BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ NGÀ
ÁP DỤNG GIẢI TÍCH THỜI GIAN – TẦN SỐ
TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo,
cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 16 chuyên ngành Toán giải
tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả
có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Ngà
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tích
thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” được hoàn
thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế
thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết
ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Ngà
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Biểu diễn Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3. Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4. Không gian biến điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.5. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.6. Không gian Wiener amalgam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.7. Toán tử tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Chương 2. Áp dụng giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.1. Hầu chéo hóa toán tử tích phân đối với khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2. Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu . . . . . . . . . . . .
37
2.2.1. Tính liên tục của toán tử tích phân trên Mµp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.2. Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu M p,q . .
41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
47
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán tử tích phân (FIO) là một công cụ toán học để nghiên cứu rộng
rãi các bài toán sinh ra trong phương trình đạo hàm riêng. Nguồn gốc
của lý thuyết toán tử tích phân là do Peter Lax giới thiệu năm 1957
khi nghiên cứu xây dựng hầu khả nghịch của bài toán Cauchy đối với
phương trình hyperbol, sau đó các nhà toán học đã sử dụng rộng rãi mô
hình này để biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy, trong cả toán học lý
thuyết và toán ứng dụng. Đặc biệt, Helffer và Robert đã ứng dụng toán
tử tích phân để nghiên cứu tính chất phổ của một lớp toán tử elliptic
toàn cục.
Những năm gần đây, nhờ có sự phát triển của lý thuyết giải tích thời
gian - tần số mà một số lớp toán tử tích phân được giải hầu chéo hóa
và nghiên cứu trong khung cảnh của không gian biến điệu.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian - tần số và
toán tử tích phân, những nghiên cứu mới về giải toán tử tích phân trong
không gian biến điệu, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi
lựa chọn đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên
cứu toán tử tích phân” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
1
2. Mục đích nghiên cứu
+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của giải tích
thời gian - tần số và toán tử tích phân trong không gian biến điệu.
+ Hệ thống hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trong
nghiên cứu giải phương trình tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về giải tích thời gian - tần số, không gian biến
điệu và ứng dụng vào toán tử tích phân, ....
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tích
phân.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài
nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến.
6. Đóng góp của đề tài
Luận văn là một tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài.
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tôi sẽ sử dụng một số ký hiệu và khái niệm sau:
1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và
biến đổi Fourier
Ta ký hiệu |t|2 = t · t, với t ∈ Rd và xy = x · y là tích vô hướng trên
Rd . Với α = (α1 , α2 , ..., αd ) , β = (β1 , β2 , ..., βd ) ∈ Zd+ , ta nhắc lại ký hiệu
Dα và X β đối với phép lấy vi phân và phép nhân toán tử
α
D f=
d
Y
α
∂tj j f
β
và X f (t) =
j=1
d
Y
β
tj j f (t),
j=1
trong đó t = (t1 , t2 , ..., td ). Ta viết dx ∧ dξ =
d
P
dxj ∧ dξj đối với 2-dạng
j=1
đối ngẫu.
Định nghĩa 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh, ký hiệu là S Rd
là tập hợp
S Rd = ϕ ∈ C ∞ Rd X α Dβ ϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rd , ∀α, β ∈ Zd+
với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:
d
d
Dãy {ϕk }∞
trong
S
R
được
gọi
là
hội
tụ
đến
ϕ
∈
S
R
nếu
k=1
lim sup X α Dβ ϕk (x) − X α Dβ ϕ (x) = 0, ∀α, β ∈ Zd+ .
k→∞ x∈Rn
3
Ký hiệu S_ lim ϕk = ϕ.
k→∞
Định lý 1.1. Không gian S Rd là đầy đủ.
Định nghĩa 1.2. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu bởi
S 0 Rd là không gian đối ngẫu của S(Rd ), tức là không gian tất cả các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S Rd với tô pô yếu∗ .
Với f ∈ S 0 Rd , ϕ ∈ S(Rd ), ta viết (f, ϕ) thay cho f (ϕ) khi nói đến
giá trị của phiếm hàm f tại ϕ.
0
d
Định nghĩa 1.3. Dãy {uk }∞
k=1 trong S (R ) được gọi là hội tụ về 0 trong
S 0 (Rd ) nếu
uk (ϕ) → 0 khi k → ∞, với mọi ϕ ∈ S(Rd ).
Khi đó ký hiệu uk → 0.
Định lý 1.2. Không gian S 0 Rd là đầy đủ.
Chúng ta sử dụng dấu ngoặc hf, gi để ký hiệu mở rộng của tích vô
R
hướng hf, gi = f (t)g(t)dt trên L2 Rd lên S Rd × S 0 Rd .
Định nghĩa 1.4. Biến đổi Fourier chuẩn hóa của hàm f ∈ S(Rd ) được
định nghĩa bởi
fˆ(η) = Ff (η) =
Z
f (t)e−2πitη dt.
(1.1)
Nhận xét 1.1.
1. Từ (1.1) ta suy ra
fˆ
∞
≤ kf k1 .
2. Ta dùng ký hiệu F(f ) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là
một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm.
4
3. Nếu f là một tín hiệu, đối với một kĩ sư ω là một tần số và fˆ (ω)
được hiểu là biên độ của tần số ω của tín hiệu f . Trong vật lý, ω là biến
ˆ 2
ˆ
2
động lượng và f (ω) /
f
là mật độ xác suất của động lượng. Do đó
2
−2 Z
ˆ 2
ˆ
f (ω) dω là xác suất của chất điểm trong trạng thái f có động
f
2
I
lượng của nó trong miền I ⊂ Rd .
Bổ đề 1.1. (Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L1 Rd thì fˆ liên tục đều
ˆ
và lim f (ω) = 0.
|ω|→∞
Ký hiệu C0 Rd là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu
tại vô hạn. Khi đó Bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ
của biến đổi Fourier như sau
F : L1 Rd → C0 Rd .
Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểm
bởi công thức (1.1), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gian
hàm khác. Kết quả cơ bản là Định lý Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên
cứu sau đây.
Định lý 1.3. (Plancherel) Cho f ∈ L1 ∩ L2 (Rd ). Khi đó
kf k2 =
fˆ
.
2
Biến đổi F mở rộng thành toán tử unita trên L2 (Rd ) và thoả mãn công
thức Paseval
D
E
ˆ
hf, gi = f , ĝ .
Định nghĩa 1.5. Cho f ∈ L1 Rd . Biến đổi Fourier ngược của hàm f ,
5
ký hiệu F −1 (f ) được định nghĩa bởi
Z
−1
f (ω) e2πixω dω, ∀x ∈ Rd .
F (f ) (x) =
(1.2)
Rd
e
Từ định nghĩa trên ta có F −1 (f ) = fˆ với fe(x) = f (−x).
Định lý 1.4. Nếu f ∈ L1 Rd và fˆ ∈ L1 Rd thì
Z
fˆ (ω) e2πixω dω, ∀x ∈ Rd
f (x) =
Rd
nghĩa là F −1 và F là các toán tử ngược của nhau.
Định nghĩa 1.6. Cho f ∈ S 0 Rd . Biến đổi Fourier của hàm suy rộng
f , ký hiệu là Ff là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi
(Ff, ϕ) = (f, Fϕ) , ϕ ∈ S Rd
và biến đổi Fourier ngược của hàm f , ký hiệu là F −1 f là hàm suy rộng
tăng chậm xác định bởi
F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S Rd .
Ký hiệu phép đối hợp g ∗ là g ∗ (t) = g(−t). Khi đó biến đổi Fourier
ngược là
fˇ(η) := F −1 f (η) = fˆ∗ (−η)
và ta có ϕ = ϕ̂ˆ∗ , ∀ϕ ∈ S(Rn ).
Phép tịnh tiến và phép biến điệu (dịch chuyển thời gian - tần số) được
định nghĩa lần lượt bởi
Tx f (t) = f (t − x)
6
và
Mη f (t) = e2πiηt f (t).
Ta có công thức
(Tx f )∧ = M−x fˆ, (Mη f )∧ = Tη fˆ và Mη Tx = e2πixη Tx Mη .
Lấy biến đổi Fourier của đạo hàm cấp α của f ta được
Dα f
∧
(ω) = (2πiω)α fˆ(ω)
(1.3)
và
∧
(−2πix) f (ω) = Dα fˆ(ω)
α
hoặc viết dưới dạng toán tử FDα = (2πi)|α| X α F và FX α =
(1.4)
i |α| α
D F.
2π
Định nghĩa 1.7. Biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm suy rộng
f ∈ S 0 Rd đối với một hàm cửa sổ g ∈ S Rd khác không được định
nghĩa bởi
Z
Vg f (x, η) = hf, Mη Tx gi =
f (t)g(t − x)e−2πiηt dt.
Rd
Biến đổi Fourier thời gian ngắn xác định trên Rd nhiều cặp của các
không gian Banach. Chẳng hạn, nó ánh xạ L2 Rd × L2 Rd thành
L2 R2d và S Rd × S Rd thành S R2d . Hơn nữa, nó có thể thác
triển thành một ánh xạ từ S 0 Rd × S 0 Rd vào S 0 R2d .
7
Bổ đề 1.2. Nếu f, g ∈ L2 Rd thì Vg f là liên tục đều trên R2d và
Vg f (x, ω) = (f.Tx g)∧ (ω)
= hf, Mω Tx gi
D
E
ˆ
= f , Tω M−x ĝ
∧
−2πixω ˆ
=e
f .Tω ĝ (−x)
= e−2πixω Vĝ fˆ (ω, −x)
= e−2πixω (f ∗ Mω g ∗ ) (x)
∗
ˆ
= f ∗ M−x ĝ (ω)
Z
x −2πitω
x
−πixω
g t−
e
dt.
=e
f t+
2
2
Rd
Định lý 1.5. Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 Rd , khi đó Vgj fj ∈ L2 R2d với
j = 1, 2 và
hVg1 f1 , Vg2 f2 iL2 (R2d ) = hf1 , f2 i hg1 , g2 i.
(1.5)
Ta nhắc lại bất đẳng thức sau
Bổ đề 1.3. ([7], Bổ đề 11.3.3) Cho g0 , g1 , γ ∈ S Rd sao cho hγ, g1 i =
6 0
và f ∈ S 0 Rd . Khi đó,
|Vg0 f (x, η)| ≤
1
(|Vg1 f | ∗ |Vg0 γ|) (x, η) ,
|hγ, g1 i|
với mọi (x, η) ∈ R2d .
8
1.2. Biểu diễn Wigner
Định nghĩa 1.8. Biểu diễn Wigner của một hàm f ∈ L2 Rd , ký hiệu
là Wigf và xác định bởi
t
t −2πiwt
f x+
e
dt.
(1.6)
Wigf (x, w) =
f x−
2
2
Rd
Biểu diễn Wigner chéo tương ứng của f, g ∈ L2 Rd được định nghĩa
Z
bởi
t
t −2πiwt
f x+
Wig(f, g)(x, w) =
g x−
e
dt.
2
2
Rd
Z
(1.7)
Phân phối Wigner chéo là một biến đổi Fourier thời gian ngắn ở dạng
ẩn.
1.3. Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn
Trong mục này chúng ta tìm hiểu về không gian hỗn hợp chuẩn
(mixed-norm spaces) một lớp mở rộng của các không gian Lp (Rd ) và
là nền tảng để xây dựng không gian hỗn hợp chuẩn có trọng.
Định nghĩa 1.9. Cho 1 ≤ p, q < ∞, không gian hỗn hợp chuẩn, ký hiệu
Lp,q là tập hợp tất cả các hàm F (x, ω) đo được Lebesgue trên R2d sao
cho
Z
kF kLp,q =
Rd
Z
|F (x, ω)|p dx
! 1q
pq
dω
< ∞.
Rd
Trong trường hợp p = ∞ hoặc q = ∞ thì chuẩn trên được thay thể bởi
chuẩn cốt yếu, nghĩa là ta có
Z
q 1q
esssup|F (x, ω)| dω
kF kL∞,q =
Rd
x∈Rd
9
và
Z
kF kLp,∞ = esssup
|F (x, ω)|p dx
p1
.
Rd
ω∈Rd
Mệnh đề 1.1. Không gian Lp,q với 1 ≤ p, q ≤ ∞ với chuẩn được định
nghĩa trong Định nghĩa 1.9 là không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với mọi F, G ∈ Lp,q thì
kF + GkLp,q ≤ kF kLp,q + kGkLp,q .
Thật vậy, với p, q < ∞ chúng ta có
kF + GkLp,q =
Z
Z
|F |p dx
≤
Rd
≤
Rd
Rd
1/p
Rd
|F |p dx
1/p !q !1/q
|G|p dx
dω
Z
+
Rd
Z
Z
pq ! 1q
|F + G|p dx dω
Z
Z
Rd
!1/q
q/p
dω
Z
Z
|G|p dx
+
Rd
Rd
!1/q
q/p
dω
Rd
= kF kLp,q + kGkLp,q .
Với p = ∞ hoặc q = ∞ tương tự chúng ta cũng có
kF + GkL∞,q ≤ kF kL∞,q + kGkL∞,q
và
kF + GkLp,∞ ≤ kF kLp,∞ + kGkLp,∞ .
Vậy Lp,q là không gian định chuẩn.
Mệnh đề được chứng minh.
Hơn thế nữa, chúng ta còn có:
10
Mệnh đề 1.2. Với mọi 1 ≤ p, q < ∞ thì Lp,q (R2d ) là không gian Banach.
Mệnh đề được chứng minh tương tự như chứng minh Lp (Rd ) là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.10. [Hàm trọng] Hàm trọng là một hàm khả tích địa
phương và không âm trên R2d .
Định nghĩa 1.11. Một hàm trọng v trên R2d được gọi là dưới tính nhân
(submultiplicative), nếu
v(z1 + z2 ) ≤ v(z1 )v(z2 ) với mọi z1 , z2 ∈ R2d .
(1.8)
Một hàm trọng m trên R2d được gọi là v-ôn hòa (v-moderate) nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho
m(z1 + z2 ) ≤ Cv(z1 )m(z2 ) với mọi z1 , z2 ∈ R2d .
(1.9)
Hai hàm trọng m1 , m2 được gọi là tương đương và viết là m1 m2
nếu có hằng số C > 0 sao cho
C −1 m1 (z) ≤ m2 (z) ≤ Cm1 (z) với mọi z ∈ R2d .
(1.10)
Chú ý:
1. Từ đây về sau, chúng ta gọi v là một hàm trọng dưới tính nhân và m
là hàm trọng v-ôn hòa. Từ (1.8) ta có v(0) ≥ 1 vì v(0 + 0) ≤ v 2 (0).
2. Trong luận văn này giả thiết rằng v(x, ω) thỏa mãn
v(x, ω) = v(−x, ω) = v(x, −ω) = v(−x, −ω).
11
3. Nếu v là một hàm trọng dưới tính nhân bất kì và ψ ≥ 0 là hàm số
liên tục có giá compact thì v ∗ ψ là liên tục và tương đương với v.
Hơn nữa trọng
v(x, ω) = max{v(x, ω), v(−x, ω), v(x, −ω), v(−x, −ω)}
là đối xứng.
2
4. Xét hàm hxi = 1 + |x|
Ta có
hxi
|x|
1/2
và lũy thừa của nó là hxis , s ∈ R.
→ 1, |x| → ∞. Chúng ta chú ý rằng với m ∈ N∗
m
hxi2m = 1 + x21 + x22 + ... + x2n
P 2α
≤
C
x
m
X
|α|≤m
=
Cm,α x2α
P 2α
≥
x
|α|≤m
|α|≤m
với các số nguyên dương Cm,α và Cm , và với Cm,α =
m!
α!(m−|α|)! .
Ví dụ 1.1. Lớp của những hàm trọng thông thường trên R2d là những
hàm trọng của đa thức có dạng
! 21 s
2n
X
1 s
s
2
2
2 2
zj
vs (z) = (1 + |z|) = 1 +
= 1+ x +ω
=1
với mọi z = (x, ω) ∈ R2d ; s ≥ 0.
Chúng ta thấy rằng vs (z) là tương đương với những trọng
s
(1 + |x| + |ω|) và
2
1 + |z|
2s
= 1 + x2 + ω 2
Ví dụ 1.2. Hàm trọng mũ kiểu
β
v(z) = eα|z| với α > 0 và 0 ≤ β < 1.
12
2s
.
(1.11)
Ví dụ 1.3. Những hàm trọng chỉ phụ thuộc vào thời gian hoặc chỉ phụ
thuộc vào tần số kiểu
m(x, ω) = (1 + |x|)s hoặc m(x, ω) = (1 + |ω|)s .
Bổ đề 1.4. a) Nếu m là một v-ôn hòa, thì ta có
1 m(z)
≤ m(z − t) ≤ Cv(t)m(z).
C v(t)
Đặc biệt,
1
≤ m(z) ≤ Cv(z) và với mọi z ∈ l + [0, 1]2n và l ∈ R2n
Cv(z)
1
m(l) ≤ m(z) ≤ C 0 m(l).
0
C
(1.12)
b) Những trọng đa thức vs là dưới tính nhân và 0 ≤ t ≤ s thì cả vt và
vt−1 là vs -ôn hòa.
c) Nếu s > 2d, thì
1 1
∗
vs vs
(z) ≤ Cs
1
(z).
vs
(1.13)
Chứng minh. a) Từ m(z−t) ≤ Cv(t)m(z) thì m(z−t+t) ≤ Cv(t)m(z−
t) và Định nghĩa 1.11, viết z = l + z 0 với z 0 ∈ [0, 1]2n , chúng ta có
m(z 0 + l) ≤ Cm(l)v(z 0 ) và m(l) ≤ Cm(l + z 0 ).v(z 0 ).
Chúng ta chọn hằng số C 0 là C 0 = C maxz 0 ∈[0,1]2n v(z 0 ).
b) Vì 1 + |z1 + z2 | ≤ (1 + |z1 |) + (1 + |z2 |) nên với 0 ≤ t ≤ s,
vt (z1 + z2 ) ≤ v( z1 )vt (z2 ) ≤ vs (z1 )vs (z2 ).
Đặt z2 = w1 + w2 và z1 = −w1 trong (1.14) thì
vt (w1 + w2 )−1 ≤ vs (w1 )vt (w2 )−1 .
13
(1.14)
c) Chúng ta cần chứng minh rằng
Z
(1 + |t|)−s (1 + |x − t|)−s dt ≤ Cs (1 + |x|)−s .
(1.15)
R2d
Mà x ∈ R2d , chia R2d thành những miền
|x|
|x|
} và Nxc = {t : |t − x| >
}.
2
2
Nx = {t : |t − x| ≤
Nếu t ∈ Nx thì |t| ≤
nên
Z
|x|
2
và do (1 + |t|)−s ≤ (1 +
−s
−s
s
−s
|x| −s
2 )
Z
(1 + |t|) (1 + |x − t|) dt ≤ 2 (1 + |x|)
Nx
≤ 2s (1 + |x|)−s
(1 + |x − t|)−s dt.
Nx
−s
và
Tương tự, với t ∈ Nxc chúng ta có (1 + |t − x|)−s ≤ (1 + |x|
2 )
Z
Z
−s
−s
s
−s
(1 + |t|) (1 + |x − t|) dt ≤ 2 (1 + |x|)
(1 + |x − t|)−s dt.
Nxc
Nxc
R
Nếu s > 2d thì tích phân hội tụ và hằng số Cs = 2s+1 (1 + |t|)−s dt.
Vậy định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.12. Cho m là một hàm trọng trên R2d và 1 ≤ p, q < ∞.
2d
Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng Lp,q
m (R ) gồm tất cả những hàm đo
được (Lebesgue) trên R2d , sao cho chuẩn
Z
Z
=
kF kLp,q
m
Rd
|F (x, ω)|p m(x, ω)p dx
! 1q
pq
dω
Rd
là hữu hạn.
Nếu p = ∞ hoặc q = ∞, thì các chuẩn tương ứng là
Z
p1
p
kF kL∞,p
=
esssup |F (x, ω)|m(x, ω) dx
m
Rd
x∈Rd
và
Z
kF kLp,∞
= esssup
m
x∈Rd
|F (x, ω)|p m(x, ω)q dx
Rd
14
p1
.
p
q
Vậy Lp,q
m xác định bởi không gian định chuẩn L theo x, và một L theo
ω. Vì hàm ω 7→ F (., ω)m(., ω) lấy giá trị trong Lq nên không gian Lp,q
m
có thể xem như một không gian Lq với các phần tử thuộc Lp .
p
p
Nếu p = q, thì Lp,q
m = Lm là không gian L có trọng thông thường. Hơn
2d
nữa, L∞
m (R ) bao gồm tất cả những hàm f (đo được) thỏa mãn
esssup |f (z)|m(z) ≤ C hay |f (z)| ≤ Cm(z)−1 , x ∈ R2d .
(1.16)
Theo định nghĩa về chuẩn của toán tử, ta có kf kL∞
= sup C với mọi C
m
thỏa mãn (1.16). Mệnh đề sau đây cho thấy không gian Lp,q
m cũng có các
tính chất tương tự như Lp .
Mệnh đề 1.3. Giả sử m là v-ôn hòa và 1 ≤ p, q ≤ ∞ thì
2d
a) Lp,q
m (R ) là một không gian Banach.
2d
p,q
b) Lp,q
m là bất biến qua phép tịnh tiến Tz , z ∈ R , và với mọi F ∈ Lm
ta có
.
≤ Cv(z) kF k fLp,q
kTz F kLp,q
m
m
(1.17)
c) Bất đẳng thức Hölder:
0
0
p ,q
1
1
2d
2d
1
2d
Nếu F ∈ Lp,q
m (R ), H ∈ L1/m (R ) với p + p0 = 1 thì F.H ∈ L (R ) và
Z
≤ kF k p,q kHk p0 ,q0 .
F
(z)H(z)dz
(1.18)
Lm
2d
L1/m
R
0
0
∗
p ,q
d) Tính đối ngẫu: Nếu p, q < ∞, thì (Lp,q
với phép toán
m ) = L1
m
Z
p0 ,q 0
hF, Hi =
F (z)H(z)dz với F ∈ Lp,q
m và H ∈ L1/m .
R2d
Chứng minh. a) Trước hết bằng cách chứng minh tương tự như trong
Mệnh đề 1.1 ta cũng có Lp,q
m là không gian định chuẩn. Ta sẽ chứng minh
Lp,q
m là không gian Banach. Giả sử {Fk }, k = 1, 2, . . . là dãy Cauchy trong
15
p,q
p,q
Lp,q
m . Khi đó dãy {mFk }, k = 1, 2, . . . là dãy Cauchy trong L . Do L
là không gian Banach nên tồn tại hàm G ∈ Lp,q sao cho lim mFk = G
k→∞
G(z)
trong Lp,q . Đặt F (z) =
thì F ∈ Lp,q
m . Hơn nữa
m(z)
= kmFk − mF kLp,q = kmFk − GkLp,q → 0 khi k → ∞.
kFk − F kLp,q
m
p,q
Do đó Fk → F trong Lp,q
m khi k → ∞ hay Lm là không gian Banach.
b) Với z = (u, η), thì
Z
Z
kTz F kLp,q
=
m
Rd
pq ! 1q
|F (x, ω)|p m(x + u, ω + η)p dx dω
=
Rd
Rd
Z
Z
≤C
Rd
dω
Rd
Z
Z
|F (x − u, ω − η)|p m(x, ω)p dx
! 1q
pq
pq ! 1q
|F (x, ω)|p v(u, η)p m(x, ω)p dx dω
Rd
= Cv(z) kF kLp,q
.
m
c) Ta có
Z
Z
≤
F
(z)H(z)dz
2d
R
R
1
m(x, ω)F (x, ω).
dxdω.
H(x,
ω)
m(x, ω)
2d
16
- Xem thêm -