Chủ đề 1. Ba loại hệ phương trình cơ bản
Loại 1. Hệ đối xứng loại 1
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn đối với hai ẩn x , y được gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu
khi thay đổi vai trò của x , y thì từng phương trình của hệ không đổi.
2. Phương pháp giải: Để giải loại hệ này, ta thường sử dụng định lý Vi-ét đảo.
* Định lý Vi-ét đảo: Xét hệ
x y S
xy P
1
t 2 St P 0 .
2
và phương trình
Định lý Vi-ét đảo cho biết mối quan hệ giữa tập nghiệm của HPT 1 và PTBH 2 . Cụ thể như
sau:
+) 1 có nghiệm
2
+) Trong trường hợp
có nghiệm S 2 4P 0 .
2
có tập nghiệm là
t1 ;t 2
, tập nghiệm của
2
là
t1;t 2 , t1;t 2 .
* Chú ý: Quy tắc sau đây cho phép ta xác định nhanh tập nghiệm của 1 .
+) TH1: S 2 4P 0 1 vô nghiệm.
x a
x a
+) TH2:
là nghiệm của 1 1 có nghiệm duy nhất
.
y a
y a
x a
+) TH3:
( a b ) là nghiệm của 1
y b
x a
x b
1 có hai nghiệm phân biệt
và
.
y b
y a
* Minh họa:
x y 3
+) Hệ
vô nghiệm do 32 4.5 0 .
xy 5
x y 4
x 2
+) Hệ
.
xy 4
y 2
1
x y 5
x 2
x 3
+) Hệ
hoặc
.
xy 6
y 3
y 2
2
B. Một số ví dụ
x 2 y 2 x y 8
Ví dụ 1. Giải hệ
.
xy x y 5
1
Giải
x y 2 x y 2xy 8
Ta có 1
.
xy x y 5
Đặt S x y , P xy , hệ đã cho trở thành
S 2 S 2 5 S 8
S2 S 2P 8
S P 5
P 5 S
S 2 3S 18 0
P 5 S
S 6
S 3
hoặc
.
P 11
P 2
S 6
2
Hệ
vô nghiệm vì S 2 4P 6 4.11 8 0 .
P 11
S 3
x y 3
Hệ
P 2
xy 2
Vậy tập nghiệm của 1 là
x;y 1;2
hoặc x;y 2;1 .
1;2 , 2;1 .
x 2 y y 2 x 30
Ví dụ 2. Giải hệ
.
3
3
x y 35
1
Giải
Ta có 1
xy x y 30
3
x y 3xy x y 35
xy x y 30
3
x y 125
xy 6
x y 5
x;y 2;3
hoặc x;y 3;2 .
3
Vậy tập nghiệm của 1 là
2;3 , 3;2 .
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau
x y xy 3
1) 2
2
x y xy 2
2)
* .
* .
x y xy 3
3) 2
2
x y xy 2
* .
Giải
x y xy 3
x y 1
x y 2
1) *
1 hoặc
xy 2
xy 1
x y xy 2
1
2 .
vô nghiệm do 12 4.2 0 , 2 x y 1 .
x 1
Vậy * có nghiệm duy nhất
.
y 1
xy 78
x2 y2
2) *
2
x2 y 2 2 xy 2 97
x
2
y
2
2
2
2 78 97
2 2
x y
1
. Thay 1 vào 2 , ta có
2
2
2
2
2
2
2
2
x y
12168 0
97 x y
2
2
2
72
x y
x2 y 2 13
x 2 y 2 2 169
3 .
Thay 3 vào 1 , ta có xy 6 . Do đó
1
x 2 y 2 13
xy 6
x y 2 2xy 13
xy 6
x y 2 25
x y 5
x y 5
hoặc
xy 6
xy 6
xy 6
x 2
x 3
x 2
x 3
hoặc
hoặc
hoặc
.
y 3
y 2
y 3
y 2
x 2 x 3 x 2 x 3
Vậy * có bốn nghiệm
,
,
,
.
y 3 y 2 y 3 y 2
4
C. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
x 2 y 2 1
1)
.
x 3 y 3 1
x xy y 11
2)
.
x xy y 1
x 2 y y 2 x 20
3) 1 1 5
.
x y 4
x 2 y 2 2x 2 y 2
4)
.
x y 1 3xy
x 2 y 2 xy 3
5)
.
xy 3 yx3 2
y x
x y 2
6)
.
1
1
xy 4
x y
x y x2 y 2 3
7) 1 1
.
xy 1
x y
x 2 y 2 xy 3x 2 y 2
8)
.
2
2
2 2
x y xy x y
x y xy 1
9) 2
.
2
x y 2
(x y)(x 2 y 2 ) 3
10)
.
(x y)(x2 y 2 ) 15
x 2 y 2 x 2 y 2 1 2xy
11)
.
x
y
xy
xy
x
y
1
Bài 2. [ĐHD07] Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm
x 1 y 1 5
x
y
.
3 1
3
1
x 3 y 3 15m 10
x
y
x 2 y 2 m
Bài 3. Cho hệ
.
x y 6
1) Giải hệ với m 26 .
2) Xác định m để hệ vô nghiệm.
3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
4) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
x 2 y 2 2(m 1)
Bài 4. Cho hệ
.
2
x y 4
1) Giải hệ với m 1 .
5
2) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
x xy y m 2
Bài 5. Cho hệ 2
.
2
x y xy m 1
1) Giải hệ với m 3 .
2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
D. Đáp số
Bài 1
1) 1;0 , 0;1 .
2) 1;5 , 5;1 .
3) 1;4 , 4;1 , 5 2 41 , 5 2 41 , 5 2 41 , 5 2 41 .
4) 1;1 .
5) 1;1 , 1; 1 .
6) 1;1 .
7) 1;1 .
8) 1;1 , 1; 1 .
9) 1;1 , 1; 1 , 1; 1 .
10) 1;2 , 2;1 .
11) 1;0 , 0; 1 , 1;1 , 1; 1 .
Bài 2
m 7 ;2 22; .
4
Bài 3
1) 1;5 , 5;1 .
2) m 18 .
3) m 18 .
4) m 18 .
1) 0;2 , 2;0 , 0; 2 , 2;0
2) m 6 .
1) 1;2 , 2; 1 , 1; 1 .
m 1
2)
.
m 3
4
Bài 4
Bài 5
6
Loại 2. Hệ đối xứng loại 2
A. Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn là hệ hai phương trình thỏa mãn điều kiện: khi
đổi vai trò hai ẩn thì phương trình này trở thành phương trình kia.
* Phương pháp giải: Để giải hệ này, thông thường ta thực hiện phép trừ từng về hai phương
trình với mục đích làm xuất hiện một phương trình tích. Từ phương trình tích này, ta rút một ẩn
theo ẩn còn lại. Sau bước này, ta tiếp tục giải hệ bằng phương pháp thế.
B. Các ví dụ
3y
Ví dụ 1. [ĐHB03] Giải hệ
3x
y2 2
x2
* .
x2 2
y2
Giải
3yx2 y 2 2
x 0
Đk:
. *
y 0
3xy 2 x 2 2
1
.
2
Trừ từng vế 1 và 2 ta có
3xy x y y x y x
x y 3xy x y 0
x y
3xy x y 0
3
.
4
* Thay 3 vào 2 ta có
3x 3 2x 2 1 0
x 1 3x2 x 1 0
x1 0 x 1
(do tam thức bậc hai 3x 2 x 1 có 11 0 vô nghiệm).
Thay x 1 vào 3 ta có y 1 .
3y
* Ta thấy x , y là nghiệm của hệ
3x
y2 2
x2
0
x2 2
y2
0
VT 4 0 . Từ đây suy ra tất cả
những giá trị x , y thỏa mãn 4 đều không phải nghiệm của hệ.
x 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
.
y 1
7
x y 2 y m
Ví dụ 2. Cho hệ
y x 2 x m
1
.
2
1) Giải hệ với m 0 .
2) Xác định m để hệ có nghiệm.
3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải
Trừ từng vế 1 và 2 ta có
x y y 2 y x2 x
x y x y 0
y x
x y 0
x y 0
y x
Lần lượt thay 3 và 4 vào 2 , ta có x2 2x m 0
5
và x2 m 0
3
.
4
6 .
3
x 0 y 0
1) Thay m 0 vào 5 ta có x2 2x 0
.
3
x 2 y 2
4
Thay m 0 vào 6 ta có x2 0 x 0 y 0 .
x 0 x 2
Vậy khi m 0 , hệ có hai nghiệm
,
.
y 0 y 2
2) Hệ có nghiệm
5
1 m 0
có nghiệm hoặc 6 có nghiệm
m 1.
m 0
3) Để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết một trong hai phương trình 5 , 6 có nghiệm duy
1 m 0
m 1
nhất, nghĩa là
.
m 0
m 0
* Theo câu 1 thì khi m 0 hệ không có nghiệm duy nhất.
3
* Thay m 1 vào 5 ta có x2 2x 1 0 x 1 y 1 .
Thay m 1 vào 6 ta có x2 1 0 x .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất m 1 .
8
C. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
x 3 3x 8y
1)
.
y 3 3y 8x
x 3y
2)
y 3x
3)
3 7y
x 2 1
4)
.
7x
3
y
1
2
1
x
2
1
2
y
.
1
1
2 2
x
y
4y
x
.
4x
y
x 3 6y m
Bài 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của hệ
.
y 3 6x m
x 2 2xy mx y
Bài 3. Giải và biện luận hệ
.
y 2 2xy my x
x 2 2 y 2 m
Bài 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
.
2
2
x y 2 m
xy x 2 m y 1
Bài 5. Cho hệ
.
2
xy
y
m
x
1
1) Giải hệ với m 1 .
2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
D. Đáp số
Bài 1
1) 0;0 ,
3) 1;1 .
Bài 2
11; 11 , 11; 11 .
2) 2; 2 .
4) 2;2 .
m 4 2
*
: hệ có 1 nghiệm,
m 4 2
m 4 2
*
: hệ có 2 nghiệm,
m 4 2
* 4 2 m 4 2 : hệ có 3 nghiệm.
Bài 3
9
* 1 m 5 : hệ có 2 nghiệm 0;0 , m 1 ; m 1 .
3
3
m 1
*
: hệ có 4 nghiệm
m 5
0;0 , m3 1 ; m3 1 ,
m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5
;
,
2
2
m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5
;
.
2
2
Bài 4
m 2.
Bài 5
1) 1; 1 , a;1 a ( a )
2) m 8 .
10
Loại 3. Hệ thuần nhất
2x 2 y 2 1
Bài 1. Giải hệ
.
x 2 xy 2
ĐS: (1;1) , ( 1; 1) .
x 2 y 2 xy 3
Bài 2. Giải hệ
.
2
2
x y xy 1
ĐS: (1;1) , ( 1; 1) , ( 2;1) , (2; 1) .
x y 2 y 2
Bài 3. Giải hệ
.
2
2
x
y
x
xy
y
1
1 1
ĐS:
,
;
3
3
2 2
x 2
2
y x y 2
Bài 4. Giải hệ
.
y
2x2 y 2 1
x
2 2
ĐS: 1;1 , 1; 1 ,
;
3
3 3 23 3
;
.
3
3
2
2 2
,
;
3
3
x 3 y 2 x 3x 6y 0
Bài 5. Giải hệ
.
x 2 xy 3
3 3
3
3
ĐS:
;
, ;
.
2
2
2 2
x 2 y 2 xy 1
Bài 6. Giải hệ
.
2x 3 x y
ĐS: (1;1) , ( 1; 1) .
Bài 7. Giải
hệ
1 6
1
,
ĐS: 1;1 , 1; 1 ,
;
3
6
3
6
x 2 y 2 xy 3
3
x 2y 3 2x y
2
.
3
.
1 6
1
.
;
3
6
3
6
11
Chủ đề 2. Ba phương pháp giải hệ phương trình
Loại 1.Phương pháp thế
3 x y x y
Bài 1. [ĐHB02]
.
x
y
x
y
2
ĐS: 1;1 , 3 ; 1 .
23x 5y 2 4y
Bài 2. [ĐHD02] x x 1
.
4 2
y
x
2 2
ĐS: 0;1 , 2;4 .
x 1 y 1
x
y
Bài 3. [ĐHA03]
.
2y x 3 1
2 2
ĐS: 1;1 , 12 5 ; 12 5 , 12 5 ; 12 5 .
log 1 y x log 4 1 1
y
Bài 4. [ĐHA04] 4
.
x 2 y 2 25
ĐS: 3;4 .
x 1 2 y 1
Bài 5. [ĐHB05]
.
2
3
3
log
9x
log
y
3
9
3
ĐS: 1;1 , 2;2 .
x4 2x 3 y x 2 y 2 2x 9
Bài 6. [ĐHB08]
x 2 2xy 6x 6
ĐS: 4; 17 .
xy x y x 2 2y 2
Bài 7. [ĐHD08]
.
x 2y y x 1 2x 2y
ĐS: 5;2 .
log 2 3y 1 x
Bài 8. [ĐHB10]
.
x
x
2
4 2 3y
ĐS: 1; 1 .
x 2 4x y 2 0
Bài 9. [ĐHB10]
.
2 log 2 x 2 log 2 y 0
ĐS: 3;1 .
4
2
5x 2 y 4xy 2 3y 3 2 x y 0
Bài 10. [ĐHA11]
.
2
2
2
xy x y 2 x y
ĐS:
1;1 , 1; 1 , 2 510 ;
10 2 10
, 5 ; 510
5
12
x 3 2xy 2 12y 0
Bài 11.
.
8y 2 x2 12
ĐS: 2; 1 , 2;1 .
x x 2 x 3 x4 y y 2 y 3 y 4
Bài 12.
.
2
2
x y 1
1 1
ĐS:
;
,
2 2
1
1
;
, 0; 1 , 1;0 .
2
2
x 2 xy 2 3x y
Bài 13.
.
x 2 y 2 2
ĐS: 1; 1 , 1;1 .
y x 26
Bài 14. x y 5 .
2
2
x y 24
ĐS: 5;1 , 5; 1 .
13
Loại 2.Phương pháp đặt ẩn phụ
2 1 x
x 2 y 3
y
Bài 1.
.
1
x
x 3
y y
ĐS: 1;1 .
x
x y y 4
Bài 2.
.
2
x xy y 0
2
2 3 2 3
ĐS:
,
,
3
3
3
3
2
2 3 2 3
,
.
3
3
3
3
2
x
3
3
x
2y
6
6 2 33
y
Bài 3.
. ĐS: 3(3 3);
;2 3 3 .
,
2
3
3
3
2
x 2xy 6y 0
x y
x y y x 4
Bài 4.
.
2
2
x y x y 4
y
x
ĐS: 1;1 .
11
x x 1 1 4
yy
Bài 5.
.
3 3
2 2
3
x y x y xy 1 4y
ĐS: 1;1 , 1; 1 .
x2
y2
1
2
2
Bài 6. y 1
x 1 2 .
3xy x y 1
1 1
ĐS: 1;1 , ; .
3 3
x 2 y x 3 y xy 2 xy 5
4
Bài 7. [ĐHA08]
.
4
2
5
x y xy 1 2x 4
ĐS: 3 5 ; 3 25 , 1; 3 .
xy x 1 7y
Bài 8. [ĐHB09] 2 2
.
2
x y xy 1 13y
ĐS: 1; 1 , 3;1 .
x x y 1 3 0
Bài 9. [ĐHD09]
2
5 1 0.
x
y
x2
ĐS: 1;1 , 2; 3 .
4
16
2
3
2
2x 3 y 2 x2 xy m
Bài 10. [ĐHD11] Tìm m để HPT sau có nghiệm
.
x 2 x y 1 2m
14
ĐS: m 2 3 .
2
Loại 3.Phương pháp hàm số
Bài 1. [ĐHD06] Chứng minh rằng với mọi a 0 , HPT sau có nghiệm duy nhất
ex e y ln 1 x ln 1 y
.
y
x
a
4x2 1 x y 3 5 2y 0
Bài 2. [ĐHA10]
.
ĐS: 1 ; 2 .
2
4x 2 y 2 2 3 4x 7
15
- Xem thêm -
.PDF 
15 
138 
79 
