Tài liệu Xây dựng hàm green cho phương trình black-scholes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRẦN THẾ ANH XÂY DỰNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRẦN THẾ ANH XÂY DỰNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 2 Mục lục MụC LụC ............................................................................................................................................ 3 Mở ĐầU ............................................................................................................................................... 5 KIếN THứC CƠ Sở ........................................................................................................................... 9 1.1 Một số ký hiệu ........................................................................................................................................... 9 1.1.1 Một số không gian hàm cơ bản ................................................................................................................. 9 1.1.2 Một số hàm số .......................................................................................................................................... 9 1.2 Phép biến đổi Laplace ............................................................................................................................. 10 1.2.1 Định nghĩa (Hàm gốc) ............................................................................................................................. 10 1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace) ........................................................................................................ 10 1.2.3 Định lý (Lerch) ........................................................................................................................................ 10 1.2.3 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace ngược) ............................................................................................. 11 1.2.5 Chú ý ....................................................................................................................................................... 11 1.2.6 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace ............................................................................................ 11 1.2.7 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace ngược ................................................................................. 12 1.2.8 Bổ đề ....................................................................................................................................................... 12 1.3 Hàm Green cho phương trình Parabolic ............................................................................................... 15 1.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................................................... 15 1.3.2 Định lý..................................................................................................................................................... 15 1.3.3 Nhận xét .................................................................................................................................................. 15 1.4 Phép tính ngẫu nhiên .............................................................................................................................. 16 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên ............................................................................................................................... 16 1.4.2 Chuyển động Brownian hay quá trình Wiener ........................................................................................ 18 1.4.3 Bộ lọc cho chuyển động Brownian ......................................................................................................... 18 1.4.4 Công thức Itô - Doeblin........................................................................................................................... 18 PHƯƠNG TRÌNH BLACK - SCHOLES .................................................................................. 21 2.1 Sơ lược về thị trường quyền chọn........................................................................................................... 21 2.2 Xây dựng phương trình Black- Scholes .................................................................................................. 22 2.3 Công thức Black- Scholes trong định giá quyền chọn .......................................................................... 26 XÂY DựNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES ..................... 27 3 3.1 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với các điều kiện biên bị chặn ................. 27 3.2 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet .................. 36 3.3 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp ................... 39 KẾT LUẬN ....................................................................................................................................... 46 TÀI LIệU THAM KHảO ............................................................................................................... 47 4 Mở đầu Nội dung nghiên cứu chính của luận văn này là tìm hiểu cách thiết lập phương trình Black- Scholes và cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes trong một số điều kiện biên khác nhau. Phương trình Black - Scholes trong luận văn này được thiết lập từ việc xem xét một quá trình ngẫu nhiên trong tài chính là giá quyền chọn kiểu Châu Âu. Cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black - Scholes dựa trên các điều kiện biên. Kỹ thuật này được dựa trên sự tích hợp phương pháp biến đổi Laplace và phương pháp biến thiên hằng số. Luận văn gồm ba chương Chương 1 trình bày một số kiến thức cần sử dụng cho các phần sau của luận văn. Phần thứ nhất là các ký hiệu về không gian hàm và các hàm số cần sử dụng. Phần thứ hai liên quan đến đến Phép biến đổi Laplace: các định nghĩa, tính chất cần sử dụng ở phần sau. Trong phần này, những kết quả về phép biến đổi Laplace đưa ra trong Bổ đề (1.2.8) là những kết quả quan trọng sử dụng trực tiếp cho Chương 3 được người viết tìm hiểu và bổ sung. Phần thứ ba là nội dung liên quan về Lý thuyết hàm Green. Phần này người viết trình bày định nghĩa, định lý về hàm Green cho phương trình Parabolic là 5 những nội dung liên quan trực tiếp đến hàm Green cho phương trình Black Scholes. Các kết quả này đã dược chứng minh ở [7]. Phần cuối liên quan đến Phép tính ngẫu nhiên gồm: Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên, chuyển động Brownian, bộ lọc cho chuyển động Brownian, công thức Itô - Doeblin cho chuyển động Brownian và Công thức Itô - Doeblin cho quá trình Itô. Chương 2 có nội dung trọng tâm là giới thiệu một cách xây dựng phương trình Black - Scholes. Phần thứ nhất, sơ lược về thị trường quyền chọn, trình bày khái niệm cơ bản về quyền chọn, sơ lược về quá trình phát triển của thị truường quyền chọn trên thế gới. Phần thứ hai, xây dựng phương trình Black - Scholes, chúng ta xét một quyền chọn cơ bản là quyền chọn cổ phiếu. Xem giá của quyền chọn cổ phiếu là một quá trình ngẫu nhiên. Sử dụng công thức Itô-Doeblin cho quá trình ngẫu nhiên này và một số nguyên tắc tài chính dẫn đến phương trình Black-Scholes. Phần cuối là công thức nghiệm của phương trình Black - Scholes. Trong chương này phần lớn các nội dung người viết tổng hợp từ cách xây dựng của tác giả Steven E.Shreve ở [15]. Chương 3 nội dung trọng tâm giới thiệu cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes với các điều kiện biên khác nhau. Phần thứ nhất, xây dựng hàm Green cho phương trình Black - Scholes với điều kiện cuối có dạng tổng quát hơn điều kiện phương trình Black- Scholes được xét trong chương 2. Phần thứ hai, xây dựng hàm Green phương trình Black - Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet. Phần thứ ba, xây dựng hàm Green phương trình Black - Scholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp. 6 Nội dung trong chương này được tổng hợp từ một bài báo của các tác giả M. Y. Melnikov, Y. A. Melnikov ở [12]. Người viết đã bổ sung cách giải nghiệm phương trình Blach - Scholes bằng cách áp dụng hàm Green để đi đến công thức Black-Scholes. Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình viết luận văn nhưng không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định, người viết rất mong nhận được những ý kiến quý báu của Thầy cô và bạn đọc quan tâm. 7 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Đặng Đức Trọng. Người viết xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy. Thầy đã định hướng nghiên cứu, tạo môi trường nghiên cứu và từng bước hướng dẫn hoàn thành luận văn. Người viết xin tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, đã giảng dạy và cung cấp nhiều kiến thức bổ ích trong quá trình học tập. Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập tại trường. Người viết xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em trong lớp Cao học Giải tích K21 trường Đại học Sư phạm, nhóm Seminar Toán Tài chính ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã giúp người viết rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu. Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy cô Bộ môn Toán, Thầy cô trong Khoa Tự nhiên, Phòng Tổ chức, BGH trường CĐSP Nha Trang đã trao đổi, góp ý, kuyến khích và tạo nhiều điều kiện thuân lợi trong thời gian đi học. Cuối cùng, người viết xin được gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình và những người thân, những người luôn động viên, giúp đỡ trong cuộc sống cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin trân trọng cảm ơn. TP Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 2 năm 2013 Trần Thế Anh 8 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Một số ký hiệu 1.1.1 Một số không gian hàm cơ bản Cho U là tập mở trong R k . C= (U ) {u : U → R ∣ u liên tục trên U } (U ) {u : U → R ∣ C= u li e n tuc tr e n U }. C k= (U ) {u : U → R ∣ u khả vi trên U }. C k= (U ) {u : U → R ∣ u khả vi cấp k trên U }. C ∞= (U ) {u : U → R ∣u lhả vi vô hạn lần trên U }. Cc (U ), Cck (U ), Cc∞ (U ) lần lượt là các hàm trong C (U ), C k (U ), C ∞ (U ) có giá compact. 1.1.2 Một số hàm số Hàm đặc trưng 1, 0, Hàm đặc trưng của tập E , ký hiệu χ E , là χ E ( x) =  Hàm Delta Dirac và hàm bước Heaviside 9 x ∈ E, x ∉ E. Hàm Delta Dirac, ký hiệu δ ( x) , là hàm suy rộng thỏa mãn ∞ ∫ φ ( x)δ ( x)dx = φ (0) . −∞ ∞ Khi đó theo định nghĩa với mọi x0 ta có φ ( x ). ∫ φ ( x)δ ( x − x )dx = 0 0 −∞ x Vì vậy nếu gọi H ( x) = ∫ δ (t )dt thì hàm H ( x) có thể định nghĩa là −∞ 0, H ( x) =  1, x < 0, x ≥ 0. Ta gọi hàm $H(x)$ là hàm bước Heaviside. x Theo trên, H ( x) = ∫ δ (t )dt , ta cũng có δ ( x) = −∞ dH ( x) . dx 1.2 Phép biến đổi Laplace 1.2.1 Định nghĩa (Hàm gốc) Cho hàm số f thỏa mãn các tính chất [i.] f đo được trên (0, ∞) , [ii.] f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi τ → ∞ , nghĩa là ∃α , ∃M > 0, f (τ ) ≤ Meατ ,τ > 0 . Hàm f có các tính chất (i), (ii) ở trên gọi là hàm gốc. Số α 0 = inf α gọi là chỉ số tăng của f . 1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace) Với hàm gốc f (τ ) với chỉ số tăng α 0 , hàm số +∞ − sτ F : C → C , s  F (s) = ∫ e f (τ )dτ 0 xác định trên miền Re( s ) > α 0 gọi là phép biến đổi Laplace, kí hiệu là L( f ) = F hoặc L( f (τ )) = F ( s ) hoặc L( f (τ ))( s) = F ( s) . 1.2.3 Định lý (Lerch) Cho f, g liên tục trên [0, ∞) . Nếu L{ f } = L{g} thì f = g . (Xem [14, tr. 24]). 10 1.2.3 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace ngược) Nếu phép biến đổi Laplace của hàm gốc f (t ) thành hàm ảnh F ( s ) , tức là +∞ F (s) = ∫e − sτ f (τ )dτ , 0 thì f (τ ) gọi là biến đổi Laplace ngược của $F(s)$ kí hiệu \\ L−1 ( F ) = f hoặc L−1 ( F ( s )) = f (τ ) hoặc L−1 ( F ( s ))(τ ) = f (τ ) . 1.2.5 Chú ý Theo định lý Lerch ở mục \eqref{n7} ta có, nếu $ f $ liên tục trên [0, ∞) và tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi τ → ∞ thì biến đổi Laplace ngược của F ( s ) , f (τ ) = L−1 F ( s ), là duy nhất. 1.2.6 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace a. Với mỗi hàm gốc f (τ ) với chỉ số tăng α 0 thì có duy nhất một hàm ảnh L( f (τ ))( s ) xác định và giải tích trong miền Re( s ) > α 0 . b. lim F ( s ) = 0 . s →∞  n  c. L ∑ = c j f j (τ )    ∑ c L{ f n =j 1 =j 1 { f (cτ ) } d. L= j j ∀c j ∈ C , j 1....n . (τ )},= 1 τ L { f ( ) } , ∀c > 0. c c e. ∀T > 0, L{H (τ − T ) f (τ − T )} = e − sT L{ f (τ )}. f. L{eατ f (= τ )} L{ f (τ − a)}, ∀a ∈ C. { f ′(τ )} sL{ f (τ )} − f (0), g. L= = L{ f ( n ) (τ )} s n L{ f (τ )}s n −1 f (0) + s n − 2 f ′(0) + ... + sf ( n − 2) (0) + f ( n −1) (0) ] . h. L{τ f (τ )} = − d L{ f (τ )}, ds L{τ n f (τ )} = (−1) n τ i. L { ∫ f (t )dt } = 0 d L{ f (τ )}. ds L { f (τ ) } . s 11 j. L { f (τ ) τ ∞ } = ∫ L { f (τ ) } (q )dq. s )(τ )} L{ f (τ )}L{g (τ )} v?i f *= g ( x) k. L{( f * g= ∫ x 0 f ( x − τ ) g (τ )dτ . 1.2.7 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace ngược   n n a. L−1 ∑ c = j Fj ( s)   ∑c  =j 1 =j 1 j 1....n . f j (τ ), ∀c= j ∈ C, j 1 τ f ( ), ∀c > 0. c c cs )} b. L−1{F (= c.] L−1{F ( s + = a )} e − aτ f = (τ ) e − aτ L−1{F ( s )} d. ∀T > 0, L−1{e − sT F ( s )}= H (τ − T ) f (τ − T ). e. L−1{F ( n ) } = (−1) n .t n L−1{F ( s )} . +∞ f. L { ∫ f ( x)dx} = −1 L−1{F ( s )} τ s . ′(τ ) ( s )} f= g. Nếu F (0) = 0 thì L−1{sF= F (s) h. L−1{ = } s τ d −1 L {F ( s )} dτ L {F ( s )}dx v?i L {F ( s )} ∫= −1 −1 f ( x). 0 i. f * g (τ ) = L−1{F ( s)G ( s)}. Bổ đề sau là một số kết quả của phép biến đổi Laplace ngược cần sử dụng ở phần (3.1), (3.2) và (3.3). 1.2.8 Bổ đề a. Nếu f (τ ) = L {F ( s )} thì L {F ( s )} = −1 −1 { 1 e−b s } b. L= s −1 c. L−1{ 1 πτ e − b2 4τ 1 2 πτ 3 ∫ ∞ 0 ze − z2 4τ f ( z )dz. , b ≥ 0. e− a s }= eac+c2t erfc(c τ + a ), a, c ≥ 0. \\ s ( s + c) 2 τ Với erfc(·) là Hàm bù sai (complementary error) được định nghĩa 12 2 erfc( z ) = π ∫ ∞ z e − x dx. 2 Chứng minh a. Ta có I ( s ) = L{ ∞ =∫ e 1 − sτ [ 0 =∫ ∞ ∫ 2 πτ 3 0 ze 1 2 πτ 3 ∫ − ∞ 0 ∞ 1 f ( z )[∫ ze π 0 ∞ z2 4τ ze − f ( z )dz} − z2 4τ e − sτ z2 4τ 0 f ( z )dz ]dτ 2 τ3 dτ ]dz. z 1 z z2 t= khi dó dt = dτ và τ = , − 2 2 τ3 4t 2 2 τ Đặt t → ∞ khi τ → 0, t → 0 khi τ → ∞. Khi dó I ( s ) = ∫ ∞ π 0 = ∞ 1 2 π ∫ ∞ 0 f ( z )[∫ 2e − z2s 4t 2 0 f ( z )[ π e − t dt ]dz e− z 2 2 s ]dz ∞ = ∫ f ( z )e − z s dz. 0 = F ( s ). Ở đây chúng ta đã sử dụng kết quả ∫ ∞ 0 Vậy −1 L {F ( s )} = 1 2 πτ 3 ∫ − e ∞ 0 z2s 2 4t 2 − t ze e dt = − z2 4τ π 2 e− z s . f ( z )dz. τ ) δ (τ − a) ta có biến đổi Laplace tương ứng là F ( s ) = e − as . Áp dụng b. Với f (= kết quả câu a) ta có 13 −1 −1 1 − as L= {F (s)} L= {e } −1 1 − as Suy= ra L {e } ae 2 πτ 3 − a2 4τ ∞ ∫ 2 πτ 3 ze 0 − z2 4τ δ ( z − a )dz. , a ≥ 0. Lấy tích phân hai vế biểu thức vừa có theo biến a {∫ −1 L ∞ b 1 − as e da} = ∫ 2 πτ 3 ∞ b ae − a2 4τ da. Tính các tích phân dẫn đến điều cần chứng minh L= { 1 e−b s } s 1 −1 e πτ − b2 4τ , b ≥ 0. c. Theo [2] ta có một số phép biến đổi Lalace ngược sau L−1{ − as 1 } = 1 (1 − e−cτ ), \\dL−1{ e } = 1 (1 − e−c (τ −a ) ) H (τ − a) := Ga (τ ). \\ s ( s + c) c s ( s + c) c Áp dụng câu a) ta có −1 L { e− a s }= 1 3 s ( s + c) 2 πτ 1 = 2 πτ 3 ∫ ∞ 0 ∫ ∞ a ze ze − − z2 4τ z2 4τ Ga ( z )dz 1 (1 − e − c ( z − a ) )dz. c Tính tích phân từng phần 1 2 πτ 3 Vậy −1 L { ∫ ∞ a ze − z2 4τ 2 z − ∞ 1 (1 − e − c ( z − a ) )dz = 2τ e ac ∫ e − cz e 4τ dz. a c ac e− a s }= e s ( s + c) πτ = ∫ ∞ − cz e e a e ac πτ ∫ ∞ a e e ac + c τ − πτ z2 4τ dz ( z 2 + 4 zcτ + 4 c 2t 2 ) c 2τ 4τ e dz 2 = − ∫ ∞ a 14 e − ( z + 2 cτ )2 4τ dz = 2 π e ac + c τ ∫ 2 ∞ e −ξ d ξ . 2 a +c τ 4τ Hay ta có −1 L { e− a s }= eac+c2t erfc(c τ + a ), a, c ≥ 0. s ( s + c) 2 τ 1.3 Hàm Green cho phương trình Parabolic Phương pháp hàm Green là một phương pháp có nhiều ứng dụng để giải một số phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng chính của phương pháp là không giải trực tiếp phương trình mà tìm nghiệm của một phương trình khác tương ứng rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua nghiệm đó. 1.3.1 Định nghĩa Xét bài toán Cauchy cho phương trình Parabolic ut − [a ( x, t )u xx + b( x, t )u x + c( x, t )u ] = f ( x, t ) trên R × (0, T ],  Lu =  trên R u ( x, 0) = ϕ ( x)  a ( x, t ) > 0 trên R × [0, T ].  (1.1) Hàm Green của bài toán \eqref{a1} là hàm G ( x, t , y, s) thỏa các tính chất sau a. Xác định với mọi x, y và mọi s, t thỏa 0 ≤ s < t , b. LG ( x, t , y, s) = δ ( x − y, t − s) = δ ( x − y )·δ (t − s), s) δ ( x − y) . s ) δ ( x − y ) theo nghĩa lim G ( x, t , y,= c. G ( x, s, y,= t →s+ 1.3.2 Định lý Với t> 0 thì nghiệm của bài toán \eqref{a1} là = u ( x, t ) t ∫ ∫ G( x, t , y, s) f ( y, s)dyds + ∫ G( x, t, y, 0)ϕ ( y)dy 0 R R (1.2) trong đó G ( x, t , y, s) là hàm Green của bài toán (1.1). (Xem \[7, tr.41]) 1.3.3 Nhận xét * Xét bài toán cho phương trình Parabolic thuần nhất tương ứng dạng 15 0 trên R × (0, T ], ut − [a ( x, t )u xx + b( x, t )u x + c( x, t )u ] =  Lu =  trên R, u ( x, 0) = ϕ ( x)  a ( x, t ) > 0 trên R × [0, T ].  (1.3) Nếu G ( x, t , y, s) là hàm Green của bài toán (1.3) thì biễu diễn nghiệm là u ( x, t ) = ∫ G ( x, t , y, 0)ϕ ( y )dy. (1.4) R * Xét bài toán cho phương trình tương ứng với \eqref{a1} dạng ut + [a ( x, t )u xx + b( x, t )u x + c( x, t )u ] = f ( x, t ) trên R × [0, T ),  Lu =  trên R, u ( x, T ) = ϕ ( x)  a ( x, t ) > 0 trên R × [0, T ].  (1.5) T − t , v ( x, τ ) = u ( x, t ) . Ta có Đặt τ = v( x, 0) = u ( x, T ) = ϕ ( x), ut ( x, t ) = −vτ ( x,τ ), u x ( x, t ) = vx ( x,τ ). Khi đó bài toán (1.5) đưa về bài toán Cauchy cho phương trình Parabolic dạng vt − [a ( x, t )vxx + b( x, t )vx + c( x, t )v] = f ( x, t ) trên R × (0, T ],  Lu =  trên R, v( x, 0) = ϕ ( x)  a ( x, t ) > 0 trên R × [0, T ].  (1.6) Nếu G(x, t, y, s) là hàm Green của bài toán (1.6) thì theo (1.4) biểu diễn nghiệm có dạng v( x,τ ) = ∫ G ( x,τ , y, 0)ϕ ( y )dy. R Suy ra = u ( x, t ) ∫ R G ( x, T − t , y, T )ϕ ( y )dy. (1.7) Với G ( x, T − t , y, T ) là hàm Green của bài toán \eqref{b3}.\\ Để thuận lợi cho việc trình bày đôi khi ta dùng ký hiệu hàm Green là G ( x, t , y, T ) hay G ( x, t , y ) . 1.4 Phép tính ngẫu nhiên 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên Một không gian xác suất là (Ω,  , P) . Ω gọi là không gian mẫu. Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi là một biến cố sơ cấp. 16  là σ − đại số các biến cố, nghĩa là a. Ω ∈  , b. nếu A∈  thì Ω  A =Ac ∈  , c. nếu A1 , A2 ,... ∈  thì ∪∞n =1 An ∈  . Mỗi tập A∈  gọi là một biến cố. P là độ đo xác suất xác định trên  , nghĩa là P :  → R thỏa các điều kiện sau a. P( A) ≥ 0 với mọi A∈  , b. P(Ω) =1 , ∞ c. nếu A1 , A2 ,... ∈  và Ai ∩ Aj =∅(i ≠ j ) thì P(∪∞n =1 An ) = ∑ P( An ) . n =1 Biến ngẫu nhiên X là ánh xạ X : Ω → R sao cho { X < x= } {ω ∈ Ω ∣X (ω ) < x} ∈  , hoặc phát biểu một cách tương đương X −1 ( B= ) {ω ∈ Ω∣X (ω ) ∈ B} ∈  , với mọi tập $ B $ là các tập Borel của R .\\ Cho không gian xác suất (Ω,  , P) . Giả sử T là tập vô hạn.\\ Xét hàm X : Ω ×T → R (ω , t ) → X (ω , t ), sao cho X (ω , t ) là biến ngẫu nhiên với mọi t ∈ T . Cố định ω ∈ Ω, X (ω , t ) là hàm của biến t. Khi đó X (ω , t ) gọi là hàm ngẫu nhiên, thường được viết gọn lại X t (ω ) hay X t , và = X { X t , t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên. X (ω , t ) X (•, t ) : T → R là hàm số của t ∈ T ta gọi là Khi cố định ω ∈ Ω, thì= quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên= X { X t , t ∈ T } ứng với ω . 17 1.4.2 Chuyển động Brownian hay quá trình Wiener Định nghĩa Cho quá trình ngẫu nhiên W= {Wt , t ∈ [0, ∞)}. Ta nói W là một chuyển động Brownian nếu i. W0 = 0 , ii. W là quá trình có gia số độc lập, iii. Với 0 ≤ s < t ,Wt − Ws là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng (t − s ) , iv. W là quá trình ngẫu nhiên liên tục, tức là hầu hết quỹ đạo của W là hàm liên tục. 1.4.3 Bộ lọc cho chuyển động Brownian Định nghĩa Cho (Ω,  , P) là một không gian độ đo xác suất, W (t ), t ≥ 0 là một chuyển động Brownian. Một bộ lọc cho chuyển động Brownian là một họ các σ -đại số  (t ), t ≥ 0 thỏa mãn các tính chất (i)(Tính tích lũy thông tin)  ( s ) ⊂  (t ), 0 ≤ s < t , (ii)](Thích nghi) Mỗi t ≥ 0,W (t ) là  (t ) - đo được. 1.4.4 Công thức Itô - Doeblin Định nghĩa Cho f (t ) là hàm số xác định trên với 0 ≤ t ≤ T . Biến phân cấp hai của hàm $ f $ trên đoạn $ [0, T] $ là = [ f , f ](T ) trong đó n −1 lim ∏ ∑ [ f (t →0 j = 0 j +1 ) − f (t j ) ] 2 , ∏ ={t , t ,..., t } là một phân hoạch với 0 = t 0 1 n 0 < t1 < ... < tn = T . Định lý (Công thức Itô - Doeblin cho chuyển động Brownian0 Cho f (t , x) là hàm có ft , f x , f xx xác định và là những hàm liên tục và W (t ) là chuyển động Brownian. Với mọi T ≥ 0, ta có 18 f= (T ,W (T )) T f (0,W (0)) + ∫ ft (t ,W (t ))dt 0 T + ∫ f x (t , W (t ))dW (t ) + 0 1 T f xx (t ,W (t ))dt. 2 ∫0 (1.8) Chú ý Sử dụng khai triển Taylor đến hạng tử cấp 2 cho hàm f (t ,W (t ))) ta có df (t , W (t )) = ft (t , W (t ))dt + f x (t ,W (t ))dW (t ) + + ftx (t , W (t ))dtdW + 1 f xx (t ,W (t ))dW (t )dW (t ) 2 1 f tt (t ,W (t ))dtdt. 2 (t ) dt , dt·dW= (t ) dt= ·dt 0 , nên ta có dạng vi phân của công thức Mà dW (t )·dW= Itô - Doeblin như sau df (t , W (t )) = ft (t ,W (t ))dt + f x (t ,W (t ))dW (t ) + 1 f xx (t ,W (t ))dt. 2 Định nghĩa (Quá trình Itô) Cho W (t ), t ≥ 0 là một chuyển động Brownian,  (t ), t ≥ 0 là một bộ lọc tương ứng. Một quá trình Itô là quá trình có dạng: t t 0 0 X (t= ) X (0) + ∫ ∆(u )dW (u ) + ∫ Θ(u )du trong đó X (0) không ngẫu nhiên và ∆(u ), Θ(u ) là quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc cho W (t ), t ≥ 0 . khi đó theo [15,143] ta có kết quả. Bổ đề Biến phân cấp 2 của quá trình Itô X (t ) là [ X , X ](t )= t ∫ ∆ (u)du . 2 0 Định lý (Công thức Itô - Doeblin cho quá trình Itô)} Cho X (t ), t ≥ 0 , là quá trình Itô. f (t , x) là hàm có ft , f x , f xx xác định và là những hàm liên tục. Khi đó ∀T ≥ 0 ta có T f= (T , X (T )) f (0, X (0)) + ∫ ft (t , X (t ))dt 0 T + ∫ f x (t , X (t ))dX (t ) + 0 1 T f xx (t , X (t ))d [ X , X ](t ) 2 ∫0 19 T T 0 0 =f (0, X (0)) + ∫ ft (t , X (t ))dt + ∫ f x (t , X (t ))∆(t )dW (t ) T + ∫ f x (t , X (t ))Θ(t )d (t ) + 0 (1.9) 1 T f xx (t , X (t ))∆ 2 (t )dt. ∫ 0 2 Trong đó [ X , X ](t ) là biến phân cấp 2 của quá trình Itô X (t ) .( Xem [15, tr.146]) Chú ý Công thức (1.9) có thể viết dưới dạng vi phân df (t , X (t )) = ft (t , X (t ))dt + f x (t , X (t ))dX (t ) + 1 f xx (t , X (t ))dX (t )dX ((t ) 2 = ft (t , X (t ))dt + f x (t , X (t ))∆(t )dW (t ) + f x (t , X (t ))Θ(t )d (t ) + 20 1 f xx (t , X (t ))∆ 2 (t )dt. (1.10) 2