Trêng ®¹i häc vinh
Khoa to¸n
----------------------------
¶nh cña kh«ng gian metric
kho¸ luËn tèt nghiÖp ®¹i häc
ngµnh cö nh©n khoa häc to¸n
Gi¸o viªn híng dÉn: PGS.TS trÇn v¨n ©n
Sinh viªn thùc hiÖn : NguyÔn thÞ thu
Líp
: 41E1 - To¸n
Vinh – 2005
LêI Më §ÇU
Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y rÊt nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi tËp trung
nghiªn cøu vÒ c¸c kh«ng gian kh¶ metric. TÊt nhiªn mçi ngêi cã mét híng
nghiªn cøu kh¸c nhau, nhng híng tËp trung næi bËt vÉn lµ: Lµm thÕ nµo ®Ó x©y
dùng ®îc c¸c ®iÒu kiÖn cÇn, c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ vµ c¸c ®iÒu kiÖn t¬ng ®¬ng ®Ó mét
kh«ng gian t«p« trë thµnh mét kh«ng gian kh¶ metric. ChÝnh v× lÏ ®ã mµ ®· cã
rÊt nhiÒu nh÷ng ®Þnh lý kinh ®iÓn vÒ phÐp metric ho¸ ra ®êi, ch¼ng h¹n ta cã
®Þnh lý cña Nagata-Smirnovs nãi r»ng mét kh«ng gian chÝnh quy lµ kh¶ metric
1
nÕu vµ chØ nÕu nã cã mét c¬ së më -h÷u h¹n ®Þa ph¬ng hay c¸c ®Þnh lý vÒ phÐp
metric ho¸ trªn c¸c kh«ng gian Moore, c¸c M-kh«ng gian….
Ngoµi ra ngêi ta còng quan t©m nhiÒu ®Õn ¶nh cña c¸c kh«ng gian metric.
C¸c kh«ng gian Lasnev vµ c¸c kh«ng gian th¬ng cña c¸c kh«ng gian metric cã
thÓ ®îc ®Æc trng bëi ph¬ng ph¸p cña c¸c k- líi. §èi víi mét hä f c¸c tËp ®ãng
cña X, mét hµm sè nhËn gi¸ trÞ thùc, kh«ng ©m : Xf R lµ mét linh ho¸ tö
®èi víi f nÕu (x, F)=0 khi vµ chØ khi xF. C¸c kh«ng gian ph©n tÇng ®îc, c¸c
kh«ng gian k-metric ho¸ ®îc vµ c¸c kh«ng gian -metric ho¸ ®îc …cã thÓ ®îc
®Æc trng bëi c¸c ph¬ng ph¸p cña c¸c linh ho¸ tö.
XuÊt ph¸t tõ híng nghiªn cøu nµy vµ dùa trªn t liÖu chÝnh lµ c¸c bµi b¸o
cña Yoshio Tanaka cïng víi sù huíng dÉn cña thÇy gi¸o PGS. TS. TrÇn V¨n ¢n,
t¸c gi¶ ®· nghiªn cøu ®îc mét sè vÊn ®Ò nh : Khi nµo th× mét kh«ng gian X cã
mét k-líi ®iÓm ®Õm ®¬c, c¸c kh«ng gian compact ®Õm ®îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g×
th× kh¶ metric hay cho f: XY lµ mét s-¶nh th¬ng víi X lµ kh«ng gian metric vµ
Y lµ kh«ng gian Frechet m¹nh, víi ®iÒu kiÖn nµo th× Y lµ kh¶ metric?…
Cô thÓ ngoµi phÇn môc lôc, më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o luËn
v¨n cã bè côc nh sau:
Ch¬ng I. Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ.
Ch¬ng nµy lµ c¬ së cho c¸c ch¬ng sau. Ngoµi ra t¸c gi¶ cßn ®a ra mét sè
kÕt qu¶ cã chøng minh nh Bæ ®Ò 1.1.7.
Ch¬ng II. Kh«ng gian víi phñ ®iÓm ®Õm ®uîc.
Ch¬ng nµy t¸c gi¶ xÐt phÐp metric ho¸ cña c¸c M–kh«ng gian víi phñ
®iÓm ®Õm ®ù¬c (kh«ng cÇn më hoÆc ®ãng).
Ch¬ng III. S-¶nh th¬ng cña c¸c kh«ng gian metric kh¶ ly ®Þa ph¬ng.
Ch¬ng nµy ®a ra c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét kh«ng gian lµ kh¶ metric.
Ch¬ng IV. C¸c kh«ng gian k-metric ho¸ ®uîc vµ c¸c kh«ng gian
-metric ho¸ ®îc.
C¸c -kh«ng gian vµ c¸c tÝnh chÊt cña chóng.
Trong luËn v¨n nµy c¸c kh«ng gian ®Òu lµ c¸c T 2–kh«ng gian vµ c¸c ¸nh
x¹ ®Òu ®îc gi¶ thiÕt lµ liªn tôc.
Cuèi cïng t«i xin göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c tíi PGS. TS. TrÇn V¨n ¢n, ngêi
trùc tiÕp híng dÉn t«i hoµn thµnh kho¸ lô©n. §ång thêi cho t«i göi lêi c¶m ¬n tíi
2
c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong khoa to¸n vµ b¹n bÌ ®· gióp ®ì t«i hoµn thµnh luËn
v¨n.
MÆc dï ®· cè g¾ng nhiÒu nhng do ®iÒu kiÖn vÒ mÆt thêi gian vµ h¹n chÕ vÒ
mÆt tr×nh ®é, luËn v¨n ch¾c kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt, t¸c gi¶ kÝnh mong c¸c
thÇy c« gi¸o vµ b¹n ®äc gãp ý ®Ó luËn v¨n hoµn chØnh h¬n.
Vinh, th¸ng 4 n¨m 2005
T¸c gi¶
Ch¬ng I
Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
§1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ T«p«
1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« (X
vµ B , B
®îc gäi lµ
c¬ së cña t«p« nÕu mäi V vµ víi mäi xV tån t¹i UB sao cho xUV.
1.1.2. §Þnh nghÜa. a) Cho kh«ng gian t«p« (X, ), xX. TËp U X ®îc
gäi lµ l©n cËn cña ®iÓm x nÕu tån t¹i ®iÓm V sao cho x U V.
b) Gäi U(x) lµ hä tÊt c¶ c¸c l©n cËn cña x. Khi ®ã hä conB(x) cña U(x)
®îc gäi lµ c¬ së l©n cËn t¹i ®iÓm x nÕu víi mäi VU(x) tån t¹i UB (x) sao
cho xUV.
3
1.1.3. §Þnh nghÜa. a) Hä P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
mét phñ cña tËp con A X nÕu A {P: PP }.
Ta viÕt P thay cho {P: PP}.
b) Hä P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ mét phñ cñaX
nÕu X=P .
1.1.4. §Þnh nghÜa. Phñ P cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ phñ ®iÓm
®Õm ®îc (point-countable) (h÷u h¹n) nÕu víi mäi xX tån t¹i kh«ng qu¸ ®Õm ®îc (h÷u h¹n) c¸c phÇn tö PP chøa ®iÓm x.
1.1.5. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö A lµ mét tËp con cña kh«ng gian t«p« X.
§iÓm x ®îc gäi lµ ®iÓm tô cña tËp hîp A nÕu xA\{x}. TËp tÊt c¶
c¸c ®iÓm tô cña A kÝ hiÖu lµ Ad .
1.1.6. NhËn xÐt. x lµ ®iÓm tô cña A khi vµ chØ khi mçi l©n cËn U bÊt kú
cña x ®Òu chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm y cña A kh¸c x.
1.1.7. Bæ ®Ò. Gi¶ sö P lµ mét phñ ®iÓm ®Õm ®îc cña mét kh«ng gian X.
NÕu X x¸c ®Þnh bëi tËp { F :F P lµ h÷u h¹n} th× mäi tËp compact ®Õm ®îc
K X ®îc phñ bëi mét hä h÷u h¹n F P .
Chøng minh. Gi¶ sö ngîc l¹i víi mçi x X, ®Æt
{PP : xP}={Pn(x): nN}.
Ta cã thÓ lùa chän mét d·y A={xn: nN}K sao cho xn Pj(xi) víi i, j
i, j sao cho xn Pj(xi).
4
§iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt xn Pj(xi). Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
1.1.8. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian Frechet nÕu
víi mäi tËp A X vµ mäi xĀ th× tån t¹i d·y {xn: nN}A sao cho {xn} héi
tô vÒ x.
1.1.9. §Þnh nghÜa. Hä P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
h÷u h¹n ®Þa ph¬ng nÕu víi mçi x X tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho U chØ giao
víi h÷u h¹n c¸c phÇn tö cña häP.
1.1.10. §Þnh nghÜa. Hä A ®îc gäi lµ -h÷u h¹n ®Þa ph¬ng (t¬ng øng lµ rêi r¹c) nÕu A lµ hîp ®Õm ®îc cña c¸c hä h÷u h¹n ®Þa ph¬ng (t¬ng øng rêi r¹c).
1.1.11. §Þnh nghÜa. Phñ B ®îc gäi lµ c¸i mÞn cña phñ P nÕu víi mäi
B B tån t¹i P P sao cho B P.
1.1.12. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian
paracompact nÕu X lµ chÝnh quy vµ trong mäi phñ më cña X ®Òu cã c¸i mÞn më,
h÷u h¹n ®Þa ph¬ng.
1.1.13. §Þnh nghÜa([3]). Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian
Lindelof nÕu mäi phñ më cña X ®Òu chøa mét phñ con ®Õm ®îc.
1.1.14. §Þnh nghÜa([4]). Cho kh«ng gian t«p« (X, ). Trªn X ®a vµo mét
quan hÖ t¬ng ®¬ng R. Khi ®ã ta thu ®îc tËp th¬ng X/R gåm {[x]: x X}.
XÐt ¸nh x¹ : X X/R cho bëi (x) =[x] víi mäi xX. §Æt
R ={V: -1(V) më trong X}.
Khi ®ã
R
lµ mét t«p« trªn X/R. Ta gäi
kh«ng gian th¬ng.
5
R lµ t«p« th¬ng vµ (X/R, R) lµ
KÝ hiÖu S1 lµ kh«ng gian th¬ng thu ®îc tõ tæng t«p« cña 1 d·y héi tô
kh«ng tÇm thêng b»ng c¸ch ®ång nhÊt tÊt c¶ c¸c ®iÓm giíi h¹n cña 1 d·y ®ã.
1.1.15. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ k-kh«ng gian nÕu A
X lµ ®ãng trong X khi vµ chØ khi AK lµ tËp ®ãng trong K víi mäi tËp compact
K X.
1.1.16. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ c-kh«ng gian (hay gäi
lµ kh«ng gian x¸c ®Þnh bëi c¸c tËp con ®Õm ®îc) khi vµ chØ khi tËp A X lµ
®ãng trong X nÕu víi mäi tËp ®Õm ®îc C A, th× ta cã C A.
1.1.17. §Þnh nghi·. Kh«ng gian t«p« (X,
) ®îc gäi lµ kh«ng gian kh¶
metric (hay kh«ng gian metric ho¸ ®îc) nÕu tån t¹i mét metric d: XXR sao
cho t«p« sinh bëi d trïng víi t«p« .
1.1.18. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm
®îc thø nhÊt nÕu t¹i mçi ®iÓm cña nã cã mét c¬ së ®Õm ®îc.
1.1.19. Chó ý. Kh«ng gian kh¶ metric lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm
®îc thø nhÊt.
1.1.20. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian vµ C lµ mét phñ
(kh«ng cÇn ®ãng hoÆc më ) cña X. X ®îc gäi lµ ®îc lµm tréi bëi C nÕu A X lµ
®ãng trong X khi mµ AC lµ ®ãng mét c¸ch t¬ng ®èi trong C víi mäi CC.
1.1.21. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian, víi mçi xX, ®Æt Tx lµ
hä nhËn h÷u h¹n c¸c tËp con cña X chøa x. Khi ®ã tËp hîp {Tx: xX} ®îc gäi
6
lµ mét c¬ së yÕu cña X nÕu F X ®ãng trong X khi vµ chØ khi víi mçi xF tån
t¹i
Q(x) Tx sao cho Q(x)F=.
§2. C¸c kh¸i niÖm vÒ ¸nh x¹
1.2.1. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f: XY ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®ãng nÕu víi mäi
tËp ®ãng A X th× ¶nh f(A) lµ tËp ®ãng trong Y.
1.2.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ T2-kh«ng gian vµ Y lµ mét kh«ng gian
t«p«. ¸nh x¹ liªn tôc f: XY ®îc gäi lµ ¸nh x¹ hoµn chØnh (t¬ng øng, ¸nh x¹
tùa hoµn chØnh) nÕu f lµ ¸nh x¹ ®ãng vµ f-1(y) lµ tËp compact (t¬ng øng, tËp
compact ®Õm ®îc) trong X víi mäi yY.
1.2.3. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ M-kh«ng gian
paracompact (t¬ng øng M-kh«ng gian) nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ hoµn chØnh (t¬ng
øng, tùa hoµn chØnh) f: XM tõ X vµo mét kh«ng gian kh¶ metric M.
1.2.4. §Þnh nghÜa. Mét ¸nh x¹ f: XY lµ mét s-¸nh x¹ nÕu mäi f-1(y) lµ
kh¶ ly víi mäi yY.
1.2.5. §Þnh nghÜa([1]). Mét ¸nh x¹ f: XY lµ compact nÕu mäi f-1(y) lµ
tËp compact.
1.2.6. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö L0 ={an: nN}{} lµ d·y v« h¹n víi ®iÓm
giíi h¹n . KÝ hiÖu N lµ tËp c¸c sè tù nhiªn. Víi mçi nN, ký hiÖu Ln lµ mét d·y
v« h¹n héi tô chøa c¸c ®iÓm giíi h¹n an..
Gäi L lµ tæng t«p« {Ln: nN}. Khi ®ã ta cã:
i) S lµ tæng kh«ng gian th¬ng thu ®îc tõ L b»ng c¸ch ®ång nhÊt tÊt c¶ c¸c
®iÓm giíi h¹n an trong L víi ;
7
ii) S2 lµ kh«ng gian th¬ng thu ®îc tõ tæng t«p« L0 vµ L b»ng c¸ch ®ång
nhÊt mçi anL0 víi ®iÓm giíi h¹n anL.
1.2.7. §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét kh«ng gian t«p«.
a) NÕu víi mäi tËp ®ãng F X vµ víi mäi xF tån t¹i c¸c tËp më U, V
sao cho F U, xV vµ UV=, th× X ®îc gäi lµ kh«ng gian chÝnh quy.
b) NÕu víi bÊt kú hai tËp ®ãng rêi nhau F1, F2 ®Òu tån t¹i c¸c tËp më rêi
nhau U1, U2 sao cho F1 U1 vµ F2 U2 th× X ®îc gäi lµ kh«ng gian chuÈn t¾c.
CH¦¥NG II
KH¤NGGIAN VíI PHñ §IÓM §ÕM §¦îC
(Ch¬ng nµy chóng ta xÐt phÐp metric ho¸ cña c¸c M-kh«ng gian víi phñ ®iÓm
®Õm ®îc ®· biÕt (kh«ng cÇn ®ãng hoÆc më))
8
2.1. §Þnh nghÜa. Hä P c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ
k-
líi nÕu víi mäi tËp compact K vµ mäi tËp më U cña X sao cho KU ®Òu tån t¹i
hä h÷u h¹n P * cña P sao cho K P *U.
2.2. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®îc gäi lµ kh«ng gian Lesnev nÕu nã
lµ ¶nh ®ãng cña mét kh«ng gian metric qua ¸nh x¹ liªn tôc.
2.3. Bæ ®Ò(§Þnh lý 3.6[4]). Kh«ng gian X lµ kh«ng gian Lasnev nÕu vµ chØ
nÕu X lµ mét kh«ng gian Frechet cã mét k-líi -b¶o toµn bao ®ãng di truyÒn.
2.4. MÖnh ®Ò. Mçi tiªn ®Ò sau ®©y nãi r»ng X cã mét k-líi ®iÓm ®Õm ®îc
(point-countable k-network):
(1) X lµ mét kh«ng gian Lasnev.
(2) X lµ s-¶nh th¬ng cña mét kh«ng gian metric.
(3) X ®îc lµm tréi bëi c¸c tËp con metric.
Chøng minh. (1) Theo Bæ ®Ò 2.3, X cã mét k-líi -b¶o toµn bao ®ãng di
truyÒn lµ {Fn: nN}.
§Æt Dn={xX:Fn kh«ng h÷u h¹n ®Þa ph¬ng t¹i x víi mäi n}. Khi ®ã mçi
Dn lµ tËp con ®ãng rêi r¹c cña X. ThËt vËy, lÊy{x m: mN}Dn. V× Fn kh«ng h÷u
h¹n ®Þa ph¬ng t¹i mçi xn víi mäi nN nªn tån t¹i mét
FmF n \ {Fk: k
- Xem thêm -