Tài liệu 20 bài tập hình học không gian lớp 11

1 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM AN  .Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN,cắt CD và BD lần lượt tại E AB AC và F a)Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định b)Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B a) Tìm các giao tuyến (P) � (SAB) và (P) � (SBC) b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm M ,N sao cho: AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh rằng MN // DE b)Giả sử MN // DE, hãy tính k theo MN và DE ? Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b)Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh rằng ME//AC , NF//BD b)Chứng minh rằng ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O là giao điểm của AC và BD) đồng qui c)Chứng minh rằng 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =ACBD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua CM và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hh nh chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. 2 HD: a) Đường thẳng qua C và song song với BC. b) HHnh thang. HHnh bH nh hành khi M là trung điểm của SA. c) Hai nửa đường thẳng. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: IA JB  . ID JC a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. Bài 10: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B� = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB  OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. Bài 11: Trong mặt phẳng  cho tam giác đều ABC. Gọi  là mặt phẳng cắt  theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng  ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng một phía với . Trên Bx và Cy ta lấy B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’ a)Tìm giao điểm D của đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) và tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng  b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M sao cho AM = AC’.Tìm giao điểm I của đường thẳng B’M với mặt phẳng  và chứng minh I là trung điểm của AD c)Chứng minh rằng nếu B’ và C’ theo thứ tự chạy trên Bx và Cy sao cho BB’ = 2CC’ thì mặt phẳng (AB’C’) luôn luôn cắt  theo một giao tuyến cố định d)Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC.Cạnh AC cắt DE tại G. Hãy tính tỉ số và chứng minh rằng AD = 2AF Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi trên cạnh BC, mặt phẳng  qua M và song song với AB và SC a) Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b) Dựng thiết diện của hình chóp với  c) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của  với (SAD) thì //SD Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên AD và BC cắt nhau tại I. Tam giác SAB cân tại S và SI = 2a. Trên đoạn AI ta lấy một điểm M, đặt AM = x (0< x < 2a ). Mặt phẳng  qua M song song SI và AB lần lượt cắt BI, SB, SA tại N ,P ,Q a)Tính góc giữa SI và AB b) MNPQ là hình gì ? c)Tính diện tích MNPQ theo a và x.Tìm x để diện tích ấy lớn nhất. Khi đó MNPQ là hình gì 3 d)Gọi K = MP  NQ. Tìm quĩ tích điểm K khi M chạy trên đoạn AI Bài14 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG với mp(BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M, A thẳng hàng và BM = MA = AN. c) Chứng minh GA = 3GA. Bài15 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M, N. a) Chứng minh: (CBE) // (ADF). b) Chứng minh: (DEF) // (MNNM). c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động. Bài16 Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau uuur Ax, uuu rBy. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ NP  BA . a) C/ minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M, N di động. Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC. a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. Bài 18: Đề thi đại học khối A năm 2011 ( 1 điểm) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Bài 19: ( Đề thi đại học khối A năm 2010 câu IV : 1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Bài 20: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. 4 Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM AN  .Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN,cắt CD và BD lần AB AC lượt tại E và F a)Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định b)Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE GIẢI: AM AN  nên MN không song song với BC. AB AC Gọi K  MN �BC cố định. Mặt khác : (MNEF) �(BCD) = EF; MN �(MNEF); BC �( BCD) và K  MN �BC nên K �EF hay EF luôn đi qua điểm K cố định. b) Khi (P) �(ABC) thì B �F; C �E . Gọi H  BN �CM cố định. Khi (P) �(MND) thì E �D �F Mặt khác ( BDN) �(CDM) = DH mà ME � (CDM) ; NF �(BDN) nên I �DH hay quỹ tích điểm I là đoạn thẳng DH. c) Tương tự : MF �(ABD) ; NE �(ADC) mà (ABD) �(ADC) = AD; MF � NE = J a) Vì nên J thuộc đường thẳng AD hay quỹ tích điểm J là đường thẳng AD * Giới hạn quỹ tích : Khi (P) �(MND) thì J �D; (P) �(ABC) thì J �Anên J � AD  Vậy quỹ tích điểm J là đường thẳng AD trừ đi khoảng AD. J D F E I B M H A C N K 5 Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B a) Tìm các giao tuyến (P) � (SAB) và (P) � (SBC) b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng Giải: S a) Vì B, M � MNB  � SAB  nên  MNB  � SAB   BM K N  Tương tự :  MNB  � SAB   BN I Vì M; N lần lượt là trung điểm H M của SA; SC nên MN // AC Gọi I = MN �SO D Suy ra : I là trung điểm của SO. C Vậy (P) cắt SO tại trung điểm của SO. O  Gọi K BI �SD Vì O là trung điểm của BD B Từ O, vẽ đường thẳng song A song với BI cắt SD tại H. Áp dụng t/c đường trung bình. Ta có : E SK = KH = HD 1 3 c) Từ kết quả câu b. Suy ra :  P  � SAD   MK ;  P  � SDC   NK SK 1 SM 1  ;  nên AD không song song với MK. d) Vì SD 3 SA 2 Gọi E = AD �MK thì  P  �DA  E hay Vậy (P) cắt SD tại K : SK  SD Tương tự : F  DC �NK thì  P  �DC  F nên  P  � ABCD   EF mà B � P  � ABCD  Suy ra : B �EF hay ba điểm B; E và F thẳng hàng. F 6 Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm M ,N sao cho: AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh rằng MN // DE b)Giả sử MN // DE hãy tính k theo MN và DE GIẢI: E a) Gọi J = AB �EN . JBN ( g-g) Ta có : EFN BJ BJ BN JN 1     EF BA NF NE 2 BJ 1  nên BA 2 � F B N hay J là trung điểm của AB. Tương tự : Gọi J1 = AB �DM . CMD ( g-g) Ta có : AMJ1 C M BJ1 J1M 1   hay J1 là trung điểm của AB BA MD 2 Vậy J �J1 nên MD �NE  J JM JN 1   nên MN // DE ( Định lí Talet) và MD NE 2 A D b) Nếu MN // DE. Vì M �AC nên DM cắt AB tại 1 điểm. Gọi giao điểm là J. Tương tự, vì N �BF nên EN �AB = J1. mà J; J1 � (MNED) nên J �J1 . Áp dụng định lí Ta let. Ta có : MN JM JM AM MN    k hay k  mà DE JD JD AC DE H Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. J Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b)Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) S c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) GIẢI: N a) Gọi H = AD �BC . Ta có :  SAD  � SBC   SH . P J  SH � MN b) Gọi . M Ta có : SJ = JH. D Gọi P  AJ �SD thì P � AMN  Vậy  AMN  �SD  J . c) Vậy thiết diện của hình chóp SABCD với  AMN  là AMNP. A C B 7 Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh rằng ME//AC , NF//BD b)Chứng minh rằng ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O là giao điểm của AC và BD) đồng qui c)Chứng minh rằng 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng GIẢI: a) ME; NF lần lượt là đường trung bình của SAC ; SBD S nên ME//AC , NF//BD b) Ta có : SAC �SBD  SO Xét ( SAC): Gọi J = SO �ME thì SJ = JO (Đlí ) Xét ( SBD): Gọi J1 = SO �NF thì SJ1 = J1O (Đlí ) M F nên J �J1 hay ba đường thẳng đồng quy tại trung điểm của SO. c) Vì ME �NF  J J N A nên 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng. E D O B C Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a)CMR: IJ, MN và SOđồng qui (O =ACBD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) IN �AD =P, MJ �BC = Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. Giải: a) Ta có : (SAC) �(SBD) = IJ Trong (SAC). Gọi K = IJ �SO (1) nên K � P  và K �SO � K � SBD  mà  P  � SBD   MN S Suy ra : K �MN (2) Từ (1) và (2). Ta có : IJ, MN và SO đồng qui N nên N là giao điểm của MK với SD. K I H J D M F A Q O E P B C 8 b) Vì S; E và F cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) nên S; E và F cùng nằm trên đường thẳng hay S, E, F thẳng hàng. c) Từ IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q nên PQ là giao tuyến của (P) và (ABCD). Mặt khác : Xét (SAC) Gọi H = IJ �AC . Vì IJ và AC cố định nên H cố định. Mà IJ � (P); AC � ABCD  nên H �PQ hay PQ luôn đi qua điểm H cố định. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua CM và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. GIẢI: a) Từ ( P) // BC. Gọi B'   P  �SB Ta có : B'C' // BC nên B' là trung điểm cạnh SB Vậy (P) luôn đi qua đường thẳng B'C' cố định. b) Vì BC // B'C' và BC // AD nên B'C' // AD S Mặt khác : ( AB'C'D) �(SAD) = AD + ( AB'C'D) �(P) = B'C' + (P) �(SAD) = MD' Suy ra : MD' // AD I D' M Vậy D' là giao điểm của đường thẳng qua M và song song với AD B' C' nên thiết diện của (P) với hình chóp SABCD là B'C'D'M A  Để B'C'D'M là hình bình hành thì B'C' = MD' 1 2 mà B'C' = BC = 1 AD 2 B C Vậy M là trung điểm cạnh SA. c) Khi M �A thì D ' �D . Gọi I  AB '�DC ' ( = MB '�D ' C ' ) S D ' S nên S = MB '�D ' C ' Khi M � Vậy tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA là đường thẳng SI trừ khoảng giữa SI. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). GIẢI: a) Vì các mặt phẳng ( SBC); (ABCD) và (ADJ) Lần lượt cắt nhau theo ba giao tuyến AD; BC và EF và AD // BC; J �EF D 9 nên (ADJ) � (SBC) = EF S với EF đi qua J và song song với BC. * Tương tự : (BCI) cắt (SAD) theo giao tuyến MN song song với AD và đi qua I. Vì I là trọng tâm của SAD và MN // AD MN SM SI 2 2 2    � MN  AD  a AD SA SH 3 3 3 SM SE 2   nên ME // AB Mặt khác : SA SB 3 E nên Tương tự : NF // DC B K Q M MQ ME 2 ME NF 2     � QB AB 3 AB DC 3 Gọi K = MC �PQ nên F J C I N P Suy ra : PQ =QK + KP = 2 1 2 1 2 2 2 BC  MN  b  � a  a  b 3 3 3 3 3 9 3 A D H Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: IA JB  . ID JC a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. A Giải: a) Cách dựng IJ: IA k AD Dựng IH // CD, H �AC . Dựng HJ // AB, J �BC Gọi I I �AD : E I Ta có : IJ là đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Giải: Qua I, dựng IH // CD, H �AC . � AH IA JB   ( Định lí Ta let) HC ID JC N B * Dựng mặt phẳng (P) qua CD và song song với AB > Ta có mặt phẳng (P) cố định. Mặt khác : HJ // AB; AB // (P) Nên (P) // HJ (P) // HI ( vì HI // CD) Nên (P) // (HIJ) Suy ra : IJ // (P) cố định. P H M K D J IM k MJ C Dựng MN // IH ( N �HJ ) Gọi E  CN �AB ; F  EM �CD . Ta có : Tập hợp điểm M thuộc đoạn thẳng EF. b) Gọi M �IJ : F 10 Thật vậy: Xét (IHJ) : MN // IH nên N �JH . Mặt khác : Xét ( CDE): N �CE; NM / / CD � M �(CDE ) Và F  EM �CD ( cách dựng ) nên M �EF . Phần đảo: Gọi M �EF bất kì. Chứng minh : M �IJ : IM k MJ Thậy vậy: Từ M �EF . Qua M, dựng (P)// AB; (P) // CD. Cắt CA; CE; CB; DB; DA lần lượt tại H; N; J; I và K. và IK cắt CE tại P. Ta có : M �NP ( Vì MP; MN cùng song song với CD) MP FB  k. MN FC Mặt khác : M 1  IJ �NP . M 1 P IP NH EA Ta có : M N  NJ  NJ  EB  k 1 MP M 1 P MP MI  k Vậy MN  M N  k hay M �M 1 và MN MJ 1 nên Bài 10: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B� = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB  OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, S SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. P b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. 0 0 � Giải: a) Ta có:  ABC : �A  90 , B = 60 , AB = a là nửa tam giác đều. a Mặt khác vì (Q) song song với SB và OA nên MN // OA; MQ // SB // NP. Từ SB  OA � MN  MQ nên MNPQ là hình thang vuông. Q b) Từ  ABC là nửa tam giác đều 2a Suy ra : ABO đều � BMN đều O B N Áp dụng định lí Ta let. Ta có : MN BM BM � AO x � a  � MN    x. x + AO AB AB A MQ AM AM � SB  a  x  a  � MQ    a x + SB AB AB a M a NP CN CN � SB  2a  x  a 2a  x  � NP    + SB CB CB 2a 2 2a  x � � ax 4ax  3 x 2 � � MQ  NP Vậy S 2 � = � � MN  � x 4 MNPQ  2 2 A 2 2 4 2� 4 2 �2 2 � 4 2 � 2 * Ta có : 4ax  3x = 3 �x  2 � ax  a � a = 3 �x  a � a 3 9 �3 � � 3 � 3 4 2 Vậy Max S MNPQ  a 2 khi x  a 3 3 3a 2 C 11 Bài 11: Trong mặt phẳng  cho tam giác đều ABC. Gọi  là mặt phẳng cắt  theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng  ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng một phía với . Trên Bx và Cy ta lấy B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’ a)Tìm giao điểm D của đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) và tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng  b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M sao cho AM = AC’.Tìm giao điểm I của đường thẳng B’M với mặt phẳng  và chứng minh I là trung điểm của AD c)Chứng minh rằng nếu B’ và C’ theo thứ tự chạy trên Bx và Cy sao cho BB’ = 2CC’ thì mặt phẳng (AB’C’) luôn luôn cắt  theo một giao tuyến cố định d)Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC.Cạnh AC cắt DE tại G. Hãy tính tỉ số và chứng minh rằng AD = 2AF Giải: a) Ta có : BC và B'C' không song song x và BC, B'C' cùng thuộc mặt phẳng  B' nên D  BC �B ' C ' y AB ' C ' �   Vậy AD = (  b)Áp dụng đ/lí Talet cho BDB ' C' Có : CC' // BB' (gt) DC DC ' CC ' 1    DB DB ' BB ' 2 F B nên C' là trung điểm của DB' M hay M là trọng tâm của ADB ' G � I là trung điểm của AD. E c) Từ BB’ = 2CC’ Suy ra : C' là trung điểm của BD mà tia BC cố định, độ dài BC không đổi A nên D không đổi. Vậy (  AB ' C ' � = AD không đổi. d) Vì G là trọng tâm của ABD nên C D I AG 2  . AC 3 Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi trên cạnh BC, mặt phẳng  qua M và song song với AB và SC a) Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b) Dựng thiết diện của hình chóp với  S c) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của  với (SAD) thì //SD Giải: a) Vì  qua M và song song với AB Kvà SC nên MQ // AB; MN // SC Gọi K  AD �BC thì (SAD)  (SBC) = SK b) Vì  // AB nên NP // AB. ( Vậy P là giao điểm của đường thẳng qua NNvà // với AB) P nên S.ABCD �   MNPQ AQ BM  AD BC BN BM  Từ MN // SC nên BS BC BN AP  Tương tự : PN // AB nên BS AS c) Từ AB // MQ // CD nên C D M Q A B 12 Suy ra : AQ AP  hay PQ // SD. AD AS Cách 2: Từ QM // DC; MN // CS mà QM �MN  M ; DC �CS  C nên (MNPQ) // (SDC) Mà (MNPQ) � (SAD) = PQ (SDC) �(SAD) = SD Nên PQ // SD. Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên AD và BC cắt nhau tại I. Tam giác SAB cân tại S và SI = 2a. Trên đoạn AI ta lấy một điểm M, đặt AM = x (0< x < 2a ). Mặt phẳng  qua M song song SI và AB lần lượt cắt BI, SB, SA tại N ,P ,Q a)Tính góc giữa SI và AB b) MNPQ là hình gì ? c)Tính diện tích MNPQ theo a và x.Tìm x để diện tích ấy lớn nhất. Khi đó MNPQ là hình gì d)Gọi K = MP  NQ. Tìm quĩ tích điểm K khi M chạy trên đoạn AI Giải: S a) Vì mặt phẳng  qua M song song SI và AB nên MN // AB // PQ; MQ // SI // NP � . Vậy góc tạo bởi SI với AB là MQN Mặt khác, gọi H; K là trung điểm của AB; SI. Vì SAB cân nên SH  AB . IAB đều nên IH  AB Suy ra : AB   SHI  � AB  SI mà MQ // SI P Q nên AB  MQ mà PQ // AB � Suy ra : PQ  MQ hay MQN  900 K A B H M N D C Bài14 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các Icạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG với mp(BCD). 13 b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M, A thẳng hàng và BM = MA = AN. A c) Chứng minh GA = 3GA. GIẢI: a) Xét (ABN): A' AG �BN b) Vì MM' // AA' nên đồng phẳng. P M Nên MM' là đường trung bình của ABA ' � M' là trung điểm của A'B. nên B, M, A thẳng hàng và BM' = M'A' G B Mặt khác: A'G là đường trung bình của MM ' N D nên MA = AN M' vậy BM = MA = AN. A' c) Ta có : AA' = 2MM'; MM' = 2A'G Q N � A'A = 4A'G nên GA = 3GA. C Bài15 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M, N. a) Chứng minh: (CBE) // (ADF). b) Chứng minh: (DEF) // (MNNM). c) Gọi I là trung điểm của MN, F tìm tập hợp điểm I khi M, N di động. GIẢI: a) Ta có :+ AD // BC; AF // BE mà AF �AD  A và BC �BE  B nên (CBE) // (ADF). b) Vì MM' // AB nên MM' // DC AM AM ' BN AN '   ; MC M ' D NF N ' F AM BN  mà ( vì AC = BF) MC NF AM ' AN '  � M ' N '/ / DF nên M 'D N 'F N N' � A Mặt khác : DC // MM'; + M ' M �M ' N '  M '; DF �DC  D nên (DEF) // (MNNM). c) Phần thuận: * Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AB; CF. N' A N B nên I �P. Nếu M � C N F nên I �Q. Nếu M � Vậy quỹ tích của I là đoạn thẳng PQ. A Phần đảo: Gọi I � PQ bất kì. C/m tồn tại 2 điểm M; N : M �AC ; N �BF : AM  BN và MN nhận I làm trung điểm. M' Thật vậy: Xét ( CPF). Qua I, dựng đường thẳng // FC, cắt PC; PF lần lượt tại M1; N1. Qua M1; N1 dựng các đường thẳng song song Q I P M' E B M F D E N1 C N I Q P B M1 M D C 14 với AB cắt AC; BF tại M và N. PN1 PM 1  N1 F M 1C PM 1 AM PN1 BN  ;  + M 1C MC N1 F NF AM BN AM BN  �  � AM  BN (1) Suy ra : MC NF AC BF + Suy ra : CMM 1  FNN1 (c-g-c) � MM 1  NN1 . IM MM 1  Định lí Talet. Ta có : hay IM = IN (2) IN NN1 Áp dụng đlí Ta let, ta có : Vậy điểm I thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài16 Cho hai nửa đường thẳnguuchéo Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt trên ur uunhau u r Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ NP  BA . a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M, N di động. x Giải uuur uuu r a) Từ NP  BA � NB  AP mà NB = AM nên AM = AP hay AMP cân Gọi E; F là 2 điểm bất kì lần lượt thuộc tia Ax và AP : AE = AF Suy ra : MP // EF cố định. * Mặt khác : PN // AB cố định nên MN luôn song song với mặt phẳng qua AB và song song với EF cố định. b) Phần thuận: * Khi M �A thì N �B nên I �H là trung điểm của AB. * Khi M �E thì N �D ( D là giao điểm của đường thẳng qua F cố định, song song với AB và By) nên I �K là trung điểm của ED. Vậy I chạy trên đường thẳng HK cố định. Phần đảo: Lấy I � HK bất kì. Chứng minh : tồn tại 2 điểm M �Ax; N �By : AM = BN và I là trung điểm của MN. Qua B, dựng tia Bx' // Ax; y' E F M T P K S x' X I y Y J D A Q N H Q �Bx ' : BQ  BN B Gọi J là giao điểm của đường thẳng qua D và // NQ. Dựng mặt phẳng qua (HTS) với T; S là trung điểm của EJ và DF. Qua I, dựng đường thẳng song song với TS cắt HT; HS tại X; Y. qua X; Y dựng đường thẳng song song với AB cắt Ax; Bx'; By và Ay' lần lượt tại M; Q; N và P. Ta có : MQNP là hình bình hành ( MQ // NP // AB; MQ = NP = AB) � I là trung điểm của MN. Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC. 15 S a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. GIẢI: a) Vì (P) // (SBD) nên (P) � ABCD   MN ; M �AB; N �AD + Trong ( SAB), qua M: dưng MP // SB; P �AS . ta có : MNP là thiết diện của (P) với S.ABCD b) Áp dụng định lí Talet. Ta có : P C B MN AN PN MN AM MP   ;   BD AD SD BD AB SB M I MN PN MP �   BD SD SB A N Mà SBD đều nên MNP đều . MN AI AI � BD x � b 2 xb  � MN    a Áp dụng định lí Talet. Ta có : BD AO AO a 2 D 2 Vậy SMNP 3 3 �2 xb � x 2b 2 3  � MN 2  � � � 4 4 �a � a2 Bài 18: Đề thi đai học khối A năm 2011 ( 1 điểm) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Giải: S Từ (SAB)  ( ABC) và (SAC)  (ABC) S nên SA  ( ABC) mà AB  BC Suy ra : SB  BC � là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC) hay SBA H � SA  tgSBA � AB  3 � 2a  2 3 � a D Mặt khác: MN là dường trung bình của ABC BC a 2 1 1 MN  BC SA � S MNBC  � SA � � MBA Vậy VSMNBC  � 3 3 2  a  2a  1 2 3a � � a  3a 3 = � 3 2 N nên MN  C A N M C 60° a M B 60°  Qua N, vẽ a // AB.Suy ra : d(AB; SN) = d(AB; (SND)) Hạ AD  a ( D �a ) Vì (SAC)   ABC  và ( SAB)  (ABC) nên SA   ABC  mà AD  a � SD  a hay a   SAD  * Hạ AH  SD � AH  ( SND) Vậy AH là khoảng cách giữa A và (SND) hay AH là khoảng cách giữa AB và SN. �  900 ; AD  MN  a; Xét SAD : SAD H B 16 SA  tgSBA.AB = tg 600 � 2a  2 3a AH = SA2 � AD 2 12a 2 � a2 2 39a   2 2 2 2 SA  AD 12a  a 13 Bài 19: ( Đề thi đại học khối A năm 2010 câu IV : 1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường S thẳng DM và SC theo a. Giải: a) Ta có : AMD  DNC (c  g  c ) �  90 � nên � ADM  DNC hay MD  NC �� ADM  DCN + Áp dụng định lí Pitago. Ta có : 2 5a �a � . MD  AD  AM  a  � �  2 �2 � 1 1 �1 � SCDNM � SH  � MD � NC � � SH Vậy VS �CDNM  � �� 3 3 �2 � 2 1 � 1 � 5a �� 5 3a 3 � �  � � � a 3  � � 3 �2 � 2 �� 24 � � �� 2 2 2 K B C M  Từ chứng minh trên. Ta có : MD  NC mà SH   ABCD  � SH  MD H A N D Vậy MD   SHC  Hạ HK  SC mà MD   SHC  nên HK  MD hay HK là khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC. + Mặt khác : cos DCN  � HC  cos DCN � CD  1  1  tg 2 DCN 1  2 �1 � 1 � � S �2 � 2 5 5 2 5a 5 Áp dụng hệ thức lượng. Ta có : HK  SH � HC 2a SH  HC 2 2  N 2 5a M1a 3 � 5  a 3 2 M 2 �2 5a � � � � 5 � = 2 57 a 19 A vuông tại B có Bài 20: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. a Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. a 3 B C 17 Giải:Cách 1: Hạ NM 1  SB Vì BC   SAB  ; NM1 // BC nên NM 1   SAB  Suy ra : VABCNM  VSABC  VSAMN �  900 Xét SAB : SAB AM  AB 2 AS2 2a 5  2 2 AB +AS 5 SM  SA2  AM 2  4a 2  4a 2 4a 5  5 5 Mặt khác : AC  AB 2  BC 2  2a nên SAC vuông cân � N là trung điểm SC nên NM1 là đường trung bình a 3 nên VABCNM  VSABC  VSAMN 2 Vậy NM1 = 2a 5 4 a 5 3a 3 � 1 a� a 3 1 a 3 = 5 5  � 2a �  � � 5 3 2 3 2 2 1 1  VSAMN = BC � S SAB  � NM 1 � S SAM 3 3 1 AB � BC 1 AM � SM  � SA �  � NM 1 � 3 2 3 2 Cách 2: Ta có : VABCNM  VSABC 1 BC 2 �  900 Xét SAB : SAB mà NM1 = AM  AB 2 AS2 2a 5 4 a 2 4a 5 2 2 2 ;  SM  SA  AM  4 a   AB 2 +AS2 5 5 5 4a 5 + SM  5  4 SB 5 a 5 1 4 �1 � 1 1 �1 � � NM 1 � AM � SM � � BC � AM � SC � �� �� 3 5 �2 � 3 2 �2 � � 2 2 �1 �1 �  �� BC � SC � � AM � �= 5 VS . ABC 5 �3 �2 � � nên VSAMN  3 5 Suy ra : VABCNM  VSABC  3 a3 3 a3 3 �  5 3 5