Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Giáo dục - Đào tạo
Toán học
19 phương pháp chứng minh bất đẳng thức...
Tài liệu 19 phương pháp chứng minh bất đẳng thức
.PDF
37
1040
58
tranphuong
Báo vi phạm
Tải xuống
58
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa A B A B 0 A B A B 0 2/Tính chất + A>B B A + A>B và B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C < 0 A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C
B > 0 A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A m > A n + m > n > 0 và 0
0 1 1 A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A
0) + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) 1 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 2 (x + y + z) Giải: 1 2 a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) 1 ( x y ) 2 ( x z ) 2 ( y z ) 2 0 đúng với mọi x;y;z R 2 Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z = b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : 2 a2 b2 a b a) ; 2 2 b) a2 b2 c2 a b c 3 3 2 c) Hãy tổng quát bài toán Giải: 2 a2 b2 a b 2 2 1 1 2a 2 b 2 a 2 2ab b 2 = = 2a 2 2b 2 a 2 b 2 2ab = a b 2 0 4 4 4 4 a) Ta xét hiệu 2 a2 b2 a b Vậy . 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c 1 2 2 2 = a b b c c a 0 .Vậy 3 3 3 3 9 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 2 Sưu tầm và tuyển chọn 2 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com c)Tổng quát 2 a12 a 22 .... a n2 a1 a 2 .... a n n n Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 mn n 2 mp p 2 mq q 2 m 1 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m n p q 1 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 m m 2 n 0 n 2 m m p0 m2 p Dấu bằng xảy ra khi 2 2 m n p q 1 q 0 m q 2 m 22 m 1 0 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c) Giải: Ta có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c) , a, b, c 0 a 4 b 4 c 4 a 2 bc b 2 ac c 2 ab 0 2a 4 2b 4 2c 4 2a 2 bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0 a2 b2 2 2a 2 b 2 b 2 c 2 2 2b 2 c 2 c 2 a 2 2 2a 2 c 2 2a 2 bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0 a2 b2 b 2 2 c2 c 2 2 a2 2 (a 2 b 2 b 2 c 2 2b 2 ac) (b 2 c 2 c 2 a 2 2c 2 ab) (a 2 b 2 c 2 a 2 2a 2 ab) 0 2 a2 b2 b2 c2 Đúng với mọi a, b, c. c 2 2 a2 ab bc bc ac ab ac 2 2 2 2 0 Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . 3 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Chú ý các hằng đẳng thức sau: A B2 A2 2 AB B 2 A B C 2 A2 B 2 C 2 2 AB 2 AC 2BC A B3 A3 3A2 B 3AB 2 B 3 Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng b2 ab 4 b) a 2 b 2 1 ab a b c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 ab c d e a) a 2 Giải: b2 2 ab 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 0 4 b2 (BĐT này luôn đúng). Vậy a 2 ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 4 2 2 2 b) a b 1 ab a b 2(a b 2 1 2(ab a b) a) a 2 a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy a 2 b 2 1 ab a b . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 ab c d e 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4ab c d e a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b a 2c a 2d a 2c 0 2 2 2 2 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10 b10 a 2 b 2 a 8 b 8 a 4 b 4 Giải: a 10 a a a b a b b a b b a 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 b10 a 2 b 2 a 8 b 8 a 4 b 4 12 10 2 2 10 12 a 12 a 8 b 4 a 4 b 8 b12 2 8 2 2 a 8b 2 2 b 2 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y Chứng minh x2 y2 2 2 x y x2 y2 Giải: 2 2 vì :x y nên x- y 0 x2+y2 2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y 0 x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 0 x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- 2 )2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= 9 x 2 y 2 y 2 6 xy 2 y 1 0 x, y R b/ a 2 b 2 c 2 a b c (gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: 4 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com x. y.z 1 1 1 1 x yz x y z Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 x 1 y 1 z 1 1 1 x y z 1 x 1 y 1 z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( ) 0 (vì < x+y+z theo gt) 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1 a b c 2 ab bc ac Giải: 1 1 a a (1) ab abc ab abc b b c c (2) , (3) Tương tự ta có : bc abc ac abc Ta có : a b a b c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : a b c 1 (*) ab bc ac a ac Ta có : a a b ab abc b ab (5) , Tương tự : bc abc (4) c cb ca abc (6) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : a b c 2 ab bc ac (**) Từ (*) và (**) , ta được : 1 a b c 2 (đpcm) ab bc ac Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x 2 y 2 2 xy b) x 2 y 2 xy dấu( = ) khi x = y = 0 c) x y 2 4xy a b b a d) 2 Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4xy Tacó a b2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac 5 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com 2 2 2 2 a b b c c a 64 a 2 b 2 c 2 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a, b 0 , ta có: a b 2 ab . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1 a 2 ... a n n n a1 a 2 ..a n a a 2 ... a n a1 a 2 ..a n 1 n Dấu “=” xảy ra khi a1 a 2 ... a n n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2x 4x 2x 3 x x x x 2 4 1 2 1 2 4 x a 2 Giải : Nếu đặt t =2 thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt , a, b 0 x b 4 a b 1 3 Khi đó phương trình có dạng : b 1 a 1 a b 2 x Vế trái của phương trình: a b 1 1 1 1 3 b 1 a 1 a b a b 1 a b 1 a b 1 3 b 1 a 1 a b 1 1 1 a b c 3 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 1 1 1 3 b 1 a 1 a b 1 3 3 3 3 a 1b 1a b . 3 3 2 2 a 1b 1a b Vậy phương trình tương đương với : a 1 b 1 a b a b 1 2x 4x 1 x 0 . Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = Giải : P = 3- ( x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì x 1 y 1 z 1 6 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com a b c 3 3 abc 1 1 1 1 33 a b c abc 1 1 1 a b c 9 a b c 1 1 1 9 a b c abc 9 3 9 9 1 1 1 Suy ra Q = -Q nên P = 3 – Q 3- = 4 4 4 x 1 y 1 z 1 4 1 3 Vậy max P = .khi x = y = z = . 3 4 1 1 1 abc 2 2 Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: 2 2abc a bc b ac c ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a 2 bc 2a bc 2 1 1 1 1 a bc a bc 2 ab ac 2 Tương tự : 2 1 1 1 1 b ac b ac 2 bc ab 2 1 1 1 1 2 c ab c ab 2 ac bc 2 2 2 abc 2 2 2 2abc a bc b ac c ab 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : a b c 3 (*) bca ca b abc Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc 33 (1) bca c a b a bc (b c a)(c a b)(a b c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b c a)(c a b) 1 (b c a c a b) c (2) 2 Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được (b c a)(c a b)(a b c) abc abc 1 (3) (b c a)(c a b)(a b c) Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: 2 0 a b c x y z a c Cho . Chứng minh rằng: by cz 4ac a b c 0 x, y, z Giải: Đặt f ( x) x 2 (a c) x ac 0 có 2 nghiệm a,c Mà: a b c f (b) 0 b 2 (a c)b ac 0 7 Sưu tầm và tuyển chọn x y z 2 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com ac y a c yb ac a c y b b x y z xa ac ( yb ac ) ( zc ac ) a c x a c y (a c) z a b c x y z xa yb zc ac a c x y z a b c b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 xa yb zcac x y z a c x y z a b c x y z 2 2 4xa yb zcac a c x y z a b c x y z a c x y z 2 (đpcm) xa yb zcac 4ac a b c 2 Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n 2 ): a1 , a2 ,...an , b1 , b2 ,..., bn . Ta luôn có: (a1b1 a2b2 ... an bn ) 2 (a12 a22 ... an2 )(b12 b22 ... bn2 ) a a a Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .... n b1 b2 bn b b b Hay 1 2 .... n (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) a1 a 2 an Chứng minh: a a 2 a 2 ... a 2 1 2 n Đặt 2 2 2 b b1 b2 ... bn Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng. Nếu a,b > 0: ai b , i i i 1,2,...n , Thế thì: 12 22 ... n2 12 22 ... n2 a b 1 Mặt khác: i i i2 i2 2 1 1 1 1 2 2 ... n n ( 12 22 .... n2 ) ( 12 22 ... n2 ) 1 Suy ra: 2 2 a1b1 a 2 b2 ... a n bn a.b Đặt: i Lại có: a1b1 a2 b2 ... an bn a1b1 a2 b2 ... an bn Suy ra: (a1b1 a2b2 ... anbn ) 2 (a12 a22 ... an2 )(b12 b22 ... bn2 ) i 1,2,..., n a a a i 1 2 .... n Dấu”=” xảy ra i b1 b2 bn 1 1 .... n n cùng dáu Ví dụ 1 : Chứng minh rằng: x R , ta có: sin 8 x cos8 x 8 Sưu tầm và tuyển chọn 1 8 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Giải: Ta có: sin 2 x cos2 x 1, x R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 1 sin 2 x.1 cos2 x.1 sin 4 x cos4 x 12 12 1 sin 4 x cos4 x 2 1 sin 4 x cos4 x 4 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa: 2 1 sin 4 x.1 cos4 x.1 4 1 sin 8 x cos8 x 12 12 4 1 sin 4 x cos4 x 8 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: P 1 tan A. tan B 1 tan B. tan C 1 tan C. tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai , bi ,..., ci )(i 1,2,...., m) Thế thì: (a1a2 ...am b1b2 ...bm ... c1c2 ...cm ) 2 (a1m b1m ... c1m )(a2m b2m ... c2m )(amm bmm ... cmm ) Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì t i sao cho: a t i ai , b t i bi ,..., c t i ci , Hay a1 : b1 : ... : c1 a2 : b2 : ... : c2 an : bn : ...cn a12 a 22 ... a n2 3 Ví dụ 1: Cho n Z,n 2 a a a Chứng minh rằng: 1 2 .... n 2 2 3 n 1 Giải: k N * ta có: 1 k2 1 k 1 2 1 k2 1 k2 1 4 1 1 1 k k 2 2 1 k 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ... 2 ... 5 5 7 2 3 n n 1 n 1 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 1 3 2 n 2 Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: 9 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com a a1 a 2 1 1 1 2 .... n a12 a 22 ... a n2 2 ... 2 3 2 (đpcm) 2 2 3 n 1 3 2 3 n Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: (a c) 2 (b d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2 mà a c2 b d 2 a 2 b 2 2ac bd c 2 d 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 c 2 d 2 (a c) 2 (b d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 12 12 12 (a 2 b 2 c 2 ) 1.a 1.b 1.c2 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2ab bc ac a 2 b 2 c 2 ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Kiến thức: Bất đẳng thức Trê- bư-sép a1 a 2 ..... a n a a ... a n b1 b2 .... bn a1b1 a 2 b2 .... a n bn . thì 1 2 . n n n b1 b2 ..... bn a)Nếu a1 a 2 .... a n b1 b2 .... bn Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a1 a 2 ..... a n thì b1 b2 ..... bn b)Nếu a1 a 2 ... a n b1 b2 .... bn a1b1 a 2 b2 .... a n bn . n n n a a .... an Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 1 2 b1 b2 .... bn Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và sin A. sin 2a sin B. sin 2 B sin C. sin 2C 2S . sin A sin B sin C 3 S là diện tích tan giác. chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0 A B C . Suy ra: 2 sin A sin B sin C sin 2a sin 2 B sin 2C Áp dụng BĐT trebusep ta được: sin A sin B sin C sin 2 A sin 2 B sin 2C 3sin A. sin 2 A sin B. sin 2 B sin C. sin 2C sin A. sin 2 A sin B. sin 2 B sin C. sin 2C 1 (sin 2 A sin 2 B sin 2C ) sin A sin B sin C 3 sin A sin B sin C ABC dêu Dấu ‘=’ xảy ra sin 2 A sin 2 B sin 2C 10 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Mặt khác: sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 sin( A B).cos(A B) sin 2C 2 sin C cos(A B) cos C 2 sin C cos(A B) cos(A B) 2 sin C.2 sin A. sin B 4 sin A sin B sin C (2 R sin A)(2 R sin B).sin C a.b. sin C 2S (2) Thay (2) vào (1) ta có sin A. sin 2a sin B. sin 2 B sin C. sin 2C 2S . sin A sin B sin C 3 Dấu ‘=’ xảy ra ABC đều. Ví dụ 2(HS tự giải): 1 1 1 9 a b c CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y)(1 z ) a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: b/ c/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: a b c 3 bc ca ab 2 d)Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x y 1 ;CMR: x+y 1 5 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2 b 2 c 2 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 1 bc ac ab 2 Giải: a2 b2 c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a b c b c a c a b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a2 b2 c2 a b c 1 3 1 2 2 a . b . c . . = . = bc ac ab 3 bc ac ab 3 2 2 a3 b3 c3 1 1 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= bc ac ab 2 3 2 Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 d 2 ab c bc d d c a 10 Giải: Ta có a 2 b 2 2ab c 2 d 2 2cd 1 1 1 Do abcd =1 nên cd = (dùng x ) ab x 2 1 Ta có a 2 b 2 c 2 2(ab cd ) 2(ab ) 4 (1) ab Mặt khác: ab c bc d d c a = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 1 1 = ab ac bc 2 2 2 ab ac bc 2 2 2 2 Vậy a b c d ab c bc d d c a 10 11 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli Kiến thức: a)Dạng nguyên thủy: Cho a -1, 1 n Z thì 1 a n 1 na . Dấu ‘=’ xảy ra khi và a 0 n 1 chỉ khi b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1, 1 thì 1 a 1 na . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0. a 0 . 1 - cho a 1,0 1 thì 1 a 1 na . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a b b a 1, a, b 0 . Giải - Nếu a 1 hay b 1 thì BĐT luôn đúng - Nếu 0 < a,b < 1 Áp dụng BĐT Bernouli: b1 a a b 1 1 a 1 1 a a a a a ab . ab b Chứng minh tương tự: b a . Suy ra a b b a 1 ab b b Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng 5 a5 b5 c5 a b c . 3 3 (1) Giải 5 5 5 1 3a 3b 3c 3 abc abc abc Áp dụng BĐT Bernouli: 5b c 2a 3a b c 2a 1 1 abc abc abc 5 5 (2) Chứng minh tương tự ta đuợc: 5c a 2b 3b 1 abc abc 5 5a b 2c 3c 1 abc abc (3) 5 (4) Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có 5 5 5 3a 3b 3c 3 (đpcm) abc abc abc Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây: “Cho a1 , a2 ,...a n 0; r 1. Chứng minh rằng 12 Sưu tầm và tuyển chọn (đpcm). 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com r a1r a 2r .... a nr a1 a 2 .... a n . n n Dấu ‘=’ a1 a2 .... an .(chứng minh tương tự bài trên). Ví dụ 3: Cho 0 x, y, z 1 . Chứng minh rằng 2 x 2 y 2 z 2x 2 y 2z 81 . 8 Giải Đặt a 2 x , b 2 y , c 2 z 1 a, b, c 2 . 1 a 2 a 1a 2 0 a 2 3a 2 0 a 2 3 (1) a Chứng minh tương tự: 2 3 b 2 c 3 c b ( 2) (3) Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được 1 1 1 côsi 1 1 1 9 a b c 2 2 a b c 2 a b c a b c 81 1 1 1 (a b c) (đpcm) 8 a b c Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này “ Cho n số x1 , x2 ,...., xn a, b, c 1 Ta luôn có: c x1 c .... c x2 xn c Phương pháp 8: x1 c x2 .... c xn nc cb 4c a b a 2 Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh rằng ab >ad+bc Giải: a c d 0 b d c 0 a c d b c d Tacó ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (a-c)(b-d) > cd (điều phải chứng minh) 5 2 2 2 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a b c . Chứng minh 3 a b c abc 2 2 2 2 Giải: Ta có :( a+b- c) = a +b +c +2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab 1 ( a2+b2+c2) 2 13 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com ac+bc-ab 5 1 1 1 1 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 6 a b c abc Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nên 1- c >0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) Ví dụ 4: Cho 0
0 1+ a 2 b 2 > a 2 + b mà 0< a,b <1 a 2 > a 3 , b 2 > b 3 Từ (1) và (2) 1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3 . Vậy a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2 Tương tự b 3 + c 3 1 b 2 c c 3 + a 3 1 c2a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 3 2b 3 2c 3 3 a 2 b b 2 c c 2 a Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu a 2 b 2 c 2 d 2 1998 thì ac+bd =1998 Giải: Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 2abcd a 2 d 2 b 2 c 2 - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rõ ràng (ac+bd)2 ac bd 2 ad bc2 19982 ac bd 1998 Ví dụ 6 (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2 c hứng minh rằng : a 12 + a22 a32 .... a2003 1 2003 b/ Cho a;b;c 0 thỏa mãn :a+b+c=1 1 a 1 b 1 c Chứng minh rằng: ( 1).( 1).( 1) 8 Phương pháp 9: Dùng tính chất của tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a ac a 1 thì b bc b a a ac b – Nếu 1 thì b bc b a – Nếu 2) Nếu b,d >0 thì từ a c a ac c b d b bd d ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 14 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com 1 a b c d 2 abc bcd cd a d ab Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có a a ad 1 abc abc abcd a a Mặt khác : abc abcd (1) (2) Từ (1) và (2) ta có a ad a < < abc abcd abcd (3) Tương tự ta có b b ba abcd bcd abcd c c bc abcd cd a abcd d d d c abcd d ab abcd (4) (5) (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có a b c d 2 điều phải chứng minh abc bcd cd a d ab a c a ab cd c Ví dụ 2 :Cho: < và b,d > 0 .Chứng minh rằng < 2 b d b b d2 d ab cd a c ab ab cd cd c Giải: Từ < 2 2 2 2 b d b d b b d2 d2 d a ab cd c Vậy < điều phải chứng minh b b2 d 2 d 1 Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c tìm giá trị lớn nhất của b d Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử : a a b b Từ : c c d d a ab b c cd d a 1 vì a+b = c+d c b a b 998 999 d c d a b 1 999 b/Nếu: b=998 thì a=1 = Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999 d c d c a b 1 Vậy giá trị lớn nhất của =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999 a/ Nếu :b 998 thì Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. 15 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 u2 .... un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak 1 Khi đó :S = a1 a2 a2 a3 .... an an1 a1 an1 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 ....un Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k = Khi đó P = ak a k 1 a a1 a2 a . ..... n 1 a2 a3 an 1 an 1 Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 1 1 1 1 3 .... 2 n 1 n 2 nn 4 1 1 1 Giải: Ta có với k = 1,2,3,…,n-1 n k n n 2n 1 1 1 1 1 n 1 ... ... Do đó: n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 Với n là số nguyên .... 2 n 1 1 2 3 n 1 2 2 Giải: Ta có 2 k 1 k k 2 k k k 1 1 Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có 1 > 2 2 1 1 2 3 2 2 ……………… 1 2 n 1 n n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 Ví dụ 3: Chứng minh rằng n k 1 Giải: Ta có 1 k 2 2 n Z 1 1 1 1 2 k k k 1 k 1 k Cho k chạy từ 2 đến n ta có 16 Sưu tầm và tuyển chọn 1 1 1 .... 2 n 1 1 2 3 n 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com 1 1 1 2 2 2 1 1 1 32 2 3 .......... ....... 1 1 1 2 n n 1 n 1 1 1 2 2 .... 2 1 2 3 n Vậy n 1 k k 1 2 2 Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 0 a b c 0 b a c 0 c a b a 2 a (b c) 2 b b(a c) c 2 c ( a b) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ Ta có a > b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b 2 b 2 (c a ) 2 > 0 c > a-b c 2 c 2 ( a b) 2 0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được a 2b 2 c 2 a 2 b c b 2 c a c 2 a b 2 2 2 a 2b 2 c 2 a b c b c a c a b 2 2 2 abc a b c . b c a . c a b Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng ab bc ca a 2 b 2 c 2 2(ab bc ca ) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 2abc 2 Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ 17 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Ví dụ 1: Chứng minh rằng : c(a c) c(b c) ab , a b 0 và b c Giải Trong mặt phẳng Oxy, chọn u ( c, b c ) ; v ( a c , c ) Thì u b , v a ; u.v c(a c) c(b c) Hơn nữa: u.v u . v . cos(u , v) u . v c(a c) c(b c) ab (ĐPCM) Ví dụ 2: Cho 2n số: xi ; yi , i 1,2,..., n thỏa mãn: n i 1 xi2 y i2 n n x y i 1 i i 1 i 1. Chứng minh rằng: 2 2 Giải: Vẽ hình y MN MK H M 1 x O x+y=1 Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M 1 ( x1 , y1 ) : M 2 ( x1 x2 , y1 y 2 ) ;…; M n ( x1 xn , y1 y n ) Giả thiết suy ra M n đường thẳng x + y = 1. Lúc đó: M 1 M 2 x22 y 22 , M 2 M 3 x32 y32 ,…, M n 1 M n x n2 y n2 OM 1 x12 y12 , Và OM 1 M 1M 2 M 2 M 3 M n 1 M n OM n OH n 2 2 (ĐPCM) Phương pháp 13: Đổi biến số xi2 y i2 i 1 2 2 a b c 3 (1) bc ca ab 2 yzx zx y x yz Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b= ;c= 2 2 2 3 yzx zx y x yz ta có (1) 2 2x 2y 2z Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng 18 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com y z y x x z z x x y z 1 1 1 3 ( ) ( ) ( x y x z y x x y y z z z x y x z 2; Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( 2; x z x y y y )6 z y 2 nên ta có điều z phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng 1 1 1 2 2 9 (1) a 2bc b 2ac c 2ab Giải: Đặt x = a 2 2bc ; y = b 2 2ac ; z = c 2 2ab . Ta có 1 1 1 (1) 9 Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 x y z 2 x y z a b c 1 1 1 1 1 3. 3 x y z xyz Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3. 3 xyz , và: x y z . 1 1 1 9 . Mà x+y+z < 1. Vậy 1 1 1 9 (đpcm) x y z x y z 1 Ví dụ3: Cho x 0 , y 0 thỏa mãn 2 x y 1 CMR x y 5 2 2 Gợi ý: Đặt x u , y v 2u-v =1 và S = x+y = u v v = 2u-1 thay vào tính S min Bài tập tự giải 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 25a 16b c 8 bc ca ab 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1 bc ca ab 2 Phương pháp 14: 2 Dùng tam thức bậc hai Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c Định lí 1: a 0 0 f(x) > 0, x a 0 f ( x ) 0, x 0 a 0 f ( x ) 0, x 0 a 0 f ( x ) 0, x 0 Định lí 2: 19 Sưu tầm và tuyển chọn m n p m n p 2 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1 x2 a. f 0 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : a. f 0 x1 x 2 0 S 2 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : a. f 0 x1 x 2 0 S 2 x x 1 2 f . f 0. Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1 x 2 Ví dụ 1:Chứng minh rằng f x, y x 2 5 y 2 4 xy 2 x 6 y 3 0 Giải: Ta có (1) x 2 2 x2 y 1 5 y 2 6 y 3 0 (1) 2 2 y 1 5 y 2 6 y 3 4 y2 4 y 1 5y2 6 y 3 y 1 1 0 Vậy f x, y 0 với mọi x, y 2 Chứng minh rằng: f x, y x 2 y 4 2x 2 2. y 2 4 xy x 2 4 xy3 Ví dụ2: Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 y x 2 y 4 2 x 2 2 . y 2 4 xy x 2 4 xy3 0 ( y 2 1)2 .x 2 4 y1 y x 4 y 2 0 2 2 4 y 2 y 2 1 16 y 2 0 Ta có 4 y 2 2 Vì a = y 2 1 0 vậy f x, y 0 (đpcm) 2 2 Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n n0 20 Sưu tầm và tuyển chọn
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2...
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải ...
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs...
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet tr...
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi ...
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán...
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ...
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học...
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2...
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng...
76
58251
181
100 đề ôn thi tốt nghiệp thpt...
58
57709
153
Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán năm 2018 (rất...
352
57582
298
19 Vấn đề hình học giải tích trong không gian Oxyz...
55
56688
146
Www.mathvn.com - hdc toan thpt...
5
54249
135
Lý thuyết và phương pháp giải đại số - giải tích 12...
296
51590
166
KHO TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA FULL MÔN...
31
48693
1308
Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn toán hay...
62
46409
85
De tai khac phuc mot so sai lam cho hoc sinh lop 1...
14
43195
109
9pp-giai-pt-mu-logarit-ttanh-www.mathvn.com...
13
42186
118
Tailieutonghop.com---van de xap xi ngau nhien va ung...
8
41284
110
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Giáo trình điều khiển hệ đa tác tử
186
1
111
Giáo trình toán cao cấp
159
1
138
Giáo trình giải tích đa trị
224
1
143
Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán
240
1
77
Bài giảng tích phân bội và giải tích vectơ
171
1
63
Giáo trình giải tích (trường đh vinh)
285
1
129
Bài giảng tôpô
89
1
145
Bài giảng giải tích hàm
116
1
106
Bài giảng hình học vi phân của đường và mặt
61
1
81
Bài giảng đại số tuyến tính
102
1
97
Tài liệu xem nhiều nhất
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải nhanh hình phẳng oxy-p2
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet trong khu nhieu chuoi thoi gian
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi tri con lac nguoc
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ đạo học sinh yếu, kém về môn toán lớp 4
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng
76
58251
181