SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH DƯƠNG
BỘ ĐỀ THI THỬ VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
KÌ THI QUỐC GIA NĂM 2016
MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2015–2016
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
1
MỤC LỤC
MỤC LỤC .................................................................................................................... 1
ĐỀ 1 .............................................................................................................................. 2
ĐỀ 2 .............................................................................................................................. 9
ĐỀ 3 ............................................................................................................................ 14
ĐỀ 4 ............................................................................................................................ 19
ĐỀ 5 ............................................................................................................................ 23
ĐỀ 6 ............................................................................................................................ 27
ĐỀ 7 ............................................................................................................................ 32
ĐỀ 8 ............................................................................................................................ 37
ĐỀ 9 ............................................................................................................................ 42
ĐỀ 10 .......................................................................................................................... 49
ĐỀ 11 .......................................................................................................................... 54
ĐỀ 12 .......................................................................................................................... 60
ĐỀ 13 .......................................................................................................................... 66
ĐỀ 14 .......................................................................................................................... 71
ĐỀ 15 .......................................................................................................................... 77
ĐỀ 16 .......................................................................................................................... 82
ĐỀ 17 .......................................................................................................................... 88
ĐỀ 18 .......................................................................................................................... 95
ĐỀ 19 .......................................................................................................................... 98
ĐỀ 20 ........................................................................................................................ 104
ĐỀ 21 ........................................................................................................................ 109
ĐỀ 22 ........................................................................................................................ 114
ĐỀ 23 ........................................................................................................................ 120
ĐỀ 24 ........................................................................................................................ 125
ĐỀ 25 ........................................................................................................................ 129
ĐỀ 26 ........................................................................................................................ 134
ĐỀ 27 ........................................................................................................................ 138
ĐỀ 28 ........................................................................................................................ 143
ĐỀ 29 ........................................................................................................................ 148
ĐỀ 30 ........................................................................................................................ 153
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
2
ĐỀ 1
Câu 1. (1.0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
2x +1
.
x −1
Câu 2.(1.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =
2
+ ln x trên đoạn [1;e] .
x
Câu 3. (1.0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z + z = 10 − 4i . Tính môđun của z .
2 − log 2 x
4
+
=1.
log 2 4 x log x
2
2
5
dx
Câu 4. (1.0 điểm) Tính tích phân I = ∫
.
1 x 3x + 1
b) Giải phương trình
x − 2 y −1 z −1
=
=
và
1
−1
2
điểm A ( −2;1;0 ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
Câu 5. (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
sao cho MA = 11 .
Câu 6. (1.0 điểm)
2
a) Giải phương trình sin 2 x = sin 3x + cos 2 x ( cos 2 x − 1) .
b) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn Cn0 − 2Cn1 + An2 = 109 . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
1
của x 2 + 4 ( x ≠ 0 ) .
x
Câu 7. (1.0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của đỉnh A ' lên mặt (ABC) là trung điểm của cạnh BC; góc giữa cạnh bên AA ' và mặt phẳng
(ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khố i lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp A '. ABC .
Câu 8. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh A ( 2; 2 ) . Biết
điểm M ( 6;3) thuộc cạnh BC và điểm N ( 4;6 ) thuộc cạnh CD, hãy tìm tọa độ đỉnh C.
9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) + 4 xy = 7 x
Câu 9. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình
( 2 y − 6 ) x + 4 − ( y − 5 ) 2 x + 3 = 3 ( y − 1)
( x, y ∈ ℝ ) .
Câu 10. (1.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương khác nhau đôi một thỏa mãn xy + yz = 2 z 2 và
2x ≤ z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
y
z
P=
+
+
.
x−y y−z z−x
–––––––– HẾT –––––––––
Câu
Đáp án
Điểm
2x +1
1,00
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
1
x −1
•
Tập xác định D = ℝ \ {1} .
•
Sự biến thiên của hàm số
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
+ y' =
−3
( x − 1)
2
3
< 0, ∀x ∈ D
+ Hàm số nghịch biến trên mỗ i khoảng ( −∞ ;1) và (1; + ∞ ) .
+ Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn và tiệm cận
lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.
x →1
0,25
x →1
lim y = lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang.
x →−∞
x →+∞
+ Bảng biến thiên
x −∞
y'
1
+∞
−
−
2
0,25
+∞
y
2
−∞
• Đồ thị
x = 0 ⇒ y = −1
y =0⇒ x =−
1
.
2
0,25
Nhận xét. Đồ thị nhận giao điểm I (1;2 ) làm tâm đối xứng.
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =
2
+ ln x
x
1,00
trên đoạn [1; e]
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [1; e] .
Ta có f ' ( x ) = −
0,25
2 1 x−2
+ = 2
x2 x
x
f '( x) = 0 ⇔ x = 2
0,25
Ta có f (1) = 2 , f ( 2 ) = 1 + ln 2 , f ( e ) =
2
+ 1.
e
Vậy max f ( x ) = 2 , khi x = 1 ; min f ( x ) = 1 + ln 2 , khi x = 2 .
0,25
0,25
a)Tính môđun của z
0,50
x∈[1; e]
x∈[1;e ]
3
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ,
Gọi
4
ta
có
(1 − 2i ) z + z = 10 − 4i
⇔ (1 − 2i )( a + bi ) + a − bi = 10 − 4i ⇔ a + b − ai = 5 − 2i
a + b = 5 a = 2
⇔
⇔
a = 2
b = 3.
Vậy môđun của số phức z là z = 2 2 + 32 = 13 .
b) Giải phương trình
2 − log2 x
4
+
=1
log2 4 x log x
2
2
0,25
0,25
(1)
x > 0
Điều kiện
1
x ≠ 4 , x ≠ 2.
2 − log 2 x
4
+
=1
(1) ⇔
2 + log 2 x log 2 x − 1
0,50
0,25
Đặt t = log 2 x ( t ≠ −2, t ≠ 1) , ta có
2−t
4
+
= 1 ⇔ t 2 − 3t − 4 = 0
2 + t t −1
1
x=
log 2 x = −1
t = −1
⇔
⇔
⇔
2
t = 4
log 2 x = 4
x = 16.
1
Vậy nghiệm của phương trình là x = ; x = 16 .
2
5
4
Tính tích phân I = ∫
1
dx
x 3x + 1
t2 −1
2
⇒ dx = tdt
3
3
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 4 .
Đặt t = 3 x + 1 ⇒ x =
4
0,25
1,00
0,25
0,25
4
2dt
1
1
Khi đó I = ∫ 2
= ∫
−
dt
t +1
2 t −1
2 t −1
0,25
4
t −1
9
= ln
= ln .
5
t +1 2
5
•
Viết phương trình mặt phẳng (P)
Đường thẳng d qua điểm B ( 2;1;1) và có một VTCP u = (1; −1; 2 ) .
Ta có BA = ( 4;0;1) , suy ra mặt phẳng (P) có một VTPT n = u , BA = ( −1;7; 4 ) .
0,25
1,00
0,50
0,25
Mặt khác, (P) qua A nên có phương trình x − 7 y − 4 z + 9 = 0 .
0,25
Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho AM = 11
Do M ∈ d ⇒ M ( 2 + t ;1 − t ;1 + 2t ) , ta có AM = ( t + 4; −t;1 + 2t )
0,50
•
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
5
2
2
Mặt khác AM = 11 ⇔ AM 2 = 11 ⇔ ( t + 4 ) + t 2 + (1 + 2t ) = 11
⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ M (1; 2; −1) .
0,25
Vậy điểm cần tìm là M (1; 2; −1) .
6
1,00
a)
2
(1)
Giải phương trình sin 2 x = sin 3x + cos 2 x ( cos 2 x − 1)
(1) ⇔ cos 2 2 x − sin 2 2 x − cos 2 x + sin 3x = 0
⇔ −2sin 3x sin x + sin 3x = 0
⇔ cos 4 x − cos 2 x + sin 3 x = 0
⇔ sin 3x (1 − 2sin x ) = 0
π
x = k 3
sin 3 x = 0
π
⇔
⇔ x = + k 2π
1
sin x =
6
2
x = 5π + k 2π
6
0,25
π
π
5π
; x = + k 2π ; x =
+ k 2π
3
6
6
1
b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của x 2 + 4
x
⇔ 1 − 2.
(k ∈ℤ) .
n
( x ≠ 0)
0,50
( n ∈ ℕ, n ≥ 2 )
n!
n!
+
= 109 ⇔ n 2 − 3n − 108 = 0 ⇔ n = 12.
( n − 1)! ( n − 2)!
12
0,25
k
12
12
12− k 1
1
Khi đó, ta có x 2 + 4 = ∑ C12k ( x 2 ) 4 = ∑ C12k x 24 −6 k
x
x
k =0
k =0
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn 24 − 6k = 0 ⇔ k = 4 .
Vậy số hạng không chứa x là C124 = 495 .
7
•
0,25
( k ∈ ℤ)
Vậy nghiệm của phương trình là x = k
Ta có Cn0 − 2Cn1 + An2 = 109
0,50
Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C '
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
1,00
0,50
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
6
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng (ABC) thì H là trung điểm của
BC.
Do AH là hình chiếu vuông góc của AA ' lên mặt phẳng (ABC) nên ta có
AA ', ( ABC ) =
AA ', AH =
A ' AH = 600 .
(
) (
)
a 3
a2 3
∆ABC là tam giác đều cạnh a nên AH =
và S ∆ABC =
.
2
4
A'
0,25
C'
d
B'
M
d'
J
K
A
60°
C
a
I
H
B
∆A ' HA vuông tại H, ta có A ' H = AH .tan 600 =
3a
.
2
0,25
a 2 3 3a 3a 3 3
. =
.
Thể tích khố i lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V = S∆ABC . A ' H =
4
2
8
•
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A '. ABC
0,50
Gọi I là tâm và d là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì I là trọng tâm của ∆ABC .
Gọi J là tâm và d’ là trục đường tròn ngoại tiếp ∆A ' BC ; do ∆A ' BC cân tại A ' nên
J ∈ A' H .
Vì d , d ' cùng nằm trong mặt phẳng ( A ' HA ) và không song song nên cắt nhau tại K.
0,25
K ∈ d ⇒ KA = KB = KC
Ta có
⇒ KA = KB = KC = KA ' .
K ∈ d ' ⇒ KA ' = KB = KC
Suy ra K là tâm và R = A ' K là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A '. ABC .
Gọi M là trung điểm của A ' B thì JM ⊥ A ' B (do JA ' = JB ).
Xét hai tam giác vuông đồng dạng A ' MJ và A ' HB , ta có
9a 2 a 2
+
A' J A' M
A ' B 2 A ' H 2 + BH 2
4 = 5a .
=
⇒ A'J =
=
= 4
A' B A' H
2A' H
2A' H
3a
6
Tứ giác IHJK là hình chữ nhật nên ta có JK = HI =
1
a 3
AH =
.
3
6
∆A ' JK vuông tại J, ta có
R = A ' K = A ' J 2 + JK 2 =
25a 2 3a 2 a 7
+
=
.
36
36
3
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A '. ABC là S = 4π R 2 =
8
0,25
28π 2
a .
9
Tìm tọa độ điểm C
1,00
9
Gọi I là trung điểm của đoạn MN thì I 5; .
2
0,25
∆CMN vuông tại C nên C thuộc đường tròn (T ) tâm I, đường kính MN.
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
7
Gọi E là giao điểm của AC và (T ) ; do CA là đường phân giác trong của góc MCN
không chứa C (E, A cùng phía đố i với
nên E là điểm chính giữa cung MN
MN).
Suy ra E là giao điểm của (T ) và đường trung trực của đoạn MN.
Ta có MN = ( −2;3) ⇒ MN = 13 .
2
9 13
Phương trình đường tròn (T ) có dạng ( x − 5 ) + y − = .
2
4
Gọi ∆ là đường trung trực của đoạn MN thì ∆ qua I và nhận MN làm một VTPT.
Phương trình đường thẳng ∆ có dạng 4 x − 6 y + 7 = 0 .
2
Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình
9
2
2
9 13
x − 5) =
2
(
( x − 5 ) + y − =
4
2
4 ⇔
4 x − 6 y + 7 = 0
y = 4x + 7
6
13
x = 2
⇔
hoặc
y = 11
2
N
D
0,25
C
I
7
x = 2
y = 7 .
2
0,25
E
M
A
B
7 7
Vì E, A cùng phía đối với MN nên ta chọn E ; .
2 2
Phương trình đường thẳng AE là x − y = 0 .
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
2
9 13
2
x
−
5
+
y
−
7
(
)
=
⇔ x = y = 6 hoặc x = y = (tọa độ của E).
2
4
2
x − y = 0
0,25
Vậy C ( 6;6 ) .
9
9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) + 4 xy = 7 x
Giải hệ phương trình
( 2 y − 6 ) x + 4 − ( y − 5 ) 2 x + 3 = 3 ( y − 1)
(1)
( 2)
1,00
x ≥ 0, y ≥ 0
Điều kiện 2
9 y + ( 2 y + 3)( y − x ) ≥ 0.
Xét x = y = 0 : không thỏa hệ phương trình.
Xét x > 0, y > 0 :
(1) ⇔
⇔
(
) (
9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) − 3x + 4
9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) − 9 x 2
9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) + 3 x
+
)
xy − x = 0
4 ( xy − x 2 )
xy + x
=0
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
8
9 x + 11y + 3
4 x
⇔ ( y − x)
+
=0
9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) + 3 x
xy + x
9 x + 11y + 3
4x
⇔ x = y , do
+
> 0, ∀x, y > 0
xy + x
9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) + 3x
Với x = y :
( 2) ⇔ ( 2 x − 6 )
x + 4 − ( x − 5 ) 2 x + 3 = 3 ( x − 1)
a = x + 4 ( a ≥ 0 )
Đặt
b = 2 x + 3 ( b ≥ 0 ) .
0,25
Ta có 2x − 6 = b2 − 9 ; x − 5 = a2 − 9 ; x − 1 = − a 2 + b 2 .
Do đó
( 2) ⇔ (b2 − 9 ) a − ( a2 − 9 ) b = 3 (b2 − a 2 )
⇔ 3 ( a 2 − b 2 ) − ab ( a − b ) − 9 ( a − b ) = 0
0,25
⇔ ( a − b ) 3 ( a + b ) − ab − 9 = 0 ⇔ ( a − b )( a − 3)( 3 − b ) = 0
a = b
x =1
⇔ b = 3 ⇔ x = 3
a = 3
x = 5.
0,25
So sánh điều kiện, ta có nghiệm của hệ phương trình là ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3 ) , ( 5;5 )} .
10
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
Đặt
x = az
( a > 0, b > 0 ) ,
y
=
bz
ta
x
y
z
+
+
x−y y−z z−x
có
xy + yz = 2 z 2
2 x ≤ z
1,00
abz 2 + bz 2 = 2 z 2
⇔
2az ≤ z
2
b=
ab + b = 2
a +1
⇔
⇔
2a ≤ 1
0 < a ≤ 1 .
2
a
a
1
Khi đó P =
+
+
a − b b −1 1 − a
a
a
1
=
+
+
2
2
a−
−1 1 − a
a +1 a +1
0,25
0,25
a 2 − 2a − 6
= 2
.
a +a−2
Xét hàm số f ( a ) =
Ta có f ' ( a ) =
a 2 − 2a − 6
1
, a ∈ 0;
2
a +a−2
2
3a 2 + 8a + 10
(a
2
+ a − 2)
2
1
> 0, ∀ a ∈ 0;
2
1
Suy ra f ( a ) là hàm số đồng biến với mọ i a ∈ 0;
2
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
9
27
1
1 27
Do đó f ( a ) ≤ f =
hay P ≤ , ∀a ∈ 0;
5
2 5
2
1
z
a=
x=
27
2
2
Vậy max P = , đạt được khi
⇔
5
b = 4
y = 4z .
3
3
0,25
ĐỀ 2
Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x 4 − 5 x 2 + 4
2x +1
có đồ thị là (H). tìm trên đồ thị (H) những điểm M, biết rằng
x −1
tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B, IA = IB ( I là giao điểm của hai
đường tiệm cận).
Câu 3(1,0 điểm)
Câu 2 (1,0 điểm) Cho hàm số y =
a. Cho số phức z thỏa mãn: (1 + 2i ) z + 1 − 3i = 4 + 2i . Hãy tìm phần thực, phần ảo của số phức z
b. Giải phương trình: log 3 ( x − 1) + log 1 (2 x + 3) = −1
3
1
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( x + e 2 x ) xdx
0
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho điểm A (1; −2;3) và đường thẳng ∆ có
x = −1 + 2t
phương trình: y = 2 + t
z = −3 − t
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆ . Tìm tọa độ giao
điểm của đường thẳng ∆ với mặt phẳng (α )
Câu 6 (1,0 điểm)
a. Giải phương trình cos 3x + 2sin 2 x − cos x = 0
b. Cho n là số nguyên dương thỏa 5Cn1 = Cn3 . Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức
(2 + x)
n
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, hình chiếu
vuông góc của S lên mặt đáy trùng với trung điểm H của AD. SC = a 3; AB = BC = a; AD = 2a .
Góc tạo bởi đường SC và đáy là 600 . Tính thể tích khối chóp SABCD
3
;
2
A(2; −3); B (3; −2) . Tìm tọa độ điểm C biết C nằm trên đường thẳng d có phương trình:
3x − y − 4 = 0
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có diện tích là
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
10
8 x 3 y 3 + 27 = 18 y 3
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2
2
4 x y + 6 x = y
Câu 10 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình
CÂU
2 − x − 2 + x − 4 − x 2 = m có hai nghiệm phân biệt
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
4
2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − 5 x + 4
Tập xác định: D = ℝ
y ' = 4 x3 − 10 x
x = 0
10
y ' = 0 ⇔ x =
2
x = − 10
2
1
(1,0 điểm)
0,25
10 10
Hàm số đồng biến trên −
;0 ;
; +∞
2
2
10
10
Hàm số nghịch biến trên −∞; −
; 0;
2
2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCD = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±
0,25
10
9
; yCT = −
2
4
lim y = lim y = +∞
x →+∞
x →−∞
Bảng biến thiên
Đồ thị
0,25
0,25
2x +1
có đồ thị là (H). tìm trên đồ thị (H) những điểm M, biết rằng tiếp
x −1
tuyến với đồ thị (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B, IA = IB ( I là giao
điểm của hai đường tiệm cận).
Cho hàm số y =
Ta có y ' =
2
(1,0 điểm)
−3
( x − 1)
2
3
Gọi M x0 ; 2 +
∈(H )
x0 − 1
Tiếp tuyến d với đồ thị (H) tại M có dạng:
−3
3
y=
( x − x0 ) + 2 +
2
( x0 − 1)
x0 − 1
0,25
Các giao điểm của d với hai tiệm cận:
0,25
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
11
6
A 1; 2 +
; B ( 2 x0 − 1; 2 )
x0 − 1
Theo đề bài ta có:
x = 1− 3
IA = IB ⇔ 0
x0 = 1 + 3
Vậy có 2 điểm M cần tìm:
(
)
(
M 1 1 + 3; 2 + 3 ; M 2 1 − 3; 2 − 3
3a
(0,5 điểm)
0,25
)
0,25
Cho số phức z thỏa mãn: (1 + 2i ) z + 1 − 3i = 4 + 2i . Hãy tìm phần thực, phần ảo của số phức
z
3 + 5i 13 1
13 1
Ta có z =
= + i⇒ z= − i
0,25
1 + 2i 5 5
5 5
13
1
Phần thực:
; phần ảo: −
0,25
5
5
Giải phương trình: log 3 ( x − 1) + log 1 (2 x + 3) = −1
3
3b
(0,5 điểm)
Điều kiện: x > 1
Với điều kiện trên ta có phương trình:
log 3 ( x − 1) + log 1 (2 x + 3) = −1
0,25
3
⇔ log 3 3( x − 1) = log 3 (2 x + 3)
0,25
⇔x=4
1
Tính tích phân I = ∫ ( x + e 2 x ) xdx
0
1
1
0
0
I = ∫ x 2 dx + ∫ xe 2 x dx =
4.
(1,0 điểm)
Ta có
∫
1
0
1 1 2x
+ xe dx
3 ∫0
1
xe 2 x dx =
=
1 2x
1
xe
− e2 x
2
4
0
0,25
1
0
1 2 1
e +
4
4
0,25
0,25
2
Vậy: I =
e
7
+
4 12
0,25
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho điểm A (1; −2;3) và đường thẳng ∆ có phương
x = −1 + 2t
trình: y = 2 + t
z = −3 − t
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆ . Tìm tọa
độ giao điểm của đường thẳng ∆ với mặt phẳng (α )
5
→
∆ có vecto chỉ phương a = (2;1; −1)
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
(1,0 điểm)
12
(α ) ⊥ ∆ ⇒ vecto pháp tuyến của (α )
→
→
n = a = (2;1; −1)
0,25
Phương trình (α ) : 2 x + y − z + 3 = 0
Gọi M = ∆ ∩ (α ) . Tọa độ M là nghiệm hệ phương trình:
x = −1 + 2t
x = −3
y = 2 + t
y =1
⇔
z = −3 − t
z = −2
2 x + y − z + 3 = 0 t = −1
6a
(0,5 điểm)
0,25
Vậy: M (−3;1; −2)
0,25
Giải phương trình cos 3x + 2sin 2 x − cos x = 0
cos 3x + 2sin 2 x − cos x = 0
⇔ 2sin 2 x(1 − sin x) = 0
0,25
π
x = k 2
π
⇔
⇔x=k
2
x = π + k 2π
2
0,25
Cho n là số nguyên dương thỏa 5Cn1 = Cn3 . Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển
nhị thức ( 2 + x )
n
n = 7
Ta có: 5Cn1 = Cn3 ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 ⇔
n = −4
6b
(0,5 điểm)
0,25
Vì n ∈ ℤ + nên n = 7
7
Số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển nhị thức ( 2 + x ) là:
Tk +1 = C7k .27 −k .x k
0,25
7
Vậy hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức ( 2 + x ) là: 4C75
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, hình chiếu vuông
góc của S lên mặt đáy trùng với trung điểm H của AD.
SC = a 3; AB = BC = a; AD = 2a . Góc tạo bởi đường SC và đáy là 600 . Tính thể
tích khố i chóp SABCD
7
(1,0 điểm)
Hình vẽ
Ta có SH ⊥ ( ABCD )
⇒ HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
= 600
⇒ SC
, ( ABCD) = SCH
(
0,25
)
Xét tam giác SHC vuông tại H có:
SH = a 3
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
3a 2
2
0,25
a3 3
=
2
0,25
S ABCD =
Vậy: VSABCD
13
3
;
2
A(2; −3); B (3; −2) . Tìm tọa độ điểm C biết C nằm trên đường thẳng d có phương
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có diện tích là
trình: 3x − y − 4 = 0
Gọi C (a, b)
Ta có AB = 2
AB có phương trình: x − y − 5 = 0
8
(1,0điểm)
d (C, AB) =
a−b−5
0,25
2
3
⇔ a − b − 5 = 3 (1)
2
Vì C ∈ d ⇒ b = 3a − 4
(2)
a = 1
a = −2
Từ (1) và (2) ta có:
hay
b = −1
b = −10
Vậy có 2 điểm C cần tìm:
C1 (1; −1)
S ∆ABC =
0,25
0,25
0,25
C2 (−2; −10)
8 x 3 y 3 + 27 = 18 y 3
Giải hệ phương trình 2
2
4 x y + 6 x = y
3 3
3
8 x y + 27 = 18 y
2
2
4 x y + 6 x = y
3
3
3
( 2 x ) + = 18
⇔
y
2
2 x(2 xy + 3) = y
9
(1,0 điểm)
3
2 x + y = 3
⇔
2 x. 3 = 1
y
3− 5
2 x =
2
⇔
3 = 3+ 5
y
2
0,25
0,25
3+ 5
2 x =
2
hay
3 = 3− 5
y
2
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
3− 5
x =
4
Vậy:
y = 6
3+ 5
14
hay
3+ 5
x =
4
y = 6
3− 5
0,25
2 − x − 2 + x − 4 − x 2 = m có hai nghiệm phân biệt
Tìm m để phương trình
Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2
Đặt t = 2 − x − 2 + x
1
1
⇒t'=−
−
<0
2 2− x 2 2+ x
10
(1,0 điểm)
0,25
⇒ t ∈ [ −2; 2]
Phương trình trở thành: t 2 + 2t − 4 = 2m
0,25
Đặt g (t ) = t 2 + 2t − 4 với t ∈ [ −2; 2]
⇒ g '(t ) = 2t + 2
Bảng biến thiên của g(t) trên [ −2; 2]
0,25
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
5
−5 < 2m < −4 ⇔ − < m < −2
2
0,25
ĐỀ 3
1 4
x − 2x 2 + 3 (C)
4
Câu 2 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2 tại điểm có hoành
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
độ xo, biết f "( x o ) = −3
Câu 3 (1,0 điểm)
1) Giải phương trình: 32x +1 − 4.3x + 1 = 0
2) Tìm môđun của số phức z = (1 − 2i )( 2 + i )
2
ln 2
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
∫e .
x
5 − e x dx
0
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; –2), B(3;0; 1), C(–1; 2; 3).
Lập phương trình mặt phẳng (ABC). Lập phương trình mặt cầu (S) có bán kính R = 3, đi qua A và
có tâm thuộc trục Oy.
Bài 6 (1,0 điểm)
1) Giải phương trình: cos2x − cosx = 3 ( sin 2x + s inx )
2) Một hộp có 5 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu vàng và 8 viên bi màu xanh. Cùng một lần lấy
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất sao cho trong 3 viên bi lấ y ra không có viên bi nào là màu đỏ.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật và SA = AB = 2a. Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh AB, mặt bên (SCD) hợp
với đáy một góc 600. Hai đường thẳng MC và BD cắt nhau tại I. Tính theo a thể tích khố i chóp
S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
15
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;–2), trọng tâm G(0;1) và trực
1
tâm H ;1 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2
Bài 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình:
3x
2
−1 <
1
1 − x2
1− x
Bài 10 (1,0 điểm). Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx – xyz = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức F =
2x 2 + y 2
2y 2 + z 2
2z 2 + x 2
+
+
xy
yz
zx
Câu
Đáp án
Điểm
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên:
* Giới hạn vô cực: lim y = lim y = +∞
x →+∞
x →−∞
* Chiều biến thiên: Ta có: y’ = x3 – 4x
x = 0
y' = 0 ⇔
x = ±2
0,5
Hàm số đồng biến trên mỗ i khoảng (–2 ; 0), (2 ; +∞); nghịch biến trên mỗ i
khoảng (–∞ ; –2), (0 ; 2)
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại
x = ±2, yCT = –1
* Bảng biến thiên:
Câu 1.
(1,0
điểm)
3. Đồ thị: Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
0,5
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
16
f”(x) = 6x – 6; f”(xo) = –3 ⇔ 6xo – 6 = –3 ⇔ x o =
Câu 2.
(1 điểm)
Câu
(1,0
điểm)
1
2
9
1 11 1
yo = f = ; f ' = −
4
2 8
2
0,25
9
1 11
Pttt: y = − x − +
4
2 8
9
5
Hay: y = − x +
4
2
0,25
0,25
3x = 1
x = 0
1) 32x +1 − 4.3x + 1 = 0 ⇔ x 1 ⇔
3 =
x = −1
3
3.
2) z = (1 − 2i )( 2 + i )
0,5
2
= (1 − 2i ) ( 4 + 4i + i 2 ) = (1 − 2i )( 3 + 4i ) = 3 + 4i − 6i − 8i 2 = 11 − 2i
0,25
z = 11 − 2i ⇒ z = 112 + 2 2 = 5 5
0,25
Đặt t = 5 − e x . Tính e x dx = −2tdt
0,25
x =0⇒t =2
Câu 4. Đổi cận:
x = ln 2 ⇒ t = 3
(1,0
2
điểm)
2
2t 3
16
2
I = ∫ 2t dt =
= −2 3
3 3 3
3
AB = ( 2; −1;3) , AC = ( −2;1;5 ) , AB ∧ AC = ( −8; −16;0 )
Do đó: n = (1, 2, 0 ) là vectơ pháp tuyến của mp(ABC)
Câu 5.
(1,0
điểm)
0,25
(ABC): x + 2y – 3 = 0
Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Theo giả thiết I ∈ Oy nên I(0; y; 0)
y = 3
2
Do (S) có bán kính R = 3 và đi qua A nên IA = R ( y − 1) + 5 = 9 ⇔
y = 1
2
2
2
Với y = 3 ta có I(0; 3; 0) nên (S): x + (y – 3) + z = 9
Với y = 1 ta có I(0; 1; 0) nên (S): x2 + (y – 1)2 + z2 = 9
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
1) cos2x − cosx = 3 ( sin 2x + s inx )
⇔ cos2x − 3 sin 2x= 3 s inx + cosx ⇔
Câu 6.
(1,0
điểm)
1
3
3
1
cos2x −
sin 2x =
s inx + cosx
2
2
2
2
0,25
π
π
2π
2x + = x − + k2π
x=−
+ k2π
π
π
3
3
3
⇔ cos 2x + = cos x − ⇔
⇔
,k ∈ℤ
0,25
3
3
2x + π = − x + π + k2π
x = k 2π
3
3
3
2) Số phần tử của không gian mẫu: C320 = 1140
Gọi A là biến cố: “Trong ba viên bi lấy ra không có viên bi nào màu đỏ”
3
Số cách chọn 3 bi không có màu đỏ: C15
= 455
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
0,25
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
P (A) =
17
455
91
=
1140 228
0,25
Từ giả thiết SAB là tam giác đều cạnh 2a, SM là đường cao, SM = 2a.
Câu 7.
(1,0
điểm)
3
=a 3
2
Gọi N là trung điểm CD, ta có:
= 600
MN ⊥ CD;SN ⊥ CD ⇒ (
( SCD ) , ( ABCD ) ) = MNS
BC = MN =
SM
=a
tan 600
0,25
1
1
2a 3 3
Thể tích khố i chóp S.ABCD là: V = SM.SABCD = AB.BC.SM =
3
3
3
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SN
thì
MH ⊥ ( SCD ) ⇒ MH = d ( M, ( SCD ) )
MN.MS
MN.SM
a 3
MH =
=
=
2
2
SN
2
MN + SM
Từ giả thiết suy ra I là trọng tâm tam giác ABC
2
Kẻ IK // MH thì K ∈ CH, IK = MH, IK ⊥ ( SCD )
3
⇒ d ( K, ( SCD ) ) = IK =
0,25
0,25
2
2
a 3
MH = .d ( M, ( SCD ) ) =
3
3
3
Câu 8.
(1,0
điểm)
0,25
3
5
Gọi M là trung điểm cạnh BC, ta có: AM = .AG ⇒ M −1;
2
2
3
AH = − ;3 hay n = (1; −2 ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC
2
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
18
Phương trình BC: x – 2y + 6 = 0 ⇔ x = 2y + 6
Vì B và C đối xứng với nhau qua M nên gọi B(2m + 6; m) thì có 0,25
C ( 4 − 2m;5 − m )
7
AB = ( 2m − 8; m + 2 ) ; HC = − 2m; 4 − m . Ta có: AB.HC = 0
2
⇒ ( m − 4 )( 5 − 5m ) = 0 ⇔ m = 4; m = 1 .
Vậy
B(2;4),
C(–4;1)
hoặc 0,25
B ( −4;1) , C ( 2; 4 )
Kẻ đường kính AK của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
Tứ giac BHCK có BH // KC và BK // HC nên BHCK là hình bình hành. Suy ra
HK và BC cắt nhau tại M là trung điểm của BC và M cũng là trung điể m
0,25
của HK.
5
1
15
1
5
Ta có: H ;1 , M −1; ⇒ K − ; 4 . Bán kính R = AK =
2
2
4
2
2
Điều kiện: x < 1 . Bất phương trình đã cho tương đương với:
1 − x2 + x2
3x
x2
3x
>
−
1
⇔
−
+ 2 > 0 (1)
2
2
1− x
1− x
1− x2
1− x2
0,25
t < 1
, khi đó bất phương trình (1) trở thành: t 2 − 3t + 2 > 0 ⇔
1− x
t > 2
x
Với t < 1 thì
< 1 ⇔ x < 1 − x 2 ( 2)
2
1− x
−1 < x ≤ 0 : bất phương trình (2) đúng
Đặt t =
x
0,25
2
0 < x < 1 : bất phương trình (2) x 2 < 1 − x 2 ⇔ 0 < x <
Câu 9.
(1,0
2
Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S1 = −1;
điểm)
2
x
Với t > 2 thì
> 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 ( 3)
2
1− x
x > 0
2 5
Bất phương trình (3) ⇔ 2
⇔x>
2
5
x > 4 (1 − x )
2
2
0,25
0,25
2 5
;1
Tập nghiệm của bất phương trình (3) là: S2 =
5
2 2 5
;1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 = −1;
∪
2 5
Câu 10.
2x 2 + y 2
1
1
1
2x 2 + y 2
1
1
Biến đổ i:
=
= 2. 2 + 2 . Đặt: a = , b = , c = .
2 2
(1,0
x
y
z
xy
x y
y x
điểm)
x, y, z > 0
a, b, c > 0
Giả
thiết
đề
bài:
⇔
xy + yz + zx − xyz = 0 a + b + c = 1
F = 2b 2 + a 2 + 2c 2 + b2 + 2a 2 + c 2
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
và
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG
19
Áp dụng bất đẳng thức: u v
(
2
2
) ≥ ( u.v ) , với u = (1;1;1) , v = ( b; b;a ) , ta có:
2
0,25
1
2
3 ( 2b 2 + a 2 ) = 3 ( b 2 + b 2 + a 2 ) ≥ ( b + b + a ) = ( 2b + a ) ⇒ 2b 2 + a 2 ≥
3
( 2b + a )(1)
1
1
( 2c + b )( 2 ) ; 2a 2 + c2 ≥ ( 2a + c )( 3)
3
3
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
1
F = 2b 2 + a 2 + 2c 2 + b 2 + 2a 2 + c 2 ≥
( 3a + 3b + 3c ) = 3
3
1
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = ⇔ x = y = z = 3
3
Tương tự,
2c 2 + b 2 ≥
Vậy F có giá trị nhỏ nhất bằng
0,25
0,25
3
ĐỀ 4
Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số y =
2x
( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) .
x +1
4
z + 2i
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn
= 1.
z −i
3
3 + ln ( x + 1)
I
=
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân sau:
∫0 ( x + 1)2 dx .
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình : 2log9 x + 1 =
2
.
log3 x
Câu 5 (1,0 điểm). Giải phương trình : sin x − 3 cos x =
2.
(
2
Câu 6 (1,0 điểm). Xác định hệ số của x8 trong khai triển f ( x ) = 1 + x − 2 x
10
)
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có C ( −2;3) . Đường cao AH có phương trình
3 x − 2 y − 25 = 0 . Đường phân giác BE có phương trình x − y = 0 . Hãy viết phương trình đường
thẳng chứa cạnh AC của ABC.
Câu 8 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh bằng a (a > 0). Đường chéo AC =
a. Mặt phẳng chứa SAB cân tại S vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi đường thẳng SC
và mặt phẳng đáy bằng 60o.
a) Tính thể tích khố i chóp S.ABCD theo a.
(
)
b) Tính d A, ( SBC ) .
Câu 9 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
x = 2 + 2t
( d1 ) : y = 1 − t
z = 1 − 2t
(t ∈ ℝ )
và
( d2 ) :
x −1 1− y 3 − z
=
=
.
2
1
2
a) Chứng minh rằng (d1) song song với (d2).
b) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (d1) và tiếp xúc với (d2) tại điểm B(3 ; 0 ;
1).
Sưutầmvàtrìnhbày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam
- Xem thêm -
.PDF 
160 
411 
50 
