Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Bài giảng giải tích hàm nhiều biế...

Tài liệu Bài giảng giải tích hàm nhiều biế

.PDF
108
22
141

Mô tả:

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ (Dùng cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi) SECTION 12.1 DOUBLE INTEGRALS OVER RECTANGLES ◆ 843 and the corresponding approximations become more accurate when we use 16, 64, and 256 squares. In the next section we will be able to show that the exact volume is 48. (a) m=n=4, VÅ41.5 (b) m=n=8, VÅ44.875 (c) m=n=16, VÅ46.46875 FIGURE 8 The Riemann sum approximations to the volume under z=16-≈-2¥ become more accurate as m and n increase. ⱍ EXAMPLE 2 If R 苷 兵共x, y兲 1  x  1, 2  y  2其, evaluate the integral yy s1  x 2 dA R z SOLUTION It would be very difficult to evaluate this integral directly from Definition 5 (0, 0, 1) but, because s1  x 2  0, we can compute the integral by interpreting it as a volume. If z 苷 s1  x 2, then x 2  z 2 苷 1 and z  0, so the given double integral represents the volume of the solid S that below the circular cylinder x 2  z 2 苷 1 Hàlies nội 2013 and above the rectangle R. (See Figure 9.) The volume of S is the area of a semicircle with radius 1 times the length of the cylinder. Thus S x FIGURE 9 (1, 0, 0) (0, 2, 0) y yy s1  x 2 dA 苷 12  共1兲2  4 苷 2 R The Midpoint Rule The methods that we used for approximating single integrals (the Midpoint Rule, the Trapezoidal Rule, Simpson’s Rule) all have counterparts for double integrals. Here we consider only the Midpoint Rule for double integrals. This means that we use a double Mục lục Chương 1. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 4 1.1. Hệ tọa độ Oxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Mặt trụ và mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Hệ tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Hệ tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6. Hàm véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. Hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8. Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9. Sự liên tục của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11. Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12. Ứng dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.13. Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.14. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.15. Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.16. Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.17. Cực trị tự do của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.18. Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . 29 1.19. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến . . . . . . . 33 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 35 2.1. Tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Cách tính tích phân bội hai trong toạ độ Đề-các . . . . . . . . . . . 38 2.4. Phép đổi biến trong tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Các ứng dụng của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6. Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7. Cách tính tích phân trong tọa độ đề các . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2 2.8. Phép đổi biến trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.9. Các ứng dụng của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT 71 3.1. Trường véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2. Tích phân đường của trường véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3. Định lý cơ bản của tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Định lý Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5. Curl và Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.6. Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.7. Ứng dụng của tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.8. Mặt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.9. Tích phân mặt của trường véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.10. Định lý Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.11. Định lý Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Lời nói đầu Bài giảng này được dành cho sinh viên của Trường Đại học Thủy lợi khi học môn Toán 2 (Giải tích hàm nhiều biến số). TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com systems for three-dimensional space. This is the setting for the study of functions of two variables because the graph of such a function is a surface in space. Vectors planes in space as well as velocities and acceleration of objects that move in space. Chương 1 9.1 Three-Dimensional Coordinate Systems ● ● ● ● ● ● ● HÀM NHIỀU BIẾN SỐ z To locate a point in a plane, two numbers are necessary. We know that any in the plane can be represented as an ordered pair 共a, b兲 of real numbers, whe the x-coordinate and b is the y-coordinate. For this reason, a plane is calle dimensional. To locate a point in space, three numbers are required. We represe O 648 CHAPTER VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE point■in space by9 an ordered triple 共a, b, c兲 of real numbers. In order to represent points in space, we first choose a fixed point O (the 1.1. Hệ tọa độ Oxyz y anythat bottom corner of a room the corn and three directed lines through O are perpendicular to and eachcall other, call xz-plane, wall on your right is the y coordinate axes and labeled the xthe -axis, y-axis,the and z-axis. Usually weinthink x Quy tắc bàn tay phải : Ngón tay cái hướng theo chiều Oz thì hướng quay Thethe x-axis runs along vertical, the intersection of thet x- and y-axesdương as beingtrục horizontal and z-axis as being and we draw FIGURE 1 intersection floor and the righ of the axeschiều as in Figure Thethe direction of theofzthe -axis is determined ngược chiều kim Coordinate đồng hồaxes từ chiều dương củaentation trục Ox đến dương1.along của trục Oy. toward2: theIfceiling along intersection th right-hand rule as illustrated in Figure you curl the the fingers of your of righ you can now imagine around the zz-axis in the direction ofoctant, a 90 and counterclockwise rotationseven fromother the p z on the points same floor four ondirection the floo x-axis to the positive y-axis, then (three your thumb in theand positive corner point O . z-axis. P(a, b, c) Now P is coordinate any point inplanes space, let a be the The three coordinate axes determine theifthree illustrated Pthat , let contains b be the the distance from the the xz-plane to ure 3(a). The xy-plane is the plane x and y -axes; yz-plan c O -plane tothe P. xWe represent point P by th tains theay- and z-axes; the xz-planexycontains - and These three coor z-axes. the and we call a, b, and c the coordinates of P; planes divide space into eight 650 ■ CHAPTER 9 VECTORS AND y parts, called octants. The first octant, in the y THE GEOMETRY OF SPACE nate,axes. and c is the z-coordinate. Thus, to locate x ground, is determined by the positive b x gin O and move a units along the x-axis, the A ⱍ2  ⱍ to ABthe FIGURE 2 and 4 ⱍ P1 B ⱍ2c units ⱍ P1parallel ⱍ2 z-axis as in Figure 4. FIGURE z Hình 1.1: Quy tắc bàn tay phải và tọa độ của một điểm. Right-hand rule The point P共a, b, c兲 determines a rectangu z Combining these equations, we get pendicular from P to the xy-plane, we get a p of P on the xy-plane. Similarly Tọa độ của một điểm: Một điểm P có tọa độ (a, b, c) trong đó a, the b, projection c được xác 2 P1 P2 ⱍ2  ⱍ P1 A ⱍ2tions  ⱍ AB BP2yz of ⱍP  onⱍthe ⱍ ⱍ2-plane and xz-plane, respe y z -plane định bằng cách chiếu lên các trục tọa độ (Hình 1.1). plane ght wall共4 As numerical2 illustrations, 2theripoints 2 l xz ⱍ x 2  xFigure 1 ⱍ  ⱍ y2  y1 ⱍ  ⱍ z2 a wl Oz1 ⱍ 6. t Khoảng cách giữa hai điểm P1 (x1 , y1 , z1 ) và P2 (x2 , y2 , zO2 ): f le 2 2 2 p xy  共x 2  x 1 兲  共y2  y1z兲 x 共z2  z1 兲 fl P1 P2 = -pla (x1 − x2 )2 + (y1 − xy2 )2z + (z1 − z2n)e2 Therefore ⱍ P P ⱍ  s共x (0, 0, c) 1 2 oor y  x 1 兲2  共y2  y1 兲2  共z2  z1 兲32 2 _4 R(0, b, c) (b) (a)k, Coordinate planes r: 3 Phương trình mặt cầu (Hình 1.2 FIGURE bên trái) tâm 3C(h, l) bán EXAMPLE The distance fromkính the point P共2, 1, 7兲 to the point Q共1, 3, 5兲 is S(a, 0, c) (x − h)2 + (y 0 Because many people P(a, b, c) have some difficulty visualizing diagrams of three-d ⱍ PQ ⱍ  s共1  2兲2  共3  1兲2  共5  7兲2 y _53(b)]. L 2 sional figures, − k) + (z − l)2 =your2may find it helpful to dox the following [see Figure  s1  4  4  3 0 (0, b, 0) (a, 0, 0) EXAMPLE 4 z P(x, y, z) r (_4, 3, _5) SECTION C共h, 9.1 THREE-DIMEN Find an equation of a ysphere with radius r and center k, l兲. x SOLUTION By definition, a sphere is the set of all points P共x, y, z兲 whose distance f Q(a, b, 0) z SOLUTION The inequalities ⱍ ⱍ C is r. (See Figure 10.) Thus, P is on the sphere if and only if PC  r. Squarin FIGURE 5 FIGURE 6 1  x2  y2  both sides, we have PC 2  r 2 or ⱍ ⱍ The 2Cartesianasproduct bek兲rewritten 共x  h兲2  can 共y   共z  l兲2  r 2 ⺢  ⺢  ⺢  兵共x dered triples of real numbers and is denoted 1  sx 2  y 2 0 respondence between points P in space and o 1 The result of Example 4 is wortha remembering. rectangular sothree-dimensional they represent the points 共x, y, z兲coordinat whose di 0 2 dinates, the first octant can be described th and at most 2. But we are also given thatasz  x y x positive. xy-plane. Thus, the given inequalities represen Equation of a Sphere An equation of a sphere with center C共h, k, l兲 and radius r y 2 two-dimensional geometry, the In spheres x 2  y 2  zanalytic  1 and x 2  y 2the  is 2 is a curve Itinis⺢sketched . In three-dimensional xy-plane. in Figure 11. analytic FIGURE 10 FIGURE 11 3 Hình 1.2: Mặt cầu và biểu diễn phần nằm giữa hai nửa mặt 共x  h兲2 cầu.  resents 共y  k兲a2 surface  共z  in l兲2⺢. r 2 C(h, k, l) In particular, if the center , 1then an surfaces equation in of ⺢theare sphere is 2 ≤O4, represent Phần không gian xác định bởi các bất đẳng thức 1 ≤ x2 + yis2 the + origin zEXAMPLE zWhat ≤ 0 (a) z  3 (b 9.1 Exercises 2 2 2 2 biểu diễn vùng ở giữa (tính cả phần nằm trên) hai mặt cầu x + xy2 +y 2z z= 1r 2và 3 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● SOLUTION TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU The z  3 represents theequation set 兵共x 1. Suppose you start at the origin, move (a) along theequation 10. Find an x-axis a dis3 tance of 54 units the positive then radius . Descr in ⺢ move whose isequation 3s7 . This is x 2  y 2direction, EXAMPLE Showinthat  z 2 points  and 4x  6y  2z z-coordinate 6  0 is the of http://nguyenduchau.wordpress.com downward distance of 3 units. Whatthe are xy the-plane coordinates nate planes. and three units above it as in Fig sphere, and afind its center and radius. of your position? 11. Find an equation SOLUTION We can rewrite the given equation in the form of an equation of a sphere 共4, 3, 1兲 and ha 2.we Sketch the points (3, 0, 1), 共1, 0, 3兲, 共0, 4, 2兲, and complete squares: (1, 1, 0) on a single set of coordinate axes. 12. Find an equation 2 2 2  4兲P共6,  2, 共y3兲 6y 1, 9兲   9whose  1 ce 3. Which共xof  the4x points ,Q共5, and 2z  1兲  6 gin4 and 4兲, 共z Which point lies in the R共0, 3, 8兲 is closest to the xz-plane? 共x  2兲2  共y  3兲2  共z  1兲2  8 13–14 yz-plane? ■ Show that t 676 tròn ■ CHAPTER 1.2. Mặt trụ và mặt xoay 9 5 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE x2 + y 2 + z 2 = 4 đồng thời nằm phía dưới (tính cả phần nằm trên) mặt Oxy 3. Suppose the tetrahedron in the figurephẳng has a trirectangular vertex S. (This means t three angles at are all right angles.) Let , , and C be the areas of the three fa S A B (Hình 1.2 bên phải). that meet at S, and let D be the area of the opposite face PQR. Using the result o Phương trình đường thẳng đi qua điểm P0 (x0 ,lem y0 ,1,zor0 )otherwise, và có và có that véc tơ chỉ phương show v(a, b, c): D 2  A2  B 2  C 2 x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct SECTION 9.5 EQU (This is a three-dimensional version of the Pythagorean Theorem.) Nếu cả ba số a, b, c đều khác 0 thì phương trình đường thẳng có But thểif viết dưới we solve the first two equations, we ge dạng: don’t satisfy the third equation. Therefore, th the three equations. Thus, L 1 and L 2 do not in lines. x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c 9.5 Equations of Lines and Planes ● ● ● Planes ● ● ● ● ● ● ● Although a line in space is determined by a morewhen difficult to describe. A single vector pa A line in the xy-plane is determined a point on the line and the directi the “direction” theequation plane, but vector line (its slope or anglenof inclination) are given.of The ofathe line per ca specify its direction. Thus, a plane in space written using the P (x, y, z) point-slope form. the plane space and a is vector n that iswhen orthogonal Likewise, a line L in three-dimensional determined we knot called a normal vector. Let P共x, y, z兲 be an a P0共x 0 , yr0 , zr-r¸ 0兲 on L and the direction of L. In three dimensions the direction o r be P0 and to P. LThen conveniently described by a vector, sothe weposition let v be vectors a vectorofparallel . Let r¸ 0 Figure normal vectorofn P is0 ortho be an arbitrary point on L and let(See r0 and r be 6.) theThe position vectors and P P¸(x¸, y¸, z¸) In particular, orthogonal to r  r0 and so A0 and OP A). If anisisthe vector with representa x they have representations OP y as in Figure 1, then the Triangle Law for vector addition gives r  r0  a. B a and6 v are parallel vectors, there is a4 scalar t such that a  tv. Thus n ⴢ 共r  r0 FIGURE z z P¸(x¸, y¸, z¸) a P(x, y, z) L r¸ O r v x y FIGURE 1 Hình 1.3: Đường thẳng và mặt phẳng. r can r0 be  rewritten tv which as 1 Phương trình mặt phẳng đi qua P0 (x0 , y0 , z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n(A, B, C): ⴢr 5 value of the parameter t n z a vector of L. Each gives then A(x − x0 ) + B(y − y0 ) which + C(zis − z0 ) =equation 0 t>0 vector r of a point on L. In other words, as t varies, the line is traced out by the vector r. As Figure 2 indicates, positive values of Equation t correspond to points Either Equation 4 or 5 is called av 1.2. Mặt trụ và mặtr¸ tròn xoay lie on one side of P0 , whereas negative valuesaof t correspond to points thatw To obtain scalar equation for the plane, other side of P0 . r0  具x 0 , y0 , z0 典 . Then the vector equation (4 the vectorsinh) the direction of the line in componen v that gives Mặt trụ là mặt được tạo bởi một đường thẳng LIf(đường giữ nguyên phương và L is written b, c典write ⴢ 具x rx 0具x, ,y v  具a, b, c典 , then we have tv  具ta, tb, tc典 . We can具a,also di chuyển sao chox luôn luôn song song với chính trên đường cong C (đường y r0  nó, 具x 0 , ytựa , z 典 , so the vector equation (1) becomes 0 0 or t=0 t<0 tựa). L FIGURE 2 具x, y, z典  具x 0  ta, y0  tb, za共x 0  tc典  x 0 兲  b共y  y0 6 trụ. Khi đường tựa là một đường cong đơn phẳng khép kín, ta có mặt lăng Two vectors are equal if and only if corresponding components are equal. T Tùy theo bậc của đường cong C mà người ta gọi bậc của mặt trụ. Với C là we have the three scalar equations: Equation 6 is the scalar equation of the pl đường cong bậc hai thì ta có mặt trụ bậc hai. Nếu đường tựa của là ellipse, vector nparabol  具a, b, c典 . hay hyperbol thì mặt trụ được gọi là mặt trụ elliptic, parabolic hay hyperbolic. Nếu x  x 0  at y  y40 Find  btan equation z  z0 of  the ct plane thro 2 đường tựa là một vòng tròn trong mặt phẳng vuông góc với L thì ta cóEXAMPLE mặt trụ tròn vector n  具2, 3, 4 典 . Find the intercepts and xoay. where t 僆z ⺢. These equations areSOLUTION called parametric L Putting a  2equations , b  3, c of  the 4, xline 0  2 Một phương trình trong hệ tọa độ Oxyz khuyết biến đều biểu diễn the pointmột P0共x to the vector vequation  具a, b,ofc典the . Each value seemột that anmặt plane is of th 0 , y0 , z0兲 and parallelwe (0, 0, 3) gives a point z兲 on Lkhuyết. . trụ với các đường sinh song song với trục tọaeter đột tương ứng 共x, vớiy, biến 2共x  2兲  3共y  4兲 Ví dụ 1.1 Hình 1.4 biểu diễn mặt trụ elliptic (6, 0, 0) z = x2 . x x2 a2 FIGURE 7 + y2 b2 (0, 4, 0) = 1 và ymặt ortrụ parabolic 2x To find the x-intercept we set y  z  0 in t larly, the y-intercept is 4 and the z-intercept i tion of the plane that lies in the first octant (s TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com x which is called a linear func z  ax  by  c, or ax  by that linear functions of one var see that linear functions of two 6 FIGURE 4 1.3. Mặt bậc hai EXAMPLE 5 Sketch the graph o z SOLUTION Notice that, no matter x 2. The equation of the graph any vertical plane with equatio in a curve with equation z  x formed by taking the parabola of the y-axis. So the graph is a infinitely many shifted copies 0 x y In sketching the graphs of determining the shapes of cros x fixed by putting x  k (a con Mặt tròn xoay. Cho đường cong C thuộc mặt phẳng Oyz có phương trình z f (y, z) = 0. Cho C xoay quanh trục Oz (trục đối xứng của mặt tròn xoay). Khi đó  p  2 mặt tròn xoay tạo thành có phương trình f ± x2 + y 2 , z . 5 trụ parabolic. Hình 1.4: Mặt trụ ellipticFIGURE và mặt The graph of f(x, y)=≈ is the parabolic cylinder z=≈. 0 1 FIGURE 12 x Hình 1.5: Mặt tròn xoay. Tab standa face is Tương tự chúng ta có phương trình của mặt tròn xoay trong các trường hợp mà trục đối xứng là Ox và Oy. Ví dụ 1.2 Tìm phương trình của mặt tròn xoay khi cho đường thẳng z = 3y nằm trong mặt phẳng Oyz quanh quanh trục Oz. p p of quadric surfaces TABLE 2 Graphs Giải. Thay y bởi ± x2 + y 2 sau đó bình phương ta được z = ±3 x2 + y 2 hay là z 2 = 9(x2 + y 2 ). Đây là phương trình của mặt nón. Surface 1.3. Mặt bậc hai x2 y2  2  a2 b All traces a If a  b  a sphere. Ellipsoid Ellipsoid z Phương trình x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c Tất cả các giao tuyến đều là các đường ellipse. Nếu a = b = c thì ellipsoid là mặt cầu. Eq y x TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Elliptic Paraboloid z z x2  2  c a If a  b  c, the ellip a sphere. z z 2 x 1 1-≈- 9 f(x, y)=2 œ„„„„„„„ ¥ g(x, y)=_2 y 0 1.3. Mặt bậc hai 0 7 z g(x, y)=_2 x2  2  yElliptic Paraboloid a 2c z z x y2 0 0 Elliptic Paraboloid  2 x Paraboloid Elliptic t FIGURE 12 x c aHorizontal b2 z 1 Horizontal traces trac are e 3 Vertical y Phương trình Vertical traces are par The variable z x2 y 2 2 shows computer-drawn graphs of the six basic The variable raised to types of quad = 2 +Table x FIGURE 12 x firstindicates power 2 power thi c astandard b form. All surfaces are symmetric with respectfirst to the z -axis. If of the parab of the paraboloid. Giao tuyến thẳng đứng là các đường parabol. about a different axis, its equation changes accordin face is symmetric Giao tuyến ngang là các đường Table ellipse.2 shows computer-drawnxxgraphs ofy the six basic types of quad y Trục Oz là trục của paraboloid. standard form. All surfaces are symmetric with respect to the z-axis. If TABLE 2 Graphs of quadric surfaces Paraboloid Hyperbolic (Mặt yên ngựa) z x 2 accordin y2 face is symmetric about a different axis, its equation changes Hyperbolic Paraboloid  2  2 2 c a z b Equat x Surfacetrình Equation Phương Hyperbolic Surface Paraboloid  z Horizontal traces2 are 2 2 z y x c 2 a 2 hyperbolas. TABLE 2 Graphs of quadric surfaces= 2 2 2 2 − z z x y 2 y b2 c x a z Horizontal Vertical traces are par  2 1   Ellipsoid Cone 2 2 2 2 2 a b c c a b Surface Equation Surface Equat hyperbolas. Giao tuyến thẳng đứng là các đường parabol. c 0 The case where  z y z illustrated. traces are ellipses. Horizontal trace Giao tuyến ngang là các All đường hyperbol. Vertical tra 2 2 2 x xtrường z2 x 2tracesy 2in a  ybhợp cc,zthe is Vertical Hình vẽ minh họa trong If < 0.ellipsoid 1  2case  w2 Ellipsoid Cone 2 y xc 2The sphere. k and b2 c2 a y bk Mặtaanón (Cone) illustrated. z z hyperbolas if k  x Phương trình 1 3 All traces are ellipses. b  c, the ellipsoid is If a  z2 x2 y 2 a sphere. = + c2 a2 b2 y xx y y x Horizontal trace pairs of lines if Vertical traces in x  k and y  k hyperbolas if k  pairs of lines if Giao tuyến ngang là các đường ellipse. x y Giao tuyến sinh ra khi cắt mặt bởi các mặt phẳng x = k và y = k là các đường hyperbol 2nếu k 26= 0 và là cặp đường z x y Elliptic Paraboloid Hyperboloid of One Sheet thẳng nếu k = 0.  2  2 c a b z z Hyperboloid một tầng (Hyperboloid of One Sheet) Horizontal traces are ellipses. z x2 y2 Vertical Phương trình Elliptic Paraboloid Hyperboloid of One Sheet  2 traces  2 are parabolas. cy 2 variable az 2 braised to the x2 The z z + 2 − 2 =1 indicates axis Horizontal arethe ellipses. a2 first b power c traces x y of the paraboloid. traces are parabolas. Giao tuyến ngang là các Vertical đường ellipse. cácvariable đường raised hyperbol. The to the xGiao tuyến thẳng đứng là y tương ứngfirst indicates the axis Trục đối xứng với power biến có hệ số âm. x y of the paraboloid. x2 y2 z2   a2 b2 c2 Horizontal trace x2 y 2tracesz 2ar Vertical   2 a 2 axis b 2of sym c The corresponds to th Horizontal trace whose coefficien Vertical traces ar The axis of sym corresponds to th whose coefficien z x2 y2 Hyperboloid of Two Sheets  2  2 c a b z Horizontal traces are hyperbolas. z x2 y2 Hyperboloid of Two Sheets  2  2 Vertical c a traces b are parabolas. z The case where Horizontal tracesc are  0 is x y illustrated. hyperbolas. Vertical traces are parabolas. The case where c  0 is x y illustrated. http://nguyenduchau.wordpress.com x2 y2 z  2 2  a b c Horizontal trace ellipses x 2 ifyk2  cz  2  2  Vertical traces arc a b The two minus Horizontal traces two sheets. ellipses if k  c Vertical traces ar The two minus s two sheets. x Paraboloid Hyperbolic y z Hyperbolic Paraboloid z y x TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU y x  The variable raised to the first power indicates the axis of the paraboloid. x x The axis of sym corresponds to th whose coefficien y y 8 1.4. Hệ tọa độ trụ Hyperboloid hai tầng z (Hyperboloid x2 y 2 of Two Sheet) Hyperbolic Paraboloid Hyperboloid of Two Sheets  2  2 c a b z Phương trình z x2 Horizontal y 2 z 2 traces are − 2 −hyperbolas. + 2 =1 a b2 c Vertical traces are parabolas. Giao tuyến sinh ra khi cắt mặt bởi các mặt phẳng z = k c  0 is where là các đường ellipseynếu kThe > ccase hoặc k < −c. x y illustrated. Giao tuyến thẳng đứng là các đường hyperbol. x Trục đối xứng tương ứng với biến có hệ số âm. Hai dấu trừ thể hiện hai tầng. x2 y2 z  2 2  a b c Horizontal trace ellipses if k  c Vertical traces ar The two minus s two sheets.  692 Ví dụ 1.3 Phân loại mặt có phương trình x2 + 2z 2 − 6x − y +■10 CHAPTER = 0. 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE z EXAMPLE 9 Classify the q Giải. Biến đổi về dạng y − 1 = (x − 3)2 + 2z 2 . Ta thấy rằng SOLUTION By completing th đây là mặt paraboloid elliptic với trục là đường thẳng song song với trục Oy. Đỉnh là điểm (3, 1, 0). Giao tuyến sinh 0 694 ■ CHAPTER 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE ra khi cắt mặt bởi các mặt phẳng y = k (k > 1) là các y Comparing this equation đường ellipse (x−3)2 +2z 2 = k −1, y = k. Giao tuyến sinh loid. Here, however, the a been shifted so that its ve ra khi cắt mặt bởi mặt phẳng Oxy là parabol có phương (3, 1, 0) 共k  1兲 are the ellipses 2 9.7 Cylindrical and Spherical Coordinates x trình y = 1 + (x − 3) , z = 0. Paraboloid được minh họa 共 trong hình vẽ bên. ● ● ● ● In plane system FIGURE 13 geometry the polar coordinate The trace in the is -planeto xyused regions. (See H.) In th The Appendix paraboloid is sketche coordinate systems that are similar to polar coordinate tions of some commonly occurring surfaces and solids. whenbiểu we compute Trong hệ tọa độ trụ, một điểm P (x, y, z) trong không gian inbaChapter chiều12 được diễn volumes and triple int 1.4. of certain curves and ≈+2z@-6x-y+10=0 Hệ tọa độ trụ 9.6 Exercises ● ● ● ● ● ● ● ● ● bởi ba tọa độ sắp thứ tự P (r, θ, z), ở đó r và θ là tọa độ cực của hình chiếu của P trong mặt phẳng Oxy như Hình 1.6. Cylindrical Coordinates 1. In Example 3 we considered the function h  f 共v, t兲, where h is the height of waves produced by wind at speed v for a z Intime thet.cylindrical system,questions. a point P in thr Use Table 1 tocoordinate answer the following (a) What the ordered value of ftriple ? What its meaning? 共40, 15兲共r, sented by isthe , z兲is, where r and are (b) What meaning the function f 共30, t兲? jection of isP the onto the xyof-plane and zhisthe directed distan Describe the behavior of this function. Figure 1). (c) What is the meaning of the function h  f 共v, 30兲? ToDescribe convertthefrom cylindrical to rectangular coordinat behavior of this function. P(r, ¨, z) z O ¨ x ● 2. The figure shows vertical traces for a function z  f 共x, y兲. r y (r, ¨, 0) Which one of the graphs I–IV has these traces? Explain. x  r cos z y  r sin 1 z k=_1 k=1 FIGURE 1 Hình 1.6: Tọa độ trụ của một điểm . whereas0to convert from rectangular to cylindrical coor _2 2 The cylindrical coordinates of a point 0 y x Phép đổi biến trong tọa độ trụ 2 _2 x = r cos θ, y = r sin θ, z=z 2 r 2  x 2 1 y 2 _1 (1.1) Traces in x=k tan  y x Traces in y=k z Để tìm tọa độ trụ từ tọa độ vuông góc ta sử dụng cácI đẳng z II Equations These thức equations follow from 1 and 2 in App y r2 = x2 + y 2 , tan θ = , z = z EXAMPLE 1 (1.2) x (a) Plot the point withy cylindrical coordinates 共2,y 2兾3 x x coordinates. (b) Find cylindrical coordinates of the point with recta http://nguyenduchau.wordpress.com z z III IV 共3, 3, 7兲. TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU SOLUTION y x The point with cylindrical coordinates 共2, 2y兾3, 1兲 (a) x Equations 1, its rectangular coordinates are z 2π ”2,       , 1’ These equations fo EXAMPLE 1 9 1.5. Hệ tọa độ cầu Ví dụ 1.4 (a) Vẽ điểm (2, 2π/3, 1) trong tọa độ trụ và tìm tọa độ của nó trong hệ tọa độ vuông góc. (b) Tìm tọa độ trụ của điểm có tọa độ (3, −3, −7) trong hệ tọa độ vuông góc. (a) Plot the point w coordinates. (b) Find cylindrica 共3, 3, 7兲. SOLUTION (a) TheSECTION point 9.7 with C Equations 1, its rec z 2π (b) From Equations 2 we have ”2,       , 1’ 3 Giải. √ (a) x = 2 cos 2π y = 2 sin 2π 3, z = 1. Vậy tọa 3 = −1, 3 = √ độ vuông p góc là (−1, 3, 1).√ (b) r = 32 + (−3)2 = 3 2, tan θ = −3 3√ = −1, chọn 7π θ = 4 . Vậy tọa độ trụ của điểm đã cho là (3 2, 7π/4, −7). x 1 2 0 tan  2π 3 ◆ 695 (b) Giải. From Equations 2 we have (a) Phương trình trong tọa2  độ3s2 trụ của mặt cầu x2 + y 2 + 2z 2 = 4 là 2  共3兲 r  s3 tan  3  1 3 so y 3  3 z  7 Thus, the point isco ( Therefore, one set of cylindrical (3 s2, 兾4, 7). As with polar c FIGURE 2 Ví dụ 1.5 Tìm phương trình trong tọa độ trụ của (a) Mặt cầu x2 + y 2 + 2z 2 = 4. 2 −SPHERICAL 9.7 CYLINDRICAL COORDINATES (b) Paraboloid SECTION hyperbolic z = xAND y2. r  s3 2  Cylindrical coordinates are use axis, and the z-axis is chosen to co axis of the circular cylinder with cylindrical coordinates this cylinder This is the reason for the name “cy 72z 2 = 4 r2 +  2n  4 (b) Ta có x2 − y 2 = r2 cos2 θ − r2 sin2 θ = r2 cos 2θ, do đó phương trình của mặt z  7 paraboloid hyperbolic z = x2 − y 2 trong tọa độ trụ là Therefore, one set of cylindrical coordinates is (3s2, 7兾4, 7). Another is r2 cos many 2θ choices. (3s2, 兾4, 7). As with polar coordinates, there zare=infinitely (c, 0, 0) Cylindrical coordinates are trụ useful in problems symmetry aboutcó an môt trục đối xứng (đặc Chú ý 1.1 Tọa độ thường đượcthat áp involve dụng với các mặt x FIGURE 3 axis, and the z-axis is chosen to coincide with this axis of symmetry. For instance, the2 2 2 đối với cácwith mặtCartesian trụ) như là xmặt = In c r=c, (r a= c) và mặt nón 2 2 2 cylinder axisbiệt of thelàcircular cylinder equation  y trụ  cx is + theyz-axis. 2 + y 2 (z = r) (xem Hình 1.7). z2 = x cylindrical coordinates this cylinder has the very simple equation r  c. (See Figure 3.) This is the reason for the name “cylindrical” coordinates. EXAMPLE 2 Describe the surface wh z z 0 SOLUTION The equation says that the y y (c, 0, 0) FIGURE 3 0 (0, c, 0) x x r=c, a cylinder 4 nón z = r. Hình 1.7: Mặt trụ r = FIGURE c và mặt EXAMPLE 2 Describe the surface whose equation in cylindricalz=r, coordinates a cone is z  r. z the same as r, the distance from th can vary. So any horizontal trace in These traces suggest that the surfa converting the equation to rectangu have z We recognize the equation z 2  x 2 as being a circular cone whose axi SOLUTION The equation says that the z-value, or height, of each point on the surface is 0 RE 4 a cone y the same the distance fromcầu the point to the z-axis. Because doesn’t appear, it EXAMPLE 3 Find an equation in cyl 1.5.as r,Hệ tọa độ can vary. So any horizontal trace in the plane z  k 共k  0兲 is a circle of radius k. 4x 2  4y 2  z 2  1. These traces suggest that the surface is a cone. This prediction can be confirmed by Trongthehệequation tọa độto cầu, một coordinates. điểm P (x, y, z) không gian biểu diễn converting rectangular From thetrong first equation in (2) we ba chiều được SOLUTION Since r 2  x 2  y 2 from havebởi ba tọa độ sắp thứ tự P (ρ, θ, φ), ở đó ρ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến P , θ là z2  r 2  x 2  y 2 TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU z2  1  So an equation of the ellipsoid in c We recognize the equation z 2  x 2  y 2 (by comparison with Tablehttp://nguyenduchau.wordpress.com 2 in Section 9.6) as being a circular cone whose axis is the z-axis (see Figure 4). EXAMPLE 3 Find an equation in cylindrical coordinates for the ellipsoid 4x 2  4y 2  z 2  1. SOLUTION Since r 2  x 2  y 2 from Equations 2, we have x x x 0 1.5. Hệ tọa độ cầu 696 FIGURE 6 ∏=c, a sphere ■ CHAPTER 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE z Q FIGURE 8 FIGURE 7 ¨=c, a half-plane 10 Spherical Coordinates The relationship between rectangular Figure 9. From triangles OPQ and OPP The spherical coordinates 共 , , 兲 of a point P in space are shown  same  cos ang  where   OP P(x, y, z) is the distance from the origin to P, is zthe drical coordinates, and  is the angle between the positive z-axis and th P(∏, ¨, ˙) z But x  r cos and y  r sin , so to c OP. Note∏that ˙ nates, we use the equations ˙ z ⱍ P(∏, ¨, ˙) ∏ ˙ ⱍ 0 O O 0  x x   sin  cos y 3 r The¨spherical coordinatey system is especially useful in problems where metry about a point, and the origin is placed at this point. For example, th x y ª(x, y, 0) center the originPand radius c hasAlso, the simple equation   shows c (see Figure the distance formula that reason for the name “spherical” coordinates. The graph of the equation FIGURE 9 FIGURE 5 Hình 1.8: Tọa độ cầu của một điểm. tical half-plane (see Figure 7), and the equation   c represents a half The spherical coordinates of a point 2  x z-axis as its axis (see Figure 8). 4 ¨ y x z góc được xác định như trong tọa độ trụ và φ là gócz giữa chiều dương của trụcz Oz We use this equation in converting from và đoạn thẳng OP (Hình 1.8). Chú ý rằng ρ ≥ 0 và 0 ≤ φ ≤ π. Phép đổi biến trong tọa độ cầu x = ρ sin φ cos θ, 0 c y = ρ sin φ sin θ, 0 z = ρ cos φ (1.3) 0 0 c y Để tìm tọa độ cầu từ tọa độ vuông góc ta sử dụng đẳng thức x ρ2 = x2 + xy 2 + z 2 y y x (1.4) x π/2 0 0. Giải. Đây là phương trình của mặt cầu bán kính a tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại gốc toạ độ. Áp dụng công thức ρ2 = x2 + y 2 + z 2 và z = ρ cos φ phương trình của mặt cầu được viết lại ρ2 − 2aρ cos φ = 0 ⇔ ρ(ρ − 2a cos φ) = 0 hay là ρ − 2a cos φ = 0 Ví dụ 1.10 Tìm phương trình trong hệ tọa độ vuông góc của mặt có phương trình trong hệ tọa độ cầu là ρ = sin φ sin θ. Giải. Ta có x2 + y 2 + z 2 = ρ2 = ρ sin φ sin θ = y. Từ đó suy ra   1 2 1 x2 + y − + z2 = 2 4 Đây là mặt cầu tâm (0, 1/2, 0) bán kính 1/2. 1.6. Hàm véc tơ Hàm véc tơ r là quy tắc gán mỗi số thực t (thuộc miền xác định của r) cho tương ứng duy nhất một véc tơ r(t) được xác định bởi biểu thức r(t) = (f (t), g(t), h(t)) = f (t)i + g(t)j + h(t)k trong đó f , g, h là các hàm thực gọi là các hàm thành phần của r, t là biến độc lập nó thường biểu diễn biến thời gian trong phần lớn các ứng dụng của hàm véc tơ. TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 12 1.6. Hàm véc tơ Ví dụ 1.11 Xét hàm véc tơ r(t) = t3 , ln(3 − t), √ t Các hàm thành phần xác định trên 3 − t > 0 và t ≥ 0. Do đó miền xác định của hàm r là [0, 3). thì Giới hạn của hàm véc tơ. Với giả thiết tồn tại giới hạn của các hàm thành phần 706 ■ CHAPTER 10 VECTOR FUNCTIONS   lim r(t) = lim f (t), lim g(t), lim h(t)Limits of vector functions obey the same rules as limits of r t→a t→a t→a t→a (see Exercise 33). EXAMPLE 2 Find lim r共t兲, where r共t兲 苷 共1  t 3 兲i  tet j  Ví dụ 1.12 Tìm lim r(t), ở đó t→0 tl0 sin t SOLUTION According to Definition 1, the limit of r is the vector w sin t are the limits of the component functions of r: r(t) = (1 + t )i + te j + k t 3 Giải. −t 冋 lim r共t兲 苷 关lim 共1  t 3 兲兴 i  关lim tet 兴 j  lim tl0 tl0 tl0   i i h 苷ik (by Equation 3.4.2) sin t −t k=i+k j + lim lim r(t) = lim(1 + t ) i + lim te t→0 A t→0 t→0 t→0 t vector function r is continuous at a if h s tl0 3 ▲ This means that, as t varies, there is lim r共t兲 苷 r共a兲 no abrupt change in the length or direc- tla Tính liên tục. Hàm véc tơtionr ofgọi là liên the vector r共t兲. tục tại a nếu lim r(t) = r(a). Ta thấy t→a In view of Definition 1, we see that r is continuous at a if and o rằng r liên tục tại a khi và chỉ khi các hàm thành phần liên tục tại a. z P { f(t), g(t), h(t)} C functions f , t, and h are continuous at a. There is a close connection between continuous vector functio Suppose that f , t, and h are continuous real-valued functions o the set C of all points 共x, y, z兲 in space, where 2 x 苷 f 共t兲 y 苷 t共t兲 z 苷 h共t兲 and t varies throughout the interval I , is called a space curve. Th called parametric equations of C and t is called a parameter. being traced out by a moving particle whose position at time t y r(t)=k f(t), g(t), h(t)l x we now consider the vector function r共t兲 苷 具 f 共t兲, t共t兲, h共t兲典 , the FIGURE 1 vector of the point P共 f 共t兲, t共t兲, h共t兲兲 on C. Thus, any continuo Hình 1.9: Đường congoutCbyxác bởi hàmdefines véc tơ r. curve C that is traced out by the tip of the moving C is traced the tipđịnh of a moving a space position vector r(t). in Figure 1. 0 EXAMPLE 3 Describe the curve defined by the vector function Chú ý 1.2 Cho hàm véc tơ r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k liên tục (f , g, h cũng liên 具1  t, 2  5t, 1  6t典 tục) trên khoảng I. Gọi C là đường cong có phương trình tham số x = f (t), yr共t兲=苷g(t), SOLUTION Theh(t)) corresponding z = h(t). Khi đó r là hàm véc tơ chỉ vị trí của điểm P (f (t), g(t), trên Cparametric ngược equations are lại đường cong C biểu diễn điểm đầu mút của hàm véc tơ r (xem Hình 1.9). Đôi x 苷 1  t khi y 苷 2  5t z 苷 1  6 ta còn nói rằng đường cong C xác định bởi hàm véc tơ r hay C là đồ thị của hàm which we recognize from Equations 9.5.2 as parametric equation véc tơ r. ing through the point 共1, 2, 1兲 and parallel to the vector 具1, 5, we could observe that the function can be written as r 苷 r0  tv 具1, 2, 1 典 and v 苷 具1, 5, 6典 , and this is the vector equatio by Equation 9.5.1. Ví dụ 1.13 Miêu tả đường cong xác định bởi hàm véc tơr0 苷 r(t) = (1 + t, 2 + 5t, −1 + 6t) Plane curves can also be represented in vector notation. Fo given by the parametric equations x 苷 t 2  2t and y 苷 t  1 (se tion 1.7) could also be described by the vector equation Giải. Phương trình tham số của đường cong C tương ứng là x = 1 + t, y = 2 + 5t, r共t兲 苷 具t 2  2t, t  1 典 z = −1 + 6t. where i 苷 具1, 0典 and j 苷 具0, 1 典 . TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 苷 共t 2  2t兲i  共t  1 13 1.7. Hàm nhiều biến số Đây là một đường thẳng đi qua điểm (1, 2, −1) và có véc tơ chỉ phương v(1, 5, 6). z EXAMPLE 4 Sketch the Ví dụ 1.14 Miêu tả đường cong xác định bởi hàm véc tơ SOLUTION The parametr r(t) = cos ti + sin tj + tk ◆ SECTION 10.1 VECTOR FUNCTIONS AND SPACE CURVES Giải. Phương trình tham số của đường cong C là x = cos t, z EXAMPLE 4xét Sketch the curve whose y = sin t, z = t. Nhận rằng x2 + y 2 vector = 1 equation do đóisC nằm 2 2 trên mặt trụ x +y = 1. Đường cong r共t兲 được 苷 cos t biểu i  sin diễn t j  t ktrong hình vẽ bên, nó còn được gọi là đường Helix. SOLUTION The parametric equations for this curve are x 苷 cos t y 苷 sin t 707 π ”0, 1,   2 ’ (1, 0, 0) x y FIGURE 2 z苷t Ví dụ 1.15 TìmSince hàm conglie là giao củacylinder mặt trụ x2 + y 2 = 1 2 2 x 2 véc y 2 苷tơ cosbiểu t  sindiễn t 苷 1,đường the curve must on the circular π ”0, 1,   2 ’ y2 苷 above the point 共x, y, 0兲, which moves và mặt phẳng y +x 2 z = 2.1. The point 共x, y, z兲 lies directly 2 2 x FIGURE 2 (1, 0, 0) y Since x 2  y 2 苷 cos 2 x 2  y 2 苷 1. The poi counterclockwise arou in Section 1.7.) Since increases. The curve, counterclockwise around the circle x  y 苷 1 in the xy-plane. (See Example 2 in Section 1.7.) Since z 苷 t, the curve spirals upward around the cylinder as t increases. Theđường curve, shown in Figure is called a helix. biểu diễn cong C là 2,giao của mặt trụ x2 +y 2 = 1 Giải. Hình 1.10 và mặt phẳng y + z = 2, nó là một đường shape ellipse. Hình chiếu 4của C lên mặt phẳng Oxy là The corkscrew of the helix in Example is familiar fromtrên its occurrence in coiled springs. It also occurs in the model of DNA (deoxyribonucleic acid, the genetic 2 2 đường tròn x + ymaterial = 1,ofzliving = 0.cells). Phương trình tham số của đường tròn đó là x = cos t, In 1953 James Watson and Francis Crick showed that the y = sin t, 0 ≤ t ≤structure 2π. Từ trình của mặt phẳng có zthat=are2inter− y = 2 − sin t. of thephương DNA molecule is that of two linked, parallelta helices as in Figure 3. Vậy phương trìnhtwined tham số của C là The corkscrew sha coiled springs. It also material of living cel structure of the DNA twined as in Figure 3. EXAMPLE 5 Find a vec cylinder x 2  y 2 苷 1 SOLUTION Figure 4 show shows the curve of in EXAMPLE 5 Find a vector function that represents the curve of intersection of the cylinder x2  andsin the plane z 苷22− . sin t, x = cos t,y 2 苷y1 = t, yz= z 0 FIGURE ≤ t ≤32π SOLUTION Figure 4 shows how the plane and the cylinder intersect, and Figure 5 y+z=2 shows the curve of intersection C, which is an ellipse. z z FIGURE 3 y+z=2 (0, _1, 3) (_1, 0, 2) C (1, 0, 2) ≈+¥=1 (0, 1, 1) ≈+¥=1 x 0 y x y x FIGURE 4 FIGURE 5 Hình 1.10: Giao của mặt trụ x2 + y 2 = 1 và 2mặt2 phẳng y + z = 2. The projection of C onto the xy-plane is the circle x  y 苷 1, z 苷 0. So we know from Example 2 in Section 1.7 that we can write Hàm véc tơ tương ứng x 苷 cos t y 苷 sin t r(t) = cos ti + sin tj + (2 − sin t)k, z 苷 2  y 苷 2  sin t So we can write parametric equations for C as Hàm nhiều biến số x 苷 cos t y 苷 sin t The projection of C know from Example 2 0  t  2 From the equation of the plane, we have 1.7. FIGURE 4 0 ≤ t ≤ 2π From the equation of So we can write param z 苷 2  sin t 0  t  2 Định nghĩa 1.1 Không gian Rn Không gian 1 chiều R là tập hợp tất cả các số thực x (trục thực). TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com x 苷 cos 14 1.7. Hàm nhiều biến số Không gian 2 chiều R2 là tập hợp tất cả các cặp số thực có thứ tự (x, y). Không gian 3 chiều R3 là tập hợp tất cả nhóm 3 số thực có thứ tự (x, y, z). Không gian n chiều Rn là tập hợp tất cả nhóm n số thực có thứ tự (x1 , x2 , ..., xn ). Mỗi nhóm (x1 , x2 , ..., xn ) gọi là một điểm của không gian đó kí hiệu là x. Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Rn . Cho hai điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) và y = (y1 , y2 , ..., yn ) là hai điểm trong không gian Rn . Khoảng cách giữa hai điểm x, y là v u n uX ρ (x, y) = t (xi − yi )2 i=1 Định nghĩa 1.2 Một hàm số n biến x1 , x2 , ..., xn là một quy tắc gán mỗi cặp sắp thứ tự x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ V ⊂ Rn một số thực duy nhất f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ). Tập V được gọi là miền xác định của f . Tập giá trị của f là tập tất cả các giá trị của hàm f , nghĩa là {f (x1 , x2 , ..., xn )|(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ V }. Ví dụ 1.16 Cho hàm f (x, y) = 4x2 + y 2 . 686 ■ CHAPTER 9 VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE Miền xác định của f là toàn bộ mặt phẳng Oxy. Tập giá trị của f là tập [0, +∞). 686 ■ CHAPTER 9 Ví dụ 1.17 Tìm miền xác định của các hàm số sau và tính f (3, 2). √ (a) f (x, y) = (b) f (x, y) = x+y+1 x−1 . x ln(y 2 − pairs of real numbers 共x is the set 关0, 兲 of all n VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE f 共x, y兲  0 for all x an EXAMPLE 1 If f 共x, y兲  4 EXAMPLE 2 Find the dom x+y+1=0 x). pairs of real numbers 共x, sx  y is(a) the fset 共x, 关0, y兲 兲  of all non 1 f 共x, y兲  0 for all xxand y x=1 Giải. x+y+1=0 √ _1 0y (a) f (3, 2) = 26 . _1 x=1 Miền xác định D = {(x, y)|x + y + 1 ≥ 0, x 6= 1}. Bất đẳng thức x + y + 1 ≥ 0 hay y ≥ −x − 1, biểu diễn các điểm nằm trên hay phía trên của đường y = −x − 1,FIGURE 1 _1 0 x+y+1 _1 œ„„„„„„„ điều kiện x 6= 1 có nghĩa là ta sẽ trừ đi các điểm nằm trênDomain of f(x, y)= x-1 đường thẳng x = 1 (xem hình bên). FIGURE 1 x x=¥ FIGURE 2p The expression for f m the square root sign is n (a) The expression for f mak Thesquare inequality x isyno  the root sign above the line y  x must be excluded fromD x 0 sx  y  x1 SOLUTION x œ„„„„„„„ x+y+1 x-1 x=¥ 0y SOLUTION EXAMPLE 2 Find the doma (a) (a) f 共x, y兲  y Domain of f(x, y)= (b) f (3, 2) = 0. Bởi vì ln(y 2 − x) xác định khi y 2 − x > 0. Miền xác định D = (x, y)|x < y 2 . Đây là tập hợp các điểm ở bên trái của parabol x = y 2 (xem hình bên). EXAMPLE 1 If f 共x, y兲  x Ví dụ 1.18 Tìm miền xác định và miền giá trị của f (x,Domain y) = of f(x, y)=x ln(¥-x) 9 − x2 − y 2 . FIGURE 2 Domain of f(x, y)=x ln(¥-x) TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com The (b) inequality x  y  1 above the line y  x  2  x兲from Sincebeln共y is defi must excluded th is D  兵共x, y兲 x  y 2 其. f (b) (See Figure 2.) ⱍ Since ln共y 2  x兲 is define Not all functions can is D  兵共x, y兲 ⱍ x  y 2 其. T example is described ve (See Figure 2.) EXAMPLE The wave Not all 3functions canhe b v of the is wind (in knots) example described verb blowing at that speed. S Observations meas EXAMPLE 3 Theand wave heig are(inrecorded vphers of theand wind knots) a blowing at that speed. So TABLE 1 Observations and measur Wave heights (in feet) produced phers and are recorded t in √ by different wind speeds for various lengthsTABLE of time 1 Since z is a p _3 3 x So the range FIGURE 1 1.7. Hàm nhiều biến số 15 9-≈-¥ Domain of g(x, y)=œ„„„„„„„„„ Giải. Miền xác định  D = (x, y)|9 − x2 − y 2 ≥ 0  = (x, y)|x2 + y 2 ≤ 9 Visual SECTION 11.1 One way to v Section 9.6 th which is the disk with center 共0, 0兲 and ra y ≈+¥=9 Đây là hình tròn tâm (0, 0) bán kính 3. Bởi vì 9 − x2 − y 2 ≤ 9 do đó _3 p 2 2 0≤ 9−x −y ≤3 4 Sk 兵z ⱍ EXAMPLE z 苷 s9  x2 z (0, 0, 3) 3 SOLUTION The Since z is a positive square root, z  to 0. A equation ob x 0 (3, 0, 0) y So the range is x Vậy tập giá trị của f là [0, 3]. an equation o 9  x2  y2  9 ? graph of t is (0, 3, 0) EXAMPLE 5 Us tion 兵z P共L, ⱍ 0 Kz兲苷 SOLUTION Figu (a) Hàm z = lie between 0 có biểu diễn hình học là mặt paraboloid tròn xoay (với trục đối xứng Visual là trục Representations Oz, traces. We see đỉnh tại gốc toạ độ, hướng bề lõm về phía dương của trục Oz). p either L or K One 2 2 way to visualize a function of two 2 2 Một vài ví dụ về hàm hai biến FIGURE x2 + y 2 FIGURE 2 1 Graph of g(x, y)=œ„„„„„„„„„  9-≈-¥ Domain có miền xác địnhoflàg(x, y)=œ„„„„„„„„„ cả mặt 9-≈-¥ phẳng Oxy, có MGT là [0, +∞) (b) Hàm z = 1 − x − y có miền xác định là hình tròn x + y ≤ 1, miền giá 9.6 that the graph of f is the surfa trị là đoạn [0, 1] và có biểu diễn hình học là nửa mặt cầu ở phía Section trên mặt phẳng Oxy. z EXAMPLE 4 Sketch the graph of t共x, y兲 苷 (c) Hàm z = 2x + 3y có miền xác định là(0, 0, 3) cả mặt phẳng Oxy, miền giá trị là cả The graph equation z 苷 s9  trục thực R, có biểu diễn hình học là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ SOLUTION và vuông góc với has 2 equation to obtain z 苷 9  x 2  y 2, or x véc tơ n(2, 3, 1). 0 an equation of the sphere with center the (0, 3, 0) Một vài ví dụ về hàm ba biến graph of t is just the top half of this spher p (3, 0, 0) y (a) Hàm u = x2 + y 2 + z 2 − 1 có MXĐ là không gian phía ngoài mặt cầu x 3 to draw the gr EXAMPLE 5 Use aFIGURE computer x2 + y 2 + z 2 = 1 kể cả mặt cầu đó. MGT là khoảng [0, 1]. 0.75 0.25 p tion P共L, K兲 苷 1.01L K . FIGURE 2 (b) Hàm u = 4 − x2 − y 2 − z 2 + ln(x2 + y 2 + z 2 − 1) có MXĐ là hình vành cầu Another m œ„„„„„„„„„ Graph of g(x, y)=  9-≈-¥ SOLUTION Figure 3 shows the graph of P fo 1 < x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, tức là phần không gian nằm giữa hai mặt cầu có tâm tại gốc map on which liekể between 0 and 300. The computer has toạ độ, bán kính lần lượt là 1 và 2 (có kể biên ngoài nhưng không biên trong). curves. √traces. We see 2 2 2 MGT của hàm này là (−∞, 1 + ln 2) (Đặt t = x + y + z thì u = 4 − t + ln(t −from 1). these traces that the v either L or K increases, as is to be expecte Lập bảng biến thiên của hàm một biến này để tìm khoảng biến thiên của u). Definition T (c) Hàm u = √ x1 y z có miền xác định là: x2 − y3 + z4 tức là nửa không gian 1− 2 + 3 − 4 chứa gốc toạ độ phân chia bởi mặt phẳng (0, +∞). 752 x 2 − y 3 + z 4 ■ equations CHAPTER 11 PARTIAL DERIVATIVES 300 = 1. MGT của hàm là khoảng You can see from Figure 4 the relation between level curves and horizontal traces. The level curves f 共x, y兲 苷 k are just the traces of the graph of f in the horizontal plane z 苷 k projected down to the xy-plane. So if you draw the level curves of a function and visualize them being lifted up to the surface at the indicated height, then you can mentally piece together a picture of the graph. The surface is steep where the level curves are close together. It is somewhat flatter where they are farther apart. 200 z 40 100 45 00 50 0 A 00 B 0 300 y 50 x 00 k=45 f(x, y)=20 45 00 FIGURE 3 k=40 k=35 k=30 k=25 k=20 FIGURE 4 A level cur on a given va 00 LONESOME MTN. 55 Đường mức của hàm hai biến f là các đường có phương trình f (x, y) = k với k là hằng số. Tương tự ta có khái niệm mặt mức đối với hàm số ba biến. P 00 45 Lon es om ee e Cr k 200 K 100 0 FIGURE 5 One common example of level curves occurs in topographic maps of mountainous regions, such as the map in Figure 5. The level curves are curves of constant elevation above sea level. If you walk along one of these contour lines you neither ascend nor descend. Another common example is the temperature at locations 共x, y兲 with longitude x and latitude y. Here the level curves are called isothermals and join locations with Ví dụ 1.19 Tìm một số đường mức của hàm số h(x, y) = 4x2 + y 2 . Another method for visualizing functio map on which points of constant elevatio curves. TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU Definition The level curves of a functio equations f 共x, y兲 苷 k, where k is a con http://nguyenduchau.wordpress.com FIGURE 6 World mean sea-level temperatures in January in degrees Celsius A level curve f 共x, y兲 苷 k is the set of a on a given value k. In other words, it show 754 ■ CHAPTER 11 PARTIAL DERIVATIVES 16 1.8. Giới hạn củaforhàm biếna family of ellipses with semiaxes sk兾2 and sk. Figwhich, k  0nhiều , describes ure 10(a) shows a contour map of h drawn by a computer with level curves corre2 y 2these level curves lifted 2 + sponding k 苷 0.25, 0.5, 4x 0.75, . . .y,24.= Figure 10(b)x shows Giải. Phương trìnhtođường mức k hay + = 1 (k > 0). Hình 1.11 k k/4 up to the graph of h (an elliptic paraboloid) where they become horizontal traces. biểu diễn một vài đường mức với k = 0.25, 0.5, 0.75, ..., 4. We see from Figure 10 how the graph of h is put together from the level curves. y z x x FIGURE 10 The graph of h(x, y)=4≈+¥ is formed by lifting the level curves. y (a) Contour map (b) Horizontal traces are raised level curves Hình 1.11: Đồ thị của h(x, y) = 4x2 + y 2 . EXAMPLE 10 Plot level curves for the Cobb-Douglas production function of 756 Example 2. ■ CHAPTER 11 PARTIAL DERIVATIVES Ví dụ 1.20 Tìm các mặt mức của hàm số f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . It’s very to visualize a function f of three variables by i SOLUTION In Figure 11 we use a computer to draw a contour plot for difficult the Cobbwould lie in a four-dimensional space. However, we do gain som Douglas production function examining its level surfaces, Giải. Mặt√mức x2 + y 2 + z 2 = k với k ≥ 0. Đây là họ các mặt cầu đồng tâm which O vớiare the surfaces with equati 0.75 0.25 where k is a constant. If the point 共x, y, z兲 moves along a level su P共L, K兲 苷 1.01P K bán kính k (xem Hình 1.12). f 共x, y, z兲 remains fixed. Level curves are labeled with the value of the production P. For instance, the level EXAMPLE 12 Find the level surfaces of the function curve labeled 140 shows all values of the≈+¥+z@=9 labor L and capital investment K that z ≈+¥+z@=4 result in a production of P 苷 140. We see that, for a fixed value of P, as L increasesf 共x, y, z兲 苷 x 2  y 2  z 2 K decreases, and vice versa. SOLUTION The level surfaces are x 2  y 2  z 2 苷 k, where k  0. Th K of concentric spheres with radius sk. (See Figure 13.) Thus, as 共x, any sphere with center O, the value of f 共x, y, z兲 remains fixed. 300 y x 200 Hình 1.12:FIGURE Một 13 số mặt 100 Functions of any number of variables can be considered. A funct is a rule that assigns a number z 苷 f 共x 1, x 2 , . . . , x n 兲 to an n-tuple ≈+¥+z@=1 real numbers. We denote by ⺢ n the set of all such n-tuples. For exam uses n different ingredients in making a food product, ci is the cost 220 ingredient, mức trong ví dụ 1.20. and x i units of the ith ingredient are used, then the total c 180 140 dients is a function of the n variables x 1, x 2 , . . . , x n : 100 C 苷 f 共x 1, x 2 , . . . , x n 兲 苷 c1 x 1  c2 x 2      cn 3 1.8. Giới hạn của hàm nhiều biến FIGURE 11 100 300 L The function f is a real-valued function whose domain is a su 200 times we will use vector notation in order to write such functions m Định nghĩa For 1.3some Chopurposes, hàm na biến f (x) f (x1 ,useful x2 , ..., xxn苷a) graph. xác trong một lân 具x .That . . , x nis 典 , certainly we often write f 共x兲 in place of f 共x 1, x 2 , . . . , 1, x 2 ,định contour map= is more than tion we can rewrite the function defined cận của điểm (a1 , a2 10. , ...,(Compare an ) và LFigure là một số thực. (x)in= L ⇔ ∀ε > 0 in Equation 3 as trueain=Example 11 with FigureTa 3.)nói It is lim also f true estimating x→a function values, as in Example 6. f 共x兲 苷 c ⴢ x nhỏ tuỳ ý tồnFigure tại một số δ > 0 sao cho khi ρ(x, a) < δ thì |f (x) − L| < ε. 12 shows some computer-generated level curves together with the corre- where c 苷 具c c2 , . .(c) . , ccrowd n 典 and c ⴢ x denotes the dot product of t sponding computer-generated graphs. Notice that the level curves in1,part Định nghĩa 1.4 Giả thiết rằng hàm f (x) = f (x1 , x2 , ...,inxVInnn .)view xácof định với x mà sao the one-to-one correspondence between points 共x 1, x 2 cho ρ(x, 0) đủ lớn. Ta nói rằng lim f (x) = L nếu với ∀ε >position 0, tồnvectors tại sốx 苷A具xsao their . . . , x n 典 in Vn , we have three w 1, x 2 , cho x→∞ function f defined on a subset of ⺢ n : khi ρ(x, 0) > A thì |ρ(x, 0) − L| < ε. 1. As a function of n real variables x 1, x 2 , . . . , x n 2. As a function of a single point variable 共x 1, x 2 , . . . , x n 兲 3. As a function of a single vector variable x 苷 具x 1, x 2 , . . . , x n TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com We will see that all three points of view are useful. 11.1 Exercises ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1. In Example 1 we considered the function I 苷 f 共T, v兲, where I is the wind-chill index, T is the actual temperature, and v ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● (c) Describe in words the meaning of th what value of T is f 共T, 80兲 苷 14? 17 1.9. Sự liên tục của hàm nhiều biến số Chú ý 1.3 Các khái niệm khác, và các định lý về phép tính giới hạn của hàm nhiều biến cũng được định nghĩa một cách tương tự như trong lý thuyết giới hạn của hàm số một biến. Ví dụ 1.21 Tính các giới hạn (a) (b) 2x+y lim 2 2 (x,y)→(2,3) x +y lim e x sin y y 2x+y 2 2 x→2 x +y y→3 = lim = lim e = 7 3 = lim x. siny y x→3 e y→0 x sin y y x→3 y→0 (x,y)→(3,0) lim Ví dụ 1.22 Chứng tỏ rằng giới hạn (x,y)→(0,0) = e3.1 = e3 x2 +y 2 xy không tồn tại. Giải. Cho (x, y) → (0, 0) theo đường thẳng y = kx. Ta có: x2 + k 2 x2 1 + k2 x2 + y 2 = lim = x→0 xy kx2 k (x,y)→(0,0) lim 2 Giá trị này phụ thuộc vào k (chẳng hạn cho k = 1 thì 1+k = 2, k = 2 thì k 1+k2 k = 2.5). Vậy giới hạn của hàm đã cho không tồn tại duy nhất cho nên giới hạn trên không tồn tại. 1.9. Sự liên tục của hàm nhiều biến số Định nghĩa 1.5 Ta nói hàm f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) liên tục tại điểm a = (a1 , a2 , ..., an ) ⇔ lim f (x) = f (a). x→a Ví dụ 1.23 (a) Hàm số ba biến f (x1 , x2 , x3 ) = 1 1 − (x21 + x22 + x23 ) liên tục trên toàn không gian R3 trừ đi các điểm nằm trên mặt cầu x21 + x22 + x23 = 1. Ta cũng nói rằng hàm bị gián đoạn trên mặt cầu đó. (b) Hàm z = ln |x − y| liên tục trên toàn mặt phẳng Oxy trừ những điểm nằm trên đường thẳng y = x. Trên đường thẳng đó hàm bị gián đoạn. 1.10. Đạo hàm riêng Định nghĩa 1.6 Cho hàm n biến f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ). Đạo hàm riêng theo biến xi , i ∈ {1, 2, ..., n} của hàm f (x) tại điểm (x1 , x2 , ..., xn ) được xác định như sau ∂f f (x1 , ..., xi−1 , xi + ∆xi , xi+1 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn ) (x1 , x2 , ..., xn ) = lim ∆xi →0 ∂xi ∆xi Một số kí hiệu khác của đạo hàm riêng fx0 i , fxi , Dxi f . TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 18 1.10. Đạo hàm riêng Cách tính. Khi tính đạo hàm riêng theo một biến số nào đó thì coi các biến khác như hằng số rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến số đối với biến số đó. Ví dụ 1.24 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số (a) z = x2 sin y. z (b) u = xy . Giải. (a) zx0 = 2x sin y, zy0 = x2 cos y z z z (b) u0x = y z .xy −1 , u0y = xy . ln x.z.y z−1 , u0z = xy . ln x.y z . ln y. Định nghĩa 1.7 Đạo hàm riêng cấp cao. Đạo hàm riêng (đhr) cấp hai là đhr của đhr cấp 1,..., đhr cấp n là đhr của đhr cấp n − 1. Cho hàm hai biến f (x, y). Các đạo hàm riêng cấp hai của f có thể được kí hiệu như sau   ∂2f ∂ ∂f 00 = = fxy = fxy ∂y ∂x ∂y∂x   ∂2f ∂ ∂f 00 = = fyx = fyx ∂x ∂y ∂x∂y   ∂ ∂f ∂2f ∂2f 00 = fx002 = = = fxx = fx2 = fxx ∂x ∂x ∂x∂x ∂x2   ∂ ∂f ∂2f ∂2f 00 = fy002 = = = fyy = fy2 = fyy ∂y ∂y ∂y∂y ∂y 2 Ví dụ 1.25 Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai của các hàm số f (x, y) = x2 y − 2xy 3 + y 4 . Giải. fx0 = 2xy − 2y 3 , fy0 = x2 − 6xy 2 + 4y 3 2 2 fx002 = ∂∂xu2 = 2y, fy002 = ∂∂yu2 = −12xy + 12y 2 , 00 = fxy ∂2u ∂x∂y 00 = = 2x − 6y 2 , fyx ∂2u ∂y∂x = 2x − 6y 2 . Chú ý 1.4 Hàm hai biến có 2k đhr cấp k, hàm ba biến có 3k đhr cấp k, ..., hàm n biến có nk đhr cấp k. Định lý 1.1 Clairaut. Các đhr cùng cấp, liên tục, chỉ khác nhau về thứ tự lấy đạo hàm của cùng một hàm thì trùng nhau. 00 = f 00 . Trong ví dụ 1.25 ta có fxy yx TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 19 1.11. Vi phân toàn phần 1.11. Vi phân toàn phần Định nghĩa 1.8 Nếu tại điểm (x1 , x2 , ..., xn ) các đhr fx0 i , i = 1, n đều liên tục thì hàm f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) có vi phân toàn phần df (khả vi) tại điểm đó và df (x1 , x2 , ..., xn ) = fx0 1 .∆x1 + fx0 2 .∆x2 + ... + fx0 n .∆xn Ví dụ 1.26 Tìm vi phân toàn phần của hàm f (x, y) = x2 sin y tại điểm (x, y) tuỳ ý. Giải. Ta có fx0 = 2x sin y, fy0 = x2 cos y nên df (x, y) = 2x sin y.∆x + x2 cos y.∆y Chú ý 1.5 Ta đã biết nếu xi là biến độc lập thì ∆xi = dxi nên công thức vi phân toàn phần có thể viết lại như sau df (x1 , x2 , ..., xn ) = fx0 1 .dx1 + fx0 2 .dx2 + ... + fx0 n .dxn . Định nghĩa 1.9 Vi phân toàn phần cấp cao. Vi phân toàn phần cấp hai được xác định bởi d2 f = d(df ),..., vi phân toàn phần cấp n được xác định bởi dn f = d(dn−1 f ). Với hàm hai biến f (x, y) thì d2 f = d(fx0 .∆x + fy0 ∆y)     ∂ ∂f ∂f ∂ ∂f ∂f = .∆x + .∆y .∆x + .∆x + .∆y .∆y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f . (∆x)2 + 2 .∆x∆y + 2 . (∆y)2 = 2 ∂x ∂x∂y ∂y  2 ∂ ∂ = .∆x + .∆y f ∂x ∂y Tổng quát ta có n d f=  ∂ ∂ .∆x + .∆y ∂x ∂y n f Với hàm ba biến f (x, y, z) thì d2 f = d(fx0 ∆x + fy0 ∆y + fz0 ∆z)     ∂ ∂f ∂f ∂f ∂ ∂f ∂f ∂f ∆x + ∆y + ∆z ∆x + ∆x + ∆y + ∆z ∆y = ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z   ∂ ∂f ∂f ∂f + ∆x + ∆y + ∆z ∆z ∂z ∂x ∂y ∂z ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f 2 2 2 = (∆x) + (∆y) + (∆z) + 2 ∆x∆y + 2 ∆y∆z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y ∂y∂z ∂2f +2 ∆z∆x ∂z∂x  2 ∂ ∂ ∂ = ∆x + ∆y + ∆z f ∂x ∂y ∂z TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan