Tài liệu 200 bài tập hình học phương pháp tọa độ phẳng ôn thi ptth quốc gia và đại học cao đẳng (gv trần sĩ tùng)

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x - 7 y + 17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2 . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: x - 7 y + 17 x+ y-5 é x + 3y - 13 = 0 (D1 ) = Ûê ë3 x - y - 4 = 0 (D2 ) 12 + (-7)2 12 + 12 Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 hoặc D2 . KL: x + 3y - 3 = 0 và 3x - y + 1 = 0 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x - y + 5 = 0 . d2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. r r · d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6) uur uur Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = 0 nên d1 ^ d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = 0 Û Ax + By - 2 A + B = 0 d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450 2A - B é A = 3B Û = cos 450 Û 3 A2 - 8 AB - 3B 2 = 0 Û ê ë B = -3 A A2 + B2 22 + (-1)2 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x + y - 5 = 0 * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - 5 = 0 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x + y - 5 = 0 ; d : x - 3y - 5 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) d1 : x - 7 y + 17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 , P(0;1) . ĐS: x + 3y - 3 = 0 ; 3 x - y + 1 = 0 . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 , d2 : 3 x + y + 1 = 0 và điểm I (1; -2) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AB = 2 2 . uur uur · Giả sử A(a; -3a - 5) Î d1; B(b; -3b - 1) Î d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1) uur uur ìb - 1 = k (a - 1) I, A, B thẳng hàng Þ IB = kIA Û í î-3b + 1 = k (-3a - 3) · Nếu a = 1 thì b = 1 Þ AB = 4 (không thoả). b -1 · Nếu a ¹ 1 thì -3b + 1 = (-3a - 3) Û a = 3b - 2 a -1 2 AB = (b - a)2 + éë3(a - b) + 4 ùû = 2 2 Û t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a - b ). 2 5 + Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + 1 = 0 Û 5t 2 + 12t + 4 = 0 Û t = -2; t = - Trang 1 PP toạ độ trong mặt phẳng + Với t = Câu 4. Trần Sĩ Tùng -2 -2 4 2 Þ a-b = Þ b = , a = Þ D : 7x - y - 9 = 0 5 5 5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0 , d2 : 2 x – y –1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương uuur uuur r ứng tại A và B sao cho 2 MA + MB = 0 . · Giả sử: A(a; uuur –a–1),uuur B(b; r2b – 1). Từ điều kiện 2 MA + MB = 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0, d2 : x – 2 y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. uuur ì A Î (d1 ) ì A(a; -1 - a) ìï uuur MA = (a - 1; -1 - a) ·í . Ûí Þí B Î ( d ) B (2 b 2; b ) î ïî MB = (2b - 3; b) î 2 uuur uuur uuur uuur Từ A, B, M thẳng hàng và MB = 3MA Þ MB = 3MA (1) hoặc MB = -3MA (2) ì æ 2 1ö ì A 0; -1) ïA - ;Þ (d ) : x - y - 1 = 0 (1) Þ í çè 3 3 ÷ø Þ (d ) : x - 5y - 1 = 0 hoặc (2) Þ í ( î B(4;3) ï B(-4; -1) î Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - 5 = 0, d2 : x + y - 4 = 0 lần lượt tại A, B sao cho Câu 6. 2 MA – 3MB = 0 . · Giả sử A(a;3a - 5) Î d1 , B(b;4 - b) Î d2 . uuur uuur é2 MA = 3MB (1) uuur Vì A, B, M thẳng hàng và 2 MA = 3MB nên ê uuur 2 3 MA = MB (2) ë ì 5 æ 5 5ö ïa = ì2(a - 1) = 3(b - 1) + (1) Û í Ûí Þ A ç ; ÷ , B(2;2) . Suy ra d : x - y = 0 . 2 î2(3a - 6) = 3(3 - b) è2 2ø ïîb = 2 ì2(a - 1) = -3(b - 1) ìa = 1 + (2) Û í Ûí Þ A(1; -2), B(1;3) . Suy ra d : x - 1 = 0 . î2(3a - 6) = -3(3 - b) îb = 1 Vậy có d : x - y = 0 hoặc d : x - 1 = 0 . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA + 3OB) nhỏ nhất. Câu 7. · PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): M(3; 1) Î d 1 = x y + = 1 (a,b>0) a b 3 1 Cô - si 3 1 + ³ 2 . Þ ab ³ 12 . a b a b ìa = 3b ï ìa = 6 Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 2 3ab = 12 Þ (OA + 3OB)min = 12 Û í 3 1 1 Û í îb = 2 ïî a = b = 2 x y Phương trình đường thẳng d là: + = 1 Û x + 3y - 6 = 0 6 2 Trang 2 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA + OB nhỏ nhất. · x + 2y - 6 = 0 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) 9 4 và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho nhỏ nhất. + OA2 OB 2 · Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên x y A(a; 0); B(0; b) với a.b ¹ 0 Þ Phương trình của (d) có dạng + = 1 . a b 1 2 Vì (d) qua M nên + = 1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : a b Câu 9. 2 2 æ1 2ö æ1 3 2 ö æ 1 öæ 9 4 ö 9 4 9 9 4 9 1 = ç + ÷ = ç . + 1. ÷ £ ç + 1÷ç + ÷ Û Û + 2³ + ³ . 2 2 2 2 2 b ø è 9 øè a 10 10 b ø a b OA OB èa bø è3 a 1 3 2 1 2 20 Dấu bằng xảy ra khi : = 1: và + = 1 Û a = 10, b = Þ d : 2 x + 9 y - 20 = 0 . 3 a b a b 9 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). · x + 3y - 6 = 0; x - y - 2 = 0 Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S = 4 . · Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b ¹ 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 . a b ì2 1 ì2b + a = ab ï + =1 Theo giả thiết, ta có: í a b Ûí . ab = 8 î ï ab = 8 î · Khi ab = 8 thì 2b + a = 8 . Nên: b = 2; a = 4 Þ d1 : x + 2 y - 4 = 0 . · Khi ab = -8 thì 2b + a = -8 . Ta có: b2 + 4b - 4 = 0 Û b = -2 ± 2 2 . + Với b = -2 + 2 2 Þ d : (1 - 2 ) x + 2 (1 + 2 ) y - 4 = 0 + Với b = -2 - 2 2 Þ d : (1 + 2 ) x + 2 (1 - 2 ) y + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S = 12 . ĐS: d : 3x - 2 y - 12 = 0 ; d : 3x - 8y + 24 = 0 Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2 x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα 1 = . 10 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = 0 Û ax + by – 2a + b = 0 (a2 + b2 ¹ 0) Ta có: cos a = 2a - b = 1 Û 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7. 10 5(a2 + b2 ) Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0 Trang 3 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3y + 4 = 0 . Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 . · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = 0 Û ax + by – (2a + b) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . 2a + 3b Ta có: cos 450 = é a = 5b Û 5a2 - 24ab - 5b2 = 0 Û ê ë5a = - b 13. a2 + b2 + Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 Þ Phương trình D : 5 x + y - 11 = 0 . + Với 5a = -b . Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + 3 = 0 . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 và điểm I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng 0 d một góc bằng 45 . · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . Vì (· d , D) = 450 nên 2a - b 2 2 a +b . 5 1 é a = 3b Ûê ë b = -3a 2 = 4+c éc = 6 = 10 Û ê ëc = -14 10 -2 + c é c = -8 = 10 Û ê · Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û ëc = 12 10 · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û Vậy các đường thẳng cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình lần lượt là 3x + y + 2 = 0 và x - 3y + 4 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B , C ( B và C khác A ) sao cho 1 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất. AB 2 AC 2 · A = d1 Ç d2 Þ A(-1;1) . Ta có d1 ^ d2 . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên D . ta có: 1 1 1 AB 2 + 1 AC 2 = 1 1 AH 2 ³ 1 AM 2 (không đổi) khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M AB AC AM 2 và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x + y - 2 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; -2) , d1 : 3 x + y + 5 = 0 , d2 : x - 3y + 5 = 0 . ĐS: D : x + y + 1 = 0 . Þ 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – 4 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 y = 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) 6 N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b = 0; b = 5 Trang 4 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng æ 38 6 ö æ 8 4ö Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ç ; ÷ , N ç - ; ÷ è 5 5ø è 5 5ø Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: 2 x + 3y + 4 = 0 . Tìm điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 450 . r ì x = 1 - 3t · D có PTTS: í và VTCP u = (-3;2) . Giả sử B(1 - 3t; -2 + 2t ) Î D . î y = -2 + 2t é 15 uuur r uuur r êt = 13 1 AB.u 1 2 0 ( AB, D) = 45 Þ cos( AB; u) = Û Û 169t - 156t - 45 = 0 Û ê . r = AB. u 2 2 êt = - 3 13 ë æ 32 4 ö æ 22 32 ö Vậy các điểm cần tìm là: B1 ç - ; ÷ , B2 ç ; - ÷ . è 13 13 ø è 13 13 ø Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - 6 = 0 và điểm N(3; 4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích 15 bằng . 2 uuur · Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4 x - 3y = 0 . Giả sử M (3m + 6; m) Î d . 2S 1 Khi đó ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M , ON ) = DONM = 3 2 ON 4.(3m + 6) - 3m -13 Û = 3 Û 9m + 24 = 15 Û m = -1; m = 5 3 æ -13 -13 ö + Với m = -1 Þ M (3; -1) + Với m = Þ M ç -7; ÷ 3 3 ø è Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x - 2 y + 2 = 0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . · Giả sử B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) Î d . uuur r æ2 6ö 2 5 5 Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û AB.ud = 0 Û B ç ; ÷ Þ AB = Þ BC = 5 5 è 5 5ø éc = 1 Þ C (0;1) 5 1 BC = 125c 2 - 300c + 180 = Û ê æ4 7ö 7 êc = Þ C ç ; ÷ 5 5 5 è 5 5ø ë Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - 3 = 0 , d2 : x + y - 9 = 0 và điểm A(1; 4) . Tìm điểm B Î d1, C Î d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. uuur uuur · Gọi B(b;3 - b) Î d1, C (c;9 - c) Î d2 Þ AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) . uuur uuur ì(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = 0 ì AB. AC = 0 DABC vuông cân tại A Û í Ûí 2 2 2 2 (*) î AB = AC î(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c) Vì c = 1 không là nghiệm của (*) nên Trang 5 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì (b + 1)(5 - c) (1) ïïb - 1 = c -1 (*) Û í (5 - c)2 ï(b + 1)2 + (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2) 2 ïî (c - 1) éb = c - 2 . Từ (2) Û (b + 1)2 = (c - 1)2 Û ê ë b = -c + Với b = c - 2 , thay vào (1) ta được c = 4, b = 2 Þ B(2;1), C (4;5) . + Với b = -c , thay vào (1) ta được c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C (2;7) . Vậy: B(2;1), C (4;5) hoặc B(-2;5), C (2;7) . Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + 2 – m = 0 ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – 5 = 0 . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất. ì(m - 1) x + (m - 2)y = m - 2 · Xét Hệ PT: í . î(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + 5 2 æ 3ö 1 m -1 m - 2 Ta có D = = 2 ç m - ÷ + > 0, "m 2 - m m -1 2ø 2 è Þ d1, d2 luôn cắt nhau. Ta có: A(0;1) Î d1, B(2; -1) Î d2 , d1 ^ d2 Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: ( PA + PB)2 £ 2( PA2 + PB2 ) = 2 AB 2 = 16 Þ PA + PB £ 4 . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung » AB Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m = 1 hoặc m = 2 . Vậy PA + PB lớn nhất Û m = 1 hoặc m =2. Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 2 y – 2 = 0 và hai điểm A(-1;2) , B(3;4) . Tìm điểm MÎ(D) sao cho 2 MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất. uuur uuur · Giả sử M M (2t + 2; t ) Î D Þ AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4) æ 2ö æ 26 2 ö Ta có: 2 AM 2 + BM 2 = 15t 2 + 4t + 43 = f (t ) Þ min f (t ) = f ç - ÷ Þ M ç ; - ÷ è 15 ø è 15 15 ø Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x - y + 3 = 0 và 2 điểm A(1; 0), B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất. · Ta có: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > 0 Þ A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A¢(-3;2) Þ Phương trình A¢B : x + 5y - 7 = 0 . Với mọi điểm M Î d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B . Mà MA¢ + MB nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d. æ 8 17 ö Khi đó: M ç - ; ÷ . è 11 11 ø Trang 6 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2 x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’): x 2 + y 2 - 20 x + 50 = 0 . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x 2 + y 2 - 4 x - 8y + 10 = 0 3 , A(2; –3), 2 B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y – 8 = 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. · Tìm được C (1; -1) , C2 (-2; -10) . 1 11 11 16 + Với C1(1; -1) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y + =0 3 3 3 91 91 416 + Với C2 (-2; -10) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y + =0 3 3 3 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2 x + y - 3 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x + 3y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. · Gọi tâm đường tròn là I (t;3 - 2t ) Î d1. 3t + 4(3 - 2t ) + 5 4t + 3(3 - 2t ) + 2 ét = 2 = Û ê 5 5 ët = 4 49 9 Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = và ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = . 25 25 Câu hỏi tương tự: a) Với d1 : x – 6 y –10 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x - 3y - 5 = 0 . Khi đó: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û 2 2 2 æ 10 ö æ 70 ö æ 7 ö ĐS: ( x - 10) + y = 49 hoặc ç x - ÷ + ç y + ÷ = ç ÷ . 43 ø è 43 ø è 43 ø è 2 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3y + 8 = 0 , D ' :3x - 4 y + 10 = 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢. Câu 4. · Giả sử tâm I (-3t - 8; t ) Î D.. Ta có: d ( I , D¢ ) = IA Û 3(-3t - 8) - 4t + 10 2 3 +4 2 = (-3t - 8 + 2)2 + (t - 1)2 Û t = -3 Þ I (1; -3), R = 5 PT đường tròn cần tìm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : 4 x - 3y + 3 = 0 và D ' : 3 x - 4 y - 31 = 0 . Lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với D '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C ) và D ' . Câu 5. · Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn (C). (C ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và (C ) tiếp xúc với D¢ nên Trang 7 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì ì 4a - 3b + 3 3a - 4b - 31 54 - 3a ìduuu (rI , D) = d (I , D ') ï ï 4a - 3 + 3 = 6a - 85 = Ûí Ûí r í 4 5 5 î IM ^ uD = (3; 4) ïî3(a - 6) + 4(b - 9) = 0 ïî3a + 4b = 54 ì ï 25a - 150 = 4 6a - 85 é a = 10; b = 6 Ûí Ûê 54 - 3a b = ë a = -190; b = 156 ïî 4 Vậy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' tại N(13;2) hoặc (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' tại N(-43; -40) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với các trục toạ độ. é( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) · Phương trình đường tròn có dạng: ê 2 2 2 êë( x - a) + ( y - a) = a (b) a) Þ a = 1; a = 5 b) Þ vô nghiệm. Câu 6. Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 và ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y - 4 = 0 . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d). 4 · Gọi I (m;2m - 4) Î (d ) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m = 2m - 4 Û m = 4, m = . 3 Câu 7. 2 2 æ 4ö æ 4 ö 16 4 · m = thì phương trình đường tròn là: ç x - ÷ + ç y + ÷ = . 3 3ø è 3ø 9 è · m = 4 thì phương trình đường tròn là: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D): 3x – 4 y + 8 = 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D). Câu 8. · Tâm I của đường tròn nằm uuurtrên đường trung trực d của đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT là AB = (4;2) Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a) éa = 3 Ta có IA = d(I,D) Û 11a - 8 = 5 5a2 - 10a + 10 Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û ê 31 êa = 2 ë · Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 2 æ 31 ö æ 31 ö 4225 31 65 · Với a = Þ I ç ; -27 ÷ , R = Þ (C): ç x - ÷ + ( y + 27)2 = 2 2 2ø 4 è 2 ø è Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + 2 y - 3 = 0 và D : x + 3y - 5 = 0 . Lập 2 10 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D . 5 · Tâm I Î d Þ I (-2a + 3; a) . (C) tiếp xúc với D nên: phương trình đường tròn có bán kính bằng d (I , D) = R Û a-2 10 = 2 10 éa = 6 Ûê 5 ë a = -2 Trang 8 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 = 8 8 hoặc (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = . 5 5 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢). ì PT đường thẳng IA : í x = 2 3t , I ' Î IA Þ I ¢(2 3t;2t + 2) . î y = 2t + 2 uur uur 1 AI = 2 I ¢A Û t = Þ I '( 3;3) Þ (C¢): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4 2 Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 4 y – 5 = 0 . Hãy viết æ4 2ö phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M ç ; ÷ è 5 5ø · (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M æ 8 -6 ö Þ I¢ ç ; ÷ Þ (C¢): è5 5 ø 2 2 æ 8ö æ 6ö çx - ÷ +çy+ ÷ = 9 5ø è 5ø è Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 3 . · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3 . PT đường thẳng IM: 3x - 4 y - 11 = 0 . AB = 3 . ì H Î IM ì3 x - 4 y - 11 = 0 ï ï Û Gọi H ( x; y ) là trung điểm của AB. Ta có: í 3 9 í 2 2 2 2 ïî IH = R - AH = 2 ïî( x - 1) + ( y + 2) = 4 é 1 29 ê x = - 5 ; y = - 10 æ 1 29 ö æ 11 11 ö Û ê Þ H ç - ; - ÷ hoặc H ç ; - ÷ . è 5 10 ø è 5 10 ø ê x = 11 ; y = - 11 5 10 ë æ 1 29 ö · Với H ç - ; - ÷ . Ta có R¢2 = MH 2 + AH 2 = 43 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 . è 5 10 ø æ 11 11 ö · Với H ç ; - ÷ . Ta có R¢2 = MH 2 + AH 2 = 13 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 . è 5 10 ø Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 4 và điểm K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = 2 . SD IAB lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB = 2 2 . Mà IK = 2 2 nên có hai đường tròn thoả YCBT. + (T1 ) có bán kính R1 = R = 2 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 4 Trang 9 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + (T2 ) có bán kính R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = 2 5 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC æ1 ö với các đỉnh: A(–2;3), B ç ;0 ÷ , C (2;0) . è4 ø æ1 ö · Điểm D(d;0) ç < d < 2 ÷ thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A è4 ø 2 2 æ9ö 1 ç 4 ÷ + ( -3) d DB AB 4= è ø khi và chỉ khi = Û Þ 4d - 1 = 6 - 3d Þ d = 1. 2 DC AC 2-d 2 4 + ( -3 ) x +2 y-3 x +2 y -3 = Û x + y - 1 = 0 ; AC: = Û 3x + 4 y - 6 = 0 3 -3 4 -3 Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1- b và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: é 4 3 (1 - b ) + 4b - 6 ê b - 3 = 5b Þ b = - 3 = b Û b - 3 = 5b Þ ê 2 2 ê b - 3 = -5b Þ b = 1 3 +4 ë 2 1 Rõ ràng chỉ có giá trị b = là hợp lý. 2 Phương trình AD: 2 2 æ 1ö æ 1ö 1 Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: ç x - ÷ + ç y - ÷ = 2ø è 2ø 4 è Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4 x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4 x + 3y - 12 = 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy. · Gọi A = d1 Ç d2 , B = d1 Ç Oy, C = d2 Ç Oy Þ A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) Þ DABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC æ4 ö 4 Þ I ç ;0 ÷ , R = . 3 è3 ø Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 1 = 0 và hai đường tròn có phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I (a; a –1)Î d . (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II 2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II 2 – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC. Trang 10 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng · y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o . · (C ) : ( x + 1)2 + y 2 = 1 Þ I (-1; 0); R = 1 . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là ± 3 . Þ PT (D) có dạng D1 : 3x - y + b = 0 hoặc D2 : 3x + y + b = 0 + D1 : 3 x - y + b = 0 tiếp xúc (C) Û d ( I , D1 ) = R Û b- 3 = 1 Û b = ±2 + 3 . 2 Kết luận: (D1 ) : 3 x - y ± 2 + 3 = 0 + (D2 ) : 3 x + y + b = 0 tiếp xúc (C) Û d ( I , D2 ) = R Û b- 3 = 1 Û b = ±2 + 3 . 2 Kết luận: (D2 ) : 3 x + y ± 2 + 3 = 0 . Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 5 = 0 và đường thẳng (d): 3x + y - 3 = 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 450 . 5. · (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = Giả sử (D): ax + by + c = 0 (c ¹ 0) . ìd ( I , D) = 5 ï é a = 2, b = -1, c = -10 é D : 2 x - y - 10 = 0 Từ: í 2 Þ ê a = 1, b = 2, c = -10 Þ ê D : x + 2 y - 10 = 0 . ë ë ïcos(d , D) = î 2 Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C ) : ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 10 và đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 450 . r · (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10 . Gọi n = (a; b) là VTPT của tiếp tuyến D (a2 + b2 ¹ 0) , Vì (· D, d ) = 450 nên 2a - b a2 + b2 . 5 = 1 é a = 3b Ûê ë b = -3a 2 4+c éc = 6 = 10 Û ê ëc = -14 10 -2 + c é c = -8 · Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û = 10 Û ê ëc = 12 10 · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3 x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 . Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x 2 + y 2 – 2 x – 2 y – 2 = 0 , (C2): x 2 + y 2 – 8 x – 2 y + 16 = 0 . · (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I 2 (4; 1) , bán kính R2 = 1. Ta có: I1I 2 = 3 = R1 + R2 Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1) Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy. * Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: (D) : y = ax + b Û (D) : ax - y + b = 0 ta có: Trang 11 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì a + b -1 ì ì 2 2 =2 ï = =a a ï ï 2 2 ìd ( I1; D) = R1 ï a +b ï ï 4 4 Ûí hay í íd ( I ; ) = R Û í D 4 a + b 1 + 4 7 2 4 7 2 î 2 2 ï ïb = ïb = =1 ï 2 2 îï îï 4 4 î a +b Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: (D1 ) : x = 3, (D2 ) : y = - 2 4+7 2 2 4-7 2 x+ , (D3 ) y = x+ 4 4 4 4 Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 2 và (C’): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 8 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’). · (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = 2 ; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R ' = 2 2 . Ta có: II ' = 2 = R - R¢ Þ (C) và (C¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4). Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua uur điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ¢ = (-1; -1) Þ PTTT: x + y - 7 = 0 Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 - 2 y - 3 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 - 8x - 8y + 28 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . · (C1 ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 = 2 ; (C2 ) có tâm I 2 (4;4) , bán kính R2 = 2 . Ta có: I1I 2 = 5 > 4 = R1 + R2 Þ (C1 ),(C2 ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp: + Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x + c = 0 . Khi đó: d ( I1 , d ) = d ( I 2 , d ) Û c = 4 + c Û c = -2 Þ d : x - 2 = 0 . + Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d : y = ax + b . é 3 7 a= ;b= ê 4 2 =2 ê 3 3 a2 + 1 Û êa = ; b = -1 + b 4a - 4 + b 4 2 ê = 7 37 ê a2 + 1 a2 + 1 êë a = - 24 ; b = 12 Þ d : 3x - 4 y + 14 = 0 hoặc d : 3 x - 4 y - 6 = 0 hoặc d : 7 x + 24 y - 74 = 0 . Vậy: d : x - 2 = 0 ; d : 3 x - 4 y + 14 = 0 ; d : 3 x - 4 y - 6 = 0 ; d : 7 x + 24 y - 74 = 0 . ì ï ìd ( I1, d ) = 2 ï Khi đó: í Ûí îd ( I1, d ) = d ( I 2 , d ) ï ï î -1 + b Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 - 4 y - 5 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 8y + 16 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . · (C1 ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 = 3 ; (C2 ) có tâm I 2 (3; -4) , bán kính R2 = 3 . Giả sử tiếp tuyến chung D của (C1 ), (C2 ) có phương trình: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . ìï 2b + c = 3 a2 + b2 ìd ( I , D) = R1 D là tiếp tuyến chung của (C1 ), (C2 ) Û í 1 Ûí îd ( I 2 , D) = R2 ïî 3a - 4b + c = 3 a2 + b2 -3a + 2b Từ (1) và (2) suy ra a = 2b hoặc c = . 2 + TH1: Với a = 2b . Chọn b = 1 Þ a = 2, c = -2 ± 3 5 Þ D : 2 x + y - 2 ± 3 5 = 0 Trang 12 (1) (2) Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng éa = 0 -3a + 2b . Thay vào (1) ta được: a - 2b = 2 a2 + b2 Û ê 4 . êa = - b 2 3 ë Þ D : y + 2 = 0 hoặc D : 4 x - 3y - 9 = 0 . + TH2: Với c = Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R¢ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R = 4 . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2) . Gọi J là tâm của (T). ì Phương trình IA: í x = 2 3t . Giả sử J (2 3t;2t + 2) Î ( IA) . î y = 2t + 2 uur uur 1 (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI = 2JA Þ t = Þ J ( 3;3) . 2 Vậy: (T ) : ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4 . Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y2 = 1 và phương trình: x 2 + y 2 – 2(m + 1) x + 4my – 5 = 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C). · (Cm) có tâm I (m + 1; -2m) , bán kính R ' = (m + 1)2 + 4m2 + 5 , (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI = (m + 1)2 + 4m 2 , ta có OI < R¢ 3 Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. Þ R¢ – R = OI ( vì R’ > R) Þ m = -1; m = . 5 1 và Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình (C1 ) : ( x - 1)2 + y 2 = 2 (C2 ) : ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 4 . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C1 ) và cắt (C2 ) tại hai điểm M , N sao cho MN = 2 2 . 1 · (C1 ) có tâm I1(1; 0) , bán kính R1 = 2 trung điểm của MN Þ d ( I 2 , d ) = I 2 H = ; (C2 ) có tâm I1(2;2) , bán kính R2 = 2 . Gọi H là R22 2 æ MN ö -ç ÷ = 2 è 2 ø Phương trình đường thẳng d có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . ì 1 ìï 2 a + c = a2 + b2 ïd ( I1, d ) = Ta có: í Û . Giải hệ tìm được a, b, c. 2 í 2 2 ïd ( I , d ) = 2 ïî 2a + 2b + c = 2 a + b î 2 Vậy: d : x + y - 2 = 0; d : x + 7 y - 6 = 0 ; d : x - y - 2 = 0 ; d : 7 x - y - 2 = 0 Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 6 x + 5 = 0 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600 . Trang 13 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng · (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Î Oy é· AMB = 60 0 (1) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ ê· 0 êë AMB = 120 (2) Vì MI là phân giác của · AMB nên: (1) Û · AMI = 300 Û MI = (2) Û · AMI = 600 Û MI = IA sin 30 0 IA sin 600 Û MI = 2R Û m2 + 9 = 4 Û m = ± 7 Û MI = 2 3 4 3 R Û m2 + 9 = Vô nghiệm Vậy có 3 3 hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; - 7 ) Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng D định bởi: (C ) : x 2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0; D : x + 2 y - 12 = 0 . Tìm điểm M trên D sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600. · Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 5 . Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra IM = 2 R=2 5 . Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 20 . Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng D, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: ì( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 20 (1) í + 2 12 = 0 (2) x y î éy = 3 Khử x giữa (1) và (2) ta được: ( -2 y + 10 ) + ( y - 1) = 20 Û 5y - 42 y + 81 = 0 Û ê 27 êy = 5 ë æ 6 27 ö Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M ( 6;3) hoặc M ç ; ÷ è5 5 ø 2 2 2 Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : x + y + m = 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. · (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 Þ IA = 3 2 m -1 é m = -5 Û = 3 2 Û m -1 = 6 Û ê ëm = 7 2 Câu hỏi tương tự: a) (C ) : x 2 + y 2 = 1, d : x - y + m = 0 ĐS: m = ±2 . Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : 3 x - 4 y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều. · (C) có tâm I (1; -2) , bán kính R = 3 . DPAB đều Þ PI = 2 AI = 2 R = 6 Þ P nằm trên đường tròn (T) có tâm I, bán kính r = 6 . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp Trang 14 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng tuyến của (T) Þ d ( I , d ) = 6 Û 11 + m é m = 19 =6Ûê . 5 ë m = -41 Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 18 x - 6 y + 65 = 0 và (C ¢) : x 2 + y 2 = 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C¢), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8. · (C’) có tâm O ( 0; 0 ) , bán kính R = OA = 3 . Gọi H = AB Ç OM Þ H là trung điểm của AB 12 9 OA2 . Suy ra: OH = OA2 - AH 2 = và OM = = 5. 5 5 OH ìï x 2 + y 2 - 18 x - 6 y + 65 = 0 ì M Î (C ) ìx = 4 ìx = 5 Giả sử M ( x; y) . Ta có: í Ûí 2 Ûí Úí 2 OM = 5 î îy = 3 îy = 0 ïî x + y = 25 Þ AH = Vậy M(4;3) hoặc M(5;0) . Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 4 . M là điểm di động trên đường thẳng d : y = x + 1 . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T1T2 đi qua điểm A(1; -1) . · (C) có tâm I (1; -2) , bán kính R = 2 . Giả sử M ( x0 ; x0 + 1) Î d . IM = ( x0 - 1)2 + ( x0 + 3)2 = 2( x0 + 1)2 + 8 > 2 = R Þ M nằm ngoài (C) Þ qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C). æ x +1 x -1ö Gọi J là trung điểm IM Þ J ç 0 ; 0 ÷ . Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán è 2 2 ø 2 2 æ x0 + 1 ö æ x0 - 1 ö ( x0 - 1)2 + ( x 0 + 3)2 IM kính R1 = có phương trình (T ) : ç x ÷ +çy ÷ = è 2 ø è 2 ø 4 2 Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT , MT đến (C) Þ · IT M = · IT M = 90 0 Þ T , T Î (T ) 1 2 1 2 1 2 Þ {T1, T2} = (C ) Ç (T ) Þ toạ độ T1, T2 thoả mãn hệ: ì x +1 x -1 ( x - 1)2 + ( x0 + 3)2 ï( x - 0 )2 + ( y - 0 )2 = 0 Þ (1 - x0 ) x - (3 + x0 ) y - x0 - 3 = 0 (1) í 2 2 4 ï( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 4 î Toạ độ các điểm T1, T2 thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường thẳng nên phương trình T1T2 là x(1 - x 0 ) - y(3 + x0 ) - x0 - 3 = 0 . A(1; -1) nằm trên T1T2 nên 1 - x0 + (3 + x0 ) - x0 - 3 = 0 Û x0 = 1 Þ M(1;2) . Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x –1)2 + ( y + 1)2 = 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB. · PM /(C ) = 27 > 0 Þ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. Mặt khác: uuur uuur PM /(C ) = MA.MB = 3MB2 Þ MB = 3 Þ BH = 3 Þ IH = R 2 - BH 2 = 4 = d[ M ,(d )] Trang 15 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0). éa = 0 -6a - 4b =4Ûê d [M ,(d )] = 4 Û 12 . Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. 2 2 êa = - b a +b 5 ë Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = 25 theo một dây cung có độ dài bằng l = 8 . · d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 Û ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l = 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3. éa = 0 2a - b - a - 2b = 3 Û a - 3b = 3 a2 + b2 Û 8a2 + 6ab = 0 Û ê d (I,d ) = 3 = a b 2 2 ê a +b ë 4 3 · a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 · a = - b : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0. 4 Câu hỏi tương tự: a) d đi qua O, (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 6 y - 15 = 0 , l = 8 . ĐS: d : 3 x - 4 y = 0 ; d : y = 0 . b) d đi qua Q(5;2) , (C ) : x 2 + y 2 - 4 x - 8y - 5 = 0 , l = 5 2 . ĐS: d : x - y - 3 = 0 ; d :17 x - 7 y - 71 = 0 . c) d đi qua A(9;6) , (C ) : x 2 + y 2 - 8 x - 2 y = 0 , l = 4 3 . 1 21 ĐS: d : y = 2 x - 12 ; d : y = - x + 2 2 Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2 x - 8y - 8 = 0 . Viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d : 3 x + y - 2 = 0 và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l = 6 . · (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng D có dạng: 3x + y + c = 0, c ¹ 2 . Vì D cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên: -3 + 4 + c éc = 4 10 - 1 Þ d ( I,D) = =4Ûê . 2 c = 4 10 1 ë 3 +1 Vậy phương trình D cần tìm là: 3 x + y + 4 10 - 1 = 0 hoặc 3 x + y - 4 10 - 1 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) (C ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 = 3 , d : 3 x - 4 y + 2012 = 0 , l = 2 5 . ĐS: D : 3 x - 4 y + 5 = 0 ; D : 3x - 4 y - 15 = 0 . Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 4)2 + ( y - 3)2 = 25 và đường thẳng D : 3 x - 4 y + 10 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d biết d ^ (D) và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6. · (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d ^ D nên PT của d có dạng: 4 x + 3y + m = 0 . Ta có: d ( I ,(D1 )) = IH = AI 2 - AH 2 = 52 - 32 = 4 Û Trang 16 -16 + 9 + m 42 + 32 é m = 27 = 4Û ê ë m = -13 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4 x + 3y + 27 = 0 và 4 x + 3y - 13 = 0 . Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 3 = 0 và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. · (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 < 5 Þ M nằm trong đường tròn (C). Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d. Ta có: AB = 2AH = 2 IA2 - IH 2 = 2 5 - IH 2 ³ 2 5 - IM 2 = 2 3 . uuur Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI = (1; -1) Þ Phương trình d: x - y + 2 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với (C): x 2 + y 2 - 8x - 4 y - 16 = 0 , M(–1; 0). d : 5x + 2 y + 5 = 0 ĐS: Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có diện tích lớn nhất. · Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O. Khi đó d (O, d ) = 5 2 . 2 Giả sử phương trình đường thẳng d: A( x - 2) + B( y - 6) = 0 ( A2 + B2 ¹ 0) é -24 - 5 55 A êB = 5 2 -2 A - 6 B 5 2 47 d (O, d ) = Û = Û 47B2 + 48 AB - 17 A2 = 0 Û ê 2 2 -24 + 5 55 ê A2 + B 2 A êë B = 47 + Với B = -24 - 5 55 A : chọn A = 47 Þ B = -24 - 5 55 47 Þ d: 47( x - 2) - ( 24 + 5 55 ) ( y - 6) = 0 + Với B = -24 + 5 55 A : chọn A = 47 Þ B = -24 + 5 55 47 Þ d: 47( x - 2) + ( -24 + 5 55 ) ( y - 6) = 0 Câu hỏi tương tự: a) (C ) : x 2 + y 2 + 4 x - 6 y + 9 = 0 , M(1; -8) . ĐS: 7 x + y + 1 = 0; 17 x + 7 y + 39 = 0 . Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x + 2 y - 6 = 0 và điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C). · (C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) Î (C). PT đường thẳng d có dạng: a( x - 3) + b( y - 3) = 0, a2 + b2 ¹ 0 Û ax + by - 3a - 3b = 0 . Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B Þ AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông. 3a - b - 3a - 3b 1 1 Ta có: d ( I , d ) = 2 2 ( = AD = AB) Û =2 2 2 2 2 2 a +b Trang 17 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Û 4b = 2 2 a2 + b2 Û a2 = b2 Û a = ± b . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1. Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x + y - 6 = 0 hoặc x - y = 0 . Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x 2 + y 2 = 13 và (C2): ( x - 6)2 + y 2 = 25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. · (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3). Giả sử d: a( x - 2) + b( y - 3) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . Gọi d1 = d (O, d ), d2 = d ( I 2 , d ) . Từ giả thiết Þ R12 - d12 = R22 - d22 Û d22 - d12 = 12 Û (6a - 2a - 3b)2 - a2 + b2 (-2a - 3b)2 a2 + b2 = 12 éb = 0 Û b2 + 3ab = 0 Û ê . ë b = -3a · Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d: x - 2 = 0 . · Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x - 3y + 7 = 0 . Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx + 4 y = 0 , đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12. · (C) có tâm I (1; m) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB. IH = d (I , D) = m + 4m m 2 + 16 = 5m m2 + 16 ; AH = IA2 - IH 2 = 25 - (5m)2 2 m + 16 = 20 m 2 + 16 é m = ±3 SDIAB = 12 Û d ( I , D). AH = 12 Û 3m2 - 25 m + 48 = 0 Û ê 16 êm = ± 3 ë (C ) : x 2 + y 2 = 1 , đường thẳng (d ) : x + y + m = 0 . Tìm m để (C ) cắt (d ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất. Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn · (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B Û d (O; d ) < 1 1 1 1 Khi đó: SOAB = OA.OB.sin· AOB = .sin· AOB £ . Dấu "=" xảy ra Û · AOB = 90 0 . 2 2 2 1 Vậy S AOB lón nhất Û · AOB = 900 . Khi đó d ( I ; d ) = Û m = ±1 . 2 Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x + my + 1 - 2 = 0 và đường tròn có phương trình (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C ) . Tìm m sao cho (d ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó. · (C ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. (d) cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B Û d ( I , d ) < R Û Trang 18 2 - 2m + 1 - 2 < 3 2 + m2 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Û 1 - 4m + 4m2 < 18 + 9m2 Û 5m2 + 4m + 17 > 0 Û m Î R 1 1 9 Ta có: S = IA.IB sin · AIB £ IA.IB = IAB 2 2 2 3 2 9 Vậy: S lớn nhất là khi · AIB = 900 Û AB = R 2 = 3 2 Û d ( I , d ) = IAB 2 2 3 2 2 + m2 Û 2m2 + 16m + 32 = 0 Û m = -4 2 Câu hỏi tương tự: Û 1 - 2m = a) Với d : x + my – 2m + 3 = 0 , (C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 . 8 m=0Ú m= 15 ĐS: Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x - 6 y + 9 = 0 và điểm M(1; -8) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I(-2;3) , bán kính R = 2 . PT đường thẳng d qua M(1; -8) có dạng: d : ax + by - a + 8b = 0 ( a2 + b2 ¹ 0 ). 1 SD IAB = IA.IB.sin · AIB = 2sin · AIB . 2 2 Do đó: SD IAB lớn nhất Û · AIB = 90 0 Û d ( I , d ) = IA = 2 2 11b - 3a é a = 7b Û = 2 Û 7a2 - 66ab + 118b2 = 0 Û ê . ë 7a = 17b a2 + b 2 + Với b = 1 Þ a = 7 Þ d : 7 x + y + 1 = 0 + Với b = 7 Þ a = 17 Þ d :17 x + 7 y + 39 = 0 Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đường thẳng D: x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất. · (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. 1 Kẻ đường cao IH của DIAB, ta có: SDABC = SIAB = IA.IB.sin · AIB = sin · AIB 2 IA Do đó SIAB lớn nhất Û sin · AIB = 1 Û DAIB vuông tại I Û IH = = 1 (thỏa IH < R) 2 1 - 4m 8 Û = 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 15 m2 + 1 Câu hỏi tương tự: a) Với (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 , D : 2 x + my + 1 - 2 = 0 . ĐS: m = -4 . b) Với (C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 5 = 0 , D : x + my - 2 = 0 . ĐS: m = -2 Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2 x - 4 y - 8 = 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho Trang 19 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng tam giác ABC vuông ở B. · Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình ì x2 + y2 + 2 x - 4y - 8 = 0 ì y = 0; x = 2 Ûí . Vì x A > 0 nên ta được A(2;0), B(–3;–1). í î y = -1; x = -3 î x - 5y - 2 = 0 Vì · ABC = 900 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4). Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): x 2 + y 2 + 2 x - 4 y - 8 = 0 và đường thẳng ( D ): 2 x - 3y - 1 = 0 . Chứng minh rằng ( D ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn ( C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất. 9 · (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . d ( I , D) = < R Þ đường thẳng ( D ) cắt (C) tại 13 1 hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có SD ABM = AB.d ( M , D) . Trong đó 2 AB không đổi nên SD ABM lớn nhất Û d ( M , D) lớn nhất. Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( D ). PT đường thẳng d là 3x + 2 y - 1 = 0 . Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ 2 ì 2 é x = 1, y = -1 phương trình: í x + y + 2 x - 4 y - 8 = 0 Û ê Þ P(1; –1); Q(–3; 5) ë x = -3, y = 5 î3x + 2 y - 1 = 0 Ta có d ( P, D) = 4 ; d (Q, D) = 13 Vậy tọa độ điểm M(–3; 5). 22 13 . Như vậy d ( M , D) lớn nhất Û M trùng với Q. Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 5 = 0 và A(0; –1) Î (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho DABC đều. uur uur æ3 7ö · (C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI = 2.IH Û H ç ; ÷ è2 2ø D ABC đều Þ I là trọng tâm. Phương trình (BC): x + 3y - 12 = 0 Vì B, C Î (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình: 2 ì x2 + y2 - 2 x - 4y - 5 = 0 ì 2 Û í x + y - 2x - 4y - 5 = 0 í î x + 3y - 12 = 0 î x = 12 - 3y æ 7+ 3 3-3 3 ö æ 7- 3 3+3 3 ö Giải hệ PT trên ta được: B ç ; ; ÷;C ç ÷ hoặc ngược lại. è 2 2 ø è 2 2 ø Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 35 và điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. ì AB = AC · (C) có tâm I(3; 4). Ta có: í Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân î IB = IC tại A nên AI cũng là phân giác của · BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 450 . 0 Gọi d là đường thẳng uurqua A và hợp với AI một góc 45 . Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC. Vì IA = (2;1) ¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ r Þ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u = (1; a) là VTCP của d. Ta có: Trang 20