Tài liệu Ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC ------------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI BA NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM Giáo viên hướng dẫn Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên thực hiện Huỳnh Vĩnh Sang MSSV: 1090058 Lớp: SP Toán K35 Cần Thơ 05/2013 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình thực hiện đề tài này, em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy Lê Hồng Đức. Do đó, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy. Thầy đã không tiếc thời gian quý báu hết lòng hướng dẫn và chỉ bảo để em hoàn thành được đề tài này. Bên cạnh đó, em cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong bộ môn Sư phạm Toán đã tích lũy cho em vốn kiến thức cần thiết trong bốn năm qua và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong lúc thực hiện đề tài này. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài, tất yếu khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô cùng các bạn để đề tài này hoàn thiện hơn Một lần nữa em xin cảm ơn thầy Lê Hồng Đức. Kính chúc thầy dồi dào sức khỏe để có thể tiếp tục dìu dắt những thế hệ sinh viên sau này trở thành những giáo viên giỏi và có ích cho xã hội. Huỳnh Vĩnh Sang MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................. trang 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ......................................................................... trang 3 1.1. Không gian định chuẩn ........................................................................ trang 3 1.1.1. Một số định nghĩa ....................................................................... trang 3 1.1.2. Một số định lí .............................................................................. trang 6 1.2. Toán tử tuyến tính liên tục ................................................................... trang 8 1.2.1. Toán tử tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính................................ trang 8 1.2.2. Toán tử tuyến tính liên tục .......................................................... trang 9 1.2.3. Không gian L( X , Y ) .................................................................... trang 10 1.2.4. Phép đồng phôi tuyến tính. Phép đẳng cự tuyến tính ................... trang 10 1.3. Không gian liên hợp ............................................................................ trang 11 1.3.1. Phép nhúng chuẩn tắc.................................................................. trang 11 1.3.2. Toán tử liên hợp .......................................................................... trang 11 Chương 2. Định lí Hahn-Banach...................................................................... trang 12 2.1. Định lí Hahn-Banach đối với không gian vector thực .......................... trang 12 2.2. Định lí Hahn-Banach đối với nửa chuẩn .............................................. trang 14 2.3. Một số hệ quả ...................................................................................... trang 17 2.4. Bài tập chương 2 ................................................................................. trang 19 Chương 3. Nguyên lí bị chặn đều .................................................................... trang 30 3.1. Nguyên lí bị chặn đều.......................................................................... trang 30 3.2. Bài tập chương 3 ................................................................................. trang 32 Chương 4. Nguyên lí ánh xạ mở và định lí đồ thị đóng .................................... trang 39 4.1. Nguyên lí ánh xạ mở ........................................................................... trang 39 4.1.1. Bổ đề .......................................................................................... trang 39 4.1.2.Nguyên lí ánh xạ mở .................................................................... trang 40 4.2. Định lí đồ thị đóng .............................................................................. trang 41 4.4. Bài tập chương 4 ................................................................................. trang 42 PHẦN KẾT LUẬN ......................................................................................... trang 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... trang 57 PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi mới bắt đầu học môn giải tích hàm, em và các sinh viên khác đều cảm thấy khó khăn nhất là khi gặp các bài tập. Trong các tài liệu tham khảo hiện hành về môn học này cũng có trình bày nhiều bài tập và lời giải nhưng những lời giải này chưa được chi tiết, không phù hợp với những người mới bắt đầu học môn này. Do đó nhu cầu một tài liệu tham khảo với những bài tập có lời giải chi tiết là cần thiết. Vì vậy khi được phân công thực hiện luận văn, em đã nghĩ ngay đến việc viết một tài liệu nhỏ để các bạn sinh viên có thể tham khảo khi học môn giải tích hàm nhưng em lại chưa biết bắt đầu từ đâu. Sau khi xem lại những kiến thức đã học và được sự góp ý của thầy Lê Hồng Đức, em nhận thấy các phần Định lí Hahn- Banach, Nguyên lí ánh xạ mở và định lí đồ thị đóng, Nguyên lí bị chặn đều là những phần lý thuyết có nhiều bài tập ứng dụng và tương đối dễ tiếp cận nên em quyết định bắt đầu với việc nghiên cứu ba nguyên lí này đó là lý do em chọn đề tài “Ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu kĩ hơn về Định lí Hahn- Banach, Nguyên lí ánh xạ mở và định lí đồ thị đóng, Nguyên lí bị chặn đều, tìm hiểu mối liên hệ giữa chúng và giải một số bài tập có liên hệ với ba nguyên lí này. III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong phạm vi đề tài, em nghiên cứu định lí Hahn-Banach (đối với không gian vector thực và đối với nửa chuẩn), nguyên lí ánh xạ mở và định lí đồ thị đóng và nguyên lí bị chặn đều và lời giải các bài tập ứng dụng các nguyên lí này trên cơ sở các phần thuộc chương trình đại học hiện hành. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trang 1 Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là tổng hợp, phân tích, chứng minh. - Tổng hợp các khái niệm, định lí, định nghĩa. - Chứng minh các định lí. - Phân tích các chứng minh, lời giải các bài tập. Trang 2 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian định chuẩn 1.1.1. Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1.1.1. Một chuẩn trên không gian vectơ X trên trường K là một hàm số :X  ; x  x thỏa mãn: i) x  0 nếu và chỉ nếu x  0 ; ii)  x   . x với mọi x  X và   K ; iii) x  y  x  y với mọi x, y  X . Nhận xét Từ định nghĩa của chuẩn, ta dễ dàng suy ra: 1) x  0 với x  X ; n 2) n  i xi   i xi với xi  X , i  K , n  . i 1 i 1 3) x  y  x  y với mọi x, y  X . Định nghĩa 1.1.1.2. Cho X là một không gian vectơ thực. Một sơ chuẩn trên X là một hàm số p : X  thỏa mãn: i) p( x)   p ( x) với mọi x  X và    ; ii) p( x  y )  p ( x)  p( y ) với mọi x, y  X . Định nghĩa 1.1.1.3. Cho X là một không gian vectơ trên trường K . Một nửa chuẩn trên X là một hàm số p : X  thỏa mãn: i) p( x)   p( x) với mọi x  X và   K ; ii) p( x  y )  p ( x)  p( y ) với mọi x, y  X . Nhận xét Từ định nghĩa của nửa chuẩn, ta suy ra nửa chuẩn có các tính chất: 3 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang 1) p( x)  0 với x  X ;  n  n  i 1 2) p   i xi    i p ( xi ) với xi  X , i  K , n  ;  i 1 3) p( x)  p ( y )  p ( x  y ) với mọi x, y  X . Định nghĩa 1.1.1.4. Một không gian vectơ định chuẩn là một không gian vectơ X cùng một chuẩn xác định trên X . Kí hiệu là ( X , ) . Ta thường dùng cụm từ không gian định chuẩn thay cho không gian vectơ định chuẩn. Giả sử ( X , ) là một không gian định chuẩn. Dễ dàng chứng minh hàm số d ( x, y )  x  y với x, y  X là một mêtric trên X . Do đó không gian định chuẩn cũng là một không gian mêtric. Giả sử {xn } là một dãy phần tử của X và x0  X . Khi đó dãy {xn } gọi là hội tụ đến x0 nếu lim xn  x0  0 . Kí hiệu là lim xn  x0 hay xn  x0 . n  n  Định nghĩa 1.1.1.5. Cho X là một không gian định chuẩn và một số thực r  0 . Ta có các định nghĩa: i) Tập hợp BX ( x, r )  {y  X : y  x  r} gọi là hình cầu mở tâm x , bán kính r ,với x  X ; iii) Tập hợp BX [x, r ]  {y  X : y  x  r} gọi là hình cầu đóng tâm x , bán kính r ,với x  X . Định nghĩa 1.1.1.6. Một không gian Banach là một không gian định chuẩn ( X , ) đầy, nghĩa là mọi dãy Cauchy hội tụ trong X với mêtric d ( x, y )  x  y với x, y  X . Ví dụ về không gian Banach: Ví dụ 1 Không gian các số phức không gian Banach với chuẩn : ; x  a  bi  x  a 2  b 2 .  4 là một GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang Ví dụ 2 Với mọi p  1 , ta kí hiệu l p là tập hợp tất cả các dãy x  ( xn ) , các  phần tử trong K sao cho p x n   . Khi đó l p là một không gian Banach với n 1 1   p p ; x    xn  .  n 1  :l p  chuẩn Giả sử ( X , ) là một không gian định chuẩn và M là một không gian vector con của không gian vector X . Dễ dàng chứng minh được hàm số M :M  ; m  m là một chuẩn. Định nghĩa 1.1.1.7. Không gian con của không gian định chuẩn ( X , ) là không gian vector con M của X cùng với chuẩn là ( M , M M :M  ; m  m . Kí hiệu ). Khi đó tôpô trên M sinh ra bởi chuẩn sinh ra bởi chuẩn M là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X trên X . Định nghĩa 1.1.1.8. Cho dãy {xn }n trong không gian định chuẩn ( X , ) . *  Chuỗi  n  x gọi là hội tụ nếu tồn tại sao cho dãy hội tụ đến x . x  X  n   xk  n 1  k 1  n *  Khi đó chuỗi   xn gọi là có tổng bằng x . Chuỗi n 1 x n gọi là hội tụ tuyệt đối nếu n 1  chuỗi  xn hội tụ. n 1 m Giả sử ( X1 , X1 ) ,…, ( X m , Xm ) là m không gian định chuẩn.Đặt X   X k . k 1 Khi đó X là một không gian vector với phép cộng và phép nhân vô hướng xác định một cách thông thường. 5 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang m Dễ dàng chứng minh hàm số X :X  ; x  ( x1 ,..., xm )   xk là một chuẩn k 1 trên X . Như vậy X cùng với chuẩn X gọi tích của các không định chuẩn ( X1 , X1 lập thành một không gian định chuẩn ) ,…, ( X m , Xm ). 1.1.2. Một số định lí Định lí 1.1.2.1. Trong một không gian định chuẩn X . i) Phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục. ii) Chuẩn là một ánh xạ liên tục. Chứng minh Xem [3], trang 2, 3. Định lí 1.1.2.2 Một không gian con của không gian Banach X là đóng nếu và chỉ nếu nó đầy. Chứng minh Giả sử M là một không gian con đóng của không gian Banach X . Lấy {xn } là một dãy Cauchy trong M . Hiển nhiên {xn } cũng là một dãy Cauchy trong X . Vì X đầy nên tồn tại x0  X sao cho xn  x0 . Do M đóng nên x0  M . Vậy M là không gian đầy. Đảo lại giả sử M là một không gian con đầy của không gian Banach X . Ta lấy dãy {xn }  M sao cho xn  x0  X . Suy ra {xn } là một dãy Cauchy trong M . Vì M là không gian đầy nên tồn tại x0'  M sao cho xn  x0' . Mà xn  x0 nên x0  x0'  L . Do đó M là không gian đóng. Nhận xét Chiều ngược của định lí trên không cần giả thiết X là một không gian Banach. Như vậy ta có thể phát biểu : Không gian con đầy của một không gian định chuẩn X là một không gian con đóng của X . 6 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang Định lí 1.1.2.3. Một không gian định chuẩn X là một không gian Banach nếu và chỉ nếu mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X đều hội tụ. Chứng minh  Giả sử X là một không gian Banach và x n là một chuỗi hội tụ tuyệt đối n 1 trong X . Gọi S n là tổng riêng của chuỗi nói trên. * Với mọi n, p  , ta có n p S n  p  Sn   n p xk  k  n 1  xk  0 khi n   , vì chuỗi trên hội tụ tuyệt đối. k  n 1 Suy ra {S n } là dãy Cauchy trong X . Mà X đầy nên {S n } hội tụ. Do đó chuỗi nói trên hội tụ. Phần còn lại của chứng minh xem [3], trang 12, 13. Định lí 1.1.2.4. Cho X là một không gian định chuẩn và M là không gian con đóng của X . Khi đó X / M là một không định chuẩn với chuẩn X /M :X /M  ; x x X /M  inf{ x  m , m  M } . Chứng minh Với mọi x , y  X / M ta có x y X /M  x y X /M  inf x  y  m mM  inf x  u  y  v  inf { x  u  y  v } u ,vM u ,vM  inf x  u  inf y  v  x uM vM X /M  y X /M Với mọi x  X / M và   K ,   0 ta có x X /M  x X /M  inf  x  m  inf  x  mM mM Nếu   0 thì đẳng thức trên hiển nhiên đúng. 7 m m   inf x   x m  M   X /M GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang Bây giờ với x  X / M nếu x sao cho lim x  un n  X /M  0 thì ta suy ra tồn tại một dãy {un }  M  0 hay lim un   x . Từ đây suy ra  x  M , vì M là không X n  gian con đóng của X . Suy ra x  M hay x  0 . Như vậy X /M Do đó ( X / M , là một chuẩn trên X / M . X /M ) là một không gian định chuẩn. Định lí 1.1.2.5. Giả sử ( X1 , X1 ) ,…, ( X m , Dãy phần tử x ( n )  ( x1( n ) ,..., xm( n) ) , n  Xm ) là m không gian định chuẩn. hội tụ đến phần tử x (0)  ( x1(0) ,..., xn(0) ) trong m không gian X k khi và chỉ khi lim xk( n)  xk(0) trong không gian X k , k  1, m . k 1 n  1.2. Toán tử tuyến tính liên tục 1.2.1 Toán tử tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính Giả sử X và Y là hai không gian vector trên cùng một trường K . Ánh xạ A : X  Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu: i) A( x  y )  Ax  Ay với mọi x, y  X ; ii) A( x )   Ax với mọi   K , x  K . Nếu Y  K thì A được gọi là một phiếm hàm tuyến tính. Dễ dàng chứng minh tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y là một không gian vector trên trường K với hai phép toán: ( A  B) x  Ax  Bx ( A) x   Ax với x  X ,   K và A , B là các toán tử tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y  K thì tập hợp các phiếm hàm tuyến tính xác định trên X là một không gian vector trên trường K , kí hiệu là X ' , gọi là không gian liên hợp đại số của X . Không gian liên hợp đại số của X ' được kí hiệu là X '' , gọi là không gian liên hợp đại số thứ hai của X . 8 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang 1.2.2. Toán tử tuyến tính liên tục Vì không gian định chuẩn là những không gian mêtric nên cũng là những không gian tôpô. Do đó ta có thể đề cập đến các ánh xạ liên tục trên các không gian định chuẩn. Giả sử ( X , X ) và (Y , Y ) là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường K . Ánh xạ A : X  Y gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục. Hiển nhiên toán tử A gọi là liên tục tại x0  X nếu lim xn  x0 lim Txn  Tx0 Y X  0 thì  0 với mọi {xn }  X . Định nghĩa 1.2.2.1. Toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y gọi là bị chặn ( hay giới nội) nếu tồn tại một số M sao cho Ax  M x với mọi x  X . Định lí 1.2.2.2. Cho A : X  Y là một toán tử tuyến tính từ không gian định X vào không gian định chuẩn Y . Các mệnh đề sau tương đương: i) A là một toán tử bị chặn; ii) A liên tục tại 0; iii) A liên tục trên X ; Chứng minh Xem [2], trang 29. Định nghĩa 1.2.2.3 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Chuẩn của toán tử inf{M   A là số thực : Ax  M x } với mọi x  X . Kí hiệu là A  inf{M : Ax  M x } . Định lí 1.2.2.4. Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó: 9 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang i) Ax  A x với x  X ; ii) A  sup Ax  sup Ax  sup x X x 1 x 1 x 0 Ax x . Chứng minh Xem [10], trang 26, 27. 1.2.3 Không gian L(X,Y) Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường K . Gọi L( X , Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn (liên tục) từ X vào Y . Định lí 1.2.3. i) L( X , Y ) là một không gian định chuẩn với chuẩn A  inf{M : Ax  M x } ; ii) Nếu Y là một không gian Banach thì L( X , Y ) là một không gian Banach. Chứng minh Xem [10], trang 27, 28. 1.2.4 Phép đồng phôi tuyến tính. Phép đẳng cự tuyến tính Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.2.4.1. Ánh xạ A : X  Y gọi là một phép đồng phôi tuyến tính nếu nó là một toán tử tuyến tính và là một phép đồng phôi. Phép đồng phôi tuyến tính còn gọi là phép đẳng cấu tôpô. Hai không gian định chuẩn X và Y gọi là đồng phôi tuyến tính (hay đồng phôi) nếu tồn tại một phép đồng phôi tuyến tính từ X vào Y . Định nghĩa 1.2.4.2. Ánh xạ A : X  Y gọi là một phép đẳng cự tuyến tính nếu nó là một toán tử tuyến tính và là một phép đẳng cự, tức là Ax  x với x  X . 1.3. Không gian liên hợp 10 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang Giả sử X là một không gian định chuẩn trên trường K . Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X , tức là L( X , K ) , gọi là không gian liên hợp tôpô (hay không gian liên hợp) của X , thường được kí hiệu là X * . Không gian liên hợp của X * gọi là không gian liên hợp thứ hai của X , kí hiệu là X ** . 1.3.1. Phép nhúng chuẩn tắc Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mỗi x  X , dễ dàng chứng minh được hàm số H x : X *  K ; x*  x* ( x) là một phiếm hàm tuyến tính trên X * . Dễ dàng thấy rằng ánh xạ H : X  X ** ; x  H x là một toán tử tuyến tính, H được gọi là phép nhúng chuẩn tắc không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai của nó. 1.3.2. Toán tử liên hợp Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn, A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Dễ dàng thấy rằng ánh xạ A* : Y *  X * ; y *  y* A là một toán tử tuyến tính. Hơn nữa A*  A . Do đó A* là một toán tử liên tục. Toán tử tuyến tính A* gọi là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính A . Hiển nhiên ta có định lí sau. Định lí 1.3.2. Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn, và A , B  B( X , Y ) ,   K . Khi đó: i) ( A)*   A* ; ii) ( A  B)*  A*  B* . 11 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ HAHN-BANACH 2.1 Định lí Hanh- Banach đối với không gian vectơ thực Định lí 2.1. Cho p là một sơ chuẩn trên không gian vector thực X và M là một không gian vector con của X . Nếu f  M ' là một phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn f (m)  p (m) với mọi m  M thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F  X ' sao cho F |M  f và F ( x )  p ( x ) với mọi x  X . Chứng minh Đặt  ={ ( g , N ) : N là một không gian vectơ con của X , M  N , g  N ' , g |M  f , g ( x )  p ( x ), x  N }. Định nghĩa quan hệ bằng nhau trên  như sau N  P ( g , N )  ( h, P )    g ( x)  h( x ), x  N  P Rõ ràng  khác rỗng (vì ( f , M )   ). Trên  , ta xác định quan hệ  như sau: ( g , N )  (h, P)  N  P và h |N  g . Ta chứng minh quan hệ  là một quan hệ thứ tự trên  . 1) Tính chất phản xạ: Với ( g , N )   , ta có ( g , N )  ( g , N ) vì N  N và g |N  g . 2) Tính chất phản đối xứng: Với ( g , N ), (h, P)   , ta có N  P h |  g ( g , N )  (h, P) N  P  N    ( h, P )  ( g , N )   P  N h ( x )  g ( x ),  x  N  P  ( h, P )  ( g , N )    g |P  h 12 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang 3) Tính chất bắc cầu: Với ( g1 , N1 ), ( g 2 , N 2 ), ( g 3 , N 3 ) , ta có  N1  N 2 g |  g ( g1 , N1 )  ( g 2 , N 2 )  2 N1 1  N1  N 3    ( g1 , N1 )  ( g3 , N 3 ) .  ( g 2 , N 2 )  ( g 3 , N 3 )  g3 |N1  g1  N 2  N3  g 3 |N  g 2  2 Lấy {( gi , N i )}iI là một tập con sắp thứ tự tốt của  . Đặt N   Ni . Vì N i là không gian con tuyến tính của X với i  I và iI M  N i , i  I nên ta dễ dàng chứng minh được N là không gian con tuyến tính của X và N chứa M . ; x  gi ( x) nếu x  N i . Xác định ánh xạ g : N  Việc chứng minh (g, N)   và ( gi , N i )  ( g , N ) với mọi i  I là đơn giản. Theo bổ đề Zorn, trong (, ) tồn tại phần tử tối đại ( F , Q) . Nếu ta chứng minh được Q  X thì định lí được chứng minh. Giả sử ngược lại Q  X . Lấy x0  X \ Q , đặt Z là tổng trực tiếp của Q và x0 , với mọi   định ánh xạ f : Z  ; x  q   x0  f ( x )  F (q )   . Ta thấy f |Q  F và f  * với mọi   . Do đó f |M  f , với mọi   . Với mọi q1 , q2  Q ta có p(q1  x0 )  F (q1 )  F (q2 )  p(q2  x0 )   F (q1  q2 )  p(q1  q2 )  0  p(q1  x0 )  F (q1 )  F (q2 )  p (q2  x0 ) . Sử dụng tính trù mật của suy ra tồn tại  0  13 sao cho , xác GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang p(q1  x0 )  F (q1 )   0  F (q2 )  p (q2  x0 ) Suy ra F (q1 )   0  p (q1  x0 ) và F (q2 )   0  p(q2  x0 ) với mọi q1 , q2  Q . Sử dụng hai bất đẳng thức trên ta sẽ chứng minh f ( x)  p ( x ), x  Z . 0 Với bất kì x  Z suy ra x  q   x0 , q  Q và   , ta xét các trường hợp: Trường hợp 1:   0 f 0 ( x)  f 0 ( q)  F ( q)  p ( q)  p( x) . Trường hợp 2:   0 Sử dụng bất đẳng thức F (q1 )   0  p (q1  x0 ) , q1  Q với q1  q , ta được   q  f 0 ( x)  F (q )   0    F     0      q    p   x0   p(q   x0 )  p ( x )   Trương hợp 3:   0 Sử dụng bất đẳng thức F (q2 )   0  p(q2  x0 ) , q2  Q với q2   q , ta được    q  f 0 ( x)  F (q)   0    F      0       q    p    x0   p(q   x0 )  p ( x )    Như vậy ta đã chứng minh được f ( x)  p ( x ), x  Z . 0 Vậy ( f , N )   , hơn nữa ( F , P)  ( f , N ) , điều này mẫu thuẫn với tính tối đại 0 0 của F . Định lí được chứng minh xong. 2.2 Định lí Hahn- Banach đối với nửa chuẩn Bổ đề 2.2.1 Giả sử X là không gian vector phức và f : X  . Khi đó f là phiếm hàm tuyến tính phức khi và chỉ khi f được viết dưới dạng 14 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang f ( x)  f1 ( x )  if1 (ix), x  X với f1 : X  là phiếm hàm tuyến tính thực. Chứng minh Giả sử f : X  là phiếm hàm tuyến tính phức. Khi đó f ( x ) được viết dưới dạng f ( x )  Re f ( x)  i Im f ( x) , x  X . Đặt f1 ( x )  Re f ( x) và f 2 ( x)  Im f ( x ) , rõ ràng f1 , f 2 là các phiếm hàm tuyến tính thực. Khi đó f ( x )  f1 ( x)  if 2 ( x ) , x  X nên thay x bởi ix ta được f (ix )  f1 (ix)  if 2 (ix ) . Mặt khác f (ix )  if ( x )  i( f1 ( x)  if 2 ( x ))  if1 ( x )  f 2 ( x)   f 2 ( x)  if1 ( x) . Đồng nhất phần thực, ta thu được f1 (ix )   f 2 ( x )  f 2 ( x)   f1 (ix ) , x  X . Suy ra f ( x )  f1 ( x )  if1 (ix) , x  X . Ngược lại giả sử f ( x)  f1 ( x )  if1 (ix), x  X , với f1 là phiếm hàm tuyến tính thực. Ta chứng minh f là tuyến tính phức. Với mọi x, y  X dễ thấy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) . Giả sử   a  ib, a, b  và x  X . Ta có f ( x)  f1 (ax  ibx )  if1 (ax  ibx)  af1 ( x)  bf1 (ix)  iaf1 ( x)  ibf1 ( x)  (a  ib)  f1 ( x)  if1 ( x )    f ( x) Định lí 2.2.2 Giả sử X là một không gian vector thực hoặc phức, p là một nửa chuẩn trên X và M là một không gian vector con của X . Nếu   M ' là một phiếm hàm tuyến tính thỏa  (m)  p(m) , m  M thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính   X ' thỏa  |M   và  ( x)  p ( x ) , với mọi x  X . 15 GVHD: Th.S Lê Hồng Đức Sinh viên: Huỳnh Vĩnh Sang Chứng minh Nếu X là một không gian vector thực thì p cũng là một sơ chuẩn nên theo định lí 2.1, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính   X ' sao cho  |M  f và  ( x)  p( x) với mọi x  X . Ta cũng có  ( x)   ( x )  p ( x )  p ( x) với mọi x  X . Do đó  ( x)  p ( x ) với mọi x  X . Bây giờ giả sử X là không gian vector phức. Theo bổ đề 2.2.1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính thực f1 xác định trên M sao cho  ( x )  f1 ( x)  if1 (ix ) , x  X . Vì f1 (m)  f1 (m)   (m)  p(m), m  M nên theo định lí 2.1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính thực F xác định trên X sao cho F |M  f1 và F ( x )  p ( x ) với mọi x X . Đặt  : X  ;  ( x)  F ( x )  iF (ix) . Rõ ràng  cộng tính và với mọi a, b  và x  X ta có  ((a  ib) x)  F ((a  ib) x)  iF (i (a  ib) x )  F (ax)  F (ibx)  iF (iax )  iF (bx )  (a  ib) F ( x)  i (a  ib) F ( x )  (a  ib) ( x ) Như vậy  là một phiếm hàm tuyến tính. Mặt khác,  (m)  F (m)  iF (im)  Re  (m)  i Re(i (m))  Re  (m)  i Im  (m)   (m), m  M Tức là  |M   . Cuối cùng, lấy x  X , x  0 và chọn   I  {z  : z  1} sao cho  ( x)  Khi đó  ( x)   ( x)  Re  ( x )  Re ( x)  F ( x)  p ( x)  p( x) . 16  .