Tài liệu 200 bài tập về khảo sát hàm số có lời giải

  • Số trang: 85 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 132 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20012 tài liệu

Mô tả:

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TRẦN SĨ TÙNG ---- ›š & ›š ---- TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 ì îD £ 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0 ì îD £ 0 · Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a. + Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = - b ) 2a + Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0: ìD ³ 0 ìD ³ 0 ï ï + x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0 ïîS < 0 ïîS > 0 · g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ; ( a;b ) g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m ( a;b ) B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 ì îD £ 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0 ì îD £ 0 2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) . Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) Trang 1 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x ) Trần Sĩ Tùng (**) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa > 0 ïïD > 0 ìa > 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïî P ³ 0 ìa > 0 ïïD > 0 ìa > 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïî P ³ 0 b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x ) (**) thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa < 0 ïï ì – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < 0 Û ía < 0 Ú íD > 0 îD £ 0 ïS > 0 ïî P ³ 0 ìa < 0 ïïD > 0 ìa < 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïî P ³ 0 3. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước. ì · f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Û í a ¹ 0 (1) îD > 0 · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = d 2 (2) · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 4. Tìm điều kiện để hàm số y = ax 2 + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Đồng biến trên (-¥;a ) . b) Đồng biến trên (a ; +¥) . Trang 2 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số c) Đồng biến trên (a ; b ) . ì -e ü adx 2 + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 2 îd þ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trường hợp 1 Nếu: f ( x ) ³ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp 2 Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t = x - a . Khi đó bpt: f ( x ) ³ 0 trở thành: g(t ) ³ 0 , với: g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g( x ) ³ h(m), "x < a a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g(t ) ³ 0, "t < 0 (ii) ìa > 0 ïïD > 0 ìa > 0 (ii) Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïî P ³ 0 ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) ( -¥;a ] î b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; +¥ ) î b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g(t ) ³ 0, "t > 0 (iii) ìa > 0 ïïD > 0 ìa > 0 (iii) Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïî P ³ 0 c) (2) đồng biến trên khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ïî g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; b ] î 5. Tìm điều kiện để hàm số y = ax 2 + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Nghịch biến trên (-¥;a ) . b) Nghịch biến trên (a ; +¥) . c) Nghịch biến trên (a ; b ) . ì -e ü adx 2 + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 2 îd þ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trang 3 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Trường hợp 1 Nếu f ( x ) £ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp 2 Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t = x - a . Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) £ 0 , với: g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc a) (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g( x ) ³ h(m), "x < a ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) ( -¥;a ] î b) (2) nghịch biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; +¥ ) î a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g(t ) £ 0, "t < 0 (ii) ìa < 0 ïïD > 0 ìa < 0 (ii) Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïî P ³ 0 b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g(t ) £ 0, "t > 0 (iii) ìa < 0 ïïD > 0 ìa < 0 (iii) Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïî P ³ 0 c) (2) đồng biến trong khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ïî g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; b ] î Trang 4 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Câu 1. Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam 1 3 Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. · Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 . (1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2 Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥;0) . Câu 2. · Tập xác định: D = R. y ¢= 3 x 2 + 6 x - m . y¢ có D¢ = 3(m + 3) . + Nếu m £ -3 thì D¢ £ 0 Þ y¢ ³ 0, "x Þ hàm số đồng biến trên R Þ m £ -3 thoả YCBT. + Nếu m > -3 thì D¢ > 0 Þ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +¥) . ìD¢ > 0 ìm > -3 ï ï Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;0) Û 0 £ x1 < x2 Û í P ³ 0 Û í-m ³ 0 (VN) ïîS > 0 ïî-2 > 0 Vậy: m £ -3 . Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥) Câu 3. · Tập xác định: D = R. y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m 2 + m) = 1 > 0 éx = m y' = 0 Û ê . Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1 Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = (0; +¥) . Câu 4. · Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ 0 với "x Î (0; +¥) Û f ( x) = 3x 2 + 2 x + 2 ³ m với "x Î (0; +¥) 4x + 1 1 6(2 x 2 + x - 1) Ta có: f ¢( x ) = = 0 Û 2 x 2 + x - 1 = 0 Û x = -1; x = 2 2 (4 x + 1) æ1ö 5 Lập BBT của hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đi đến kết luận: f ç ÷ ³ m Û ³ m . 4 è2ø Câu hỏi tương tự: 1 3 1 b) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (1; +¥) . 3 1 c) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-1;1) . 3 a) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) . Trang 5 ĐS: m ³ 4 11 ĐS: m ³ 0 ĐS: m ³ 1 2 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Câu 5. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng 1 3 Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (-¥;2) . · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 . Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < 0 ïì 2 ì TH1: í a < 0 Û ím 2- 1 < 0 îD £ 0 Vậy: Với Câu 6. îï3m - 2m - 1 £ 0 ìm2 - 1 < 0 ìa < 0 ï 2 ïïD > 0 ïï3m - 2m - 1 > 0 TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ 0 ïS > 0 ï -2m - 3 ïî P ³ 0 ï >0 îï m + 1 -1 £ m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) . 3 1 3 Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (2; +¥) . · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 . Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0 ìm2 - 1 < 0 ìa < 0 ï 2 ïïD > 0 ìïm 2 - 1 < 0 ïï3m - 2m - 1 > 0 ìa < 0 TH1: í Ûí 2 TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ 0 îD £ 0 ïî3m - 2m - 1 £ 0 ïS < 0 ï -2m - 3 ïî P ³ 0 ï <0 ïî m + 1 Vậy: Với -1 < m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3. 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Câu 7. · Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m có D¢ = 9 - 3m . + Nếu m ≥ 3 thì y¢ ³ 0, "x Î R Þ hàm số đồng biến trên R Þ m ≥ 3 không thoả mãn. + Nếu m < 3 thì y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn m éë x1; x2 ùû với độ dài l = x1 - x2 . Ta có: x1 + x2 = -2; x1x2 = . 3 YCBT Û l = 1 Û x1 - x2 = 1 Û ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = 1 Û m = 9 . 4 Cho hàm số y = -2 x 3 + 3mx 2 - 1 (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = 1 . Câu 8. · y ' = -6 x 2 + 6mx , y ' = 0 Û x = 0 Ú x = m . + Nếu m = 0 Þ y¢ £ 0, "x Î ¡ Þ hàm số nghịch biến trên ¡ Þ m = 0 không thoả YCBT. Trang 6 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam + Nếu m ¹ 0 , y¢ ³ 0, "x Î (0; m) khi m > 0 hoặc y¢ ³ 0, "x Î (m; 0) khi m < 0 . Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = 1 é( x ; x ) = (0; m) Û ê 1 2 và x2 - x1 = 1 Û ê m - 0 = 1 Û m = ±1 . ë0 - m = 1 ë( x1; x2 ) = (m;0) é Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 - 3m + 1 (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Câu 9. · Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m) + m £ 0 , y ¢³ 0, "x Î (0; +¥) Þ m £ 0 thoả mãn. + m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m , 0, m. Vậy m Î ( -¥;1ùû . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) Û m £ 1 Û 0 < m £ 1 . Câu hỏi tương tự: ĐS: m £ 2 . a) Với y = x 4 - 2(m - 1) x 2 + m - 2 ; y đồng biến trên khoảng (1;3) . Câu 10. Cho hàm số y = mx + 4 x+m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) . · Tập xác định: D = R \ {–m}. y ¢= m2 - 4 ( x + m)2 . (1) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y ¢< 0 Û -2 < m < 2 Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có - m ³ 1 Û m £ -1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 . Câu 11. Cho hàm số y = 2 x 2 - 3x + m (2). x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (-¥; -1) . · Tập xác định: D = R \ {1} . y ' = 2x2 - 4x + 3 - m 2 ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 . Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4 Hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1) Û y ' ³ 0, "x Î (-¥; -1) Û m £ min g( x ) ( -¥;-1] Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 9 . Vậy m £ 9 thì hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1) Câu 12. Cho hàm số y = 2 x 2 - 3x + m (2). x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; +¥) . · Tập xác định: D = R \ {1} . y ' = 2x2 - 4x + 3 - m 2 ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 . Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4 Hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) Û y ' ³ 0, "x Î (2; +¥) Û m £ min g( x ) [2; +¥ ) Trang 7 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 3 . Vậy m £ 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) . Câu 13. Cho hàm số y = 2 x 2 - 3x + m (2). x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) . · Tập xác định: D = R \ {1} . y ' = 2x2 - 4x + 3 - m 2 ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 . Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4 Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Û y ' ³ 0, "x Î (1;2) Û m £ min g( x ) [1;2] Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 1 . Vậy m £ 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) . Câu 14. Cho hàm số y = x 2 - 2mx + 3m2 (2). 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) . · Tập xác định: D = R \ { 2m} . y ' = - x 2 + 4mx - m 2 2 ( x - 2m) = f (x) ( x - 2m)2 . Đặt t = x - 1 . Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0 Hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) Û y ' £ 0, "x Î (-¥;1) Û í2m > 1 ì î g(t ) £ 0, "t < 0 (i) ém = 0 éD ' = 0 ê ìm ¹ 0 ê ìD ' > 0 ém = 0 (i) Û ê ï Ûê Û êï ê í 4m - 2 > 0 ê íS > 0 ëm ³ 2 + 3 ê ïîm2 - 4m + 1 ³ 0 êë ïî P ³ 0 ë Vậy: Với m ³ 2 + 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) . Câu 15. Cho hàm số y = x 2 - 2mx + 3m2 (2). 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; +¥) . · Tập xác định: D = R \ { 2m} . y ' = - x 2 + 4mx - m 2 ( x - 2m)2 = f (x) ( x - 2m)2 . Đặt t = x - 1 . Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0 Hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Û y ' £ 0, "x Î (1; +¥) Û í2m < 1 ì î g(t ) £ 0, "t > 0 (ii ) ém = 0 éD ' = 0 ê ìm ¹ 0 ê ìD ' > 0 (ii) Û ê ï Û m £2- 3 Û êï ê í 4m - 2 < 0 ê íS < 0 ê ïîm2 - 4m + 1 ³ 0 êë ïî P ³ 0 ë Vậy: Với m £ 2 - 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Trang 8 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0 . · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) . – Suy ra y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thì tan a = k1 - k2 1 + k1k2 B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y = px + q . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1 p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ). 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q một góc a . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k-p = tan a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k = tan a ) 1 + kp 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện SDIAB = S . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện SDIAB = S . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. ì – Giải điều kiện: í D ^ d . îI Î d 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Trang 9 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng – Giải điều kiện: d ( A, d ) = d (B, d ) . 6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị). – Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB. 7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et. 8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 = (-¥;a ) hoặc K2 = (a ; +¥) . y ' = f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Đặt t = x - a . Khi đó: y ' = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (-¥;a ) Hàm số có cực trị trên khoảng (-¥;a ) Û f ( x ) = 0 có nghiệm trên (-¥;a ) . Û g(t ) = 0 có nghiệm t < 0 Hàm số có cực trị thuộc K2 = (a ; +¥) Hàm số có cực trị trên khoảng (a ; +¥) Û f ( x ) = 0 có nghiệm trên (a ; +¥) . Û g(t ) = 0 có nghiệm t > 0 éP < 0 ê ìD ' ³ 0 Û êï ê íS < 0 ï ëê î P ³ 0 éP < 0 ê ìD ' ³ 0 Û êï ê íS > 0 êë ïî P ³ 0 9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả: a) x1 < a < x2 b) x1 < x2 < a c) a < x1 < x2 y ' = f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Đặt t = x - a . Khi đó: y ' = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < a < x2 Û g(t ) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < 0 < t2 Û P < 0 b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < x2 < a ìD ' > 0 ï Û g(t ) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < 0 Û íS < 0 ïî P > 0 c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả a < x1 < x2 ìD ' > 0 ï Û g(t ) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả 0 < t1 < t2 Û íS > 0 ïî P > 0 Trang 10 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Câu 1. · y ¢= -3x 2 + 6mx + 3(1 - m2 ) . PT y ¢= 0 có D = 1 > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) . Chia y cho y¢ ta được: Khi đó: æ1 mö y = ç x - ÷ y ¢+ 2 x - m 2 + m 3ø è3 y1 = 2 x1 - m2 + m ; y2 = 2 x2 - m2 + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2 x - m2 + m . Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: Câu 2. é x = -1 (1) Û ê 2 (2) ë g( x ) = x + 2 x + m - 2 = 0 (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt ì ¢ Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û íD = 3 - m > 0 Û m<3 î g(-1) = m - 3 ¹ 0 x 3 + 3 x 2 + mx + m - 2 = 0 Cho hàm số y = - x 3 + (2m + 1) x 2 - (m2 - 3m + 2) x - 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Câu 3. · y ¢= -3 x 2 + 2(2m + 1) x - (m 2 - 3m + 2) . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm trái dấu Û 3(m2 - 3m + 2) < 0 Û 1 < m < 2 . Câu 4. 1 3 Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m - 1) x - 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. · TXĐ: D = R ; y ¢= x 2 - 2mx + 2m - 1 . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y ¢= 0 có 2 nghiệm phân 2 ì ¢ biệt cùng dấu Û íD = m - 2m + 1 > 0 î2 m - 1 > 0 ìm ¹ 1 ï Ûí 1. ïîm > 2 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x - 1 . Câu 5. · Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Trang 11 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö æ mö Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '+ ç - 2÷ x + ç2 + ÷ 3ø 3ø è3 è 3 ø è æ 2m ö æ 2m ö m m Þ y1 = y( x1 ) = ç - 2 ÷ x1 + 2 + ; y2 = y( x2 ) = ç - 2 ÷ x2 + 2 + 3 3 è 3 ø è 3 ø æ 2m ö m Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = ç - 2÷ x + 2 + 3 è 3 ø Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x - 1 Û xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x - 1 Û 2m 9 - 2 = 1 Û m = (không thỏa (*)) 3 2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x - 1 y1 + y2 x1 + x2 æ 2m ö æ mö = -1 Û ç - 2 ÷ ( x1 + x2 ) + 2 ç 2 + ÷ = ( x1 + x2 ) - 2 2 2 3ø è 3 ø è æ 2m ö æ mö Ûç - 2 ÷ .2 + 2 ç 2 + ÷ = 0 Û m = 0 3ø è 3 ø è Û yI = x I - 1 Û Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0 . Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Câu 6. · Ta có: y¢ = 3 x 2 - 6mx ; y¢ = 0 Û ê x = 0 . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. é ë x = 2m uuur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB = (2m; -4m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) 3 ìï 2 ì A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û í AB ^ d Û í2m3- 4m = 0 Û m = ± I Îd î 2 ïî2m = m Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 - 3m - 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 . Câu 7. · y ¢= -3 x 2 + 6mx ; y ¢= 0 Û x = 0 Ú x = 2m . Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 . uuur Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; -3m - 1), B(2m;4m3 - 3m - 1) Þ AB(2m;4m3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m;2m3 - 3m - 1) r Đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 có một VTCP u = (8; -1) . ì A và B đối xứng với nhau qua d Û í I Î d î AB ^ d ìï + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = 0 uuur r Û ím Û m=2 ïî AB.u = 0 Câu hỏi tương tự: 1 2 5 2 a) y = x 3 - 3 x 2 + m2 x + m, d : y = x - . Câu 8. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx ĐS: m = 0 . (1). Trang 12 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x - 2 y - 5 = 0 . · Ta có y = x 3 - 3 x 2 + mx Þ y ' = 3 x 2 - 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt Û D¢ = 9 - 3m > 0 Û m < 3 æ1 1ö æ2 1 ö Ta có: y = ç x - ÷ y ¢+ ç m - 2 ÷ x + m 3ø 3 è3 è3 ø æ2 1 ö Þ đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y = ç m - 2 ÷ x + m 3 è3 ø 2 3 1 5 1 d: x - 2 y - 5 = 0 Û y = x - Þ d có hệ số góc k2 = 2 2 2 nên D có hệ số góc k1 = m - 2 . Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D 1æ2 ö Þ k1k2 = -1 Û ç m - 2 ÷ = -1 Û m = 0 2è3 ø Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x + m - 2 (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với Câu 9. 1 2 nhau qua đường thẳng d: y = x . · y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9 Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > 0 Û m Î (-¥; -1 - 3) È (-1 + 3; +¥) æ1 è3 Ta có y = ç x - m +1ö ¢ 2 ÷ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 1 3 ø Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB. Þ y1 = -2(m 2 + 2m - 2) x1 + 4m + 1 ; y2 = -2(m 2 + 2m - 2) x2 + 4m + 1 ì x + x = 2(m + 1) và: í 1 2 î x1.x2 = 3 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m 2 + 2m - 2) x + 4m + 1 1 A, B đối xứng qua (d): y = x Û í AB ^ d Û m = 1 . 2 îI Î d ì Câu 10. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x - m , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 £ 2 . · Ta có y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 Û PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Û PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 . Trang 13 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng é m > -1 + 3 (1) Û D ' = (m + 1)2 - 3 > 0 Û ê ë m < -1 - 3 + Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m + 1); x1x2 = 3. Khi đó: 2 2 x1 - x2 £ 2 Û ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 £ 4 Û 4 ( m + 1) - 12 £ 4 Û (m + 1)2 £ 4 Û -3 £ m £ 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là -3 £ m < -1 - 3 và -1 + 3 < m £ 1. Câu 11. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 1 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 > . 3 · Ta có: y ' = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m) Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) é 5 Û D ' = (1 - 2m)2 - 3(2 - m) = 4m 2 - m - 5 > 0 Û ê m > 4 (*) ê m < 1 ë 2(1 - 2m) 2-m ; x1x2 = Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 . Khi đó ta có: x1 + x2 = 3 3 2 2 1 1 x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 > 3 9 3 + 29 3 - 29 Û 4(1 - 2m)2 - 4(2 - m) > 1 Û 16m 2 - 12m - 5 > 0 Û m > Úm< 8 8 3 + 29 Kết hợp (*), ta suy ra m > Ú m < -1 8 1 Câu 12. Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + mx - 1 , với m là tham số thực. 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 ³ 8 . · Ta có: y ' = x 2 - 2mx + m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) Û D¢ = m 2 - m > 0 Û ê m < 0 (*). Khi đó: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m . ëm > 1 é é 1 - 65 êm £ 2 2 2 x1 - x2 ³ 8 Û ( x1 - x2 ) ³ 64 Û m - m - 16 ³ 0 Û ê (thoả (*)) 1 + 65 ê êë m ³ 2 1 1 Câu 13. Cho hàm số y = x 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực. 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 . · Ta có: y ¢= x 2 - 2(m - 1) x + 3(m - 2) Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Û D¢ > 0 Û m 2 - 5m + 7 > 0 (luôn đúng với "m) Trang 14 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam ì x + x = 2(m - 1) Khi đó ta có: í 1 2 î x1x2 = 3(m - 2) Û 8m 2 + 16m - 9 = 0 Û m = Khảo sát hàm số ïì x = 3 - 2m Ûí 2 ïî x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2) -4 ± 34 . 4 Câu 14. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 - 3 x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4 x2 . · y ¢= 12 x 2 + 2mx - 3 . Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số luôn có 2 cực trị x1, x2 . m 6 ì Khi đó: í x1 = -4 x2 ; x1 + x2 = - ; x1x2 = î Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ; 1 4 Þm=± 9 2 ĐS: m = -105 . x1 + 2x2 = 3 1 Câu 15. Cho hàm số y = x 3 - ax 2 - 3ax + 4 (1) (a là tham số). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1. 2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1 , x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: x12 + 2ax2 + 9a a2 + a2 x22 + 2ax1 + 9a =2 (2) · y¢ = x 2 - 2ax - 3a . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 é a < -3 Û D = 4a2 + 12a > 0 Û ê ëa > 0 (*). Khi đó x1 + x2 = 2a , x1x2 = -3a . Ta có: x12 + 2ax2 + 9a = 2a ( x1 + x2 ) + 12a = 4a2 + 12a > 0 Tương tự: x22 + 2ax1 + 9a = 4a2 + 12a > 0 Do đó: (2) Û 4a2 + 12a a2 + a2 4a2 + 12a =2 Û 4a2 + 12a a2 = 1 Û 3a ( a + 4 ) = 0 Û a = -4 Câu 16. Cho hàm số y = 2 x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1 (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x 2CÑ = xCT . · Ta có: y¢ = 6 x 2 + 18mx + 12m2 = 6( x 2 + 3mx + 2m 2 ) Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Û D = m 2 > 0 Û m ¹ 0 1 ( -3m - m ) , x2 = 1 ( -3m + m ) . 2 2 Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy ra xCÑ = x1, xCT = x2 Khi đó: x1 = Do đó: x 2CÑ 2 = xCT æ -3m - m ö -3m + m Ûç Û m = -2 . ÷ = 2 2 è ø Câu 17. Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. Trang 15 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Û PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt ìa = (m + 2) ¹ 0 ïD ' = 9 - 3m(m + 2) > 0 ì D ' = - m 2 - 2m + 3 > 0 ì-3 < m < 1 ï m ï ï ï Û íP = Û ím < 0 Û ím < 0 Û -3 < m < -2 >0 3(m + 2) ï ïm + 2 < 0 ïîm < -2 î -3 ï ïîS = m + 2 > 0 1 1 Câu 18. Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (m 2 - 3) x 3 2 (1), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1, x2 với x1 > 0, x2 > 0 và x12 + x22 = 5 . 2 · y¢ = x 2 - mx + m 2 - 3 ; y¢ = 0 Û x 2 - mx + m2 - 3 = 0 (2) ìD > 0 ïP > 0 ì 3 0 Ûí 14 Û m = 2 . ï 2 ïm = ± 5 2 2 î ï x1 + x2 = î 2 Câu 19. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. · y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = g( x ) YCBT Û phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 . ìD¢ = 4m2 - m - 5 > 0 5 7 Û ïï g(1) = -5m + 7 > 0 Û < m < . í 4 5 ï S = 2m - 1 < 1 ïî 2 3 Câu 20. Cho hàm số y = m 3 x + (m - 2) x 2 + (m - 1) x + 2 3 (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1 < x2 < 1 . · Ta có: y¢ = mx 2 + 2(m - 2) x + m - 1 ; y¢ = 0 Û mx 2 + 2(m - 2) x + m - 1 = 0 (1) Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1 < x2 < 1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Đặt t = x - 1 Þ x = t + 1 , thay vào (1) ta được: m(t + 1)2 + 2(m - 2)(t + 1) + m - 1 = 0 Û mt 2 + 4(m - 1)t + 4m - 5 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Û (2) có 2 nghiệm âm phân biệt Trang 16 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số ìm > 0 ïïD¢ > 0 5 4 Û 0 ïîS < 0 Câu 21. Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2; 0) . · Ta có: y¢ = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m ; y¢ = 0 Û 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 0 (*) Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2; 0) Û (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và có ít nhất 1 é-2 < x1 < x2 < 0 nghiệm thuộc (-2; 0) Û ê -2 < x1 < 0 £ x2 ê êë x1 £ -2 < x2 < 0 (1) (2) (3) Ta có: ì 4m 2 - m - 5 > 0 ìD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0 ï ï ï-2 < 2m - 1 < 0 + x x ïï 3 10 ïï-2 < 1 2 < 0 (1) Û í Ûí Û - < m < -1 4(2m - 1) 2 - m 2 7 + >0 ï( x + 2 )( x + 2 ) > 0 ï4 + 3 2 ï 1 ï2 - m 3 ïî x1x2 > 0 ï >0 ïî 3 ì 4m 2 - m - 5 > 0 ìD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0 ï ï ïm ³ 2 = £ f m 0 2 0 ( ) ï ï 2m - 1 (2) Û í Ûí Ûm³2 > -2 + 2 + + 2 > 0 x x ( ) ( ) 2 ï 1 ï 3 ï ï 2 - m 4 ( 2m - 1) î( x1 + 2 )( x2 + 2 ) > 0 +4>0 ï 3 + 3 î ì 4m 2 - m - 5 > 0 ìD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0 ï ï ï3m + 5 ³ 0 5 ï f ( -2 ) = 10 + 6m £ 0 ï (3) Û í Û í 2m - 1 < 0 Û - £ m < -1 3 ï x1 + x2 < 0 ï 3 ïî x1x2 > 0 ï2 - m ïî 3 > 0 é 5 ö Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m Î ê - ; -1÷ È ëé2; +¥ ) ë 3 ø Câu 22. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3 x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức g( x, y ) = 3 x - y - 2 ta có: g( x A , y A ) = 3 x A - y A - 2 = -4 < 0; g( xB , yB ) = 3 xB - yB - 2 = 6 > 0 Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3 x - 2 . Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + 2 ì æ4 2ö 4 2 ì Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: í y = 3 x - 2 Û í x = ; y = Þ M ç ; ÷ 5 5 î y = -2 x + 2 î è 5 5ø Trang 17 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Câu 23. Cho hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. · Ta có y ¢= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) . Hàm số (1) có cực trị Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û x 2 - 2mx + m2 - 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt Û D = 1 > 0, "m Khi đó: điểm cực đại A(m - 1;2 - 2m) và điểm cực tiểu B(m + 1; -2 - 2m) é Ta có OA = 2OB Û m 2 + 6m + 1 = 0 Û ê m = -3 + 2 2 . ë m = -3 - 2 2 Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4 x + 3 . · Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö mö æ Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø 3ø è3 è 3 ø è æ 2m ö æ æ 2m ö æ mö mö Þ y1 = y ( x1 ) = - ç + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ 3ø 3ø è 3 ø è è 3 ø è æ 2m ö æ mö Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø è 3 ø è ì æ 2m ö + 2 ÷ = -4 ï- ç 3 ï ø D // d: y = -4 x + 3 Û í è Û m = 3 (thỏa mãn (*)) æ ö m ïç 2 - ÷ ¹ 3 ïîè 3ø Câu hỏi tương tự: 1 3 a) y = x 3 - mx 2 + (5m - 4) x + 2 , d : 8 x + 3y + 9 = 0 ĐS: m = 0; m = 5 . Câu 25. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 5. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y = 3 x - 7 . · Ta có: y ' = 3 x 2 + 2mx + 7 . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 . Û D ' = m 2 - 21 > 0 Û m > 21 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö 2 æ 7m ö Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x + ÷ y '+ (21 - m 2 ) x + ç 3 ÷ 9ø 9 9 ø è3 è æ æ 2 7m ö 2 7m ö 2 Þ y1 = y( x1 ) = (21 - m2 ) x1 + ç 3 ÷ ; y2 = y( x2 ) = (21 - m ) x2 + ç 3 ÷ 9 9 ø 9 9 ø è è Trang 18 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số 2 7m Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = (21 - m 2 ) x + 3 9 9 ì m > 21 3 10 ï D ^ d: y = -4 x + 3 Û í 2 Û m=± . 2 2 ïî 9 (21 - m ).3 = -1 Câu 26. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + 4 y - 5 = 0 một góc a = 450 . · Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö æ mö Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø 3ø è3 è 3 ø è æ 2m ö æ æ 2m ö æ mö mö Þ y1 = y ( x1 ) = - ç + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ 3ø 3ø è 3 ø è è 3 ø è æ 2m ö æ mö Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø è 3 ø è æ 2m ö 1 + 2 ÷ . Đường thẳng d: x + 4 y - 5 = 0 có hệ số góc bằng - . 4 è 3 ø Đặt k = - ç é é 1 é 3 39 1 1 k= k + = 1- k m=ê ê ê 4 Û 5 Ûê 10 4 4 Ta có: tan 45o = Ûê ê 1 1 5 1 êk = êm = - 1 ê k + = -1 + k 1- k ê êë ê 4 4 3 2 ë ë 4 1 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = - . 2 k+ Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) , d : y = -1 3 ± 15 x + 5 , a = 450 . ĐS: m = 4 2 Câu 27. Cho hàm số y = x3 - 3 x 2 + 2 (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có phương trình ( x - m)2 + ( y - m - 1)2 = 5 . · Phương trình đường thẳng D đi qua hai điểm cực trị 2 x + y - 2 = 0 . (S) có tâm I (m, m + 1) và bán kính R= 5 . D tiếp xúc với (S) Û 2m + m + 1 - 2 5 Câu 28. Cho hàm số y = x 3 - 3mx + 2 = 5 Û 3m - 1 = 5 Û m = 2; m = -4 . 3 (Cm ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 . 2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của ( Cm ) cắt đường tròn tâm I(1;1) , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích DIAB đạt giá trị lớn nhất . Trang 19 www.MATHVN.com
- Xem thêm -