Tài liệu 11 lỗi tư duy sai lầm thường gặp khi làm tích phân

  • Số trang: 6 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 90 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20010 tài liệu

Mô tả:

11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN 4 1 x 2 dx . Bài 1. Tính tích phân I 0 Lời giải sai: Đặt x sin t dx 4 cos tdt . 4 1 sin 2 t .cos tdx I 4 cos 2 tdt 0 0 1 0 cos 2t 2 1 . 4 8 x t ar c sin t 0 Lý do sai: Đổi biến số nhưng không đổi cận. Lời giải đúng: x sin t dx cos tdt . Khi 4 0 x arcsin arcsin 4 1 sin 2 t .cos tdx I cos 2 tdt 0 0 1 arcsin 2 4 Lời giải sai: Đặt t I 1 dt t5 4 1 cos 2t 2 0 1 sin 2arcsin . 4 4 t4 4 0 2x 3 2x 1 1 . Khi x x 1 1 4 34 1 dx 1 Bài 2. Tính tích phân I 3 arcsin 4 4. . 5 1 0 t t 3 . 1 20 . 81 1 Lý do sai: Đổi biến không tính vi phân. Lời giải đúng: Đặt t 3 I 1 dt 2t 5 t 4 8 3 1 2x 1 1 1 8 34 dt 1 2dx . x x 1 0 t t 3 . 1 10 . 81 2 xe x dx . Bài 3. Tính tích phân I 0 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 3 Lời giải sai: Đặt I xe x u x x v' e e x dx e2 u' 1 v ex . 2 2 0 1. 0 Lý do sai: Hiểu sai bản chất công thức từng phần. Lời giải đúng: Đặt I xe x u x x dv e dx du dx v x e . 2 2 e x dx 0 e2 1. 0 2 Bài 4. Cho n N ; chứng minh I sin sin x nx dx 0. 0 Lời giải sai: Xét hàm số f x sin x sin x Ta có f x là hàm liên tục trên 0; 2 Vậy f x là hàm lẻ, suy ra I nx trên 0; 2 và f x . sin sin x nx f x . 0. Lý do sai: Học sinh hiểu sai về định lý “Nếu hàm số f x là hàm lẻ, liên tục trên a a; a thì f x dx 0 ”. a Lời giải đúng: Đặt x y dx dy . 2 I sin sin x nx dx sin sin y ny n dy 0 1 n sin ny sin y dy . Mặt khác ta có: g y g y sin ny sin sin ny y sin y xác định trên sin ny sin y ; là hàm liên tục và g y . Suy ra g y là hàm lẻ. Vậy I 0. Bài 5. Cho hàm số f liên tục trên 0; ; hãy so sánh I xf sin x dx và 0 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 4 J f sin x dx . 0 Lời giải sai: Đặt I xf cos x u x dv du f sin x dx dx v f cos x . f cos x dx . 0 0 Do f liên tục trên 0; , suy ra f cos f 0 0 I f cos x dx (1). 0 Mà J 2 f sin x dx (2). 0 Từ (1) và (2) ta có I J. Lý do sai: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân. Lời giải đúng: Đặt x t dx dt . 0 I t f sin t dt f sin x dx xf sin x dx 0 2I f sin x dx I Vậy ta có I f sin x dx . 2 0 0 0 J. Bài 6. Cho hàm số f liên tục trên a; b ; chứng minh tồn tại ít nhất một điểm c C a; b sao cho b f x f c dx a f c f x dx . c Lời giải sai: Do f liên tục trên a; b , suy ra f x f x f c trên a , c bằng f c trên b , c , vậy ta có c f x f c dx a c b b f x f c dx f c f x dx . c Lý do sai: Không hiểu về hàm liên tục nên tính tích phân sai. Lời giải đúng: Áp dụng định lý về giá trị trung bình của tích phân, suy ra tồn tại ít b nhất một điểm C a; b sao cho b f x dx f c b a a b a a c f x Suy ra f c dx f c dx b f x a 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân f c dx f x f c dx 0. c 5 c b f x Hay ta có f c dx f x dx (đpcm). f c a c Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 0; x y 9 1; x x 4 2 . Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: 4 S 2 9 x dx 1 2 x 3 9x 1 4 7. 1 Lý do sai: Áp dụng sai công thức, không ghi “đvdt – đơn vị diện tích”. Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: 3 3 S x2 dx 9 1 4 x 2 dx 9 1 3 1 3 x 3 9x 9 dx 9 38 (đvdt). 3 3 4 1 3 x 3 1 x2 65 2 9x 3 Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Lời giải sai: y 2 y 0 x x 1 1; y 1 y x y y 2 x 1 3 x 1dx 1 Lý do sai: Xác định sai hình cần tính diện tích. Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: S S1 1 x 1 dx 1 S 1 1 3 0 . 3 2 2 1 2 (đvdt). 3 S2 1 (đvdt). 2 S2 x 1; x 2. Diện tích hình phẳng là: S 12 1 x 1 2 Ta có S1 0; y 2 x 2 x 1 3 3 2 2 1 1 3 4 (đvdt). 3 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 6 y x2 2x 1 C1 Bài 9. Tính diện tích hình giới hạn bởi y x2 6x 9 C2 . 3 ;x 2 x Lời giải sai: C1 C2 5 2 2;1 . Vậy diện tích của hình giới hạn là: 2 5 2 2 S x 1 dx 2 x 3 2 3 dx 2 1 x 1 3 1 3 2 3 3 2 1 24 1 x 3 3 1 24 1 3 5 3 2 2 7 (đvdt). 12 Lý do sai: Xác định sai hình cần tính giới hạn. Lời giải đúng: C1 C2 2;1 . Diện tích hình giới hạn là: S S1 S2 . 2 S1 x 3 2 x 1 2 2 dx 4x 3 2 2x2 8 dx 8x 3 2 5 2 2 2 5 2 2x2 8x Bài 10. Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn x2 y S2 x 1 x 3 dx 4x 2 S S1 2 S2 1 2 1 2 2 y b 2 3 2 5 2 1 2 1 2 2 1 (đvdt). quay quanh trục Ox . Lời giải sai: Phương C :x 8 dx 2 trình 2 a hay y y b a2 x 2 C1 y b a2 x 2 C2 b (x 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân đường 2 a 2 b 2 a2 ;( 0 a b) tròn x 2 a ). 7 Vậy thể tích a V a2 b của 2 x2 a2 b x2 hình 2 dx xuyến là: 2 a2 b (đvtt). a b Lý do sai: Sai công thức tính thể tích: y12 V y22 dx mà là a b ya2 V y22 dx . a a Lời giải đúng: V b a2 x2 2 a2 b x2 2 dx 2 a2 b . a y Bài 11. Tính thể tích hình giới hạn bởi x x 2 Lời giải sai: V 4 x dx 1 x5 5 2 1 31 5 x2 1 . 2 (đvtt). b Lý do sai: Đã sử dụng công thức V y 2 dx . a 2 Lời giải đúng: V x.x 2 dx 2 1 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 15 2 (đvtt). 8
- Xem thêm -