Tài liệu Bài giảng bài hàm số liên tục giải tích 11 (6)

1. Hàm số liên tục tại một điểm: 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: 3. Tính chất của hàm số liên tục: Chứng minh rằng:  x3 1 khi x  1  a/ Hàm số y   x  1 gián đoạn tại điểm x = 1 2 khi x  1  b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên đoạn [-1, 2]. Chứng minh rằng: b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên [-1, 2]. Giải Hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 2 xác định trên R.Với mọi x0  (-1, 2) ta có: 4 2 lim f ( x)  lim ( x  2 x  2) x  x0 x  x0  x04  2 x02  2  f ( x0 )  hàm f liên tục trên khoảng (-1, 2) Lại có: f(-1) = 1 = lim f(x) khi x  -1+ f(2) = 10 = lim f(x) khi x  2Do đó hàm f liên tục trên đoạn [-1, 2]  x3 1 khi x  1  y  a/ Hàm số  x 1 2 khi x  1  gián đoạn tại điểm x = 1 Giải Với x = 1, f(1) = 2 Với mọi x  1 ta có: x 3  1 ( x  1)( x 2  x  1) f ( x)   x 1 x 1  x2  x 1 Do đó: 2 lim f ( x)  lim x  x  1  3  2  f (1) x 1 x 1 Vậy hàm f gián đoạn tại điểm x = 1 y y = x4 – 2x2 + 2 Nhận xét: Hàm fHàm có liên trên hay2]không? f cótục liên tụcđoạn trên [-1, đoạn2][-1, 10 Ta có: f(-1) = 1 f(2) f(2) = 10  f(-1)  f(2) Với mỗi M bất kì nằm giữa f(-1) và f(2) ta luôn tìm được ít nhất một giá trị c  (-1, 2) sao cho f(c) = M Với mỗi M nằm giữa f(-1) và f(2), hãy tìm c  (-1, 2) sao cho f(c) = M trong các trường Tính f(-1) = hợp sau: f(2) = M=5 M=2 2 M= 3 2 f(-1) Trường hợp 1: M = 2 1 -1 0 2 Trường hợp 3: M = 5 x y 3. Tính chất của hàm số liên tục: Định lí 2: (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) y = f(x) f(b) Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = M. f(c) = M y=M M Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b) f(a) b a 0 c x y = x2 + 1 3. Tính chất của hàm số liên tục: y Cho hàm số: x 2  1  f ( x)   1  2 2 khi x  1 khi x  1 1 Tìm lỗi sai trong lời giải sau: Giải Hàm f liên tục trên đoạn [-2, 0] Lại có f(-2) = 5  1 = f(0) Theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm c (-2, 0) sao cho f(c) = M 1 2 -1 0 x Hãy dự đoán phương trình x4 - x3 – 3 = 0 có ngiệm hay không? Nhận xét: y 1. 1.Hàm Hàmsốsốy y= =f(x) f(x) cócó liênliên Hệtục quả: tục trên trênđoạn đoạn[a, [a,b] b].hay không? y = f(x) f(b) M f(c) = 0 a 0 f(a) y=0 c b x Nếu2. f liên tục 2.hàm Tíchsốf(a).f(b) Tích f(a).f(b) như < 0trên thếđoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nào? nhất một điểm c  (a, b) sao cho Theo định lí 2, tồn tại ít nhất f(c) = 0. một điểm c  (a, b) sao cho f(c)=M, mỗihọc M của nằmhệ giữa f(a) Ý nghĩavới hình quả: và f(b). Nếu hàm số f liên tục trên đoạn Khi M = 0 ta có f(c) = 0, với [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm c (a, b). số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại Khi Khi đó: đó c đượcđộ gọic là một điểm có hoành  gì (a,của b). phương c được trình gọi f(x) là = 0? nghiệm của phương trình f(x) = 0 3. Tính chất của hàm số liên tục: Áp dụng: Chứng minh phương trình có nghiệm trong một khoảng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b). Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình ta thực hiện như sau: + Tìm hàm f(x) + Chọn [a, b] sao cho: hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 + Kết luận. Ví dụ : Cho hàm số P(x) = x3 + x - 1. Chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1. Giải Ta có: + P(x) = x3 + x - 1 liên tục trên đoạn [0, 1]. + P(0) = -1 + P(1) = 1  P(0).P(1) = (-1).1 = -1 < 0 Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 1) sao cho P(c) = 0 Do đó: x = c chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình P(x) = 0 Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = M. Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b) Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a, b) sao cho f(c) = 0. Ý nghĩa hình học của hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c(a, b). Hãy dự đoán phương trình x4-x3–3=0 có ngiệm hay không? Ta có: + f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn [-2, 0]. + Tìm hàm f(x)? + f(-2).f(0) = 5.(-3) -15 - Xem thêm -