HỒ XUÂN TRỌNG
TUYỂN CHỌN
80 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
MÔN TOÁN
68 ĐỖ NHUẬN - TP HẢI DƯƠNG
LỜI NÓI ĐẦU
Các em học sinh thân mến!
Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng.
Cuốn sách Tuyển tập “80 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA” do thầy tổng
hợp và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp
các em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo
nền tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới.
Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù
hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các
em tự ôn luyện.
Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động
của con người. Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu. Bên
cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn
với một tư duy logic. Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường
mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau. Sau mỗi bài toán nên rút
ra cho mình những điểm chú ý quan trọng.
Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM
MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới!
Hải Dương, Ngày 8 tháng 4 năm 2015
Tác giả
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 1
MÔN TOÁN. Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 - 2( m - 1) x 2 + m - 2
(1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;3).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
cos x
= 1 - sin x .
1 + sin x
ln 3
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
ò e
x
- 2 dx.
0
Câu 4 (1,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S = {1, 2,...,11} . Tính xác suất để tổng ba số
được chọn là 12.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-1;3; - 2) ,
B(-3; 7; - 18) và mặt phẳng ( P) : 2 x - y + z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường
thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA
+ MB nhỏ nhất.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với
AB = BC = a; AD = 2 a, ( a > 0). Các mặt bên (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết
góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 20 = 0
và đường thẳng D : 3 x + 4 y - 20 = 0. Chứng tỏ rằng đường thẳng D tiếp xúc với đường tròn
(C). Tam giác ABC có đỉnh A thuộc (C), các đỉnh B và C cùng nằm trên đường thẳng D sao cho
trung điểm cạnh AB thuộc (C). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C , biết rằng trực tâm H của tam giác
ABC trùng với tâm của đường tròn (C) và điểm B có hoành độ dương.
Câu 8 (1,0 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực
(4 m - 3) x + 3 + (3m - 4) 1 - x + m - 1 = 0.
é 1 ù
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c Î ê ;1ú . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
ë 2 û
P =
a - b b - c c - a
+
+
.
c
a
b
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm.
Cảm ơn thầy Nguyễn Thanh Hiển(https://www.facebook.com/HIEN.) đã chia sẻ đên www.laisac.page.tl
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA – LẦN 1, Ngày 22/3/2015
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Tại Trường THPT Bắc Yên Thành – Nghệ An)
Câu
Nội dung
a. (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
1
(2.0 điểm) Với m = 2, y = x 4 - 2x 2
* TXĐ: D = R
* Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
3
y ' = 4 x - 4 x ; y ' = 0 Û 4 x 3 - 4 x = 0 Û x = 0 , x = ±1
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 0) và (1; + ¥ )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ¥ ; 1) và (0; 1)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ycđ = y(0) = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1; yct = y( ± 1) = 2
Giới hạn tại vô cực: lim ( x 4 - 2 x 2 ) = + ¥
Điểm
0.25
0.25
x ®±¥
Bảng biến thiên Bảng biến thiên
0.25
* Đồ thị:
Tìm guao với các trục tọa độ.
0.25
.
b. (1.0 điểm) Tìm m để hàm số …
Ta có y' = 4 x 3 - 4 ( m - 1 ) x
y' = 0 Û 4 x 3 - 4 ( m - 1 ) x = 0 Û x éë x 2 - ( m - 1) ùû = 0.
TH1: Nếu m 1 £ 0 Û m £ 1
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ¥ ). Vậy m £ 1 thoả mãn ycbt.
TH 2: m 1 > 0 Û m> 1
y' = 0 Û x = 0, x = ± m - 1
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( m - 1 ; 0 ) và ( m - 1 ; + ¥ ).
0.25
Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) thì m - 1 £ 1 Û m £ 2.
Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) Û m Î (- ¥;2 ] .
0.25
2
Giải phương trình…
(1.0 điểm)
Điều kiện: sin x ¹ - 1 (*)
écos x = 0
PT tương đương với cos x = cos 2 x Û ê
ë cos x = 1
0.25
0.25
0.25
0. 25
ésin x = 1
Hay êêsin x = -1 (l )
êë cos x = 1
0. 25
Vậy nghiệm của phương trình là: x =
p
2
+ k 2p ; x = k 2p , ( k Î ¢ ).
Tính tích phân…
3
ln 2
ln 3
(1.0 điểm)
I = ò (2 - e x )dx + ò (e x - 2) dx
0
0.25
ln 2
ln 2
ln 3
+ ( e x - 2 x )
0.25
= (2 ln 2 - 2 + 1) + (3 - 2 ln 3) - (2 - 2 ln 2)
0.25
= (2 x - e x )
4
(1.0 điểm)
0.25
0
ln 2
Vậy 4 ln 2 - 2 ln 3.
Chọn ngẫu nhiên ...
0.25
3
Số trường hợp có thể là C11
= 165.
Các bộ (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là
(1, 2,9), (1,3,8), (1, 4, 7), (1,5, 6), (2,3, 7), (2, 4, 6), (3, 4,5)
7
Vậy P =
.
165
Trong không gian với hệ tọa độ ....
5
uuur
uur
r
Ta có
cùng phương với
, mp(P) có PVT
AB
=
(
2,4,
16)
a
=
(
1,2,
8)
n = (2, -1,1) .
(1.0 điểm)
uur r
Ta có [ n ,a] = (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1)
Phương trình mp chứa AB và vuông góc với (P) là
2(x + 1) + 5(y - 3) + 1(z + 2) = 0 Û 2x + 5y + z - 11 = 0
Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với mp(P). Gọi A' là
điểm đối xứng với A qua (P).
x + 1 y - 3 z + 2
Pt AA' :
, AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của
=
=
2
- 1
1
ì2x - y + z + 1 = 0
ï
í x + 1 y - 3 z + 2 Þ H(1,2, -1) . Vì H là trung điểm của AA' nên ta có :
ïî 2 = -1 = 1
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
ì2x H = x A + x A '
ï
í2y H = y A + y A ' Þ A '(3,1,0)
ï2z = z + z
A
A '
î H
uuuur
Ta có A ' B = ( -6,6, -18) (cùng phương với (1;1;3) )
Pt đường thẳng A'B :
x - 3 y - 1 z
=
= . Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương
1
-1 3
trình
ì2x - y + z + 1 = 0
ï
í x - 3 y - 1 z Þ M(2,2, -3)
ïî 1 = -1 = 3
0.25
6
Cho hình chóp S.ABCD ….
(1.0 điểm)
1
Gäi H = AC Ç BD, suy ra SH ^ (ABCD) & BH = BD.
3
∙ = 60 0 .
KÎ HE ^ AB => AB ^ (SHE), hay ((SAB);(ABCD)) = SEH
0.25
3
Mµ HE =
1
2a
1
2a 3
a 3
AD =
=> SH =
=> VSABCD = .SH.SABCD =
3
3
3
3
3
Gäi O lµ trung ®iÓm AD, ta có ABCO lµ hình vuông c¹nh a =>DACD
1
cã trung tuyÕn CO = AD
2
CD ^ AC => CD ^ (SAC) vµ BO // CD hay CD // (SBO) & BO ^
(SAC).
0.25
d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)).
TÝnh chÊt träng t©m tam gi¸c BCO => IH =
IH 2 + HS 2 =
1 IC = a 2
3
6
=> IS =
5 a 2
6
kÎ CK ^ SI mµ CK ^ BO => CK ^ (SBO) => d(C;(SBO)) = CK
Trong tam gi¸c SIC cã : SSIC= 1 SH.IC = 1 SI.CK => CK =
2
2
0.25
SH . IC 2 a 3
=
SI
5
VËy d(CD;SB) = 2a 3 .
5
S
A
K
E
O
D
0.25
I
H
B
C
7
Trong mặt phẳng tọa độ ....
(1.0 điểm)
Đường thẳng ( D ) tiếp xúc với (C) tại N (4; 2).
0.25
Gọi M là trung điểm cạnh AB. Từ giả thiết M thuộc (C) và B thuộc ( D ) , tìm được
B (12; - 4). (do B có hoành độ dương).
0.25
Do C thuộc ( D ) và đường thẳng (d) đi qua H, vuông góc với AB. Viết PT (d).
0.25
C = ( D ) Ç ( d ) = (0;5).
0.25
8
Tìm các giá trị của tham số m ….
(1.0 điểm)
Điều kiện: -3 £ x £ 1.
0.25
Khi đó PT tương đương với m =
3 x + 3 + 4 1 - x + 1
4 x + 3 + 3 1 - x + 1
(*)
Do ( x + 3) 2 + ( 1 - x ) 2 = 4. Nên ta đặt
x + 3 = 2sin j =
4t
;
1+ t2
1 - x = 2cos j =
2(1 - t 2 )
,
1 + t 2
j
ì
ït = tan 2
ï
p
-7t 2 + 12t + 9
ï
với í0 £ j £ , khi đó (*) Û m =
.
2
-5t 2 + 16t + 7
ï
ït Î [ 0;1 ]
ï
î
Xét hàm số f (t ) =
0.25
-7t 2 + 12t + 9
, t Î [ 0;1] . Lập bảng biến thiên của hàm số f (t ).
-5t 2 + 16t + 7
é7 9ù
Kết luận: m Î ê ; ú .
ë 9 7 û
0.25
0.25
9
Cho các số thực …
(1.0 điểm)
ì 1
c
b ï £ x £ y £ 1
1
Không mất tính tổng quát, giả sử £ c £ b £ a £ 1. Đặt x = ; y = Þ í 2
.
2
a
a ï
î c = ax; b = ay
0.25
Khi đó
1 ö æ 1 ö
æ
(1 - y ) ç y - ÷ ç1 - ÷ - y 2 + 3 y - 1
(1 - y )( y - x)(1 - x )
2 ø è 2 ø
è
2
2 .
P =
£
=
1
xy
y
y
2
- y 2 +
Xét hàm số f ( y) =
3
1
y 2
2 , 1 £ y £ 1. Lập bảng biến thiên (hoặc sử dụng bất
y
2
2
0.50
0.25
æ
2 ö
đẳng thức Cô si), chứng minh được f (t ) £ çç1 ÷ .
2 ÷ø
è
2
æ
2 ö
Kết luận: MaxP = çç 1 ÷ . (Tìm được a, b, c để đẳng thức xẩy ra).
2 ÷ø
è
Hết
Cảm ơn thầy Nguyễn Thanh Hiển(https://www.facebook.com/HIEN.) đã chia sẻ đên www.laisac.page.tl
0.25
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
TRƯỜNG THPT SỐ 3 BẢO THẮNG
Ngày Thi : 19032015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ THI THỬ LẦN 1
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2 x - 1
có đồ thị (C)
- x + 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Tìm m để đường thẳng y = -2 x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x 2 sao cho
x1 x2 - 4( x1 + x2 ) =
7
2
x
s inx - 2 3c os 2 + 3
2
= 0
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
2sin x + 3
e
ln 2 x
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I = ò
dx
x 1 + 2 ln x )
1 (
Câu 4(1,0 điểm)
1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 - 2i ) z +
1 - 3 i
= 2 - i . Tính mô đun của z .
1 + i
15
2 ö
æ
2. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển f ( x) = ç 3 x +
÷
x ø
è
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (-1;2; - 1) và mặt phẳng
(a) : x + 2y - 2z - 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (b )
song song với mặt phẳng (a ) sao cho
khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (a ) bằng khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (b )
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a . SAB là tam giác cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy , góc giữa cạng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 ,cạnh AC = a. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
ìï 2 x - y - 1 + 3 y + 1 = x + x + 2 y
Câu 7 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: í
2
3
3
ïî x - 3 x + 2 = 2 y - y
æ7 3ö
Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm O çç ; ÷÷÷ . Điểm M (6; 6 )
çè 2 2 ÷ø
thuộc cạnh AB và N (8; - 2 ) thuộc cạnh BC . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Câu 9 (1,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thuộc (0;1 ) thỏa mãn điều kiện (x 3 + y 3 ) (x + y ) = xy (1 - x )(1 - y ) .Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức : P =
1
1+ x
2
+
1
1 + y
2
+ 3 xy - ( x 2 + y 2 )
HẾT
Cảm ơn bạn Ngô Quang Nghiệp (
[email protected]) đã gửi tới www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
I
Ý
1
Đáp án
− TXĐ : D = R
− Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên
1
y' =
> 0, "x ¹ 1
2
( - x + 1 )
Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ¥ ;1) và (1 ; + ¥ )
+ Cực trị :
Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn :
lim y = -2; lim y = -2 => y = - 2 là đường tiệm cận ngang
x ®-¥
Điểm
1,0
0,25
0.25
x ®+¥
lim- y = +¥; lim+ y = -¥ => x = 1 là đường tiệm cận đứng
x ®1
x ®1
+ Bảng biến thiên :
0,25
· Đồ thị:
− Đồ thị :
1
Đồ thị hàm số giao với Ox: ( ;0)
2
Đồ thị hàm số giao với Oy: (0;1)
0,25
2
1,0
2
ì 2 x - (m + 4) x + m + 1 = 0 (1)
2 x - 1
= -2 x + m Û í
- x + 1
î x ¹ 1
Đường thằng y = -2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt khác 1
ìï( m + 4 ) 2 - 8( m + 1) > 0
Ûí
Û m 2 + 8 > 0, "m
ïî -1 ¹ 0
0,25
0,25
Vậy " m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x1 , x2 , x1 ¹ x2
4+m
m + 1
Theo viet : x1 + x2 =
, x1 . x2 =
2
2
7
m +1
m + 4
7
22
x1 x2 - 4( x1 + x2 ) = Û
- 4(
) = Û m = -
2
2
2
2
3
22
Vậy m = -
thì đường thẳng y = -2 x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
3
7
có hoành độ x1 , x 2 và x1 x2 - 4( x1 + x2 ) =
2
2
0,25
1.0
3
ĐK : sin x ¹
;
2
x
s inx - 2 3c os 2 + 3
2
= 0 Û s inx - 3c osx=0
2 sin x + 3
1
3
pö
æ
s inx cosx=0 Û cos ç x + ÷ = 0
2
2
6 ø
è
p
Û x = + kp , k Î Z
3
p
Kết hợp ĐK ta có x = + k2p, k Î Z là nghiệm của phương trình
3
Û
3
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0
e
I=
e
e
1 4ln x - 1 + 1
1 ( 2ln x - 1 ) dx 1
dx
dx = ò
+ ò
ò
4 1 x (1 + 2ln x )
41
x
4 1 x (1 + 2ln x )
2
e
0.25
e
1
1 d ( 2ln x + 1 )
= ò ( 2 ln x - 1) d ( 2 ln x - 1 ) + ò
81
8 1 (1 + 2 ln x )
0.25
1
2 ö
æ 1
= ç ( 2 ln x - 1) ÷ e + ln (1 + 2ln x ) e
1
è 16
ø 1 8
1
= ln 3
8
0.25
0.35
4
1.0
1 - 3i
1 7
(1 - 2i ) z +
= 2 - i Û z = + i
1 + i
5 5
=> z = 2
15
15
2 ö
æ
k
f ( x) = ç 3 x +
÷ = å C15 x
xø
è
k =0
15- k
3
-
k
0,25
0,25
15
k
.x 2 .2k = å C15
.2 k .x
5 -
5 k
6
,(0 £ k £ 15, k Î Z )
0,25
k = 0
Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn : 5 - 5 6 k = 0 Û k
= 6 =>
hệ số : 320320
0,25
1,0
5
4
3
Vì (b ) // (a ) nên phương trình (b ) có dạng : x + 2y - 2z + d = 0, d ¹ - 1
d ( A, ( a ) ) =
d ( A, ( a )) = d ( A, ( b ) ) Û
5 + d
3
=
4
Û
3
é d = -1
ê d - 9 Û d = -9 (d = 1 loại) => (b ) : x + 2y - 2z - 9 = 0
ë
6
0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
S
A
I
B
D
K
N M
C
0.5
Gọi I là trung điểm của đoạn AB => SI ^ AB,( SAB ) ^ ( ABCD ) => SI ^ ( ABCD )
a 3
3 a
· = (·
nên SCI
SC , ( ABCD ) ) = 600 , CI =
=> SI = CI tan 60 0 =
2
2
Gọi M là trung điểm của đoạn BC , N là trung điểm của đoạn BM
a 3
a 3
AM =
=> IN =
2
4
a2 3
1 a 2 3 3a a 3 3
Ta có S ABCD = 2 S DABC =
=> VS . ABCD = .
. =
2
3 2
2
4
ta có
BC ^ IN , BC ^ SI => BC ^ ( SIN )
Trong mặt phẳng (SIN) kẻ IK ^ ( SN ), K Î SN . Ta có
ì IK ^ SN
=> IK ^ ( SBC ) => d ( I ,( SBC )) = IK
í
î IK ^ BC
Lại có :
1
1
1
3a 13
3a 13
3a 13
= 2 + 2 => IK =
=> d ( I ,( SBC )) =
=> d ( A,( SBC )) =
2
26
26
13
IK
IS IN
7
0.5
1.0
ì 2 x - y - 1 ³ 0
ï x + 2 y ³ 0
ïï
ĐK : í x > 0
ï
ï y ³ - 1
ïî
3
(1) Û 2 x - y - 1 - x + 3 y + 1 - x + 2 y = 0
Û
x - y -1
2x - y -1 + x
-
x - y - 1
3 y + 1 + x + 2 y
= 0
0,25
æ
ö
1
1
Û ( x - y - 1 ) ç
÷
ç 2x - y -1 + x
3 y + 1 + x + 2 y ÷ø
è
(3)
é y = x - 1
Ûê
(4)
êë 2 x - y - 1 + x = 3 y + 1 + x + 2 y
(4) Û 2 x - y - 1 + x = 3 y + 1 + x + 2 y Û x = 3 y + 1 Û y =
x - 1
(5)
3
0,25
Từ (3) và (2) ta có :
é x = 1
( x - 1) 2 ( x + 2) = 2( x - 1)3 - ( x - 1)2 Û ( x - 1) 2 ( x - 5 ) = 0 Û ê
ë x = 5
x = 1 => y = 0; x = 5 => y = 4
0,25
Từ (5) và (2) ta có :
2
1
( x - 1) 2 ( x + 2) =
( x - 1)3 - ( x - 1) 2 Û ( x - 1) 2 ( 25 x + 59 ) = 0 Û x = 1 (do x > 0)
27
9
0,25
Vậy hệ đã cho có nghiệm : ( x; y ) = (1; 0); ( x; y ) = (5; 4)
8
1
1,0
0,25
Gọi G là điểm đối xứng của M qua O => G = (1; -3) Î CD
Gọi I là điểm đối xứng của N qua O => I = (-1;5) Î AD
uuuur
Phương trình cạnh MO qua M và có VTCP MO là : 9 x - 5 y - 24 = 0
=> Phương trình cạnh NE qua N và vuông góc MO là : 5 x + 9 y - 22 = 0
æ 163 39 ö
Gọi E là hình chiếu của N trên MG => E = NE Ç MG => E = ç
; ÷
è 53 53 ø
Lại có
0,25
uuur uuur
ìï NJ = MG
uuur (k ¹ 0, k Î R) => J (-1;3) ;(Vì NE , NJ cùng chiều )
NE ^ MG => í uuur
ïî NE = k NJ
9
Suy ra phương trình cạnh AD : x + 1 = 0 => OK = . Vì KA = KO = KD nên
2
K,O,D thuộc đường tròn tâm K đường kính OK
0,25
2
3 ö 81
æ
Đường tròn tâm K bán kính OK có phương trình : ( x + 1 ) + ç y - ÷ =
2 ø 4
è
é ì x = -1
2
ì
3 ö 81 ê í y = 6
2 æ
ï( x + 1 ) + ç y - ÷ =
êî
Vậy tọa độ điểm A và D là nghiệm của hệ : í
2ø
4 Û ê
è
ì x = -1
ï x + 1 = 0
êí
î
ê î y = -3
ë
Suy ra A(-1;6); D(-1; -3) => C (8; - 3); B(8; 6) . Trường hợp D(-1;6); A(-1; - 3)
loại do M thuộc CD .
2
0,25
1,0
9
2 ö
æ 2
(x 3 + y 3 ) (x + y ) = xy (1 - x )(1 - y ) Û ççççxy + y x ÷÷÷÷(x + y ) = (1 - x )(1 - y ) (1)
ø
è
2
2
æx
y ö
Ta có : ççç + ÷÷÷(x + y ) ³ 4 xy và
çè y
x ÷ø
(1 - x )(1 - y ) = 1 - (x + y ) + xy £ 1 - 2 xy + xy
=> 1 - 2 xy + xy ³ 4xy Û 0 < xy £
Dễ chứng minh :
1
1 + x2
+
0.25
1
9
1
1
1
£
+
; ( x; y Î (0;1) )
2
2
1 + xy
1 + x 1 + y
æ 1
æ 2 ö
1 ö
2
£ 2 ç
+
£ 2ç
÷=
2 ÷
2
2
1 + y ø
1 + xy
è 1 + xy ø
1 + y
è1+ x
1
0.25
3 xy - ( x 2 + y 2 ) = xy - ( x - y ) 2 £ xy
2
2
1 ö
æ
+ t , ç t = xy, 0 < t £ ÷
9 ø
è
1 + t
0.25
Xét hàm số
6 10 1
1
1ö
2
æ 1 ù
æ
+ , t Î ç 0; ú
+ t , ç 0 < t £ ÷ => .... => max f (t ) = f ( ) =
f (t ) =
9ø
9
10
9
1 + t
è
è 9 û
0.25
=> P £
1 + xy
+ xy =
__________HẾT__________
Cảm ơn bạn Ngô Quang Nghiệp (
[email protected]) đã gửi tới www.laisac.page.tl
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP VÀ XÉT TUYỂN ĐẠI HỌC NĂM 2015
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0điểm). Cho hàm số
(1).
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) của hàm số (1).
b)Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng
d: x + 3y +1 = 0.
Câu 2 (1,0điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
.
Câu 3 (1,0điểm).Giải các phương trình sau
a)
. b)
Câu 4 (0,5điểm). Tính tích phân
.
Câu 5 (0,5điểm). Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có ba chữ số phân biệt được lập từ các chữ số
1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ tập hợp X, tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số
bằng 8.
Câu 6 (1,0điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;4;6) và điểm B(2;3;6). Viết phương
trình mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox và đi qua điểm A và điểm B. Tìm tọa độ các giao điểm của (S) với
trục Oz.
Câu 7 (1,0điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông
cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Câu 8 (1,0điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Điểm F(
của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình
là trung điểm
với điểm E là trung điểm của cạnh AB,
điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa độ điểm C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ
nhỏ hơn 3.
.
Câu 9 (1,0điểm). Giải hệ phương trình
Câu 10 (1,0điểm).
Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện
và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cảm ơn bạn RafaeL Fuj(
[email protected] )đã chia sẻ tới www.laisac.page.tl
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐÁP ÁN THI THỬ TỐT NGHIỆP VÀ XÉT TUYỂN ĐẠI
HỌC
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề
Nội dung
Câu I
Ý a
Điểm
1
3
Cho hàm số y = x3 - x 2
2,0đ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1,0đ
1.Tập xác định : D = .
0,25đ
2.Sự biến thiên :
é x = 0
ë x = 2
y ' = x 2 - 2 x ; y ' = 0 Û ê
1 1
lim y = lim [x 3 ( )] = + ¥
x ®+¥
x ®+¥
3 x
1 1
lim y = lim [x 3 ( )] = ¥
x ®-¥
x ®-¥
3 x
Bảng biến thiên
0,25đ
0
2
0
0
0
4
-
3
Hàm số đồng biến trên các khoảng
Hàm số nghịch biến trên
và
.
Hàm số có cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0)=0.
0,25đ
4
3
Hàm số có cực tiểu tại x = 2 và yCT = y(2)= -
3.Đồ thị
0,25đ
Giao Ox: (0;0), (3;0)
Giao Oy: (0;0)
y ' = 0 Û x = 1
2
Þ Đồ thị hàm số nhận I (1; - ) làm điểm uốn và là tâm đối xứng
3
y
f(x)=(1/3)x^3x^2
5
x
8
6
4
2
2
5
4
6
8
0,25đ
1
3
d có hệ số góc k = - .
Gọi x 0 là hoành độ điểm M
1
3
Ycbt Û y '( x0 ).( ) = - 1
Û y '( x0 ) = 3
0,25đ
Û x02 - 2 x0 - 3 = 0
é x 0 = -1
Ûê
ë x0 = 3
0,25đ
4
é
M (-1; - )
ê
Û
3
ê
ë M (3;0)
0,25đ
Ý b
Câu 2 +) Hàm số liên tục trên [ 1 ;2]
2
(1đ)
+) f '( x ) =
x 2 + 2 x
;
( x + 1) 2
1
é
ê x = 0 Ï [ 2 ;2]
+) f '( x ) = 0 Û ê
ê x = -2 Ï [ 1 ;2]
êë
2
0,25đ
1
2
7
6
+) f ( ) = ; f (2) =
7
3
0,25đ
7
6
+) min f ( x) = ; m axf ( x) =
1
x Î[ ;2]
2
1
x Î[ ;2]
2
7
3
0,25đ
0,25đ
Câu 3
(1đ)
1
3
a) ĐK: - < x < 3
Với điều kiện trên bpt Û log 2(3 x + 1) = log 2 [2(3x)]
Û 3 x + 1 = 2(3 - x )
0,25đ
Û x = 1
KL: Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1
0,25đ
Pt Û 2 cos x ( 3 s inx cos x + 1) = 0
écos x = 0
Ûê
p
1
êcos( x + ) =
3
2
ë
Câu 4
(0,5đ)
2
p
é
ê x = 2 + k p
ê
Û ê x = k 2p
(k Î Z )
ê
2 p
+ k 2 p
êx = 3
ë
2
1
1
1
I =ò
dx = ò (
) dx
( x + 1)( x + 2)
x + 1 x + 2
0
0
= ln x + 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
2
3
- ln x + 2 = ln
0
0
2
0,25đ
Câu 5
+) Số cần tìm có dạng abc
(0,5đ)
+) n(S ) = A 6
3
+) B: “Số được chọn có tổng các chữ số bằng 8’’
0,25đ
Þ n( B ) = 12
Þ P( B) =
12
= 0,1
120
Câu 6 +) I(a;0;0) thuộc trục Ox là tâm mặt cầu
(1,0đ)
0,25đ
0,25đ
Û IA = IB Û IA2 = IB 2
Û a = 2 Þ I (2; 0; 0)
Þ R 2 = 61
Þ Phương trình mặt cầu: ( x - 2) 2 + y 2 + z 2 = 61
0,25đ
+) Tọa độ giao điểm của (S) và Oz thỏa mãn:
ì( x - 2) 2 + y 2 + z 2 = 61
í
î x = y = 0
Û z = ± 57
0,25đ
é M (0; 0; 57 )
Þê
êë M (0; 0; - 57 )
0,25đ
Câu 7
(1đ)
0,25đ
ì SH ^ ( ABC )
+) GT Þ ïí
a
ïî SH = 2
+) S ABC =
a 2 3
4
Þ V S . ABC =
a 3 3
24
0,25đ
+) d qua B và d // AC
Þ d ( AC , SB) = d ( A; ( SB, d )) = 2d ( H ; ( SB; d ))
+) d ( H ; (SB, d )) = HK
1
1
1
28
a 3
=
+
= 2 Þ HK =
2
2
2
HK
HJ
SH
3 a
2 7
Þ d ( AC , SB ) = 2 HK = a
3
7
0,25đ
0,25đ