Tài liệu Xấp xỉ và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm

ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP.HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN TP.HOÀ CHÍ MINH Leâ Thu Vaân XAÁP XÆ VAØ KHAI TRIEÅN TIEÄM CAÄN NGHIEÄM CUÛA HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM Luaän vaên Thaïc syõ Toaùn hoïc Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi Tích Maõ soá : 1.01.01 Ngöôøi höôùng daãn : TS. Nguyeãn Thaønh Long Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 2001 1 Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh taïi: Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi höôùng daãn : TS. Nguyeãn Thaønh Long Khoa Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 1 :………….. ………………………... ………………………... Ngöôøi nhaän xeùt 2 :………….. ………………………... ………………………... Hoïc vieân cao hoïc: Leâ Thu Vaân Tröôøng Phoå thoâng Trung hoïc Leâ Quyù Ñoân, Q.3, TP. Hoà Chí Minh. Luaän vaên seõ ñöôïc baûo veä taïi Hoäi Ñoàng chaám luaän aùn caáp Nhaø Nöôùc taïi Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. vaøo luùc ……giôø……ngaøy …..thaùng…..naêm 2001 Coù theå tìm hieåu luaän vaên taïi Phoøng Sau Ñaïi hoïc, thö vieän Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 2001 2 MUÏC LUÏC Chöông 1: Phaàn toång quan…………………………………………………….trang 1 Chöông 2: Caùc kyù hieäu, caùc khoâng gian haøm, coâng cuï cô baûn…………..………………………………………..trang 4 Chöông 3: Söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm…………………………..trang 7 Chöông 4: Ñieàu kieän ñuû cho thuaät giaûi hoäi tuï caáp hai………….………………….……………………….trang 10 Chöông 5: Khai trieån tieäm caän nghieäm theo tham soá beù……………………..…….…………………….trang 20 Chöông 6: Moät soá heä phöông trình haøm cuï theå…………….trang 27 Chöông keát luaän. …………………………………...……………………………….trang 38 Taøi lieäu tham khaûo……………………………………………………………………trang 39 3 Chöông 1 TOÅNG QUAN Trong luaän vaên naày, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm sau ñaây m n m n f i ( x) = ε ∑∑ aijk f j2 ( S ijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x) k =1 j =1 k =1 j =1 p ∀x ∈ Ω ⊂ R ; i = 1,..., n . (1.1) trong ñoù Ω laø moät mieàn compact hay khoâng compact cuûa R p , aijk , bijk laø caùc haèng soá thöïc cho tröôùc; g i : Ω → R , S ijk : Ω → Ω laø caùc haøm soá lieân tuïc cho tröôùc vaø f i : Ω → R laø caùc aån haøm, ε laø moät tham soá beù. Trong [1], caùc taùc giaû C.Q.Wu, Q.W.Xuan, D.Y.Zhu (1991) nghieân cöùu heä (1.1) sau ñaây öùng vôùi p = 1 , Ω = [−b, b] , m = n = 2 , aijk = 0 vaø S ijk laø caùc nhò thöùc baäc nhaát.  f1 ( x) = a11 f1 (b11 x + c11 ) + a12 f 2 (b12 x + c12 )  + a13 f 2 (b13 x + c13 ) + g1 ( x),    f 2 ( x) = a 21 f1 (b21 x + c 21 ) + a 22 f1 (b22 x + c 22 )  + a 23 f 2 (b23 x + c 23 ) + g 2 ( x), (1.2) vôùi moïi x ∈ Ω = [−b, b] , trong ñoù, caùc haèng soá aij , bij , cij b cho tröôùc thoûa caùc ñieàu kieän: bij < 1, b ≥ max [ i, j 3 max ( i cij 1 − bij ∑ aij ], ) < 1, j =1 4            (1.3) caùc haøm soá g1 , g 2 lieân tuïc cho tröôùc vaø f1 , f 2 laø caùc aån haøm. Nghieäm cuûa heä (1.2) luùc naøy cuõng ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy qui naïp hoäi tuï ñeàu vaø oån ñònh ñoái vôùi caùc g i . Trong [4] , caùc taùc giaû Nghóa, Khoâi (2000) ñaõ xeùt heä phöông trình haøm cuï theå sau ñaây ñeå laøm kieåm tra moät thuaät toaùn soá 1 1 x x 1  = + + ) ( ) ( ) ( f x f f 1 1 1  100 2 200 3 2  1 1 x 1 x 1  + f2 ( + ) + f 2 ( + ) + g1 ( x),  100 4 4 100 3 4    1 1 x x 1  f 2 ( x) = f1 ( ) + f1 ( + ) 2 3 100 4 200   1 1 x x 3 + f2 ( ) + f 2 ( + ) + g 2 ( x),  100 2 200 4 4  (1.4) vôùi moïi x ∈ [−1,1] trong ñoù 2  1  596 1 ( x + 1) 2  x 1    g1(x) = −  +  , x− −  400  3 2 16  3 4     2  1  2 399 2  x + 3   = − 2 − − − g (x) x x  .    2 800  3 2  4    (1.5) Heä naày coù nghieäm chính xaùc laø f1 ( x ) = x ; 2 f 2 ( x) = x2 . 4 (1.6) Trong [2], caùc taùc giaû Long, Nghóa, Ruy, Khoâi (1998) ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp rieâng cuûa (1.1) vôùi p = 1 vaø Ω = [−b, b] hay Ω laø khoaûng khoâng bò chaän cuûa R . Baèng caùch söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, caùc taùc giaû trong [2] ñaõ thu ñöôïc keát quaû veà söï toàn taïi, duy nhaát vaø tính oån ñònh nghieäm cuûa heä (1.1) ñoái vôùi caùc haøm g i . Trong tröôøng hôïp aijk = 0 vaø S ijk laø caùc nhò thöùc baäc nhaát, g ∈ C r (Ω; R n ) vaø Ω = [−b,b] caùc taùc giaû trong [2] ñaõ thu ñöôïc moät khai 5 trieån Maclaurin cuûa nghieäm cuûa heä (1.1) cho ñeán caáp r . Hôn nöõa, neáu g i laø caùc ña thöùc baäc r , thì nghieäm cuûa heä (1.1) cuõng laø ña thöùc baäc r . Keá ñoù, neáu g i laø caùc haøm lieân tuïc, nghieäm f cuûa (1.1) ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy caùc ña thöùc hoäi tuï ñeàu. Sau ñoù, caùc keát quaû treân ñaây ñaõ ñöôïc nôùi roäng trong [3] bôûi caùc taùc giaû Long, Nghóa (2000) cho mieàn Ω ⊂ R p nhieàu chieàu vaø S ijk laø caùc haøm affine. Hôn nöõa, trong [3] cuõng cho moät ñieàu kieän ñuû veà hoäi tuï baäc hai cuûa heä phöông trình haøm [3]. Moät soá keát quaû lieân quan ñeán khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm cho heä (1.1) theo moät tham soá beù ε cuõng ñöôïc xem xeùt trong baøi baùo cuûa Long, Dieãm [5] (2001). Luaän vaên naày ñöôïc trình baøy trong 6 chöông, phaàn keát luaän vaø cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. Trong chöông 1, laø phaàn toång quan veà heä phöông trình haøm, moät soá keát quûa ñaõ coù tröôùc ñoù vaø moät soá noäi dung caàn trình baøy trong caùc chöông cuûa luaän vaên. Trong chöông 2, laø phaàn giôùi thieäu veà caùc kyù hieäu, caùc khoâng gian haøm vaø moät soá coâng cuï cô baûn ñöôïc söû duïng trong luaän vaên. Trong chöông 3, döïa vaøo ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä(1.1). Trong chöông 4, chuùng toâi nghieân cöùu moät ñieàu kieän ñuû ñeå thu ñöôïc thuaät giaûi hoäi tuï caáp hai cho heä (1.1). Trong chöông 5, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm (1.1) bò nhieãu bôûi moät tham soá beù ε . Khi ñoù moät khai trieån tieäm caän nghieäm cuûa heä (1.1) ñeán caáp N + 1 theo ε thu ñöôïc, vôùi ε ñuû nhoû. Trong chöông 6, chuùng toâi nghieân cöùu moät soá ví duï heä phöông trình haøm cuï theå trong mieàn hai chieàu, ôû ñoù chuùng toâi seõ khaûo saùt moät thuaät giaûi hoäi tuï caáp hai vaø chæ ra caùc thaønh phaàn trong khai trieån tieäm caän ñeán caáp hai cho heä. Chöông keát luaän neâu leân moät soá keát quaû thu ñöôïc trong luaän vaên vaø moät soá chuù yù keøm theo. Cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. 6 CHÖÔNG 2 CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ KHOÂNG GIAN HAØM Trong chöông 2, laø phaàn giôùi thieäu veà caùc kyù hieäu, caùc khoâng gian haøm vaø moät soá coâng cuï cô baûn ñöôïc söû duïng trong luaän vaên. 2.1. Caùc kyù hieäu. Moät ñieåm trong R p ñöôïc kyù hieäu bôûi x = ( x1 ,..., x p ) .Ta goïi α = (α1 ,...,α p ) ∈ Z +p laø moät p − ña chæ soá vaø kyù hieäu xα ñeå chæ ñôn p α thöùc x1α1 ...x p p , coù baäc α = ∑ α i . i =1 Töông töï, Neáu D j = = ∂ α α ∂x1α1 ...∂x p p ∂. α vôùi 1 ≤ j ≤ p , thì Dα = D1α1 ...D p p ∂x j kyù hieäu moät toaùn töû vi phaân caáp α . Ta cuõng kyù hieäu α!= α1!...α p ! . Vôùi Ω laø taäp con compact cuûa R p , ta kyù hieäu X = C (Ω; R n ) laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm soá f = ( f1 ,..., f n ) : Ω → R n lieân tuïc treân Ω ñoái vôùi chuaån n f X = sup ∑ f i ( x) . x∈Ω i =1 (2.1) Khi Ω ⊂ R p khoâng compact, ta kyù hieäu X = Cb (Ω; R n ) laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm soá f : Ω → R n lieân tuïc, bò chaän treân Ω ñoái vôùi chuaån (2.1). Ta chuù yù raèng, khi Ω ⊂ R p laø môû, caùc haøm trong C (Ω; R n ) khoâng nhaát thieát bò chaän treân Ω . Neáu f ∈ C (Ω; R n ) bò chaän vaø lieân tuïc ñeàu treân Ω , khi ñoù noù coù duy nhaát moät nôùi roäng lieân tuïc, bò chaän treân bao ñoùng Ω cuûa Ω . Do ñoù, ta ñònh nghóa khoâng gian vectô C (Ω; R n ) goàm taát caû caùc haøm f ∈ C (Ω; R n ) sao cho f bò chaän vaø lieân tuïc ñeàu treân Ω . Khoâng gian naày laø khoâng gian Banach vôùi chuaån cho bôûi (2.1). 7 Töông töï, vôùi soá nguyeân khoâng aâm m , ta ñaët C m (Ω; R n ) = { f = ( f1 ,..., f n ) ∈ C (Ω; R n ) : Dα f i ∈ C (Ω; R), α ≤ m, i = 1,..., n } vôùi Ω ⊂ R p moät mieàn trong R p , vaø C m (Ω; R n ) = { f = ( f1 ,..., f n ) ∈ C (Ω; R ) : Dα f i ∈ C (Ω; R), α ≤ m, i = 1,..., n } . Vôùi Ω ⊂ R p moät taäp môû trong R p . C m (Ω; R n ) cuõng laø moät khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån: n f m C ( Ω; R n = max sup ∑ Dα f i ( x) . ) α ≤ m x∈Ω i =1 (2.2) Ta vieát heä (1.1) theo daïng cuûa moät phöông trình toaùn töû trong X ≡ C (Ω; R n ) : (2.3) f = ε Af + Bf + g trong ñoù f = ( f1 ,..., f n ) , Af = ( ( Af )1 ,..., ( Af ) n ) , Bf = ( ( Bf )1 ,..., ( Bf ) n ) vôùi m n ( Af ) i ( x) = ∑∑ aijk f j2 ( S ijk ( x)) , k =1 j =1 m n ( Bf ) i ( x) = ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) , (1 ≤ i ≤ n ) vôùi moïi x ∈ Ω . k =1 j =1 2.2 Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach Chuùng ta thöôøng söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach sau : 8 Ñònh lyù 2.1.Cho X laø khoâng gian Banach vôùi chuaån . , K ⊂ X laø taäp ñoùng. Cho T : K → K laø aùnh xaï thoûa maõn Toàn taïi soá thöïc σ , 0 ≤ σ < 1 sao cho Tf − Tg ≤ σ f − g , ∀f , g ∈ K . (2.4) Khi ñoù ta coù (i) Toàn taïi duy nhaát f ∈ K sao cho f = Tf . (ii) Vôùi moãi f (0) ∈ K , xeùt daõy { f (ν ) } cho bôûi f (ν ) = Tf (ν −1) , ν = 1,2,... ta coù (j) lim ν →∞ f (ν ) − f = 0 , (jj) f (ν ) − f ≤ f (0) − Tf (jjj) f (ν ) − f ≤ σ 1−σ (0) σν , ν = 1,2,... 1−σ f (ν ) − f (ν −1) , ν = 1,2,... Chöùng minh ñònh lyù 2.1 coù theå tìm thaáy trong caùc quyeån saùch veà nhaäp moân giaûi tích. „ 9 CHÖÔNG 3 ÑÒNH LYÙ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM Trong chöông naày, döïa vaøo ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä (2.3) . Ñaët [bijk ] = n m ∑∑ 1max ≤ j ≤n i =1 k =1 bijk . Ñaàu tieân, ta caàn boå ñeà sau. Boå ñeà 3.1. Giaû söû i) Bf X [bijk ] < 1 vaø S ijk : Ω → Ω lieân tuïc. Khi ñoù: ≤ [bijk ] f X (3.1) ∀f ∈ X . ii) Toaùn töû tuyeán tính I − B : X → X laø khaû ñaûo vaø ( I − B) −1 ≤ 1 1 − [bijk ] . Chöùng minh boå ñeà naày khoâng phöùc taïp vaø chuùng ta boû qua chi tieát. „ Do boå ñeà 1, ta vieát laïi heä (2.1) nhö sau: f = ( I − B) −1 (ε Af + g ) ≡ Tf . Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau: (H1) S ijk : Ω → Ω lieân tuïc; (H2) g = ( g1 ,..., g n ) ∈ X ; (H3) [bijk ] < 1 ; 10 (3.2) (H4) 0 < ε 0 (1 − < )2 [bijk ] 8 [aijk ] g ; X (H5) M 1 < M < M 2 , trong ñoù M1 = M2 = 1 − [bijk ] − ( 1 − [bijk ] ) 2 − 8ε 0 [aijk ] g X , X . 4ε 0 [aijk ] 1 − [bijk ] + ( 1 − [bijk ] ) 2 − 8 ε 0 [aijk ] 4ε 0 [aijk ] g Ñaët KM = { f ∈ X : f X ≤ M} . Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau ñaây. Boå ñeà 3.2. Giaû söû (H1),(H2) ñuùng. Khi ñoù, ta coù i) Af X ≤ M 2 [aijk ] ~ ii) Af − A f X ∀f ∈ K M . ≤ 2M [aijk ] ~ f −f X ~ ∀f , f ∈ K M . Chöùng minh boå ñeà naày khoâng phöùc taïp vaø chuùng ta boû qua chi tieát. „ Khi ñoù, ta coù ñònh lyù sau ñaây. Ñònh lyù 3.1. Giaû söû (H1)-(H5) ñuùng. Khi ñoù, vôùi moãi ε , vôùi ε ≤ ε 0 , heä (3.2) coù moät nghieäm duy nhaát f ε ∈ K M . Chöùng minh. Hieån nhieân raèng Tf ∈ X , vôùi moïi f ∈ X . Xeùt ~ f , f ∈ K M , ta deã daøng nghieäm laïi raèng, do boå ñeà 3.1 vaø 3.2, raèng 11 Tf = ( I − B) −1 (ε Af + g ) X X ≤ ( I − B) −1 (ε Af ≤ ~ Tf − T f X ε 0 M 2 [aijk ] + g X 1 − [bijk ] ~ = ( I − B) −1 ε ( Af − A f ) ≤ X X + g X ) , (3.3) ~ ≤ ε 0 ( I − B) −1 Af − A f 2ε 0 M [aijk ] 1 − [bijk ] ~ f −f X . X (3.4) Chuù yù raèng, töø (H2)-(H5) ta coù 2 ε 0 [aijk ] M 2 − (1 − [bijk ] ) M + g X < 0. (3.5) Ta suy töø (3.3),(3.4),(3.5), raèng T : K M → K M laø aùnh xaï co. Khi ñoù, söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, ta coù duy nhaát moät haøm f ε ∈ K M sao cho f ε = Tf ε .„ Chuù thích 3.1. Nhôø ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, nghieäm f ε cuûa heä (3.2) ñöôïc xaáp xæ bôûi thuaät giaûi sau: f (ν ) = Tf (ν −1) ≡ ( I − B ) −1 (ε Af (ν −1) + g ) , f (0) ∈ K M (3.6) cho tröôùc. Khi ñoù f (ν ) → f ε trong X khi ν → +∞ , (3.7) vaø f (ν ) −f X ≤ f (0) − Tf (0) vôùi σ = 2ε 0 M [aijk ] 1 − [bijk ] 1−σ < 1. 12 X σ ν , ∀ν = 1,2,... , (3.8) CHÖÔNG 4 THUAÄT GIAÛI LAËP CAÁP HAI Trong ñònh lyù 3.1 ñaõ cho moät thuaät giaûi xaáp xæ lieân tieáp (3.6), theo nguyeân taéc aùnh xaï co, ñoù cuõng laø moät thuaät giaûi hoäi tuï caáp 1.Trong phaàn naøy chuùng ta nghieân cöùu moät thuaät giaûi caáp hai cho heä (1.1) . Moät soá ñieàu kieän phuï lieân quan ñeán heä (1.1) ta seõ ñaët sau. 4.1. THUAÄT GIAÛI LAËP CAÁP HAI Xeùt heä phöông trình haøm m n m n k =1 j =1 k =1 j =1 f i ( x) = ε ∑∑ aijk f j2 ( S ijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x) ∀x ∈ Ω ⊂ R p ; i = 1,..., n . (1.1) Ta döïa vaøo xaáp xæ sau ñaây : (f ) (ν ) 2 j ( ) 2 ≅ 2 f j(ν −1) f j(ν ) − f j(ν −1) . (4.1) Ta thu ñöôïc giaûi thuaät sau ñaây cho heä (1.1) ( ) i) Cho tröôùc f (0) = f1(0) ,..., f n(0) ∈ X . ii) Giaû söû bieát f (ν −1) = ( f 1(ν −1) ,..., f n(ν −1) ) ∈ X , ta xaùc ñònh ( ) f (ν ) = f1(ν ) ,..., f n(ν ) ∈ X bôûi fi (ν ) ( m n ) 2 ( x) = ε ∑∑ aijk 2 f j(ν −1) ( S ijk ( x)) f j(ν ) ( S ijk ( x)) − f j(ν −1) ( S ijk ( x))    k =1 j =1 m n + ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g i ( x) , x ∈ Ω , 1 ≤ i ≤ n ,ν = 1,2,... (4.2) k =1 j =1 13 Ta vieát laïi (4.2) döôùi daïng n m (ν ) f i(ν ) ( x) = ∑∑ α ijk ( x) f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x), j =1 k =1 x ∈ Ω , 1 ≤ i ≤ n ,ν = 1,2,... (4.3) (ν ) trong ñoù α ijk , g i(ν ) phuï thuoäc vaøo f (ν −1) nhö sau: (ν ) α ijk ( x) = bijk + 2ε aijk f j(ν −1) ( S ijk ( x)) , g i(ν ) ( x) = g i ( x) − ε (4.4) ∑∑ aijk ( f j(ν −1) (S ijk ( x))) m n 2 k =1 j =1 = g i ( x) − ε ( Af (ν −1) ) i ( x) . (4.5) Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau: Ñònh lyù 4.1. Giaû söû (H1), (H2) laø ñuùng . Neáu f (ν −1) ∈ X thoûa n m (ν ) αν ≡ ∑∑ max sup α ijk ( x) < 1 . j =1 k =11≤ j ≤ n x∈Ω (4.6) Khi ñoù toàn taïi duy nhaát f (ν ) ∈ X laø nghieäm cuûa (4.3)−(4.5) . Chöùng minh. Heä (4.3) ñöôïc vieát laïi nhö sau: f (ν ) = Tν f (ν ) , (4.7) Vôùi n m (ν ) (Tν f ) i ( x) = ∑∑ α ijk ( x) f j ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x), j =1 k =1 x ∈ Ω , 1 ≤ i ≤ n ,ν = 1,2,... , f = ( f1 ,..., f n ) ∈ X . (4.8) Khi ñoù ta nghieäm laïi khoâng khoù raèng Tν : X → X thoûa Tν f − Tν h X ≤ αν f − h X , ∀f , h ∈ X . (4.9) Söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, ñònh lyù 4.1 ñöôïc chöùng minh. „ 14 Ñònh lyù 4.2. Giaû söû (H1),(H2),(H3 ) ñuùng. Cho aijk ∈ R . Khi ñoù, toàn taïi hai haèng soá M > 0 , ε > 0 , sao cho: Vôùi f (0) ∈ K M cho tröôùc, heä (4.3)−(4.5) toàn taïi duy nhaát nghieäm f (ν ) thoûa ñieàu kieän f (ν ) ∈ K M , ∀ν = 0,1,2,... (4.10) Chöùng minh. Giaû söû f (0) ∈ K M , vôùi hai haèng soá M > 0 , ε > 0 maø ta seõ choïn sau. Ta cuõng giaû söû baèng qui naïp raèng: f (ν −1) ∈ K M . (4.11) Ta seõ chöùng minh raèng f (ν ) ∈ K M . Vôùi moïi x ∈ Ω , ta coù töø (4.3) raèng: n ∑ i =1 n n m n (ν ) f i(ν ) ( x) ≤ ∑∑∑ α ijk ( x) f j(ν ) ( S ijk ( x)) + ∑ g i(ν ) ( x) i =1 j =1 k =1 n i =1 m (ν ) ≤ ∑∑ max α ijk ( x) i =1 k =11≤ j ≤ n n n ∑ j =1 f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g (ν ) m (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk ( x) f (ν ) i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω X + g (ν ) X . X (4.12) Do ñoù f (ν ) n X m (ν ) ( x) f (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω X + g (ν ) X . (4.13) Maët khaùc, vôùi moïi x ∈ Ω , ta coù töø (4.4), (4.11) , raèng: (ν ) α ijk ( x) ≤ bijk + 2ε aijk f j(ν −1) ( S ijk ( x)) ≤ bijk + 2ε aijk f (ν −1) ≤ bijk + 2ε M aijk . 15 X (4.14) Ta suy töø (4.14) raèng: n m (ν ) sup α ijk ( x) ∑∑ 1max ≤ j ≤ n x∈Ω j =1 k =1 ≤ [bijk ] + 2ε M [aijk ] . (4.15) Maët khaùc, ta cuõng coù töø (4.5) vaø boå ñeà 2, (i), chöông 3, raèng: g (ν ) X ≤ g ≤ g + ε Af (ν −1) X X X + ε M 2 [aijk ] . (4.16) Töø (4.13) , (4.15) vaø (4.16), ta ñöôïc: f (ν ) X ≤ ( [bijk ] + 2ε M [aijk ] ) f (ν ) X + g X + ε M 2 [aijk ] . (4.17) Neáu ta choïn ñöôïc M > 0 , ε > 0 thoûa hai ñieàu kieän sau: [bijk ] + 2ε M [aijk ] < 1 , 3ε M 2 [aijk ] − (1 − [bijk ] ) M + g (4.18) X ≤ 0. (4.19) Khi ñoù, ta suy ra töø (4.17),(4.18) vaø (4.19) raèng: f (ν ) X ≤ g X + ε M 2 [aijk ] 1 − [bijk ] − 2ε M [aijk ] ≤M . (4.20) Ñieàu naày khaúng ñònh (4.10). Baây giôø ta chæ ra caùch choïn M > 0 , ε > 0 thoûa (4.18) vaø (4.19). Ta chuù yù raèng (4.19) daãn ñeán (4.18), bôûi vì (4.19) töông ñöông vôùi: g X + ε M 2 [aijk ] ≤ (1 − [bijk ] − 2ε M [aijk ] ) M . 16 (4.21) Nhö vaäy, ta chæ caàn choïn M > 0 , ε > 0 thoûa (4.19). Ta coi veá traùi cuûa (4.19) nhö laø moät tam thöùc baäc hai theo M . Do [bijk ] < 1 , tam thöùc naày seõ coù hai nghieäm döông phaân bieät : M1 = 1 − [bijk ] − ∆ , 6ε [aijk ] M2 = 1 − [bijk ] + ∆ 6ε [aijk ] , (4.22) neáu ta choïn ε > 0 ñuû nhoû sao cho ( ∆ = 1 − [bijk ] )2 − 12ε [aijk ] g X > 0. (4.23) Nhö vaäy (4.19) xaûy ra neáu ta choïn M naèm trong khoaûng hai nghieäm M1, M 2 : M1 < M < M 2 . (4.24) Ñònh lyù 4.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát. „ Ñònh lyù 4.3. Giaû söû (H1), (H2), (H3 ) ñuùng. Cho aijk ∈ R . Khi ñoù, toàn taïi hai haèng soá M > 0 , ε > 0 , sao cho: (i) Vôùi f (0) ∈ K M cho tröôùc, daõy { f (ν ) } xaùc ñònh bôûi heä (4.3)−(4.5) laø daõy laëp caáp hai. Chính xaùc hôn, ta coù f (ν ) − f X ≤ β M f (ν −1) − f 2 X , ∀ν = 1,2,... (4.25) trong ñoù βM = ε [aijk ] 1 − [bijk ] − 2ε M [aijk ] (4.26) >0 vaø f laø lôøi giaûi cuûa heä (1.1). (ii) Neáu f (0) ñöôïc choïn ñuû gaàn f sao cho β M f ( 0) − f X (4.27) < 1, thì daõy { f (ν ) } hoäi tuï ñeán caáp 2 vaø thoûa moät ñaùnh giaù sai soá f (ν ) −f X 1  ( 0) ≤ −f βM f βM  Chöùng minh. 17 X   2ν , ∀ν = 1,2,... (4.28) (i) Ñaët e (ν ) = f − f (ν ) , töø (1.1) vaø (4.2) ta thu ñöôïc ei(ν ) ( x) = f i ( x) − f i(ν ) ( x) ( m n = ε ∑∑ aijk [ f j2 ( S ijk ( x)) + f j(ν −1) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 ) 2 − 2 f j(ν −1) ( S ijk ( x)) f j(ν ) ( S ijk ( x))] m n + ∑∑ bijk e (jν ) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 ( m n = ε ∑∑ aijk [ f j2 ( S ijk ( x)) + f j(ν −1) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 ) 2 − 2 f j(ν −1) ( S ijk ( x)) f j(ν ) ( S ijk ( x)) − 2 f j(ν −1) ( S ijk ( x))e (jν ) ( S ijk ( x))] m n + ∑∑ [bijk + 2ε aijk f j(ν −1) ( S ijk ( x))]e (jν ) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 ( m n = ε ∑∑ aijk [ f j2 ( S ijk ( x)) + f j(ν −1) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 ) 2 − 2 f j(ν −1) ( S ijk ( x)) f j ( S ijk ( x))] m n (ν ) + ∑∑ α ijk ( x)e (jν ) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 ( m n = ε ∑∑ aijk e (jν −1) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 ) 2 m n (ν ) + ∑∑ α ijk ( x)e (jν ) ( S ijk ( x)) . (4.29) k =1 j =1 vaäy m n m n k =1 j =1 k =1 j =1 ( ) 2 (ν ) ei(ν ) ( x) = ∑∑ α ijk ( x)e (jν ) ( S ijk ( x)) + ε ∑∑ aijk e (jν −1) ( S ijk ( x)) . Vôùi moïi x ∈ Ω , ta coù töø (4.29) raèng: n ∑ i =1 ei(ν ) ( x) n n n m (ν ) ≤ ∑∑∑ α ijk ( x) e (jν ) ( S ijk ( x)) i =1 j =1 k =1 ( m n + ε ∑∑∑ aijk e (jν −1) ( S ijk ( x)) i =1 k =1 j =1 18 ) 2 n m n (ν ) ≤ ∑∑ max α ijk ( x) ∑ e (jν ) (S ijk ( x)) i =1 k =11≤ j ≤ n n ∑ (e (jν −1) (S ijk ( x))) m n + ε ∑∑ max aijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n n j =1 2 j =1 m (ν ) ( x) e (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω n m + ε ∑∑ max aijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n n  n (ν −1)   e ( S ijk ( x))  ∑ j  j =1    2 m (ν ) ( x) e (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω n m + ε ∑∑ max aijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n n X e (ν −1) X 2 X m (ν ) ( x) e (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω + ε [aijk ] e (ν −1) 2 X X . (4.30) Vaäy n e (ν ) X m (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk ( x) e (ν ) i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω + ε [aijk ] e (ν −1) 2 X X . (4.31) Chuù yù raèng, do f (ν −1) ∈ K M vaø (4.4) , ta coù n m (ν ) sup α ijk ( x) ∑∑ 1max ≤ j ≤ n x∈Ω j =1 k =1 ≤ [bijk ] + 2ε M [aijk ] . (4.32) Ta suy ra töø (4.31), (4.32) raèng e (ν ) X ≤ ( [bijk ] + 2ε M [aijk ] ) e (ν ) 19 X + ε [aijk ] e (ν −1) 2 X . (4.33) Ñieàu naày daãn ñeán e (ν ) X ≤ ε [aijk ] e (ν −1) 2 ≡ β M e (ν −1) X 1 − [bijk ] − 2ε M [aijk ] 2 , X (4.34) hay f (ν ) − f 2 ≤ β M f (ν −1) − f X , ∀ν = 1,2,... X vôùi βM = ε [aijk ] 1 − [bijk ] − 2ε M [aijk ] > 0. (ii) Töø (4.34) ta coù e (ν ) X ≤ βM e (ν −1) 2 X = (β M ) 1+ 2 e  ≤ β M  β M e (ν −2)  2 (ν − 2) 2 X 2 = (β M )1+ 2+ 2 e (ν −3) ≤ ... ≤ (β M )1+ 2+ 2 =( ν 1− 2 β M 1−2 ) 2 e (0) 2 X X    2 1+ 2  ≤ (β M )  βM e  (ν −3) 2 X    22 3 2 X +...+ 2ν −1 ν 2 e ( 0) 2ν X 1  ( 0) = βM e βM  X   2ν , (4.35) töùc laø (4.28). Baát ñaúng thöùc ñaùnh giaù naày cho pheùp ta keát luaän daõy { f (ν ) } hoäi tuï ñeán caáp 2 ñeán lôøi giaûi f cuûa heä (1.1) neáu f (0) ñöôïc choïn thoûa (4.27). „ Chuù thích 4.1: Veà vieäc choïn böôùc laëp ban ñaàu f (0) ∈ K M thoûa (4.27) ta tieán haønh nhö sau: Tröôùc heát ta laáy z (0) ∈ X , ta xaây döïng daõy laëp ñôn {z (η ) } lieân keát vôùi aùnh xaï co T : K M → K M (nhö trong ñònh lyù 3.1, chöông 3): z (η ) = Tz (η −1) ≡ ( I − B) −1 (ε Az (η −1) + g ) ,η = 1,2,... . 20 (4.36)