Tài liệu 50 bài tập rèn luyện theo chủ đề hình học 9

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN Câu 1. Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD . Chứng minh rằng MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 . µ + Cµ = 900 . Chứng minh rằng Câu 2. Cho tứ giác ABCD có D AB 2 +CD 2 = AC 2 + BD 2 . Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Lấy D thuộc cạnh AC , điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho AD HE 1 = = . AC HA 3 · Chứng minh rằng BED = 900 . Câu 4. Cho hình vuông ABCD . Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và 1 1 1 + = Câu 5. Cho hình thoi ABCD 2 2 AE AF AD 2 0 µ = 1200 . Tia Ax tạo với tia AB góc · với A BAx bằng 15 và cắt cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N . Chứng minh rằng: F .Chứng minh rằng: 1 1 4 + = . 2 2 AM AN 3AB 2 µ = 200, AB = AC , AC = b, BC = a . Câu 6. Cho tam giác cân ABC , A Chứng minh rằng: a3 + b3 = 3ab2 . Câu 7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a, AC = b, AB = c . a b c . = = sin A sin B sinC Câu 8. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c . Chứng minh Chứng minh rằng: 291 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 A a £ . Câu 9. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định 2 b+c thuộc tia Oy , điểm B Î Ox sao cho OA = OB Điểm M chạy trên tia Bx . Đường vuông góc với OB tại B cắt AM ở I . Chứng minh tổng rằng: sin 1 1 + không đổi. 2 AI AM 2 Câu 10. Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 90o, AB = 9cm,CD = 16cm, BC = 25cm . Điểm E thuộc cạnh BC sao cho BE = AB · a) Chứng minh: AED = 900 b) Tính AE , DE CHỦ ĐỀ 2: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG TRÒN, GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ( ) Câu 11. Cho đường tròn O;R , R = 4cm . vẽ dây cung AB = 5cm , C là điểm trên dây cung AB sao cho AC = 2cm . Vẽ CD vuông góc với OA tại D . Tính độ dài đoạn thẳng AD . ( ) Câu 12. Cho đường tròn O;R , AC và BD là hai đường kính . Xác định vị trí của hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất. Câu 13. Cho đường tròn (O; R ) từ điểm M bên ngoài đường tròn ta kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt đường tròn tại các điểm A, B và C , D biết AB = CD . Chứng minh rằng MA = MC . ( ) Câu 14. Cho đường tròn O;R đường kính AB,CD là dây cung của ( O ) , · COD = 900 , CD cắt AB tại M ( D nằm giữa C và M ) và OM = 2R . Tính độ dài các đoạn thẳng MD, MC theo R . 292 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 ( ) Câu 15. Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B . Gọi O là đường tròn bất kỳ đi qua A và B . Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với OA , cắt đường tròn ( O ) ở D và E . Chứng minh rằng các độ dài AD, AE không đổi. ( ) Câu 16. Cho đường tròn O;R , hai bán kính OA và OB vuông góc tại O . C và D là các điểm trên cung AB sao cho AC = BD và hai dây AC , BD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng OM ^ AB . ( ) Câu 17. Cho điểm A ở ngoài đường tròn O;R . Vẽ cát tuyến ABC và ( ) tiếp tuyến AM với đường tròn O . M là tiếp điểm. Chứng minh rằng AB + AC ³ 2AM . Câu 18. Cho đoạn thẳng AB , đường thẳng d và d ' lần lượt vuông góc với AB tại A và B . M là trung điểm của AB . Lấy C , D lần lượt trên d,d ' · sao cho CMD = 900 . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của dường tròn đường kính AB . ( ) Câu 19. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn O;R vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn ( O;R ) với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC của đường tròn. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH . Câu 20. Một đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E . Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD ; CM cắt DE tại I . Chứng minh rằng IM DM . = IC CE Câu 21. Cho đường tròn ( O;r ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D . Vẽ đường kính DE ; AE cắt BC tại M . Chứng minh rằng BD = CM . 293 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 Câu 22. Cho tam giác ABC . Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại D . Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại F . Vẽ đường ( ) kính DE của đường tròn O . Chứng minh rằng A, E , F thẳng hàng. Câu 23. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC , AB, AC lần lượt ở D, E , F . Đường thẳng qua E song song với BC cắt AD, DF lần lượt ở M , N . Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng EN . Câu 24. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi O là trung điểm của BC . Dựng đường tròn tâm O đường kính BC . Vẽ đường cao AD của tam giác ABC và các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( O ) ( M , N là các tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của MN với AD . Hãy chứng minh rằng AE .AD = AM 2 . Câu 25. Cho tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AD tiếp xúc với BC và đường tròn đường kính BC tiếp xúc với AD . Chứng minh rằng AB / /CD . Câu 26. Cho tam giác đều ABC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BC , D là điểm trên nủa đường » = 600 . Gọi M là giao điểm của AD với BC . Chứng tròn sao cho sđCD minh rằng BM = 2MC . ( ) ( ) bất kỳ của ( O ';R ') cắt ( O;R ) ( ) Câu 27. Cho đường tròn O;R và O ';R ' tiếp xúc trong tại A R > R ' . Tiếp tuyến tại điểm M tại B và C . Chứng · · minh rằng BAM . = MAC ( ) Câu 27. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R , AH là đường cao (H Î 294 BC ) . Chứng minh rằng: AB.AC = 2R.AH . PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 ( ) µ nhọn nội tiếp trong đường tròn O;R . Câu 28. Cho tam giác ABC có A · Chứng minh rằng: BC = 2R sin BAC . ( ) ( ) Câu 29. Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B . Qua A vẽ ( ) hai cát tuyến CAD và EAF (C và E nằm trên đường tròn O , D và F ( ) · · nằm trên đường tròn O ' ) sao cho CAB . Chứng minh rằng = BAF CD = EF . ( ) Câu 30. Cho đường tròn O đường kính AB . C là điểm trên cung AB ( C khác A và B ). Vẽ CH ^ AB ( H Î AB ) . Vẽ đường tròn ( C ;CH ) cắt ( ) đường tròn O tại D và E . DE cắt CH tại M . Chứng minh rằng MH = MC . ( ) Câu 31. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R . Vẽ AD là đường · · cao của tam giác ABC . Chứng minh rằng BAD . = OAC Câu 32. Cho hình bình hành ABCD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt đường thẳng AC tại E . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tiếp xúc với BD . Câu 33. Cho đoạn thẳng AB . M là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( M khác A và B ). Vẽ đường thẳng xMy vuông góc với AB tại M . Trên tia Mx lần lượt lấy C và D sao cho MC = MA, MD = MB . Đường tròn đường kính AC cắt đường tròn đường kính BD tại N ( N khác A ). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định. ( ) Câu 34. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O;R có đỉnh A cố định, đỉnh B,C di động.Dựng hình bình hành ABDC . Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BDC là điểm cố định. 295 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 ( ) Câu 35. Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ đường tròn O đường kính BC . Vẽ AD là đường cao của tam giác ABC , các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( O ) ( M , N là các tiếp điểm). MN cắt AD tại E . Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác ABC . Câu 36. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H . Từ A vẽ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O ) đường kính BC ( M , N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng M , H , N thẳng hàng. Câu 37. Cho tam giác ABC cân đỉnh A , đường trung trực của AB cắt BC tại D . Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD . Câu 38. Cho tam giác ABC ( Aµ = 90 ) và AB < AC . Vẽ đường tròn tâm 0 A bán kính AB cắt BC tại D , cắt AC tại E . Chứng minh rằng DB .CB = EB 2 . Câu 39. Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn (O;R ) ( AB < AC ,Aµ = 90 ) . Đường tròn ( I ) 0 qua B,C tiếp xúc với AB tại B , cắt đường thẳng AC tại D . Chứng minh rằng OA ^ BD . Câu 40. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn ( O ) đường kính AB và nửa đường tròn ( O ') đường kính AO . Trên ( O ') lấy điểm M (khác A và O ), tia OM cắt ( O ) tại C , gọi D là giao điểm thứ hai của CA với ( O ') . a) Chứng minh tam giác ADM cân. b) Tiếp tuyến tại C của ( O ) cắt tia OD tại E , xác định vị trí tương đối của đường thẳng EA đối với ( O ) và ( O ') . 296 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 Câu 41. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R . Gọi M là điểm ( ) di động trên đường tròn O . Điểm M khác A, B ; dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M vừa dựng. · a) Chứng minh BM , AM lần lượt là các tia phân giác của các góc ABD và · . BAC b) Chứng minh ba điểm C , M , D nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm M . c) Chứng minh AC + BD không đổi, từ đó tính tích AC .BD theo CD . d) Giả sử ngoài A, B trên nửa đường tròn đường kính AB không chứa M có một điểm N cố định. gọi I là trung điểm của MN , kẻ I P vuông góc với MB . Khi M chuyển động thì P chuyển động trên đường cố định nào. Câu 42. Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB , điểm C thuộc nửa ¼ , E là giao điểm của AI và đường tròn. Gọi I là điểm chính giữa AC BC . Gọi K là giao điểm của AC và BI . a) Chứng minh rằng EK ^ AB . b) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I . Chứng minh AF là tiếp tuyến của ( O ) . c) Chứng minh rằng AK .AC + BK .BI = AB 2 . 2 . Gọi H là giao điểm của EK và AB . Chứng 3 · d) Nếu sin BAC = ( ) minh K H K H + 2HE = 2HE .K E . Câu 43. Cho đường tròn ( O ) đường kính AB = 2A , điểm C thuộc đường ( ) tròn C ¹ A,C ¹ B . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẻ tia 297 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 Ax tiếp xúc với đường tròn (O ) . Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N . a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân. b) Khi MB = MQ , tính BC theo R . ( ) và vẽ đường tròn ( O ') Câu 44. Cho đường tròn O;R đường kính AC . Trên đoạn thẳng OC lấy điểm B có đường kính BC . Gọi M là trung điểm của AB , qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt đường tròn ( O ) tại D và E . Nối CD cắt đường tròn ( O ') tại I . a) Tứ giác DAEB là hình có đặc tính gì? Vì sao? b) Chứng minh MD = MI và MI là tiếp tuyến của đường tròn ( O ') . c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên BC . Chứng minh CH .MB = BH .MC . Câu 45. Cho tam giác ABC đều, dựng nửa đường tròn tâm D đường kính BC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại K , L . Lấy điểm P thuộc cung nhỏ K L , dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn tại P cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . a) Chứng minh D BMD : D CDN rồi suy ra BM .CN = b) Chứng minh SMDN SABC = BC 2 . 4 MN . 2BC c) Gọi E , F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho chu vi D AEF · bằng một nửa chu vi D ABC . Chứng minh rằng EDF = 600 . 298 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 ( ) Câu 46. Cho tam giác ABC có AC = 2AB nội tiếp đường tròn O;R . ( ) Các tiếp tuyến của đường tròn O tại A,C cắt nhau tại M . BM cắt ( ) đường tròn O tại D . Chứng minh rằng: a) MA AD = MB AB b) AD.BC = AB .CD . c) AB .CD + AD.BC = AC .BD . d) D CBD cân. ( ) Câu 47. Trên nửa đường tròn tâm O;R , đường kính AB lấy hai điểm M , E theo thứ tự A, M , E , B . Hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại C , AE và BM cắt nhau tại D . a) Chứng minh rằng tứ giác MCED nội tiếp và CD vuông góc với AB . b) Gọi H là giao điểm của CD và AB . Chứng minh rằng BE .BC = BH .BA . ( ) c) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn O cắt nhau tại một điểm I thuộc CD . · · d) Cho BAM = 450, BAE = 300 . Tính diện tích tam giác ABC theo R . Câu 48. Cho tam giác ABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC . Các · điểm D, E lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho DOE bằng 600 . a) Chứng minh BD.CE không đổi, · b) Chứng minh rằng tia DO là tia phân giác của BDE . c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE và AC . 299 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 ( ) d) Gọi P ,Q lần lượt là tiếp điểm của O với AB, AC . I và N lần lượt là giao điểm của PQ với OD và OE . Chứng minh rằng DE = 2IN . ( ) Câu 49. Cho đường tròn O;R và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( O ) ( B,C là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm AB . a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này. b) Chứng minh rằng AM .AO = AB .AI . c) Gọi G là trọng tâm tam giác ACM . Chứng minh MG / / BC . d) Chứng minh I G vuông góc với CM . ( ) Câu 50) Cho đường tròn O;R nội tiếp D ABC , tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt ở D và E a) Gọi O ' là tâm đường tròn nội tiếp D ADE , tính OO ' theo R . µ và Cµ cắt đường thẳng DE lần lượt b) Các đường phân giác trong của B tại M và N . Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp được đường tròn. c) Chứng minh MN DM EN . = = BC AC AB PHẦN 3 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Câu 1. Giải: 300 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 Vẽ ME ^ AB, E Î AB . EM cắt DC tại F . Tứ giác AEFD có µ =E µ =D µ = 900 nên là hình A · chữ nhật, suy ra EA = FD, MFD = 900 . µ =B µ = Cµ = 900 Tứ giác EBCF có E · nên là hình chữ nhật, suy ra EB = FC , MFC = 900 . Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông EAM , FMC , EBM , FMD , ta có: MA 2 = EM 2 + EA 2;MC 2 = FM 2 + FC 2;MB 2 = EM 2 + EB 2; MD 2 = FM 2 + FD 2 .Do đó MA2 + MC 2 = EM 2 + EA2 + FM 2 + FC 2 và MB 2 + MD 2 = EM 2 + EB 2 + FM 2 + FD 2 mà EA = FD, FC = EB . Suy ra MA2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 . Câu 2. Giải: µ + Cµ = 900 < 1800 nên hai Ta có D đường thẳng AD và BC cắt nhau. Gọi E là giao điểm của AD và BC . µ + Cµ = 900 nên · Vì D ECD có D CED = 900 . Các tam giác EAB, ECD, EAC , EBD vuông tại E nên theo định lý Pitago ta có: EA 2 + EB 2 = AB 2 (1); EC 2 + ED 2 = CD 2 (2); EA 2 + EC 2 = AC 2 (3); EB 2 + ED 2 = BD 2 (4).Từ (1) và (2) ta có: EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = AB 2 + CD 2 .Từ (3) và (4) ta có: EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = AC 2 + BD 2 . Do đó AB 2 +CD 2 = AC 2 + BD 2 . Câu 3. Giải: 301 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 Từ giả thiết AD HE 1 = = AC HA 3 ta nghĩ đến DF ^ AH , F Î AH . Từ đó AF = HE , HA = FE và áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông HEB, FDE , HAB , FAD, ABD ta sẽ chứng minh được: BE 2 + ED 2 = BD 2 . Câu 4. Giải: Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF cắt DC tại · · G .Xét D ABE và D ADG có: ABE = ADG = 900;AB = AD (vì · · · ABCD là hình vuông); BAE (hai góc cùng phụ với DAE ). = DAG Do đó D ABE = D ADG (g.c.g) Þ AE = AG . · D AGF có GAF = 900;AD ^ GF theo hệ thức về cạnh và đường cao tam giác vuông, nên ta có: 1 1 1 + = . 2 2 AG AF AD 2 Do đó 1 1 1 + = . 2 2 AE AF AD 2 Câu 5. Dựng AE ^ AN , AH ^ CD E , H Î CD ,dựng AF ^ BC thì hai tam giác AHE , AFM bằng nhau nên AE = AM . Trong tam giác vuông 302 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 AEN ta có: 1 1 1 + = , mà AE = AM nên ta có: 2 2 AE AN AH 2 1 1 1 3 + = .Ta cần chứng minh: AH = AB 2 2 2 AM AN AH 2 3 DC .Nhưng điều này là hiển nhiên do tam giác 2 ADC , ABC là các tam giác đều. Û AH = Câu 6. Giải: · Vẽ tia Bx sao cho CBx = 200 , Bx cắt cạnh AC tại D . Vẽ AE ^ Bx, E Î Bx . Xét D BDC và D ABC có · · · chung. CBD = BAC = 200 ; BCD Do đó BD BC DC = = AB AC BC BD a2 a2 . .BC = ; AD = AC - DC = b AB b b · · · D ABE vuông tại E có ABE = ABC - CBD = 600 nên là nửa tam Þ BD = BC = a ; DC = AB b b = Þ DE = BE - BD = - a . D ABE 2 2 2 vuông tại E , nên theo định lý Pitago ta có: giác đều, suy ra BE = 3 AE 2 + BE 2 = AB 2 Þ AE 2 = AB 2 - BE 2 = b2 . D ADE vuông tại 4 E , nên theo định lý Pitago ta có: 303 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 2 2 æ a2 ö ö 3 2 æ b 3 1 ÷ ÷ ÷ AE + DE = AD Þ b + ç - a÷ =ç bÞ b2 + b2 - ab + a2 ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç 4 bø 4 4 è2 ø è 2 2 2 a4 a4 = b - 2a + 2 Þ 2 + ab = 3a2 Þ a3 + b3 = 3ab2 . b b 2 2 Câu 7. Giải: Vẽ AH ^ BC , H Î BC ; µ = 900 vì trong D HAB có H nên sin B = AH ; vì trong D HAC AB µ = 900 nên sinCµ = AH . Do đó có H AC sin B AC b b c = = Þ = . Chứng minh tương tự ta có sinC AB c sin B sinC a b a b c = = = .Vậy . sin A sin B sin A sin B sinC Câu 8. Giải: Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC . Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có Þ 304 BD DC = AB AC BD BD + DC BC BD a = = = . Vậy . AB AB + AC AB + AC AB b + c PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 · B = 900 , do đó Vẽ BI ^ AD ( I Î AD ) , suy ra BI £ BD . D I AB có AI · sin BAI = A a BI ; hay sin £ . 2 b+c AB Câu 9. Dựng đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt BO tại K . Dựng IH ^ OA . Ta dễ chứng minh được D AOK = D IHA Þ AK = AI . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AK M ta có: 1 1 1 + = ( không đổi) 2 2 AK AM AO 2 Câu 10. a). Do BE = AE = 9cm Þ CE = 25 - 9 = 16cm . Gọi K là giao điểm của DE và AB . Ta có · · · · E nên tam giác BEK = DEC = EDC = AK BEK cân do đó BK = BE Þ D AEK vuông tại E ( Do BA = BK = BE ). b) Tính được: AD = 24cm suy ra: 1 1 1 1 1 = + = 2 + 2 Þ AE = 14,4cm;DE = 19,2cm 2 2 2 AE AD AK 24 18 CHỦ ĐỀ 2: 305 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG Câu 11. Giải: Vẽ đường kính AE có AE = 8cm . Điểm B thuộc đường tròn · đường kính AE Þ ABE = 900 . · Xét D ADC và D ABE có DAC · · 0 (chung), ADC = ABE = 90 , ( do đó D ADC : D ABE Þ ) AD AC AC .AB = Þ AD = . Mà AB AE AE AC = 2cm, AB = 5cm, AE = 8cm , nên AD = 2.5 5 = ( cm) . 8 4 Câu 12. Giải:Vẽ AH ^ BD ( H Î BD ) . Tứ giác ABCD có OA = OA = R,OB = OD = R nên là hình bình hành. Mà AC = BD = 2R do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật, suy ra SABCD = AB .AD . µ = 900 , AH ^ DB nên AB .AD = AH .DB . D ABD có A 306 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 2 Vì AH £ AO, DB = 2R nên SABCD £ 2R (không đổi). Dấu “=” xảy ra Û H º O Û AC ^ BD . Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất. Câu 13. Giải: Vẽ OH ^ AB ( H Î AB ) , OK ^ CD ( K Î CD ) . Ta có AB = CD (gt), nên OH = OK (định lý liên hệ dây cung và khoảng cách đến tâm) và H , K lần lượt là trung điểm của AB,CD (định lý đường kính ( ) · 0 vuông góc dây cung) Þ AH = CK . Xét D OHM OHM = 90 có OM (cạnh chung) và OH = OK , do đó D OHM = D OK M (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Þ MH = MK . Ta có MH - AH = MK - CK Þ MA = MC . Câu 14. Giải: · Vì COD = 900 suy ra tam giác COD vuông cân tại O nên CD = R 2 .Gọi H là trung điểm của CD . Vì D HOM vuông tại H , 307 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 1 2 OH = CD = R,OM = 2R . Trong tam giác vuông OMH ta có: 2 2 R2 7R 2 14 MH = OM - OH = 4R = Þ MH = R suy ra 2 2 2 2 2 2 MD = MH - AH = 2 R 2 2 ( ) 7 - 1 , MC = R 2 2 ( Câu 15. Gọi H là giao điểm của OA và DE . Ta có OA ^ DE Þ AD = AE . Chỉ cần chứng minh AD hoặc AE có độ dài không đổi. Các đoạn thẳng AB, AC có độ dài không đổi, DE ^ OA từ đó gợi cho ta vẽ đường phụ là đường kính AF để suy ra: AD 2 = AH .AF , AC .AB = AH .AF . Câu 16. Giải: D OAB cân đỉnh O , AC = BD , những điều này giúp ta nghỉ đến chứng minh OM là đường phân giác góc O của D OAB .Vẽ OI ^ AC , OK ^ BD ( I Î AC , K Î BD ) thì ta có OI = OK suy ra lời giải bài toán. Câu 17. Giải: 308 ) 7 +1 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 Vẽ OH ^ BC , H Î BC , suy ra BH = HC (định lý đường kính vuông góc dây cung). Ta có AB + AC = ( AH - · BH ) + ( AH + HC ) = 2AH . D MAO có AMO = 900 , theo định · lý Pitago có AM 2 + OM 2 = OA 2 ; D HAO có AHO = 900 nên AH 2 + OH 2 = OA2 mà OB = OM = R , OH £ OB nên OH £ OM . Do đó OH 2 £ OM 2 , suy ra AH ³ AM . Từ đó ta có: AB + AC ³ 2AM . Câu 18. Giải: Vẽ MH ^ CD, H Î CD . Gọi N là trung điểm của CD thì MN là đường trung bình của hình thang và tam giác MNC cân · · · tại N nên NMC . = ACM = MCN · Suy ra CM là tia phân giác của ACH nên MA = MH , Từ đó ta có điều phải chứng minh. Câu 19. Gợi ý: Dễ thấy PB / / AH , gọi D là giao điểm của CA và BP thì tam giác BAD vuông tại A . Do PA = PB Þ PA = PB = PD (Do · · · · cùng phụ với DBA ). PDA = DAP = PAB Áp dụng định lý Thales ta có: 309 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9 IA IH AH = = mà PD PB BD PB = PD Þ I A = I H Câu 20. Giải: Điều cần chứng minh làm ta nghĩ đến định lý Thales do vậy ta làm xuất hiện “hai đường thẳng song song”. + Vẽ CK / / AB, K Î DE . Ta có IM DM = (*) IC CK · · · · C + Vì CEK = AED = ADE = EK Suy ra tam giác CEK cân tại C Þ CE = CK .Thay vào (*) ta có: IM DM = IC CE Câu 21. Giải: Vẽ tiếp tuyến tại E của đường tròn ( O ) cắt AB, AC lần lượt tại H , K .Ta có ED ^ HK , ED ^ BC Þ HK / / BC . Gọi N là tiếp điểm của đường tròn ( O ) tiếp xúc với AC . 310