Tài liệu Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008 Môc lôc Môc lôc 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 KiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1 5 1.2 1.3 2 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. . . . . . . . . . . . . Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh . . . . . . . . . . . . . 13 C¸c hµm Nevanlinna cho ®­êng cong chØnh h×nh. §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt . . . . . . . 17 20 2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî 2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. . 31 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tµi liÖu tham kh¶o 42 1 Lêi më ®Çu Lý thuyÕt Nevanlinna ra ®êi vµo nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû 20 vµ ®· nhËn ®­îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. Lý thuyÕt Nevanlinna cæ ®iÓn nghiªn cøu sù ph©n bè gi¸ trÞ cña hµm ph©n h×nh f th«ng T (f, a, r) - hµm ®o cÊp t¨ng cña hµm ph©n h×nh, hµm ®Õm N (f, a, r) - ®Õm sè lÇn hµm f nhËn gi¸ trÞ a trong ®Üa b¸n kÝnh r, vµ hµm xÊp xØ m(f, a, r) - ®o ®é gÇn ®Õn a cña hµm f (xem §Þnh nghÜa 1.1.3, 1.1.1, qua hµm ®Æc tr­ng vµ 1.1.2). Träng t©m cña lý thuyÕt nµy lµ hai ®Þnh lý c¬ b¶n. §Þnh lý c¬ b¶n a ∈ C ∪ {∞}. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai nãi r»ng víi hÇu hÕt c¸c gi¸ trÞ a, hµm ®Õm N (f, a, r) tréi h¬n h¼n hµm xÊp xØ m(f, a, r). §iÒu nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sè khuyÕt cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a nh­ sau thø nhÊt thÓ hiÖn sù ®éc lËp cña hµm ®Æc tr­ng víi mäi gi¸ trÞ N (f, a, r) }. T (f, a, r) δ(f, a) := lim inf {1 − r→∞ Gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cho hµm f nÕu δ(f, a) > 0. Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna, cô thÓ lµ Nevanlinna ®· chøng minh r»ng X δ(f, a) 6 2. a∈C∪{∞} MÆt kh¸c, §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy r»ng sè khuyÕt cña hµm ph©n h×nh t¹i mét gi¸ trÞ nµo ®ã n»m trong ®o¹n [0, 1]. H¬n n÷a ng­êi ta ®· chøng minh ®­îc r»ng tËp c¸c gi¸ trÞ khuyÕt lµ ®Õm ®­îc. Nh­ vËy mét c©u hái tù nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ: Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö kh«ng ©m sao cho X 0 < δi ≤ 1, i 2 δi ≤ 2. {δi } lµ d·y c¸c sè thùc 3 ai , lµ c¸c sè ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh f trªn C tháa m·n δ(f, ai ) = δi , vµ δ(f, a) = 0 cho mäi a ∈ / {ai }? Gi¶ sö C©u hái trªn cßn ®­îc biÕt nh­ lµ bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna. §· cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna, cô thÓ Nevanlinna [9], Lª V¨n Thiªm [11], Hayman [4],... ®· gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy cho mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt. §Õn n¨m 1976 vÊn ®Ò trªn ®· ®­îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi D. Drasin trong [3]. Trong c«ng tr×nh nµy, Drasin kh«ng chØ xÐt bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna cho sè khuyÕt mµ cßn cho sè khuyÕt rÏ nh¸nh. VËy, bµi to¸n vÒ sù tån t¹i cña hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®­îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn. Nh­ ta ®· biÕt hµm ph©n h×nh cã thÓ ®­îc xem lµ ®­êng cong chØnh 1 h×nh tõ C vµo P (C). Do ®ã, viÖc më réng lý thuyÕt Nevanlinna cæ ®iÓn n cho c¸c ®­êng cong chØnh h×nh vµo P (C) víi n > 2 lµ mét ®iÒu tù nhiªn. H. Cartan [1] ®· chøng minh ®Þnh lý sau (®­îc gäi lµ ®Þnh lý NevanlinnaCartan cho ®­êng cong chØnh h×nh c¾t c¸c siªu ph¼ng) f : C → Pn (C). Cho H1 , . . . , Hq lµ n c¸c siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t trong kh«ng gian x¹ ¶nh P (C). Khi ®ã §Þnh lý. Cho ®­êng cong chØnh h×nh q X δ(Hj , f ) 6 n + 1. j=1 T­¬ng tù víi tr­êng hîp hµm ph©n h×nh, ng­êi ta còng nghiªn cøu tÝnh chÊt cña sè khuyÕt cña ®­êng cong chØnh h×nh. Víi n > 2, c¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi h÷u h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®­îc ®­a ra bëi nhiÒu t¸c gi¶, trong khi ®ã, viÖc x©y dùng ®­êng cong chØnh h×nh cã v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt kh«ng dÔ chót nµo. N¨m 2004, N. Toda [12] ®· nghiªn cøu vµ ®­a ra c¸c vÝ dô cho ®­êng cong chØnh h×nh víi mét tËp v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt. Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i nh÷ng kÕt qu¶ ®ã cña N. Toda mét c¸ch cã chän läc theo bè côc riªng cña t¸c gi¶ nh»m tr¶ lêi mét phÇn c¸c c©u hái trªn. LuËn v¨n ®­îc chia thµnh 2 ch­¬ng. Ch­¬ng1. KiÕn thøc chuÈn bÞ. §­îc tr×nh bµy víi môc ®Ých cung cÊp c¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt ®Ó cho ng­êi ®äc dÔ theo dâi chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña ch­¬ng sau. Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬ 4 b¶n cña lý thuyÕt Nevanlinna: C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh vµ cho ®­êng cong chØnh h×nh, quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh vµ nh÷ng kiÕn thøc liªn quan, vµ chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm a sao cho hµm a d­¬ng lµ ®Õm ®­îc. Ch­¬ng 2. §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. §©y lµ ch­¬ng chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®­êng cong chØnh h×nh cã v« sè sè khuyÕt d­¬ng. Ch­¬ng nµy ®­îc chia thµnh hai phÇn. PhÇn thø nhÊt, chóng t«i ®­a ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî nh­ x©y dùng l¹i kh¸i niÖm hµm ®Õm, hµm xÊp xØ, hµm ®Æc tr­ng, sè khuyÕt, gi¸ trÞ khuyÕt,... cho ®­êng cong chØnh h×nh vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n, dÔ thÊy nh­ng t­¬ng ®èi quan träng v× nã ®­îc sö dông nhiÒu khi chøng minh nh÷ng kÕt qu¶ s©u h¬n ë nh÷ng phÇn sau. PhÇn thø hai, tr×nh bµy c¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. KÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng nµy lµ §Þnh lý 2.2.8 vµ §Þnh lý 2.2.9. LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh, nghiªm tóc cña TS. T¹ ThÞ Hoµi An. D­íi sù h­íng dÉn cña c«, t«i ®· b­íc ®Çu lµm quen vµ say mª h¬n trong nghiªn cøu to¸n. Nh©n ®©y, t«i xin bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c tíi c«. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ban l·nh ®¹o khoa To¸n, khoa Sau ®¹i häc §HSPTN, ViÖn To¸n häc ViÖt Nam, c¸c thÇy, c« gi¸o ®· trang bÞ kiÕn thøc, t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong thêi gian häc tËp, ®Æc biÖt lµ thÇy Hµ TrÇn Ph­¬ng. T«i xin ®­îc göi lêi c¶m ¬n ®Õn Ban gi¸m hiÖu vµ c¸c ®ång nghiÖp cña t«i ë tr­êng THPT L­¬ng ThÕ Vinh Th¸i Nguyªn, c¸c anh, chÞ häc viªn líp cao häc kho¸ 14 ®· gióp ®ì t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc tËp. Nh©n ®©y, t«i còng xin göi lêi c¶m ¬n tíi b¹n NguyÔn TuÊn Long ®· gióp ®ì t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu. Cuèi cïng, t«i xin ®­îc bµy tá sù biÕt ¬n tíi gia ®×nh: bè, mÑ, vµ em g¸i ®· t¹o ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i ®­îc häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña lý thuyÕt Nevanlinna vµ nh÷ng kiÕn thøc liªn quan kh¸c nh»m gióp cho ng­êi ®äc dÔ theo dâi. C¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ cña ch­¬ng nµy ®­îc trÝch dÉn tõ [2], [5], [6], [9], ... 1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh trong ®Üa b¸n kÝnh n(f, ∞, r)), lµ sè c¸c cùc ®iÓm tÝnh c¶ béi, (t­¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña hµm f trong ®Üa ®ãng b¸n kÝnh r. Gi¶ sö a ∈ C, ta ®Þnh nghÜa  1  , ∞, r , n(f, a, r) = n f −a  1  n(f, a, r) = n , ∞, r . f −a KÝ hiÖu n(f, ∞, r), R vµ r < R. (t­¬ng øng, 1.1.1 §Þnh nghÜa. Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N (f, a, r), (t­¬ng øng, hµm ®Õm N (f, a, r)), cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau Z r  dt N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + n(f, a, t) − n(f, a, 0) , t 0 kh«ng tÝnh béi 5 6 (t­¬ng øng, N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + Z r n(f, a, t) − n(f, a, 0)  dt t 0 V× thÕ, nÕu ). a = 0 ta cã N (f, 0, r) = (ord+ 0 f ) log r X + (ord+ z f ) log | z∈D(r) r |, z z6=0 trong ®ã D(r) r lµ ®Üa cã b¸n kÝnh + vµ ordz f = max{0, ordz f } lµ béi cña kh«ng ®iÓm. 1.1.2 §Þnh nghÜa. Hµm xÊp xØ m(f, a, r) cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a∈C ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau 2π Z  log  + m(f, a, r) = 0  dθ 1   , iθ f (re ) − a 2π vµ Z m(f, ∞, r) = 2π log+ | f (reiθ ) | 0 trong ®ã Hµm dθ , 2π + log x = max{0, log x}. m(f, ∞, r) ®o ®é lín trung b×nh cña log |f | trªn ®­êng trßn |z| = r. 1.1.3 §Þnh nghÜa. Hµm ®Æc tr­ng T (f, a, r) cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ∈ C ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau T (f, a, r) = m(f, a, r) + N (f, a, r), T (f, r) = m(f, ∞, r) + N (f, ∞, r). XÐt vÒ mÆt nµo ®ã, hµm ®Æc tr­ng Nevanlinna ®èi víi lý thuyÕt hµm ph©n h×nh cã vai trß t­¬ng tù nh­ bËc cña ®a thøc trong lý thuyÕt ®a thøc. Tõ ®Þnh nghÜa hµm ®Æc tr­ng ta cã T (f, a, r) ≥ N (f, a, r) + O(1), trong ®ã O(1) lµ mét ®¹i l­îng bÞ chÆn khi r → ∞. 7 1.1.4 §Þnh nghÜa. CÊp cña hµm ph©n h×nh ρ(f ) = lim sup r→∞ NÕu ρ(f ) = ∞ ®­îc gäi lµ cã Gi¶ sö f th× ®­îc gäi lµ cã cÊp v« h¹n, nÕu 0 < ρ(f ) < ∞ th× f cÊp h÷u h¹n. 0 < ρ(f ) < ∞, ®Æt r→∞ cã ®­îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc log T (r, f ) . log r C = lim sup Ta nãi f f cã d¹ng tèi ®¹i d¹ng tèi tiÓu 1.1.5 VÝ dô. cã cÊp 0. NÕu f lµ hµm h÷u tû th× f = ez trung b×nh. Hµm ee C = ∞, z cã d¹ng trung b×nh nÕu 0 < C < ∞, C = 0. nÕu NÕu nÕu T (r, f ) . rρ th× T (f, r) = O(log r), do ®ã hµm h÷u tû T (f, r) = r/π + O(1), do ®ã ez cã cÊp 1, d¹ng lµ hµm cã cÊp v« h¹n. C«ng thøc Poisson - Jensen 1.1.6 §Þnh lý. Gi¶ sö f (z) 6≡ 0, ∞ lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn D = {|z| ≤ R} víi 0 < R < ∞. Gi¶ sö aµ , µ = 1, ..., M cña f trong lµ c¸c kh«ng ®iÓm D, mçi kh«ng ®iÓm ®­îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. bν , (ν = 1, 2, ..., N ) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong trong D, mçi cùc ®iÓm ®­îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. z = reiθ ∈ D sao cho f (z) 6= 0, f (z) 6= ∞ ta cã Z2π   1 R2 − r 2 iφ   log f (Re ) 2 dφ+ log |f (z)| = 2π R − 2Rr cos(θ − φ) + r2 Khi ®ã, víi mçi 0 M X     N  R(z − aµ )  X  R(z − bν )  − . + log  2 log  2  R − aµ z R − bν z  µ=1 ν=1 (1.1) 8 Chøng minh. Ta xÐt c¸c tr­êng hîp sau: f (z) Hµm Tr­êng hîp 1: kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong {|z| ≤ R}, z = 0. Khi ®ã ta cÇn chøng minh log |f (0)| = 1 2π Z2π   log f (Reiϕ ) dϕ. 0 Do f (z) 6= 0 trong D log f (z) nªn lµ hµm chØnh h×nh trong D. Theo §Þnh lý Cauchy, ta cã: Z 1 log f (0) = 2πi dz 1 log f (z) = z 2π Z2π log f (Reiϕ )dϕ. 0 |z|=R LÊy phÇn thùc hai vÕ ta cã: 1 log |f (0)| = 2π Z2π   log f (Reiϕ ) dϕ. 0 Tr­êng hîp 2: {|z| ≤ R}, víi z Hµm tuú ý, f (z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong z = reiθ (0 < r < R) . XÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c: {|ξ| 6 R} → {ω 6 1} z 7→ 0 ξ 6= z 7→ ω = Nh­ vËy R (ξ − z) R2 − zξ |ς| = R t­¬ng øng víi |ω| = 1, v× |ω| = R |ξ − z| |R2 − zξ| 9 vµ |ξ| = R ⇒ ξξ = |ξ|2 = R2 suy ra R |ξ − z| R |ξ − z| =   = 1. |ω| =  ξξ − zξ  |ξ| ξ − z  Do log f (z) lµ chØnh h×nh trong |ξ| ≤ R, theo ®Þnh lý Cauchy, ta cã Z 1 dξ log f (z) = . log f (ς) 2πi ξ−z (1.2) |ξ|=R MÆt kh¸c 1 2πi Z |ξ|=R Do log f (ξ) log f (ξ) |ξ|=R |z| = |z| < R hµm Z zdξ 1 log f (ξ) 2 = R − zξ 2πi nªn 1 R2 ξ− z  2 R   >R  z  nghÜa lµ ®iÓm R2 z −dξ = 0. R2 ξ− z n»m ngoµi (1.3) |ξ| ≤ R nªn lµ hµm chØnh h×nh. KÕt hîp víi (1.2) vµ (1.3) ta cã log f (z) = 1 2i Z # 1 1 + dξ ξ − z ξ − Rz2   1 z log f (ξ) + dξ, ξ − z R2 − zξ log f (ξ) |ξ|=R 1 = 2i " Z |ξ|=R víi 1 z R2 − zξ + zξ − zz R2 − r 2 R2 − r 2
= + = = . ξ − z R2 − zξ (ξ − z) (R2 − zξ) (ξ − z) ξξ − zξ ξ |ξ − z|2 10 MÆt kh¸c ξ = Reiϕ = R cos ϕ + iR sin ϕ, z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, ξ − z = (R cos ϕ − r cos θ) + i (R sin ϕ − r sin θ) , |ξ − z|2 = (R cos ϕ − r cos θ)2 + (R sin ϕ − r sin θ)2 = R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − θ). VËy 1 log f (z) = 2π Z2π R2 − r 2 log f (Re ) 2 dϕ. R − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2 iφ (1.4) 0 LÊy phÇn thùc hai vÕ cña (1.4) ta ®­îc Z2π 1 log |f (z)| = 2π   log f (Reiϕ ) R2 − r 2 dϕ. R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2 0 Tr­êng hîp 3: Hµm f (z) cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R} nh­ng kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong miÒn Ta cã sè kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm cña hµm h÷u h¹n. ThËt vËy, gi¶ sö compact, do ®ã  zkj f (z) {|z| < R}. trªn biªn {|z| = R} lµ f (z) cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk } , khi ®ã {|ξ| = R} héi tô ®Õn zk0 ∈ {|ξ| = R} vµ f (zkj ) = 0, do ®ã f = 0 f ≡ 0 suy ra v« lý.  tån t¹i zkj → z0 ∈ trªn mét tËp hîp cã ®iÓm giíi h¹n. §iÒu nµy kÐo theo Gi¶ sö cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {|ξ| = R}, z0 {zk } , lµ ®iÓm bÊt th­êng; v× ®iÓm nghÜa lµ trong mét l©n cËn cña ra v« lý v× t¹i ®ã f  zkj → z0 cã cùc ®iÓm. z0 f khi ®ã lµ hµm ph©n h×nh nªn hµm f z0 chØnh h×nh chØ trõ t¹i nªn trong mäi l©n cËn cña z0 ®Òu chøa zkj lµ cùc z0 suy nµo ®ã mµ 11 VËy sö Z0 f (z) cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn lµ kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm cÊp l©n cËn nµo ®ã cña k cña {|z| = R} . f (ξ), Z0 ∈ ∂D. Gi¶ Trong mét Z0 , ta cã khai triÓn sau: f (ξ) = a(ξ − Z0 )k + . . . , a 6= 0. Khi ®ã, log |f (ξ)| = k log |ξ − Z0 | + o(|ξ − Z0 |). XÐt vßng trßn vßng trßn Cδ t©m Cδ , khi ®ã f Z0 , b¸n kÝnh δ ®ñ nhá. Thay vßng trßn |ξ| = R bëi kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn cña miÒn míi nhËn ®­îc. Quay l¹i tr­êng hîp 2, ta cã tÝch ph©n bªn ph¶i cña b­íc 2 chØ kh¸c tÝch ph©n ë trªn vßng trßn |ξ| = R mét ®¹i l­îng P Cδ 1 2π R log |f (ξ)| |dξ| . Ta |ξ−Z0 |=δ cã Z log |f (ξ)| |dξ| = Cδ . log δ.δ. |ξ−Z0 |=δ Do ®ã, Z X 1 2π Cδ Cho δ → 0 ta cã log |f (ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ. |ξ−Z0 |=δ P Cδ 1 2π R log |f (ξ)| |dξ| → 0. C«ng thøc ®­îc chøng |ξ−Z0 |=δ minh. Tr­êng hîp 4: vµ cùc ®iÓm trong B©y giê ta xÐt trong tr­êng hîp |z| ≤ R. XÐt hµm R(z−bγ ) γ=1 R2 −bγ z f (z) QM R(z−a ) . µ µ=1 R2 −aµ z QN ψ(z) = f (z) cã c¸c kh«ng ®iÓm 12 Khi ®ã ψ(z) suy ra kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong gi¶ sö ng­îc l¹i T­¬ng tù |ξ| 6 R ψ(z0 ) = 0 suy ra f (z0 ) = 0. Do ®ã ψ(ξ) bÞ khö ®i mÉu sè. ψ(ξ) còng kh«ng cã cùc ®iÓm. ¸p dông c«ng thøc ®· chøng minh ta cã: 1 log |ψ(z)| = 2π Z2π   log ψ(Reiϕ ) R2 − r 2 dϕ. R2 − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 0 Nªn N X     M  R(z − bγ )  X  R(z − aµ )   − log |f (z)| + log  2 log  2  R − aµ z  R − bγ z γ=1 µ=1 1 = 2π Z2π   log ψ(Reiϕ ) R2 − r 2 dϕ. R2 − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 0      R(z−bγ )   R(z−aµ )  Khi |z| = R th×  2  = 1, vµ  R2 −aµ z  = 1. R −bγ z Suy ra nÕu |z| = R th× |ψ(z)| = |f (z)| . Do ®ã N X     M  R(z − bγ )  X  R(z − aµ )   − log |f (z)| + log  2 log  2  R − aµ z  R − bγ z γ=1 µ=1 1 = 2π v× Z2π   log f (Reiϕ ) R2 − r 2 dϕ. R2 − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 0 VËy Z 2π   1 R2 − r 2 dϕ log |f (z)| = log f (Reiϕ ) 2 2π 0 R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2     M N X  R(z − aµ )  X  R(z − bγ )  − . + log  2 log  2  R − aµ z R − bγ z  µ=1 γ=1 13 Tõ C«ng thøc Poisson-Jensen ta cã ®Þnh lý sau ®©y. 1.1.7 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét sè phøc tuú ý. Khi ®ã ta cã m(f, a, r) + N (f, a, r) = T (f, r) − log |f (0) − a| + (a, r), trong ®ã (a, r) ≤ log a + log 2. Ta th­êng dïng §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt d­íi d¹ng T (f, a, r) = T (f, r) + O(1), trong ®ã O(1) lµ ®¹i l­îng bÞ chÆn khi r → ∞. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy vÕ tr¸i trong c«ng thøc kh«ng phô thuéc a víi sai kh¸c mét ®¹i l­îng bÞ chÆn. 1.1.8 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). C vµ a1 , . . . , aq lµ q Gi¶ sö f (z) lµ hµm ph©n h×nh trong sè phøc ph©n biÖt. Khi ®ã, (q − 2)T (f, r) ≤ q X
N (f, ai , r) − Nram (f, r) + O log T (r, f ) , i=1 cho r → ∞ bªn ngoµi tËp hîp cã ®é ®o Lebesgue h÷u h¹n vµ Nram (f, r) = N (f 0 , 0, r) + 2N (f, ∞, r) − N (f 0 , ∞, r). 1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna. Sè khuyÕt liªn quan chÆt chÏ ®Õn bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna trong [9]. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa sè khuyÕt. 14 1.2.1 §Þnh nghÜa. Sè khuyÕt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi n N (f, a, r) o . δ(f, a) = lim inf 1 − r→∞ T (f, r) Sè khuyÕt rÏ nh¸nh cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi n N (f, a, r) − N (f, a, r) o θ(f, a) = lim inf . r→∞ T (f, r) Sè khuyÕt bÞ chÆt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi n N (f, a, r) o Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf 1 − . r→∞ T (f, r) 1.2.2 §Þnh nghÜa. hµm f f nÕu nÕu Cho a ∈ C ∪ {∞}, gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i cña cña hµm δ(f, a) = 1. 1.2.3 MÖnh ®Ò. Víi mäi 0 ≤ δ(f, a), a ∈ C ∪ {∞}, 0 ≤ θ(f, a), Cho hµm ph©n h×nh f vµ Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1. vµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt a1 , . . . , a q trong C ∪ {∞}, ký hiÖu S(f, {aj }qj=1 , r) = (q − 2)T (f, r) − q X N (f, aj , r) + Nram (f, r). j=1 Khi ®ã, §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cã thÓ ®­îc ph¸t biÓu ë d¹ng yÕu h¬n nh­ sau. 1.2.4 §Þnh lý. Gi¶ sö a1 , . . . , a q f (z) lµ hµm ph©n lµ c¸c phÇn tö ph©n biÖt trong h×nh kh¸c h»ng C ∪ {∞}. Khi ®ã S(f, {aj }qj=1 , r) lim inf ≤ 0. r→∞ T (f, r) sè trªn C vµ 15 1.2.5 §Þnh lý. Gi¶ sö f (z) Khi ®ã tËp hîp c¸c gi¸ trÞ lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong a mµ δ(f, a) > 0 vµ θ(f, a) > 0 |z| < R0 . lµ ®Õm ®­îc, ®ång thêi ta cã X a∈C∪{∞} Chøng minh. q X XÐt X {δ(f, a) + θ(f, a)} = q Θ(f, a) 6 2. a∈C∪{∞} ®iÓm kh¸c nhau a1 , a2 , ...., aq trong C ∪ {∞}. Khi ®ã (δ(f, aj ) + θ(f, aj )) j=1 = lim inf qT (f, r) − Pq j=1 N (f, aj , r) r→∞ N (f, aj , r) − N̄ (f, aj , r) Râ rµng P P + qj=1 N (f, aj , r) − qj=1 N̄ (f, aj , r) . T (f, r) ®Õm sè lÇn hµm f =a víi béi lín h¬n 1 vµ do ®ã q X N (f, aj , r) − j=1 q X 1 N̄ (f, aj , r) ≤ Nram (f, r) + nram (f, 0) log+ . r j=1 Nh­ vËy q X (δ(f, aj ) + θ(f, aj )) ≤ lim inf qT (f, r) − Pq j=1 N (f, aj , r) T (f, r) r→∞ j=1 = 2 + lim inf (q − 2)T (f, r) − Pq j=1 N (f, aj , r) + Nram (f, r) T (f, r) r→∞ = 2 + lim inf + Nram (f, r) S(f, {aj }qj=1 , r) T (f, r) r→∞ ≤ 2, bëi ¸p dông §Þnh lý 1.2.4. Víi mäi sè nguyªn d­¬ng k , tån t¹i nhiÒu nhÊt h÷u h¹n gi¸ trÞ a sao cho Θ(f, a) ≥ 1/k. Do {a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞ k=1 {a : Θ(f, a) ≥ 1/k}, ta cã nhiÒu nhÊt ®Õm ®­îc a nh­ vËy. 16 1.2.6 HÖ qu¶. NÕu f lµ hµm nguyªn th× X Θ(f, a) 6 1. a∈C Chøng minh. Do f lµ hµm nguyªn nªn Θ(f, ∞) = 1. Chóng ta cã ®Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt. 1.2.7 §Þnh lý (§Þnh lý Picard). 3 gi¸ trÞ 0, 1, ∞ khi ®ã f Chøng minh. Gi¶ sö trÞ 0, 1, f Gi¶ sö f (z) lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn lµ hµm h»ng. kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng, do f (z) kh«ng nhËn 3 gi¸ ∞ nªn N (f, 0, r) = 0; N (f, ∞, r) = 0. N (f, 1, r) = 0; Do ®ã Θ(f, 0) = 0; Θ(f, ∞) = 1. Θ(f, 1) = 1; Nh­ thÕ X Θ(f, a) > 2, a∈C∪{∞} m©u thuÉn víi ®Þnh lý vÒ sè khuyÕt, nh­ vËy VÊn ®Ò ng­îc cña Nevanlinna. Cho f (z) ph¶i lµ hµm h»ng. 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi } vµ {θi } lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho X 0 < δi + θi ≤ 1, (δi + θi ) ≤ 2. i Gi¶ sö ai , 1 ≤ i < N lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. ®­a ra c©u hái sau: Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh δ(f, ai ) = δi , f trªn C sao cho θ(f, ai ) = θi , 1≤i - Xem thêm -