Tài liệu Xấp xỉ tuyến tính cho một vài phương trình sóng phi tuyến

BOÄ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN TRAÀN NGOÏC DIEÃM XAÁP XÆ TUYEÁN TÍNH CHO MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC CHUYEÂN NGAØNH : TOAÙN GIAÛI TÍCH MAÕ SOÁ : 1.01.01 THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 10-1998 LUAÄN VAÊN ÑÖÔÏC HOAØN THAØNH TAÏI TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Ngöôøi Höôùng Daãn : Ngöôøi Nhaän Xeùt 1 : Ngöôøi Nhaän Xeùt 2 : Ngöôøi Thöïc Hieän : PTS Nguyeãn Thaønh Long Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông Thaønh Phoá Hoà Chí Minh PGS-PTS Döông Minh Ñöùc Khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh PTS Nguyeãn Bích Huy Khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh Traàn Ngoïc Dieãm Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông Thaønh Phoá Hoà Chí Minh LUAÄN VAÊN ÑÖÔÏC BAÛO VEÄ TAÏI HOÄI ÑOÀNG CHAÁM LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Lôøi ñaàu tieân, toâi xin kính gôûi ñeán Thaày Nguyeãn Thaønh Long, lôøi caûm ôn saâu saéc veà söï taän tình giuùp ñôõ cuûa thaày ñoái vôùi toâi trong suoát khoùa hoïc vaø nhaát laø trong vieäc hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Xin chaân thaønh caûm ôn Thaày Döông Minh Ñöùc vaø Thaày Nguyeãn Bích Huy ñaõ ñoïc vaø cho nhöõng yù kieán quyù baùu cuõng nhö nhöõng lôøi pheâ bình boå ích ñoái vôùi luaän vaên. Toâi cuõng xin caûm ôn taát caû quyù Thaày trong hoäi ñoàâng chaám luaän vaên ñaõ daønh cho toâi thôøi gian quyù baùu vaø nhöõng goùp yù saâu saéc cho buoåi baûo veä luaän vaên. Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ khoa Toaùn, Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông, Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình höôùng daãn vaø cung caáp cho toâi nhöõng tö lieäu caàn thieát trong suoát thôøi gian hoïc taäp. Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ thuoäc Phoøng quaûn lyù sau Ñaïi hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi veà thuû tuïc haønh chính trong khoùa hoïc. Caûm ôn caùc Baïn hoïc vieân lôùp Cao hoïc khoùa 6 ñaõ hoå trôï raát nhieàu cho toâi veà moïi maët trong thôøi gian qua. Lôøi thaân thöông nhaát xin gôûi ñeán gia ñình toâi, nôi taïo cho toâi moïi ñieàu kieän thuaän tieän ñeå hoïc taäp vaø laøm toát luaän vaên naøy. Traàn Ngoïc Dieãm MUÏC LUÏC Muïc luïc. trang 0 1. Phaàn môû ñaàu. 1 2. Chöông 1. Moät soá khoâng gian haøm vaø kyù hieäu. 6 1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm. 6 2. Vaøi boå ñeà quan troïng. 6 3. Chöông 2. Khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát. 1. Môû ñaàu. 8 8 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát. 3. Khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi. 9 18 4. Chuù yù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát. 5. Xeùt moät tröôøng hôïp cuï theå. 4. Chöông 3. Phöông trình soùng phi tuyeán vôùi toaùn töû Kirchoff-Carrier. 23 25 30 1. Môû ñaàu. 30 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi. 30 5. Keát luaän. 39 6. Taøi lieäu tham khaûo. 40 1 PHAÀN MÔÛ ÑAÀU Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt moät soá phöông trình soùng phi tuyeán moät chieàu lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát hoaëc khoâng thuaàn nhaát. Chuùng toâi thu ñöôïc lôøi giaûi baèng caùch thieát laäp moät daõy qui naïp hoäi tuï maïnh trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp. Moät soá tính chaát veà lôøi giaûi thu ñöôïc cuõng ñöôïc khaûo saùt sau ñoù. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi taäp trung vaøo vieäc khaûo saùt hai baøi toaùn chính naèm ôû chöông 2 vaø chöông 3. Ñoái vôùi baøi toaùn thöù nhaát chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán sau ñaây utt − u xx = f ( x,t,u,u x ,ut ) , 0 < x < 1 , 0 < t < T , (0.1) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát u x ( 0 , t ) − h 0 u (o , t ) = g 0 (t ) , u x (1, t ) + h1u(1, t ) = g1 (t ), (0.2) vaø ñieàu kieän ñaàu u( x ,0 ) = u~0 ( x) , u t ( x ,0 ) = u~1 ( x) , (0.3) trong ñoù h0 , h1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc vôùi h0 + h1 > 0; go , g1 ∈ C3([0,∞)) ; f ∈ C 1 ([0 ,1] × [0 , ∞) × R 3 ) laø caùc haøm cho tröôùc. Phöông trình (0.1) vôùi caùc daïng khaùc nhau cuûa f vaø caùc ñieàu kieän bieân khaùc nhau ñaõ ñöôïc khaûo saùt bôûi nhieàu taùc giaû.Cuï theå laø moät soá tröôøng hôïp sau: Trong [8]. Ficken vaø Fleishman ñaõ thieát laäp söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi toaøn cuïc vaø tính oån ñònh cuûa lôøi giaûi naøy cho phöông trình u tt − u xx - 2α 1u t − α 2 u = εu 3 + b , ε > 0 beù. trình (0.4) Rabinowitz [19]ñaõ chöùng minh söï toàn taïi cuûa lôøi giaûi tuaàn hoaøn cho phöông u tt − u xx + 2α 1 u t = εf (u , u x , u t , x , t ) , (0.5) trong ñoù ε laø tham soá beù vaø f tuaàn hoaøn theo thôøi gian. Trong [2] Caughey vaø Ellison ñaõ goäp laïi caùc tröôøng hôïp tröôùc ñoù ñeå baøn veà söï toàn taïi,duy nhaát vaø oån ñònh tieäm caän cuûa caùc lôøi giaûi coå ñieån cho moät lôùp caùc heä ñoäng löïc lieân tuïc phi tuyeán. Trong [4], Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (0.1), (0.3) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát u(0 ,t ) = u(1,t ) = 0 , (0.6) 2 vôùi soá haïng phi tuyeán trong (0.1) coù daïng f = εf (t ,u) . (0.7) Baèng söï toång quaùt cuûa [4], Alain Phaïm Ngoïc Ñònh vaø Nguyeãn Thaønh Long ñaõ xeùt baøi toaùn (0.1), (0.3), (0.6) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng f = f (t ,u ,ut ) . (0.8) Trong [13], [14],Nguyeãn Thaønh Long vaø Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn (0.1), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng f = f (u ,ut ) . (0.9) Trong [13], caùc taùc giaû ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát u x (0 ,t ) = hu(0 ,t ) + g(t ) , u(1,t ) = 0 , (0.10) trong ñoù h>0 laø haèng soá cho tröôùc ; trong [14] vôùi ñieàu kieän bieân ñöôïc xeùt toång quaùt hôn t u x (0 , t ) = g(t ) + hu(0 , t ) − ∫ k(t − s)u(0 , s) ds , u(1, t ) = 0 . (0.11) 0 Trong [15] chuùng toâi xeùt baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) vôùi tröôøng hôïp g0 (t ) = g1 (t ) = 0 . (0.12) Chuùng toâi lieân keát vôiù phöông trình (0.1) moät daõy qui naïp tuyeán tính lieân heä vôùi moät baát phöông trình tích phaân Volterra phi tuyeán vaø daõy naøy bò chaän trong moät khoâng gian haøm thích hôïp.Söï toàn taïi lôøi giaûi cuûa (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp Galerkin vaø compact yeáu.Chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong caùc baøi baùo[5], [15] khoâng duøng ñöôïc trong caùc baøi baùo [13], [14]. Neáu caùc haøm soá f0 ∈C 2 [0 ,1] × [0 ,∞) × R3 vaø f1 ∈C 1 [0 ,1] × [0 ,∞) × R3 thì moät khai trieån ( ) ( ) tieäm caän ñeán caáp 2 theo ε cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) thu ñöôïc vôùi veá phaûi cuûa (0.1) coù daïng f ( x,t ,u,u x ,ut ) = f0 ( x,t ,u ,u x ,ut ) + εf1 ( x,t ,u ,u x ,ut ) , (0.13) vôùi ε ñuû nhoû.Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái cuûa[1], [5]vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [15]. Baøi toaùn thöù hai trong luaän vaên naøy ñöôïc xeùt vôùi phöông trình soùng phi tuyeán sau ñaây chöùa toaùn töû Kirchoff-Carrier ( ( utt − b0 + B ∇u 2 ))Δu + f (u) = F ( x,t) , x ∈Ω = (0,1) , 0 < t < T , (0.14) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát u(0 , t ) = u(1, t ) = 0 , (0.15) 3 vaø ñieàu kieän ñaàu u( x,0) = u~0 ( x) , ut ( x,0) = u~1 ( x) , (0.16) trong ñoù b0 > 0 , T > 0 laø caùc haèng soá cho tröôùc ;B , f, F, u~0 , u~ 1 laø caùc haøm cho tröôùc. Caùc giaû thieát veà caùc haøm naøy seõ ñöôïc chæ roõ sau ñoù. Trong phöông trình (0.14) 2 haøm B ∇u phuï thuoäc vaøo tích phaân ( ) ∇u 2 = ∫ Ω 2 ∂u ( y,t ) dy . ∂y (0.17) Phöông trình (0.14) lieân quan ñeán moät phöông trình dao ñoäng phi tuyeán sau ñaây cuûa moät sôïi daây ñaøn hoài [3] : 2 ⎛ ⎞ Eh L ∂u ρhutt = ⎜ P0 + , y t dy⎟ u xx , 0 < x < L , 0 < t < T . ( ) ∫ 2 L 0 ∂y ⎝ ⎠ (0.18) ÔÛ ñaây u laø ñoä voõng, ρ laø maät ñoä khoái löôïng (khoái löôïng rieâng), h laø thieát dieän, L laø chieàu daøi ban ñaàu, E laø suaát Young vaø P0 laø löïc caêng ban ñaàu cuûa daây. Khi f= 0, baøi toaùn Cauchy hay hoãn hôïp cho (0.14) ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû; chaúng haïn nhö Ebihara, Medeiros vaø Miranda [7], Pohozaev [18],Yamada [21] vaø caùc taùc giaû xuaát hieän trong taøi lieäu tham khaûo ôû ñoù. Trong [17] Medeiros ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) vôùi f (u) = bu 2 ,trong ñoù b laø haêøng soá döông cho tröôùc, Ω laø moät taäp môû bò chaän cuûa R3 . Trong [9] Hosoya vaø Yamada ñaõ xeùt baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) vôùi α f (u) = δ u u , trong ñoù δ > 0 ,α ≥ 0 laø caùc haèng soá cho tröôùc . Trong [16] Nguyeãn Thaønh Long vaø caùc ñoàng taùc giaû ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cho phöông trình sau ( utt + λΔ2 u − B ∇u 2 )Δu + ε u t α −1 ut = F ( x,t ) , x ∈ Ω = (0 ,1) , 0 < t < T , (0.19) trong ñoù λ > 0 , ε > 0 , 0 < α < 1 laø caùc haèng soá cho tröôùc . Trong [10] Ikehata vaø Okazawa ñaõ xeùt baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) nhö moät phöông trình tieán hoùa caáp hai aù tuyeán tính theo thôøi gian trong moät khoâng gian Hilbert thöïc H vôiù giaû thieát sau ñaây treân haøm f, trong tröôøng hôïp cuûa chuùng toâi cuï theå ra thì ñieàu kieän ñoù laø: f (u) − f (v) L2 ( ≤L u H 01 ) + v H 1 u − v H 1 , ∀u ,v ∈ H 01 , 0 0 (0.20) trong ñoù L ∈C ([0 ,+∞)) laø moät haøm khoâng giaûm. ÔÛ tröôøng hôïp cuûa chuùng toâi thì f ′ bò chaän bôûi moät haøm khoâng giaûm L f ' ( x) ≤ L( x ) , ∀x ∈ R , (0.21) 4 do ñoù (0.20) seõ ñöôïc thoûa maõn . Trong baøi toaùn thöù hai naøy, chuùng toâi lieân keát baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) moät thuaät giaûi qui naïp tuyeán tính maø söï toàn taïi duy nhaát lôøi giaûi ñòa phöông ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp compact yeáu lieân keát vôùi baát phöông trình tích phaân Volterra. Thuaät giaûi naøy cho pheùp chuùng ta söû duïng ñöôïc moät soá thuaät giaûi tính soá hieäu quaû ñeå giaûi baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16). Keát quaû thu ñöôïc ñaõ toång quaùt töông ñoái caùc keát quaû [7], [9], [10], [16], [17], [18] vaø seõ ñöôïc coâng boá trong [6]. Toaøn boä luaän vaên naøy seõ chia thaønh caùc chöông sau ñaây: _Chöông môû ñaàu laø phaàn giôùi thieäu toång quaùt veà caùc baøi toaùn vaø ñieåm qua caùc keát quaû tröôùc ñoù, ñoàng thôøi giôùi thieäu toùm taét caùc chöông tieáp theo . _Chöông 1 laø phaàn giôùi thieäu moät soá kyù hieäu vaø caùc khoâng gian haøm thoâng duïng . Moät soá keát quaûveà pheùp nhuùng cuõng ñöôïc nhaéc ñeán ôû ñaây. _Chöông 2 ñi vaøo vieäc khaûo saùt baøi toaùn thöù nhaát (0.1) -(0.3), keát quaû chính cuûa chöông naøy laø chöùng minh moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi yeáu trong tröôøng hôïp f ∈ C 1 ([0 ,1] × [ 0 , ∞ ) × R 3 ) , u~0 ∈ H 2 , u~1 ∈ H 1 , g 0 , g1 ∈ C 3 ([ 0 , ∞ )) ,caùc haèng soá khoâng aâm h0 , h1 thoûa h0 + h1 > 0 . Phöông phaùp söû duïng laø xaây döïng moät daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh. Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt nheï nhaøng keát quaû [15] cuûa chuùng toâi vaø chöùa tröôøng hôïp g0 = g1 ≡ 0 nhö laø moät tröôøng hôïp rieâng. Vaãn trong chöông naøy, chuùng toâi cuõng thu ñöôïc caùc keát quaû veà khai trieån tieäm caän theo moät tham soá beù ε ñeán caáp i cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán f coù daïng sau : f ( x,t ,u ,u x ,ut ) = f0 ( x,t ,u ,u x ,ut ) + εf1 ( x,t ,u ,u x ,ut ) , trong ñoù f0 ∈ C i ([0.1] × [0 , ∞) × R 3 ) , i = 1,2 . f1 ∈ C 1 ([0.1] × [0 , ∞) × R 3 ) Keát quaû naøy cuõng ñaõ toång quaùt caùc keát quaû ñaõ coù [1], [5], [15]. Moät soá khai trieån tieäm caän cuõng ñöôïc khaûo saùt trong moät soá tröôøng hôïp cuï theå cuûa soá haïng phi tuyeán. _ Chöông 3 laø phaàn khaûo saùt baøi toaùn thöù hai (0.14), (0.15), (0.16). Keát quaû 2 chính laø baèng caùch tuyeán tính hoùa caùc soá haïng phi tuyeán f (u) vaø B ∇u , chuùng toâi ( ) chöùng minh söï toàn taïi duy nhaát cuûa moät lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) trong tröôøng hôïp f ∈C 1 ( R) , B ∈C 1 ([0 ,∞)) , B ≥ 0 vaø moät soá ñieàu kieän phuï sau ñoù. 5 Keát quaû ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû tröôùc ñoù vaø seõ ñöôïc coâng boá trong [6]. _ Chöông cuoái cuøng laø phaàn keát luaän veà caùc keát quaû thu löôïm ñöôïc trong luaän vaên. Sau cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. 6 Chöông 1 MOÄT SOÁ KHOÂNG GIAN HAØM VAØ KYÙ HIEÄU 1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm Chuùng ta boû qua ñònh nghóa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng vaø söû duïng caùc kyù hieäu goïn laïi nhö sau: Ω = (0 ,1) , QT = Ω × (0 ,T ) , T > 0 , Lp = Lp (Ω) , H m = H m (Ω) , H 0m = H 0m (Ω). Caùc kyù hieäu . ,. vaø . duøng ñeå chæ tích voâ höôùng vaø chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng töông öùng treân L . Kyù hieäu . ,. cuõng duøng ñeå chæ caëp tích ñoái ngaãu giöõa 2 phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vaø moät phaàn töû trong khoâng gian haøm naøo ñoù naèm 2 trong L . Ta kyù hieäu . X laø chuaån treân khoâng gian Banach X. Goïi X′ laø ñoái ngaãu cuûa X. Ta u( x,t ), vieát u(t) , u& (t ) , u&&(t ) , ux = ∇u , u xx = Δu thay cho ∂u ∂ u ∂u ∂ u x,t ), 2 ( x,t ), ( x,t ), 2 ( x,t ) theo thöù töï. ( ∂t ∂x ∂x ∂t 2 2 Ta kyù hieäu Lp (0 ,T , X) , 1 ≤ p ≤ ∞ , laø khoâng gian Banach caùc haøm ño ñöôïc f : (0 ,T ) → X sao cho T p f Lp ( 0 ,T ; X) = ⎛⎜ ∫ f (t ) X dt⎞⎟ ⎠ ⎝0 1 p < ∞ , 1≤ p < ∞ vaø f L∞ ( 0 ,T ; X ) = ess sup f (t ) X . 0 0 , h1 ≥ 0 , ( H 2 ) u~0 ∈ H 2 , u~1 ∈ H 1 , ( H 3 ) f ∈ C 1 ([0 ,1] × [0 ,∞) × R3 ) , ( H 4 ) g0 , g1 ∈ C 3 ([0 , ∞)). Xeùt haøm soá phuï ϕ( x , t ) = 1 g (t )eh0 ( x−1) − g 0 (t )e− h1x . h0 + h1 1 [ ] (2.4) Ñaët ⎧B0 v = vx (0 , t ) − h0 v( 0 , t ) ⎨ ⎩B1v = vx (1, t ) + h1v(1, t ) , 0 0, T > 0 ta ñaët K 0 = K 0 (M , T , f ) = sup f ( x, t , u , v, w) , (2.19) K 1 = K 1 (M , T , f ) = sup( f x′ + f t′ + f u′ + f v′ + f w′ )( x, t , u , v, w). (2.20) sup trong (2.19), (2.20) ñöôïc laáy treân mieàn 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T , u , v , w ≤ 2 M . W( M ,T ) = { v ∈ L∞ ( 0 ,T ; H 2 ) : v& ∈ L∞ ( 0 ,T ; H 1 ), &&v ∈ L∞ ( 0 ,T ; L2 ) ; v ( L∞ 0 ,T ; H 2 ) ≤ M , v& ( L∞ 0 ,T ; H 1 ) ≤ M , &&v ( L∞ 0 ,T ; L2 ) ≤ M }. (2.21) Tieáp theo, ta xaây döïng daõy {u m } trong W( M ,T ) baèng qui naïp. Daõy {u m } seõ ñöôïc chöùng minh hoäi tuï veà lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3) trong W( M ,T ) (vôùi söï choïn löïa M vaø T thích hôïp). Choïn soá haïng ban ñaàu u0 ∈ W( M ,T ) . Giaû söû raèng um-1 ∈ W( M ,T ) . (2.22) 11 Ta lieân keát baøi toaùn (2.1)-(2.3) vôùi baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính sau: Tìm um ∈ W( M ,T ) thoûa 1 < u&&m ,v > + a( u m , v) =< F m ,v > , vôùi moïi v ∈ H , (2.23) u m (0) = u~0 , u& m (0) = u~1 , (2.24) F m ( x,t ) = f ( x,t ,u m−1 ( x,t ) ,∇u m−1 ( x,t ),u& m−1 ( x,t )) . (2.25) trong ñoù Söï toàn taïi cuûa um cho bôûi ñònh lyù döôùi ñaây. Ñònh lyù 2.1([15]) Giaû söû ( H 1 ) − ( H 3 ) ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M > 0 vaø T > 0 sao cho: vôùi moïi u0 ∈ W( M ,T ) cho tröôùc, toàn taïi moät daõy qui naïp tuyeán tính {um}⊂ W( M ,T ) xaùc ñònh bôûi (2.23)-(2.25). Chöùng minh :Chöùng minh bao goàm ba böôùc. Böôùc 1 : Duøng phöông phaùp xaáp xæ Galerkin ñeå xaây döïng lôøi giaûi xaáp xæ u m( k) (t ) cuûa(2.23)-(2.25). ( Goïi {w j } laø cô sôû tröïc chuaån cuûa H1 nhö trong boå ñeà 2.3 w j = w j ) λj . Ñaët k ( k) u m( k) (t ) = ∑ c mj ( t )w j , (2.26) j =1 ( k) trong ñoù c mj (t ) thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính sau: u&&m( k) (t ) ,w j + a(u m( k) (t ) ,w j ) = F m (t ) ,w j , 1 ≤ j ≤ k , (2.27) u m( k) (0) = u~0 k , u& m( k) (0) = u~1k , (2.28) vôùi k u~0 k = ∑ α (jk) w j → u~0 trong H 2 , (2.29) j =1 k u~1k = ∑ β (jk) w j → u~1 trong H 1 . (2.30) j =1 Töø giaû thieát (2.22), toàn taïi Tm( ) > 0 sao cho baøi toaùn (2.27), (2.28) coù duy nhaát k [ ] k lôøi giaûi u m( ) (t ) treân 0 ,Tm( k) . Caùc ñaùnh giaù sau ñaây trong böôùc 2 cho pheùp ta laáy Tm( ) = T , vôùi moïi k vaø vôùi k moïi m. 12 Böôùc 2 : Ñaùnh giaù tieân nghieäm. k * Trong (2.27) thay wj bôûi u& m( ) (t ) ta coù 1 d ( k) 2 1 d u& (t ) + a(u m( k) (t ), u m( k) (t )) = F m (t ) , u& m( k) (t ) , 2 dt m 2 dt sau ñoù tích phaân theo t ta ñöôïc t p m( k) (t ) = p m( k) (0) + 2 ∫ F m ( τ),u& m( k) ( τ) dτ , (2.31) 0 trong ñoù p m( k) (t ) = u m( k) (t ) + a(u m( k) (t ), u m( k) (t )) . 2 * Trong (2.27) thay wj bôûi − 1 Δw j , khi ñoù λj u&&m( k) (t ), Δw j + a(u m( k) (t ), Δw j ) = F m (t ) , Δw j , hay a(u&&m( k) (t ) ,w j ) + Δu m( k) (t ) , Δw j = a(Fm (t ),w j ) . Thay wj bôûi u& m( k) (t ) trong ñaúng thöùc treân,keát hôïp vôùi (2.18) sau ñoù laáy tích phaân theo t, ta ñöôïc t q m( k) (t ) = a(u& m( k) (t ) ,u& m( k) (t )) + Δu m( k) (t ) = q m( k) (0) + ∫ a(F m ( τ),u& m( k) ( τ))dτ . 2 (2.32) 0 * Ñaïo haøm (2.27) theo t, sau ñoù thay wj bôûi u&&m( k) (t ) ta coù 1 d ( k) 2 1 d u&& (t ) + a(u& m( k) (t ),u& m( k) (t )) = F m′ (t ) ,u&&m( k) (t ) . 2 dt m 2 dt Tích phaân hai veá theo t t rm( k) (t ) = u&&m( k) (t ) + a(u& m( k) (t ), u& m( k) (t )) = r m( k) (0) + 2 ∫ F m′ ( τ) , u&&m( k) ( τ) dτ . 2 (2.33) 0 Töø (2.31)-(2.33) daãn ñeán s m( k) (t ) = p m( k) (t ) + q m( k) (t ) + rm( k) (t ) = s m( k) (0) t t t 0 0 0 +2 ∫ F m ( τ) , u& m( k) ( τ) dτ + 2 ∫ a(F m ( τ ) , u& m( k) ( τ ))dτ + 2 ∫ F m′ ( τ ) , u&&m( k) ( τ ) dτ Caùc tích phaân ôû veá phaûi (2.34) laàn löôït ñöôïc ñaùnh giaù döôùi ñaây. + Tích phaân thöù nhaát Töø (2.19) vaø (2.22) ta coù (2.34) 13 t t t 0 0 0 2 ∫ F m ( τ) , u& m( k) ( τ) dτ ≤ 2 ∫ F m u& m( k) dτ ≤ 2 K 0 ∫ p m( k) ( τ ) dτ . (2.35) + Tích phaân thöù hai Do boà ñeà 2.2 ta coù t t 2 ∫ a(F m ( τ) , u& m( k) ( τ))dτ ≤ 2C1 ∫ F m 0 0 H1 u& m( k) H1 dτ . (2.36) Töø (2.19), (2.20) vaø (2.22) ta tìm ñöôïc Fm 2 = ∇F m H1 2 + F m2 (0 , t ), F m2 (0 ,t ) ≤ K 02 , ∇F m 2 = 1 ∫ ( f x′ + fu′∇u m−1 + f∇′u Δu m−1 + fu&′∇u& m−1 ) 2 dx 0 1 ( 2 2 2 ≤ ∫ f x′ + fu′ + f∇′u + fu&′ 0 ( ≤ 4 K12 1 + u m−1 2 + u& m−1 H2 ≤ 4 K12 (1 + 2 M 2 ). )(1 + ∇u ) 2 2 H1 m−1 2 2 + Δu m−1 + ∇u& m−1 2 )dx Vaäy 2 ∇F m ≤ 4 K12 (1 + 2 M 2 ) . Vaø do ñoù Fm 2 H1 ≤ 4 K12 (1 + 2 M 2 ) + K 02 . (2.37) Töø (2.32), (2.36), (2.37) ta coù t 2 ∫ a(F m , u& m( k) )dτ ≤ 2C1 C0 0 (2 K 1 1 + 2M 2 + K0 )∫ t 0 q m( k) ( τ) dτ . (2.38) + Tích phaân thöù ba Ta coù t t 0 0 2 ∫ F m′ , u&&m( k) dτ ≤ 2 ∫ F m′ u&&m( k) dτ . (2.39) Töø (2.20) vaø (2.22) ta thu ñöôïc F m′ 2 1 = ∫ ( ft′ + fu′u& m−1 + f∇′u ∇u& m−1 + fu&′u&&m−1 ) dx 2 0 ( ≤ 4 K12 1 + u& m−1 ≤ 4 K (1 + 3M 2 1 Do ñoù töø (2.39) ta suy ra 2 2 ). + ∇u& m−1 2 + u&&m−1 2 ) 14 t t 0 0 2 ∫ Fm′ ,u&&m( k) dτ ≤ 4 K1 1 + 3M 2 ∫ rm( k) ( τ) dτ . (2.40) Töø (2.34), (2.35), (2.38), (2.40) ta thu ñöôïc t s m( k) (t ) ≤ s m( k) (0) + K ∫ s m( k) ( τ) dτ , (2.41) 0 trong ñoù K = 2 K0 + 2C1 C0 (2 K 1 ) 1 + 2 M 2 + K0 + 4 K1 1 + 4 M 2 = K( M ,T , f ) . (2.42) Tieáp theo ta ñaùnh giaù soá haïng s m( k) (0) . Ta coù 2 s m( k) (0) = u&&m( k) (0) + 2 a(u~1k , u~1k ) + u~1k 2 + Δu~0 k 2 + a( u~0 k , u~0 k ) . (2.43) Trong (2.27), thay wj bôûi u&&m( k) (t ) , sau ñoù laáy t = 0 ta ñöôïc 2 u&&m( k) (0) − Δu~0 k , u&&m( k) (0) = f ( x,0 , u~0 ,∇u~0 ,u~1 ) , u&&m( k) (0) . Töø ñaây suy ra u&&m( k) (0) ≤ Δu~0 k + f ( x,0 , u~0 ,∇u~0 , u~1 ) . (2.44) Ta suy töø (2.29), (2.30), (2.43), (2.44) raèng toàn taïi moät soá M > 0 ñoäc laäp vôùi k vaø m sao cho s m( k) (0) ≤ M 2 4 , vôùi moïi k vaø m . (2.45) Ta löu yù, vôùi giaû thieát ( H 3 ) , suy ra töø (2.19), (2.20) raèng lim TKi ( M ,T , f ) = 0, i = 0 ,1 . (2.46) T →0 + Keát hôïp (2.42) vaø (2.46),tìm ñöôïc T > 0 sao cho TK( M ,T , f ) ≤ M . (2.47) vaø )⎛⎝ ( kT = 2 1 + 2 ⎜ 1 + 1 ⎞ ⎟ TK1 ( M ,T , f ) < 1 . C0 ⎠ (2.48) Cuoái cuøng ta suy ra töø (2.41), (2.45) raèng s m( k) (t ) ≤ M2 4 t + K ∫ s m( k) ( τ ) dτ, 0 0 ≤ t ≤ Tm( k) . (2.49) Maët khaùc, haøm s(t ) = ( M 2 + K t 2) 2 (2.50) 15 laø lôøi giaûi cöïc ñaïi cuûa phöông trình tích phaân Volterra phi tuyeán sau ñaây treân [0,T] vôùi nhaân khoâng giaûm s (xem [12]). s(t ) = M2 4 t + K ∫ s( τ) dτ, 0 ≤ t ≤ T , (2.51) 0 vaø do ñoù töø (2.49)-(2.51) ta nhaän ñöôïc s m( k) (t ) ≤ s(t ) ≤ M 2 , [ ] ∀t ∈ 0 ,Tm( k) . (2.52) Töø ñaây ta coù Tm( k) = T , vôùi moïi m vaø k vaø ta suy ra töø ñaây raèng u m( k) ∈ W( M ,T ) . (2.53) Böôùc 3 : Qua giôùi haïn { } Töø (2.53), toàn taïi moät daõy con u m( j ) cuûa {u m( k) } vaø toàn taïi um sao cho k u m( j ) → u m trong L∞ ( 0 ,T ; H 2 ) yeáu *, k u& m( j ) → u& m trong L∞ ( 0 ,T ; H 1 ) yeáu *, k (2.54) u&&m( j ) → u&&m trong L∞ ( 0 ,T ; L2 ) yeáu *, k thoûa um ∈W( M ,T ) . (2.55) Töø (2.55) qua giôùi haïn trong (2.27), (2.28) ta coù theå kieåm tra deã daøng raèng um thoûa maõn (2.23), (2.24) trong L∞ (0 ,T ) yeáu *. Ñònh lyù 2.1 chöùng minh hoaøn taát. Ñònh lyù 2.2 ([15]) Giaû söû (H1)-(H3) ñuùng. Khi ñoù toàn taïi M > 0, T > 0 sao cho baøi toaùn (2.1)-(2.3) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu u ∈ W( M ,T ) . Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính {um} xaùc ñònh bôûi (2.2ø2)-(2.24) hoäi tuï maïnh veà lôøi giaûi yeáu u trong khoâng gian W1 (T ) = { u ∈ L∞ ( 0 ,T ; H 1 ) : u& ∈ L∞ ( 0 ,T ; L2 )} . (2.56) Hôn nöõa ta cuõng coù ñaùnh giaù sai soá u m − u L ( 0 ,T ; H ) + u& m − u& L ( 0 ,T ; L ) ≤ CkTm , vôùi moïi m , ∞ 1 ∞ 2 (2.57) trong ñoù 0 < kT < 1 xaùc ñònh bôûi(2.48) vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc T, u0, uù1, vaø kT. Chöùng minh : a/ Söï toàn taïi lôøi giaûi u : Tröôùc heát ta löu yù raèng W1(T) laø khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (xem [11]) 16 u W ( T ) = u L ( 0 ,T ; H ) + u& L ( 0 ,T ; L ) . 1 ∞ 1 ∞ 2 Ta seõ chöùng minh raèng {u m } laø daõy Cauchy trong W1 (T ) . Ñaët vm = u m+1 − u m . Khi ñoù vm thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân sau : vm , v > + a(vm , v) = < F m+1 − F m , v >, ∀v ∈ H 1 , ⎧< && ⎨ ⎩ vm (0) = v& m (0) = 0 . (2.58) Laáy v = u& m trong (2.58) vaø söû duïng giaû thieát (H3), ta suy töø ñònh lyù 2.1, sau khi tích phaân theo t ta coù 2 v& m t + a(vm , vm ) = 2 ∫ F m+1 − F m , v& m dτ 0 ( t ) ≤ 2 1 + 2 K1 ∫ ( v& m−1 + vm−1 0 H1 ) v& m (2.59) dτ Söû duïng boå ñeà 2.2 (ii) vaø (2.59) ta thu ñöôïc 2 v& m + C 0 vm 2 H1 ( ) ≤ 2 1 + 2 K1T vm−1 W1 ( T ) vm W1 ( T ) , ∀t ∈[0 ,T ] . (2.60) Töø (2.60) daãn ñeán vm W1 ( T ) ≤ kT vm−1 W1 ( T ) , vôùi moïi m . (2.61) Vì vaäy u m+ p − u m W1 ( T ) ≤ u1 − u0 W1 ( T ) kTm , vôùi moïi m, p . 1 − kT (2.62) Keát hôïp (2.48) vaø (2.62) ta coù {u m } laø daõy Cauchy trong W1(T), do ñoù toàn taïi u ∈ W1 (T ) sao cho u m → u trong W1 (T ) maïnh . (2.63) Baèng caùch aùp duïngmoät lyù luaän töông töï maø chuùng ta ñaõ söû duïng trong ñònh lyù (2.1), ta coù theå laáy ra moät daõy con u m j cuûa {u m } sao cho { } um j → u trong L∞ ( 0 ,T ; H 2 ) yeáu * , (2.64) u& m → u& trong L∞ ( 0 ,T ; H 1 ) yeáu * , (2.65) u&&m → u&& trong L∞ ( 0 ,T ; L2 ) yeáu * , (2.66) u ∈ W( M ,T ) . (2.67) j j { } Aùp duïng ñònh lyù Riesz-Fischer, töø (2.63), toàn taïi daõy con cuûa u m j −1 vaãn kyù { } hieäu laø u m j −1 sao cho: