hoctoancapba.com
HỒ XUÂN TRỌNG
1000 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
NĂM 2010-2011
TẬP 3
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
SỞ GDDT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐÈ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
MÔN THI: TOÁN; KHỐI: D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian chép đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7điểm)
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 2 - 2x - 2 =
m
x - 1
Câu 2 (2 điểm)
pö
æ
1. Giải phương trình: 2 sin ç 2x - ÷ + 4 sin x + 1 = 0.
6 ø
è
51 - 2x - x 2
< 1 .
1 - x
2. Giải bất phương trình:
Câu 3 (1 điểm)
2
ln(x + 1)
Tính tích phân : I = ò
dx .
x 3
1
Câu 4 (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD . Đáy ABCD là hình thang AD và BC cùng vuông góc với AB,
AB = AD = a, BC = 2a ; mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC, CD. Tính thể tích khối chóp
ADMN theo a.
Câu 5 (1 điểm)
1 1 1
Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện + + ³ 2
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ( x - 1)( y - 1)( z - 1)
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (2 điểm)
2
2
1. Cho đường tròn (C): ( x - 1) + ( y - 3 ) = 4 và điểm M(2;4). Viết phương trình đường thẳng
đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB
2. Cho mặt phẳng (P): x 2y + z 3 = 0 và điểm I(1;2;0). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt
mặt phẳng (P) theo một đường tròn có đường kính bằng 3.
Câu 6b (1 điểm)
n
æ 1
ö
Tìm hệ số của x 6 trong khai triển ç + x 3 ÷ biết tổng các hệ số khai triển bằng 1024.
èx
ø
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7a (2 điểm)
1. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC
nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.
2. Cho tam giác ABC biết A(1;2;2), B(1;01), C(3;1;2). Tìm tọa độ trực tâm tam giác đó.
Câu 7b (1 điểm)
Giải bất phương trình
(
l o g 22 x - log2 x2 - 3 > 5 log 4 x2 - 3
)
----------- Hết ------------
www.laisac.page.tt
3
hoctoancapba.com
ÐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ÐẠI HỌC LẦN I. NĂM 2011. Khối D
I. Môn Toán
Câu I
Ðáp án
Học sinh tự giải
1)
2)
ểm
ì x ¹ 1
PT Û í 3
2
î x - 3x + 2 = m
0,25
Xét hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 với x ¹ 1 có đồ thị là (C) trừ điểm (1;0)
0,25
Dựa vào đồ thị (C) ta có
0,5
é -¥ < m < -2
ê 2 < m < +¥ phương trình có một nghiệm
ë
m=2; m=0; m=2 phương trình có hai nghiệm
é -2 < m < 0
ê 0 < m < 2 phương trình có ba nghiệm
ë
Câu 2
1)
p
p
æ
ö
PT Û 2 ç sin 2x.cos - sin .cos2x ÷ + 4sin x + 1 = 0 Û 3 sin 2x - cosx+4sinx+1=0
6
6
è
ø
0,25
és inx=0
Û 2sin x éë 3cosxsinx+2 ùû = 0 Û ê
ë 3cosxsinx+2=0
0,25
æ 3
ö
1
p
p
æ
ö
3cosxsinx+2=0 Û 2 çç
cosx s inx ÷÷ + 2 = 0 Û 2 ç sin cosxcos s inx ÷ + 2 = 0
2
3
3
è
ø
è 2
ø
p
-p
5 p
æp
ö
Û sin ç - x ÷ = -1 Û - x =
+ k2 p Û x =
+ k2 p
3
3
2
6
è
ø
0,25
sinx=0 Û x=kp . Vậy pt có hai họ nghiệm x =
2)
Câu 3
0,25
5 p
+ k2 p ; x=kp
6
25
é ìï1 - x > 0
êí
ê ï 51 - 2x - x 2 < 1 - x
Bpt Û ê î
ê ì1 - x < 0
ê í51 - 2x - x 2 ³ 0
ë î
ìï1 - x > 0
Û -1 - 52 < x < -5
í
2
ïî 51 - 2x - x < 1 - x
0,25
ì1 - x < 0
Û 1 < x < 52 - 1
í
2
î 51 - 2x - x ³ 0
0,25
Vậy nghiệm của bpt là -1 - 52 < x < - 5 ; 1 < x < 52 - 1
0,25
2
ln(x + 1)
I = ò
dx
3
x
1
2
Đặt u = ln(x + 1), dv =
2
I=
2
dx
-1
-1
1
1
dx
lấy du =
, v = 2 Þ I = 2 ln(x + 1) + ò 2
3
x
x +1
2x
2x
2 1 x (x + 1)
1
2
2
2
-1
1
1
-1
1 æ 1 1
1 ö
ln(x + 1) + ò 2
dx = 2 ln(x + 1) + ò ç 2 - +
÷dx
2
2x
2 1 x (x + 1)
2x
2 1 è x
x x + 1 ø
1
1
2
0,25
0,5
2
-1
1 æ -1
x + 1 ö
= 2 ln(x + 1) + ç + ln
2x
2è x
x ÷ø 1
1
4
hoctoancapba.com
=
0,25
-1
3
1
ln 2 + ln 3 +
2
8
4
Câu 4
S
N
A
D
H
M
B
Câu 5
C
Gọi H là trung điểm của AB. Tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mp vuông góc với (ABCD) 0,5
a 3
1
a 3
nên SH =
;SH ^ (ABCD) . Chiều cao của khối chopsADMN kẻ từ M : h = SH =
2
2
4
2
0,25
1
a
Diện tích tam giác ADN: S = d(N, AD).BC =
2
4
3
0,25
1
a 3
Thể tích khối chóp ADMN: V = SV ADN .h =
3
36
0,5
1 1 1
Ta có + + ³ 2 nên
x y z
1
1
1 y -1 z -1
(y - 1)(z - 1)
³1 - +1 - =
+
³ 2
(1)
x
y
z
y
z
yz
1
1
1 x -1 z -1
(x - 1)(z - 1)
³1 - +1 - =
+
³ 2
(2)
y
x
z
x
z
xz
1
1
1 x -1 y -1
(x - 1)(y - 1)
³1- +1- =
+
³ 2
(3)
z
x
y
x
y
xy
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được (x - 1)(y - 1)(z - 1) £
1
8
1
3
Û x = y = z =
8
2
Đường (C) có tâm I(1;3), bán kính R=2. IM = 2 < 2 nên M nằm trong (C)
uuur
M là trung điểm AB Û IM ^ AB . Đường thẳng AB qua M nhận IM(1;1) làm vtpt
Vậy Amax =
Câu 6a
1)
Pt đường thawngr AB: (x - 2) + y - 4) = 0 Û x + y - 6 = 0
2)
Khoảng cách từ I đến (P): h =
1 - 2(-2) + 0 - 3
6
=
2
20
(r=3 là bán kính đường tròn giao của (P) và mặt cầu)
3
20
Pt mặt cầu (x - 1) 2 + (y + 2) 2 + z 2 =
3
Ta có
0,25
0,25
0,5
0,25
0.25
6
Bán kính mặt cầu R = h 2 + r 2 =
Câu6b
0,25
0.5
25
C0n + C1n + ... + Cn n = 1024 Û (1 + 1) = 1024 Û 2 n = 1024 Û n = 10
n
0,25
10
0,25
æ 1
ö
Với n = 10 ta có nhị thức Niutơn: ç + x 3 ÷ .Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là :
èx
ø
k æ 1ö
Tk +1 = C10
ç ÷
èxø
n -k
10- k
k æ 1 ö
3 k
k 4k -10
(x 3 ) k = C10
; k Î N, 0 ≤ k ≤ 10 .
ç ÷ ( x ) = C10 x
è x ø
ì k Î N, 0 £ k £ 10
Û k = 4 .
Số hạng này chứa x 6 khi í
î 4k - 10 = 6
0,25
5
hoctoancapba.com
Câu 7a
1)
4
Vậy hệ số x 6 là C10
= 210
1
2SV IAB
2
Dễ thấy SV IAB = SV CAB = 1 . AB = 5 Þ d(I, AB) =
=
AB
2
5
Mặt khác pt đường thẳng AB: 2x + y - 2 = 0 . Điểm I thuộc đt y=x giả sử I(a;a)
Þ d(I,AB) =
Þ
2)
2a + a - 2
5
0,25
0,25
0,25
2a + a - 2
5
4
é
a =
æ 4 4 ö
=
Ûê
3 Þ I(0;0) hoặc I ç ; ÷
5 ê
è 3 3 ø
êë a = 0
2
0,25
0,25
æ 5 8 ö
Do I là trung đểm của AC nên C(1;0) hoặc C ç ; ÷
è 3 3 ø
I là điểm chung của 3 mặt phẳng (ABC), (P) qua C vuông góc với AB, (Q) qua B vuông góc
0,25
với AC
Pt mặt phẳng (ABC) : x6y4z5=0
0,5
Pt mặt phẳng (P) : 2y3z8=0
Pt mặt phẳng (Q) : 2x+3y4z6=0
ì x6y4z5=0
ï
nên tọa độ I là nghiệm của hệ í 2y3z8=0
ï 2x+3y4z6=0
î
0,25
-127
ì
ï x = 53
ï
20
ï
æ -127 20 -128 ö
Û íy =
Þ Iç
; ;
÷
53
è 53 53 53 ø
ï
ï
-128
ïz = 53
î
Câu7b
Đk: x>0
Đặt log 2 x = t bphương trình trở thành
t 2 - 2t - 3 > 5 ( t - 3 ) (1)
é t £ -1
Đk: ê
ë t ³ 3
Với t £ - 1 thì (1) đúng Þ log 2 x £ -1 Û 0 < x £
0.25
0.25
1
2
Với t ³ 3 thì
t 2 - 2t - 3 > 5 ( t - 3 ) Û t 2 - 7t + 12 < 0 Û 3 < t < 4
0,25
Þ 3 < log 2 x < 4 Û 8 < x < 16
1
Vậy nghiệm của Bpt là 0 < x £ , 8 < x < 16
2
0,25
6
SỞ GD_DT NGHỆ AN
ĐÈ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
hoctoancapba.com
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
MÔN THI: TOÁN; KHỐI: B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian chép đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7điểm)
Câu 1 (2điểm)
2x - 1
Cho hàm số y =
(1)
x - 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc hai
nhánh của (C) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Câu 2 (2 điểm)
æ p x ö
1. Giải phương trình tan x ( s inx1) =2sin 2 ç - ÷ ( sin 2x - 2 )
è 4 2 ø
2. Giải bất phương trình
Câu 3 (1điểm)
( 4x - 3 )
x 2 - 3x + 4 ³ 8x - 6
1
dx
Tính tích phân I = ò
2
0 x + 1 + x
Câu 4 (1điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA=a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt
phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.
Câu 5 (1điểm)
x 3 + y 3 + 16z 3
Cho x, y, z ³ 0 thoả mãn x + y + z ¹ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
3
( x + y + z )
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :x 2 + y 2 = 1 đường thẳng d :x + y + m = 0 .
Tìm m để (C) cắt d tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A ( -1; 0;1) , B (1; 2; -1) , C ( - 1; 2;3 ) .
Câu 7a (1 điểm)
n
1 ö
æ
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của ç 2x +
÷ , biết rằng
x ø
è
A 2n - C nn -+1 1 = 4n + 6
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn:
(C) : x 2 + y 2 – 2x – 2y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4x - 5 = 0
Viết phương trình đường thẳng qua M (1; 0 ) cắt hai đường tròn (C), (C ') lần lượt tại A, B sao
cho MA= 2MB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 2y - 6z + 5 = 0
và mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 16 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (S), điểm N thuộc (P) sao
cho đoạn thẳng MN nhỏ nhất.
Câu 7b (1 điểm)
1
Giải phương trình log 3 x 2 - 5x + 6 + log 1 x - 2 > log 1 ( x + 3 )
2
3
3
www.laisac.page.tl
7
hoctoancapba.com
ÐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ÐẠI HỌC LẦN I. NĂM 2011. Khối B.
I. Môn Toán
Câu I
Ðáp án
ểm
Học sinh tự giải
a)
1 đ
b)
0,25
æ 2a - 1 ö
Điểm M ç a;
÷ Î (C) . IM nhỏ nhất Û đ thẳng IM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M (1)
è a - 1 ø
Đường thẳng IM có hệ số góc
(1) Û
Vậy
1
2
-1
.
2
( a - 1) ( a - 1)
A ( 0;1) , B ( 2;3 )
1
2
( a - 1)
, tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc
0,25
-1
2
( a - 1)
0,25
é a = 0
4
= -1 Û ( a - 1) = 1 Û ê
ë a = 2
0,25
Câu 2
p
Đk: x ¹ + k p
a)
2
0,25
æ
æp
öö
(1) Û tan x ( s inx1) = ç 1cos ç - x ÷ ÷ ( sin 2x - 2 ) Û tan x ( s inx1) = (1sinx )( sin 2x - 2 )
è2
ø ø
è
és inx1=0
Û ( s inx1)( tan x + sin 2x - 2 ) =0 Û ê
ë tan x + sin 2x - 2 = 0
0,25
p
+ k2 p không thỏa mãn đk
2
s inx1=0 Û x =
2t
pt trở thành ( t - 1) t 2 - t + 2 = 0 Û t = 1 . Ta có
1+t 2
(
Đặt t anx=t Þ sin2x=
tan x = 1 Û x =
b)
Câu 3
0,25
)
0,25
p
p
+ k p thỏa mãn đk. Vậy pt có một họ nghiệm x = + k p
4
4
phương trình Û ( 4x - 3 ) é x 2 - 3x + 4 - 2 ù ³ 0
êë
úû
0,25
éì
3
ê ï x ³
4
é ìï4x - 3 ³ 0
ê ïí
ê í 2
ê é x ³ 3
ê ïî x - 3x + 4 - 2 ³ 0 ê ï ê
Ûê
Û ê ïî ë x £ 0
4x
3
£
0
ì
êï
êì
3
ê í 2
ê x £
êë îï x - 3x + 4 - 2 £ 0 ê ïí
4
ê ïî0 £ x £ 3
ë
0,5
é x ³ 3
Ûê
ê 0 £ x £ 3
êë
4
0,25
Đặt x + 1 + x 2 = t
x = 0 Þ t = 1, x = 1 Þ t = 1 + 2
Þ 1 + x 2 = t - x Þ x =
1+ 2
Ta được:
I=
ò
1
1+ 2
1æ
1 ö
= ç ln t - 2 ÷
2 è
2t ø 1
(t
0,25
æ t 2 + 1 ö
t2 -1
Þ dx = ç 2 ÷ dt
ç 2t ÷
2t
è
ø
2
)
+ 1 dt 1 1+ 2 æ 1 1 ö
=
ç + ÷dt
2 1 è t t 3 ø
2t 3
0,25
ò
0,25
8
hoctoancapba.com
é
1ê
1
ln 1 + 2 ê
2
2 1+ 2
ëê
(
)
Câu 4
(
)
ù
1ú 1
1
+ ú = ln 1 + 2 +
2
2
2
2 2 + 2
ú
û
(
)
0,25
S
N
I
M
D
A
C
B
Chứng minh SC ^ AI : Ta có
ì AM ^ SB
ì AN ^ SD
Þ AM ^ SC; í
Þ AN ^ SC Þ SC ^ (AMN) Þ SC ^ AI
í
î AM ^ BC
î AN ^ CD
0,25
1
Kẻ IH // BC Þ IH ^ (SAB) (vì BC ^ (SAB) ) Þ VMBAI = SV MAB .IH
3
0,25
SA 2
a2
a 2
a
=
=
=
2
2
2
SC
3
SA + AC
3a
SI IH
SI.BC a
=
Þ IH =
=
SC BC
SC
3
0,25
SI.SC = SA 2 Þ SI =
SV MAB =
a2
1
a 3
Þ VMBAI = SV MAB .IH =
4
3
36
Câu 5
0,25
0,25
3
3
3
Trước hết ta cm được: x + y ³
Đặt x + y + z = a. Khi đó 4P ³
(với t =
( x + y )
4
( x + y)
3
+ 64z3
a3
=
(a - z)
3
+ 64z 3
a 3
3
0,25
= (1 - t ) + 64t 3
z
, 0 £ t £ 1 )
a
0,25
Xét hàm số f(t) = (1 – t) 3 + 64t 3 với tÎ [ 0;1] . Có
1
2
f '(t) = 3 é 64t 2 - (1 - t ) ù ,f '(t) = 0 Û t = Î [ 0;1 ] . Lập bảng biến thiên
ë
û
9
Þ Minf ( t ) =
[ 0;1 ]
64
16
Þ GTNN của P là
đạt được khi x = y = 4z > 0
81
81
Câu6a Đường tròn (C) có tâm trùng với gốc tọa độ O(0;0), bán kính R=1
1)
m
m
d ( O,d ) =
. (C) cắt d tại hai điểm Û d ( O,d ) < 1 Û
< 1 Û - 2 < m < 2 (*)
2
2
Gọi M là trung điểm AB, AB = 2MB = 2 1 -
2)
2
0,25
0,5
2
m
m
1
m
£ dấu = xảy ra khi
= 1Û m = ± 1 thỏa mãn (*)
2
2
2
2
2
uuur
uuur
uuur uuur
AB ( 2;2; -2 ) , AC ( 0;2;2 ) . éë AB, AC ùû = (8; -4;4 ) là vtpt của (ABC)
Theo bđt côsi
m
m
m 2
m 2
. Diện tích tam giác OAB S =
1 -
2
2
2
0,25
1 -
0,25
.25
Pt (ABC): 2(x + 1) - y + z - 1 = 0 Û 2x - y + z + 1 = 0
Mp trung trực của AB: (P): x+yz1=0 Mp trung trực của AC: (Q): y+z3=0
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm chung của 3 mp (ABC), (P), (Q).
0.25
0,5 9
hoctoancapba.com
ì 2x - y + z + 1 = 0
ì x = 0
ï
ï
Tọa độ tâm là nghiệm của hệ í x + y - z - 1 = 0 Û í y = 2 . Vậy tâm I(0;2;1)
ïy + z - 3 = 0
ïz = 1
î
î
Câu7a Giải phương trình A 2n - C nn -+1 1 = 4n + 6 (1) ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n Î N.
(n + 1)!
n(n + 1)
(1) Û n(n - 1) = 4n + 6 Û n(n - 1) = 4n + 6
2!(n - 1)!
2
0,25
é n = -1
Û n 2 – 11n – 12 = 0 Û ê
do n ≥ 2 nên n=12.
ë n = 2
12
1 ö
æ
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: ç 2x +
÷ .Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là :
x ø
è
0,25
k
k
24 - 3k
æ 1 ö
12 - k - 2
k
k
k
12 - k
2
Tk +1 = C12
(2x) 12 - k ç
=
C
2x
.x
=
C
.2
.x
; k Î N, 0 ≤ k ≤ 12 .
(
)
12
12
÷
x
è
ø
ì k Î N, 0 £ k £ 12
Số hạng này không chứa x khi í
Û k = 8 .
î 24 - 3k = 0
8
Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = C12
24 = 7920
0,25
0,25
'
Câu6b Dễ thấy M Î (C), M Î (C ) . Tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(2; 0) và
0,25
1)
R = 1, R ' = 3
đường thẳng (d) qua M có phương trình a(x - 1) + b(y - 0) = 0 Û ax + by - a = 0, (a 2 + b 2 ¹ 0)(*) 0,25
Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có:
2
2
2
2
2
0,25
2
MA = 2MB Û IA - IH = 2 I'A - I 'H ' Û 1 - ( d(I;d) ) = 4[9 - ( d(I ';d) ) ] ,
2
2
Û 4 ( d(I ';d) ) - ( d(I;d) ) = 35 Û 4.
9a 2
b 2
= 35
a 2 + b 2 a 2 + b 2
36a 2 - b 2
= 35 Û a 2 = 36b 2 . Dễ thấy b ¹ 0 nên chọn b = 1 Þ a = ± 6 .
2
2
a + b
Pt đt d: 6x+y6=0 , 6x+y+6=0
Mặt cầu (S) có tâm I(2;1;3), bk R = 3
Û
2)
0,25
0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S). Pt (Q): 2x + 2y - z + D = 0
2.2 + 2( -1) - 3 + D
é D = 10
= 3 Û D - 1 = 9 Û ê
ë D = -8
Suy ra pt (Q): 2x + 2y - z + 10 = 0 hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0
r
Xét (Q) : 2x + 2y - z + 10 = 0 có VTPT n(2; 2; -1) . Tiếp điểm của (Q) và (S) là A(x;y;2x+2y+10)
Ta có d ( I,(Q) ) = R Û
3
0,25
ì x - 2 = 2t
ì t = -1
uur
r ï
uur
ï
Þ IA ( x - 2; y + 1; 2x + 2y + 10 ) . Ta có IA . = tn Û í y + 1 = 2t
Û í x = 0 Þ M(0; -3;4)
ï 2x + 2y + 7 = - t
ï y = -3
î
î
d(A,(P)) = 2, d(I,(P)) = 5 Þ M º A
æ -4 -13 14 ö
N là hình chiếu của M trên (P) Þ N ç ;
; ÷
è 3 3 3 ø
Câu7b Đk: x>3
log 3 (x - 3)(x - 2) > log 1
3
Û (x - 3)(x - 2) >
0,25
0,25
0.25
x + 3
x - 2
0.25
x - 2
x + 3
é x > 10
. Do x > 3 Þ x > 10
Û (x - 3)(x + 3) > 1 Û x 2 > 10 Û ê
êë x < - 10
0,25
0,25
10
hoctoancapba.com
11
SỞ GD_DT NGHỆ AN hoctoancapba.com
ĐÈ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
MÔN THI: TOÁN; KHỐI: A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian chép đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7điểm)
Câu 1 (2điểm)
2x - 1
Cho hàm số y =
(1)
x - 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc hai
nhánh của (C) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Câu 2 (2 điểm)
æ p x ö
1. Giải phương trình tan x ( s inx1) =2sin 2 ç - ÷ ( sin 2x - 2 )
è 4 2 ø
2. Giải phương trình
3 2
2
x - 16x + 64 - 3 ( 8 - x )( x + 27 ) + 3 ( x + 27 ) = 7
Câu 3 (1điểm)
1
dx
Tính tích phân I = ò
2
0 x + 1 + x
Câu 4 (1điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA=a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt
phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.
Câu 5 (1điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
ìï( 2x - 1) éëln ( x ) + ln ( x 1) ùû ( 2y + 1) ln éë( y+1) y ùû = 0 (1)
í
(2)
ïî y1 - 2 4 ( y + 1)( x - 2 ) + m x = 0
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :x 2 + y 2 = 1 đường thẳng d :x + y + m = 0 .
Tìm m để (C) cắt d tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A ( -1; 0;1) , B (1; 2; -1) , C ( - 1; 2;3 ) .
Câu 7a (1 điểm)
n
1 ö
æ
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của ç 2x +
÷ , biết rằng
x ø
è
A 2n - C nn -+1 1 = 4n + 6
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C) : x 2 + y 2 – 2x – 2y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4x - 5 = 0
Viết phương trình đường thẳng qua M (1;0 ) cắt hai đường tròn (C), (C') lần lượt tại A, B sao
cho MA= 2MB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 2y - 6z + 5 = 0
và mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 16 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (S), điểm N thuộc (P) sao
cho đoạn thẳng MN nhỏ nhất.
Câu 7b (1 điểm)
1
Giải phương trình log 3 x 2 - 5x + 6 + log 1 x - 2 > log 1 ( x + 3 )
2
3
3
12
www.laisac.page.tl
hoctoancapba.com
ÐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ÐẠI HỌC LẦN I. NĂM 2011. Khối A.
I. Môn Toán
Câu 1
Đáp án
1)
Học sinh tự giải
2)
ểm
1đ
0,25
æ 2a - 1 ö
Điểm M ç a;
÷ Î (C) .IM nhỏ nhất Û đ thẳng IM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M (1)
è a - 1 ø
Đường thẳng IM có hệ số góc
(1) Û
1
( a - 1)
.
2
1
2
( a - 1)
, tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc
0,25
-1
2
( a - 1)
0,25
é a = 0
4
= -1 Û ( a - 1) = 1 Û ê
2
ë a = 2
( a - 1)
-1
Vậy A ( 0;1) , B ( 2;3 )
0,25
Câu 2
p
Đk: x ¹ + k p .
1)
2
0,25
æ
æp
öö
Pt Û tan x ( s inx1) = ç 1cos ç - x ÷ ÷ ( sin 2x - 2 ) Û tan x ( s inx1) = (1sinx )( sin 2x - 2 )
è2
ø ø
è
0,25
és inx1=0
Û ( s inx1)( tan x + sin 2x - 2 ) =0 Û ê
ë tan x + sin 2x - 2 = 0
p
+ s inx1=0 Û x = + k2 p không thỏa mãn đk
2
0,25
2t
pt trở thành ( t - 1) t 2 - t + 2 = 0 Û t = 1 . Ta có
2
1+t
(
+ Đặt t anx=t Þ sin2x=
tan x = 1 Û x =
2)
)
0,25
p
p
+ k p thỏa mãn đk. Vậy pt có một họ nghiệm x = + k p
4
4
ìï u 3 + v 3 = 35
Đặt u = 3 8 - x , v = 3 x + 27 . Ta có í 2
2
ïî u - uv + v = 7
0,25
ì u + v = 5
é t = 2
Þ u,v là 2 nghiệm của pt t 2 - 5t + 6 = 0 Û ê
í
î uv = 6
ë t = 3
0,25
u = 2 Þ 3 8 - x = 2 Û x = 0
0,5
. Vậy pt có 2 nghiệm x=0, x= 19
u = 3 Þ 3 8 - x = 3 Û x = - 19
Câu
III
0,25
Đặt x + 1 + x 2 = t x = 0 Þ t = 1, x = 1 Þ t = 1 + 2
æ t 2 + 1 ö
t2 -1
Þ dx = ç 2 ÷ dt
ç 2t ÷
2t
è
ø
Þ 1 + x 2 = t - x Þ x =
1+ 2
Ta được:
I=
ò
1
1+ 2
1æ
1 ö
= ç ln t - 2 ÷
2 è
2t ø 1
(t
2
)
0,25
+ 1 dt 1 1+ 2 æ 1 1 ö
=
ç + ÷dt
2 1 è t t 3 ø
2t 3
ò
é
1ê
1
= ê ln 1 + 2 2
2 1+ 2
êë
(
)
(
)
ù
1ú 1
1
+ ú = ln 1 + 2 +
2
2
2
2 2 + 2
úû
(
5
)
13
hoctoancapba.com
Câu 4
S
N
I
M
D
A
C
B
Chứng minh SC ^ AI : Ta có
ì AM ^ SB
ì AN ^ SD
Þ AM ^ SC; í
Þ AN ^ SC Þ SC ^ (AMN) Þ SC ^ AI
í
î AM ^ BC
î AN ^ CD
1
Kẻ IH // BC Þ IH ^ (SAB) (vì BC ^ (SAB) ) Þ VMBAI = SV MAB .IH
3
SI.SC = SA 2 Þ SI =
SA 2
a2
a 2
a
SI IH
SI.BC a
=
=
=
;
=
Þ IH =
=
2
2
2
SC
SC
BC
SC
3
3
SA + AC
3a
a2
1
a 3
Þ VMBAI = SV MAB .IH =
4
3
36
Đặt x=t+1, hệ phương trình trở thành
SV MAB =
Câu 5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
ìï( 2t + 1) éëln ( t+1) + ln ( t ) ùû = ( 2y + 1) éëln ( y+1) + ln y ùû (1)
í
(2)
ïî y1 - 2 4 ( y + 1)( t - 1) + m t + 1 = 0
Đk: y ³ 1, t ³ 1
0,25
Xét hàm số f (x) = ( 2x + 1) éë ln ( x+1) + ln ( x ) ùû đồng biến trên ( 0; +¥ ) . (1) Û f (t) = f (y) Û t = y
Khi đó (2) Û y - 1 - 2 4 (y - 1)(y + 1) + m y + 1 = 0 Û
Đặt u = 4
y -1
y - 1
- 2 4
+ m = 0
y +1
y + 1
y - 1
Þ 0 £ u < 1
y + 1
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi pt u 2 - 2u + m = 0 có nghiệm u thỏa mãn 0 £ u < 1
Hàm số g(u) = u 2 - 2u nghịch biến trên (0;1), g(0)=0, g(1)=1
Câu
6a
1)
0,25
Suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi -1 < - m £ 0 Û 0 £ m < 1
Đường tròn (C) có tâm trùng với gốc tọa độ O(0;0), bán kính R=1
d ( O,d ) =
m
2
. (C) cắt d tại hai điểm Û d ( O,d ) < 1 Û
Gọi M là trung điểm AB, AB = 2MB = 2 1 -
m
2
< 1 Û - 2 < m < 2 (*)
m
m 2
m 2
. Diện tích tam giác OAB : S =
1 -
2
2
2
m
m 2 1
m 2
£ dấu = xảy ra khi
= 1Û m = ± 1 thỏa mãn (*)
2
2
2
2
2
uuur
uuur
uuur uuur
AB ( 2;2; -2 ) , AC ( 0;2;2 ) . éë AB, AC ùû = (8; -4;4 ) là vtpt của (ABC)
Theo bđt côsi
2)
0,25
m
1 -
0,25
0,5
0,25
0.25
Pt (ABC): 2(x + 1) - y + z - 1 = 0 Û 2x - y + z + 1 = 0
Mp trung trực của AB: (P): x+yz1=0. Mp trung trực của AC: (Q): y+z3=0
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm chung của 3 mp (ABC), (P), (Q).
0.25
0,5
14
hoctoancapba.com
ì 2x - y + z + 1 = 0
ì x = 0
ï
ï
Tọa độ tâm là nghiệm của hệ í x + y - z - 1 = 0 Û í y = 2 . Vậy tâm I(0;2;1)
ïy + z - 3 = 0
ïz = 1
î
î
Câu7a Giải phương trình A 2n - C nn -+1 1 = 4n + 6 (1); Điều kiện: n ≥ 2 ; n Î N.
(n + 1)!
n(n + 1)
(1) Û n(n - 1) = 4n + 6 Û n(n - 1) = 4n + 6
2!(n - 1)!
2
0,25
é n = -1
Û n 2 – 11n – 12 = 0 Û ê
do n ≥ 2 nên n=12.
ë n = 2
12
1 ö
æ
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: ç 2x +
÷ .Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là :
x ø
è
0,25
k
k
24 - 3k
æ 1 ö
12 - k
k
12 - k
2 = k
2
Tk +1 = C (2x) ç
=
; k Î N, 0 ≤ k ≤ 12 .
C
2x
.x
C
.2
.x
(
)
12
12
÷
è x ø
ì k Î N, 0 £ k £ 12
Số hạng này không chứa x khi í
Û k = 8 .
î 24 - 3k = 0
8
Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = C12
24 = 7920
k
12
12 - k
0,25
0,25
'
Câu6b
1)
0,25
Dễ thấy M Î (C), M Î (C ) . Tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(2; 0) và
R = 1, R ' = 3
đường thẳng (d) qua M có phương trình a(x - 1) + b(y - 0) = 0 Û ax + by - a = 0, (a 2 + b 2 ¹ 0)(*) 0,25
Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có:
2
2
2
2
2
0,25
2
MA = 2MB Û IA - IH = 2 I' B - I 'H ' Û 1 - ( d(I;d) ) = 4[9 - ( d(I ';d) ) ] ,
2
2
Û 4 ( d(I ';d) ) - ( d(I;d) ) = 35 Û 4.
9a 2
b 2
= 35
a 2 + b 2 a 2 + b 2
36a 2 - b 2
= 35 Û a 2 = 36b 2 . Dễ thấy b ¹ 0 nên chọn b = 1 Þ a = ± 6 .
a 2 + b 2
Pt đt d: 6x+y6=0, 6x+y+6=0.
Mặt cầu (S) có tâm I(2;1;3), bk R = 3
Û
2)
0,25
0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S). Pt (Q): 2x + 2y - z + D = 0
Ta có d ( I,(Q) ) = R Û
2.2 + 2( -1) - 3 + D
3
é D = 10
= 3 Û D - 1 = 9 Û ê
ë D = -8
Suy ra pt (Q): 2x + 2y - z + 10 = 0 hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0
r
Xét (Q) : 2x + 2y - z + 10 = 0 có VTPT n(2;2; -1) .
0,25
Tiếp điểm của (Q) và (S) là A(x;y;2x+2y+10)
ì x - 2 = 2t
ì t = -1
uur
r ï
uur
ï
Þ IA ( x - 2; y + 1;2x + 2y + 10 ) . Ta có IA . = tn Û í y + 1 = 2t
Û í x = 0 Þ A(0; -3;4)
ï 2x + 2y + 7 = - t
ï y = -3
î
î
d(A,(P)) = 2, d(I,(P)) = 5 Þ M º A
æ -4 -13 14 ö
N là hình chiếu của M trên (P) Þ N ç ;
; ÷
è 3 3 3 ø
Câu7b Đk: x>3
log 3 (x - 3)(x - 2) > log 1
3
Û (x - 3)(x - 2) >
x + 3
x - 2
x - 2
x + 3
0,25
0,25
0.25
0.25
0,25
15
hoctoancapba.com
é x > 10
Û (x - 3)(x + 3) > 1 Û x 2 > 10 Û ê
. Do x > 3 Þ x > 10
êë x < - 10
0,25
16
hoctoancapba.com
[email protected] sen to www.laisac.page.tl
SO GD-DT IIA TINH
TRU,ONG THPT NGUYEX TRUNG
DE THr
TIIITX
c6u 1 (2 tli6m) Cho hdm s6 ! = x3
1)
2)
rntlDAr Hec LAN 2 (Kh6i a,n;
Nim hgc : 2010-2011
MOn : Tofn Thdi gian : 180 phut
-
3x', + 2
tfri ( C ) cfa hdm s6.
Tim tr0n dudng thing (d): y : -2 nhffng di€m md tir d6 ke dugc Z tiep tuy{in t6i
1C;, eOng thoi 2 ti6p tuy6n do vu6ng g6c v6i nhau.
Giii chc phuong trinh vd hQ phuong trinh sau:
Ciu 2 ( 2 tli6m
Kh6o s6t sr,r biiSn thi6n vd vE
AO
)
+ logr*,
=l
4)
2)
2cos'
"r
+ cos 2x + sinx
(*' - 2x + 1) = 6
-0
C6u3(2tti6m'l
4
1)
? ) dx
I x4+2
Tinh tich phdn
x
I
.
sO
2
+4x+4
2) Hoi co bao nhi€u s6 tU nhi6n gO- 7 chii s6, tuo cho chfi s6 dring sau nho h
HoA. x:2,hoirc
2x'-(3m-l)x+2=0
6x)(x
0,25
2
0.25
(3)
Vdi x : 2 thl ta duqc ryQt tiOp tuy0n co pt: y : -2, rO rdng kh6ng co ti0p tuyOn nao
vu6ng goc vdi ti6p tuyOn ndy. NOn mu6n thoa yOu cdu d0 ra thi pt (3) phai co 2
0,25
nghi0m pb x,, x2 thoa: y' ( x, ) .V'(*r) - - 1. Tuc : (3*i - 6*,) .(3*', - 6xr) - -1
<+ gxixl - 18r, xr(x, * xr) + 36x,x, - -1
Do
x,
,
xrld nghiQm cria (3), theo Viets ta c6:. xt.xz
NOn dugc 9
-9(3m-1) + 36: -1 Hay
nghiQm. k6t 1u0n eicm cdn
55
m=a;
27'
=l;x, + x, =
l
3m-1
2
0.25
Gi6 tri m ndy thoa pt (3) co
tim tex1fi;-21
2\op. (-xvv--2x + y+
v+ 2)2) + los^,, (x'
+1\ = 6 (1)
2x+1)
(x- -2x
I
(2)
5)- -L oov+,r(*:*+4 )
l.Gi:ii hG pt
,r! + -). y+
-1
a
-1,
Dilet
3ulki,r9t)n. 4
X
2),
+kog
)Br-,_"( y+ 2)'+ log
,*r(l - x)' :
+, pt (r
(1) T.u.r0t Lg;dr
,(1
c)'
o
-) l++2llcOTbl- ( v
)) v+2 (1
-x:)= 6€<> lop ,--(Y + 2) + log ,*r(l - x
.?
v
6
18
hoctoancapba.com
i
iDat t: log,-" (y + 2) ta co Pt sau:
t+- -2 e t1
e Y: -x-
1 'e logr-r(Y'+Z)-I
t
+, Thay gr;tri y vao pt (2) vd giai thi dugc
x: 0 ; x -
+, Ket hqp diou kiEn ta c6 nghiQm |d : x: -2, y
:
-2
1
| 2cos'x + cos2x + sinx = 0
1
+, Thay 2cos' x
Cosx. Cos2x+
=
cosx.2cost
t
pt vii5t lai ld:
= cos'x(co sLx +1) thi
cosx* cos2x+ sinx:0 ecos2x(cos" i11+titt"*cosx:0
1.1:0
sin x)(cos x + 1) + 1l-0
(cosx*sinx) ftro,
--sin
e
<> (cosx+sinx)
ft.o, x
"
; i;;-;;;ii-
sin'x + cosx(l- sinx) + (1- sinx)l:0
(cosx*sinxx 1 -sinxx 1 *sinx*cosx+ 1 ) -
ept
2
D[t t-x+x
co 2hqnghiQm
)
ta co dt
0,25
0
x- -+ + kn;x -! *2kn
42
(ke z)
A9
; dOi cQn t :J+- (1 - i>a*
x
:
2
-)
J
44
1,00
chfnh x6c tl6n 0,25 )
( Ttry vho lflp lufln tI6 cho tti6m thirnh ph6n
19
hoctoancapba.com
l
I,Xtrc dinh tdm O ctra hbh ABCD
+, Xd giao O' cfia B'D' vdi SO
+, Xd giao C' cira AO' v6i
SC
'
0 )5
\t
)-
-'
+,KeCPllSO(P€AS)
+, Xd giao K cira AC' vdi CP
0,25
+,Chung minh K lA trung diOm CP
0,25
+,Chung minh S ld trung diOm AP
+, Suy ra C' ld trgng tdm
HaySC-3SC'.
0,25
4 2. Chia th6 tich cria S.AB'C'D' thinh2
kh6i chop tam gt6c:
(2di6m)
S.AB'C' vd S.AC'D', tdc6:
Cflu
v(s.AB'c') ^sBo.,sc' 11
v(s.ABC) SB.,SC 23
Suy ra
0,25
Tuong tU thi:
6
v(s.AC'D')
v(s.ACD)
0,5 0
6
: v(S.AB'.'o'):* ir6.nc) +v(s.ACDll : f rfs .ABCD)
0,25
1, Tam gi6c ABC C6 AH1, BHz, CH3 ld c6c dudng cao. Nguoc l4i tam giac
H'FzHr se c6 AHr, BFtrz , CH3 ld c6c dudng ghdn gi6c. ( C6c em dga vdo tinh
ch6t ndy thi ldm dugc nhfing bdi to6n nhu th€. )
+, Ri€ng bdi to6n ndy cho d{c biQt hcrn:
,H,H 3cAn tpi Hr.*, Dinh A nim tr€n trung tn;c(d) cria H2H3.
Dinh B vd C nim tr€n ducrng ttring (d') di qua H1 vd vu6ng g6c v6i (d).
AB' : 6 . Suy ra tliiju phf,i chfne minh
L6y
0,25
0,25
QJ
20
I
.PDF 
439 
912 
77 
