Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Đ 1
I. Ph n chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)
2 x x2
x 1
x 1
lim
2)
lim
x
2 x 4 3x 12
3)
lim
x 3
7x 1
x 3
4)
lim
x 3
Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x 2 5x 6
f (x) x 3
2 x 1
2) Cho hàm số
y x x2 1
y
khi x 3
b)
x 1
.
x 1
y
2 x 3 5x 2 x 1 0 .
3
(2 x 5)2
a) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số bi t ti p tuy n song song với d:
y
x 2
.
2
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
II . Ph n t ch n.
1 . Theo chương trình chuẩn.
lim
Bài 5a. Tính
Bài 6a. Cho
y
x 2
x3 8
x 2 11x 18
9 x2
khi x 3
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x 1 2
a 2.
.
1 3
x 2 x 2 6 x 8 . Giải bất phương trình y / 0 .
3
2. Theo chương trình nâng cao.
x 2x 1
12 x 11
2
x 3x 3
/
. Giải bất phương trình y 0 .
Bài 6b. Cho y
x 1
Bài 5b. Tính
lim
x 1 x 2
.
Đ 2
I . Ph n chung cho cả hai ban.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)
lim
x
x 2 x 1 3x
3
2) lim (2 x 5 x 1)
x
2x 7
3)
2 x 11
x 5 5 x
lim
x3 1
khi x 1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) x 1
2m 1 khi x 1
Bài 2 .
2) Chứng minh rằng phương trình:
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a)
y
2 2x x2
x2 1
(1 m2 ) x 5 3x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m.
b)
y 1 2 tan x .
1
4)
lim
x 0
x3 1 1
x2 x
.
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
2) Cho hàm số y x x 3 (C). Vi t phương trình ti p tuy n của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vuông góc với d: x 2 y 3 0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)
(ABC).
2) Chứng minh rằng: BC (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Ph n t ch n.
1 . Theo chương trình chuẩn .
4
lim(
Bài 5a. Tính
2
1
2
n2 1 n2 1
....
n 1
).
n2 1
Bài 6a. Cho y sin 2 x 2 cos x . Giải phương trình
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho
y/=0.
y 2 x x 2 . Chứng minh rằng: y3 .y // 1 0 .
Bài 6b . Cho f( x ) =
f ( x)
64
x
3
60
3x 16 . Giải phương trình f ( x ) 0 .
x
Đ 3
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1)
lim ( x 3 x 2 x 1)
x
2 x 3 5x 2 2 x 3
13x 2 4 x 3
3 3x 2 2
x 2
Bài 2. Cho hàm số: f ( x )
ax 1
4
4)
lim
x 3 4 x 3
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
y
5x 3
x x 1
2
2)
lim
x 1
2)
5) lim
khi x >2
khi x 2
3x 2
x 1
3)
4n 5n
lim
x 2
x 2 2
x 7 3
2n 3.5n
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.
x 5 3x 4 5x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5).
y ( x 1) x 2 x 1
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, góc
Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC).
1) Chứng minh: SB (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK) SC.
3) Chứng minh: BHK vuông .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
3)
y 1 2 tan x
4)
y sin(sin x)
B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a.
x 2 3x 2
(1). Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số (1), bi t ti p tuy n đó song song với
x 1
đường thẳng d: y 5x 2 .
Bài 6. Cho hàm số
Bài 7. Cho hàm số
1) Tính
f ( x)
y cos2 2 x .
y , y .
2) Tính giá trị của biểu thức:
A y 16 y 16 y 8 .
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1)
4)
lim (5x3 2 x 2 3)
x
( x 3) 27
x 0
x
lim
2)
3
lim
x 1
3x 2
x 1
3)
3 4 1
lim
2.4n 2n
n
5)
Đ 4
n
2
lim
x 2
2 x
x 7 3
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
x 1
khi x 1
Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) x 1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
3ax
khi x 1
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
y
2x2 6x 5
2x 4
2)
y
x 3 1000 x 0,1 0
x2 2x 3
2x 1
3)
y
sin x cos x
sin x cos x
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh (SAC ) (SBD) ; (SCD) (SAD)
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số
1) Tại điểm M ( –1; –2)
2) Vuông góc với đường thẳng d:
Bài 7. Cho hàm số:
y
lim
1
y x2.
9
x2 2x 2
2
. Chứng minh rằng: 2 y.y 1 y .
2
Đ 5
2 n3 2 n 3
1 4 n3
b)
lim
x 1
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x 2 3x 2
f (x) x 2
3
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y sin(cos x )
y x 3 3x 2 2 :
A. PH N CHUNG:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
4)
y 2sin x cos x tan x
b)
x 3 2
x2 1
khi x 2
khi x 2
y sin(3x 1)
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khoảng cách từ S đ n (ABCD).
B. PH N T CH N:
1. Theo chương trình chuẩn
c) y cos(2 x 1)
d)
y 1 2 tan 4 x
BAD 60 và SA = SB = SD = a.
0
y f ( x ) 2 x 3 6 x 1 (1)
a) Tính f '(5) .
Bài 5a: Cho hàm số
b) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình f ( x ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
2. Theo chương trình Nâng cao
sin 3x
cos3x
cos x 3 sin x
.
3
3
Giải phương trình f '( x ) 0 .
Bài 5b: Cho
f ( x)
Bài 6b: Cho hàm số
f ( x ) 2 x 3 2 x 3 (C).
a) Vi t phương trình ti p tuy n của (C) bi t ti p tuy n song song với đường thẳng d:
b) Vi t phương trình ti p tuy n của (C) bi t ti p tuy n vuông góc đường thẳng :
A. PH N CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
Đ 6
3
y 22 x 2011
1
y x 2011
4
Gia sư Thành Được
a)
lim
x1
www.daythem.edu.vn
3x 2 4 x 1
x 1
b)
x2 9
lim
x3 x 3
x2 x 2
Câu 2: Cho hàm số f ( x )
x 2
m
c)
khi x 2
x 2
lim
x2 x 7 3
d)
lim
x
x 2 2 3x
2x 1
.
khi x 2
a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình
x 5 3x 4 5x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b)
y ( x 1)( x 2)
2
3
c)
y
B.PH N T CH N:
1. Theo chương trình chuẩn
1
( x 2 1)2
d)
y x 2x
2
2x2 1
e) y
x2 3
4
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của SAB. Trên đường
thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC SB, SB (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đ u S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) (SBD), (SBD) (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đ n mp(ABCD) và từ điểm O đ n mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC
Đ 7
I. PH N B T BU C:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)
lim
x
x2 5 x
b)
lim
x 3
x 3 x 2
9
2x 1
1
khi x
2
2
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số f ( x ) 2 x 3 x 1
1
A
khi x
2
1
Xét tính liên tục của hàm số tại x
2
Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y ( x 1)(2 x 3)
b)
y 1 cos2
x
2
Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
a) Gọi K là hình chi u của O lên BC. Chứng minh rằng: BC (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. PH N T CH N
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y 2 x 7 x 1 (C).
a) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u, SA
x 3 5x 3 0 .
BAD 600 , đường cao SO = a.
3
ACM , hạ SH CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK SH. Tính SK và AH theo a và .
2. Theo chương trình nâng cao
4
(ABC), SA= a. M là một điểm trên cạnh AB,
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P):
y 1 x
x2
x2 x3
và (C): y 1 x
.
2
2
6
a) Chứng minh rằng (P) ti p xúc với (C).
b) Vi t phương trình ti p tuy n chung của (P) và (C) tại ti p điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD =
lượt là trung điểm BC và AD.
a) Chứng minh rằng: SO (ABCD).
b) Chứng minh rằng: (SIJ) (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).
c) Tính khoảng cách từ O đ n (SBC).
Đ 8
I. Ph n chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
1
x 5 7 x 3 11
x 1 2
lim 3
a)
b) lim
x 3 5
x 5
x 5
x x4 2
4
x4 5 3
2) Cho hàm số : f ( x )
x 2 x 1 . Tính f (1) .
2 3
Bài 2:
1) Cho hàm số
2
f ( x) x x
ax 1
c)
lim
a 5
. Gọi I và J lần
2
4 x2
x 2 2( x 2
5x 6)
khi x 1 . Hãy tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 1
khi x 1
x2 2x 3
2) Cho hàm số f ( x )
. Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1.
x 1
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đ u cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đ n
đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Ph n t ch n
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)
lim
x
9x2 1 4 x
3 2x
2)
lim
x 2
x
x 2 5x 6
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6 x 3x 6 x 2 0 .
2) Cho hình chóp tam giác đ u có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chi u cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
3
Bài 4b: Tính giới hạn:
lim
x
2
x 1 x
Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
(m2 2m 2) x 3 3x 3 0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng
chứa AB và vuông góc (SCD). Thi t diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thi t diện đó.
Đ 9
Bài 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a) lim
2) Cho
n 4 2n 2
n2 1
b) lim
x 2
x3 8
x 2
c) lim
x 1
3x 2
.
x 1
y f ( x ) x 3x 2 . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
2
5
Gia sư Thành Được
x2 x 2
3) Cho f ( x ) x 2
5a 3 x
Bài 2: Cho y
www.daythem.edu.vn
khi x 2
khi x 2
. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.
y .y 2 x 2 1 .
x 2 1 . Giải bất phương trình:
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, AOB AOC 600 , BOC 900 .
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Chứng minh OA vuông góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.
Bài 4: Cho y f ( x )
d: y = 9x + 2011.
Bài 5: Cho f ( x )
x 3 3x 2 2 . Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số f(x) bi t ti p tuy n song song với
x2 1
. Tính f ( n ) ( x ) , với n 2.
x
A. PH N B T BU C:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)
lim
x 3 x 2
Câu 2:
x 3
2x 3
b)
Đ 10
( x 1)3 1
x 0
x
lim
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
x 3
f (x) x 1
2
b) Xét tính liên tục của hàm số
Câu 3:
a) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thi hàm số
lim
x 2
c)
x2 5 3
x2
2 x3 10 x 7 0
, x 1
, x 1
trên tập xác định .
y x 3 tại điểm có hoành độ x0 1 .
b) Tính đạo hàm của các hàm số sau: y x 1 x
y (2 x )cos x 2 x sin x
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB = BC = a,
2
2
ADC 450 , SA a 2 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
B. PH N T CH N:
1. Theo chương trình chuẩn
1
1
lim
2
x 2 x 4 x 2
8
b) Cho hàm số f ( x ) . Chứng minh: f (2) f (2)
x
3
2
Câu 6a: Cho y x 3x 2 . Giải bất phương trình: y 3 .
Câu 5a: a) Tính
Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có
AB a , AD b , AE c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ AI qua
ba vectơ a , b , c .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của
b) Tính vi phân của hàm số
Câu 6b: Tính
lim
x 3
x 2 3x 1
x 3
4,04
y x.cot 2 x
Câu 7b 3: Cho tứ diện đ u cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .
Đ 11
II. Ph n b t bu c
6
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
1 2x
x x 2 2 x 3
b) lim
a) lim
x 2
x 3 3x 2 9 x 2
x3 x 6
Chứng minh phương trình x3 3x 1 0 có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y 3x x 1
2
x
b) y x sin x
c) lim x 2 x 3 x
x
c) y
2)
x2 2x
x 1
2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y tan x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ( ABCD) và SA a 6 .
1) Chứng minh : BD SC, (SBD) (SAC) .
2) Tính khoảng cách từ A đ n mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Ph n t ch n
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số y x
1
tại giao điểm của nó với trục hoành .
x
60 64
5 . Giải phương trình f ( x ) 0 .
x x3
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .
Câu 5a: Cho hàm số f ( x ) 3x
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y sin 2 x.cos2 x .
Câu 5b: Cho y
x3 x2
2 x . Với giá trị nào của x thì y ( x ) 2 .
3
2
Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và tính
khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD và BC.
Đ 12
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim
3n1 4n
4
n1
3
b) lim
x 3
x 1 2
x2 9
Bài 2: Chứng minh phương trình x3 3x 1 0 có 3 nghiệm thuộc
Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại x 3
x2 9
khi x 3
f (x) x 3
khi x = 3
1
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y (2 x 1) 2 x x 2
b) y x 2 .cos x
x 1
có đồ thị (H).
x 1
a) Vi t phương trình ti p tuy n của (H) tại A(2; 3).
Bài 5: Cho hàm số y
2;2 .
1
b) Vi t phương trình ti p tuy n của (H) bi t ti p tuy n song song với đường thẳng y x 5 .
8
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I,
K là hình chi u vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
7
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đ n (SBD).
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 1
Đ 13
x3 x 1
b) lim
x 1
x 1
2 x 2 3x 5
x2 1
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3 2mx 2 x m 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
x3 x2 2 x 2
khi x 1
f ( x)
3x a
khi x = 1
3 x a
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
x
cos x
2
3
1
a) y 3x 1
b) y
2
4
x
sin x
x
x
x
Bài 5: Cho đường cong (C): y x 3 3x 2 2 . Vi t phương trình ti p tuy n của (C):
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
1
b) Bi t ti p tuy n vuông góc đường thẳng y x 1 .
3
a 3
, SO ( ABCD) , SB a .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB
3
a) Chứng minh: SAC vuông và SC vuông góc với BD.
b) Chứng minh: (SAD) (SAB), (SCB) (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x
x2 x 3 2x
Đ 14
b) lim
x
4x2 x 1 2x
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2 x3 10 x 7 0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
x2 1
f ( x ) x 1 khi x 1
mx 2 khi x 1
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x 2
b) y ( x 2 3x 1).sin x
a) y
2x 5
1
Bài 5: Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số y :
x
1
.
a) Tại điểm có tung độ bằng
2
b) Bi t ti p tuy n song song với đường thẳng y 4 x 3 .
3
Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ABC đ u cạnh a, SA ( ABC ), SA a . Gọi I là trung điểm BC.
2
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đ n (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
Đ 15
8
Gia sư Thành Được
2 x 3
x 2 3
a) lim
x
www.daythem.edu.vn
b) lim
x
x 2 5x 3
x 2
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x 4 x3 3x 2 x 1 0 có nghiệm thuộc (1;1) .
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x 2 3x 2
khi x 2
f (x) x 2
khi x 2
3
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
sin x cos x
a) y
b) y (2 x 3).cos(2 x 3)
sin x cos x
Bài 5: Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số: y
2x2 2x 1
x 1
a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung.
b) Bi t ti p tuy n song song với đường thẳng y x 2011 .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 600 , SO (ABCD),
SB SD
a 13
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
4
a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đ n (SBC).
c) Gọi ( ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thi t diện của hình chóp bị cắt bởi ( ).
Tính góc giữa ( ) và (ABCD).
Đ 16
I. Ph n chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
1
x 5 7 x 3 11
4 x2
x 1 2
lim 3
b) lim
c) lim
a)
x 3 5
x 2 2( x 2 5 x 6)
x 5
x 5
x x4 2
4
x4 5 3
x 2 x 1 . Tính f (1) .
2) Cho hàm số : f ( x )
2 3
Bài 2:
2
khi x 1 . Hãy tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 1
1) Cho hàm số f ( x ) x x
ax
khi x 1
1
x2 2x 3
. Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có
2) Cho hàm số f ( x )
x 1
hoành độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đ u cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và
khoảng cách từ điểm D đ n đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Ph n t ch n
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)
Bài 5a:
lim
x
9x2 1 4 x
3 2x
2)
lim
x 2
x
x 2 5x 6
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
9
6 x 3 3x 2 6 x 2 0 .
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
2) Cho hình chóp tam giác đ u có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chi u cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
lim
x
x 1 x
Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
(m2 2m 2) x 3 3x 3 0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a 3 .
Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thi t diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính
diện tích thi t diện đó.
Đ 17
I. Ph n chung
Bài 1:
1) Tính các giới hạn sau:
x2 x 2
a) lim
x 1 2 x 2
2) Tính đạo hàm của hàm số: y
cos x x
sin x x
b) lim
3n2 3.5n1
4.5n 5.3n1
Bài 2:
1) Cho hàm số: y x 3 x 2 x 5 (C). Vi t phương trình ti p tuy n với (C) bi t ti p tuy n song song với
đường thẳng 6x y 2011 0 .
5x 2 6 x 7 khi x 2
liên tục tại x = 2.
f ( x) 2
ax
a
khi
x
3
2
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông
cân tại C. AC = a, SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b) Chứng minh (SAC) (SBC) . Tính khoảng cách từ A đ n (SBC).
c) Tinh khoảng cách từ O đ n (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
II. Ph n t ch n
A. Theo chương trình Chuẩn
Bài 4a:
1) Cho f ( x ) x 2 sin( x 2) . Tìm f (2) .
2) Tìm a để hàm số:
2) Vi t thêm 3 số vào giữa hai số
số cộng đó.
Bài 5a:
1
và 8 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp
2
1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x3 10 x 7 .
2) Cho hình chóp tứ giác đ u có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 300. Tính chi u cao hình
chóp.
B. Theo chương trình Nâng cao
Bài 4b:
1) Cho f ( x) sin 2 x 2sin x 5 . Giải phương trình f ( x ) 0 .
2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên ti p của cấp số nhân.
Chứng minh rằng: (a2 b2 )(b2 c2 ) (ab bc)2
Bài 5b:
1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm: (m2 1)x 4 x 3 1 .
2) Cho hình lăng trụ tam giác đ u ABC.ABC, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
mặt phẳng (ABC) và (ABC) và khoảng cách từ A đ n mặt phẳng (ABC).
Đ 18
10
a
. Tính góc giữa 2
2
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
I. PH N CHUNG (7 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau:
x 2 5x 6
x 2
x 2
a) lim
b) lim
x 3
x 3
x 1 2
c) lim
x
x2 2x 1
x
x 2 25
khi x 5 . Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại x = 5.
Câu 2: (1 điểm) Cho hàm số f ( x ) x 5
khi x 5
A
Câu 3: (1,5 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y
3x 2 2 x 1
b) y x .cos3x
x2 1
Câu 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC).
a) Chứng minh: BC (SAB).
b) Giả sử SA = a 3 và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
c) Gọi AM là đường cao của SAB, N là điểm thuộc cạnh SC. Chứng minh: (AMN) (SBC).
II. PH N RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.
Phần A: (theo chương trình chuẩn)
Câu 5a: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 5 3x 4 5x 2 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng
(–2; 5).
Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y
4 3 x2
x
5x có đồ thị (C).
3
2
a) Tìm x sao cho y 0 .
b) Vi t phương trình ti p tuy n của (C) tại điểm có hoành độ x = 0.
Phần B: (theo chương trình nâng cao)
Câu 5b: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình 2 x3 6 x 1 0 có ít nhát hai nghiệm.
Câu 6b: (2 điểm) Cho hàm số y 4 x 3 6 x 2 1 có đồ thị (C).
a) Tìm x sao cho y 24 .
b) Vi t phương trình ti p tuy n của (C), bi t ti p tuy n đi qua điểm A(–1; –9).
Đ 19
A. Ph n chung: (8 điểm)
Câu 1: (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1) lim
x 1
2 x 2 3x 1
4 3x x
2
2) lim
x
x2 2x 2 x2 2x 3
4 x2
khi x 2
tại điểm x = 2.
Câu II: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) x 2 2
2 x 20
khi x 2
Câu III: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
3 5x
1) f ( x )
2) f ( x ) sin(tan( x 4 1))
x2 x 1
Câu IV: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, SA ( ABCD) ,
SA
a 6
.
2
1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ A đ n đường thẳng SC.
3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
B. Ph n riêng: (2 điểm)
Câu Va: Dành cho học sinh học chương trình Chuẩn
Cho hàm số: y x 3 3x 2 2 x 2 .
11
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
1) Giải bất phương trình y 2 .
2) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số, bi t ti p tuy n đó song song với đường thẳng d:
x y 50 0 .
Câu Vb: Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao
1) Tìm 5 số hạng của một cấp số nhân gồm 5 số hạng, bi t u3 3 và u5 27 .
2) Tìm a để phương trình f ( x ) 0 , bi t rằng f ( x) a.cos x 2sin x 3x 1 .
Đ 20
A. Ph n chung: (7 điểm)
Câu I: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
3n 2.4n
4 3
3 x 2 10 x 3
c) lim
x 3 x 2 5 x 6
Câu II: (2 điểm)
a) lim
n
n
x 2 3x 18
a) Cho hàm số f x
x 3
a x
b) lim n2 2n n
3x 1 2
d) lim
x 1
x
1
khi x 3 . Tìm a để hàm số liên tục tại x 3 .
khi x 3
b) Chứng minh rằng phương trình x3 3x 2 4 x 7 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–4; 0).
Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD =
2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với SA.
a) CMR: SO (ABCD), SA (PBD).
b) CMR: MN AD.
c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
d) CMR: 3 vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng.
B. Ph n riêng. (3 điểm)
Câu IVa: Dành cho h c sinh h c theo chương trình chuẩn.
a) Cho hàm số f ( x ) x 3 3x 4 . Lập phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2).
b) Tìm đạo hàm của hàm số y sin2 x .
Câu IVb: Dành cho h c sinh h c theo chương trình nâng cao.
a) Cho hàm số f ( x ) x 3 3x 4 . Lập phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số bi t rằng ti p tuy n đó đi
qua điểm M(1; 0).
b) Tìm đạo hàm của hàm số y sin(cos(5x3 4 x 6)2011 )
12
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
ĐÁP ÁN
Đ 1
2 x x2
( x 2)( x 1)
= lim
1) lim
lim( x 2) 3
x 1
x 1
x 1
x 1
( x 1)
Bài 1.
x
3)
lim
x 3
x
7x 1
x 3
3 12
x x4
lim ( x 3) 0, lim (7 x 1) 20 0; x 3 0 khi x 3 nên I
x 3
Ta có:
4)
2 x 4 3x 12 = lim x 2 2
lim
2)
x 1 2
9 x
lim
x 3
2
x 3
=
x 3
x 3 (3 x )(3 x )(
lim
x 1 2)
lim
x 3 ( x 3)(
1
x 1 2)
x 2 5x 6
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x )
x 3
2 x 1
Bài 2.
Hàm số liên tục với mọi x 3.
Tại x = 3, ta có:
+ f (3) 7
+
lim f ( x ) lim (2 x 1) 7
x 3
x 3
Hàm số không liên tục tại x = 3.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng
+
lim f ( x ) lim
x 3
x 3
(;3), (3; ) .
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
Xét hàm số:
Ta có:
+
+
2)
khi x 3
( x 2)( x 3)
lim ( x 2) 1
( x 3)
x 3
2 x 3 5x 2 x 1 0 .
f ( x) 2 x 3 5x 2 x 1 Hàm số f liên tục trên R.
f (2) 1 0
PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 (2;3) .
f (3) 13 0
c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
y x x2 1 y '
2x2 1
x2 1
b)
y
3
(2 x 5)
2
y'
12
(2 x 5)3
2
x 1
( x 1)
y
x 1
( x 1)2
a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y (2) 2 PTTT: y 3 2( x 2) y 2 x 1 .
y
1
1
x 2
có hệ số góc k
TT có hệ số góc k .
2
2
2
x 1
1
2
1
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của ti p điểm. Ta có y ( x0 )
0
2
( x0 1)2 2
x0 3
b) d:
y
13
1
24
khi x 3
f (0) 1 0
PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 (0;1) .
f (1) 1
Mà c1
Bài 3.
1) a)
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
x0 1 y0 0 PTTT: y
1
1
x .
2
2
1
7
+ Với x0 3 y0 2 PTTT: y x .
2
2
+ Với
S
SA (ABCD) SA AB, SA AD
Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.
BC SA, BC AB BC SB SBC vuông tại B.
CD SA, CD AD CD SD SCD vuông tại D.
BD AC, BD SA BD (SAC) (SBD) (SAC).
Bài 4.
1)
A
D
O
2)
C
B
BC (SAB)
3)
SC,(SAB) BSC
SB2 SA2 AB2 3a2 SB = a 3
BC
1
0
SBC vuông tại B tan BSC
BSC 60
SB
3
SAB vuông tại A
4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có:
SAO vuông tại A
Bài 5a.
I lim
x 2
tan SOA
x2 8
x 2 11x 18
2
Từ (1) và (*) I1
lim
Từ (2) và (*) I 2
lim
Bài 6a.
SA
2
AO
lim ( x 11x 18) 0 ,
x 2
Ta có:
(SBD) ( ABCD) BD , SO BD, AO BD (SBD),( ABCD) SOA
x 2
x 2
x 2 11x 18 ( x 2)( x 9) 0,
2
x 11x 18 ( x 2)( x 9) 0,
lim ( x 2 8) 12 0
(*)
x 2
x2 8
x 2 11x 18
x2 8
x 2 11x 18
khi x 2
khi x 2
.
1
y x 3 2 x 2 6 x 18 y ' x 2 4 x 6
3
BPT
y ' 0 x 2 4 x 6 0 2 10 x 2 10
Bài 5b.
lim
Bài 6b.
y
x 2x 1
x 1 x 2
BPT
12 x 11
lim
( x 2 x 1) x 2 x 11
x 1 ( x 2
12 x 11) x 2 x 1
=
x 2 3x 3
x2 2x
y'
x 1
( x 1)2
lim
( x 1)
x 1 ( x 11)
x
2 x 1
0
2
x2 2x
x 0
y 0
0 x 2x 0
.
x 2
( x 1)2
x 1
ĐÁP ÁN Đ 2
1 1
1 1
x 1
3
3
x
x x2
x x2
x 2 x 1 3x
1
lim
lim
1) lim
x
x
x
2x 7
7
7
x2
x2
x
x
5
1
3
3
2) lim 2 x 5x 1 lim x 2
x
x
x2 x3
Bài 1:
x 1
14
(1)
(2)
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
2 x 11
x 5 5 x
lim 5 x 0
x 5
Ta có: lim 2 x 11 1 0
x 5
x 5 5 x 0
3)
4)
lim
x3 1 1
x2 x
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 5
x x 1 x 3 1 1
x3
2 x 11
5 x
lim
x 0
x 1 x 3 1 1
x2
0
x3 1
1) Khi x 1 ta có f ( x )
x 2 x 1 f(x) liên tục x 1 .
x 1
Bài 2:
Khi x = 1, ta có:
f (1) 2m 1
f(x) liên tục tại x = 1 f (1) lim f ( x ) 2m 1 3 m 1
2
lim f ( x ) lim( x x 1) 3
x 1
x 1
x 1
Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.
f ( x ) (1 m2 ) x 5 3x 1 f(x) liên tục trên R.
2) Xét hàm số
f (1) m2 1 0, m; f (0) 1 0, m f (0). f (1) 0, m
Phương trình có ít nhất một nghiệm c (0;1) , m
Ta có:
Bài 3:
1) a)
y
2) (C):
2 2 x x 2
x2 1
y'
2x2 2x 2
( x 2 1)2
b)
y x x 3 y 4 x 2 x
4
y 1 2 tan x y '
3
2
1 tan2 x
1 2 tan x
x 0
a) Với y 3 x x 3 3 x 1
x 1
4
2
Với
x 0 k y (0) 0 PTTT : y 3
Với
x 1 k y (1) 2 PTTT : y 2( x 1) 3 y 2 x 1
Với
x 1 k y (1) 2 PTTT : y 2( x 1) 3 y 2 x 1
x 2y 3 0 có hệ số góc kd
1
Ti p tuy n có hệ số góc k 2 .
2
3
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của ti p điểm. Ta có: y ( x0 ) 2 4 x0 2 x0 2 x0 1 ( y0 3 )
PTTT: y 2( x 1) 3 y 2 x 1 .
b) d:
Bài 4:
1)
A
2)
3)
K
O
BC (OAI)
C
I
BI
cos BAI
AB,( AOI ) BAI
BC a 2
2
2
ABC đ u
B
ABI vuông tại I
OA OB, OA OC OA BC
(1)
OBC cân tại O, I là trung điểm của BC OI BC
Từ (1) và (2) BC (OAI) (ABC) (OAI)
Từ câu 1) BC (OAI)
AI
BC 3 a 2 3 a 6
2
2
2
AI
3
BAI 300 AB,( AOI ) 300
AB
2
15
(2)
Gia sư Thành Được
AI ,OB AI , IK AIK
www.daythem.edu.vn
4) Gọi K là trung điểm của OC IK // OB
AOK vuông tại O
6a2
AI
4
AK 2 OA2 OK 2
a2
IK
4
2
5a2
4
AIK vuông tại K
2
1
2
n 1
1
lim
(1 2 3 ... (n 1))
...
lim 2
2
2
2
n 1
n 1
n 1 n 1
1
1
1 (n 1) 1 (n 1)
(n 1)n
n 1
lim
lim
= lim
2
2
2 2
2
n 1
2(n 1)
2
n2
Bài 6a: y sin 2 x 2 cos x y 2 cos2 x 2sin x
cos AIK
IK
1
AI
6
Bài 5a:
x 2 k 2
sin x 1
2
x k 2
PT y ' 0 2 cos2 x 2sin x 0 2sin x sin x 1 0
1
sin x
6
2
7
x 6 k 2
Bài 5b:
y 2x x2 y '
Bài 6b:
f ( x)
PT
64
x
3
1 x
2x x2
y"
1
(2 x x 2 ) 2 x x 2
y3 y " 1 0
192 60
60
3
3x 16 f ( x )
x
x 4 x2
2
4
192 60
x 2
3 0 x 20 x 64 0
f ( x ) 0
4
2
x 4
x
x
x 0
Đ 3
1 1
1
lim ( x 3 x 2 x 1) lim x 3 1
x
x
x x2 x3
lim ( x 1) 0
x 1
3x 2
3x 2
lim
2) lim
. Ta có: lim (3 x 1) 2 0
1
x
x
1
x 1 x 1
x
1
x 1 x 1 0
Bài 1:
1)
lim
3)
x 2
4)
lim
x 2 2
x 7 3
lim
( x 2) x 7 3
x 2 ( x 2)
2 x 3 5x 2 2 x 3
x 3 4 x
3
13x 4 x 3
2
lim
x 2 2
lim
2x2 x 1
x 2
x 7 3
x2 2
11
x 3 4 x x 1 17
2
4
5 1
n
n
1
4 5
lim
5) lim
n
3
2n 3.5n
2
3
5
n
16
3
2
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
3 3x 2 2
x 2
Bài 2: f ( x )
ax 1
4
Ta có:
khi x >2
khi x 2
f (2) 2a
lim f ( x ) lim
x 2
3
x 2
Hàm số liên tục tại x = 2
1
4
1
1
lim f ( x ) lim ax 2a
4
4
x 2
x 2
3x 2 2
lim
x 2
x 2
( x 2)
3( x 2)
3
(3x 2)2 2 3 (3x 2) 4
f (2) lim f ( x ) lim f ( x ) 2a
x 2
x 2
1 1
a0
4 4
1
4
f ( x ) x 5 3x 4 5x 2 f liên tục trên R.
Ta có:
f (0) 2, f (1) 1, f (2) 8, f (4) 16
f (0). f (1) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 (0;1)
Bài 3: Xét hàm số
f (1). f (2) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 (1;2)
f (2). f (4) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 (2;4)
PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Bài 4:
5x 3
5x 2 6 x 8
y
x2 x 1
( x 2 x 1)2
1)
y
3)
y 1 2 tan x y '
2)
1 2 tan2 x
1 2 tan x
4)
4 x 2 5x 3
y ( x 1) x 2 x 1 y
2 x2 x 1
y sin(sin x) y ' cos x.cos(sin x)
Bài 5:
SAB ABC
SBC ABC SB ABC
SAB SBC SB
1)
S
K
H
B
60
CA AB, CA SB CA (SAB) CA BH
Mặt khác: BH SA BH (SAC) BH SC
Mà BK SC SC (BHK)
Từ câu 2), BH (SAC) BH HK BHK vuông tại H.
Vì SC (BHK) nên KH là hình chi u của SA trên (BHK)
2)
C
0
3)
4)
A
Trong ABC, có:
SA,(BHK ) SA, KH SHK
AC AB tan B a 3; BC 2 AB2 AC 2 a2 3a2 4a2
SB2 a 5
Trong SBC, có: SC SB BC a 4a 5a SC a 5 ; SK
SC
5
2
Trong SAB, có:
SH
2
2
2
2
2
SB2 a 2
SA
2
a 30
3a2
HK
10
10
60
15
HK
cos SA,(BHK ) cos BHK
10
5
SH
Trong BHK, có:
HK 2 SH 2 SK 2
x2 2x 5
x 2 3x 2
Bài 6: f ( x )
f (x)
x 1
( x 1)2
17
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Ti p tuy n song song với d:
y 5x 2 nên ti p tuy n có hệ số góc k 5 .
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của ti p điểm. Ta có: f ( x0 ) 5
y cos2 2 x =
2)
x 0
5 0
x0 2
x0 2 y0 12 PTTT: y 5x 22
Với
1)
( x0 1)
2
x0 0 y0 2 PTTT: y 5x 2
Với
Bài 7:
x02 2 x0 5
1 cos 4 x
2
2
y 2sin 4 x y " 8cos4 x y '" 32sin 4 x
A y 16y 16y 8 8cos 4 x
Đ 4
2
3
lim (5x 3 2 x 3) lim x 3 1
2
x
x
x
x3
lim ( x 1) 0
x 1
3x 2
3x 2
2) lim
. Ta có: lim (3 x 1) 2 0 lim
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1 0
Bài 1:
1)
3)
2 x
x 7 3
lim
x 2
(2 x ) x 7 3
lim x 7 3 6
x 2
x 2
x 2
lim
( x 3)3 27
x 3 9 x 2 27 x
4) 4) lim
lim
lim( x 2 9 x 27) 27
x 0
x 0
x 0
x
x
3
1
4 1 4
n
n
3 4 1
1
lim
5) lim
n
2
2.4n 2n
1
2
2
n
x 1
khi x 1
Bài 2: f ( x ) x 1
3ax
khi x 1
Ta có:
f (1) 3a
lim f ( x ) lim
x 1
x 1
lim f ( x ) lim 3ax 3a
x 1
x 1
lim
x 1 x 1
Hàm số liên tục tại x = 1
Bài 3: Xét hàm số
n
1
x 1
x 1
1
2
f (1) lim f ( x ) lim f ( x ) 3a
x 1
x 1
f ( x) x 3 1000 x 0,1 f liên tục trên R.
1
1
a
2
6
f (0) 0,1 0
f (1). f (0) 0 PT f ( x ) 0 có ít nhất một nghiệm c (1;0)
f (1) 1001 0,1 0
Bài 4:
1)
y
2x2 6x 5
4 x 2 16 x 34 2 x 2 8x 17
y'
2x 4
(2 x 4)2
2( x 2)2
18
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
x2 2x 3
3x 7
y'
2x 1
(2 x 1)2 x 2 2 x 3
2)
y
3)
y
4)
y sin(cos x) y ' sin x.cos(cos x)
sin x cos x
y tan x y '
sin x cos x
4
BD AC, BD SA BD (SAC) (SBD) (SAC)
CD AD, CD SA CD (SAD) (DCS) (SAD)
Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
Bài 5:
1)
S
2)
SA (ABCD)
H
A
tan SDA
B
tan BSA
SB,(SAC) BSO .
Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
OB
SA 2a
2
AD a
AB (ABCD)
C
BO (SAC)
SD,( ABCD) SDA
SB,(SAD) BSA
Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
O
D
1
1 tan2 x
4
cos2 x
4
AB a 1
SA 2a 2
a 2
3a 2
OB 1
, SO
tan BSO
2
2
OS 3
3) Tính khoảng cách từ A đ n (SCD)
Trong SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH SD, AH CD AH (SCD) d(A,(SCD)) = AH.
1
AH 2
1
SA2
1
AD 2
Tính khoảng cách từ B đ n (SAC)
1
4a 2
1
a2
BO (SAC) d(B,(SAC)) = BO =
Bài 6:
(C ) : y x 3 3x 2 2 y 3x 2 6 x
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có:
2a 5
2a 5
d ( A,(SCD ))
5
5
a 2
2
y (1) 9 PTTT: y 9 x 7
2) Ti p tuy n vuông góc với d:
Gọi
AH
1
y x 2 Ti p tuy n có hệ số góc k 9 .
9
( x0 ; y0 ) là toạ độ của ti p điểm.
x 1
y ( x0 ) 9 3x02 6 x0 9 x02 2 x0 3 0 0
x0 3
Với x0 1 y0 2 PTTT: y 9 x 7
Ta có:
Với
x0 3 y0 2 PTTT: y 9 x 25
x2 2x 2
y x 1 y 1
2
x2
x 1 .1 1 x 2 2 x 1 ( x 1)2 y
2 y.y 1 2
2
Bài 7:
y
Đ 5
Bài 1:
19
2
Gia sư Thành Được
a)
b)
lim
lim
x 1
www.daythem.edu.vn
2n 2n 3
3
1 4 n3
x 3 2
x 1
2
lim
lim
2
2
n
1
3
n3 1
2
4
2
x 3 2 x 3 2
n3
x 1 ( x 1)( x 1)
x 2 3x 2
Bài 2: f ( x )
x2
3
khi x 2
x 3 2
lim
x 1 ( x 1)
x 3 2
1
1
8
khi x 2
( x 1)( x 2)
x 1 f(x) liên tục tại x 2
x2
Tại x 2 ta có: f (2) 3, lim f ( x ) lim ( x 1) 1 f (2) lim f ( x)
Khi x 2 ta có
f ( x)
x 2
f(x) không liên tục tại x = –2.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng
Bài 3:
x 2
x 2
(; 2), (2; ) .
y 2sin x cos x tan x y ' 2 cos x sin x 1 tan2 x
b) y sin(3x 1) y ' 3cos(3x 1)
c) y cos(2 x 1) y 2sin(2 x 1)
a)
d)
y 1 2 tan 4 x y '
.
cos2 4 x 2 1 2 tan 4 x
8
1
4 1 tan2 4 x
1 2 tan 4 x
a)
Vẽ SH (ABCD). Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD
đường tròn ngoại ti p tam giác ABD
Bài 4:
S
H
Mặt khác ABD có AB = AD và BAD 60 nên ABD đ u.
Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H AO H AC
0
Như vậy,
A
H
D
b)
O
B
C
SH (SAC )
(SAC ) ( ABCD)
SH ( ABCD)
Ta có ABD đ u cạnh a nên có
AO
Tam giác SAC có SA = a, AC =
a 3
a 3
AC a 3
2
a 3
a2
2
1
2
Trong ABC, ta có: AH AO AC
AH
3
3
3
3
Tam giác SHA vuông tại H có
HC
SH 2 SA2 AH 2 a2
a2 2a2
3
3
2
2a 3
4a2
4a2 2a2
AC
HC 2
SC 2 HC 2 SH 2
2a 2
3
3
3
3
3
SA2 SC 2 a2 2a2 3a2 AC 2 tam giác SCA vuông tại S.
c)
Bài 5a:
a)
SH ( ABCD) d (S,( ABCD)) SH
f ( x ) 2 x 3 6 x 1 f ( x ) 6 x 2 6
a 6
3
f (5) 144
f (0) 6 PTTT: y 6 x 1
c) Hàm số f(x) liên tục trên R. f (1) 5, f (1) 3 f (1). f (1) 0
phương trình f ( x ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
b) Tại điểm Mo(0; 1) ta có:
20
là
tâm
- Xem thêm -
.PDF 
45 
781 
149 
