Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu 12 lũy thừa mũ logarit

.DOC
41
299
144

Mô tả:

LUỸ THỪA, MŨ, LÔGARIT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT A. Kiến thức cơ bản I. Lũy thừa 1. Định nghĩa lũy thừa Số mũ  Cơ số a Lũy Thừa a  n  N * aR a a n a.a......a (n thừa số a)  0 a 0 a a 0 1   n ( n  N * ) a 0 a a  n  m   (m  Z , n  N * ) n a 0 a a  n a m ( n a b  b n a)  lim rn (rn  Q, n  N * ) a 0 a lim a rn  1 an m n 2. Tính chất của lũy thừa  với mọi a > 0, b > 0 ta có :  a a a          .    a .a a ; a ; (a ) a ; (ab) a .b ;      a b b      a>1: a a    ; 0 0, a  1, b > 0 ta có : log a b   a b  a  0, a 1 chú ý : log a b có nghĩa khi  b  0  Loogarit thập phân : lg b log b log10 b  Loogarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b log e b n  1 e lim  1   2,718281)  n 2. Tính chất  log a 1 0 ; log a a 1 ; log a a b b ; a loga b b (b  0)  Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó : + Nếu a > 1 thì log a b  log a c  b  c + Nếu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c 3. Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có :  log a (bc) log a b  log a c b  log a   log a b  log a c c  log a b  log a b 4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có :  log b c  log a c hay log a b.logb c log a c log a b  log a b  1 log b a 1  log a c  log a c ( 0)  III. HÀM SỐ LŨY THỪA a) ĐN: Hàm số có dạng y  x với   R b) Tập xác định:  D = R với  nguyên dương  D  R \  0 với  nguyên âm hoặc bằng 0  D =  0;  với  không nguyên c) Đạo hàm Hàm số y  x (   R ) có đạo hàm với mọi x > 0 và  x  '  x  1 d) Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng  0;  Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) IV. HÀM SỐ MŨ a) ĐN: Hàm số có dạng y a x (0  a 1) b) Tập xác định: D = R, tập giá trị  0; c) Đạo hàm: Hàm số y a x (0  a 1)  a x  '  a x ln a , Đặc biệt:  e x  ' e x có đạo hàm với mọi x và d) Sự biến thiên: Khi a > 1: Hàm số đồng biến Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến e) Đồ thị: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) V. HÀM SỐ LÔGARIT a) ĐN: Hàm số có dạng y  log a x (0  a 1) b) Tập xác định: D =  0;  , tập giá trị R c) Đạo hàm: Hàm số  loga x  '  x ln1 a , Đặc y  log x (0  a 1) a 1 biệt:  ln x  '  x có đạo hàm với mọi x > 0 và d) Sự biến thiên: Khi a > 1: Hàm số đồng biến Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến e) Đồ thị: thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm về phía phải trục tung. B. Kĩ năng cơ bản: - Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức - Đưa biểu thức về dạng lũy thừa - So sánh lũy thừa - Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho - Chứng minh đẳng thức C. Bài tập luyện tập Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa a) 4 x2 3 x ,  x  0 b) 5 b3a ,  a, b 0  a b c) 5 23 2 2 Bài 2 Tìm điều kiện và rút gọn các biểu thức sau a1,5  b1,5  a 0,5b0,5 0,5 0,5 2b0,5 a) a  b b)  0,5 a b a  b 0,5 1 1 1  12  23 12 2 2 2  x  y  x  y . x y  2y 1 1 1   1 x y x y 2 2 2 2  xy  x y xy  x y   3 c) 6 a a 3 b (a,b>0 , a ≠ b) 6 b Bài 3 So sánh m và n a)  m 2  2 m 1 1 b)      9 9 n n Bài 4 Tìm điều kiện của a và x biết a)  a  1  2 3   a  1  1 b)   a 1 3 c) 4 x  5 1024 d) 5 2   2 5  0,2 x1  a2 8  125 x  1 f)    3 0,04  5 x e) 0,1  100 Bài 5. Rút gọn biểu thức : a) log a 3 a (a > 0) b) log a3 a.log a 4 a1/3 log 1 a 7 ( 0  a 1 ) a Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho : a) Cho log 2 14 a . Tính log 49 32 theo a. b) Cho log15 3 a . Tính log 25 15 theo a. a) Cho log 25 7 a ; log 2 5 b . Tính log 3 5 49 theo a, b. 8 b) Cho log 30 3 a ; log 30 5 b . Tính log 30 1350 theo a, b. Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau (với giả thuyết các biểu thức đều có nghĩa ) : a) b loga c c log a b c) log c b) log ax (bx)  log a b  log a x 1  log a x a b 1  (log c a  log c b) , với a 2  b 2 7ab . 3 2 Bài 8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a, y= e3x b, y=2x c, y= 31 x 2 HD: a,(e3x)’ = e3x.(3x)’ = 3e3x b, (2x)’ = 2x.ln2; 2 2 2 c,( 31 x )’ = 31 x .(ln3). (1-x2)’ = -2x. 31 x .ln3 Bài 9: Tìm TXĐ của các hàm số sau: a, y = x3 b, y = x -3 2 c, y = x 3 d, y = x  HD: a, y = x3 có D = R (vì  = 3 nguyên dương) b, y = x -3 có D = R\{0} (vì  = - 3 nguyên âm) 2 c, y = x 3 ( hữu tỉ); d, y = x  2 ( vô tỉ) nên có D = R+ = (0;+  ) 2 Bài 10: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 3 b, y= 3 1  x 2 (  1  x  1 ) a, y= x 4 (x>0) HD: 3 3 3 34  1 3  14 1 = + ( x )'  x = x = 4 4 4 4x 4 4 x 3 4 2  2x  1 2 3 +( 1  x )’=[ (1  x ) ]’= (1  x ) .(-2x) = 3 3 (1  x 2 )2 3 3 1 2 3 2 Bài 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 2 x b, y  x  2 x  2 e  a, y 22 x3  HD a , y’ = b, 2.2 2 x3 .ln 2 2 x y' x e Bài 12: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a, y log 3( x  1); 1 ; 2 2x  3 b, y log 1 HD: a, D=(-1;  ) b, D= ( c, y log 3 ; ) 2 5 c, D=(   ;1) Bài 13: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a, y= ln x b, y=log2(3x2 - 5) HD: ( x )' 1 a, (ln x )’ = = 2x x (vì ( x )' = 1  x; 1 2 x ) d , y ln(1  x 2 ); d, D=(-1;1) 6x (3 x 2  5)' b, [log2(3x - 5)]’ = = 2 (3 x 2  5).ln 2 (3 x  5).ln 2 2 A. B. Câu 30: Hàm số A. 1  ln x  x 2 .   2x  2 x  C. 2ln x  x . ln 2 y 2ln x  x ? C. 2 có đạo hàm y' là: B. 1  ln x  x2 ln 2.   2x  2 x  D. 1 2 .   2x  x  ln 2 2 Câu 31: Đạo hàm của hàm số D. ln x  x 2 y e x s inx là: A.  s inx  y '  + cos x  e x . 2 x  B. y '  s inx + cos x  e x . C.  s inx  y '  -cos x  e x . 2 x  D. y '  s inx - cos x  e x . Câu 32: Đạo hàm của hàm số y 22 x3 là: 2 x 2 B.  2 x  3 2 ln2. C. A. 22 x3.ln 2 . 2.22 x3 . D. 2.22 x3.ln 2 . 2 Câu 35: Tập xác định của hàm số y log 2  2 x  x  3 là: 3  A.   ;  2    1;    3   3 3   C.   1; 2      D.   2 ;1   Câu36: Tập xác định của hàm số y ln A.  0;1  (3; )   là: D.  0;1 Câu 37. Đạo hàm của hàm số  1 x x 2  3x B.   ;1   3;   C.   ;0    1;3 A.   B.   ;  1   2 ;    y '  3x 2  1 ln x 2  1  2 x 2 .    y  x 3  x ln x 2  1 B.  là:     y '  3x 2  1 ln x 2  1  2 x 2 . C.    D.  y '  3x 2  1 ln x 2  1  2 x.  Câu 38: Đạo hàm của hàm số A. y'  C. 1 (1  x )ln 3 y'  1 2 x ln 3 B. . 3 8 y'  D. . Câu 39: Cho f(x) = A. y log 3 1  x B. x2 3 x2     là : 1 x (1  x )ln 3 y'   y '  3x 2  1 ln x 2  1  2 x. . 1 2( x  x)ln 3 . . Đạo hàm f’(1) bằng: 8 3 C. 2 D. 4 Câu 40: Cho đồ thị hai hàm số y a x và y log b x như hình vẽ: Nhận xét nào đúng? A. a  1, b  1 C. 0  a  1, 0  b  1 B. D. a  1, 0  b  1 0  a  1, b  1 BÀI TOÁN LÃI KÉP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau Sn  A  1  r  n n kì hạn ( n  * ) là: (2) Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được: S  n log  1r   n   A r% n A (3) Sn 1 A (4) Sn 1 r  (5) n II. Ví dụ áp dụng: Bài 1: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm. a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm. b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép 5 % /tháng 12 thì sau 10 năm chú Việt nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn? HD a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là 10 5   S10 10.  1   16, 28894627 triệu  100  đồng. b) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5   S120 10.  1    12 100  120 16, 47009498 triệu đồng. Vậy số tiền nhận được với lãi suất 5 % /tháng 12 nhiều hơn. 5 % /tháng 12 là Bài 2: Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ? HD Ta có  1300000  n log1,0058   45,3662737  1000000  nên để nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng thì bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng. Bài 3: Một người có 58 000 000đ gửi tiết kiệm ngân hàng (theo hình thức lãi kép ) trong 8 tháng thì lĩnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng? HD lãi suất hàng tháng là r% 8 61329 000  1 0.7% 58000 000 III. Bài tập trắc nghiệm: Câu 1: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,8% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu? A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 Câu 2: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Tìm khối lượng gỗ của khu rừng đó sau 5 năm. A. 4,8666.105 (m 3 ). B. 4, 0806.10 5 (m 3 ). C. 4,6666.10 5 (m 3 ). D. 4,6888.10 5 (m 3 ). Tiết 57 + 58 PHƯƠNG TRINH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Một số tính chất đối với hàm số mũ. a) Luỹ thừa: * Các công thức cần nhớ: 0 a 1; a n m n 1  n; a a  n am * Tính chất của lũy thừa: m n a .a a m n ; m n a  am a m  n ; n a n mn ;  ab  n a an  a    n b b ; a n .b n * Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì am  an  m  n + Với 0 < a < 1 thì am  an  m  n b) Căn bậc n n a.b  n a . n b ; n a na  b nb n  a am  n m m n a mn a (a x ) y (a y ) x a x. y x y x ax  a  x   , a x .b x  a.b  x b b y x 1 y y a  a ;a  a 2. Phương trình mũ cơ bản: Là phương trình dạng: ax = b (*) với a, b cho trước và 0 < a  1 + b £ 0: (*) VN + b > 0: a x b  x log a b (00) Minh họa bằng đồ thị Phương trình ax = b (a > 0, a≠ 1) b>0 Có nghiệm duy nhất x = logab b≤0 Vô nghiệm B. KĨ NĂNG CƠ BẢN I. Phương trình mũ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số 2. Phương pháp dùng ẩn phụ. Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau: B1: Đưa pt, bpt về dạng ẩn phụ quen thuộc. B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B3: Giải pt, bpt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện. B4: Thay giá trị t tìm được vào  giải PT, bpt mũ cơ bản B5: Kết luận. 3. Phương pháp logarit hóa Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó  PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng a f ( x ) .b g ( x) .c h( x) d ( nói chung là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau)  khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c). II. Bất phương trình mũ 1. Bất phương trình mũ cơ bản Xét bất phương trình ax > b - Nếu b £0 , tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 - Nếu b > 0 thì BPT tương đương với a x  a log a b b, x  R Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab Nếu 0 0 ta được phương trình:  t 1 t 2  4t  3 0    t 3 Với t=1 ta có x=0 Với t=3 ta có x=1 2x 2) x  3  3 9  3.6  2.4 0     3    2 0  2  2 x x x x Đặt  3 t    0  2 ta được phương trình:  t 1 t 2  3t  2 0    t 2 x Với t=1 ta có  3   1  x 0  2 Với t=2 ta có  3   2  x log 3 2  2 2 x Ví dụ: Giải các phương trình sau : HD: 2 32 x 8  4.3x 5  27 0 x x 38.32 x  4.35.3x  27 0  6561.  3   972.3  27 0 (*) Đặt t 3x  0 Phương trình Với 1 t   3x 3 2  x  2 9 Với t 1  t  9 2 (*)  6561t  972t  27 0   1 t   27 1  3x 3 3  x  3 27 Vậy phương trình có nghiệm: x  2, x  3 Ví dụ: Giải các phương trình sau : HD: Đặt 2 25x  2.5x  15 0   5x   2.5 x  15 0 t 5x  0 Phương Với trình (*)  t 2 (*)  t 5  2t  15 0    t  3 (loai) t 5  5x 5  x 1 Vậy phương trình có nghiệm: x 1 Ví dụ: Giải các phương trình sau : HD: Đặt 25 x  2.5 x  15 0 3x 2  32  x 24  9.3x  x t 3  0 Với Pt 3x 2  32 x 24 9 x 2  24  0  9. 3  24.3x  9 0   x 3  t 3 (*)  9t  24t  9 0   t  1 ( loai) 3  2 t 3  3x 3  x 1 Vậy phương trình có nghiệm: x 1 3. Phương pháp logarit hóa Ví dụ: Giải các phương trình sau: 1) 3x 2 2) 2 x.3x 1 LG 1) Pt  log 3 3x log 3 2  x log 3 2 (*) 2) log 2  2 x.3x  log 2 1  log 2 2 x  log 2 3x 0  x  x.log 2 3 0  x(1  log 2 3) 0  x 0 4. Bất phương trình Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) b) 2 x 1  5 0,3x2  7 Lời giải: Ta có: 2 x 1  5  x  1  log 2 5  x  1  log 2 5 . - Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: a) S   ;1  log 2 5  Ta có: 0,3  7  x  2  log 0,3 7  x   2  log 0,3 7 - Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là: S   ;  2  log0,3 7  . x 2 b) Bài 2: Giải bất phương trình : 2x 2 3 x  4  4x 1 Lời giải: Ta có: 2x 2 3 x  4  4 x 1  2x 2 3 x  4  22( x  1)  x2  3 x  4  2( x  1)  x2  x  2  0  x  ( 2;1) Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: S   2;1 Bài 3: Giải bất phương trình: 271 2 x  1 3 Lời giải: Ta có 271 2 x  1 2  33(1 2 x )  3 1  3(1  2 x)   1   6 x   4  x  3 3 Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: Bài 4: Giải bất phương trình:   3 x 2  1 9 2  S  ;   3  2 x Lời giải: Ta có:   3 x 2  1 9 2 x x  3 4  32 x  4  x 16  2 x  4  x  8 x  16  x  4 7 Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: Bài 5: Giải bất phương trình:  5 2  x 1  16   S   ;  7  5 2    x 2 3 Lời giải: Ta có:  Khi đó 5 2   5 2  5  2 1   x 1   5 2  5 2  x 2 3  Bài 6: Giải bất phương trình:  1  5 2  5 2  x 1 52    1 5 2  x2  3  x  1 x 2  3 5 x  52 x  26 Lời giải: - Ta có: - Đặt 5 x  52 x  26  5x  t 5x  0 . - Ta có: 2 25  26  0   5 x   26.5x  25  0 x 5 Điều kiện: t > 0. t 2  26t  25  0  1  t  25 - Khi đó: 1  5x  25  50  5x  52  0  x  2 - Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: Bài 7: Giải bất phương trình: S  0; 2  32x+1  10.3x  3 £0 Lời giải: - Ta có: - Đặt 2 x x 32x+1  10.3x  3 £0  3.  3   10.3  3 £0 t 3x  0 . - Ta có: (1) Điều kiện: t > 0. 3t 2  10t  3 £0  1 1 £t £3  £3x £3  3 1 £3x £31   1 £ x £1 3 3 - Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S   1;1 Bài 8: Giải bất phương trình: 5.4 x  2.25 x  7.10 x  0 (1) Lời giải: - Ta có: 5.4 x  2.25x  7.10 x  0 (1) 2 Chia hai vế của (1) đã cho ta được: (1) x 4 0 x  5 x 5  5  2.      7.    0  2   2   (2) x  5 t    0 .  2 - Đặt - Khi đó (2) có Điều kiện: t > 0.  0  t 1 dạng 2t  7t  5  0   t  5  2 2 x - Với 0  t  1 ta - Với t 5 ta 2 có:  5   1  x  0 .  2 x có: 5  5     x 1 . 2  2 - Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm: S   ;0    1;   * Bài tập tự luyện Bài 1: Giải các phương trình: 1) 2 x 28 2) 3) 3 2 x 33 x 4) 2 x 8 5) 32 x 3 9 6) 23 x 7) 3x 9) 9 x  3.6 x  2.4 x 0 2 2  3x  1 9 10) 5 x  6  51 x 0 12) 36 x  3.30 x  2.25 x 0 2x 2 2  3x 2  2x 32 8) 9 x  4.3x  3 0 11) 13) 25 x  6.5 x  5 0 6.5 x  51 x  1 0 14) 2x - 2 = 3 15) 3x + 1 = 5x – 2 Bài 2: Giải các bất phương trình: 1) 2  x  28 2x 2 2) 2x 2  3 x 2  2 x 2 3) 3 2 x  33 x 4) 2 x  8 5) 32 x 3  9 6) 23 x 7) 3x 9) 9 x  3.6 x  2.4 x  0 2 2  3x  1 9 2  2x  32 8) 9 x  4.3x  3  0 11) 25 x  6.5 x  5  0 13) 6.5 x  51 x  1  0 10) 5 x  6  51 x  0 12) 36 x  3.30 x  2.25 x  0 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1: Phương trình A. x = 3 4 43 x 2 16 B. x = có nghiệm là: 4 3 C. 3 Câu 2: Tập nghiệm của phương trình: A. 6 7 B. A. -3 0,125.4 2 x 3  2    8  có nghiệm là: D. 6 C. 4 22 x 6  2 x 7 17 C.  1; 3 3x  4 x 5 x có nghiệm là: D. 5 có nghiệm là: C. 3 B.  3; 5 Câu 8: Phương trình: D.   2; 2 2 x  2 x  1  2 x  2 3x  3x  1  3x  2 B. 2 là: x Câu 7: Tập nghiệm của phương trình: A.  2; 4 1  16 D. 2 C. 5 B. 3 Câu 6: Phương trình: 4 5 C. B. 4 Câu 5: Phương trình: A. 2  x 4 có nghiệm là: 42 x 3 84  x 2 3 Câu 4: Phương trình A. 3 2 B. {2; 4} C.  0; 1  Câu 3: Phương trình A. 2x D. 5 D. 5 5 x  1  53 x 26 D.  có nghiệm là: là:
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan