Tài liệu Ánh xạ giả aphin và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CÔNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CÔNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2014 2 Lời cám ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2014 3 Mục lục Mở đầu 6 Một số kí hiệu 7 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Tích vô hướng và chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Tập aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch . . . . . . . . . . . . . . 11 2 ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 2.2 12 Định nghĩa ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Hàm giả tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.4 Ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tính chất của ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 2.2.2 Tính chất sơ cấp của ánh xạ giả aphin xác định trên toàn không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tính chất của ánh xạ giả aphin trong không gian 3-chiều 27 4 2.3 Ứng dụng của ánh xạ giả aphin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Nghiệm duy nhất của bài toán chính quy . . . . . . . . . 38 2.3.3 Tính giả đơn điệu trong không gian một chiều . . . . . . 44 2.3.4 Tính giả đơn điệu trong không gian có số chiều lớn hơn một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận 46 52 Tài liệu tham khảo 53 5 Mở đầu Trong Giải tích phi tuyến tính đơn điệu là một khái niệm cơ bản, có vai trò quan trọng trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu....(xem [5] và những tài liệu dẫn trong đó). Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về các ánh xạ đơn điệu suy rộng cùng ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong các môn toán ứng dụng (xem [6], [7], [8], và những tài liệu dẫn trong đó). Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn những kiến thức đã học, mối quan hệ với những ứng dụng của toán giải tích, tôi chọn đề tài "Ánh xạ giả aphin và ứng dụng" để làm luận văn tốt nghiệp. Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về lớp ánh xạ giả aphin (một lớp ánh xạ đơn điệu đặc biệt) và một số ứng dụng của nó vào lý thuyết bất đẳng thức biến phân. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản và quen biết sẽ dùng trong chương sau. Chương 2 trình bày về ánh xạ giả aphin và ứng dụng của ánh xạ giả aphin vào việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân. 6 Bảng một số kí hiệu R Rn Rn+ T : X → Rm dom(f ) ∇f (x) A∗ hx, yi hoặc xT y ||.|| |x| [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} sp (x1 ; x2 ; ...; xk ) sp(S) l(x; y) x + S = {x + y | y ∈ S} R++ = (0;+∞) R++ .S = tx | t ∈ R++ ; x ∈ S đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều Nón không âm trong Rn ánh xạ đi từ X vào Rm miền hữu hiệu của f gradient của f tại x liên hợp của toán tử A tích vô hướng của x và y chuẩn trong không gian Rn trị tuyệt đối của số x đoạn thẳng đóng nối x và y là không gian con sinh bởi (x1 ; x2 ; ...; xk ) không gian con sinh bởi S đường thẳng nối x và y tổng của véc tơ x với tập S tập số dương tích tập số dương với tập S Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản, giúp chúng ta tiếp cận định nghĩa ánh xạ giả aphin. Đây cũng là cơ sở để chúng ta nghiên cứu các tính chất của ánh xạ giả aphin và các ứng dụng của nó ở chương sau. 1.1 Các khái niệm cơ bản Tập hợp Rn := {x = (x1 , ..., xn )T : x1 , ..., xn ∈ R}, trong đó  x1  x2  x = (x1 , ..., xn )T :=  ..  . xn  với hai phép toán (x1 , ..., xn )T + (y1 , ..., yn )T := (x1 + y1 , ..., xn + yn )T λ(x1 , ..., xn )T := (λx1 , ..., λxn )T , λ∈R lập thành một không gian véc tơ thực n−chiều. Nếu x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần hoặc tọa độ thứ i của x. Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kí hiệu đơn giản là 0, vậy 0 = (0, ..., 0)T . 8 Ta gọi hệ e1 = (1, 0, ..., 0)T , e2 = (0, 1, 0, ..., 0)T , ...en = (0, ..., 0, 1)T là cơ sở chính tắc của không gian Rn . 1.1.1 Tích vô hướng và chuẩn Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc h., .i như sau: với x = (x1 , ..., xn )T , y = (y1 , ..., yn )T ∈ Rn , n X hx, yi = xi yi . i=1 Khi đó với mọi x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn ta định nghĩa v u n p uX kxk := hx, xi = t (xi )2 i=1 và gọi là chuẩn Euclid của véc tơ x. Tích vô hướng chính tắc của x và y trong Rn còn được kí hiệu bởi xT y . Với tích vô hướng chính tắc ta có: (i) hx, yi = hy, xi. (ii )hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi. (iii) λhx, yi = hλx, yi. (iv) hx, xi ≥ 0 và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. Chuẩn Euclid có những tính chất sau: (i) kxk ≥ 0 ∀x ∈ Rn , kxk = 0 ⇐⇒ x = 0. (ii) kλxk = |λ|kxk ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn . (iii) |hx, yi| 6 kxk.kyk ∀x, y ∈ Rn , trong đó dấu bằng ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. (iv) |kxk − kyk| 6 kx + yk 6 kxk + kyk ∀x, y ∈ Rn . 9 1.1.2 Tập đóng, tập mở Cho x0 ∈ Rn , ε > 0, ta gọi tập B(x0 , ε) := {x ∈ Rn : kx − x0 k < ε} là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0 , bán kính ε. Định nghĩa 1.1. Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu với mọi x0 ∈ U , tồn tại ε > 0 sao cho B(x0 , ε) ⊂ U. Tập F ⊂ Rn gọi là đóng nếu U := Rn \ F là mở. 1.1.3 Tập lồi Định nghĩa 1.2. Cho A là tập con của Rn , A là tập lồi nếu ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A. Nghĩa là nếu x; y ∈ A thì đoạn thẳng [x; y] ⊂ A. Ví dụ 1.1. +) Rn ; ∅; {x} là các tập lồi.  +) x : aT x ≤ b - nửa không gian ngăn cách bởi đường thẳng aT x = b là tập mở. 1.1.4 Tập aphin Định nghĩa 1.3. Cho A là tập con của Rn , A là tập aphin nếu ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A. Nghĩa là nếu x; y ∈ A thì đường thẳng đi qua x, y cũng nằm trong A. 1.1.5 Gradient Định nghĩa 1.4. Cho A là tập con của Rn . Hàm f : A → R biến mỗi x = (x1 ; x2 ; ...; xn ) ∈ A thành f (x1 ; x2 ; ...; xn ). Khi đó Gradient 10 của hàm f là một véc tơ cột mà thành phần là đạo hàm theo các biến của f  ∇f (x) = 1.1.6 ∂f ∂f ∂f ; ; ...; ∂x1 ∂x2 ∂xn T . Ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch Định nghĩa 1.5. Ánh xạ A được gọi là ánh tuyến tính đối xứng lệch nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau : i) A (là tuyến tính khi) : ∀x; y ∈ A; ∀α; β ∈ R : A (αx + βy) = αAx + βAy. ii) A (là đối xứng lệch) : A = −A∗ . Định nghĩa 1.6. Hai véc tơ x; y ∈ Rn được gọi là cùng hướng nếu tồn tại α > 0 sao cho x = αy . Ánh xạ T : K → Rn được gọi là có hướng không đổi trên K nếu nó đồng nhất bằng 0 trên K hoặc nó luôn khác 0 trên K và tồn tại e ∈ Rn sao cho T (x) = kT (x)k e ∀x ∈ K. Kết luận Chương 1 đã trình bày một số khái niệm sẽ dùng ở những phần sau. 11 Chương 2 ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Định nghĩa ánh xạ giả aphin Trong phần này chúng ta đi nghiên cứu ánh xạ giả aphin và ứng dụng vào nghiên cứu bất đẳng thưc biến phân. Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [2], [5], [7] và [8]. Trước tiên chúng ta nhắc lại các khái niệm sau : 2.1.1 Hàm giả lồi Định nghĩa 2.1. Cho K ⊂ Rn là tập mở, lồi. Một hàm khả vi f : K → R được gọi là giả lồi nếu với mọi x, y ∈ K ta có: h∇f (x), y − xi ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x). Trong đó h., .i là tích vô hướng trong Rn , ∇f (x) là gradient của hàm f tại x. Ví dụ 2.1. Hàm số f : R → R, f (x) = ax + b với a, b ∈ R là hàm giả lồi. Thật vậy, ta có ∇f (x) = a và h∇f (x), y − xi ≥ 0, ∀x, y ∈ R. 12 hay a(y − x) ≥ 0. Từ đây suy ra ay + b ≥ ax + b và ta có f (y) ≥ f (x). Ví dụ 2.2. Hàm số f : Rn → R, f (x) = ex1 +x2 +...+xn với x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn là một hàm giả lồi. Thật vậy,  x1 +x2 +...+xn  e  ex1 +x2 +...+xn  ∇f (x) =  . .............. ex1 +x2 +...+xn Và ta có với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn , h∇f (x), y − xi ≥ 0 khi và chỉ khi  x1 +x2 +...+xn  e  ex1 +x2 +...+xn   ..............  (y1 − x1 , y2 − x2 , ..., yn − xn ) ≥ 0. ex1 +x2 +...+xn Điều này tương đương với ex1 +x2 +...+xn [(y1 + y2 + ... + yn ) − (x1 + x2 + ... + xn )] ≥ 0. suy ra y1 + y2 + ... + yn ≥ x1 + x2 + ... + xn . vậy ey ≥ ex hay f (y) ≥ f (x). Vậy f (x) là hàm giả lồi. 13 2.1.2 Hàm giả tuyến tính Một hàm f : K → R là giả tuyến tính nếu cả f và −f đều là hàm giả lồi. Như vậy ta có thể khẳng định hàm số f (x) = ax + b, a, b ∈ R và hàm số f (x) = ex1 +x2 +...+xn , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn là các hàm giả tuyến tính. Bây giờ chúng ta sẽ đi xây dựng khái niệm ánh xạ giả aphin. Trước tiên ta định nghĩa ánh xạ giả đơn điệu. 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu Một ánh xạ T : K → Rn được gọi là ánh xạ giả đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ K, ta có: hT (x), y − xi ≥ 0 ⇒ hT (y), y − xi ≥ 0. Ví dụ 2.3. T : R → R xác định bởi T (x) = ex . Khi đó T là ánh xạ giả đơn điệu. Thật vậy, với mọi x, y ∈ R ta có : hT (x), y − xi ≥ 0 ⇔ ex (y − x) ≥ 0 ⇒ y ≥ x. ⇒ ey (y − x) ≥ 0 ⇒ hT (y), y − xi ≥ 0. Vậy T là ánh xạ giả đơn điệu. Ví dụ 2.4. T : Rn → Rn x = (x1 , x2 , ..., xn ) 7→ T (x) = (x21 , 0, 0, ..., 0) Khi đó T là ánh xạ giả đơn điệu. Thật vậy, ∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ∀y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn 14 Ta có : hT (x), y − xi = x21 (y1 − x1 ) ≥ 0 ⇒ y1 ≥ x1 ⇒ y12 (y1 − x1 ) ≥ 0 ⇒ hT (y), y − xi ≥ 0. Vậy T là ánh xạ giả đơn điệu. Bây giờ chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ giả aphin. 2.1.4 Ánh xạ giả aphin Định nghĩa 2.2. Một ánh xạ T : K → Rn được gọi là ánh xạ giả aphin nếu cả T và −T đều là ánh xạ giả đơn điệu. Như vậy ta có thể khẳng định hai ánh xạ trong Ví dụ 2.3 và Ví dụ 2.4 là ánh xạ giả aphin.Từ định nghĩa ánh xạ giả aphin chúng ta có các khẳng định sau (xem[4]): Chú ý 2.1. T là ánh xạ giả aphin khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ K ta có sự tương đương sau đúng hT (x), y − xi ≥ 0 ⇔ hT (y), y − xi ≥ 0. hoặc, một cách tương đương, sự tương đương sau đúng hT (x), y − xi > 0 ⇔ hT (y), y − xi > 0. Lưu ý rằng, nếu T là ánh xạ giả aphin thì với mọi x, y ∈ K ta có hT (x), y − xi = 0 ⇔ hT (y), y − xi = 0. (2.1) Ngược lại, nếu sự tương đương trên đúng và T liên tục, thì T là giả aphin (xem [4]). Trong luận văn này chúng ta chủ yếu sử dụng tính giả aphin ở dạng (2.1). Từ tính chất (2.1) ta dễ dàng thu được kết quả sau: T (0) = 0 ⇒ hT (x), xi = 0. 15 (2.2) Thật vậy, do T là ánh xạ giả aphin nên với 0 ∈ K và với mọi x ∈ K ta có hT (x), xi = hT (x), x − 0i = hT (0), x − 0i. Mà hT (0), x − 0i = h0, xi = 0, suy ra hT (x), xi = 0. Nhận xét: +) Một hàm khả vi f là giả lồi khi và chỉ khi ∇f là ánh xạ giả đơn điệu. +) Một hàm f là giả tuyến tính khi và chỉ khi ∇f là ánh xạ giả aphin. 2.2 Tính chất của ánh xạ giả aphin Trong phần này chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu ánh xạ giả aphin trên toàn không gian, tức là ánh xạ giả aphin T : Rn → Rn . Chúng ta sẽ tìm dạng chung của ánh xạ giả aphin T : Rn → Rn . Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt T = ∇f với f là hàm giả tuyến tính. Định lý 2.1. Cho f : Rn → R là một hàm nửa liên tục dưới. Khi đó f là hàm nửa tuyến tính nếu và chỉ nếu nó có dạng f (x) = h(hu, xi). Ở đây u ∈ Rn , h là hàm nửa liên tục dưới và đơn điệu tăng. Định lý 2.2. Một hàm khả vi f : Rn → R là giả tuyến tính khi và chỉ khi nó có thể viết dưới dạng f (x) = h(hu, xi). Với u ∈ Rn , h là hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0. Chứng minh. Giả sử f : Rn → R là hàm giả tuyến tính. Vì f là hàm giả tuyến tính nên f là hàm nửa tuyến tính. Theo Định lý 2.1 thì f (x) = 16 h(hu, xi), với u ∈ Rn , h là hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0. Ngược lại, nếu f (x) = h(hu, xi), với u ∈ Rn , h là hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0. + Nếu h0 = 0 tại một điểm suy ra ∇f = 0 tại một vài điểm. Suy ra f (x) là hàm hằng, do đó h0 ≡ 0. + Nếu h0 6= 0 tại mọi điểm thì hiển nhiên h0 > 0. Vậy h là hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0. Như vậy trong trường hợp đặc biệt T = ∇f với f là hàm giả tuyến tính thì ta có: f (x) = h(hu, xi). Với u ∈ Rn , h là hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0. Khi đó: T (x) = ∇f (x) = h0 (hu, xi) .u. Bây giờ ta đi nghiên cứu trường hợp T và −T đơn điệu. Ta xét định lý sau: Định lý 2.3. Cho T : Rn → Rn thoả mãn cả T và −T là đơn điệu. Khi đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch A và một véc tơ u ∈ Rn sao cho : T (x) = Ax + u, x ∈ Rn . Chứng minh. Đặt u = T (0) và định nghĩa T 0 : Rn 7→ Rn bởi công thức T 0 (x) = T (x) − u. Khi đó, vì T và −T đơn điệu ta có T 0 và −T 0 cũng đơn điệu.Do đó ∀x, y ∈ Rn :  T 0 (y) − T 0 (x) , y − x = 0. T 0 (0) = 0. 17 (2.3) (2.4) Từ đó suy ra với mọi x ∈ Rn ; hT 0 (x) , xi = 0. Từ (2.3) suy ra     T 0 (y) , y − T 0 (y) , x − T 0 (x) , y + T 0 (x) , x = 0, và ta được   T 0 (x) , y = − T 0 (y) , x . (2.5) Do đó với mọi t ∈ R và với mọi x, y ∈ Rn sử dụng (2.5) nhiều lần ta được     T 0 (tx) , y = − tx, T 0 (y) = −t x, T 0 (y) = t T 0 (x) , y . Do đó với mọi x ∈ Rn ; hT 0 (tx) − tT 0 (x) , yi = 0. Suy ra với mọi x ∈ Rn , T 0 (tx) = tT 0 (x). Tương tự, với mọi x; y; z ∈ Rn , hệ thức (2.5) cho ta:     T 0 (x + y) , z = − x + y, T 0 (z) = − x, T 0 (z) − y, T 0 (z)   = T 0 (x) , z + T 0 (y) , z . Do đó, hT 0 (x + y) , zi = − hT 0 (x) , zi − hT 0 (y) , zi = 0 ⇔ hT 0 (x + y) − T 0 (x) − T 0 (y) , zi = 0; ∀z ∈ Rn . ⇔ T 0 (x + y) = T 0 (x) + T 0 (y) Vậy T 0 là tuyến tính. Từ (2.5) ta dễ dàng suy ra T 0 là đối xứng lệch. Bằng cách đặt A = T 0 suy ra A là ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch và ta có T (x) = Ax + u, x ∈ Rn . Trong luận văn này chúng ta tập trung nghiên cứu các tính chất của ánh xạ giả aphin T : Rn → Rn . Trong thực tế các kết quả chính về tính chất của ánh xạ giả aphin sẽ được trình bày trong định lý sau: 18 Định lý 2.4. Ánh xạ T : Rn → Rn là ánh xạ giả aphin nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch A một véc tơ u và hàm dương g : Rn → R sao cho ∀x ∈ Rn ; T (x) = g (x) (Ax + u) . (2.6) Chứng minh. Điều kiện đủ : Giả sử A là ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch, u là một véc tơ và g : Rn → R là hàm dương sao cho ∀x ∈ Rn ; T (x) = g (x) (Ax + u) . Ta cần chứng minh T là ánh xạ giả aphin. Ta có hT (x) , y − xi ≥ 0 ⇔ hg (x) (Ax + u) , y − xi ≥ 0 ⇔ g (x) h(Ax + u) , y − xi ≥ 0 ⇔ h(Ax + u) , y − xi ≥ 0 ⇔ hAx, y − xi + hu, y − xi ≥ 0. (2.7) Do A là ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch nên ta có hAy, y − xi = − hA (y − x) , yi = − hAy, yi + hAx, yi = − hAx, xi + hAx, yi = hAx, y − xi . Vậy hAy, y − xi = hAx, y − xi. Thay vào(2.7) ta được hT (x) , y − xi ≥ 0 ⇔ hAx, y − xi + hu, y − xi ≥ 0 ⇔ hAy, y − xi + hu, y − xi ≥ 0 ⇔ hAy + u, y − xi ≥ 0 ⇔ hg (y) (Ay + u) , y − xi ≥ 0 ⇔ hT (y) , y − xi ≥ 0. Vậy T là giả đơn điệu. Tương tự −T cũng là giả đơn điệu. Vậy T là ánh xạ giả aphin. Điều kiện cần: T : Rn → Rn là ánh xạ giả aphin.Ta cần chứng minh tồn tại một ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch A một véc tơ u và hàm dương g : Rn → R sao cho : ∀x ∈ Rn ; T (x) = g (x) (Ax + u) . 19 Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh điều kiện cần của định lý trong các trường hợp n = 1. Thật vậy, một ánh xạ giả aphin trong R là một hàm luôn dương hoặc luôn âm hoặc đồng nhất bằng 0. Do đó, chỉ cần lấy A = 0, u = 1 hoặc u = −1 hoặc u = 0 thì ta có (2.6): ∀x ∈ R; T (x) = g (x) (Ax + u) . Vậy định lý được chứng minh với n = 1. Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh điều kiện cần của định lý 2.4 trong các trường hợp n > 2. Quá trình chứng minh thông qua các mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1 ([4], Theorem 2.2). Cho K ⊆ Rn là tập mở, lồi và T : K → Rn là ánh xạ giả aphin. Nếu z1 ; z2 ∈ K sao cho T (z1 ) = T (z2 ) = 0 thì T (z) = 0. Với z ∈ l (z1 ; z2 ) ∩ K . Chứng minh. Với v ∈ Rn , cho t ∈ R, sao cho z + tv ∈ K . Vì T là giả aphin nên ta có hT (z1 ) , z + tv − z1 i = 0 ⇒ hT (z + tv) , z + tv − z1 i = 0. (2.8) Vì z ∈ l (z1 ; z2 ), tồn tại λ ∈ R sao cho z = λz1 + (1 − λ) z2 . Do vậy từ (2.8) suy ra hT (z + tv) , tv + (1 − λ) (z2 − z1 )i = 0. (2.9) hay hT (z + tv) , tv + λ (z1 − z2 )i + hT (z + tv) , tv + (z2 − z1 )i = 0. Tương tự, sử dụng T (z2 ) = 0 ta chứng minh được hT (z + tv) , z + tv − z2 i = 0. 20