Mô tả:
http://ebooktoan.com/forum
(
3)
x4
x 2 2 x 1 .dx ;
Chương 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
x
1) Tính đạo hàm của hàm số g ( x )
x2 1
2) Tính nguyên hàm của hàm số
f ( x)
1
2
( x 1) 3
x2 x 1
x 2 2 x 1 .dx
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
x2 1
x 4 1 .dx
dx
sin x .dx
dx
x. ln x. ln(ln x) .dx
dx
3x 2 4 .dx ;
dx
2)
.dx ;
1 sin x
sin x.dx
.dx ;
3)
cos 2 x
1)
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1) e x e x 2..dx ; 2 x 3 x ..dx
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
e x
dx
x
e
.
2
cos 2 x ..dx ; x. ln x
2 x .3 x
3) (e x 1) 3 .dx ; x
dx
9 4x
2)
2
g ( x) x x a , a #0
2) Tính nguyên hàm của hàm số
f ( x) x 2 a , a #0
3) Tính nguyên hàm của hàm số
2
h( x) ( x 2) x a , a #0
Bài 3: CMR hàm số F ( x ) x ln(1 x ) là một
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1) sin 2 x. cos x..dx ; cot gx.dx
2)
x
nguyên hàm của hàm số f ( x)
1 x
dx
1 cos x
;
dx
cos x ;
(sinx cosx).dx
5
sinx - cosx
Bài 3 Xác định nguyên hàm bằng
Bài 4: CMR hàm số
F ( x)
x 24 x )( x x 4 x ).dx
2)
x 2
a
x a ln x x 2 a , a # 0 là một
2
2
nguyên hàm của hàm số f ( x) x 2 a
Bài 5: CMR hàm số
x 2 ( x ln x 1)
khi x 0
F ( x)
là một nguyên
4
0
khi x 0
x.lnx khi x 0
khi x 0
0
hàm của hàm số f (x)
Bài 6: Xác định a,b,c để hàm số
3
là một
2
20 x 2 30 x 7
phương pháp phân tích
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
4x 2 6x 1
2x 1
4
2
2 x 3x 1
2
2) f(x)
;
f ( x) 2
3
x
x x6
3
1
4x 9 x 1
3) f(x) 2
;
f ( x)
x x2
4x 2 9
1) f ( x) 3 x 3 2 ;
2
f(x)
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1) f ( x) 3 x x 4 x ;
f(x) x 4 x 4 2
1
1
F ( x ) (ax 2 bx c) 2 x 3 voi x
2)
nguyên hàm của hàm số f ( x )
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
2
1) f ( x) 3 2 x 2 x ; f(x) 2 2 x.33 x.4 4 x
2x 3
f ( x)
2x 2 x 1
Bài 2 Xác định nguyên hàm bằng
công
thức
2) f ( x ) e 3 x 2 ;
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)
10
x.(1 x) .dx ;
2)
x.
1
1
1)
3 dx
x
x
3
1
; x
dx
x
f(x)
; f ( x)
4 x x3
2 x 1 5 x 1
10 x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1
2 5 x .dx ;
x2
(1 x)100 dx
x.dx
3 1 3x dx
http://ebooktoan.com/forum
Bài 5: (ĐHQG HN Khối D 1995)
3) A
2
Cho hàm số y
3 x 3x 3
x 3 3x 2
1) Xác định a,b,c để
y
a
b
c
2
( x 1)
( x 1) ( x 2)
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1) f ( x) cos 4 x ;
f(x) sin 4 x cos 4 x
2) f ( x) cos 6 x sin 6 x ;
f(x) cot g 2 x
3)
4)
5)
6)
7)
1
f ( x) 8 cos x. sin x ;
f(x)
sin 4 x
1
cos 2 x
f ( x)
;
f(x)
3
cos x. sin x
cos 2 x. sin 2 x
sin x cos x
x
f ( x)
;
f(x) 4
3 sin 2 x
x 3x 2 2
1
1
f ( x)
;
f(x)
3
xx
(x x 2 1) 2
1
x 1
f ( x)
;
f(x)
x
1 e
x.(1 x.e x )
2
3
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
(Không có hàm ngược )
dx
x 2 5x 6
dx
x 3 dx
4) A
; B
1 x2
( x 1).(2 x)3
dx
dx
5) A
; B
1 x x 1
( x 1) x 2 2 x 2
6) A
2 x. 2 x 1
(6 x 3 8x 1)dx
(3x 2 4). x 2 1
2)
A
3) A
x2 1
dx ;
x4 1
B
1
dx ;
6
x( x 1) 2
x2 3
.dx
x( x 4 3x 2 2)
B
1 x4
.dx
x( x 4 1)
2dx
cos x sin x. cos x
;B
dx
2 sin x cos x 1
2 sin x
dx
1
2) A
;
B
dx
sin 2 x 2 sin x
sin x. cos3 x
dx
sin x
3) A
; B
dx
4
3
5
sin x. cos x
cos x sin 2 x 1
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
2) A
xdx
2
2
; B 1 x 2 .dx
1 x . 1 1 x
dx
dx
; B
.dx
2x
3
1 e
x 1. 3 ( x 1) 2 1
x2
1) A x 3 (1 5x 2 )10 dx; B
dx
3) A
4) A
(4 x 2 ) 3
2x
dx
dx; B
dx
(4 x 2 ) 3
dx
1 x 6 .dx
x 5 dx
; B
;
x
1 x2
x 2 dx
;
2
x 2
Bài 5: Tính các tích phân bất định sau
x 1
.dx
x 1
sin x. cos3 x.dx
sin 2 x
2) A
;
B
cos6 x dx
1 cos2 x
1
3) A cos5 x. sin x .dx; B x x / 2 dx
e e
1
4) A x x (1 ln x).dx; B x
dx
e 4e x
Bài 5 Xác định nguyên hàm bằng
phương pháp tích phân từng
phần
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) A
x x 1
1) A
1) A x 2 . a x .dx B
x 3 dx
(2 x 1).dx
; B 4
8
2
( x 4)
x 2 x 3 3x 2 2 x 3
2
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
Bài 4 Xác định nguyên hàm bằng
phương pháp đổi biến số
1) A
dx
7) A x 3 .3 x 2 1.dx ; B
2) A
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
x 2 2dx
x 2 1
; B
2
x 13 x 2 x 2 e x
1) f ( x ) 3x 2 3 ; f(x)
x
x2
x2
x 1 1 x
2) f ( x)
; f(x)
x3
1- x2
1
2x
3) f ( x)
; f ( x)
;
x 1 x
x x2 1
2
dx
; B
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
2
ln x
2
1) f ( x) ln x ; f(x)
; f(x) x sin 2 x
x
2
2
2) f ( x ) ( x 1) .cos x ; f(x) x 2 1 e 2x 1 ;
2
http://ebooktoan.com/forum
3) f ( x) e 2 x .sinx ; f(x) e -2x . cos 3x;
4) f ( x) (cot g 2 x cot gx 1)e x ;
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) A x. cos x .dx; B e ax . sin(bx).dx
2) A e 2 x . cos2 x.dx; B x n . ln x.dx
1
1
; f ( x) 2
3x 2 x 1
x 2x 2
1
1
2) f ( x)
; f ( x) 2
2
2
(3x 2 x 1)
( x 2 x 2) 3
7 x 13
7 x 13
3) f ( x) 2
; f ( x) 2
( x 4 x 5)
( x 4 x 5) 3
3) A x 2 .e 3x .dx; B x 2 .sin(3x).dx
4) f ( x )
1) f ( x)
4) A
x 2 .e x dx
; B x 2 . cos(2 x).dx
2
( x 2)
5) A
ln(sin x)
(1 sin x)e x .dx
.
dx
;
B
1 cos x
sin 2 x
6) A x.cos x .dx; B eax.sin(bx).dx
7) A ( x 3 4 x 2 2 x 7).e 2 x .dx;
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
dx
x
; B
.dx
3
sin x
cos2 x
1 x
cos2 x
2) A x. ln
.dx; B
.dx
1 x
sin 3 x
x.dx
3) A 2 ; B ln( x x 2 1).dx
sin x
1) A
f ( x)
x 2
x3 x
b)
f ( x)
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
x.dx
x
; B 3
.dx
2
x 2x 1
x 3x 2
x.5 dx
x5
2) A 6 3 ; B 8 .dx
x x 2
x 1
7
(1 x ).dx
x4
3) A
;
B
( x10 10) 2 .dx
x( x 7 1)
1) A
1) A
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
a)
x 2 2x 3
x 1
: f(x) 3
2
x 2
x 1
3
x
1
5) f ( x ) 2
; f(x)
x 2x 1
x(x 1) 2
A
x
2
f ( x) cot g 6 x;
1
x x
1) (ĐHVH 2000) f ( x ) sin 2
2) f ( x ) tg 5 x;
3) f ( x) cos3 x. sin 8x;
f ( x) cos3 x. sin 2 x;
f ( x) cos x. cos 2 x.sin 4x;
4)
f ( x) cos x. cos 2 x. cos 3x
1
x ( x 1) 2
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
2
y
3 x 3x 3
x 3 3x 2
1) Xác định các hằng số a,b,c để
y
a
b
c
2
( x 1)
( x 1)
( x 2)
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
x 2001
f ( x) 2
( x 1)1002
Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
( x 2 1).dx
x 2 4x
;
B
x 3 4x 2 5x 2 .dx
x 4 x3 x 2 x 1
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
3
Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số
( x 3 1).dx
x3
;
B
( x 1)100 .dx
x 3 5x 2 6x
Bài 7 Nguyên hàm của các hàm số
Lượng giác
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
f ( x)
4
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
4
2
(1 sin x)dx
cos x.sin x.dx
; B
sin x(1 cos x)
sin x cos x
dx
cos x.dx
A
; B
sin x cos x 1
13 10 sin x cos 2 x
dx
A 2
;
sin x sin 2 x cos2 x
dx
B
2
3 sin x 8 sin x. cos x 5 cos2 x
sin 2 x.dx
cos 2 x.dx
A 2
; B 4
sin x 1
sin x cos4 x
dx
dx
A 2
;B 3
4
sin x. cos x
sin x. cos5 x
1) A
2)
3)
4)
5)
3
http://ebooktoan.com/forum
(sin x cos x)dx
dx
; B
sin x 2 cos x
cos3 x
cos4 x.dx
(sin x sin 3 x).dx
7) A
;
B
2 cos2 x 1
sin 3 x
(cos x sin x).dx
dx
8) A
; B
1 sin 2 x
sin 2 x 1
6) A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Bài 8 Nguyên hàm của các hàm số
Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1) A x 3 x 4 .dx; B
dx
2) A
x 3 .dx
x 4 2x 2 1
; B
2
( x x 2 x 1)dx
2
x x x 1
x x x 1 1
(4 x 5).dx
dx
3) A
; B
2
x 6x 1
(1 x 2 ) 3
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) A
A
dx
( x 1) 1 x
dx
; B
2x 1 2x 3
dx
2)
B
2
3
dx
( x 1). 3 2 x x 2
ex
4) F ( x ) e
: F(x) x
e ex
e 25 x 1
2 x 1 5 x 1
5) F ( x )
:
F(x)
ex
10 x
( x 2 x 1).e x
(x - 1).e x
6) F ( x )
: F(x)
x2
x2 1
3 x 2
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) A e ax .sin(bx).dx; B e 2 x . sin 2 x.dx
2) A x n . ln x.dx; B x 2 .e 3x dx
3) A sin(ln x).dx; B x 2 . ln(2 x 1).dx
4) A (2 x 3 5 x 2 2 x 4).e 2 x .dx;
ln(sin x)dx
2.e x .dx
;
B
1 ex
sin 2 x
(1 sin x).e x dx
ln(cos x).dx
6) A
; B
1 cos x
cos2 x
1
1 x
7) A
. ln
.dx;
2
1 x
1 x
5) A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1) A
;
2) A
2
(2 x 1) 2 x 1
dx
x2 3
; B
1 ex
ln x.dx
x. ln x 1
x. ln( x x 2 1)dx
. x2 1
; B e x e x 2.dx
Chương 2:
Bài 3(ĐHY HN 1999)
Biết rằng
dx
ln( x x 2 3 ) C Tìm
nguyên hàm F ( x ) x 2 3.dx
tích phân
Bài 1 Tính tích phân bằng phương
pháp
phân tích
Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999). Tìm họ nguyên Bài 1: Tính các tích phân
x
3
2
hàm của hàm số F ( x ) 10
x.dx
3
1)
A
(
x
1
).
dx
;
B
x 1
1
-1 x 2 2
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên
e
5
2
hàm của hàm số F ( x ) tgx
1
2) A
2x 1 2x 1
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích
phân I
dx
2
3) A
x2 x 1
1
Bài 9 Nguyên hàm của các hàm số
Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) F ( x ) ( x 2 3x 2).e x
2) F ( x ) 2 . cos( x )e x
2
( x 1).dx
cos 3 x.dx
B
;
3 sin x ;
x 2 x ln x
6
4
4) A
0
1
5) A
0
4
2x
7x 2 x 5
dx
.dx; B
x
x2 x2
1
2
x 2
3) F ( x ) (3 2 ) ; F(x) 2 2x .33 x.4 x
4
1 x
tgx .dx
e ex
;
B
0 e x e x dx;
cos 2 x
e x .dx
x
e e
x
2
; B
1
dx
4x 2 8x
;
http://ebooktoan.com/forum
ln 3
6) A
0
2) (ĐHSP Quy Nhơn)
2
.dx
dx
; B
;
x
x
1 sin x
e e
0
1
1
I (1 3 x)(1 2 x 3 x 2 )10 .dx;
0
2
dx
1
dx
7) A
; B 4 ;
2
1 x x 1
sin x
2
0
a
4
3
2
x
dx
6 dx
; B x x ;
2
2
0 sin x 3 cos x
1 9 4
8) A
3
t
2
x
Bài 2: Tính các tích phân
2
4
6) (ĐH TCKTHN 2000) I
0
2
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng
số A,B F ( x ) A. sin(x) B thoả mãn F(1) = 2
2) A
x2
.dx; B
4 x2
0
1 x2
.dx;
x2
.dx;
0
B
1
dx
2
x x 1
3) A x. 1 x .dx; (DHTM - 1995)
và F ( x).dx 4
0
0
Bài 5: Cho F ( x ) a. sin 2 x b. cos 2 x xác định
2b
a,b biết F , 2 va a.dx 1
2
a
1
4) A
1 x 2 .dx; (DHYHN 1998)
1
2
1
5) A (1 x 2 ) 3 .dx; (DHY HP 2000)
Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
4
0
4
x 2 3x 10
CMR log 2 (
dx ) dx
x5
0
0
3
6) A
2
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
dx
x. x 2 1
.dx; (HVQY 1998)
3
a b
F ( x ) 2 2 thoả mãn
x
x
7) (ĐHGTVT HN 1996) A x 5 1 x 2 .dx;
0
1
F(x).dx 2 - 3.ln2
1
2
Bài 3: Tính các tích phân sau
2
3
0
tg 4 x.dx
0 cos 2 x
2
3
1) A sin x .dx; B
Bài 8: Cho F ( x ) a. sin 2 x b xác định a,b biết
2
F , 0 4 va
2
2
1
1
F , (x ) 4 va
x 1
1
-1
1
x
0
B x 3x 2 .dx
3
x.dx
x x2 1
4
Bài 2: : Tính các tích phân sau
1) A
4
x 2 .dx;
1
5) (ĐHKT HN 1997) I x 5 (1 x 3 ) 6 .dx;
1
Bài 3: Tính các tích phân
A
2
1
A cos 5 x. sin 3 x.dx; B sin x. cos ( x )dx
4
0
3
dx
;
(a x 2 ) 2
0
4) I
0
2
2
x5
.dx;
x2 1
3) (ĐHTM 1995) I
dx
tgx.dx
;B
2
sin x cos x 1
cos x sin x. cos x
0
F ( x).dx 3
2) A
0
Bài 2 Tính tích phân bằng phương
pháp
đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
6
2
sin 2 x.dx
1 sin 4 x
0
3) (ĐHQGTPHCM 1998) I
4) (CĐHQ TPHCM 1999)
1
2
19
1) (ĐHNN1 HN 1999) A x(1 x) .dx;
I
0
0
5
cos x.dx
11 7 sin x cos
2
x
http://ebooktoan.com/forum
5) (HVKTQS 1996)
2
I
4
7) A sin x cos x dx ; B
3
3
2
sin x sin x .
. cot gx.dx
sin 3 x
sin x cos x
0
8) A
x. sin x.dx
6) (ĐH Y Dược TPHCM 1995) I
9 4 cos 2 x
0
2
sin x. cos 3 x.dx
1 cos 2 x
0
7) (HVBCVT HN 1998) I
4
4
3
x dx
sin 3 x
dx
cos 3 x
0
6
3
2
9) A 1 tg 2 x dx ; B
1 tg x
0
4
sin x sin
0
sin 2 x
dx ; B
cos 6 x
3
6
cos 3 x
dx
sin 4 x
6
2
sin x cos x
sin 2 x
10) A
dx ; B
dx
cos x.dx
1 cos 2 x
2 sin 2 x
8) (CĐSP TPHCM 1997) I
0
0
6 5 sin x sin 2 x **Đổi biến hàm mũ logarit cơ bản***
0
e
9) (HVNH HN 1998) I x.sin x. cos 2 x.dx
11) A
1) A
1
1
2 ln x .dx
1
2 x
;B
. ln
.dx
2
2x
2 x
4 x
0
ln 2
2) (ĐH CĐoàn 1999) I
12) A
dx
ln
14) A
dx
3) (ĐH Y HN 1999) I 2 x
e ex
0
ln 2
4) A e x .dx; B
0
0
0
1) A
0
x
x 1
e
15) A
e 2x 3e x
.dx
e 2x 3e x 3
16) A
.dx; B 3 1 x .dx;
3) A
1
4
6
4) A
1
x2
2 x x dx; B 6
dx;
x 1
0
2
x x
2
4
; B
e
x
x
1
0
3
2) A
4
2
6) A 1 4 sin x cos .dx; B e cos x . cos x dx
0
1
2
e x e x
0
ln 13
ln 5
e x dx
(3 e x ) e x 1
1 x
ln
dx ;
1 x
4
dx
dx
dx ; B
2
2
2
sin x. cos x
0 cos x 4 cos x sin x
2
2
1) A x. cos x.dx;
2
6
0
3
5) A cot gx .dx ; B sin x .dx
1 3 cos x
0
6
e x dx
Bài 1: Tính các tích phân sau
dx;
**Đổi biến hàm lượng giác cơ bản***
4
1
Bài 3 Tính tích phân bằng phương
pháp
tích phân từng phần
1
dx
ex 1
ln 2
( x 1) dx
; B
x (1 xe x )
1 x
17) A
0
4
(ln x ) 3 1 ln 2 x dx
1
x
dx
dx
; B
x
e e x
0
x
2) A x 3 1 x dx; B 2
dx;
x x 1
0
1
6
1
2
3
1
2
1
1
1
x
; B
e
**Bài tập tổng hợp ** * *
Bài 5: Tính các tích phân sau (Tham khảo)
**Đổi biến dạng luỹ thừa cơ bản***
3
3
1
1
1 e
0
ex 1
0
2 ln 2
dx
1 ln 2 x
1
dx
1 x cos 2 (1 ln x ) ; B
e
1
13) A
dx
x
e4
Bài 4: Tính các tích phân sau
e
1
0
e
1 ln x
dx ; B
x
B x 2 . cos x.dx
0
x.dx
;
sin 2 x
2
B e x . cos 3 x.dx
0
e
2x
2
3) A e sin x.dx; B cos(ln x).dx
0
6
0
http://ebooktoan.com/forum
e
ln 2
4) A
x.e
x
1
2
3
.dx; B ln x.dx
0
1
2
2
5) A x. ln x.dx; B x. ln( x 1).dx
0
ln x
6) A (1 ln x ) .dx; B 2 .dx
1
1 x
sin 2 x
cos 2004 x
.
dx
;
B
0 cos 2004 x sin 2004 x .dx
1 sin 4 x
0
1
1
.dx;
2
ln
x
ln
x
e
2) A
e
8) A e x dx ; B (1 ln x ) 2 dx
3) A
1
9) A ( x x 1) ln x .dx ; B x. sin x. cos xdx
3
2
1
0
2
1 x ) dx ; B
11) A
2
4
( x ) dx
2
4
x sin x
x dx ; B
dx
1 cos x
12) A
e
0
0
1
2
4
3) A x 2 . sin 9 x.dx; B
3
e2
2
e
2
2) A x. sin 3 x.dx; B sin(sin x nx).dx
2
sin
0
0
2
cos
0
1) A sin x.sin 2 x. sin 3 x. cos 5 x.dx;
2
3
sin 2 x.dx
3x 1 ;
Bài 3: Tính các tích phân sau
2
e
ln( x
x. sin x
x. sin x
.dx; B
.dx
2
2
3
cos
x
1
cos
x
0
0
7) A
10) A
2
1) A
e2
1
4
2
2
2
2
4
1
2
Bài 2: Tính các tích phân sau
0
e
sin 3 x
1 x
.dx
.dx; B
1 cos x
1 x
2) A x 2 . ln
1
e
2
ln(ln x )
ln x
dx ; B
dx
x
x
1
1
2
4
Bài 4: (Một số đề thi )
1
1) (ĐHPCCC 2000) Tính I
Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau:
2
2
1) (ĐHBKTPHCM 1995) I x. cos x.dx
2) (ĐHGT 2000 )Tính I
0
x cos x
.dx
2
x
4 sin
1
2) (ĐHQG TPHCM 2000) I e x sin 2 (x).dx
2
3) (ĐHQG HN 1994) Tính I x. sin 3 x.dx
0
e
0
3) (CĐKS 2000) I (2 x 2). ln x.dx
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính I
1
4
sin 2 x
3 x 1 .dx
1
4) (ĐHSPHN2 1997) I 5e x . sin 2 x.dx
5) (HVBCVTHN 1999)Tính I
0
2
x4
x .dx
11 2
6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số
5) (ĐHTL 1996) I e x . cos 2 x.dx
f (tgx ) neu 0 x 2
g ( x)
f (0) neu x
2
0
6) (ĐH AN 1996) I x 2 . sin x.dx
0
Bài 4 Một số dạng tích phân đặc
biệt
a) CMR g(x) liên tục trên 0;
2
Bài 1: Tính các tích phân sau
1
2
1) A x 5 cos 2 x.dx; B x 3 e x .dx
1 x2
.dx
1 2x
1
2
( x 7 x 5 x 3 x 1)dx
cos 4 x
1
7
http://ebooktoan.com/forum
4
8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số
2
b) CMR : g ( x ).dx g ( x ).dx
4
0
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
3
0
x 2 .dx
1) A
;
9
2 (1 x)
2
B
x
dx
;
3x 2
2
1
4
2
x 3 dx
;
10
2 ( x 1)
( x 2 x 2.dx
;
x3 1
1
2) A
3x 2 3 x 3
.dx
x 3 3x 2
1
x 5 .dx
9) (ĐHTM 1995) I 2
x 1
0
Tính I
10) (ĐH Thái Nguyên 1997)
B
2
3)
(2 x 3 10 x 2 16 x 1).dx
;
x 2 5x 6
1
1
dx
;
2
2
0 ( x 3) ( x 1)
1
0
( x 3 3 x 2 x 6).dx
(7 x 4)dx
1 x 3 5x 2 6 x ; B 1 x 3 3x 2 ;
5) A
1
2
x2
A
B
( x 2)
Tính I
.dx
2
2
2
( x 1)
( x 1)
x 1
2 ( x 1)
x
12) Cho hàm số f ( x )
2
( x 1) ( x 1) 3
a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao
cho
2
dx
dx
; B 4
;
2
2
x 2x x
x
4
x
3
1
3
1
( x 3 x 2 4 x 1).dx
x 3 .dx
6) A
;
B
0 ( x 8 4) 2 ;
x4 x3
1
2
7) A
1
3
8) A
3
x 5 dx
x6 x3 2 ; B
3
3
1
0
2 x 2 2 x 13
dx ;
( x 2 )( x 2 1) 2
Bài 2: (Một số đề thi)
3
1) (CĐSP HN 2000): I
f ( x )dx
Tính
3x 2
2
f ( x)dx
2
Bài 6 Tích phân các hàm số lượng
giác
Bài 1: Tính các tích phân sau
3
2
dx
tgx.dx
; B
2
1 sin x cos x
cos x sin x. cos x
0
1) A
2
1 x
Ax 2 Bx C
dx
dx
D
E
2
x 1
x 1
( x 1)( x 2)
3
b)
4
dx
(1 x ).dx
; B
;
6
2
4
x ( x 1)
1 x.( x 1)
4
1
x
x
3
B
2
HD : t
11) Xác định các hằng số A,B để
1
4) A
(1 x 2 ).dx
x4 1
I
1
A
3 x 2 3x 3
A
B
C
3
2
x 1 x 2
x 3 x 2 ( x 1)
A,B,C để
.dx
6
0
3
1
dx
2) (ĐHNL TPHCM 1995) I 2
x 5x 6
0
3
2) A
tg 4 x.dx
0 cos 2 x ; B ( cos x sin x ).dx
6
1
x
3) (ĐHKT TPHCM 1994) I
.dx
(1 2 x) 3
0
1
( x 3 2 x 2 10 x 1).dx
x 2 2x 9
0
4
( x sin x)dx
; B sin 2 x. cos 2 2 x.dx
1
cos
x
0
0
3) A
4) (ĐHNT HN 2000) I
1
(4 x 11).dx
5) (ĐHSP TPHCM 2000) I 2
x 5x 6
0
1
3.dx
6) (ĐHXD HN 2000) I 3
x 1
0
2
4) A
0
x. cos x.dx
;
1 sin 2 x
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
2
I
1
dx
7) (ĐH MĐC 1995 ) I 4
x 4x 2 3
0
2
2
sin 2 x.dx
sin 2 x.dx
; va J
4
x
cos 4 x 1
0
1 sin
0
2) (ĐHSP TPHCM 1995)
8
http://ebooktoan.com/forum
Cho
f ( x)
3
sin x
sin x cos x
13) (ĐHGT TPHCM 2000) Tính I
a) Tìm A,B sao cho
6
cos x sin x
f ( x ) A B
cos x sin x
14) (ĐHNN1 HN 1998) Tính
2
3
I
b) Tính I f ( x ).dx
0
1 sin 2 x cos 2 x.
.dx
sin x cos x
6
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
2
a) CMR
4
3
2
4
4
cos x.dx
sin x.dx
4
4
x sin x 0 cos 4 x sin 4 x
15) (ĐHT HN 1999) Tính I
cos
0
2
dx
x
sin
2
2
16) (ĐHNT HN 1994b) Tính I
4
cos x.dx
cos 4 x sin 4 x
0
b) Tính I
dx
4) (ĐH Công Đoàn 1999): Tính I
1 sin 2 x
0
3
1 sin x .dx
2
17) (ĐHQG TPHCM 1998) I cos 3 x. sin 2 x.dx
0
4
sin 4 x.dx
1 cos 2 x
0
5) (HVKTQS 1996):Tính
I
0
2
2
sin 2 x.dx
cos 6 x
18) (HVNH TPHCM 2000) I
sin 3 x sin x
. cot gx.dx
sin 3 x
2
(3 sin x 4 cos x )dx
3 sin 2 x 4 cos 2 x
0
19) (ĐHLN 2000) I
6) (ĐHTS 1999) Tính :
3
2
dx
sin
x
.
sin
x
6
6
20) (ĐHMĐC 2000) I
I sin x. cos x.(1 cos x ) 2 .dx
0
4
dx
cos 4 x
0
7) (ĐHTM HN 1995) Tính I
21) (ĐHBK HN 1999)
sin 2 x
(2 sin x) 2
A. cos x
B. cos x
a) Tìm A,B để h( x)
2
(2 sin x )
2 sin x
Cho hàm số h( x)
4
4. sin 3 x.dx
8) (HVKTQS 1999):Tính I
1 cos 4 x
0
0
2
b) Tính I h( x).dx
cos 2 x.dx
1 cos x
0
9) (ĐHNN1 HN Khối B 1998) I
2
sin 3 x.dx
10) (ĐHQGHN Khối A 1997) I
1 cos 2 x
0
2
22) (ĐHBK HN 1998)
2
I cos 2 x.(cos 4 x sin 4 x).dx
11) (ĐHQG TPHCM Khối A 2000) Tính :
0
2
4
I sin 4 x.dx
23) (ĐHTM HN 2000) I
0
3
0
12) (ĐHTL 1997) Tính: I 1 cos 2 x .dx
0
24) (HVKTMM 1999) I
6
9
4. sin x.dx
(sin x cos x) 3
dx
sin x. cos x
4
http://ebooktoan.com/forum
25) (ĐHTCKT HN 1996)
2
2) (ĐH BKHN 1995) I
2
sin x 7 cos x 6
I
.dx
4 sin x 3 cos x 5
0
3
1
3) (HVKTQS 1998) I
dx
1 x
1
26) (ĐHBKHN 1996) I x. cos 2 x.dx
4
4) (ĐHAN 1999) I
0
x2 9
7
1
27) (ĐHCĐ 1999) I (2 x 1). cos 2 x.dx
5) (ĐHQG HN 1998) I x 3 . 1 x 2 .dx
0
0
3
( x sin x).dx
28) (HVNH TPHCM 2000) I
cos 2 x
0
Bài 7 Tích phân các hàm số vô tỉ
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản) Tính các tích
phân sau :
2a
1) A x15 . 1 3 x 8 .dx; B x. 2a x 2 .dx (a 0)
2)
2
2
dx
2
0
x(1 x )
1
0
2
dx
x2 x 1
1
1
4) A
( a 0)
dx
; B
0
2
2
5) A
1
0
; B
2
x3 1
4
7
8) (ĐHTM 1997) I
x 1
0
x 3 .dx
3
1 x2
x
1 x
0
8) (*) A
1
3
9) (ĐHQG TPHCM 1998) I
0
0
; (*)B
0
1
dx
e 3
0
1) (ĐHCĐ 2000) I
1
dx
e ex
0
2) (ĐHY HN 1998) I
0
ln 3
3) (HVQY 1997) I
dx
ex 1
2
( x 1 2)dx
x 2 2x 1 x 1
1
e x dx
e x 1
0
6) (ĐHQG TPHCM 1996) I
ln 2
2
x 2 x 2 .dx
7) (ĐHBK HN 2000) I
e 2 x .dx
ex 1
0
1
x2 1
dx; B
x
2
5) (ĐHKT HN 1999 ) I e sin x . sin x. cos 3 x.dx
0
0
9) A 4 x dx; B
2x
0
***đổi biến lượng giác ****
2
2x
4) (ĐHAN 1997) I x.e 2 x .dx
x 1 dx
;
x 1 x 1
1
2x 1
2
dx
2x 1
; B3
x.dx
Bài 8 Tích phân các hàm số siêu việt
0
3
dx
8
0
7
2
x dx
x x 2 1.dx
x. x 1
3
1
( x 2 1).dx
0
2 2
dx
1
6) A
10) A
1
7) (ĐHXD HN 1996) I
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1 x .dx
dx
; B
2
x
x2
1 x 4
2
x. x 3 1
1
( x 1)( x 2)
1
2
1
7) A
dx
6) (ĐHSP2 HN 2000) I
1
4
A x . a x .dx; B
3) A
2
0
a
x2 1
dx
x.
2
0
x. x 2 1
2
2
1
dx
1
1
1 x2
.dx
x2
2
Bài 2: (Một số đề thi )
2
x
1) (HVQY 1997) I x.e 2 .dx
0
Bài 2: (Một số đề thi )
1
1
1) (HVNH THCM 2000) I
0
3
x .dx
dx
e 1
0
2) (ĐHQG HN 1998 ) I
x x2 1
10
x
http://ebooktoan.com/forum
4
6
1) A
B
e
ln x.3 2 ln 2 x
3) (PVBC&TT 1999) I
.dx
x
0
e
4) (ĐHNN1 HN 1998) I
0
ln 2
5) (ĐHTM 1997) I
0
ln 2
6) (ĐHTM 1998) I
(1 e x ) 2 .dx
e 2x 1
(1 e x )dx
ex 1
5.dx
x
5
e
0
sin xdx
sin x cos x
0
1
2
2
2
1) A x 1.dx; B x 2 x 3 .dx
0
0
Chương 3:
Một số ứng dụng của
tích phân
Bài 1 Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
2
3
y sin x. cos x; y 0 va x 0; x
2 x 1 x .dx;
5
3
x 3 .dx
x 4 1
5
3) I
5
4) I x 2 4 x 3 x 2 4 x .dx
0
2
1
2
Bài 2: Tính tích phân sau :
y x 2 2 x; y 3x
5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
y x2;
y x 2 4x 3 ; y 3 x
cot gx tgx .dx;
7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
8
y x2; y
2) I cos 3 x. sin 3 x sin 3 x. cos3 x .dx;
0
3) I cos 3 x. cos 3 x sin 3 x. sin 3 x .dx;
4
Bài 3: (Một số đề thi)
2
1) (ĐHL 1995) I
x y2
6) (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn bởi
3
8
1) I
2
2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn
bởi y e x ; y e x va x 1
3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
3x
12 x
y 1 2 sin 2
; y 1
va x 0; x
2
2
4) (HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
3
1
x 2 2 .dx; B x 3 4 x 2 4 x .dx;
x
0
2
0
2
1
A
B cos 2 x. cos 2 x.dx
cos 2 xdx
3) A
sin 2 x
0
1
2) I
x
6
Bài 9 Tích phân các hàm số chứa
giá
trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản)
4
x
e .dx
e ex
0
2) A
cos xdx
sin x cos x
0
1 sin x .dx;
0
3
2) (ĐHTL 2000) I x 3 2 x 2 x .dx;
8) (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn
bởi y x 2 1 ; y x 5
9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
hình phía dưới (P) : y=ax2 (a>0) và trên
y=ax+2a
10) Tính diện tích giới hạn bởi
( P) : y x 2 4 x 3 và 2 tiếp tuyến tại các
điểm A(0;-3) và B(3;0)
11) (ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
y ( x 1) 5 x; y e x va x 1
0
Bài 10 Tính tích phân bằng tích
phân phụ trợ
x2
8
va y
8
x
12) Tính diện tích giới hạn bởi
y sin 3 x; y cos 3 x va truc Oy voi 0 x
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
11
4
http://ebooktoan.com/forum
13) (HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
y 0; (C) : y x 3 2 x 2 4 x 3 và tiếp
tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành
độ x=2
14) (ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
y
6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi
xoay khi D quay quanh trục Ox
(HVKTQS 1995) Tính thể tích do D quay
quanh Ox
D y 0; y 1 cos 4 x sin 4 x ; x ; x
7)
4x
(C ) và Ox, hai đường thẳng có
x 1
4
phương trình x=1; x=-1
*****Một số bài tham khảo************
1) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
(C ) : y x 2 trục Ox và đường thẳng có
phương trình x=2
2) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
D y x 2 ; y x Tính thể tích vật thể tròn
2
8) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới
hạn bởi các đường
y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ 1 )
9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi
hình ( E ) :
1
(C ) : y .x 2 2 trục Ox và 2 đường thẳng
2
( x 4) 2 y 2
1
4
16
quay quanh trục
Oy
có phương trình x=1 và x=3
10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới
3) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
1
x2
2
hạn
bởi
D
y
;
y
(C ) : y x trục Ox và đường thẳng có
2
x2 1
phương trình x=2, y=x
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
( P) : y 2 2 x và đường thẳng có phương trình
quanh Ox
y=2x-2
11)
(ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn
5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
bởi D y 2 (4 x) 3 ; y 2 4 x
( P1 ) : x 2 y 2 va (P2 ) : x 1 3 y 2
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
Bài 2 Thể tích của các vật thể
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới
quanh Ox
hạn bởi D y tgx; x 0; x ; y 0
12) (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số
3
(C ) : y x.( x 1) 2
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay
b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0)
quanh Ox
đến (C)
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
c) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh
phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi
2
Ox
trục Ox và (P) y=x -ax (a>0)
3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn 13) Cho miền (H) giới hạn bởi đường cong
y=sinx và đoạn 0≤ x ≤ của trục Ox . Tính
xoaydo hình phẳng
thể tích khối tròn xoay khi (H) quay quanh
S y x. ln x; y 0; x 1; x e
a) Trục Ox
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh
2
2
b) Trục Oy
x
y
ra bởi ( E ) : 2 2 1 khi nó quay quanh Ox
a
b
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G
giới hạn bởi y= 4-x2; y=x2+2 .Quay hình
phẳng (G) quanh Ox ta được một vật thể.
Tính thể tích vật thể này
Chương 4:
Giới thiệu đề thi ĐH-CĐ
(từ năm 2002 trở lại )
Năm 2002
12
http://ebooktoan.com/forum
1) Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y x 2 4 x 3 va y x 3
2) Khối B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y 4
x2
x2
va y
4
4 2
Năm 2003
2 3
1) Khối A: Tính tích phân I
5
dx
x x2 4
4
2) Khối B: Tính tích phân I
(1 2 sin 2 x )dx
0 1 sin 2 x
2
3) Khối D: Tính tích phân I x 2 x .dx
0
Năm 2004
2
1) Khối A: Tính tích phân I
1
e
2) Khối B: Tính tích phân I
1
3
x.dx
1 x 1
1 3 ln x . ln xdx
x
3) Khối D: Tính tích phân I ln( x 2 x).dx
2
********** Hết ***************
13
- Xem thêm -
.PDF 
13 
263 
64 
