Mô tả:
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
click
I - KHÁI NiỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên .
Hãy tính :
1,5 1,5.1,5.1,5.1,5
3
2 2
3
3
3
Có :
5,0625
4
5
2
.
3
2 8
.
27
3
3 . 3 . 3 . 3 . 3
9 3
Cho n là số nguyên dương .
Với a là số thực tùy ý , lũy thừa bậc n của a là tích của n số a
a n a.a....a
n so
Với a ≠ 0
Chú ý :
00 và 0- n
không có nghĩa
a0 1
a
n
1
n
a
Trong biểu thức am , ta gọi a là cơ số , số nguyên m là số mũ
click
10
Ví dụ 1 :
Giải :
Ví dụ 2 :
Giải :
9
4
1
3
2
1 1
Tính giá trị của biều thức : A .27 0, 2 .25 128 .
3
2
1
1
1
1 9
A 310. 3
.
.2 3 1 4 8
4
2
27 0, 2 25 128
1
a
2
2
2
a
Rút gọn biều thức :
B
1 .
a 0 ; a 1
1
2
1 a
a 1 a 2
Với a ≠ 0 , a ≠ 1 ta có :
1
B a 2. 1 a 2 2 2.a . 3
a 1 a 2
1
a 2 a3 . 2 2a 2 . 3
a a
1
a 2 a 2 1 .
2
2
a a 1
click
2. Phương trình xn = b .
Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 và y = x4 hãy biện luận theo số nghiệm của các
phương trình x3 = b và x4 = b
y
y
y=
x3
y=b
y=b
O
y = x4
O
x
Đồ thị y = x 2k + 1 có dạng như đồ thị hàm số y = x3
Đồ thị y = x 2k có dạng như đồ thị hàm số y = x4
Nên biện luận được số nghiệm của phương trình xn = b như sau :
a) Trường hợp n lẻ :
Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất
b) Trường hợp n chẵn :
• b < 0 phương trình vô nghiệm
• b = 0 phương trình có 1 nghiệm x = 0
• b > 0 phương trình có 2 nghiệm đối nhau .
click
3. Căn bậc n .
Cho số nguyên dương n , phương trình an = b đưa đến 2 bài toán ngược nhau :
• Biết a tìm b ( là tính lũy thừa của 1 số )
• Biết b tính a ( dẫn đến khái niệm lấy căn của 1 số )
a) Khái niệm :
Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n
của số b nếu an = b .
Ví dụ 2 và – 2 là căn bậc 4 của 16 ;
1
3
là căn bậc 5 của
1
243
Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b . Ta có :
a) Trường hợp n lẻ và b R :
Có duy nhất một căn bậc n của b . Kí hiệu :
n
b
b) Trường hợp n chẵn và b R :
• b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .
• b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
• b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu . Kí hiệu :
n b
click
b) Tính chất của căn bậc n :
Từ định nghĩa có các tính chất sau :
n
a. b
n
a
n
m
n
n
n
ab
n
am
n k
n
Chứng minh tính chất sau :
n
a
n
a
a
a)
5
n
a
b
a n .k a
Khi n lẻ
Khi n chẵn
a . n b n ab
Ví dụ 3 : Rút gọn biều thức :
Giải :
a
b
5
a)
4. 5 8
b)
3
3 3
4. 5 8 5 4. 8 5 32 2
b)
3
3 3
3
3
3
3
click
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
.
r
Cho số thực a dương và số hữu tỉ
m
n
, trong đó m Z , n N , n ≥ 2 .
a a
Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi :
Ví dụ 4 :
a)
Ví dụ 5 :
Giải :
Tính :
a)
1
8
1
3
b)
1
3
1 1
1
3
8 2
8
b)
Rút gọn biều thức :
4
3
2
4
r
3
2
c) a
1
43
3
4
D
5
4
5
4
x y xy
4
x4 y
1
8
m
n
n
am
1
n
c)
1
n
a na
a 0 ; n 2
x, y 0
Với x , y > 0 ta có :
1
14
4
xy x y
4
4 y
xy
x
D
4
4
x4 y
x4 y
xy
click
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
.
Cho a là số dương và số vô tỉ . Ta thừa
rn nhận rằng luôn có dãy số hữu tỉ (rn) có
a
giới hạn là và dãy số tương ứng
Có giới hạn không phụ thuộc việc chọn dãy số (rn)
Ta gọi giới hạn dãy số
a
rn
a lim a rn
n
Là lũy thừa của a với số mũ . Kí hiệu : a
voi lim rn
n
•Từ định nghĩa suy ra 1 = 1
II - TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
•Lũy thừa với số mũ thực có tính chất tương tự lũy thừa số mũ nguyên dương .
Cho a , b những số thực dương , , số thực tùy ý . Ta có :
a .a a
ab
a
a
a
a a
a b
a
a
b
b
• Nếu a > 1 thì a > a khi và chỉ khi >
• Nếu a < 1 thì a > a khi và chỉ khi <
click
Ví dụ 6 :
Giải :
Rút gọn biều thức :
E
Với a > 0 ta có :
a
E
a
7 1 2 7
2 2
2 2
7 1
a
a
.a 2
2 2
7
a3
2 a 5
a
a
F
Tương tự làm nhanh Rút gọn biều thức :
a
Kết quả là :
Ví dụ 7 :
Giải :
a 0
2 2
F a157
5 3
3
12 & 3 2
Và cơ số 5 > 1 nên có :
52
3
Tương tự làm nhanh so sánh :
4
.a
3 1
a 0
4 5
5
Không sử dụng máy tính hãy so sánh các số :
ta có : 2
3 1
8
3
53
52
3
& 53
2
18 2 3 3 2
2
3
3
&
4
3
Kết quả là :
4
8
3
4
3
click
III - Củng cố và bài tập về nhà
Bài tập 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 55 ; 56 sách giáo khoa GT12 - 2008
- Xem thêm -