Tài liệu Bài giảng giải tích 2 tích phân đường

  • Số trang: 45 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 69 |
  • Lượt tải: 0
truongphan1776621

Tham gia: 03/06/2019

Mô tả:

Bài giảng Giải tích 2- Phần : Tích phân đường
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 5: Tích phân đường • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I –Tích phân đường loại 1 II –Tích phân đường loại hai II.1 – Định nghĩa, cách tính II.2 – Công thức Green II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường đi. I. Tích phân đường loại một. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  A2        M2   A1 M1   A0  An Mn  A  n1   I. Tích phân đường loại một. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1 ,..., An . Độ dài tương ứng L1 , L2 ,..., Ln . Trên mỗi cung Ai Ai 1 lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ). n I n   f ( M i )  Li Lập tổng Riemann: i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y )dl C được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C. I. Tích phân đường loại một --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân đường loại một 1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C. 3)    fdl    fdl 2) L(C )   1dl C C 4)  ( f  g ) dl   fdl   gdl C C C C 5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:  fdl   fdl   fdl C 7) C1 C2 ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho  fdl  f ( M 0 )  L C Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1  t  t2 n  f ( x , y ) dl  f ( M )  L  lim   i i n  i 1  C Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1:  x (t )    y (t )  dt  x (t )    y (t )   t Chọn điểm trung gian M có tọa độ  x(t ), y (t )    f ( x, y )dl  lim   f  x(t ), y (t )    x (t )    y (t )   ti 1 Li   2 ' ' 2 2 ' 2 ' i i ti  ti  ti 1 i ti i i n i t2 i  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C 2 ' n i 1 C i t1 ' i 2 i  x (t )    y (t )  ' 2 ' 2   ti   dt Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình: y = y(x), a xb Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), t1  t  t2  x (t )    y (t )  t2 '  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C t1 2 ' 2 dt 2  y ' (t )  '   f ( x(t ), y (t ))  1   '  x (t )  dt t1  x (t )  t2 b  '  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))  1  y ( x) C a  2 dx Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y), c  y  d d  '  f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )  1  x ( y ) C c  2 dy I. Tích phân đường loại một. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian. f  f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian. C cho bởi phương trình tham số:  x  x(t )   y  y (t ),  z  z (t )  t1  t  t2 I   f ( x, y, z )dl C t2  f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )). C t1  x (t )    y (t )    z (t )  ' 2 ' 2 ' 2  dt Ví dụ 2 x Tính I   x3dl, trong đó C là cung parabol y  , 0  x  3 2 C  b ' I   f ( x, y ( x))  1  y ( x) a  2 3 dx   x 3 ' 3 2 1  ( y ( x)) dx   x3 1  x 2 dx  0 0 58 15 Ví dụ Tính I   2 xdl , trong đó C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và C C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2).  1 ' I   2 xdl   2 xdl   2 xdl   2 x  1  y ( x) C 1 C1 0 C2 2   2 x  1  4 x dx   2 1  1   0  0 2 1 2  2 2  ' dx   2 x( y )  1  x ( y ) 1 5 5 1 2 dy  6  2 dy Ví dụ 2 Tính I   (2  x y )dl , với C là nửa trên đường tròn x 2  y 2  1 C  b ' Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))  1  y ( x) a  2 dx nhưng việc tính toán phức tạp. Viết phương trình tham số cung C. Đặt x  r cos t ; y  r sin t 2 2 Vì x  y  1, nên r = 1.  x  cos t ; 0t  Phương trình tham số của nửa trên cung tròn:   y  sin t  I   (2  cos t  sin t ) 0 2  x (t )    y (t )  dt ' 2 ' 2    (2  cos2t  sin t )dt  0 2  2 3 Ví dụ Tính I   ( x 2  y 2 )dl , với C là nửa đường tròn C Viết phương trình tham số cung C.  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  2 x , nên r  2cos t Phương trình tham số của C:  x  2cos t  cos t  1  cos 2t    t  ;  4 4  y  2cos t  sin t  sin 2t  /4 I   (2  2cos 2t ) (2sin 2t ) 2  (2cos 2t ) 2 dt  / 4 x 2  y 2  2 x; x  1. Ví dụ 2 2 4 Tính I   xy dl , với C là nửa bên phải đường tròn x  y  16; x  0. C Viết phương trình tham số cung C.  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  16 , nên r4  x  4  cos t   Phương trình tham số của C:  ;  t  2 2  y  4  sin t  /2 I   4cost  4 sin t (4sin t )  (4cos t ) dt  4  / 2 4 4 2 2 6  /2  cost  sin tdt   / 2 4 2 6 4 5 Ví dụ I   2 xdl Tính , với C là giao của x 2  y 2  4 và x + z = 4 C  x  r cos t   y  r sin t  z  4  r cos t  Đặt Vì x 2  y 2  4, x  z  4 , nên r  2 Phương trình tham số của C:  x  2cos t  ; 0  t  2  y  2sin t  z  4  2cos t  2 I   4cos t  (2sin t ) 2  (2cos t ) 2  (2sin t ) 2 dt  0 0 Ví dụ 2 2 2 Tính I   ( x  y )dl , với C là phần đường tròn x  y  z  4; y  x. C Viết phương trình tham số cung C.  x  y  2  r cos t Đặt   z  2  r sin t Vì x 2  y 2  z 2  4, y  x , nên r  1 Phương trình tham số của C:  x  y  2 cos t ; 0  t  2   z  2sin t 2 I  0  2cost  2 cos t  ( 2 sin t ) 2  ( 2 sin t ) 2  (2cos t ) 2 dt Ví dụ 2 2 2 Tính I   x 2 dl , với C là phần đường tròn x  y  z  4; x  y  z  0. C Viết phương trình tham số cung C phức tạp. I   x 2 dl   y 2 dl   z 2 dl C C  C  1  I   x 2  y 2  z 2 dl 3C I 4  dl 3C  4  độ dài cung C (chu vi đường tròn) 3 4 16 I   4  3 3 Ví dụ Tính I   ( x  z )dl , với C là đường x  3cos t , y  3sin t , z  t , 0  t  4 . C x2  y2  9 Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm trên hình trụ. 4 I   (3cos t  t ) 0 4  x (t )    y (t )    z (t )  dt ' 2 ' 2 I   (3cos t  t ) 10dt  8 2 10 0 ' 2 II. Tích phân đường loại hai. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- P  P ( x, y ), Q  Q( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1 , y1 ),..., An ( xn , yn ). Trên mỗi cung Ak Ak 1 lấy tuỳ ý một điểm M k ( xk , yk ). n Lập tổng Riemann: I n    P ( M k )  ( xk  xk 1 )  Q ( M k )  ( yk  yk 1 )  i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I   P ( x, y )dx  Q( x, y )dy C được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C. II. Tích phân đường loại hai --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân đường loại hai 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.  Pdx  Qdy    Pdx  Qdy AB BA 2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:   C Giải thích. Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy C1 C2 Cách tính tích phân đường loại hai 1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung.  P ( x, y )dx  Q( x, y )dy   P ( x, y )dx   Q( x, y ) dy C C C n  P ( x, y )dx  lim  P ( xk , yk )  xk C n k 1 Chia [a,b] thành n đoạn: a  t0  t1  t2    tn  b xk  xk  xk 1  x (tk )  x (tk 1 ) ñònh lyù Lagrange   Chọn điểm trung gian Mk x (tk ), y (tk ) n   x ' (tk )  tk  b '  P ( x , y )dx  lim  P x (tk ), y (tk ) x (tk )  tk   P  x (t ), y (t )   x (t )dt k 1 C b ' a b  P ( x, y )dx  Q( x, y )dy   P  x(t ), y (t )   x (t )dt   Q  x(t ), y (t )   y (t )dt C a ' a ' Cách tính tích phân đường loại hai Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C. 2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung. x2   ' P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy  P ( x , y ( x ))  Q ( x , y ( x ))  y ( x) dx   C x1 3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung. y2   ' P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy  P ( x ( y ), y )  x ( y )  Q( x( y ), y ) dy   C y1
- Xem thêm -