairs of lines if
Giao tuyến ngang là các đường ellipse.
x
y
Giao tuyến sinh ra khi cắt mặt bởi các mặt phẳng x = k
và y = k là các đường hyperbol 2nếu k 26= 0 và là cặp đường
z
x
y
Elliptic Paraboloid
Hyperboloid of One Sheet
thẳng nếu k = 0.
2 2
c
a
b
z
z
Hyperboloid một tầng (Hyperboloid of One Sheet)
Horizontal traces are ellipses.
z
x2
y2
Vertical
Phương trình
Elliptic Paraboloid
Hyperboloid of One Sheet
2 traces
2 are parabolas.
cy 2 variable
az 2 braised to the
x2 The
z
z
+ 2 − 2 =1
indicates
axis
Horizontal
arethe
ellipses.
a2 first
b power
c traces
x
y
of the paraboloid.
traces are parabolas.
Giao tuyến ngang là các Vertical
đường ellipse.
cácvariable
đường raised
hyperbol.
The
to the
xGiao tuyến thẳng đứng là
y tương ứngfirst
indicates
the axis
Trục đối xứng
với power
biến có
hệ số âm.
x
y
of the paraboloid.
x2
y2
z2
a2
b2
c2
Horizontal trace
x2
y 2tracesz 2ar
Vertical
2
a 2 axis
b 2of sym
c
The
corresponds
to th
Horizontal trace
whose
coefficien
Vertical traces ar
The axis of sym
corresponds to th
whose coefficien
z
x2
y2
Hyperboloid of Two Sheets
2 2
c
a
b
z
Horizontal traces are
hyperbolas.
z
x2
y2
Hyperboloid of Two Sheets
2 2
Vertical
c
a traces
b are parabolas.
z
The
case where
Horizontal
tracesc are
0 is
x
y
illustrated.
hyperbolas.
Vertical traces are parabolas.
The case where c 0 is
x
y
illustrated.
http://nguyenduchau.wordpress.com
x2
y2
z
2
2
a
b
c
Horizontal trace
ellipses
x 2 ifyk2 cz
2 2
Vertical
traces
arc
a
b
The
two minus
Horizontal
traces
two
sheets.
ellipses
if k c
Vertical traces ar
The two minus s
two sheets.
x Paraboloid
Hyperbolic
y
z
Hyperbolic Paraboloid
z
y
x
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
y
x
The variable raised to the
first power indicates the axis
of the paraboloid.
x
x
The axis of sym
corresponds to th
whose coefficien
y
y
8
1.4. Hệ tọa độ trụ
Hyperboloid hai tầng
z (Hyperboloid
x2
y 2 of Two Sheet)
Hyperbolic Paraboloid
Hyperboloid of Two Sheets
2 2
c
a
b
z
Phương trình
z
x2 Horizontal
y 2 z 2 traces are
− 2 −hyperbolas.
+ 2 =1
a
b2
c
Vertical traces are parabolas.
Giao tuyến sinh ra khi cắt mặt bởi các mặt phẳng z = k
c 0 is
where
là các đường ellipseynếu kThe
> ccase
hoặc
k < −c.
x
y
illustrated.
Giao tuyến thẳng đứng là các đường hyperbol.
x Trục đối xứng tương ứng với biến có hệ số âm.
Hai dấu trừ thể hiện hai tầng.
x2
y2
z
2
2
a
b
c
Horizontal trace
ellipses if k c
Vertical traces ar
The two minus s
two sheets.
692
Ví dụ 1.3 Phân loại mặt có phương trình x2 + 2z 2 − 6x −
y +■10 CHAPTER
= 0. 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE
z
EXAMPLE 9 Classify the q
Giải. Biến đổi về dạng y − 1 = (x − 3)2 + 2z 2 . Ta thấy rằng
SOLUTION By completing th
đây là mặt paraboloid elliptic với trục là đường thẳng song
song với trục Oy. Đỉnh là điểm (3, 1, 0). Giao tuyến sinh
0
694
■
CHAPTER 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE
ra khi cắt mặt bởi các mặt phẳng y = k (k > 1) là các
y
Comparing this equation
đường ellipse (x−3)2 +2z 2 = k −1, y = k. Giao tuyến sinh
loid. Here, however, the a
been shifted so that its ve
ra khi cắt mặt bởi mặt phẳng Oxy là parabol có phương
(3, 1, 0)
共k 1兲 are the ellipses
2
9.7
Cylindrical
and
Spherical
Coordinates
x
trình y = 1 + (x − 3) , z = 0. Paraboloid được minh họa
共
trong hình vẽ bên.
●
●
●
●
In plane
system
FIGURE
13 geometry the polar coordinate
The trace
in the is
-planeto
xyused
regions. (See
H.)
In th
The Appendix
paraboloid is
sketche
coordinate systems that are similar to polar coordinate
tions of some commonly occurring surfaces and solids.
whenbiểu
we compute
Trong hệ tọa độ trụ, một điểm P (x, y, z) trong không gian inbaChapter
chiều12
được
diễn volumes and triple int
1.4.
of certain curves and
≈+2z@-6x-y+10=0
Hệ tọa độ trụ
9.6
Exercises
●
●
●
●
●
●
●
●
●
bởi ba tọa độ sắp thứ tự P (r, θ, z), ở đó r và θ là tọa độ cực của hình chiếu của P
trong mặt phẳng Oxy như Hình 1.6.
Cylindrical
Coordinates
1. In Example
3 we considered
the function h f 共v, t兲, where
h is the height of waves produced by wind at speed v for a
z
Intime
thet.cylindrical
system,questions.
a point P in thr
Use Table 1 tocoordinate
answer the following
(a) What
the ordered
value of ftriple
? What
its meaning?
共40, 15兲共r,
sented
by isthe
, z兲is, where
r and
are
(b) What
meaning
the function
f 共30,
t兲?
jection
of isP the
onto
the xyof-plane
and zhisthe
directed
distan
Describe the behavior of this function.
Figure
1).
(c) What is the meaning of the function h f 共v, 30兲?
ToDescribe
convertthefrom
cylindrical
to rectangular coordinat
behavior
of this function.
P(r, ¨, z)
z
O
¨
x
●
2. The figure shows vertical traces for a function z f 共x, y兲.
r
y
(r, ¨, 0)
Which one of the graphs I–IV has these traces? Explain.
x r cos
z y r sin
1
z
k=_1
k=1
FIGURE 1
Hình 1.6: Tọa độ trụ của một điểm . whereas0to convert from rectangular to cylindrical coor
_2
2
The cylindrical coordinates of a point
0
y
x
Phép đổi biến trong tọa độ trụ
2
_2
x = r cos θ,
y = r sin θ,
z=z
2
r 2 x 2 1 y 2
_1
(1.1)
Traces in x=k
tan
y
x
Traces in y=k
z
Để tìm tọa độ trụ từ tọa độ vuông góc ta sử dụng cácI đẳng
z
II Equations
These thức
equations
follow from
1 and 2 in App
y
r2 = x2 + y 2 , tan θ = , z = z EXAMPLE 1
(1.2)
x
(a) Plot the point withy cylindrical
coordinates 共2,y 2兾3
x
x
coordinates.
(b) Find cylindrical
coordinates of the
point with recta
http://nguyenduchau.wordpress.com
z
z
III
IV
共3, 3, 7兲.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
SOLUTION
y
x The point with cylindrical coordinates 共2, 2y兾3, 1兲
(a)
x
Equations 1, its rectangular coordinates
are
z
2π
”2, , 1’
These equations fo
EXAMPLE 1
9
1.5. Hệ tọa độ cầu
Ví dụ 1.4 (a) Vẽ điểm (2, 2π/3, 1) trong tọa độ trụ và
tìm tọa độ của nó trong hệ tọa độ vuông góc.
(b) Tìm tọa độ trụ của điểm có tọa độ (3, −3, −7) trong
hệ tọa độ vuông góc.
(a) Plot the point w
coordinates.
(b) Find cylindrica
共3, 3, 7兲.
SOLUTION
(a) TheSECTION
point 9.7
with
C
Equations 1, its rec
z
2π
(b)
From Equations 2 we have
”2, , 1’
3
Giải.
√
(a) x = 2 cos 2π
y = 2 sin 2π
3, z = 1. Vậy tọa
3 = −1,
3 =
√
độ vuông p
góc là (−1, 3, 1).√
(b) r =
32 + (−3)2 = 3 2, tan θ = −3
3√ = −1, chọn
7π
θ = 4 . Vậy tọa độ trụ của điểm đã cho là (3 2, 7π/4, −7). x
1
2
0
tan
2π
3
◆
695
(b) Giải.
From Equations 2 we have
(a) Phương trình
trong
tọa2
độ3s2
trụ của mặt cầu x2 + y 2 + 2z 2 = 4 là
2 共3兲
r s3
tan
3
1
3
so
y
3
3
z 7
Thus,
the point isco
(
Therefore, one set
of cylindrical
(3 s2, 兾4, 7). As with polar c
FIGURE 2
Ví dụ 1.5 Tìm phương trình trong tọa độ trụ của
(a) Mặt cầu x2 + y 2 + 2z 2 = 4.
2 −SPHERICAL
9.7 CYLINDRICAL
COORDINATES
(b) Paraboloid SECTION
hyperbolic
z = xAND
y2.
r s3 2
Cylindrical coordinates are use
axis, and the z-axis is chosen to co
axis of the circular cylinder with
cylindrical coordinates this cylinder
This is the reason for the name “cy
72z 2 = 4
r2 +
2n
4
(b) Ta có x2 − y 2 = r2 cos2 θ − r2 sin2 θ = r2 cos 2θ, do đó phương trình của mặt
z 7
paraboloid hyperbolic z = x2 − y 2 trong tọa độ trụ là
Therefore, one set of cylindrical coordinates is (3s2, 7兾4, 7). Another is
r2 cos many
2θ choices.
(3s2, 兾4, 7). As with polar coordinates, there zare=infinitely
(c, 0, 0)
Cylindrical
coordinates
are trụ
useful
in problems
symmetry
aboutcó
an môt trục đối xứng (đặc
Chú ý 1.1
Tọa độ
thường
đượcthat
áp involve
dụng với
các mặt
x
FIGURE 3
axis, and the z-axis is chosen to coincide with this axis of symmetry. For
instance,
the2
2
2
đối với
cácwith
mặtCartesian
trụ) như
là xmặt
= In
c r=c,
(r a=
c) và mặt nón
2
2
2
cylinder
axisbiệt
of thelàcircular
cylinder
equation
y trụ
cx
is +
theyz-axis.
2 + y 2 (z = r) (xem Hình 1.7).
z2 = x
cylindrical
coordinates
this cylinder has the very simple equation r c. (See Figure 3.)
This is the reason for the name “cylindrical” coordinates.
EXAMPLE 2 Describe the surface wh
z
z
0
SOLUTION The equation says that the
y
y
(c, 0, 0)
FIGURE 3
0
(0, c, 0)
x
x
r=c, a cylinder
4 nón z = r.
Hình 1.7: Mặt trụ r = FIGURE
c và mặt
EXAMPLE 2 Describe the surface whose equation in cylindricalz=r,
coordinates
a cone is z r.
z
the same as r, the distance from th
can vary. So any horizontal trace in
These traces suggest that the surfa
converting the equation to rectangu
have
z
We recognize the equation z 2 x 2
as being a circular cone whose axi
SOLUTION The equation says that the z-value, or height, of each point on the surface is
0
RE 4
a cone
y
the same
the distance
fromcầu
the point to the z-axis. Because
doesn’t appear, it
EXAMPLE 3 Find an equation in cyl
1.5.as r,Hệ
tọa độ
can vary. So any horizontal trace in the plane z k 共k 0兲 is a circle of radius k.
4x 2 4y 2 z 2 1.
These traces suggest that the surface is a cone. This prediction can be confirmed by
Trongthehệequation
tọa độto cầu,
một coordinates.
điểm P (x,
y, z)
không
gian
biểu diễn
converting
rectangular
From
thetrong
first equation
in (2)
we ba chiều được SOLUTION
Since r 2 x 2 y 2 from
havebởi ba tọa độ sắp thứ tự P (ρ, θ, φ), ở đó ρ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến P , θ là
z2 r 2 x 2 y 2
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
z2 1
So an equation of the ellipsoid in c
We recognize the equation z 2 x 2 y 2 (by comparison with Tablehttp://nguyenduchau.wordpress.com
2 in Section 9.6)
as being a circular cone whose axis is the z-axis (see Figure 4).
EXAMPLE 3 Find an equation in cylindrical coordinates for the ellipsoid
4x 2 4y 2 z 2 1.
SOLUTION Since r 2 x 2 y 2 from Equations 2, we have
x
x
x
0
1.5. Hệ tọa độ cầu
696
FIGURE 6 ∏=c, a sphere
■
CHAPTER 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE
z
Q
FIGURE 8
FIGURE 7 ¨=c, a half-plane
10
Spherical Coordinates The relationship between rectangular
Figure 9. From triangles OPQ and OPP
The spherical coordinates 共 ,
, 兲 of a point P in space are shown
same
cos ang
where OP P(x, y, z)
is the distance from the origin to P,
is zthe
drical coordinates,
and is the angle between the positive z-axis and th
P(∏, ¨, ˙)
z
But x r cos
and y r sin
, so to c
OP. Note∏that
˙
nates, we use the equations
˙
z
ⱍ
P(∏, ¨, ˙)
∏
˙
ⱍ
0
O
O
0
x
x sin cos
y
3
r
The¨spherical
coordinatey system is especially useful in problems where
metry about a point, and the origin is placed at this point. For example, th
x
y
ª(x, y, 0)
center the originPand
radius c hasAlso,
the simple
equation
shows
c (see Figure
the distance
formula
that
reason
for
the
name
“spherical”
coordinates.
The
graph
of
the
equation
FIGURE
9
FIGURE 5 Hình 1.8: Tọa độ cầu của một điểm.
tical half-plane (see Figure 7), and the equation c represents a half
The spherical coordinates of a point
2 x
z-axis as its axis (see Figure 8).
4
¨
y
x
z
góc được xác định như trong
tọa độ trụ và φ là gócz giữa chiều dương của trụcz Oz
We use this equation in converting from
và đoạn thẳng OP (Hình 1.8). Chú ý rằng ρ ≥ 0 và 0 ≤ φ ≤ π.
Phép đổi biến trong tọa độ cầu
x = ρ sin φ cos θ,
0
c
y = ρ sin φ sin θ,
0
z = ρ cos φ
(1.3)
0
0
c
y
Để tìm tọa độ cầu từ tọa độ vuông góc
ta sử dụng đẳng thức
x
ρ2 = x2 + xy 2 + z 2
y
y
x
(1.4)
x
π/2
0 0.
Giải. Đây là phương trình của mặt cầu bán kính a tiếp xúc
với mặt phẳng Oxy tại gốc toạ độ. Áp dụng công thức
ρ2 = x2 + y 2 + z 2
và
z = ρ cos φ
phương trình của mặt cầu được viết lại ρ2 − 2aρ cos φ = 0 ⇔
ρ(ρ − 2a cos φ) = 0 hay là
ρ − 2a cos φ = 0
Ví dụ 1.10 Tìm phương trình trong hệ tọa độ vuông góc của mặt có phương trình
trong hệ tọa độ cầu là ρ = sin φ sin θ.
Giải. Ta có x2 + y 2 + z 2 = ρ2 = ρ sin φ sin θ = y. Từ đó suy ra
1 2
1
x2 + y −
+ z2 =
2
4
Đây là mặt cầu tâm (0, 1/2, 0) bán kính 1/2.
1.6.
Hàm véc tơ
Hàm véc tơ r là quy tắc gán mỗi số thực t (thuộc miền xác định của r) cho tương
ứng duy nhất một véc tơ r(t) được xác định bởi biểu thức
r(t) = (f (t), g(t), h(t)) = f (t)i + g(t)j + h(t)k
trong đó f , g, h là các hàm thực gọi là các hàm thành phần của r, t là biến độc lập
nó thường biểu diễn biến thời gian trong phần lớn các ứng dụng của hàm véc tơ.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
12
1.6. Hàm véc tơ
Ví dụ 1.11 Xét hàm véc tơ r(t) = t3 , ln(3 − t),
√
t
Các hàm thành phần xác định trên 3 − t > 0 và t ≥ 0. Do đó miền xác định của
hàm r là [0, 3).
thì
Giới hạn của hàm véc tơ. Với
giả
thiết
tồn tại giới hạn của các hàm thành phần
706
■
CHAPTER 10 VECTOR FUNCTIONS
lim r(t) = lim f (t), lim g(t), lim h(t)Limits of vector functions obey the same rules as limits of r
t→a
t→a
t→a
t→a (see Exercise 33).
EXAMPLE 2 Find lim r共t兲, where r共t兲 苷 共1 t 3 兲i tet j
Ví dụ 1.12 Tìm lim r(t), ở đó
t→0
tl0
sin
t
SOLUTION According to Definition 1, the limit of r is the vector w
sin t are the limits of the component functions of r:
r(t) = (1 + t )i + te j +
k
t
3
Giải.
−t
冋
lim r共t兲 苷 关lim 共1 t 3 兲兴 i 关lim tet 兴 j lim
tl0
tl0
tl0
i
i
h
苷ik
(by Equation 3.4.2)
sin t
−t
k=i+k
j + lim
lim r(t) = lim(1 + t ) i + lim te
t→0 A
t→0
t→0
t→0
t vector function r is continuous at a if
h
s
tl0
3
▲ This means that, as t varies, there is
lim r共t兲 苷 r共a兲
no abrupt change in the length or direc-
tla
Tính liên tục. Hàm véc tơtionr ofgọi
là liên
the vector
r共t兲. tục tại a nếu lim r(t) = r(a). Ta thấy
t→a
In view of Definition 1, we see that r is continuous at a if and o
rằng r liên tục tại a khi và chỉ khi các hàm thành phần liên
tục tại a.
z
P { f(t), g(t), h(t)}
C
functions f , t, and h are continuous at a.
There is a close connection between continuous vector functio
Suppose that f , t, and h are continuous real-valued functions o
the set C of all points 共x, y, z兲 in space, where
2
x 苷 f 共t兲
y 苷 t共t兲
z 苷 h共t兲
and t varies throughout the interval I , is called a space curve. Th
called parametric equations of C and t is called a parameter.
being traced out by a moving particle whose position at time t
y
r(t)=k f(t), g(t), h(t)l
x
we now consider the vector function r共t兲 苷 具 f 共t兲, t共t兲, h共t兲典 , the
FIGURE 1
vector of the point P共 f 共t兲, t共t兲, h共t兲兲 on C. Thus, any continuo
Hình 1.9: Đường
congoutCbyxác
bởi hàmdefines
véc tơ
r. curve C that is traced out by the tip of the moving
C is traced
the tipđịnh
of a moving
a space
position vector r(t).
in Figure 1.
0
EXAMPLE 3 Describe the curve defined by the vector function
Chú ý 1.2 Cho hàm véc tơ r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k liên tục (f , g, h cũng liên
具1 t, 2 5t, 1 6t典
tục) trên khoảng I. Gọi C là đường cong có phương trình tham số x = f (t), yr共t兲=苷g(t),
SOLUTION
Theh(t))
corresponding
z = h(t). Khi đó r là hàm véc tơ chỉ vị trí của điểm P (f (t),
g(t),
trên Cparametric
ngược equations are
lại đường cong C biểu diễn điểm đầu mút của hàm véc tơ r (xem Hình 1.9).
Đôi
x 苷 1 t khi
y 苷 2 5t
z 苷 1 6
ta còn nói rằng đường cong C xác định bởi hàm véc tơ r hay C là đồ thị của hàm
which we recognize from Equations 9.5.2 as parametric equation
véc tơ r.
ing through the point 共1, 2, 1兲 and parallel to the vector 具1, 5,
we could observe that the function can be written as r 苷 r0 tv
具1, 2, 1 典 and v 苷 具1, 5, 6典 , and this is the vector equatio
by Equation 9.5.1.
Ví dụ 1.13 Miêu tả đường cong xác định bởi hàm véc tơr0 苷
r(t) = (1 + t, 2 + 5t, −1 + 6t)
Plane curves can also be represented in vector notation. Fo
given by the parametric equations x 苷 t 2 2t and y 苷 t 1 (se
tion 1.7) could also be described by the vector equation
Giải. Phương trình tham số của đường cong C tương ứng là x = 1 + t, y = 2 + 5t,
r共t兲 苷 具t 2 2t, t 1 典
z = −1 + 6t.
where i 苷 具1, 0典 and j 苷 具0, 1 典 .
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
苷 共t 2 2t兲i 共t 1
13
1.7. Hàm nhiều biến số
Đây là một đường thẳng đi qua điểm (1, 2, −1) và có véc tơ chỉ phương v(1, 5, 6).
z
EXAMPLE 4 Sketch the
Ví dụ 1.14 Miêu tả đường cong xác định bởi hàm véc tơ
SOLUTION The parametr
r(t) = cos ti + sin tj + tk
◆
SECTION 10.1 VECTOR FUNCTIONS AND SPACE CURVES
Giải. Phương trình tham số của đường cong C là x = cos t,
z
EXAMPLE 4xét
Sketch
the curve
whose
y = sin t, z = t. Nhận
rằng
x2 +
y 2 vector
= 1 equation
do đóisC nằm
2
2
trên mặt trụ x +y = 1. Đường cong
r共t兲 được
苷 cos t biểu
i sin diễn
t j t ktrong
hình vẽ bên, nó còn
được
gọi
là
đường
Helix.
SOLUTION The parametric equations for this curve are
x 苷 cos t
y 苷 sin t
707
π
”0, 1, 2 ’
(1, 0, 0)
x
y
FIGURE 2
z苷t
Ví dụ 1.15 TìmSince
hàm
conglie là
giao
củacylinder
mặt trụ x2 + y 2 = 1
2
2
x 2 véc
y 2 苷tơ
cosbiểu
t sindiễn
t 苷 1,đường
the curve must
on the
circular
π
”0, 1, 2 ’
y2 苷
above the point 共x, y, 0兲, which moves
và mặt phẳng
y +x 2 z =
2.1. The point 共x, y, z兲 lies directly
2
2
x
FIGURE 2
(1, 0, 0)
y
Since x 2 y 2 苷 cos 2
x 2 y 2 苷 1. The poi
counterclockwise arou
in Section 1.7.) Since
increases. The curve,
counterclockwise around the circle x y 苷 1 in the xy-plane. (See Example 2
in Section 1.7.) Since z 苷 t, the curve spirals upward around the cylinder as t
increases.
Theđường
curve, shown
in Figure
is called
a helix.
biểu
diễn
cong
C là 2,giao
của
mặt trụ x2 +y 2 = 1
Giải. Hình 1.10
và mặt phẳng
y + z = 2, nó là một
đường shape
ellipse.
Hình
chiếu 4của
C lên
mặt phẳng
Oxy là
The corkscrew
of the helix
in Example
is familiar
fromtrên
its occurrence
in
coiled
springs. It also occurs in the model of DNA (deoxyribonucleic acid, the genetic
2
2
đường tròn x + ymaterial
= 1,ofzliving
= 0.cells).
Phương
trình tham số của đường tròn đó là x = cos t,
In 1953 James Watson and Francis Crick showed that the
y = sin t, 0 ≤ t ≤structure
2π. Từ
trình
của
mặt
phẳng
có zthat=are2inter− y = 2 − sin t.
of thephương
DNA molecule
is that
of two
linked,
parallelta
helices
as in Figure 3.
Vậy phương trìnhtwined
tham
số của C là
The corkscrew sha
coiled springs. It also
material of living cel
structure of the DNA
twined as in Figure 3.
EXAMPLE 5 Find a vec
cylinder x 2 y 2 苷 1
SOLUTION Figure 4 show
shows the curve of in
EXAMPLE 5 Find a vector function that represents the curve of intersection of the
cylinder
x2
andsin
the plane
z 苷22−
. sin t,
x
= cos
t,y 2 苷y1 =
t, yz=
z
0 FIGURE
≤ t ≤32π
SOLUTION Figure 4 shows how the plane and the cylinder intersect, and Figure 5
y+z=2
shows the curve of intersection C, which is an ellipse.
z
z
FIGURE 3
y+z=2
(0, _1, 3)
(_1, 0, 2)
C
(1, 0, 2)
≈+¥=1
(0, 1, 1)
≈+¥=1
x
0
y
x
y
x
FIGURE 4
FIGURE 5
Hình 1.10: Giao của mặt trụ x2 + y 2 = 1 và 2mặt2 phẳng y + z = 2.
The projection of C onto the xy-plane is the circle x y 苷 1, z 苷 0. So we
know from Example 2 in Section 1.7 that we can write
Hàm véc tơ tương ứng
x 苷 cos t
y 苷 sin t
r(t) = cos ti + sin tj + (2 − sin t)k,
z 苷 2 y 苷 2 sin t
So we can write parametric equations for C as
Hàm nhiều
biến số
x 苷 cos t
y 苷 sin t
The projection of C
know from Example 2
0 t 2
From the equation of the plane, we have
1.7.
FIGURE 4
0 ≤ t ≤ 2π
From the equation of
So we can write param
z 苷 2 sin t
0 t 2
Định nghĩa 1.1 Không gian Rn
Không gian 1 chiều R là tập hợp tất cả các số thực x (trục thực).
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
x 苷 cos
14
1.7. Hàm nhiều biến số
Không gian 2 chiều R2 là tập hợp tất cả các cặp số thực có thứ tự (x, y).
Không gian 3 chiều R3 là tập hợp tất cả nhóm 3 số thực có thứ tự (x, y, z).
Không gian n chiều Rn là tập hợp tất cả nhóm n số thực có thứ tự (x1 , x2 , ..., xn ).
Mỗi nhóm (x1 , x2 , ..., xn ) gọi là một điểm của không gian đó kí hiệu là x.
Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Rn . Cho hai điểm x = (x1 , x2 , ..., xn )
và y = (y1 , y2 , ..., yn ) là hai điểm trong không gian Rn . Khoảng cách giữa hai điểm
x, y là
v
u n
uX
ρ (x, y) = t
(xi − yi )2
i=1
Định nghĩa 1.2 Một hàm số n biến x1 , x2 , ..., xn là một quy tắc gán mỗi cặp sắp
thứ tự x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ V ⊂ Rn một số thực duy nhất f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ).
Tập V được gọi là miền xác định của f . Tập giá trị của f là tập tất cả các giá trị
của hàm f , nghĩa là {f (x1 , x2 , ..., xn )|(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ V }.
Ví dụ 1.16 Cho hàm f (x, y) = 4x2 + y 2 .
686
■
CHAPTER 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE
Miền xác định của f là toàn bộ mặt phẳng Oxy. Tập giá trị của f là tập [0, +∞).
686
■
CHAPTER 9
Ví dụ 1.17 Tìm miền xác định của các hàm số sau và tính
f (3,
2).
√
(a) f (x, y) =
(b) f (x, y) =
x+y+1
x−1 .
x ln(y 2 −
pairs of real numbers 共x
is the set 关0, 兲 of all n
VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE
f 共x, y兲 0 for all x an
EXAMPLE 1 If f 共x, y兲 4
EXAMPLE 2 Find the dom
x+y+1=0
x).
pairs of real numbers 共x,
sx y
is(a)
the fset
共x, 关0,
y兲 兲
of all non
1
f 共x, y兲 0 for all xxand
y
x=1
Giải.
x+y+1=0
√
_1
0y
(a) f (3, 2) = 26 .
_1
x=1
Miền xác định D = {(x, y)|x + y + 1 ≥ 0, x 6= 1}. Bất
đẳng thức x + y + 1 ≥ 0 hay y ≥ −x − 1, biểu diễn
các điểm nằm trên hay phía trên của đường y = −x − 1,FIGURE 1 _1 0
x+y+1
_1 œ„„„„„„„
điều kiện x 6= 1 có nghĩa là ta sẽ trừ đi các điểm nằm trênDomain of f(x, y)=
x-1
đường thẳng x = 1 (xem hình bên).
FIGURE 1
x
x=¥
FIGURE 2p
The expression for f m
the square root sign is n
(a)
The expression for f mak
Thesquare
inequality
x isyno
the
root sign
above the line y x
must be excluded fromD
x
0
sx y
x1
SOLUTION
x
œ„„„„„„„
x+y+1
x-1
x=¥
0y
SOLUTION
EXAMPLE 2 Find the doma
(a)
(a) f 共x, y兲
y
Domain of f(x, y)=
(b) f (3, 2) = 0.
Bởi vì ln(y 2 − x) xác
định khi y 2 − x > 0. Miền xác định
D = (x, y)|x < y 2 . Đây là tập hợp các điểm ở bên trái
của parabol x = y 2 (xem hình bên).
EXAMPLE 1 If f 共x, y兲
x
Ví dụ 1.18 Tìm miền xác định và miền giá trị của f (x,Domain
y) = of f(x, y)=x ln(¥-x)
9 − x2 − y 2 .
FIGURE 2
Domain of f(x, y)=x ln(¥-x)
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
The
(b) inequality x y 1
above the line y x
2
x兲from
Sincebeln共y
is defi
must
excluded
th
is D 兵共x, y兲 x y 2 其.
f
(b)
(See Figure 2.)
ⱍ
Since ln共y 2 x兲 is define
Not all functions can
is D 兵共x, y兲 ⱍ x y 2 其. T
example is described ve
(See Figure 2.)
EXAMPLE
The wave
Not all 3functions
canhe
b
v of the is
wind
(in knots)
example
described
verb
blowing at that speed. S
Observations
meas
EXAMPLE
3 Theand
wave
heig
are(inrecorded
vphers
of theand
wind
knots) a
blowing at that speed. So
TABLE 1 Observations and measur
Wave heights (in feet) produced phers and are recorded
t in
√
by different wind speeds for
various lengthsTABLE
of time
1
Since z is a p
_3
3
x
So the range
FIGURE 1
1.7. Hàm nhiều biến số
15
9-≈-¥
Domain of g(x, y)=œ„„„„„„„„„
Giải. Miền xác định
D = (x, y)|9 − x2 − y 2 ≥ 0
= (x, y)|x2 + y 2 ≤ 9
Visual
SECTION 11.1
One way to v
Section 9.6 th
which is the disk with center 共0, 0兲 and ra
y
≈+¥=9
Đây là hình tròn tâm (0, 0) bán
kính 3. Bởi vì 9 − x2 − y 2 ≤ 9 do
đó
_3
p
2
2
0≤ 9−x −y ≤3
4 Sk
兵z ⱍ EXAMPLE
z 苷 s9
x2
z
(0, 0, 3)
3
SOLUTION The
Since z is a positive square root,
z to
0. A
equation
ob
x
0
(3, 0, 0)
y
So the range is
x
Vậy tập giá trị của f là [0, 3].
an equation o
9 x2 y2 9 ?
graph of t is
(0, 3, 0)
EXAMPLE 5 Us
tion
兵z P共L,
ⱍ 0 Kz兲苷
SOLUTION Figu
(a) Hàm z =
lie between 0
có biểu diễn hình học là mặt paraboloid tròn xoay (với trục đối xứng Visual
là trục Representations
Oz,
traces. We see
đỉnh tại gốc toạ độ, hướng bề lõm về phía dương của trục Oz).
p
either L or K
One
2
2 way to visualize a function of two
2
2
Một vài ví dụ về hàm hai biến FIGURE
x2 + y 2
FIGURE 2
1
Graph of g(x, y)=œ„„„„„„„„„
9-≈-¥
Domain
có miền xác
địnhoflàg(x, y)=œ„„„„„„„„„
cả mặt 9-≈-¥
phẳng Oxy, có MGT là [0, +∞)
(b) Hàm z = 1 − x − y có miền xác định là hình tròn x + y ≤ 1, miền giá
9.6 that the graph of f is the surfa
trị là đoạn [0, 1] và có biểu diễn hình học là nửa mặt cầu ở phía Section
trên mặt
phẳng
Oxy.
z
EXAMPLE 4 Sketch the graph of t共x, y兲 苷
(c) Hàm z = 2x + 3y có miền xác định là(0, 0, 3)
cả mặt phẳng Oxy, miền giá trị là cả
The
graph
equation z 苷 s9
trục thực R, có biểu diễn hình học là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ SOLUTION
và vuông
góc
với has
2
equation
to
obtain
z
苷
9 x 2 y 2, or x
véc tơ n(2, 3, 1).
0
an equation of the sphere with center the
(0, 3, 0)
Một vài ví dụ về hàm ba biến
graph of t is just the top half of this spher
p
(3, 0, 0)
y
(a) Hàm u = x2 + y 2 + z 2 − 1 có MXĐ là không gian phía ngoài mặt cầu
x
3 to draw the gr
EXAMPLE 5 Use aFIGURE
computer
x2 + y 2 + z 2 = 1 kể cả mặt cầu đó. MGT là khoảng [0, 1].
0.75 0.25
p
tion
P共L,
K兲
苷
1.01L
K
.
FIGURE
2
(b) Hàm u = 4 − x2 − y 2 − z 2 + ln(x2 + y 2 + z 2 − 1) có MXĐ là hình vành cầu
Another m
œ„„„„„„„„„
Graph
of
g(x, y)=
9-≈-¥
SOLUTION
Figure
3 shows the graph of P fo
1 < x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, tức là phần không gian nằm giữa hai mặt cầu
có tâm
tại gốc
map on which
liekể
between
0 and 300. The computer has
toạ độ, bán kính lần lượt là 1 và 2 (có kể biên ngoài nhưng không
biên trong).
curves.
√traces.
We
see
2
2
2
MGT của hàm này là (−∞, 1 + ln 2) (Đặt t = x + y + z thì u = 4 − t + ln(t −from
1). these traces that the v
either L or K increases, as is to be expecte
Lập bảng biến thiên của hàm một biến này để tìm khoảng biến thiên của u).
Definition T
(c) Hàm u = √ x1 y z có miền xác định là: x2 − y3 + z4 tức là nửa không gian
1− 2 + 3 − 4
chứa gốc toạ độ phân chia bởi mặt phẳng
(0, +∞).
752
x
2
−
y
3
+
z
4
■
equations
CHAPTER 11 PARTIAL DERIVATIVES
300
= 1. MGT của hàm là khoảng
You can see from Figure 4 the relation between level curves and horizontal traces.
The level curves f 共x, y兲 苷 k are just the traces of the graph of f in the horizontal plane
z 苷 k projected down to the xy-plane. So if you draw the level curves of a function
and visualize them being lifted up to the surface at the indicated height, then you can
mentally piece together a picture of the graph. The surface is steep where the level
curves are close together. It is somewhat flatter where they are farther apart.
200
z
40
100
45
00
50
0
A
00
B
0
300
y
50
x
00
k=45
f(x, y)=20
45 00
FIGURE 3
k=40
k=35
k=30
k=25
k=20
FIGURE 4
A level cur
on a given va
00
LONESOME MTN.
55
Đường mức của hàm hai biến f là các đường có
phương trình f (x, y) = k với k là hằng số.
Tương tự ta có khái niệm mặt mức đối với hàm
số ba biến.
P
00
45
Lon
es om
ee
e Cr
k
200
K
100
0
FIGURE 5
One common example of level curves occurs in topographic maps of mountainous
regions, such as the map in Figure 5. The level curves are curves of constant elevation
above sea level. If you walk along one of these contour lines you neither ascend nor
descend. Another common example is the temperature at locations 共x, y兲 with longitude
x and latitude y. Here the level curves are called isothermals and join locations with
Ví dụ 1.19 Tìm một số đường mức của hàm số h(x, y) = 4x2 + y 2 . Another method for visualizing functio
map on which points of constant elevatio
curves.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
Definition The level curves of a functio
equations
f 共x, y兲 苷 k, where k is a con
http://nguyenduchau.wordpress.com
FIGURE 6
World mean sea-level temperatures
in January in degrees Celsius
A level curve f 共x, y兲 苷 k is the set of a
on a given value k. In other words, it show
754
■
CHAPTER 11 PARTIAL DERIVATIVES
16
1.8. Giới hạn
củaforhàm
biếna family of ellipses with semiaxes sk兾2 and sk. Figwhich,
k 0nhiều
, describes
ure 10(a) shows a contour map of h drawn by a computer with
level curves corre2
y 2these level curves lifted
2 +
sponding
k 苷 0.25,
0.5, 4x
0.75,
. . .y,24.=
Figure
10(b)x shows
Giải. Phương
trìnhtođường
mức
k hay
+
=
1 (k > 0). Hình 1.11
k
k/4
up to the graph of h (an elliptic paraboloid) where they become horizontal traces.
biểu diễn một
vài đường mức với k = 0.25, 0.5, 0.75, ..., 4.
We see from Figure 10 how the graph of h is put together from the level curves.
y
z
x
x
FIGURE 10
The graph of h(x, y)=4≈+¥
is formed by lifting the level curves.
y
(a) Contour map
(b) Horizontal traces are raised level curves
Hình 1.11: Đồ thị của h(x, y) = 4x2 + y 2 .
EXAMPLE 10 Plot level curves for the Cobb-Douglas production function of
756
Example 2.
■
CHAPTER 11 PARTIAL DERIVATIVES
Ví dụ 1.20 Tìm các mặt mức của hàm số f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
It’s very
to visualize a function f of three variables by i
SOLUTION In Figure 11 we use a computer to draw a contour plot
for difficult
the Cobbwould lie in a four-dimensional space. However, we do gain som
Douglas production function
examining
its level
surfaces,
Giải. Mặt√mức x2 + y 2 + z 2 = k với k ≥ 0. Đây là họ các
mặt cầu
đồng
tâm which
O vớiare the surfaces with equati
0.75 0.25
where k is a constant. If the point 共x, y, z兲 moves along a level su
P共L,
K兲
苷
1.01P
K
bán kính k (xem Hình 1.12).
f 共x, y, z兲 remains fixed.
Level curves are labeled with the value of the production P. For instance, the level
EXAMPLE 12 Find the level surfaces of the function
curve labeled 140 shows all values of the≈+¥+z@=9
labor L and capital investment K that
z
≈+¥+z@=4
result in a production of P 苷 140. We see that, for a fixed value of P, as L increasesf 共x, y, z兲 苷 x 2 y 2 z 2
K decreases, and vice versa.
SOLUTION The level surfaces are x 2 y 2 z 2 苷 k, where k 0. Th
K
of concentric spheres with radius sk. (See Figure 13.) Thus, as 共x,
any sphere with center O, the value of f 共x, y, z兲 remains fixed.
300
y
x
200
Hình 1.12:FIGURE
Một 13
số mặt
100
Functions of any number of variables can be considered. A funct
is a rule that assigns a number z 苷 f 共x 1, x 2 , . . . , x n 兲 to an n-tuple
≈+¥+z@=1
real numbers. We denote by ⺢ n the set of all such n-tuples. For exam
uses n different ingredients in making a food product, ci is the cost
220
ingredient,
mức trong
ví dụ
1.20. and x i units of the ith ingredient are used, then the total c
180
140
dients is a function of the n variables x 1, x 2 , . . . , x n :
100
C 苷 f 共x 1, x 2 , . . . , x n 兲 苷 c1 x 1 c2 x 2 cn
3
1.8.
Giới hạn của hàm nhiều biến
FIGURE 11
100
300 L The function f is a real-valued function whose domain is a su
200
times we will use vector notation in order to write such functions m
Định nghĩa For
1.3some
Chopurposes,
hàm na biến
f (x)
f (x1 ,useful
x2 , ...,
xxn苷a) graph.
xác
trong
một
lân
具x
.That
. . , x nis
典 , certainly
we often
write
f 共x兲 in place of f 共x 1, x 2 , . . . ,
1, x 2 ,định
contour
map=
is more
than
tion
we
can
rewrite
the
function
defined
cận của điểm
(a1 , a2 10.
, ...,(Compare
an ) và LFigure
là một
số thực.
(x)in=
L ⇔ ∀ε > 0 in Equation 3 as
trueain=Example
11 with
FigureTa
3.)nói
It is lim
also f
true
estimating
x→a
function values, as in Example 6.
f 共x兲 苷 c ⴢ x
nhỏ tuỳ ý tồnFigure
tại một
số δ > 0 sao cho khi ρ(x, a) < δ thì |f (x) − L| < ε.
12 shows some computer-generated level curves together with the corre-
where
c 苷 具c
c2 , . .(c)
. , ccrowd
n 典 and c ⴢ x denotes the dot product of t
sponding computer-generated graphs. Notice that the level
curves
in1,part
Định nghĩa 1.4 Giả thiết rằng hàm f (x) = f (x1 , x2 , ...,inxVInnn .)view
xácof định
với x mà sao
the one-to-one correspondence between points 共x 1, x 2
cho ρ(x, 0) đủ lớn. Ta nói rằng lim f (x) = L nếu với ∀ε
>position
0, tồnvectors
tại sốx 苷A具xsao
their
. . . , x n 典 in Vn , we have three w
1, x 2 , cho
x→∞
function f defined on a subset of ⺢ n :
khi ρ(x, 0) > A thì |ρ(x, 0) − L| < ε.
1. As a function of n real variables x 1, x 2 , . . . , x n
2. As a function of a single point variable 共x 1, x 2 , . . . , x n 兲
3. As a function of a single vector variable x 苷 具x 1, x 2 , . . . , x n
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
We will see that all three points of view are useful.
11.1
Exercises
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1. In Example 1 we considered the function I 苷 f 共T, v兲, where
I is the wind-chill index, T is the actual temperature, and v
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
(c) Describe in words the meaning of th
what value of T is f 共T, 80兲 苷 14?
17
1.9. Sự liên tục của hàm nhiều biến số
Chú ý 1.3 Các khái niệm khác, và các định lý về phép tính giới hạn của hàm nhiều
biến cũng được định nghĩa một cách tương tự như trong lý thuyết giới hạn của hàm
số một biến.
Ví dụ 1.21 Tính các giới hạn
(a)
(b)
2x+y
lim
2
2
(x,y)→(2,3) x +y
lim
e
x sin y
y
2x+y
2
2
x→2 x +y
y→3
= lim
= lim e
=
7
3
=
lim x. siny y
x→3
e y→0
x sin y
y
x→3
y→0
(x,y)→(3,0)
lim
Ví dụ 1.22 Chứng tỏ rằng giới hạn
(x,y)→(0,0)
= e3.1 = e3
x2 +y 2
xy
không tồn tại.
Giải. Cho (x, y) → (0, 0) theo đường thẳng y = kx. Ta có:
x2 + k 2 x2
1 + k2
x2 + y 2
= lim
=
x→0
xy
kx2
k
(x,y)→(0,0)
lim
2
Giá trị này phụ thuộc vào k (chẳng hạn cho k = 1 thì 1+k
= 2, k = 2 thì
k
1+k2
k = 2.5). Vậy giới hạn của hàm đã cho không tồn tại duy nhất cho nên giới hạn
trên không tồn tại.
1.9.
Sự liên tục của hàm nhiều biến số
Định nghĩa 1.5 Ta nói hàm f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) liên tục tại điểm a =
(a1 , a2 , ..., an ) ⇔ lim f (x) = f (a).
x→a
Ví dụ 1.23 (a) Hàm số ba biến
f (x1 , x2 , x3 ) =
1
1 − (x21 + x22 + x23 )
liên tục trên toàn không gian R3 trừ đi các điểm nằm trên mặt cầu x21 + x22 + x23 = 1.
Ta cũng nói rằng hàm bị gián đoạn trên mặt cầu đó.
(b) Hàm z = ln |x − y| liên tục trên toàn mặt phẳng Oxy trừ những điểm nằm
trên đường thẳng y = x. Trên đường thẳng đó hàm bị gián đoạn.
1.10.
Đạo hàm riêng
Định nghĩa 1.6 Cho hàm n biến f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ). Đạo hàm riêng theo biến
xi , i ∈ {1, 2, ..., n} của hàm f (x) tại điểm (x1 , x2 , ..., xn ) được xác định như sau
∂f
f (x1 , ..., xi−1 , xi + ∆xi , xi+1 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn )
(x1 , x2 , ..., xn ) = lim
∆xi →0
∂xi
∆xi
Một số kí hiệu khác của đạo hàm riêng fx0 i , fxi , Dxi f .
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
18
1.10. Đạo hàm riêng
Cách tính. Khi tính đạo hàm riêng theo một biến số nào đó thì coi các biến khác
như hằng số rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến số đối với
biến số đó.
Ví dụ 1.24 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số
(a) z = x2 sin y.
z
(b) u = xy .
Giải.
(a) zx0 = 2x sin y, zy0 = x2 cos y
z
z
z
(b) u0x = y z .xy −1 , u0y = xy . ln x.z.y z−1 , u0z = xy . ln x.y z . ln y.
Định nghĩa 1.7 Đạo hàm riêng cấp cao. Đạo hàm riêng (đhr) cấp hai là đhr
của đhr cấp 1,..., đhr cấp n là đhr của đhr cấp n − 1.
Cho hàm hai biến f (x, y). Các đạo hàm riêng cấp hai của f có thể được kí hiệu như
sau
∂2f
∂ ∂f
00
=
= fxy = fxy
∂y ∂x
∂y∂x
∂2f
∂ ∂f
00
=
= fyx = fyx
∂x ∂y
∂x∂y
∂ ∂f
∂2f
∂2f
00
= fx002
=
=
= fxx = fx2 = fxx
∂x ∂x
∂x∂x
∂x2
∂ ∂f
∂2f
∂2f
00
= fy002
=
=
= fyy = fy2 = fyy
∂y ∂y
∂y∂y
∂y 2
Ví dụ 1.25 Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai của các hàm số f (x, y) = x2 y −
2xy 3 + y 4 .
Giải. fx0 = 2xy − 2y 3 , fy0 = x2 − 6xy 2 + 4y 3
2
2
fx002 = ∂∂xu2 = 2y, fy002 = ∂∂yu2 = −12xy + 12y 2 ,
00 =
fxy
∂2u
∂x∂y
00 =
= 2x − 6y 2 , fyx
∂2u
∂y∂x
= 2x − 6y 2 .
Chú ý 1.4 Hàm hai biến có 2k đhr cấp k, hàm ba biến có 3k đhr cấp k, ..., hàm n
biến có nk đhr cấp k.
Định lý 1.1 Clairaut. Các đhr cùng cấp, liên tục, chỉ khác nhau về thứ tự lấy đạo
hàm của cùng một hàm thì trùng nhau.
00 = f 00 .
Trong ví dụ 1.25 ta có fxy
yx
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
19
1.11. Vi phân toàn phần
1.11.
Vi phân toàn phần
Định nghĩa 1.8 Nếu tại điểm (x1 , x2 , ..., xn ) các đhr fx0 i , i = 1, n đều liên tục thì
hàm f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) có vi phân toàn phần df (khả vi) tại điểm đó và
df (x1 , x2 , ..., xn ) = fx0 1 .∆x1 + fx0 2 .∆x2 + ... + fx0 n .∆xn
Ví dụ 1.26 Tìm vi phân toàn phần của hàm f (x, y) = x2 sin y tại điểm (x, y) tuỳ
ý.
Giải. Ta có fx0 = 2x sin y, fy0 = x2 cos y nên df (x, y) = 2x sin y.∆x + x2 cos y.∆y
Chú ý 1.5 Ta đã biết nếu xi là biến độc lập thì ∆xi = dxi nên công thức vi phân
toàn phần có thể viết lại như sau df (x1 , x2 , ..., xn ) = fx0 1 .dx1 + fx0 2 .dx2 + ... + fx0 n .dxn .
Định nghĩa 1.9 Vi phân toàn phần cấp cao. Vi phân toàn phần cấp hai được
xác định bởi d2 f = d(df ),..., vi phân toàn phần cấp n được xác định bởi dn f =
d(dn−1 f ).
Với hàm hai biến f (x, y) thì
d2 f = d(fx0 .∆x + fy0 ∆y)
∂ ∂f
∂f
∂ ∂f
∂f
=
.∆x +
.∆y .∆x +
.∆x +
.∆y .∆y
∂x ∂x
∂y
∂y ∂x
∂y
2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
. (∆x)2 + 2
.∆x∆y + 2 . (∆y)2
=
2
∂x
∂x∂y
∂y
2
∂
∂
=
.∆x +
.∆y f
∂x
∂y
Tổng quát ta có
n
d f=
∂
∂
.∆x +
.∆y
∂x
∂y
n
f
Với hàm ba biến f (x, y, z) thì
d2 f = d(fx0 ∆x + fy0 ∆y + fz0 ∆z)
∂ ∂f
∂f
∂f
∂ ∂f
∂f
∂f
∆x +
∆y +
∆z ∆x +
∆x +
∆y +
∆z ∆y
=
∂x ∂x
∂y
∂z
∂y ∂x
∂y
∂z
∂ ∂f
∂f
∂f
+
∆x +
∆y +
∆z ∆z
∂z ∂x
∂y
∂z
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
2
2
2
=
(∆x)
+
(∆y)
+
(∆z)
+
2
∆x∆y
+
2
∆y∆z
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂x∂y
∂y∂z
∂2f
+2
∆z∆x
∂z∂x
2
∂
∂
∂
=
∆x +
∆y +
∆z f
∂x
∂y
∂z
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
- Xem thêm -