Tài liệu 100 câu khảo sát hàm số

www.VNMATH.com TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011 www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1 Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. Câu 1. · Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 . (1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2 mx + 4 (1) x+m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) . Câu 2. Cho hàm số y = · Tập xác định: D = R \ {–m}. y ¢= m2 - 4 ( x + m )2 . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y ¢< 0 Û -2 < m < 2 Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có -m ³ 1 Û m £ -1 Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 . (1) (2) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥; 0) . Câu 3. · m £ -3 Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2 m + 1) x 2 + 6 m ( m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥) Câu 4. · y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2 m + 1)2 - 4(m 2 + m ) = 1 > 0 éx = m y' = 0 Û ê . Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m ), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1 Cho hàm số y = x 4 - 2 mx 2 - 3m + 1 (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). · Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m) Câu 5. + m £ 0 , y ¢³ 0, "x Þ m £ 0 thoả mãn. + m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m , 0, Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi m. m £ 1 Û 0 < m £ 1. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +¥ ) . Câu 6. Trang 1 Vậy m Î ( -¥;1] . www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số · Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m ) x + (2 - m ) ³ 0 với "x Î (0; +¥) 3x 2 + 2 x + 2 Û f ( x) = ³ m với "x Î (0; +¥) 4x +1 -1 ± 73 2(6 x 2 + x - 3) = 0 Û 6x2 + x - 3 = 0 Û x = Ta có: f ¢( x ) = 2 12 (4 x + 1) Lập bảng biến thiên của hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đi đến kết luận: æ -1 + 73 ö 3 + 73 fç ³m ÷³mÛ ç 12 ÷ 8 è ø KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: é x = -1 x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 = 0 (1) Û ê 2 (2) ë g( x ) = x + 2 x + m - 2 = 0 (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt ì ¢ Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û íD = 3 - m > 0 Û m<3 îg(-1) = m - 3 ¹ 0 Câu 7. Cho hàm số y = - x 3 + (2 m + 1) x 2 - (m 2 - 3m + 2) x - 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Câu 8. · y ¢= -3 x 2 + 2(2 m + 1) x - (m 2 - 3m + 2) . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm trái dấu Û 3(m 2 - 3m + 2) < 0 Û 1 < m < 2 . 1 Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m - 1) x - 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Câu 9. · TXĐ: D = R ; y ¢= x 2 – 2mx + 2 m – 1 . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y ¢= 0 có 2 nghiệm phân ìm ¹ 1 ìïD¢ = m 2 - 2m + 1 > 0 ï biệt cùng dấu Û í Ûí 1 ïî2m - 1 > 0 ïîm > 2 Câu 10. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x - 1 . Trang 2 www.VNMATH.com Tr n Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số · Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ö mö æ1 æ 2m ö æ Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ 3ø 3ø è3 è 3 ø è mö mö æ 2m ö æ æ 2m ö æ + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ Þ y1 = y ( x1 ) = - ç 3ø 3ø è 3 ø è è 3 ø è mö æ 2m ö æ + 2÷ x + ç 2 - ÷ Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç 3ø è 3 ø è Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x - 1 Û xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x - 1 3 æ 2m ö Û -ç + 2 ÷ = 1 Û m = - (thỏa mãn) 2 è 3 ø TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x - 1 y + y2 x1 + x2 mö æ 2m ö æ Û yI = xI - 1 Û 1 = -1 Û - ç + 2 ÷ ( x1 + x2 ) + 2 ç 2 - ÷ = ( x1 + x2 ) - 2 2 2 3ø è 3 ø è 2m æ 2m ö Ûm=0 Ûç + 3 ÷ .2 = 6 3 è 3 ø 3ü ì Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = í0; - ý 2þ î Câu 11. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. éx = 0 . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. · Ta có: y¢ = 3 x 2 - 6 mx ; y¢ = 0 Û ê ë x = 2m uur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB = (2m; -4 m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) 2 ïì2 m - 4 m3 = 0 ì AB ^ d A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û í Û í 3 Û m=± 2 îI Î d ïî2 m = m Câu 12. Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 - 3m - 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 . · y ¢ = -3 x 2 + 6 mx ; y ¢= 0 Û x = 0 Ú x = 2 m . Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 . uuur Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; -3m - 1), B(2 m; 4 m3 - 3m - 1) Þ AB(2m; 4m 3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m; 2 m3 - 3m - 1) r Đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 có một VTCP u = (8; -1) . Trang 3 100 Khảo sát hàm số ìïm + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = 0 ìI Î d A và B đối xứng với nhau qua d Û í Û íuuur r Û m=2 AB d ^ AB . u 0 = î ïî Câu 13. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5 = 0 . · Ta có y = x 3 - 3 x 2 + mx Þ y ' = 3 x 2 - 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt Û D¢ = 9 - 3m > 0 Û m < 3 æ1 æ2 ö 1ö 1 Ta có: y = ç x - ÷ y ¢+ ç m - 2 ÷ x + m 3ø 3 è3 è3 ø Tại các điểm cực trị thì y ¢= 0 , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: æ2 ö 1 y = ç m - 2÷ x + m 3 è3 ø æ2 ö 1 Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y = ç m - 2 ÷ x + m 3 è3 ø 2 nên D có hệ số góc k1 = m - 2 . 3 1 1 5 d: x – 2 y – 5 = 0 Û y = x - Þ d có hệ số góc k2 = 2 2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D ö 1æ2 Þ k1k2 = -1 Û ç m - 2 ÷ = -1 Û m = 0 2è3 ø Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Câu 14. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x + m - 2 (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 1 nhau qua đường thẳng d: y = x . 2 · y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9 Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > 0 Û m Î (-¥; -1 - 3) È (-1 + 3; +¥) æ1 m +1 ö ¢ 2 Ta có y = ç x ÷ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 1 3 3 è ø Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB. Þ y1 = -2(m 2 + 2m - 2) x1 + 4 m + 1 ; y2 = -2(m 2 + 2 m - 2) x2 + 4 m + 1 ì x + x = 2(m + 1) và: í 1 2 î x1. x2 = 3 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m 2 + 2 m - 2) x + 4 m + 1 Trang 4 100 Khảo sát hàm số A, B đối xứng qua (d): y = 1 ì AB ^ d x Ûí Û m = 1. 2 îI Î d Câu 15. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x - m , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x 2 sao cho x1 - x 2 £ 2 . · Ta có y ' = 3x 2 - 6(m + 1) x + 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2 Û PT y '= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 Û PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x 2 . ém > -1 + 3 (1) Û D' = (m + 1) 2 - 3 > 0 Û ê m < 1 3 ëê + Theo định lý Viet ta có x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi đó: x1 - x 2 £ 2 Û ( x1 + x 2 )2 - 4 x1 x 2 £ 4 Û 4(m + 1)2 - 12 £ 4 Û (m + 1)2 £ 4 Û -3 £ m £ 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là - 3 £ m < -1 - 3 và - 1 + 3 < m £ 1. Câu 16. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2 m) x 2 + (2 - m ) x + m + 2 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 - x2 > 1 . 3 · Ta có: y ' = 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + (2 - m) Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 < x2 ) é 5 (*) Û D ' = (1 - 2 m )2 - 3(2 - m ) = 4 m 2 - m - 5 > 0 Û ê m > 4 ê ë m < -1 ì 2(1 - 2 m) ï x1 + x2 = 3 Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 . Khi đó ta có: í 2 m ïx x = 3 î 1 2 2 2 1 1 x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 > 9 3 3 + 29 3 - 29 Û 4(1 - 2m )2 - 4(2 - m) > 1 Û 16m 2 - 12 m - 5 > 0 Û m > Úm< 8 8 3 + 29 Kết hợp (*), ta suy ra m > Ú m < -1 8 1 3 1 x - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực. 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 . Câu 17. Cho hàm số y = · Ta có: y ¢= x 2 - 2(m - 1) x + 3(m - 2) Trang 5 100 Khảo sát hàm số Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Û D¢ > 0 Û m 2 - 5m + 7 > 0 (luôn đúng với "m) ì x + x = 2(m - 1) ïì x = 3 - 2m Khi đó ta có: í 1 2 Ûí 2 ïî x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2) î x1 x2 = 3(m - 2) Û 8m 2 + 16 m - 9 = 0 Û m = -4 ± 34 . 4 Câu 18. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 – 3 x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 = -4 x2 . · y ¢= 12 x 2 + 2mx – 3 . Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số luôn có 2 cực trị x1 , x2 . ì ï x1 = -4 x2 ï m ï Khi đó: í x1 + x2 = 6 ï 1 ï ïî x1 x2 = - 4 Câu hỏi tương tự: Þm=± 9 2 a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ; x1 + 2x2 = 3 ĐS: m = -105 . Câu 19. Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Û PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt ìa = (m + 2) ¹ 0 ïD ' = 9 - 3m(m + 2) > 0 ìD ' = -m 2 - 2 m + 3 > 0 ì -3 < m < 1 ï m ï ï ï Û íP = >0 Û ím < 0 Û ím < 0 Û -3 < m < -2 3(m + 2) ï ïm + 2 < 0 ïîm < -2 î ï S = -3 > 0 ïî m+2 Câu 20. Cho hàm số y = x 3 – 3 x 2 + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3 x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức g( x, y ) = 3 x - y - 2 ta có: g( x A , y A ) = 3 x A - yA - 2 = -4 < 0; g( xB , yB ) = 3 x B - yB - 2 = 6 > 0 Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3 x - 2 . Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + 2 Trang 6 100 Khảo sát hàm số 4 ì x= ï y = x 3 2 ì ï æ4 2ö 5 Ûí Þ Mç ; ÷ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: í è5 5ø î y = -2 x + 2 ïy = 2 ïî 5 Câu 21. Cho hàm số y = x 3 + (1 – 2 m) x 2 + (2 – m ) x + m + 2 (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. · y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + 2 - m = g( x ) YCBT Û phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 . ìD¢ = 4m 2 - m - 5 > 0 5 7 ï Û ïg(1) = -5m + 7 > 0 Û < m < . í 4 5 ï S = 2m - 1 < 1 ïî 2 3 y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. Câu 22. Cho hàm số · Ta có y ¢ = 3 x 2 - 6mx + 3(m 2 - 1) Hàm số (1) có cực trị thì PT y ¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û x 2 - 2mx + m 2 - 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt Û D = 1 > 0, "m Khi đó: điểm cực đại A(m - 1; 2 - 2m ) và điểm cực tiểu B(m + 1; -2 - 2m ) é m = -3 + 2 2 Ta có OA = 2OB Û m 2 + 6m + 1 = 0 Û ê . êë m = -3 - 2 2 Câu 23. Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m 3 - m 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). · y ¢ = -3 x 2 + 6 mx + 3(1 - m 2 ) . PT y ¢= 0 có D = 1 > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) . Chia y cho y¢ ta được: Khi đó: æ1 mö y = ç x - ÷ y ¢+ 2 x - m2 + m è3 3ø y1 = 2 x1 - m2 + m ; y2 = 2 x2 - m 2 + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2 x - m 2 + m . Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4 x + 3 . Trang 7 100 Khảo sát hàm số · Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ö mö æ1 æ 2m ö æ Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ 3ø 3ø è3 è 3 ø è mö mö æ 2m ö æ æ 2m ö æ + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ Þ y1 = y ( x1 ) = - ç 3ø 3ø è 3 ø è è 3 ø è mö æ 2m ö æ + 2÷ x + ç 2 - ÷ Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = - ç 3ø è 3 ø è Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y = -4 x + 3 ì æ 2m ö ï - ç 3 + 2 ÷ = -4 ï è ø Ûí Û m = 3 (thỏa mãn) ïæ 2 - m ö ¹ 3 ïîçè 3 ÷ø Câu 25. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 một góc 450 . · Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ö mö æ1 æ 2m ö æ Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ 3ø 3ø è3 è 3 ø è mö mö æ 2m ö æ æ 2m ö æ + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ Þ y1 = y ( x1 ) = - ç 3ø 3ø è 3 ø è è 3 ø è mö æ 2m ö æ + 2÷ x + ç 2 - ÷ Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç 3ø è 3 ø è 1 æ 2m ö Đặt k = - ç + 2 ÷ . Đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 có hệ số góc bằng - . 4 è 3 ø 1 1 3 39 é é é 1 = k 1 k k m + = = k+ ê ê ê 5 4 4 10 4 Ûê Ûê Ûê Ta có: tan 45o = 1 1 1 5 êk = ê k + = -1 + k êm = - 1 1- k ê êë êë 4 4 4 3 2 ë 1 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = 2 Câu 26. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -4 . · 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB = 120 0 . Trang 8 100 Khảo sát hàm số é x = -2 Þ y = m + 4 · Ta có: y ¢= 3 x 2 + 6 x ; y ¢= 0 Û ê ëx = 0 Þ y = m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) uur uur · 1 OA = (0; m), OB = (-2; m + 4) . Để AOB = 120 0 thì cos AOB = 2 ì-4 < m < 0 1 m(m + 4) Û = - Û m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) = -2m(m + 4) Û í 2 2 î3m + 24m + 44 = 0 m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) ì-4 < m < 0 -12 + 2 3 ï Ûí -12 ± 2 3 Û m = 3 ïî m = 3 Câu 27. Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 3(m2 – 1) x – m 3 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -2 . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. éx = m +1 · y ¢= 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1) ; y ¢= 0 Û ê ë x = m -1 ì x = -1 + t Điểm cực đại M (m –1;2 – 3m) chạy trên đường thẳng cố định: í î y = 2 - 3t ìx = 1+ t Điểm cực tiểu N (m + 1; -2 – m) chạy trên đường thẳng cố định: í î y = -2 - 3t 1 4 3 (1) x - mx 2 + 2 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. Câu 28. Cho hàm số y = éx = 0 · y ¢= 2 x3 - 2mx = 2 x ( x 2 - m) . y ¢ = 0 Û ê 2 ëx = m Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y ¢= 0 có 1 nghiệm Û m £ 0 Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5 (Cm ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. éx = 0 · Ta có f ¢( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 Û ê 2 ëx = 2 - m Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m ) uur uuur Þ AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 ) Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A 3 Û AB.AC = 0 Û (m - 2 ) = -1 Û m = 1 (thoả (*)) Trang 9 100 Khảo sát hàm số Câu 30. Cho hàm số y = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5 (C m ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. éx = 0 · Ta có f ¢( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 Û ê 2 ëx = 2 - m Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m ) uur uuur Þ AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 ) 1 Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi µA = 60 0 Û cos A = 2 uuur uuur AB. AC 1 Û uuur uuur = Û m = 2 - 3 3 . AB . AC 2 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x 4 - 4(m - 1) x 2 + 2 m - 1 Câu 31. Cho hàm số y = x 4 + 2 mx 2 + m 2 + m có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 . éx = 0 · Ta có y¢ = 4 x 3 + 4 mx ; y¢ = 0 Û 4 x( x 2 + m) = 0 Û ê êë x = ± - m (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m 2 + m ), B ( - m ; m ) , C ( - - m ; m ) uur uuur µ AB = ( - m ; - m 2 ) ; AC = (- - m ; -m 2 ) . DABC cân tại A nên góc 120o chính là A . uur uuur µ 1 1 1 AB. AC - -m . -m + m4 o A = 120 Û cos A = - Û uur uuur = - Û =4 2 2 2 m -m AB . AC ém = 0 (loaïi) 1 4 4 4 1 Û = - Þ 2 m + 2 m = m - m Û 3m + m = 0 Û ê êm = - 3 2 m4 - m 3 ëê 1 Vậy m = . 3 3 m + m4 Câu 32. Cho hàm số y = x 4 - 2 mx 2 + m - 1 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. éx = 0 · Ta có y ¢= 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m ) = 0 Û ê 2 ëx = m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û PT y ¢= 0 có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó Û m > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: A(0; m - 1), B ( - m ; - m 2 + m - 1) , C ( m ; - m 2 + m - 1) Trang 10 100 Khảo sát hàm số 1 y - y A . xC - x B = m 2 m ; AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m 2 B ém = 1 (m 4 + m)2 m AB. AC.BC 3 =1Û = 1 Û m - 2m + 1 = 0 Û ê R= 2 êm = 5 - 1 4SV ABC 4m m ë 2 Câu hỏi tương tự: SV ABC = a) y = x 4 - 2mx 2 + 1 ĐS: m = 1, m = -1 + 5 2 Câu 33. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. éx = 0 · Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 0 Û ê 2 ë g ( x) = x - m = 0 Hàm số có 3 cực trị Û y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û D g = m > 0 Û m > 0 (*) Với điều kiện (*), phương trình y ¢= 0 có 3 nghiệm x1 = - m ; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A(0; 2m + m 4 ); B ( m ; m 4 - m 2 + 2m ) ; C ( - m ; m 4 - m2 + 2m ) là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: AB 2 = AC 2 = m 4 + m; BC 2 = 4m Þ DABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC Þ M (0; m 4 - m 2 + 2 m) Þ AM = m 2 = m 2 Vì D ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: 5 SD ABC = 1 1 AM .BC = .m 2 . 4m = 4 Û m 2 = 4 Û m 5 = 16 Û m = 5 16 2 2 Vậy m = 5 16 . Câu hỏi tương tự: a) y = x 4 - 2m 2 x 2 + 1 , S = 32 ĐS: m = ±2 KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO 3 2 Câu 34. Cho hàm số y = x + 3x + mx + 1 (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. · PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x 3 + 3 x 2 + mx + 1 = 1 Û x ( x 2 + 3 x + m) = 0 9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û m < , m ¹ 0 4 Khi đó: xB , xC là các nghiệm của PT: x 2 + 3 x + m = 0 Þ x B + xC = -3; x B . xC = m Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 = 3 x B2 + 6 xB + m và tại C là k2 = 3 xC2 + 6 xC + m Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 4m 2 - 9m + 1 = 0 Û m= Trang 11 9 - 65 9 + 65 Ú m= 8 8 www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Câu 35. Cho hàm số y = x 3 – 3 x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. · Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 – (m + 3) x – m – 2 = 0 é x = -1 ( y = 3) Û ( x + 1)( x 2 – x – m – 2) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x - x - m - 2 = 0 9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û m > - , m ¹ 0 4 Khi đó: xN , xP là các nghiệm của PT: x 2 - x - m - 2 = 0 Þ x N + x P = 1; x N . x P = - m - 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1 = 3 x N2 - 3 và tại P là k2 = 3 x P2 - 3 Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 9m 2 + 18m + 1 = 0 Û m= -3 + 2 2 -3 - 2 2 Ú m= 3 3 Câu 36. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. · PT đường thẳng (d): y = k ( x - 2) + PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 - 3 x 2 + 4 = k ( x - 2) é x = 2 = xA Û ( x - 2)( x 2 - x - 2 - k ) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x - x - 2 - k = 0 + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 ìD > 0 9 Û í (*) Û- (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 Û í 4 (*) ïîm ¹ 0 Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û y '( xN ). y '( xP ) = -1 Û m = -3 ± 2 2 (thoả (*)) 3 Câu 38. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) ( m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. · Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có: ì(1) coù 2 cöïc trò ïï y .y < 0 (*) í CÑ >CT > 0, 0 x x CT ï CÑ îïa.y(0) < 0 Trong đó: + y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) Þ y¢ = 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1) + Dy ¢ = m 2 - m 2 + 1 = 0 > 0, "m é x = m - 1 = xCÑ + y ¢= 0 Û ê ë x = m + 1 = xCT ìm - 1 > 0 ïï m + 1 > 0 Û 3 < m < 1+ 2 Suy ra: (*) Û í 2 2 2 ( 1)( 3)( 2 1) 0 < m m m m ï 2 îï-(m - 1) < 0 1 3 2 x - mx 2 - x + m + có đồ thị (Cm ) . 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1. 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15. Câu 39. Cho hàm số y = 1 3 2 x - mx 2 - x + m + = 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x12 + x22 + x32 > 15 . 3 3 éx = 1 Ta có: (*) Û ( x - 1)( x 2 + (1 - 3m ) x - 2 - 3m ) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x + (1 - 3m) x - 2 - 3m = 0 · YCBT Û Do đó: YCBT Û g( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1 và thỏa x12 + x22 > 14 . Û m >1 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x3 - 3mx 2 - 3x + 3m + 2 Câu 40. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m , trong đó m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Û Phương trình x 3 - 3 x 2 - 9 x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Trang 13 100 Khảo sát hàm số Û Phương trình x 3 - 3 x 2 - 9 x = - m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Û Đường thẳng y = - m đi qua điểm uốn của đồ thị (C) Û -m = -11 Û m = 11. Câu 41. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 . 2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 = 0 Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2 ; x3 ta có: x1 + x2 + x3 = 3m (1) Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1) é êm = 1 ê -1 + 15 Þ -2m 3 + 9m - 7 = 0 Û ê m = ê 2 ê -1 - 15 êm = ë 2 -1 - 15 là giá trị cần tìm. 2 Thử lại ta có m = Câu 42. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 - mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1 . 2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = x + 2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. · Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x 3 - 3mx 2 - mx = x + 2 Û g ( x ) = x3 - 3mx 2 - ( m + 1) x - 2 = 0 Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: g ( x ) = ( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 ) ì x1 + x2 + x3 = 3m ï Suy ra: í x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = - m - 1 ïx x x = 2 î 1 2 3 Vì x1 x3 = x22 Þ x23 = 2 Þ x2 = 3 2 nên ta có: -m - 1 = 4 + 3 2.3m Û m = Đk đủ: Với m = Vậy m = - 5 3 2 +1 3 5 , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. 3 2 +1 3 5 3 2 +1 3 Câu 43. Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1. 2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: x 3 + 2 mx 2 + (m + 3) x + 4 = x + 4 Û x( x 2 + 2 mx + m + 2) = 0 Trang 14 Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số é x = 0 ( y = 4) Ûê 2 ë g( x ) = x + 2 mx + m + 2 = 0 (1) (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. 2 ì / ì m £ -1 Ú m ³ 2 (*) Û íD = m - m - 2 > 0 Û í îm ¹ -2 î g(0) = m + 2 ¹ 0 Khi đó: xB + xC = -2m; xB . xC = m + 2 . Mặt khác: d (K , d ) = SDKBC = 8 2 Û 1- 3 + 4 2 = 2 . Do đó: 1 BC.d ( K , d ) = 8 2 Û BC = 16 Û BC 2 = 256 2 Û ( x B - xC )2 + ( yB - yC )2 = 256 Û ( x B - xC )2 + (( x B + 4) - ( xC + 4))2 = 256 Û 2( xB - xC )2 = 256 Û ( x B + xC )2 - 4 x B xC = 128 Û 4 m 2 - 4(m + 2) = 128 Û m 2 - m - 34 = 0 Û m = Vậy m = 1 ± 137 (thỏa (*)). 2 1 ± 137 . 2 Câu 44. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) với hệ số góc k (k Î ¡ ) . Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 . · Ta có: dk : y = kx + k Û kx - y + k = 0 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: x 3 - 3 x 2 + 4 = kx + k Û ( x + 1) éë( x - 2)2 - k ùû = 0 Û x = -1 hoặc ( x - 2)2 = k ìk > 0 dk cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û í îk ¹ 9 Khi đó các giao điểm là A(-1; 0), B ( 2 - k ;3k - k k ) , C ( 2 + k ;3k + k k ) . BC = 2 k 1 + k 2 , d (O, BC ) = d (O, dk ) = k 1+ k2 1 k .2 k . 1 + k 2 = 1 Û k k = 1 Û k 3 = 1 Û k = 1 SDOBC = . 2 1+ k2 Câu 45. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng · Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y = k ( x - 1) . 2. PT hoành độ giao điểm của (C) và D: ( x - 1)( x 2 - 2 x - 2 - k ) = 0 D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT x 2 - 2 x - 2 - k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 Trang 15 100 Khảo sát hàm số Û k > -3 1 SDOAB = d (O, D). AB = k 2 Trần Sĩ Tùng k +3 Þ k é k = -1 k +3 = 2 Û ê ë k = -1 ± 3 Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: y = - x + 1; y = ( -1 ± 3 ) ( x - 1) . Câu 46. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: 2 x 3 + mx + 2 = 0 Û m = - x 2 - ( x ¹ 0) x Xét hàm số: f ( x ) = - x 2 Ta có bảng biến thiên: 2 2 -2 x 3 + 2 Þ f '( x ) = -2 x + = x x2 x2 -¥ f ¢( x) f (x) +¥ +¥ -¥ -¥ -¥ Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Û m > -3 . Câu 47. Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 2 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. · 1- 3 < m < 1+ 3 Câu 48. Cho hàm số y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Định m để đường thẳng (d ) : y = mx - 2m - 4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. · PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 = mx - 2m - 4 éx = 2 Û ( x - 2)( x 2 - 4 x + 1 - m ) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x - 4 x + 1 - m = 0 (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û m > -3 Câu 49. Cho hàm số y = x 3 – 3 x 2 + 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng (D): y = (2 m - 1) x – 4 m – 1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt. · Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): x 3 – 3 x 2 – (2 m – 1) x + 4 m + 2 = 0 éx = 2 Û ( x - 2)( x 2 – x – 2 m –1) = 0 Û ê 2 ë f ( x ) = x - x - 2m - 1 = 0 (1) é 2 ¹ x1 = x2 (D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: ê ë x1 = 2 ¹ x2 Trang 16 Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số é ìD = 0 é ì8m + 5 = 0 é 5 ê ïí b ê ïí 1 êm = - 8 ê ïêï ¹ 2 ¹2 Û ê î 2a Û êî 2 Ûê êm = 1 êìD > 0 ê ì8m + 5 > 0 ë 2 ê íî f (2) = 0 ê íî-2 m + 1 = 0 ë ë 5 1 Vậy: m = - ; m = . 8 2 Câu 50. Cho hàm số y = x3 - 3m 2 x + 2m có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. · Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị Þ y ¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û 3x 2 - 3m 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 Khi đó y ' = 0 Û x = ± m . (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt Û yCĐ = 0 hoặc yCT = 0 Ta có: + y (- m) = 0 Û 2m3 + 2m = 0 Û m = 0 (loại) + y (m) = 0 Û -2m3 + 2m = 0 Û m = 0 Ú m = ±1 Vậy: m = ±1 ( ) Câu 51. Cho hàm số y = x 4 - mx 2 + m - 1 có đồ thị là Cm 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 8 . 2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt. ìm > 1 · í îm ¹ 2 ( ) Câu 52. Cho hàm số y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là Cm . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0 . 2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1) Đặt t = x , t ³ 0 thì (1) trở thành: f (t ) = t - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 . 2 2 Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f (t ) = 0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt ìD ' = m 2 > 0 1 ì ï ïm > Û í S = 2 ( m + 1) > 0 Û í 2 (*) ï P = 2m + 1 > 0 ïîm ¹ 0 î Với (*), gọi t1 < t2 là 2 nghiệm của f (t ) = 0 , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: x1 = - t2 ; x2 = - t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng Û x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 Û t2 = 9t1 ém = 4 é 5m = 4 m + 4 Û m + 1 + m = 9 ( m + 1 - m ) Û 5 m = 4 ( m + 1) Û ê Ûê êm = - 4 = + m m 5 4 4 ë 9 ë Trang 17 www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 4ü ì Vậy m = í 4; - ý 9þ î Câu hỏi tương tự đối với hàm số y = - x 4 + 2(m + 2) x 2 - 2 m - 3 ĐS: m = 3, m = - 13 . 9 Câu 53. Cho hàm số y = x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 : é x = ±1 x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m = -1 Û x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m + 1 = 0 Û ê 2 ë x = 3m + 1 (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2 ì 1 ìï0 < 3m + 1 < 4 ï- < m < 1 Û í Ûí 3 ïî3m + 1 ¹ 1 ïm ¹ 0 î Câu 54. Cho hàm số y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3. · Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1) Đặt t = x 2 , t ³ 0 thì (1) trở thành: f (t ) = t 2 - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 . (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 é 0 = t1 < t2 < 3 Û f ( t ) có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 sao cho: ê ë 0 < t1 < 3 £ t2 ìD ' = m 2 > 0 2 ìD ' = m > 0 ï ï 1 ï f ( 3) = 4 - 4m £ 0 Û í f (0) = 2m + 1 = 0 í Û m = - Ú m ³1 2 ï S = 2 ( m + 1) < 3 ï S = 2 ( m + 1) > 0 î ï P = 2m + 1 > 0 î 1 Vậy: m = - Ú m ³ 1 . 2 Câu 55. Cho hàm số y = x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m (1), với m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 .. 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m < 0. · Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox: x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m = 0 (1) Đặt t = x 2 ( t ³ 0 ) , (1) trở thành : t 2 - 2m 2t + m4 + 2m = 0 (2) Ta có : D ' = -2m > 0 và S = 2m2 > 0 với mọi m > 0 . Nên (2) có nghiệm dương Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt. Trang 18 www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 2x +1 có đồ thị là (C). x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 2x +1 · PT hoành độ giao điểm của (C) và d: = -x + m x+2 ì x ¹ -2 Û í 2 î f ( x ) = x + (4 - m ) x + 1 - 2 m = 0 (1) Câu 56. Cho hàm số y = Do (1) có D = m 2 + 1 > 0 và f (-2) = (-2)2 + (4 - m).(-2) + 1 - 2 m = -3 ¹ 0, "m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Ta có: y A = m - x A ; yB = m - xB nên AB 2 = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 = 2(m 2 + 12) Suy ra AB ngắn nhất Û AB 2 nhỏ nhất Û m = 0 . Khi đó: AB = 24 . Câu hỏi tương tự đối với hàm số: x -1 1 x-2 a) y = ĐS: m = 2 b) y = ĐS: m = x -1 2x 2 x-3 . x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (-1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. · Phương trình đường thẳng d : y = k ( x + 1) + 1 Câu 57. Cho hàm số y = x -3 = kx + k + 1 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 . x +1 Û f ( x ) = kx 2 + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 ìk ¹ 0 ï Û íD = -4k > 0 Û k < 0 ï f (-1) = 4 ¹ 0 î d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N Û Mặt khác: xM + xN = -2 = 2 xI Û I là trung điểm MN với "k < 0 . Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y = kx + k + 1 với k < 0 . 2x + 4 (C). 1- x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN = 3 10 . · Phương trình đường thẳng (d ) : y = k ( x - 1) + 1. Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt Câu 58. Cho hàm số y = sao cho ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = 90 2 ì 2x + 4 = k ( x - 1) + 1 ï í -x +1 ïî y = k ( x - 1) + 1 2 (a) ìkx 2 - (2k - 3) x + k + 3 = 0 (I). Ta có: ( I ) Û í y = k ( x - 1) + 1 î Trang 19