Tài liệu XÂY DỰNG TÀI LIỆU TỰ HỌC PHẦN THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP, KHỐI LĂNG TRỤ CHO HỌC SINH TRƢỜNG DỰ BỊ ĐẠI HỌC DÂN TỘC TRUNG ƯƠNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG DỰ BỊ ĐẠI HỌC DÂN TỘC TRUNG ƢƠNG ******* TÓM TẮT SÁNG KIẾN CÔNG TÁC XÂY DỰNG TÀI LIỆU TỰ HỌC PHẦN THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP, KHỐI LĂNG TRỤ CHO HỌC SINH TRƢỜNG DỰ BỊ ĐẠI HỌC DÂN TỘC TRUNG ƢƠNG Thực hiện: - ThS. Lê Thị Ngọc Phƣợng - Phòng BD-QL Chất lƣợng - ThS. Dƣơng Minh Nhuận - Tổ bộ môn Toán Phú Thọ, tháng 5 năm 2017 MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 PHẦN 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 I. Tổng quan về lịch sử vấn đề nghiên cứu 3 II. Cơ sở lí luận 3 III. Một số khó khăn của học sinh khi học chủ đề thể tích của khối chóp, 5 khối lăng trụ và định hƣớng xây dựng tài liệu tự học Chƣơng 2: XÂY DỰNG TÀI LIỆU TỰ HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH CỦA 7 KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ HỖ TRỢ HOẠT ĐỘNG TỰ HỌC CHO HỌC SINH TRƢỜNG DỰ BỊ ĐẠI HỌC DÂN TỘC TRUNG ƢƠNG Chủ đề 1: THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP 8 Chủ đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 16 Chƣơng 3 : HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN 21 PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 1. Kết luận 25 2. Kiến nghị 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài - Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị trung ƣơng 8 khóa XI về đổi mới căn bản và toàn diện GD-ĐT đã xác định mục tiêu tổng quát, định hƣớng đổi mới giáo dục là “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học. - Nghị quyết 14/2005/NQ-CP về đổi mới cơ bản và toàn diện giáo dục đại học Việt Nam giai đoạn 2006 - 2020 đã ghi rõ: “Triển khai đổi mới phương pháp đào tạo theo 3 tiêu chí: Trang bị cách học, phát huy tính chủ động, sáng tạo và sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy học”, Luật Giáo dục cũng đã ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Tại Văn kiện Đại hội XII, Đảng khẳng định: kế thừa quan điểm chỉ đạo của nhiệm kỳ trƣớc đồng thời xác định: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo theo hướng mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện năng lực, thể chất, nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật và trách nhiệm công dân...”. “Đổi mới khung chương trình, quan tâm hơn đến yêu cầu tăng cường kỹ năng sống, giảm tải nội dung trong các bậc học phổ thông”. Hiện nay trong xu thế đổi mới giáo dục đặc biệt là đổi mới hình thức thi THPT Quốc gia năm 2017, với môn Toán chuyển từ hình thức thi tự luận sang hoàn toàn thi trắc nghiệm, việc thay đổi hình thức thi nhƣ vậy bƣớc đầu tạo sự bỡ ngỡ và khó khăn cho giáo viên cũng nhƣ học sinh khi giảng dạy và học toán. Chuyên đề Hình học không gian là chuyên đề cơ bản của môn Toán giảng dạy tại Nhà trƣờng, đây là chuyên đề khó đòi hỏi học sinh phối hợp tốt giữa tƣ duy trực quan với tƣ duy logic, đặc biệt với học sinh ngƣời dân tộc thiểu số - các em thiên về tƣ duy trực quan. Qua thực tiễn giảng dạy tiếp cận với xu thế đổi mới của giáo dục và đào tạo chúng tôi nhận thấy việc xây dựng một tài liệu tự học môn Toán trong thời gian này là cần thiết và thiết thực với hoạt động tự học của học sinh. Bởi vậy chúng tôi lựa chọn đề tài Xây dựng tài liệu tự học phần Thể tích của khối chóp, khối lăng trụ cho học sinh trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung ương 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu, hệ thống hóa, phân loại các dạng toán và phƣơng pháp tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ. - Xây dựng tài liệu tự học chủ đề Thể tích khối chóp, khối lăng trụ phù hợp với đối tƣợng học sinh và xu thế của đổi mới hình thức kiểm tra trong môn 1 Toán. Đáp ứng nhu cầu tài liệu tham khảo cho học sinh trong hoạt động tự học tại trƣờng. - Trang bị những kiến thức để học sinh làm đƣợc bài toán tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ. - Bản thân đƣợc trau dồi và nâng cao trình độ chuyên môn, các đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo. 3. Khách thể, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu: Nội dung phần hình học không gian trong môn Toán giảng dạy tại trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng 3.2. Đối tượng nghiên cứu: Xây dựng tài liệu tự học phần thể tích của khối chóp và khối lăng trụ. 3.3. Phạm vi nghiên cứu: - Đề tài tập trung nghiên cứu và xây dựng một số dạng toán liên quan tới chủ đề thể tích của khối chóp và khối lăng trụ. - Tiến hành thực nghiệm trên nhóm HS khóa 42 năm học 2016 – 2017 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về tự học và tài liệu tự học. - Nghiên cứu nội dung, chƣơng trình toán hình học giảng dạy tại trƣờng DBĐHDTTƢ. - Phát triển một số nội dung theo định hƣớng tiếp cận hình thức thi trắc nghiệm môn toán trong kì thi THPT QG. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu lí luận. - Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn - Nhóm phƣơng pháp bổ trợ 6. Cấu trúc của Sáng kiến kinh nghiệm Ngoài phần Đặt vấn đề, Kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo. Nội dung chính của đề tài là phần Giải quyết vấn đề gồm có 4 chƣơng Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chƣơng 2: Xây dựng tài liệu tự học chủ đề Thể tích của khối chóp và lăng trụ hỗ trợ hoạt động tự học cho học sinh trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng Chƣơng 3: Hiệu quả của sáng kiến công tác 2 PHẦN 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I. Tổng quan về lịch sử vấn đề nghiên cứu Luận án Tiến sĩ của tác giả Lê Trọng Tuấn về Phát triển kỹ năng tự học cho học sinh các trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc đã xây dựng giải pháp Phát triển chương trình môn học của Trường DBĐHDT định hướng phát triển kỹ năng tự học cho HS, tác giả cho rằng: chƣơng trình giáo dục dành cho HS DBĐHDT là một thực thể không phải đƣợc thiết kế một lần và dùng cho mãi mãi, mà đƣợc phát triển, bổ sung, hoàn thiện tùy theo sự thay đổi của trình độ phát triển kinh tế - xã hội, của thành tựu khoa học - kỹ thuật và công nghệ, theo xu hƣớng phát triển của giáo dục phổ thông và giáo dục đại học. Các tác giả Mai Văn Trinh, Lƣơng Viết Mạnh (2013) có nghiên cứu Thiết kế và sử dụng tài liệu hướng dẫn tự học Vật Lý cho học sinh ở trường Dự bị Đại học Dân tộc, nhóm tác giả này đã xây dựng quy trình thiết kế và các bƣớc hƣớng dẫn sử dụng tài liệu tự học Vật Lý cho học sinh nhằm nâng cao chất lƣợng tự học ở môn này cho học sinh các trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc. Tại trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng đã có SKKN tác giả Lê Thị Thu Hà - nhóm chuyên môn Hóa học với tên đề tài Xây dựng tài liệu tự học theo mô đun phần kiềm thổ cho học sinh khối A, B trường Dự bị Đại học Dân tộc trung ương năm 2012; nhóm tác giả Nguyễn Thị Ngân, Phạm Thị Thơm với tên đề tài Xây dựng tài liệu tự học theo mô đun phần Phi kim cho học sinh khối A, B trường Dự bị Đại học Dân tộc trung ương năm 2013; tác giả Nguyễn Phƣơng Thảo năm 2014 ... tuy nhiên chƣa có công trình nào nghiên cứu về xây dựng tài liệu tự học Toán dành cho học sinh trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng, có phần trắc nghiệm toán. II. Cơ sở lí luận 1. Quan niệm về tự học Tự học là tự mình động não suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp...) và có khi cả cơ bắp (khi phải sử dụng công cụ), cùng các phẩm chất của mình rồi cả động cơ tình cảm, nhân sinh quan, thế giới quan (nhƣ trung thực, khách quan, ý muốn thực thi biết biến khó khăn thành thuận lợi...) để chiếm lĩnh lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực hiểu biết đó thành sở hữu của mình. 2. Tự học với tài liệu 2.1. Tài liệu học tập Tài liệu học tập đƣợc chia ra thành nhiều loại tuỳ theo tính chất hay chức năng riêng biệt của nó. Thông thƣờng, đối với học sinh trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng có những loại tài liệu học tập sau đây: 3 1.1. Giáo trình: Đây là tài liệu học tập do các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Toán biên soạn là tài liệu học tập cơ bản, chung, chính thống, bắt buộc đối với mọi học sinh sinh khi học tập môn đó. 1.2. Tài liệu tham khảo, đọc thêm: Là những tài liệu cần thiết để bổ xung, đào sâu, mở rộng tri thức cho từng bài học, từng chƣơng. 1.3. Tài liệu hướng dẫn học tập: Là những tài liệu có chức năng hƣớng dẫn học tập, ôn tập hay rèn luyện kỹ năng, tự học, tự thực hành, nhƣ Giáo trình; các đề tài NCKH, SKKN của các thầy cô giáo trong Nhà trƣờng trong nhiều năm học; các bài viết, các video trên Website hỗ trợ tự học của các Nhóm chuyên môn trong Nhà trƣờng… Tài liệu tham khảo, hƣớng dẫn học tập là những tài liệu bổ trợ giúp học sinh nắm chắc đƣợc kiến thức cơ bản, phát huy đƣợc tính tích cực, độc lập, sáng tạo, học sinh phát huy hết năng lực nhận thức, kích thích tính ham học hỏi, tìm tòi, sáng tạo những cái mới, độc lập, tự chủ trong việc lĩnh hội tri thức. 2.2. Tự học với tài liệu Căn cứ theo phƣơng tiện học tập thì có một số hình thức tự học nhƣ: tự học với tài liệu, tự học qua tivi, tự học với sách điện tử, tự học qua Internet... trong đó tự học với tài liệu là hình thức phổ biến nhất đối với học sinh, nhà nghiên cứu... Học sinh học độc lập với tài liệu, không có thầy cô, có nhƣợc điểm là khi ngƣời học không hiểu thì không có thầy bên cạnh để hỏi. Hoạt động tự học diễn ra thầm lặng, không có sự sôi nổi, sinh động bởi không có sự trao đổi, thảo luận với bạn, với thầy. Bên cạnh nhƣợc điểm trên thì việc tự học với tài liệu có những ƣu điểm: Đây là hình thức học ít tốn kém nhất, không cần phải đến trƣờng, lớp ngƣời học có thể học ở mọi nơi, mọi lúc phù hợp với quỹ thời gian của bản thân. Đặc biệt, hình thức tự học này sẽ phát huy cao độ tính độc lập của ngƣời học, phát triển năng lực tự học, năng lực là việc độc lập với sách, một năng lực cần thiết cho mọi ngƣời để có thể học tập suốt đời. 2.3. Xây dựng tài liệu tự học Toán cho học sinh trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng 2.3.1. Nguyên tắc xây dựng 2.3.2. Quy trình xây dựng tài liệu tự học Việc nghiên cứu và xây dựng tài liệu tự học đƣợc tiến hành theo các bƣớc. Bƣớc 1: Phân tích - Xác định nhu cầu, tìm hiểu đối tƣợng và đề ra mục tiêu (về kiến thức, kĩ năng, thái độ) Xác định mục tiêu của chủ đề theo các mức độ nhận thức, kỹ năng, thái độ và mục tiêu phát triển năng lực một cách rõ ràng. Mục tiêu chủ đề có vai trò định hƣớng cho hoạt động dạy học và là cơ sở 4 để kiểm tra đánh giá hiệu quả dạy học. Bƣớc 2: Biên soạn - Vạch ra đề cƣơng, nội dung, xem xét tài liệu hiện có; tổ chức biên soạn nội dung, các phƣơng tiện hỗ trợ... Bƣớc 3: Đánh giá - Sau khi biên soạn cần đƣợc đƣa vào thử nghiệm và xác định các công cụ đánh giá, kiểm tra chất lƣợng, lấy ý kiến chuyên gia về mục tiêu, tên chủ đề, nội dung của chủ đề (nếu cần). Bƣớc 4: Hoàn thiện cấu trúc, nội dung chủ đề và đƣa vào triển khai thực hiện. 2.3.3. Cấu trúc tài liệu hướng dẫn tự học Toán Tài liệu hƣớng dẫn tự học Toán gồm 2 phần: Phần mở đầu và phần nội dung - Phần mở đầu: + Hƣớng dẫn sử dụng tài liệu tự học. + Giới thiệu về chủ đề: thời lƣợng giảng dạy, mối quan hệ với các đơn vị kiến thức khác. + Giới thiệu nhiệm vụ của chủ đề: Mục tiêu chung (kiến thức, kĩ năng, thái độ); về thời gian tự học. - Phần nội dung: Chia chủ đề thành nhiều nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh có thể giải quyết từng nhiệm vụ một cách độc lập trong thời gian cho phép. Ở mỗi nhiệm vụ đều thực hiện theo các bƣớc Bƣớc 1: Trang bị các kiến thức liên quan (Phần này vừa mang tính gợi mở vừa mang tính tái hiện lại kiến thức trong sách giáo trình) Bƣớc 2: Giới thiệu các ví dụ điển hình theo từng dạng toán có phân tích, định hƣớng. Bƣớc 3: Giới thiệu hệ thống bài tập tự học dạng bài tập trắc nghiệm (bài tập đề nghị) để sau khi học sinh tự nghiên cứu các ví dụ điển hình luyện tập theo nhóm hoặc cá nhân (hệ thống bài tập này đa dạng vừa có bài tập dễ để củng cố kiến thức, vừa có bài tập khó để nâng cao để kiểm tra kiến thức mà học sinh thu nhận đƣợc khi đọc một đơn vị kiến thức) Bƣớc 4: Sau khi hoàn thành các nhiệm vụ của chuyên đề học sinh độc lập thực hiện kiểm tra và tự đối chiếu kiến thức lĩnh hội trong quá trình tự học bằng đáp án có sẵn từ đó học sinh tự rút kinh nghiệm hoặc có thể trao đổi với giáo viên và học sinh khác. III. Một số khó khăn của học sinh khi học chủ đề thể tích của khối chóp, khối lăng trụ và định hƣớng xây dựng tài liệu tự học Các thắc mắc:“ Vẽ hình như thế nào? Phải bắt đầu từ đâu?... ” là những thắc mắc thƣờng gặp của học sinh khi bắt tay vào làm một bài tập hình học không gian nói chung. Đặc biệt đối với bài toán tính thể tích khối đa diện nói chung và tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ nói riêng thì đối với hầu hết học 5 sinh trong quá trình học toán tại nhà trƣờng, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập. Nguyên nhân của thực trạng trên là: - Học sinh còn lúng túng trong việc phân tích và nắm bắt đƣợc các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán. - Chƣa biết cách hệ thống hóa đƣợc các kiến thức cơ bản liên quan đến chủ đề về thể tích khối chóp và khối lăng trụ. - Kỹ năng vận dụng kiến thức hình học không gian còn hạn chế. - Kỹ năng vẽ hình không gian còn hạn chế, thƣờng xuyên nhầm lẫn giữa nét đứt và nét liền. Chủ đề về tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ đƣợc đề cập thƣờng xuyên trong các đề thi, một số chuyên đề đã viết về vấn đề này nhƣng chỉ mang tính tổng hợp, chƣa phân tích và phân dạng bài tập cụ thể. Trong những năm gần đây hoạt động giảng dạy, học tập môn toán tại trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng giáo viên và học sinh sử dụng tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo là Giáo trình do Tổ bộ môn biên soạn và các sách tham khảo trên thƣ viện Nhà trƣờng. Các tài liệu trên thƣ viện mặc dù khá đa dạng song hầu hết không viết dƣới dạng dành cho học sinh tự học. Do đó trong quá trình tự học học sinh chỉ biết lời giải trong mỗi bài toán cụ thể, ít học hỏi đƣợc ở các tài liệu này cách nghĩ, cách giải quyết bài toán. Trên cơ sở đó, chúng tôi xây dựng tài liệu hƣớng dẫn tự học chủ đề thể tích khối chóp và khối lăng trụ có một số điểm khác biệt nhƣ sau: - Trong từng chủ đề dạy học phần thể tích, chúng tôi phân chia các nhiệm vụ, trong mỗi nhiệm vụ lại có các ví dụ minh họa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp từ đó học sinh có thể dễ dàng nhận dạng và phân loại bài toán để đƣa ra phƣơng pháp giải phù hợp. - Mỗi ví dụ đều có hƣớng dẫn học sinh phân tích giả thiết, nhất là các giả thiết cho ở dạng gián tiếp từ đó hƣớng dẫn học sinh vẽ hình, tìm đƣợc mối quan hệ giữa các yếu tố từ đó đƣa ra lời giải bài toán ngắn gọn. - Đƣa ra đƣợc hệ thống bài tập trắc nghiệm theo từng dạng từ dễ đến khó, đáp ứng đƣợc nhu cầu, trình độ của ngƣời học nhằm giúp các em tự luyện và nâng cao khả năng tƣ duy; phát huy đƣợc tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. 6 Chƣơng 2 XÂY DỰNG TÀI LIỆU TỰ HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ HỖ TRỢ HOẠT ĐỘNG TỰ HỌC CHO HỌC SINH TRƢỜNG DỰ BỊ ĐẠI HỌC DÂN TỘC TRUNG ƢƠNG I. Hƣớng dẫn sử dụng tài liệu Tài liệu đƣợc biên soạn với cấu trúc và nội dung của chƣơng trình ở trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc. Đồng thời, tài liệu cũng đƣợc thiết kế phù hợp với khả năng của học sinh và nêu lên đƣợc phƣơng pháp học tập. Tài liệu đƣợc sử dụng cả trong tự học và giờ học trên lớp. Ở trong giờ tự học, học sinh sẽ tự học theo nhịp độ cá nhân, ghi chép lại những nội dung đã học, những vấn đề còn chƣa giải quyết đƣợc sẽ đƣợc trao đổi, thảo luận ở trên lớp với sự hƣớng dẫn trực tiếp của giáo viên. Tuy nhiên do khả năng của mỗi học sinh khác nhau nên tác dụng đạt đƣợc của tài liệu sẽ không giống nhau. Đối với học sinh, để sử dụng tốt tài liệu này, học sinh cần phải tuân thủ từng bƣớc theo yêu cầu sau đây: - Học sinh phải nắm đƣợc mục tiêu của kiến thức mình định nghiên cứu. Phần này trình bày những yêu cầu về kiến thức, kĩ năng mà học sinh cần nắm đƣợc khi học. - Học sinh nghiên cứu các ví dụ minh họa, những phân tích định hƣớng trong bài toán cụ thể. Những phân tích định hƣớng trong các ví dụ này vừa mang tính chất gợi mở vừa mang tính chất tái hiện những kiến thức trong các tài liệu. - Thực hành với các bài tập tƣơng tự (bài tập đề nghị - dạng trắc nghiệm), đối chiếu với kết quả bài làm của mình tại phần đáp số. II. Giới thiệu về chủ đề thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong chƣơng trình môn Toán hệ Dự bị Đại học. Trong chƣơng trình dự bị đại học, phần kiến thức về tính thể tích khối khóp và khối lăng trụ là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng của chƣơng Hình học không gian, thƣờng là phần kiến thức có trong nội dung ôn tập và thi học kỳ I của các khối A, B, D tại trƣờng. III. Tài liệu học tập 1. Giáo trình Toán (dành cho khối A, B; D) Trƣờng Dự bị Đại học Dân tộc Trung ƣơng (Tài liệu lƣu hành nội bộ-2016). 2. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Hình học 12 (Chương trình nâng cao), NXB Giáo dục Việt Nam, 2015. ... IV. Yêu cầu đạt đƣợc 1. Kiến thức, Kĩ năng, Thái độ,. Định hƣớng phát triển năng lực V. Hệ thống các kiến thức liên quan tới tính thể tích khối chóp và lăng trụ 7 Chủ đề 1: THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP 1. Tính trực tiếp thể tích khối chóp Tính trực tiếp thể tích khối chóp là phải tìm được chiều cao và diện tích đáy của khối chóp đó. Bƣớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (đƣờng cao, các mặt phẳng vuông góc, khoảng cách giữa điểm và đƣờng thẳng, khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, góc giữa đƣờng thẳng với mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng,...) theo các phƣơng pháp đã biết. Bƣớc 2: Dựa vào công thức tính thể tích, ta phân tích V thành các biểu thức chứa những đoạn thẳng phải tính. Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lƣợng trong tam giác, tính chất đồng dạng,... Bƣớc 3: Tính giá trị của V. 2. Tính gián tiếp thể tích khối chóp thông qua việc sử dụng tỉ số thể tích Để sử dụng tỉ số thể tích để tính thể tích ta dựa vào kết quả: Cho hình chóp S.ABC. Trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ V SA ' SB ' SC ' khác với điểm S. Ta có: S . A ' B ' C '    VS . ABC SA SB SC Nhiệm vụ 1: Thể tích khối chóp có đƣờng cao là một cạnh bên của khối chóp Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông Nếu hình chóp có hai mặt bên  SAC  và góc với đáy thì cạnh bên đó là đƣờng  SAB  vuông góc với đáy, thì cạnh bên cao của hình chóp. là giao tuyến của hai mặt bên đó vuông SA   ABC  góc với đáy. S S A B C A D B C Trƣờng hợp 1: Giả thiêt cho biết rõ chiều cao của hình chóp là một cạnh bên cụ thể. a. Hình chóp có đáy là tam giác Ví dụ 1: Cho khối chóp SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đƣờng cao SA  a 3 . Tính thể tích khối chóp. 8 * Phân tích đề bài để vẽ hình - Vẽ đáy ABC là tam giác thƣờng, có một cạnh trùng với đƣờng kẻ ngang của giấy vở (song song với mép ngang của giấy, vở). - Vì SA là đƣờng cao của hình chóp nên vẽ SA song song với mép dọc của giấy, vở. * Định hướng lời giải Đƣờng cao SA đã biết độ lớn  Chỉ cần tính diện tích đáy: Tam giác đều cạnh a thì diện tích bằng a2 3 4 Lời giải a2 3 * Diện tích đáy: SABC  4 * Đƣờng cao: SA  a 3 * Thể tích khối chóp: 2 S a A 3 C 1 1a 3 a V  SABC .SA  .a 3  B 3 3 4 4 Bài tập đề nghị (9 bài) Bài 1: Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B, AB  a; AC  a 3 . Tính thể tích của khối chóp SABC biết rằng SB  a 5 . a 3 15 a3 2 a3 6 a3 6 A. B. C. D. 6 4 3 6 Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a. Biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích của khối chóp a3 6 a3 3 a3 6 a3 6 B. C. D. 24 24 8 48 b. Hình chóp có đáy là hình vuông, hình chữ nhật Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = AC = a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. * Phân tích đề bài để vẽ hình - Đáy ABCD là hình vuông nê khi vẽ ta sẽ phải vẽ ABCD là hình bình hành có một cặp cạnh song song với mép ngang của tờ giấy. - Vì SA là đƣờng cao của hình chóp nên vẽ SA song song với mép dọc của tờ giấy * Định hướng lời giải Đƣờng cao SA đề bài đã cho biết độ lớn A. 9  để tính đƣợc thể tích khối chóp ta phải tính đƣợc diện tích đáy: Vì ABCD là hinhf vuông cho biết độ dài đƣờng chéo nên có hai cách tính diện tích : Cách 1 : Tính cạnh của hình vuông khi biết độ dài đƣờng chéo. Áp dụng công thức tính diện tích hình vuông. Cách 2 : Vì hình vuông có hai đƣờng chéo nên suy ra diện tích của nó theo công thức tính diện tích diện tích của tứ giác có hai đƣờng chéo vuông góc. Lời giải: S +) SA = a 2 +) Vì ABCD là hình vuông có đƣờng chéo 1 2 AC = a 2 nên diện tích là SABCD  AC2 = a2 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là A a3 2 1  V   SABCD.SA = 3 3 B D C Bài tập đề nghị (22 bài) Bài 10: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 5 . SA vuông góc với đáy và SA  2a 2 . Tính theo a thể tích khối chóp SABCD C. 5a3 2 10a 3 2 2a 3 10 a3 2 A. B. D. 3 3 3 Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích của khối chóp SABCD. D. a3 3 2a 3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. 6 3 3 c. Hình chóp có đáy là hình thang, hình thoi, hình bình hành Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a; CD = a và BC = a 2 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. * Phân tích đề bài để vẽ hình - Vẽ hình thang ABCD, lƣu ý đến quan hệ độ dài 2 cạnh đáy. Thông thƣờng sẽ vẽ cạnh đáy lớn hơn có nét khuất, tạo chiều sâu của hình và hai đáy song song với mép ngang của tờ giấy. - SA là đƣờng cao nên vẽ SA song song với mép dọc của giấy. - Xác định góc giữa SC và mp(ABCD). * Định hướng lời giải 10 - Từ công thức tính diện tích hình thang ABCD  cần xác định và tính chiều cao của hình thang. ABCD là hình thang vuông, cho biết độ dài đáy lớn, đáy nhỏ, cạnh bên BC nên muốn tính chiều cao của hình thang có thể dựng tam giác vuông và áp dụng định lý Pitago. - Việc tính độ dài SA sẽ phải dựa vào tam giác vuông SAC để tính độ dài, vì có góc giữa cạnh SC và mặt đáy, còn có thể tính đƣợc độ dài cạnh góc vuông AC. Lời giải: +) Gọi M là trung điểm của AB khi đó CD  AM  a ; Lại có AM / /CD và DAM  900 nên tứ giác ADCM là hình chữ nhật suy ra CM  AB. +) Áp dụng định lí Pitago trong các tam giác vuông CMB và CMA ta đƣợc: CM  BC2  MB2  AC  AM2  CM2    2 a 2  a 2  a; a 2  a 2  a 2. 1 1 3a 2 AB  CD  .CM    a  2a   a   2 2 2 +) Vì SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD). Do vậy góc giữa SC và (ABCD) là SCA  600 . S +) Tam giác SAC vuông tại A nên: Suy ra: SABCD  0 SA = AC.tan 60  a 2. 3  a 6. Do đó: 1 1 3a 2 a3 6 VS.ABCD  SABCD .SA   a 6   3 3 2 2 M A B 60 D C Bài tập đề nghị (17 bài) Trƣờng hợp 2: Xác định chiều cao của hình chóp dựa vào tính chất: nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CD = DB = a. Mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a. 11 * Phân tích đề bài để vẽ hình + Ta có: ( ABC)  ( ABD)  AB ; ( ABC)  ( BCD) ; ( ABD)  ( BCD)  AB  ( BCD) Do đó vẽ đáy là tam giác BCD là một tam giác có một cạnh trùng với mép ngang của tờ giấy và có nét đứt, đỉnh còn lại ở phía dƣới đƣờng thẳng đó. Đƣờng cao AB song song với mép dọc của tờ giấy. * Định hướng lời giải - Đƣờng cao AB = a đã biết. - Tính diện tích tam giác đều BCD khi biết cạnh. Lời giải A +) Ta có : (ABC)  (BCD), (ABD)  (BCD), (ABC)  (ABD)  AB  AB  (BCD) +) Vì BC = CD = DB = a nên tam giác BCD a2 3 đều cạnh a, suy ra Sđ = SBCD  4 Do đó thể tích tứ diện ABCD là : 1 a2 3 a3 3 1   a   V  Sđ.h 3 4 12 3 D B C Bài tập đề nghị (7 bài) Nhiệm vụ 2: Thể tích khối chóp có chân đƣờng cao nằm trên cạnh đáy Hình chóp trong trường hợp này thường có các đặc điểm sau: - Khi một mặt bên vuông góc với mặt đáy thì đường cao của mặt bên đó chính là đường cao của khối chóp. - Khi 2 mặt phẳng cùng đi qua đỉnh hình chóp và cùng vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. - Khi biết hình chiếu của đỉnh nằm trên cạnh đáy thỏa mãn điều kiện cho trước thì đoạn thẳng nối đỉnh và hình chiếu của nó chính là đường cao khối chóp. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D , mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD), AD hợp với mặt phẳng (BCD) một góc 60o và AD = a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a. * Phân tích đề bài để vẽ hình   ABC    BCD   ( ABC )   BCD   BC  - Vì   AH   BCD  AH   ABC    AH  BC  12  AH chính là đƣờng cao, tam giác BCD là đáy của hình chóp A.BCD. Điểm H có đặc điểm gì? (H là trung điểm BC) * Định hướng lời giải - Để tính đƣợc thể tích của khối tứ diện ABCD thì ta phải tính đƣợc độ dài đƣờng cao AH và diện tích đáy BCD  Phải xác định và tính đƣợc độ dài các đoạn thẳng : AH, HD, BC.  Phải xác định góc giữa AD và (BCD). Dựa vào tam giác AHD để tính AH, HD. Dựa vào tính chất của tam giác vuông để có BC. Từ đó suy ra kết quả. Lời giải: +) Gọi H là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) . Suy ra ADH  600 . +) Ta có AH  (BCD) , HD  (BCD)  AH  HD  AH = AD.sin60 = o a 3 A 2 a 2 +) H là trung điểm của BC,  BCD vuông cân tại D  BC = 2HD = a và HD  BC. 1 1 1 a3 3 Vậy V = SBCD .AH  . BC.HD.AH   3 3 2 24 và HD = AD.cos60o = 60 B H C Bài tập đề nghị (36 bài) Nhiệm vụ 3: Thể tích khối chóp có chân đƣờng cao là điểm bên trong hoặc bên ngoài đa giác đáy Hình chóp trong trƣờng hợp này thƣờng có một trong các đặc điểm sau: - Khối chóp đều. Khi đó chân đường cao trùng với tâm của mặt đáy. - Khối chóp có các cạnh bên (ít nhất 3 cạnh bên) bằng nhau hoặc tạo với mặt đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với mặt đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy (chân đường cao nằm trong đa giác đáy). - Khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh nằm trên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó là đường cao. Ví dụ 6: Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC . * Phân tích đề bài để vẽ hình - Vẽ tam giác ABC. Xác định trọng tâm O của tam giác ABC 13 D - Vẽ OS thẳng đứng, nối S với A, B, C. * Định hướng lời giải - Tính diện tích tam giác đều. - Dựa vào tam giác vuông SOA để tính chiều cao. Lời giải: +) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều nên : SO  (ABC). S +) Vì tam giác ABC đều nên 2 2 3a 3 AH  a 3 3 3 2 +) Xét tam giác vuông SAO có AO = SO2  SA2  OA2  4a2  3a2  a2  SO  a 1 3 3a3 Vậy V  SABC .SO   3 4 C A 0 H B Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA = a, SAB  SAD  BAD  600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. * Phân tích đề bài để dựng hình: - Từ giả thiết suy ra S.ABD là hình chóp đều. - Vẽ đáy ABCD và giao điểm 2 đƣờng chéo. - Lấy H là trọng tâm tam giác ABD, vẽ HS thẳng đứng và vẽ các cạnh bên SA, SB, SC, SD. * Định hướng lời giải - Tính diện tích hình thoi (cách 1: SABCD = 1 1 AC.BD; cách 2: SABCD = 2SABD = 2. AB.AD.sin600 ) 2 2 - Tính đƣờng cao SH từ việc xét tam giác vuông SAH. Lời giải: S +) Từ giả thiết ta có ABD, SAB, SAD đều  SB = SD = SA = BD = a. +) Kẻ SH  mp(ABCD) HA = HB= HD = R, R là bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp ABD. D BD a a   R= 2 sin A 2 sin 60 0 3 H A 14 B C 2 2 2  SH = SA  R  a  ( a 3 )2  a 2 3 1 2 +) SABCD = 2SABD = 2. AB.AD.sin600 = 3a 2 2 1 1 3a 2 a 2 2a 3    Vậy V =  S ABCD  SH   3 3 2 6 3 Bài tập đề nghị (44 bài) Nhiệm vụ 4. Tính thể tích khối chóp thông qua sử dụng tỉ số thể tích Sử dụng các phƣơng pháp sau : + Dùng công thức về tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác + Dùng phƣơng pháp trƣợt đỉnh, giãn đáy; + Chia hoặc bổ sung thêm khối đa diện để dễ tính thể tích hơn. Để sử dụng tỉ số thể tích để tính thể tích ta dựa vào kết quả: Cho hình chóp S.ABC. Trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ V SA ' SB ' SC ' khác với điểm S. Ta có: S . A ' B ' C '  (1)   VS . ABC SA SB SC Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a, AB  BC  a, AD  2a , BAD  ABC  900 . Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a. * Phân tích đề bài để vẽ hình: - Vẽ đáy ABCD, chú ý đến quan hệ độ dài giữa AD và BC. - Vẽ SA thẳng đứng và vẽ các cạnh bên SB, SC, SD. * Định hướng lời giải Ta dễ dàng chứng minh đƣợc BCMN là hình chữ nhật, từ đó tính đƣợc diện tích đáy, nhƣng việc xác định chân đƣờng cao của hình chóp gặp nhiều khó khăn. Do đó dựa vào giả thiết M, N là trung điểm của SA, SD ta dùng phƣơng pháp phân chia khối chóp và sử dụng tỉ số thể tích để chuyển từ việc tính thể tích khối chóp S.BCNM sang tính thể tích các khối chóp S.BCA và S.CDA. Lời giải: ( AD  BC ). AB 3a 2  +) ABCD là hình thang vuông nên: SABCD  2 2 2 a +) ABC là tam giác vuông cân tại A nên SABC = 2 15 +) SACD = SABCD - SABC = a2 S 3 Suy ra: VS.BCM = a 1 SABC. SA = 3 3 Áp dụng công thức (1) ta có: VS .BCM SM 1   ; VS .BCA SA 2 A VS .CMN SM SN 1    VS .CAD SA SD 4 Do đó: VS .BCNM  VS .BCM  VS .CNM N M 2a 3 1 và VS.ACD = SACD. SA = 3 3 B D C 1 1 a 3 2a 3 a 3  VS . BCA  VS .CAD     2 4 2.3 4.3 3 Bài tập đề nghị (19 bài) Chủ đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 1. Phân loại Khối lăng trụ có hai loại là khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ xiên. - Đối với khối lăng trụ đứng thì chiều cao của khối bằng độ dài cạnh bên. - Đối với khối lăng trụ xiên, do hai mặt đáy song song với nhau nên khi lấy một đỉnh kết hợp với mặt đáy đối diện ta sẽ được một khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên. 2. Phƣơng pháp tính 2.1. Thể tích khối lăng trụ đứng Nhiệm vụ 1: Thể tích khối lăng trụ đứng có độ dài các đoạn thẳng Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, Biết BC = a 2 và A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . * Phân tích đề bài để vẽ hình Dựng đáy ABC hay A'B'C' . Dựng các cạnh bên của hình lăng trụ đứng. * Định hướng lời giải - Tính diện tích tam giác vuông cân ABC tại A khi biết cạnh huyền. - Tính chiều cao AA' của lăng trụ theo định lý Pitago. Lời giải: 16 +) Vì tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a 2 nên AB = AC = a. +) ABC. A'B'C' là lăng trụ đứng  AA'  AB Xét tam giác vuông ABA' có A' C' B' AA'2  A'B2  AB2  8a2  AA'  2a 2 Vậy V = SABC .AA' = a3 2 . A C B Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên bằng 4a và đƣờng chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ theo a. * Phân tích đề bài để vẽ hình - Vẽ đáy là ABCD hay A'B'C'D' . - Vẽ các cạnh bên của lăng trụ đứng. - Vẽ đƣờng chéo BD' của lăng trụ . * Định hướng lời giải - Có chiều cao AA' = 4a. - Sử dụng định lý Pitago để tính BD, từ đó có diện tích đáy. Lời giải: +) Vì ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên D' C' 2 2 2 2 BD = BD' - DD' = 9a  BD  3a B' +) Vì ABCD là hình vuông nên A' 9a2 1 2 SABCD = BD = 2 2 3 Vậy V = SABCD.AA' = 18a . D A C B Bài tập đề nghị (8 bài) Nhiệm vụ 2: Thể tích khối lăng trụ đứng có góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , ACB = 60o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ ABC. A'B'C' theo a. * Phân tích đề bài để vẽ hình - Vẽ tam giác ABC hay A'B'C' và vẽ các cạnh bên của hình lăng trụ đứng. - Vẽ BC'. * Định hướng lời giải - Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Suy ra góc giữa BC' và (AA'C'C). 17 - Tính AB để có AC'. - Áp dụng định lý Pitago để tính chiều cao. Lời giải: *) Xét tam giác vuông ABC ta có AB  AC.tan60o  a 3 . +) AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C)  AC' là hình chiếu vuông góc của BC' trên C' A' B' 30 mp(AA'C'C). Vậy góc BC'A = 30o . +) Xét tam giác vuông ABC' có AC'  AB o  3a t an30 *) Xét tam giác vuông AA'C có: a A 60 C AA'  AC'2  A'C'2  2a 2 B a2 3 +) SABC  . Vậy V = SABC.AA' = a3 6 . 2 Bài tập đề nghị (10 bài) Nhiệm vụ 3: Thể tích khối lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy một góc 300 và diện tích tam giác A'BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. * Phân tích đề bài để vẽ hình - Vẽ tam giác ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ . - Vẽ tam giác A'BC. * Định hướng lời giải - Xác định giao tuyến của hai mp( A'BC ) và mp(ABC) là BC. Từ đặc tính của tam giác A'BC và ABC suy ra đỉnh của góc giữa hai mặt phẳng này nằm trên trung điểm của BC. - Đặt BC = 2x . Tính A'I. Từ diện tích tam giác A'BC suy ra x. - Tính A'A. Lời giải 18