50 ®Ò båi dìng To¸n 8
®Ò 1 (43)
C©u 1:
2
2
2
a 2 (b c) 2
Cho x = b c a ; y =
2
2
(b c) a
2bc
TÝnh gi¸ trÞ P = x + y + xy
C©u 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1
1
1
1
a,
= +b+
ab x
a
x
(x lµ Èn sè)
2
2
2
b, (b c)(1 2 a) + (c a)(1 2 b) + (a b)(1 2 c ) = 0
xa
xb
xc
(a,b,c lµ h»ng sè vµ ®«i mét kh¸c nhau)
C©u 3:
X¸c ®Þnh c¸c sè a, b biÕt:
(3 x 1)
= a 3+ b 2
3
( x 1)
( x 1)
( x 1)
C©u 4:
Chøng minh ph¬ng tr×nh:
2x2 – 4y = 10 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
C©u 5:
Cho ABC; AB = 3AC
TÝnh tû sè ®êng cao xuÊt ph¸t tõ B vµ C
§Ò 2 (44)
C©u 1:
Cho a,b,c tho¶ m·n:
abc
bca
ca b
=
=
c
a
b
b
a
c
b
TÝnh gi¸ trÞ M = (1 + )(1 + )(1 +
a
)
c
C©u 2:
X¸c ®Þnh a, b ®Ó f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2
Chia hÕt cho y(x) = x2 – x + b
C©u 3: Gi¶i PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0
C©u 4:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ph©n sè mµ tö sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè mµ mÉu lµ tæng c¸c
ch÷ sè cña nã.
C©u 5:
Cho ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho:
Lª Anh TuÊn
1
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
AD = EC = DE = CB.
a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc �A cña VABC
b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc �A cña VHBC .
®Ò 3 (45)
C©u 1:
Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
C©u 2:
2 2
�1 x 3
�
1 x3
(
x)(
x) �
Cho A = x(1 x2 ) : �
�1 x
1 x
1 x
�
a, Rót gän A
b, T×m A khi x= -
1
2
c, T×m x ®Ó 2A = 1
C©u 3:
a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x2 + y2 + z2
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P =
x
( x 10) 2
C©u 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR:
a
b
c
+
+
<2
ab bc ca
b, Cho x,y �0 CMR:
1<
x y
x2 y 2
+ 2 � +
2
y x
y
x
C©u 5:
Cho VABC ®Òu cã ®é dµi c¹nh lµ a, kÐo dµi BC mét ®o¹n CM =a
a, TÝnh sè ®o c¸c gãc VACM
b, CMR: AM AB
c, KÐo dµi CA ®o¹n AN = a, kÐo dµi AB ®o¹n BP = a. CMR VMNP ®Òu.
®Ò 4 (46)
C©u 1:
Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a, a8 + a4 +1
b, a10 + a5 +1
C©u 2:
a, Cho a+b+c = 0, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
A=
1
1
1
+ 2 2 2 + 2 2 2
2
2
b c a
c a b
a b c
2
Lª Anh TuÊn
2
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
b, Cho biÓu thøc: M =
2 x 3
x 2 x 15
2
+ Rót gän M
+ T×m x �Z ®Ó M ®¹t gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 3:
a, Cho abc = 1 vµ a3 > 36,
2
CMR: a + b2 + c2 > ab + bc + ca
3
b, CMR: a2 + b2 +1 �ab + a + b
C©u 4:
a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)
C©u 5:
a, T×m x,y,x �Z biÕt: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 6x + 15y + 10z = 3
C©u 6:
Cho VABC . H lµ trùc t©m, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B, víi AC t¹i C c¾t nhau
t¹i D.
a, CMR: Tø gi¸c BDCH lµ h×nh b×nh hµnh.
� cña tø gi¸c ABDC.
b, NhËn xÐt mèi quan hÖ gi÷a gãc �A vµ D
§Ò 5 (47)
C©u 1:
Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
C©u 2:
a, Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ a2 + b2 + c2= 14.
TÝnh gi¸ trÞ cña A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c �0. TÝnh gi¸ trÞ cña D = x2003 + y2003 + z2003
2
2
2
2
2
2
BiÕt x,y,z tho¶ m·n: x 2 y2 z2 = x 2 + y2 + z 2
a b c
a
b
c
C©u 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:
1 1
4
+ �
a b
ab
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR:
a d d b bc ca
+
+
+
�0
d b bc ca ad
C©u 4:
Lª Anh TuÊn
3
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: E =
x 2 xy y 2
víi x,y > 0
x 2 xy y 2
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M =
x
víi x > 0
( x 1995) 2
C©u 5:
a, T×m nghiÖm �Z cña PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, T×m nghiÖm �Z cña PT: x2 + x + 6 = y2
C©u 6:
Cho VABC M lµ mét ®iÓm � miÒn trong cña VABC . D, E, F lµ trung ®iÓm AB, AC,
BC; A’, B’, C’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B lµ h×nh b×nh hµnh.
b, CMR: CC’ ®i qua trung ®iÓm cña AA’
§Ò 6 (48)
C©u 1:
Cho
a
169
27
13
=
vµ
2 =
x y
(x z)
( z y )(2 x y z )
xz
3
2
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = 2a 12a 17a 2
a2
C©u 2:
Cho x2 – x = 3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
C©u 3:
a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 vµ x + y = 0, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña N =
1 1
+
x y
C©u 4:
a, Cho 0 �a, b, c �1
CMR: a2 + b2 + c2 �1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho 0
0 vµ xyz = 1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A =
1
1
1
+ 3 3 + 3 3
3
x y 1 y z 1 z x 1
3
C©u 3:
Cho M = a5 – 5a3 +4a víi a �Z
a, Ph©n tÝch M thµnh nh©n tö.
b, CMR: MM120 a�Z
C©u 4:
Cho N �1, n �N
a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n =
n(n 1)
2
b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 =
n(n 1)(2n 1)
6
C©u 5:
T×m nghiÖm nguyªn cña PT:
x2 = y(y+1)(y+2)(y+3)
C©u 6:
2
2
Gi¶i BPT: x 2 x 2 > x 4 x 5 - 1
x 1
x2
C©u 7:
Cho 0 �a, b, c �2 vµ a+b+c = 3
CMR: a2 + b2 + c2 �5
C©u 8:
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã chiÒu dµi BC gÊp 2 lÇn chiÒu réng CD, tõ C kÎ Cx t¹o
víi CD mét gãc 150 c¾t AD t¹i E
CMR: VBCE c©n.
®Ò 8 (50)
C©u 1:
Cho A =
n3 2n 2 1
n 3 2n 2 2n 1
a, Rót gän A
b, NÕu n�Z th× A lµ ph©n sè tèi gi¶n.
C©u 2:
Lª Anh TuÊn
5
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
Cho x, y > 0 vµ x+y = 1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = (1 -
1
1
)(1 - 2 )
2
y
x
C©u 3:
a, Cho a, b ,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c
CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0 �a, b , c �1
CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca �1
C©u 4:
T×m x, y, z biÕt:
x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
C©u 5:
Cho n �Z vµ n �1
2
2
CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 = n (n 1)
4
C©u 6:
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
(x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
C©u 7:
Chia tËp N thµnh c¸c nhãm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhãm n gåm n sè h¹ng. TÝnh tæng
c¸c sè trong nhãm 94.
C©u 8:
Cho h×nh vu«ng ABCD. M, N lµ trung ®iÓm AB, BC, K lµ giao ®iÓm cña CM vµ DN
CMR: AK = BC
®Ò 9 (51)
C©u 1:
Cho M =
2
2
2
a
b
c
+
+
;N= a + b + c
bc
ac
ab
bc
ac ab
a, CMR: NÕu M = 1 th× N = 0
b, NÕu N = 0 th× cã nhÊt thiÕt M = 1 kh«ng?
C©u 2:
Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 2
2
2
2
CMR: a + b + c
bc
ac
ab
�1
C©u 3:
Cho x, y, z �0 vµ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = x + y + z
C©u 4:
a, T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó x2 – 2x -14 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Lª Anh TuÊn
6
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
ab
b, T×m c¸c sè ab sao cho
lµ sè nguyªn tè
ab
C©u 5:
Cho a, b, c, d lµ c¸c s« nguyªn d¬ng
CMR: A =
a
b
c
d
+
+
+
kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn.
a b c
abd
bcd
acd
C©u 6:
Cho VABC c©n (AB=AC) trªn AB lÊy ®iÓm M, trªn phÇn kÐo dµi cña AC vÒ phÝa C
lÊy ®iÓm N sao cho: BM = CN, vÏ h×nh b×nh hµnh BMNP
CMR: BC PC
C©u 7:
Cho x, y tho¶ m·n: 2x2 +
1
y2
+
= 4 (x �0)
x2
4
T×m x, y ®Ó xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
®Ò 10 (52)
C©u 1:
Cho a, b, c > 0 vµ
P=
a3
b3
c3
+
+
a 2 ab b 2
b 2 bc c 2 c 2 ac a 2
Q=
b3
c3
a3
+
+
a 2 ab b 2
b 2 bc c 2
c 2 ac a 2
a, CMR: P = Q
b, CMR: P �
abc
3
C©u 2:
Cho a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 1
CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) �0
C©u 3:
CMR x, y�Z th×:
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 4:
a, T×m sè tù nhiªn m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, T×m sè nguyªn nghiÖm ®óng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
C©u 5:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A =
4x 3
x2 1
C©u 6:
a 2 (b c) 2
b2 c 2 a 2
Cho x =
;y=
(b c) 2 a 2
2ab
Lª Anh TuÊn
7
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
TÝnh gi¸ trÞ: M =
x y
1 xy
C©u 7:
Gi¶i BPT: 1 x a x (x lµ Èn sè)
C©u 8:
Cho VABC , trªn BC lÊy M, N sao cho BM = MN = NC. Gäi D, E lµ trung ®iÓm cña
AC, AB, P lµ giao cña AM vµ BD. Gäi Q lµ giao cña AN vµ CE.
TÝnh PQ theo BC
§Ò 11 (53)
C©u 1:
Cho x =
a b
bc
ca
;y=
;z=
ab
bc
ca
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
C©u 2:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña A =
x4 1
( x 2 1) 2
C©u 3:
a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 1
CMR: b+c �16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng
thøc sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
C©u 4:
Gi¶i BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1
C©u 5:
a, T×m nghiÖm nguyªn tè cña PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, T×m sè nguyªn tè p ®Ó 4p + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 6:
T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ sè Êy lµ béi sè cña tÝch hai ch÷ sè cña nã.
C©u 7:
Cho h×nh thang ABCD (BC AD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC, BD;
Gäi E, F lµ trung ®iÓm cña AD, BC
CMR: E, O, F th¼ng hµng.
®Ò 12 (54)
C©u 1:
T×m ®a thøc f(x) biÕt:
f(x) chia cho x+3 d 1
f(x) chia cho x-4 d 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) th¬ng lµ 3x vµ d
C©u 2:
Lª Anh TuÊn
8
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
2
2
2
b, Cho: x yz y zx z xy
a
CMR:
b
c
a 2 bc b 2 ca c 2 ab
x
y
z
C©u 4:
CMR:
1
1 1
1
+ +.....+
Víi n�N vµ n �1
2 <
(2n 1)
9 25
4
C©u 5:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: M =
x 2 xy y 2
(x≠0; y≠0)
x2 y 2
C©u 6:
a, T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn: x2 + y2 + z2 = 1999
C©u 7:
Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn BD lÊy M, tõ M kÎ c¸c ®êng vu«ng gãc AB, AD t¹i E,
F.
a, CMR: CF = DE; CF DE
b, CMR: CM = EF; CM EF
c, CMR: CM, BF, DE ®ång qui
®Ò 13 (55)
C©u 1:
a, Rót gän: A = (1-
4
4
4
)(1- 2 ).....(1- 2 )
2
1
3
199
b, Cho a, b > 0 vµ 9b(b-a) = 4a2
TÝnh M =
a b
ab
C©u 2:
a, Cho a, b, c > o
2
2
2
CMR: a + b + c
bc
ca
b, Cho ab �1
CMR:
ab
�
abc
2
1
1
2
+ 2
�
a 1 b 1
ab 1
2
C©u 3:
T×m x, y, z biÕt:
x+2y+3z = 56 vµ
2
1
3
=
=
x 1 y 2 z 3
C©u 4:
Lª Anh TuÊn
9
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M =
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt A =
2x 1
x2 2
2
6x 5 9 x2
C©u 5:
Gi¶i BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m
C©u 6:
a, T×m sè nguyªn d¬ng x tho¶ m·n: x(x+1) = k(k+2)
k lµ sè nguyªn d¬ng cho tríc.
b, T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 2x-5y-6z =4.
C©u 7:
Cho h×nh vu«ng ABCD, VÒ phÝa ngoµi h×nh vu«ng trªn c¹nh BC vÏ VBCF ®Òu, vÒ
phÝa trong h×nh vu«ng trªn c¹nh AB vÏ VABE ®Òu.
CMR: D, E, F th¼ng hµng.
§Ò 14 (56)
C©u 1:
Cho A = (
x
x y
y2
1
x
)
:
(
):
2
2
3
2
y xy x xy
x xy
x y y
a, T×m TX§ cña A
b, T×m x, y ®Ó A > 1 vµ y < 0.
C©u 2:
a, Gi¶i PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0
b, Gi¶i BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2
C©u 3:
Cho a, b, c > 0
CMR:
a
b
c
3
�
bc a c a b 2
C©u 4:
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi n�N vµ n >1
C©u 5:
1
2
Cho f(x) = x2 + nx + b tho¶ m·n f ( x) � ; x �1
X¸c ®Þnh f(x)
C©u 6:
Cho x, y > 0 tho¶ m·n xy= 1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A =
x
y
2
2
x y
x y4
4
C©u 7:
Cho h×nh thang ABCD (AD//BC). M, N lµ trung ®iÓm cña AD, BC. Tõ O trªn MN kÎ
®ëng th¼ng song song víi AD c¾t AB, CD t¹i E vµ F.
CMR: OE = OF
Lª Anh TuÊn
10
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
®Ò 15 (57)
C©u 1:
Cho xyz = 1 vµ x+y+z =
TÝnh gi¸ trÞ M =
1 1 1
=0
x y z
x6 y 6 z 6
x3 y 3 z 3
C©u 2:
a 1
x 1
x 1
1
2
Cho a ≠ 0 ; �1 vµ x1 a 2 ; x2 x 1 ; x3 x 1 .....
1
2
T×m a nÕu x1997 = 3
C©u 3:
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m:
m( x 2) 3(m 1)
1
x 1
C©u 4:
Víi n�N vµ n >1
CMR:
1
1
1
1
....
1
2 n 1 n 2
2n
C©u 5:
Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1
T×m gi¸ trÞ M biÕt: xy = 1 vµ x y ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 6:
T×m x, y �N biÕt: 2x + 1 = y2
C©u 7:
Cho VABC (AB < AC). AD, AM lµ ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tuyÕn cña VABC . §êng th¼ng qua D vµ vu«ng gãc víi AD c¾t AC t¹i E
So s¸nh S VADM vµ S VCEM
§Ò 16 (58)
C©u 1:
Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
CMR:
x y z
víi abc ≠ 0
a b c
C©u 2:
Cho abc ≠ 0 vµ
CMR:
x
y
z
a 2b c 2a b c 4a 4b c
a
b
c
x 2 y z 2x y z 4x 4 y z
C©u 3:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng vµ nhá h¬n 1
Lª Anh TuÊn
11
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
CMR: Trong 3 sè: (1-a)b; (1-b)c; vµ (1-c)a kh«ng ®ång thêi lín h¬n
1
4
C©u 4:
Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 vµ xy > 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A =
1 1
x y
C©u 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
b, T×m 4 sè nguyªn d¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng
C©u 6:
Cho n �N vµ n >1
CMR: 1 +
1 1
1
2 .... 2 2
2
2 3
n
C©u 7:
Cho VABC vÒ phÝa ngoµi VABC vÏ tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ CAF t¹i ®Ønh A.
CMR: Trung tuyÕn AI cña VABC vu«ng gãc víi EF vµ AI =
1
EF
2
C©u 8:
CMR:
21n 4
lµ ph©n sè tèi gi¶n (víi n �N).
14n 3
®Ò 17 (59)
C©u 1:
Ph©n tÝch ra thõa sè:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x3 + 6x2 + 11x + 6
C©u 2:
Cho x > 0 vµ x2 +
1
=7
x2
TÝnh gi¸ trÞ cña M = x5 +
1
x5
C©u 3:
Cho x, y tho¶ m·n 5x2 + 8xy + 5y2 = 72
TÝm gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 + y2
C©u 4:
a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c �1
CMR:
1
1
1
2
2
�9
a 2bc b 2ac c 2ab
2
b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.
CMR: 0 �a, b, c �
4
3
C©u 5:
Lª Anh TuÊn
12
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
TÝnh tæng S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1)
C©u 6:
T×m nghiÖm nguyªn cña PT:
xy xz yz
=3
z
y
x
C©u 7:
�
Cho VABC biÕt ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc BAC
thµnh 3 phÇn b»ng
nhau.
X¸c ®Þnh c¸c gãc cña VABC
§Ò 18 (60)
C©u 1:
Rót gän: M =
a 2 bc
b 2 ac
c 2 ab
(a b)(a c) (b a )(b c) ( a c)(a b)
C©u 2:
Cho: x =
b2 c 2 a2
(a b c )(a c b)
;y
2bc
(a b c)(b c a )
TÝnh gi¸ trÞ P = (x+y+xy+1)3
C©u 3:
Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc
sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
C©u 4:
Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4
CMR: NÕu x = m; y = n Víi m, n � N th× P.Q lµ sè ch½n.
C©u 5:
a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
b, T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt n > 1 sao cho:
A = 12 + 22 +....+n2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
C©u 6:
Cho VABC vu«ng c©n ë A, qua A vÏ ®êng th¼ng d sao cho B, C thuéc cïng nöa mÆt
ph¼ng cã bê lµ d, vÏ BH, CK cïng vu«ng gãc víi d (H, K lµ ch©n ®êng vu«ng gãc).
a, CMR: AH = CK
b, Gäi M lµ trung ®iÓm BC. X¸c ®Þnh d¹ng VMHK
®Ò 19 (61)
C©u 1:
Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0
vµ a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2
Lª Anh TuÊn
13
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
CMR: S =
a2
b2
c2
1
a 2 2bc b2 2ac c 2 2ab
M=
bc
ca
ab
2
2
1
a 2bc b 2ac c 2ab
2
C©u 2:
a, Cho a, b, c > 0
ab
bc
ac
1 1 1
2 2 2 2 �
2
2
a b b c
a c
a b c
b, Cho 0 �a, b, c �1
CMR:
CMR: a+b+c+
1
1 1 1
� + abc
abc
a b c
C©u 3:
a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt:
A = x 1 2 x 5 3x 8
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt:
M=
x 2 xy y 2
(x,y > 0)
x 2 xy y 2
C©u 4:
a,T×m nghiÖm � Z+ cña:
1 1 1
2
x y z
b, T×m nghiÖm � Z cña: x4 + x2 + 4 = y2 – y
C©u 5:
Cho VABC , ®Æt trªn c¸c ®o¹n kÐo dµi cña AB, AC c¸c ®o¹n BD = CE. Gäi M lµ
trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña DE.
CMR: MN // ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc �A cña VABC
C©u 6:
T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n vµ sè nguyªn tè P sao cho
P=
n(n 1)
1
2
®Ò 20 (62)
C©u 1:
a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = 1 vµ
x y z
; abc ≠ 0
a b c
CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 0 vµ 2x2 + 3y2 – 2z2 = 0
CMR: z lµ sè lín nhÊt.
C©u 2:
a, Cho a, b, c ≠ 0
Lª Anh TuÊn
14
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
2
2
2
CMR: a2 b2 c 2 �a b c
b
c
a
b
c
a
b, Cho n �N, n > 1
CMR:
1 1
1
1
.... 2
2
5 13
n (n 1)
2
C©u 4:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt víi a, b, c > 0
a, P =
b, Q =
a
b
c
a b c a bc
bc ca ab
c
b
a
a
b
c
d
bcd acd abd abc
C©u 5:
T×m c¸c sè chÝnh ph¬ng sao cho chia nã cho 39 ®îc th¬ng sè nguyªn tè vµ d 1
C©u 6:
Cho tø gi¸c ABCD, ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E. Gäi F, G lµ trung ®iÓm cña
AC, BD.
a, CMR: S VEFG =
1
S ABCD
4
b, Gäi M lµ giao ®iÓm cña AD, BC. Chøng minh FG ®i qua trung ®iÓm ME.
§Ò 21 (63)
C©u 1:
Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = abc
CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc
C©u 2:
Cho n lµ sè nguyªn tè
CMR: A = n4 – 14n3 +71n2 – 154n + 120 chia hÕt cho 24.
C©u 3:
T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
C©u 4:
T×m a, b ®Ó M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc kh¸c.
C©u 5:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña PT:
P = x2+y2 vµ biÕt x2+y2+xy = 4
C©u 6:
a, Cho a, b, c > 0 CMR: cã Ýt nhÊt mét B§T sai lµ ®óng.
a+b �c+d
(a+b)cd �)( c+d)ab
(a+b)( c+d) �ab+cd
b, T×m c¸c sè a, b, c tho¶ m·n ®ång thêi c¸c B§T:
a bc ; b a c ; c a b
C©u 7:
Lª Anh TuÊn
15
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
Cho h×nh thang ABCD (AD//BC), AD > BC. C¸c ®êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc
víi nhau t¹i I. Trªn AD lÊy ®iÓm M sao cho AM cã ®é dµi b»ng ®é dµi trung b×nh
cña h×nh thang ABCD.
CMR: VMAC c©n t¹i M
®Ò 22 (64)
C©u 1:
Cho x3 + x = 1.
4
3
2
TÝnh A = x 25 x 2 x 3x 5
x x x2
C©u 2:
Gi¶i BPT: x 2 1 x 2 4 3
C©u 3:
Cho 3 sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n:
x = 1 - 1 2 y
y = 1 - 1 2z
z = 1 - 1 2x
T×m sè lín nhÊt trong ba sè x, y, z.
C©u 4:
Cho x, y tho¶ m·n: x+y=1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x3+y3+xy
C©u 5:
CMR:
1 1
1 5
2 .... 2
2
1 2
n
3
C©u 6:
T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT sau:
x+y+z+t = xyzt
C©u 7:
Cho h×nh vu«ng ABCD, lÊy ®iÓm M n»m trong h×nh vu«ng sao cho:
�
�
= MBA
= 150
MAB
CMR: VMCA ®Òu
§Ò 23 (65)
C©u 1:
a, Cho a2 + b2 + c2 = ab bc ca . CMR: a = b = c
b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2. CMR:
a b
víi x, y ≠ 0
x y
c, Rót gän:
A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1)
C©u 2:
a, T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ó n5+1 chia hÕt cho n3+1
Lª Anh TuÊn
16
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
b, T×m c¸c sè a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hÕt cho x+2 vµ chia cho x2-1 thi d x+5.
c, NÕu n lµ tæng 2 sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng 2 sè chÝnh ph¬ng.
C©u 3:
a, Cho A = 11.....1 (n ch÷ sè 1), b = 100....05 (n-1 ch÷ sè 0)
CMR: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
b, T×m nghiÖm tù nhiªn cña PT: x+y+1 = xyz
C©u 4:
a, Cho x, y �N T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A =
x
y
x y 8 ( x y)
b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt B =
x y
xyz
C©u 5:
a, MCR:
7
1 1 1
1
1
5
1 ....
12
2 3 4
99 100 6
1 1 1
2 3 4
b, MCR: 1 ....
1
n
(n �N ; n 0)
2 1 2
n
C©u 6:
Cho VABC vu«ng t¹i A, c¹nh huyÒn BC = 2AB, D lµ ®iÓm trªn AC sao cho gãc �
ABD
=
1 �
1
ABC , E lµ ®iÓm trªn AB sao cho gãc �
ACE = �
ACB . F lµ giao ®iÓm cña BD vµ
3
3
CE, K vµ H lµ ®iÓm ®èi xøng cña F qua BC, CA.
CMR: H, D, K th¼ng hµng.
®Ò 24 (66)
C©u 1:
Cho M = (
x 2 25
y 2
):( 2
)
3
2
x 10 x 25 y y 2
TÝnh gi¸ trÞ M biÕt: x2+9y2-4xy = 2xy- x 3
C©u 2:
a, Cho a+b = ab. TÝnh (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6.
b, Cho a, b tho¶ m·n:
2a
b
2
a b a b
T×m c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cña N =
3a b
a 5b
C©u 3:
a, T×m sè tù nhiªn n ®Ó n4+4 lµ sè nguyªn tè.
b, T×m sè nguyªn tè p sao cho 2p+1 lµ lËp ph¬ng cña sè tù nhiªn.
C©u 4:
a, Cho a 1; a c 1999; b 1 1999
CMR: ab c 3998
Lª Anh TuÊn
17
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
b, Chøng tá cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai:
a(a+b) < 0; 2a > b2+1
c, Chøng tá cã Ýt nhÊt 1 B§T sau lµ ®óng
a3b5(c-a)7(c-b)9 �0; bc5(c-b)9(a-c)13 �0; c9a7(b-c)5(b-a)3 �0
C©u 5:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = (x+5)4 + (x+1)4
C©u 6:
Cho VABC cã 3 gãc nhän, ®êng cao AH, BK, CL c¾t nhau t¹i I. Gäi D,E,F lµ trung
®iÓm cña BC, CA, AB, Gäi P, Q, R lµ trung ®iÓm cña IA, IB, IC.
a, CM: PQRE, PEDQ lµ h×nh ch÷ nhËt.
b, CM: PD, QE, RF c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®o¹n th¼ng.
c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cïng c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
®Ò 25 (67)
C©u 1:
Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x
a, BiÕn ®æi S thµnh tÝch biÕt S = A + B
b, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A vµ B lÊy gi¸ trÞ lµ sè ®èi nhau.
C©u 2:
Cho 3 sè x, y, z tho¶ m·n ®ång thêi
x2+2y = -1
y2+2z = -1
z2+2x = -1
TÝnh gi¸ trÞ cña A = x2001 + y2002 + z2003
C©u 3:
CMR PT: 2x2-4y2 = 10 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
C©u 4:
Cho 2 ®êng th¼ng ox vµ oy vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i O, Trªn ox lÊy vÒ hai
phÝa cña O hai ®o¹n th¼ng OA = 4cm; OB = 2cm. Gäi M lµ mét ®iÓm n»m trªn ®êng
trung trùc cña ®o¹n AB. MA, MB c¾t nhau víi oy ë C vµ D. Gäi E lµ trung ®iÓm cña
AC, F lµ trung ®iÓm cña BD.
a, CMR: MF + ME =
1
(AC+BD)
2
b, §êng th¼ng CF c¾t ox t¹i P. Chøng minh P lµ mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn
trªn ®êng trung trùc cña AB.
C©u 5:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ph©n sè mµ tö sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè, MÉu sè lµ tæng c¸c
ch÷ sè cña tö sè.
®Ò 26 (68)
C©u 1:
Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 . TÝnh:
Lª Anh TuÊn
18
x y
x y
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
C©u 2:
2
2
2
Cho a, b, c tho¶ m·n: abc = 1 vµ a2 b2 c2 a c b
b
c
a
c
b
a
CMR: Cã Ýt nhÊt 1 ph©n sè lµ b×nh ph¬ng cña mét trong 2 sè cßn l¹i.
C©u 3:
T×m c¸c nghiÖm nguyªn tho¶ m·n 2 BPT: 16+5x > 3+11 vµ
7x 3 x
6
4 2 2
C©u 4:
Cho A =
( x a)2
( x b) 2
( x c) 2
(a b)(a c) (b a )(b c) (c a)(c b)
a, A thay ®æi nh thÕ nµo nÕu ta ho¸n vÞ 2 trong 3 sè a, b, c.
b, T×m A nÕu x=a.
c, T×m A nÕu b =
a
a
;c
3
4
d, NÕu a-b = b-c > 0. T×m x nÕu ph©n thøc thø nhÊt b»ng ph©n thøc thø 3. T×m gi¸ trÞ
cña ph©n thøc thø nhÊt vµ ph©n thøc thø 3.
C©u 5:
2
2
2
2
2
2
Cho a �b �c > 0. CMR: a b c b a c �3a 4b c
c
a
b
C©u 6:
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, LÊy P thuéc BD, trªn tia CP lÊy M sao cho
PM = CP, KÎ ME AD; MF AB
a, CMR: AM // BD; EF // AC
b, CMR: E,F,P th¼ng hµng.
C©u 7:
Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh lµ 1, trªn AB, AD lÊy M,N sao cho
�
= 450.
MCN
TÝnh chu vi VAMN
®Ò 27 (69)
C©u 1:
Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 – (x-4)2
a, Rót gän A =
M
N
b, CMR: NÕu x ch½n � A tèi gi¶n.
C©u 2:
T×m sè cã 4 ch÷ sè abcd tháa m·n:
665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d)
Lª Anh TuÊn
19
Trêng THCS VÜnh Khóc
50 ®Ò båi dìng To¸n 8
C©u 3:
CMR: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 �1
C©u 4:
Cho sè chÝnh ph¬ng M gåm 4 ch÷ sè. NÕu ta thªm vµo mçi sè cña M mét ®¬n vÞ th×
®îc mét sè N lµ sè chÝnh ph¬ng.
T×m hai sè M, N.
C©u 5:
So s¸nh A, B biÕt:
A = 20+21+....+2100+9010
B = 2101+1020
C©u 6:
CHo VABC , ®êng cao AF, BK, CL c¾t nhau t¹i H. Tõ A kÎ Ax AB, tõ C kÎ Cy
BC. Gäi P lµ giao cña Ax vµ Cy.
LÊy O, D, E lµ trung ®iÓm cña BP, BC, CA.
a, CMR: VODE ®ång d¹ng víi VHAB
b, Gäi G lµ träng t©m cña VABC CMR: O, G, H th¼ng hµng.
§Ò 28 (70)
C©u 1:
x2 y 2 z 2
Rót gän: A =
, víi x+y+z = 0
( x z ) 2 ( z x) 2 ( x y ) 2
C©u 2:
7
2
a, CMR: M = n 8 n 1 kh«ng tèi gi¶n n �Z
n n 1
b, CMR: NÕu c¸c ch÷ sè a, b, c �0 tho¶ m·n: ab : bc = a:c
Th×: abbb : bbbc = a:c
C©u 3:
a, Rót gän: P =
b, Cho Q =
(14 4)(54 4)(94 4)(134 4) .... (214 4)
(34 4)(7 4 4) .... (234 4)
1
(mÉu cã 99 ch÷ sè 0).
1, 00....1
T×m gi¸ trÞ cña Q víi 200 ch÷ sè thËp ph©n.
C©u 4:
a, Cho a, b, c �0. CMR: a4+b4+c4 �abc(a+b+c).
b, CMR: NÕu a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c th×:
a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc).
C©u 5:
Cho x, y tho¶ m·n: x2+y2 = 4+xy.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x2+y2
C©u 6:
Lª Anh TuÊn
20
Trêng THCS VÜnh Khóc