Tài liệu Xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN-2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung và các thầy cô ở bộ môn Toán ứng dụng nói riêng đã giảng dạy và dìu dắt tác giả trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Trương Minh Tuyên, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Học viên Nguyễn Thị Thu ii Mục lục Một số ký hiệu và viết tắt 1 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian Hilbert và một số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Phương pháp gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Phương pháp gradient tăng cường . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ gần không giãn 17 2.1. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn . . . . . . . . . . . . 25 Tài liệu tham khảo 34 1 Một số ký hiệu và viết tắt H không gian Hilbert h., .i tích vô hướng trong không gian Hilbert H k.k chuẩn trên không gian Hilbert H I toán tử đồng nhất trên H PC phép chiếu mêtric R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm Rn không gian các số thực n chiều ∩ phép giao ∅ tập rỗng ∀ với mọi x lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T 5f gradient của phiếm hàm khả vi f 2 Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán ... Bài toán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966 trong tài liệu [8]. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu khá chi tiết trong cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" của Kinderlehrer D. và Stampacchia G. xuất bản năm 1980 [10]. Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Có nhiều phương pháp giải đã được đề xuất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động ... Một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán có dạng: Tìm một phần tử x∗ ∈ C = ∩N i=1 Ci , sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó, Ci , i = 1, 2, ..., N là các tập con lồi và đóng trong H. Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt 3 là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng. Ta xem mỗi tập Ci là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric PCi từ H lên Ci , do đó bài toán trên có thể xem như bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn. Ngoài ra, nó cũng đã được nghiên cứu và mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được hay không đếm được ánh xạ không giãn. Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn hay vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert H. Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, cùng với một số bài toán liên quan và một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 2 trình bày lại kết quả của các tác giả Buong N. và Duong L. T. [4] dựa trên phương pháp lặp Mann và phương pháp đường dốc cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn và các kết quả nghiên cứu của Sahu D. R., Kang S. M. và Sagar V. [17] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert thực H. Bên cạnh đó, trong chương này một số ví dụ đơn giản cũng được đề cập nhằm minh họa thêm cho các phương pháp. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này bao gồm 4 mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert thực. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điểm trong không gian hữu hạn chiều, cùng với một số bài toán liên quan. Mục 1.3 trình bày một số phương pháp cơ bản cho bài toán bất đẳng thức biến phân như phương pháp gradient hay gradient tăng cường. Mục 1.4 đề cập đến một số bổ đề quan trọng thường xuyên dùng đến trong chứng minh các kết quả ở chương sau. 1.1. Không gian Hilbert và một số đặc trưng Trong luận văn chúng tôi luôn giả thiết rằng H là không gian Hilbert thực p với tích vô hướng được ký hiệu h., .i và chuẩn được xác định bởi: kxk = hx, xi với mọi x ∈ H. Trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản về hội tụ mạnh, hội tụ yếu, tập lồi, tập đóng, tập compact,... Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu ||xn − x|| → 0 khi n → ∞. Định nghĩa 1.2. Dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, nếu hxn , yi → hx, yi khi n → ∞ với mọi 5 y ∈ H. Chú ý 1.1. a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng. b) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk và xn * x, thì xn → x khi n → ∞. Định nghĩa 1.3. Cho C là một tập con của không gian Hilbert H. Khi đó C được gọi là: a) tập lồi nếu λx + (1 − λ)y ∈ C với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1]; b) tập đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x khi n → ∞, ta đều có x ∈ C; c) tập đóng yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x khi n → ∞, ta đều có x ∈ C; d) tập compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ về một phần tử thuộc C; e) tập compact tương đối nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ; f) tập compact yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ yếu về một phần tử thuộc C; g) tập compact tương đối yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ yếu. Nhận xét 1.1. a) Mọi tập compact đều là tập compact tương đối, nhưng điều ngược lại không đúng. b) Mọi tập đóng yếu đều là tập đóng, nhưng điều ngược lại không đúng. 6 Mệnh đề 1.1. [1] Trong không gian Hilbert H, mọi tập lồi, đóng và bị chặn đều là tập compact yếu. Tiếp theo, chúng tôi trình bày về phép chiếu mêtric trong không gian Hilbert. Mệnh đề 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất PC x ∈ C sao cho kx − PC xk = inf kx − uk. u∈C Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kx − uk. Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao cho u∈C kx − un k −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k 2 un + um 2 k = 2kx − un k + 2kx − um k − 4kx − 2 2 2 2 2 ≤ 2(kx − un k + kx − um k ) − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u = lim un ∈ C. Do chuẩn là hàm số liên tục nên kx − uk = d. Giả sử tồn tại v ∈ C n→∞ sao cho kx − vk = d. Ta có 2 ku − vk = k(x − u) − (x − v)k 2 2 2 = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − u+v 2 k 2 ≤ 0. Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk. Định nghĩa 1.4. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Ánh xạ PC : H −→ C xác định bởi H 3 x 7→ PC x sao cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. 7 Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cho PC : H −→ C là một ánh xạ. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C; b) hy − PC x, x − PC xi ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C; Chứng minh. Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là kx − PC xk = inf u∈C kx − uk. Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt yα = αy + (1 − α)PC x. Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó kx − PC xk ≤ kyα − xk. Điều này tương đương với 2 kx − PC xk ≤ kα(y − PC x) − (x − PC x)k 2 2 2 = α2 ky − PC xk + kx − PC xk − 2αhy − PC x, x − PC xi. Từ đó, ta nhận được 2 2hy − PC x, x − PC xi ≤ αky − PC xk . Cho α −→ 0+ , ta được hy − PC x, x − PC xi ≤ 0. Ngược lại, giả sử b) đúng. Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có kx − PC xk2 = kx − y + y − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − y, y − PC xi + ky − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − PC x, y − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 . Do đó, kx−PC xk = inf u∈C kx−uk, hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0. Khi đó PC x = x + y − hx, ui kuk 2 u. 8 Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:    x nếu kx − ak ≤ R, PC x = R   a + (x − a) nếu kx − ak > R. kx − ak 1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trên không gian hữu hạn chiều Rn và một số bài toán liên quan. Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.1) Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của bài toán và ký hiệu là V I(F, C). Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) được cho bởi định lý dưới đây: Định lí 1.1. Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạ liên tục. Khi đó, bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh. Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C. Khi đó, PC (I − γF ) là một ánh xạ liên tục từ C vào chính nó, với I là ánh xạ đồng nhất trên Rn và γ > 0. Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x∗ ∈ C sao cho PC (x∗ − γF (x∗ )) = x∗ . Theo Mệnh đề 1.3, hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C hay x∗ là nghiệm của bài toán (1.1). Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với một số 9 bài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toán điểm bất động. Hệ phương trình Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phương trình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằng giữa cung và cầu. Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệ phương trình thông qua mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.4. Phần tử x∗ ∈ Rn là nghiệm của bài toán V I(F, Rn ) khi và chỉ khi F (x∗ ) = 0. Chứng minh. Nếu F (x∗ ) = 0, thì hiển nhiên x∗ là một nghiệm của bài toán V I(F, Rn ). Ngược lại, giả sử x∗ là một nghiệm của bài toán V I(F, Rn ), tức là hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, với mọi x ∈ Rn . Chọn x = x∗ − F (x∗ ), ta được −kF (x∗ )k2 = 0, suy ra F (x∗ ) = 0. Bài toán tối ưu Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếm hàm lồi trên C. Xét bài toán sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ ) = min{f (x)|x ∈ C}. (1.2) Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.2) và bất đẳng thức biến phân cổ điển. Mệnh đề 1.5. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) = 5f (x). 10 Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.2). Đặt ϕ(t) = f (x∗ +t(x−x∗ )) với t ∈ [0, 1]. Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0, do đó 0 ≤ ϕ0 (0) = h5f (x∗ ), x−x∗ i, hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) = 5f (x). Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) = 5f (x). Vì f là hàm lồi, nên f (x) ≥ f (x∗ ) + h5f (x∗ ), x − x∗ i, với mọi x ∈ C. Từ đó suy ra f (x) ≥ f (x∗ ) với mọi x ∈ C, hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.2). Bài toán bù Cho F : Rn −→ Rn là một ánh xạ. Bài toán bù phi tuyến trên Rn+ là một hệ bao gồm các phương trình và bất phương trình có dạng sau: Tìm x∗ ≥ 0 sao cho: F (x∗ ) ≥ 0 và hF (x∗ ), x∗ i = 0. (1.3) Khi F là một ánh xạ affine, tức là F (x) = M x + b, với M là ma trận cỡ n × n và b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.3) được gọi là bài toán bù tuyến tính. Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho bởi mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.6. Bài toán V I(F, Rn+ ) và Bài toán (1.3) có cùng tập nghiệm. Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của V I(F, Rn+ ), tức là hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, (1.4) với mọi x ∈ Rn+ . Trong (1.4), thay x bởi x∗ + ei , với i = 1, 2, ..., n và {e1 , e2 , ..., en } là cơ sở chính tắc của Rn , ta được Fi (x∗ ) ≥ 0 với Fi (x∗ ) là tọa độ thứ i của F (x∗ ). Do đó, F (x∗ ) ≥ 0. 11 Trong (1.4), lần lượt thay x bởi 2x∗ và 0, ta nhận được hF (x∗ ), x∗ i ≥ 0, hF (x∗ ), −x∗ i ≥ 0. (1.5) Suy ra hF (x∗ ), x∗ i = 0. Do đó x∗ là một nghiệm của Bài toán (1.3). Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.3). Vì x ∈ Rn+ nên hF (x∗ ), x − x∗ i = hF (x∗ ), xi − hF (x∗ ), x∗ i ≥ 0, hay x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, Rn+ ). Bài toán điểm bất động Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bất đẳng thức biến phân cổ điển. Mệnh đề 1.7. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.1) khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của ánh xạ PC (I − γF ), với mọi γ > 0 và I là ánh xạ đồng nhất trên Rn . Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.3. 1.3. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển trong không gian Rn . Các kết quả trên đã được nghiên cứu và mở rộng trong không gian Hilbert. Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đảng thức biến phân trong không gian Hilbert. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và F : C −→ H là một ánh xạ. Xét bài toán sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C. (1.6) 12 Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và F : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H. • Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0. • Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có: hF (y), x − yi ≥ 0 suy ra hF (x), x − yi ≥ 0. • Ánh xạ F được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ αkx − yk2 . • Ánh xạ F được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ αkF (x) − F (y)k2 . • Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F (x + ty) * F (x) khi t −→ 0+ sao cho với mọi x, y ∈ C. • Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: kF (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk. Nếu L = 1 thì ánh xạ F là một ánh xạ không giãn trên C, tức ánh xạ F thỏa mãn kF (x) − F (y) ≤ kx − yk 13 với mọi x, y ∈ C. Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ F là α-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) trong không gian Hilbert. 1.3.1. Phương pháp gradient Từ Mệnh đề 1.3, tương tự như Mệnh đề 1.7, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.8. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6) nếu và chỉ nếu x∗ = PC (x∗ − λF (x∗ )) (1.7) ở đây λ > 0 là một hằng số. Dựa vào kết quả này, khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh và Lipschitz, năm 1967 Lions J. L. và Stampacchia G. [12] đã đề xuất phương pháp gradient, để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6). Với phương pháp lặp được xác định như sau: x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn )), n = 0, 1, 2... (1.8) Gần đây, Bnouhachem A. và các cộng sự [3] cũng đề xuất một kết quả mới để tìm nghiệm cho bài toán (1.6). Họ xây dựng dãy lặp xác định như sau: x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn+1 )), n = 0, 1, 2... (1.9) và chứng minh được dãy lặp (1.9) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.6). 1.3.2. Phương pháp gradient tăng cường Như đã biết, phương pháp gradient chỉ cho sự hội tụ mạnh khi ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Một số nhà toán học đã áp dụng mở rộng 14 phương pháp gradient tăng cường, được đề xuất bởi Korpelevich G. M. [11], để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6) và đã chứng minh được các phương pháp này hội tụ mạnh khi ánh xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậm chí là giả đơn điệu (xem[15], [16]). Với phương pháp này dãy lặp {xn } được xác định theo công thức sau: x0 = x ∈ C, yn = PC (xn − λF (xn )), (1.10) xn+1 = PC (xn − λF (yn )), n = 0, 1, 2... trong đó λ ∈ (0, 1/L) với L là hằng số liên tục Lipschitz của ánh xạ F và họ đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi (2.2) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.6). Năm 2006, cải tiến phương pháp gradient tăng cường, Nadezhkina N. và Takahashi W. [14] đã đề xuất một phương pháp mới để tìm nghiệm chung cho bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau. Định lí 1.2. [14] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H, F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz trên C. Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(T ) ∩ V I(F, C) 6= ∅. Với x0 tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi: x0 = x ∈ C, yn = PC (xn − λn F (xn )), (1.11) xn+1 = αn xn + (1 − αn )T PC (xn − λn F (yn )), n = 0, 1, 2... trong đó, λn ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1/L) và {αn } ⊂ [c, d], với c, d ∈ (0, 1). Khi đó, các dãy lặp {xn } và {yn } hội tụ yếu tới x∗ ∈ F ix(T ) ∩ V I(F, C), với x∗ = lim PF ix(T )∩V I(F,C) (xn ). n→∞ 15 Cùng với kết quả của Nadezhkina N. và Takahashi W., năm 2006 Zeng L. C. và Yao J. C. [5] cũng có một kết quả khác. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau. Định lí 1.3. [5] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H, F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz trên C. Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ không giãn sao cho F ix(T ) ∩ V I(F, C) 6= ∅. Với x0 tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi x0 = x ∈ C, yn = PC (xn − λn F (xn )), (1.12) xn+1 = αn x0 + (1 − αn )T PC (xn − λn F (yn )), n = 0, 1, 2... trong đó các dãy số {λn } và {αn } thỏa mãn điều kiện sau: i) {λn L} ⊂ (0, 1 − δ) với δ ∈ (0, 1); ii) {αn } ∈ (0, 1), P∞ n=0 αn = ∞ và limn→∞ αn = 0. Khi đó, các dãy {xn } và {yn } hội tụ mạnh tới phần tử PF ix(T )∩V I(F,C) (x0 ) với điều kiện lim kxn − xn+1 k = 0. n→∞ 1.4. Một số bổ đề bổ trợ Để trình bày kết quả chính trong mục này, chúng tôi cần nêu lại một số kết quả bổ trợ sau đây. Bổ đề 1.1. [9] Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó với mọi x, y ∈ H ta có: i) kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi; 16 ii) k(1 − t)x + tyk2 = (1 − t)kxk2 + tkyk2 − t(1 − t)kx − yk2 , với mỗi t ∈ [0, 1]. Bổ đề 1.2. [2] kT λ x − T λ yk ≤ (1 − λτ )kx − yk, với λ ∈ (0, 1) và µ ∈ (0, L2η2 ), p trong đó τ = 1 − 1 − µ(2η − µL2 ) ∈ (0, 1) và T λ x = (I − λµF )x, ∀x ∈ H. Bổ đề 1.3. [13] Cho {xn }n∈N và {zn }n∈N là các dãy bị chặn trong không gian Banach E sao cho xn+1 = (1 − βk )xn + βn zn , với βn ∈ [0, 1], n ≥ 0 và thỏa mãn điều kiện 0 < lim inf βn < lim sup βn < 1. n→∞ n→∞ Giả sử rằng lim sup kzn+1 − zn k − kxn+1 − xn k ≤ 0. n→∞ Khi đó, lim kxn − zn k = 0. n→∞ Bổ đề 1.4. [19] Cho {an } là một dãy số các số thực không âm thỏa mãn tính chất an+1 ≤ (1 − λn )an + λn βn + σn , ∀n ≥ 0 trong đó {λn }, {βn } và {σn } thỏa mãn các điều kiện i) P∞ n=0 λn = ∞; ii) lim supn→∞ βn ≤ 0 hoặc iii) σn ≥ 0, ∀n ≥ 0 và P∞ P∞ n=0 |λn βn | n=0 σn < ∞; < ∞. Khi đó {an } hội tụ đến 0 khi n −→ ∞. Bổ đề 1.5. [7] Cho T là một ánh xạ không giãn trên tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H. Nếu T có ít nhất một điểm bất động thì I −T là demi-đóng.