Tài liệu Xấp xỉ galerkin đối với phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên robinson

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 --------------------------- NGUYỄN THU PHƯƠNG XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:TS. NGUYỄN THÀNH ANH Hà Nội, 2016 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, nơi mà tác giả đã hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình và tâm huyết của các Thầy, Cô. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, người Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình. Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016 Nguyễn Thu Phương 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiêm cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016 Nguyễn Thu Phương 2 MỤC LỤC Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Xấp xỉ Galerkin đối với phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson 12 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Đánh giá sai số của xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc . . . . . . . 14 2.3 2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Ước lượng sai số trong chuẩn L2 . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Ước lượng sai số trong chuẩn H 1 . . . . . . . . . . . 20 Rời rạc hóa thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Bước thời gian cách đều . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Bước thời gian thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Các bài toán biên ban đầu đối với phương trình parabolic là mô hình toán học của nhiều ứng dụng thực tế khác nhau. Giải số của những bài toán đó thường dùng phương pháp phần tử hữu hạn trong không gian. Trong khuôn khổ đề tài luận văn chúng tôi quan tâm đến giải số của các bài toán biên ban đầu đối với phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên không thuần nhất thứ ba (điều kiện biên Robinson). Bởi vậy, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh, tôi đã chọn đề tài: “ Xấp xỉ Galerkin đối với phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson”. Luận văn được hoàn thành dựa trên bài báo [4]:"Galerkin Approximations for the Linear Parabolic Equation with the Third Boundary Condition" của các tác giả I. Faragó, S. Korotov, P. Neittaanmaki, công bố năm 2003. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự hội tụ, các ước lượng sai số của dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin đối với bài toán biên ban đầu đối với phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sự hội tụ, ước lượng sai số trong không gian L2 , H 1 đối với dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin. 4 - Ước lượng sai số đối với nghiệm xấp xỉ rời rạc theo thời gian. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán biên ban đầu đối với phương trình Parabolic với điều kiện biên Robinson trong miền bị chặn. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn không có đóng góp mới về mặt khoa học. 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev Cho Ω là một miền trong Rd (d = 1, 2, 3). ∞ C ∞ (Ω) ={ u : Ω → R khả vi vô hạn } = ∩ C k (Ω). k=0 Cc∞ (Ω) kí hiệu các hàm trong C ∞ (Ω) với giá compact. Lp (Ω) = { u : Ω → R | u là độ đo Lebesgue, kukLp (Ω) < ∞ }, trong đó 1/  p R p , p ≥ 1. |u| dx kukLp (Ω) = Ω Llloc (Ω) = { u : Ω → R| u ∈ Ll (Ω0 ) , ∀Ω0 ⊂⊂ Ω }. Cho trước một đa chỉ số α, kí hiệu ∂ |α| u (x) α1 αn D u (x) = α1 αn = ∂x1 ...∂xn u. ∂x1 ...∂xn α Không gian Sobolev là một lớp không gian được dùng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Để đi đến định nghĩa của lớp không gian này, trước tiên chúng ta phải tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu". 6 Giả sử u là một hàm khả vi. Khi đó với mọi "hàm thử" φ ∈ Cc∞ (Ω), sử dụng công thức tích phân từng phần ta thu được đẳng thức sau Z Z du dφ φ dx = − u dx. Ω dxj Ω dxj Lặp lại quá trình đó |α| lần, tương tự ta có Z Z α |α| D uφ dx = (−1) uDα φ dx Ω Ω với mọi đa chỉ số α. Chúng ta có định nghĩa của đạo hàm yếu như sau: Định nghĩa 1.1.1. Với một hàm u ∈ L1loc (Ω), ta nói rằng v là đạo hàm yếu của u ứng với biến xj , ký hiệu v = Dj u, nếu v ∈ L1loc (Ω) và Z Z dφ dx vφ dx = − u dx j Ω Ω với mọi φ ∈ Cc∞ (Ω). Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao như sau: Định nghĩa 1.1.2. Nếu u, v ∈ L1loc (Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp α của u, viết là v = Dα u, nếu Z Z |α| vφ dx = (−1) uDα φ dx Ω Ω với mọi φ ∈ Cc∞ (Ω). Dựa vào tính chất khả tích của đạo hàm yếu, ta có thể đưa ra định nghĩa của không gian Sobolev. Định nghĩa 1.1.3. Không gian Sobolev được định nghĩa bởi  W r,p (Ω) = u : Dα u ∈ Lp (Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ r , với chuẩn   X k u kW r,p =  0≤|α|≤r 7 k Dα u kpLp (Ω) 1/p   . Không gian Sobolev W r,p (Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach khả ly. Tương tự như không gian L2 (Ω), trong các không gian Sobolev W r,p (Ω), trường hợp p = 2 được dùng nhiều nhất trong các nghiên cứu. Vì lý do đó, sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu chủ yếu không gian W r,2 (Ω) trên cơ sở L2 (Ω). Vì không gian đặc biệt này được dùng thường xuyên hơn các không gian Sobolev khác nên nó có ký hiệu riêng W r,2 (Ω) = H r (Ω). Người ta chọn ký hiệu này vì H r (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau X Z < u, v >H r = Dα uDα vdx. 0≤|α|≤r Ω Khi đó, chuẩn của u ∈ H r (Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định như sau 1/2  k u kr =  X k Dα u k2L2 (Ω)  . 0≤|α|≤r Chúng tôi giới thiệu nửa chuẩn  1/2 X Z |u|r =  |Dm v|2 dx . |m|=r Ω ∞ Định nghĩa 1.1.4. Ta kí hiệu Wr,p 0 (Ω) là bao đóng của Cc (Ω) trong Wr,p (Ω). ∞ Do đó, u ∈ Wr,p 0 (Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm um ∈ Cc (Ω) sao cho um → u trong Wr,p (Ω). r,p α Ta nói Wr,p 0 (Ω) gồm các hàm u ∈ W (Ω) sao cho "D u = 0 trên ∂u" với |α| 6 r − 1. Chú ý: Ta viết H0r (Ω) = Wr,2 0 (Ω) . H −1 (Ω) không gian đối ngẫu của H01 (Ω). 8 Định nghĩa 1.1.5. Giả sử X là một không gian Banach. Không gian Lp (0, T ; X) bao gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với R 1/p T p  kukLp (0,T ;X) := 0 ku (t)kX dt <∞ với 1 6 p < ∞ và  kukL∞ (0,T ;X) := ess sup ku (t)kX < ∞ 06t6T Như vậy, L2 (0, T ; H01 (Ω)) gồm tất cả các hàm đo được u : [0,T] → H01 (Ω) R  12 T 2 với kukL2 (0,T ;H01 (Ω)) := 0 ku(t)kH01 (Ω) dt < ∞. Định nghĩa 1.1.6. Không gian C ([0, T ]; X) bao gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, T ] → X với kukC([0,T ];X) := max ku (t)kX < ∞. 06t6T Định nghĩa 1.1.7. Không gian Sobolev W1,p (0, T ; X) bao gồm tất cả các hàm u ∈ Lp (0, T ; X) sao cho đạo hàm yếu u0 tồn tại và thuộc Lp (0, T ; X). Hơn nữa, kukW1,p (0,T ;X) :=  Z     0 T ku(t)kpX 0 + ku 1/p p (t)kX dt (1 6 p < ∞) ,  0    ess sup (ku(t)kX + ku (t)kX ) (p = ∞) . 06t6T Ta viết H 1 (0, T ; X) = W 1,2 (0, T ; X) . Từ bây giờ chúng ta sử dụng những kí hiệu sau: 9 (·, ·) tích vô hướng trong L2 (Ω) h·, ·i tích vô hướng trong L2 (∂Ω) k·k0,∂Ω chuẩn trong không gian L2 (∂Ω) chúng ta viết k·k thay cho k·k0 Vh không gian con hữu hạn chiều của H 1 (Ω) C k ([0, T ] , H r (Ω)) không gian của k lần ánh xạ khả vi liên tục từ [0, T ] vào H r (Ω) H 1 ((0, T ) , H r (Ω)) không gian ánh xạ đo được từ (0, T ) vào H r (Ω) thuộc H 1 (0, T ) H 1 ((0, T ) , Vh ) không gian ánh xạ đo được từ (0, T ) vào Vh thuộc H 1 (0, T ) Pr (K) 1.2 không gian các đa thức thứ r của miền K Một số bất đẳng thức • Bất đẳng thức Cauchy a2 + b2 . ab ≤ 2 • Bất đẳng thức Cauchy với  ab ≤ a2 + b2 , ( > 0). 4 • Bất đẳng thức Young 1 1 Cho 1 < p, q < ∞, + = 1. Khi đó p q ap bq ab ≤ + , (a, b > 0). p q • Bất đẳng thức Young với  ab ≤ ap + C()bq , (a, b,  > 0). q với C() = (p)− p q −1 10 • Bất đẳng thức Hölder 1 1 Giả sử 1 < p, q < ∞, + = 1. Khi đó nếu u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lq (Ω) thì p q Z |uv|dx ≤ kukLp (Ω) · kvkLq (Ω) . Ω • Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp 1 θ 1−θ Giả sử 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ và = + . Khi đó nếu u ∈ r s t Ls (Ω) ∩ Lt (Ω thì u ∈ Lr (Ω) và kukLr (Ω) ≤ kuktLs (Ω) · kuk1−θ Lt (Ω) . • Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân Cho x(t) là hàm khả tích, không âm trên [0, T ] và thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân x(t) ≤ C1 Zt x(s)ds + C2 0 với C1 , C2 là các hằng số không âm. Khi đó x(t) ≤ C2 1 + C1 eC1 t với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T . 11
CHƯƠNG 2 XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON 2.1 Phát biểu bài toán Giả sử Ω là một miền đa diện bị chặn trong Rd , d = 1, 2, ..., với biên ∂Ω, T > 0. Chúng ta xem xét các phương trình vi phân từng phần dạng parabolic ∂u − div (Agrad u) + b.grad u + cu = f ∂t trong (0, T ) × Ω (2.1) với điều kiện biên không thuần nhất thứ ba αu + ν T Agrad u = g trên (0, T ) × ∂Ω. (2.2) Ở đây, ν là véc tơ pháp tuyến đơn vị bên ngoài của Ω. A = A(x) := (aij (x))di,j=1 , aij = aji với i, j = 1, 2, ..., d b = b(x) := (b1 (x), ..., bd (x)) c = c(x), với x ∈ Ω α = α(s) ≥ 0, s ∈ ∂Ω. Điều kiện ban đầu đưa ra là u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω. Chúng tôi đưa ra các giả thiết sau đây: (H1 ) Ma trận A là xác định dương, nghĩa là (Aη, η) ≥ C0 |η|2 12 (2.3) với ∀η ∈ Rd , C0 là một hằng số dương. (H2 ) Các hệ số aij , bi , c và α là một hàm đo được bị chặn trên Ω và ∂Ω tương ứng, nghĩa là ess sup |aij (x)| , ess sup |bi (x)| , ess sup |c(x)| , ess sup |α(s)| ≤ C1 . x,i,j x,i x s (2.4) (H3 )

f ∈ C [0, T ], L2 (Ω) , g ∈ [0, T ], L2 (∂Ω) , u0 ∈ H 1 (Ω)∩C(Ω) (2.5)
T 1 H ([0, T ], L2 (Ω)) được Định nghĩa 2.1.1. Hàm u ∈ C [0, T ], H 1 (Ω) gọi là nghiệm yếu của bài toán nếu u(·, 0) = u0 và thỏa mãn hệ thức sau: (u0 (t), v) + a(u, v) = F (t; v), ∀v ∈ H 1 (Ω). (2.6) ∂u biểu thị đạo hàm theo thời gian, a(·, ·) là một dạng song ∂t tuyến được xác định bởi ở đây u0 = a(v, w) = (Agrad v, grad w) + (b.grad v + cu, w) + hαv, wi (2.7) và F (t; v) = (f (·, t), v) + hg(·, t), vi . (2.8) Trong luận văn này chúng tôi giả sử rằng bài toán (2.1) − (2.3) có duy nhất nghiệm yếu u. Hơn nữa, chúng tôi giả thiêt rằng nghiệm yếu này
thuộc C k [0, T ], H l (Ω) với k ≥ 1, l ≥ 2 trong mục 2.2 và k ≥ 3, l ≥ 2 trong mục 2.3 Trong phần tiếp theo, dạng a(·, ·) được giả sử xác định dương a(v, v) ≥ C2 kvk21 với mọi v ∈ H 1 (Ω), C2 là hằng số dương. 13 (2.9) Chú ý 2.1.1. Chúng ta chú ý rằng,thông thường dạng song tuyến tính bất đối xứng a(·, ·) không thể đáp ứng điều kiện (2.9). Tuy nhiên,chúng ta có thể chỉ ra rằng nó thỏa mãn, chẳng hạn, trong trường hợp B 2 < 4C0 β , ở d P kbi k2L∞ (Ω) , β := ess inf x c(x) và C0 là hằng số từ điều đây B 2 := i=1 kiện xác định dương của A. Từ (2.4) chúng ta có |a(u, v)| ≤ C3 kuk1 kvk1 . 2.2 (2.10) Đánh giá sai số của xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc Trong phần này chúng tôi phân tích tốc độ của hội tụ đối với xấp xỉ nửa rời rạc của bài toán. 2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ Để cho {Th } là một họ các phép tam giác phân của Ω gồm các phần tử Ki với những tính chất tiêu chuẩn thông thường. Chúng tôi giả sử có không gian con hữu hạn chiều của H 1 (Ω) dưới dạng  Vh = χh ∈ H 1 (Ω) |χh |K ∈ Pl−1 (K) , ∀K ∈ Th . (2.11) Hơn nữa, chúng tôi định nghĩa toán tử của phép chiếu eliptic Ph : H 1 (Ω) → Vh sao cho bất kì v ∈ H l (Ω) được ánh xạ vào Ph v ∈ Vh như vậy hệ thức sau được xác định a (Ph v, χh ) = a (v, χh ) ∀χh ∈ Vh . (2.12) Toán tử này được giới thiệu trong (xem [2],chương 2). Chú ý 2.2.1. Thông thường yêu cầu (xem [3], [10]) không gian con hữu hạn chiều phải thỏa mãn 14 inf {kv − χh k + h kgrad (v − χh )k} ≤ C4 hp kvkp χh ∈Vh (2.13) với v ∈ H p (Ω) , 1 ≤ p ≤ l. Chúng tôi giả sử rằng không gian Vh thỏa mãn kv − Ph vk + h kgrad (v − Ph v)k ≤ C5 hl kvkl (2.14) với v ∈ H l (Ω). Chú ý 2.2.2. Điều kiện (2.14) là điển hình cho không gian hữu hạn chiều, chúng ta tham khảo ví dụ ở [8],[11] cho việc lập các điều kiện khi nó đúng. Chú ý 2.2.3. Với giả thiết rằng, nghiệm yếu u(x, t) của (2.1)−(2.3) thuộc H l (Ω) với bất kì hằng số t ∈ (0, T ), tức là, bằng hệ thức (2.12) chúng tôi có thể xác định hàm số Ph u(t) thuộc Vh với bất kì hằng số t ∈ (0, T ). Vì hệ số của dạng song tuyến tính a (·, ·) không phụ thuộc vào t Chúng tôi thấy rằng dưới điều kiện (2.14) ước lượng sau đúng ∂ ∂ ∂ l u (t) − Ph u (t) ≤ C6 h u (t) . (2.15) ∂t ∂t ∂t l Chúng tôi định nghĩa nghệm Galerkin nửa rời rạc của phương trình (2.1) như một hàm số uh ∈ H 1 ((0, T ), Vh ) thỏa mãn hệ thức (u0h (t) , χh ) + a (uh , χh ) = F (t; χh ) , ∀χh ∈ Vh (2.16) với hầu khắp nơi t ∈ (0, T ). Phần tử uh (0) ∈ Vh xác định bởi
(uh (0) , χh ) = u0 , χh , ∀χh ∈ Vh . (2.17) Chúng ta tìm kiếm uh dưới dạng uh (x, t) = N X zj (t) v j (x), j=1 15 t ∈ (0, T ), x ∈ Ω. (2.18) Ở đây N := dim Vh và v 1 , ..., v N là các hàm cơ sở trong Vh . Sử dụng (2.17) chúng tôi đưa ra một hệ thống các phương trình vi phân thông thường bậc nhất N X j v ,v i
z 0j (t) + j=1 N X

a v j , v i zj (t) = F t; v i , i = 1, ...N . (2.19) j=1 Với các ẩn hàm z1 , ..., zN . Từ (2.17) các điều kiện ban đầu tương ứng được xác định bởi N X

v j , v i zj (0) = u0 , v i , i = 1, ...N . (2.20) j=1 Sử dụng các kí hiệu z(t) = (z1 (t), . . . , zN (t))T , M = ((v i , v j ))N i,j=1 , F(t) = (F ((t; v 1 ), . . . , F (t; v N ))T A = (a(v i , v j ))N i,j=1 và z 0 = ((u0 , v 1 ), . . . , (u0 , v N ))T chúng ta có thể viết lại bài toán Cauchy (2.19) − (2.20) dưới dạng M z 0 (t) + Az(t) = F(t), t ∈ (0, T ), M z(0) = z 0 . (2.21) (2.22) Từ ma trận M đối xứng và xác định dương (tức là khả nghịch) hệ quả sau đây đúng Hệ quả 2.2.1. Bài toán (2.1) − (2.3) có một nghiệm nửa rời rạc duy nhất trong H 1 ((0, T ) , Vh ) theo nghĩa (2.16) − (2.17). 2.2.2 Ước lượng sai số trong chuẩn L2 Định lý 2.2.1. Gọi u và uh tương ứng là nghiệm của (2.6) và (2.16). Nếu ta giả sử rằng ku (0) − uh (0)k ≤ C7 hl , thì với mỗi t ∈ [0, T ], đánh giá sau đúng l ku (t) − uh (t)k ≤ C8 h  1 + ku (0)kl + ku (t)kl + T 16 1/2  ∂ . u (t) sup ∂t 0≤t≤T l (2.23) Chứng minh: Theo (2.6), (2.12) và (2.16) chúng ta có các đẳng thức sau cho tất cả các χh ∈ Vh :     ∂ ∂ [u (t) − Ph u (t)] , χh = F (t, χh ) − a (u (t) , χh ) − Ph u (t) , χh ∂t ∂t   ∂ uh (t) , χh + a (uh (t) , χh ) = ∂t   ∂ −a (Ph u (t) , χh ) − Ph u (t) , χh . ∂t (2.24) Trong hệ thức trên, chúng ta lấy χh = uh − Ph u (thuộc Vh với bất kì t ∈ [0, T ]) và sau đó chúng ta được     ∂ ∂ [u − Ph u] , uh − Ph u = [uh − Ph u] , uh − Ph u ∂t ∂t (2.25) + a (uh − Ph u, uh − Ph u) . Vế trái của (2.25) chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-SchwarzBunhiakovsky và bất đẳng thức |λµ| ≤ (4C2 )−1 λ2 + C2 µ2 (C2 là hằng số từ (2.9), trong đó cho   ∂ ∂ [u − Ph u] , uh − Ph u ≤ [u − P u] h kuh − Ph uk ∂t ∂t 2 1 ∂ [u − Ph u] + C2 kuh − Ph uk2 . ≤ 4C2 ∂t (2.26) Số hạng thứ hai trong vế phải của (2.25) chúng ta nhận được bởi (2.9) là bất đẳng thức sau đúng a (uh − Ph u, uh − Ph u) ≥ C2 kuh − Ph uk21 ≥ C2 kuh − Ph uk2 . (2.27)   ∂ 1d ,ϕ ≡ kϕk2 và từ (2.14), (2.15) và (2.16) chúng tôi thấy rằng Từ ∂t 2 dt 2 d 1 ∂ 2 [u − Ph u] . kuh − Ph uk ≤ (2.28) dt 2C2 ∂t 17 Lấy tích phân (2.28) trong khoảng (0, T ) ta được kuh (t) − Ph u (t)k2 ≤ kuh (0) − Ph u (0)k2 2 ∂ T , + sup [u − P u] h 2C2 0≤t≤T ∂t 0 ≤ t ≤ T, và do đó kuh (t) − Ph u (t)k ≤ kuh (0) − Ph u (0)k   ∂ ∂ T 1/2 . sup u (t) − P u (t) + h 2C2 ∂t 0≤t≤T ∂t (2.29) Sử dụng kết quả của bất đẳng thức trong tam giác ku (t) − uh (t)k ≤ ku (t) − Ph u (t)k + kuh (t) − Ph u (t)k (2.30) và từ (2.14) chúng ta có ku (t) − Ph u (t)k ≤ C5 hl ku (t)kl . Bây giờ xem xét số hạng thứ hai trong vế phải của (2.30) đã được ước lượng trong (2.29) . Từ kuh (0) − Ph u (0)k ≤ kuh (0) − u (0)k + ku (0) − Ph u (0)k ≤ kuh (0) − u (0)k + C5 hl ku (0)kl (2.31) Sử dụng giả thiết của định lý về điều kiện ban đầu, chúng ta ước lượng số hạng đầu tiên của vế phải (2.29) là kuh (0) − Ph u (0)k ≤ C9 hl (1 + ku (0)kt ) . (2.32) Số hạng thứ hai trong vế phải của (2.29) có thể được ước lượng bởi (2.15). Tổng hợp tất cả các ước lượng cần thiết chúng ta hoàn thành điều cần chứng minh. 18 Định lý sau đây cung cấp cho chúng ta thông tin với độ chính xác cao của sai số nửa rời rạc theo thời gian. Định lý 2.2.2. Gọi u và uh tương ứng là nghiệm của (2.6) và (2.16), với t ∈ [0, T ] ước lượng sau đúng
ku (t) − uh (t)k ≤ C10 hl ku (t)kl + e−C2 t ku (0) − uh (0)k + C11 hl ku (0)kl Z t ∂u ds. + C12 hl e−C2 (t−s) (s) ∂t 0 l (2.33) Chứng minh: Từ (2.24) ta có     ∂ ∂ [u − Ph u] , χh = [uh − Ph u] , χh +a (uh − Ph u, χh ) , ∂t ∂t ∀χh ∈ Vh (2.34) Gọi χh = uh − Ph (như (2.25) khi đó (2.34) có nghĩa là     ∂ ∂ [u − Ph u] , uh − Ph u = [uh − Ph u] , uh − Ph u ∂t ∂t (2.35) + a (uh − Ph u, uh − Ph u) . Từ (2.27) chúng ta được a (uh − Ph u, uh − Ph u) ≥ C2 kuh − Ph uk2 . Cũng vậy, đồng nhất thức sau đúng   1d ∂ (uh − Ph u) , uh − Ph u ≡ kuh − Ph uk2 . ∂t 2 dt Vì thế, từ (2.35) chúng ta thấy rằng ∂ [uh − Ph u] · kuh − Ph uk ≥ 1 d kuh − Ph uk2 + C2 kuh − Ph uk2 . ∂t 2 dt (2.36) Từ 1d d kuh − Ph uk2 = kuh − Ph uk · kuh − Ph uk 2 dt dt 19