Tài liệu Xác suất thống kê - PGS-TS Hồ Thanh Phong, Đại học Quốc gia Tp. HCM

Chu’ ong ’ 1 ˜’ ’ VÊ` XÁC SUÂT ´ NHUNG KHÁI NIÊ.M CO’ BAN 1. 1.1 ’ TÚC VÊ ` GIAI ’ HO’ P ’ TÍCH TÔ BÔ . Qui tă´c nhân Gia’ su’’ mô.t công viê.c nào d̄ó d̄u’o.’c chia thành k giai d̄oa.n. Có n1 cách thu.’c hiê.n giai ´ n2 cách thu.’c hiê.n giai d̄oa.n thu´’ hai,...,nk cách thu.’c hiê.n giai d̄oa.n thu´’ d̄oa.n thu´’ nhât, k. Khi d̄ó ta có n = n1 .n2 . . . nk cách thu.’c hiê.n công viê.c. ’ B. Có 3 d̄u’ong ´ buô.c phai ´ C ta băt `’ khác ’ d̄i qua d̄iêm • Vı́ du. 1 Gia’ su’’ d̄ê’ d̄i tu`’ A d̄ên ’ ’ ´ B và có 2 d̄u’ong ´ C. Vâ.y có n = 3.2 cách `’ khác nhau d̄ê d̄i tu`’ B d̄ên nhau d̄ê d̄i tu`’ A d̄ên ’ ´ ` khác nhau d̄ê d̄i tu’ A d̄ên C. A 1.2 B C ’ Chinh ho.’p ` tu’’ (k ≤ n) là mô.t nhóm (bô.) có thu´’ tu.’ ’ ho.’p châ.p k cua ’ n phân 2 D̄i.nh nghi˜a 1 Chinh ` k phân ` tu’’ khác nhau cho.n tu`’ n phân ` tu’’ d̄ã cho. gôm ` tu’’ kı́ hiê.u là Akn . ’ ho.’p châ.p k cua ’ n phân Sô´ chinh ´’ tı́nh:  Công thuc Akn = n! = n(n − 1) . . . (n − k + 1) (n − k)! ’ ho.p gôm ´ cách cho.n mô.t chu’ to.a ` 12 ngu’oi `’ tham du.’. Hoi ’ có mây • Vı́ du. 2 Mô.t buôi và mô.t thu’ ký? ’ Giai ˜ cách cho.n mô.t chu’ to.a và mô.t thu’ ký tu `’ 12 ngu’oi `’ tham du.’ buôi’ ho.p là mô.t Môi ’’ ` tu. ’ ho.’p châ.p k cua ’ 12 phân chinh 1 ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 2 Do d̄ó sô´ cách cho.n là A212 = 12.11 = 132. ´’ các chu˜’ sô´ 0,1,2,3,4,5 có thê’ lâ.p d̄u’o.’c bao nhiêu sô´ khác nhau gôm ` 4 • Vı́ du. 3 Voi ´ chu˜’ sô. ’ Giai ´ d̄âu ` chu˜’ sô´ 0 (0123, 0234,...) không phai ´ ` băng ` 4 chu˜’ sô. ’ là sô´ gôm Các sô´ băt ` tiên phai ’ cho.n trong các chu˜’ sô´ 1,2,3,4,5. Do d̄ó có 5 cách cho.n chu˜’ sô´ Chu˜’ sô´ d̄âu ` tiên. d̄âu ´ có thê’ cho.n tùy ý trong 5 chu˜’ sô´ còn la.i. Có A35 cách cho.n. Ba chu˜’ sô´ kê´ tiêp Vâ.y sô´ cách cho.n là 5.A35 = 5.(5.4.3) = 300 1.3 ’ Chinh ho.’p lă.p ` tu’’ là mô.t nhóm có thu´’ tu.’ gôm ` k ’ ho.’p lă.p châ.p k cua ’ n phân 2 D̄i.nh nghi˜a 2 Chinh ’ ˜ phân ` tu’’ d̄ã cho, trong d̄ó môi ` tu’’ có thê có mă.t 1,2,...,k lân ` trong ` tu’’ cho.n tu`’ n phân phân nhóm. ` tu’’ d̄u’o.’c kı́ hiê.u Bnk . ’ ho.’p lă.p chă.p k cua ’ n phân Sô´ chinh ´’ tı́nh  Công thuc Bnk = nk ´ 5 cuôn ´ sách vào 3 ngăn. Hoi ´ ? ’ có bao nhiêu cách xêp • Vı́ du. 4 Xêp ’ Giai ´ 5 cuôn ´ sách vào 3 ngăn là mô.t chinh ˜ cách xêp ˜ lân ` ’ ho.’p lă.p châ.p 5 cua ’ 3 (Môi Môi ´ 1 cuôn ´ sách vào 1 ngăn xem nhu’ cho.n 1 ngăn trong 3 ngăn. Do có 5 cuôn ´ sách nên xêp ´ ` viê.c cho.n ngăn d̄u’o.’c tiên hành 5 lân). ´ là B35 = 35 = 243. Vâ.y sô´ cách xêp 1.4 Hoán vi. ` tu’’ là mô.t nhóm có thu´’ tu.’ gôm ` d̄u’ mă.t m phân ` ’ m phân 2 D̄i.nh nghi˜a 3 Hoán vi. cua ’ tu’ d̄ã cho. ` tu’’ d̄u’o.’c kı́ hiê.u là Pm . ’ m phân Sô´ hoán vi. cua ´’ tı́nh  Công thuc Pm = m! ´ cách xêp ´ chô˜ ngôi `? ’ có mây • Vı́ du. 5 Mô.t bàn có 4 ho.c sinh. Hoi ’ Giai ´ chô˜ cua ’’ Do d̄ó sô´ ˜ cách xêp ` tu. ’ 4 ho.c sinh o’’ mô.t bàn là mô.t hoán vi. cua ’ 4 phân Môi ´ là P4 = 4! = 24. cách xêp ’ tı́ch tô’ hop 1. Bô’ túc vê` giai .’ 1.5 3 Tô’ ho.’p ` tu’’ (k ≤ n) là mô.t nhóm không phân biê.t ’ n phân 2 D̄i.nh nghi˜a 4 Tô’ ho.’p châ.p k cua ´ ’ ` ` ` ` tu’’ d̄ã cho. thu’ tu.’, gôm k phân tu’ khác nhau cho.n tu’ n phân ` tu’’ kı́ hiê.u là Cnk . ’ n phân Sô´ tô’ ho.’p châ.p k cua ´’ tı́nh  Công thuc Cnk = n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) = k!(n − k)! k!  Chú ý ´’ 0! = 1. i) Qui u’oc k ii) Cn = Cnn−k . k−1 k iii) Cnk = Cn−1 + Cn−1 . ´ trong 25 câu hoi ´’ Hoi ˜ d̄ê` thi gôm ` 3 câu hoi ’ lây ’ cho tru’oc. ’ có thê’ lâ.p • Vı́ du. 6 Môi nên bao nhiêu d̄ê` thi khác nhau ? 3 Sô´ d̄ê`thi có thê’ lâ.p nên là C25 ’ Giai 25! 25.24.23 = = = 2.300. 3!.(22)! 1.2.3 ’ ’ bât ’ hoă.c ´ kỳ môi ˜ thoi ˜ công `’ d̄iêm • Vı́ du. 7 Mô.t máy tı́nh có 16 công. Gia’ su’’ ta.i môi trong su’’ du.ng hoă.c không trong su’’ du.ng nhung ’ có thê’ hoa.t d̄ô.ng hoă.c không thê’ hoa.t ’ trong su’’ du.ng, 4 không ´ ’ có bao nhiêu câu hı̀nh (cách cho.n) trong d̄ó 10 công d̄ô.ng. Hoi trong su’’ du.ng nhung ’ có thê’ hoa.t d̄ô.ng và 2 không hoa.t d̄ô.ng? ’ Giai ’ ´’ ¯Dê xác d̄i.nh sô´ cách cho.n ta qua 3 bu’oc: ’ su’’ du.ng: có C 10 = 8008 cách. ´’ 1: Cho.n 10 công Bu’ oc 16 ’ không trong su’’ du.ng nhung ’ còn ´’ 2: Cho.n 4 công Bu’ oc ’ có thê’ hoa.t d̄ô.ng trong 6 công la.i: có C64 = 15 cách. ’ không thê’ hoa.t d̄ô.ng: có C 2 = 1 cách. ´’ 3: Cho.n 2 công Bu’ oc 2 10 ´ nhân, ta có C16 .C64 .C22 = (8008).(15).(1) = 120.120 cách. Theo qui tăc 1.6 ´’ Newton Nhi. thuc ’ thuc ` d̄ăng ´ các hăng ´’ d̄áng nho´’ O’’ phô’ thông ta d̄ã biêt a + b = a 1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3 ’ thuc ` d̄ăng ´’ trên có thê’ xác d̄i.nh tu `’ tam giác Pascal Các hê. sô´ trong các hăng ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 4 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 1 4 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 ... Cnn−1 Cnn ’ quát sau (Nhi. thuc ´’ minh d̄u’o.’c công thuc ´’ tông ´’ Newton): Newton d̄ã chung (a + b)n = n X Cnk an−k bk k=o = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn (a,b là các sô´ thu.’c; n là sô´ tu.’ nhiên) ´N CÔ´ VÀ QUAN HÊ GIUA ´N CÔ´ ˜’ CÁC BIÊ BIÊ . 2. 2.1 ´ cô´ ’’ và biên Phép thu ` kiê.n co’ ban ’ d̄ê’ quan sát mô.t hiê.n tu’o.’ng nào d̄ó Viê.c thu.’c hiê.n mô.t nhóm các d̄iêu ´ qua’ có thê’ xay ´ cô´ (su.’ ’’ Các kêt ’ ra cua ’ phép thu’’ d̄u’o.’c go.i là biên d̄u’o.’c go.i mô.t phép thu. kiê.n). • Vı́ du. 8 ´ ngua) ’’ ¯Dông ’’ là mô.t ` tiên ` lên là mô.t phép thu. ` tiên ` lâ.t mă.t nào d̄ó (xâp, i) Tung d̄ông ´ cô. ´ biên ´ mô.t phát súng vào mô.t cái bia là mô.t phép thu. ’’ Viê.c viên d̄a.n trúng (trâ.t) ii) Băn ´ ´ bia là mô.t biên cô. 2.2 ´ cô´ và quan hê. giua ´ cô´ ˜’ các biên Các biên i) Quan hê. kéo theo ´ cô´ A d̄u’o.’c go.i là kéo theo biên ´ cô´ B, kı́ hiê.u A ⊂ B, nêu ´ A xay ’ ra thı̀ B xay ’ Biên ra. ii) Quan hê. tu’ ong d̄u’ ong ’ ’ ´ cô´ A và B d̄u’o.’c go.i là tu’ong ´’ nhau nêu ´ A ⊂ B và B ⊂ A, kı́ hiê.u Hai biên ’ d̄u’ong ’ voi A = B. ´ cô´ so’ câp ´ iii) Biên ´ cô´ so’ câp ´ là biên ´ cô´ không thê’ phân tı́ch d̄u’o.’c nua ˜’ d̄u’o.’c nua. Biên ’ ´ chăn ´ ´ cô´ chăc iv) Biên ´ cô´ nhât ´ d̄i.nh sẽ xay ’’ Kı́ hiê.u Ω. ’ ra khi thu.’c hiê.n phép thu. Là biên ´ cô´ và quan hê. giua ´ cô´ ˜’ các biên 2. Biên 5 ´ Biên ´ có sô´ châm ´ cô´ mă.t con xúc xăc ´ bé hon • Vı́ du. 9 Tung mô.t con xúc xăc. ’ 7 là ´ ´ ´ ´ biên cô chăc chăn. ´ cô´ không thê’ v) Biên ´ cô´ nhât ´ d̄i.nh không xay ’’ Kı́ hiê.u ∅. ’ ra khi thu.’c hiê.n phép thu. Là biên ´ cô´ không thê’ ∅ không bao hàm mô.t biên ´ cô´ so’ câp ´ nào, nghi˜a là ⊕ Nhâ.n xét Biên ’ ´ ´ ´ ´ không có biên cô so’ câp nào thuâ.n lo.’i cho biên cô không thê. ´ cô´ ngâu ˜ nhiên vi) Biên ´ cô´ có thê’ xay ’’ Phép thu’’ mà ’ ra hoă.c không xay ’ ra khi thu.’c hiê.n phép thu. Là biên ´ qua’ cua ´ cô´ ngâu ˜ nhiên d̄u’o.’c go.i là phép thu’’ ngâu ˜ nhiên. ’ nó là các biên các kêt ’ ´ cô´ tông vii) Biên ’ cua ´ cô´ C d̄u’o.’c go.i là tông ´ cô´ A và B, kı́ hiê.u C = A + B, nêu ´ C xay ’ hai biên ’ Biên ´ mô.t trong hai biên ´ cô´ A và B xay ’ ra. ra khi và chi’ khi ı́t nhât ´ vào mô.t con thú. Nêu ´ go.i A là biên ´ cô´ ngu’oi `’ tho.’ săn cùng băn `’ • Vı́ du. 10 Hai ngu’oi ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ `’ thu’ hai băn trúng con thú thı̀ C = A+B thu’ nhât băn trúng con thú và B là biên cô ngu’oi ´ ´ ´ là biên cô con thú bi. băn trúng.  Chú ý ’ diên ’ cua ´ cô´ ngâu ´’ da.ng tông ´ cô´ ˜ nhiên A d̄êu ˜ d̄u’o.’c du’oi ` biêu ’ mô.t sô´ biên i) Mo.i biên ’ này d̄u’o’c go.i là các biên ´ nào d̄ó. Các biên ´ cô´ so’ câp ´ trong tông ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho so’ câp . ´ cô´ A. biên ’ cua ´ chăn ´ Ω là tông ´ cô´ chăc ´ cô´ so’ câp ´ có thê,’ nghi˜a là mo.i biên ´ cô´ ’ mo.i biên ii) Biên ´ d̄êu ´ cô´ so’ câp. ´ ` thuâ.n lo.’i cho Ω. Do d̄ó Ω còn d̄u’o.’c go.i là không gian các biên so’ câp ´ Ta có 6 biên ´ cô´ so’ câp ´ A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong • Vı́ du. 11 Tung mô.t con xúc xăc. ´ ´ ´ d̄ó Aj là biên cô xuát hiê.n mă.t j châm j = 1, 2, . . . , 6. ´ cô´ xuât ´ hiê.n mă.t voi ´’ sô´ châm ´ chă˜n thı̀ A có 3 biên ´ cô´ thuâ.n lo.’i là Go.i A là biên A2 , A 4 , A 6 . Ta có A = A2 + A4 + A6 ´ cô´ xuât ´ hiê.n mă.t voi ´’ sô´ châm ´ chia hêt ´ cho 3 thı̀ B có 2 biên ´ cô´ thuâ.n Go.i B là biên lo.’i là A3 , A6 . Ta có B = A3 + A6 ´ cô´ tı́ch viii) Biên ´ cô´ C d̄u’o.’c go.i là tı́ch cua ´ cô´ A và B, kı́ hiê.u AB, nêu ´ C xay ’ hai biên ’ ra khi và Biên ˜ B cùng xay ’ ra. chi’ khi ca’ A lân ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 6 ´ vào mô.t con thú. `’ cùng băn • Vı́ du. 12 Hai ngu’oi ´ tru’o.’t thı̀ ´ tru’o.’t, B là biên ´ cô´ ngu’oi ´ băn ´ cô´ ngu’oi `’ thu´’ hai băn `’ thu´’ nhât Go.i A là biên ´ trúng. ´ cô´ con thú không bi. băn C = AB là biên ´ cô´ hiê.u ix) Biên ´ cô´ A và biên ´ cô´ B, kı́ hiê.u A \ B là biên ´ cô´ xay ’ biên ’ ra khi và chi’ khi A Hiê.u cua ’ ra nhung ’ ra. xay ’ B không xay ´ ´ cô´ xung khăc x) Biên ´ nêu ´ cô´ A và B d̄u’o.’c go.i là hai biên ´ cô´ xung khăc ´ chúng không d̄ông ` thoi `’ Hai biên ’ ’ ra trong mô.t phép thu. xay ’ ` tiên. ` • Vı́ du. 13 Tung mô.t d̄ông ´ cô´ xuât ´ hiê.n mă.t xâp, ´ B là biên ´ cô´ xuât ´ hiê.n mă.t ngua ’’ thı̀ AB = ∅. Go.i A là biên ´ cô´ d̄ôi ´ lâ.p xi) Biên ´ cô´ không xay ´ cô´ A d̄u’o.’c go.i là biên ´ cô´ d̄ôi ´ lâ.p voi ´’ biên ´ cô´ A. Kı́ hiê.u A. ’ ra biên Biên Ta có A + A = Ω, AA = ∅ ⊕ Nhâ.n xét ’ ´’ ´ các biên ´ cô´ tông, ´ lâ.p tu’ong ´’ voi Qua các khái niê.m trên ta thây tı́ch, hiê.u, d̄ôi ’ ung ´ tâ.p ho.’p. Do d̄ó ta có thê’ su’’ du.ng các phép ` bù cua ’ lý thuyêt tâ.p ho.’p, giao, hiê.u, phân ´ cô. ´ toán trên các tâ.p ho.’p cho các phép toán trên các biên ’ d̄ô` Venn d̄ê’ miêu ta’ các biên ´ cô. ´ Ta có thê’ dùng biêu Ω Ω ´ chăn ´ Bc chăc Ω Ω Ω Ω A B A=⇒B AB A+B A B ´ A,B xung khăc A A ´ lâ.p A ¯Dôi ´ 3. Xác suât 7 ´ XÁC SUÂT 3. 3.1 ’ ´ theo lôi ´ cô’ d̄iên D̄i.nh nghi˜a xác suât ´ cô´ d̄ông ` kha’ năng có thê’ xay ’ ra, trong d̄ó 2 D̄i.nh nghi˜a 5 Gia’ su’’ phép thu’’ có n biên ’ ´ ´ ´ ´ ´ cô´ so’ câp ´ ` ’ m biên có m biên cô d̄ông kha’ năng thuâ.n lo.’i cho biên cô A (A là tông cua ` công thuc ´ cua ´ cô´ A, kı́ hiê.u P (A) d̄u’o.’c d̄i.nh nghi˜a băng ´’ sau: ’ biên này). Khi d̄ó xác suât P (A) = `’ ho.’p thuâ.n lo.’i cho A m Sô´ tru’ong = n `’ ho.’p có thê’ xay ’ ra Sô´ tru’ong ´ cân d̄ôi, ´ d̄ông ´ Tı́nh xác suât ´ xuât ´ hiê.n mă.t ` chât. • Vı́ du. 14 Gieo mô.t con xúc xăc chă˜n. ’ Giai ´ cô´ xuât ´ hiê.n mă.t i châm ´ và A là biên ´ cô´ xuât ´ hiê.n mă.t chă˜n thı̀ Go.i Ai là biên A = A2 + A4 + A6 ´ phép thu’’ có 6 biên ´ cô´ so’ câp ´ d̄ông ` kha’ năng có thê’ xay ’ ra trong d̄ó có 3 Ta thây ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho A. biên 3 1 P (A) = = 6 2 ´ cua ` `’ go.i d̄iê.n thoa.i nhung ’ sô´ d̄iê.n thoa.i cân • Vı́ du. 15 Mô.t ngu’oi ’ la.i quên 2 sô´ cuôi ’ ´ d̄ê ngu’oi ˜ nhiên mô.t `’ d̄ó quay ngâu go.i mà chi’ nho´’ là 2 sô´ d̄ó khác nhau. Tı̀m xác suât ´ ` ` lân trúng sô cân go.i. ’ Giai ´ cô´ ngu’oi ˜ nhiên mô.t lân ` trúng sô´ cân ` go.i. `’ d̄ó quay ngâu Go.i A là biên ´ cô´ so’ câp ´ d̄ông ´ là n = A210 = 90. ` kha’ năng có thê’ xay ’ ra (sô´ cách go.i 2 sô´ cuôi) Sô´ biên ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho A là m = 1. Sô´ biên Vâ.y P (A) = 1 . 90 ´ ´ d̄ê’ lây ´ tu`’ hô.p ra d̄u’o.’c • Vı́ du. 16 Trong hô.p có 6 bi trăng, 4 bi d̄en. Tı̀m xác suât i) 1 viên bi d̄en. ´ ii) 2 viên bi trăng. ’ Giai ´ cô´ lây ´ tu ´ cô´ lây ´ tu `’ hô.p ra d̄u’o.’c 1 viên bi d̄en và B là biên `’ hô.p ra 2 Go.i A là biên ´ viên bi trăng. Ta có ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 8 i) P (A) = C41 2 = 1 C10 5 C62 1 ii) P (B) = 2 = C10 3 ´ sao ˜ nhiên tu`’ mô.t cô˜ bài tú lo’ kho’ 52 lá ra 5 lá. Tı̀m xác suât • Vı́ du. 17 Rút ngâu cho trong 5 lá rút ra có a) 3 lá d̄o’ và 2 lá d̄en. ` b) 2 con co, ’ 1 con rô, 2 con chuôn. ’ Giai ´ cô´ rút ra d̄u’o.’c 3 lá d̄o’ và 2 lá d̄en. Go.i A là biên ´ ` B là biên cô´ rút ra d̄u’o.’c 2 con co,’ 1 con rô, 2 con chuôn. 5 ´ cô´ có thê’ xay ’ ra khi rút 5 lá bài là C52 Sô´ biên . 3 2 ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho A là C26 a) Sô´ biên .C26 . P (A) = 3 2 845000 C26 .C26 = = 0, 3251 5 C52 2598960 2 1 2 ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho B là C13 b) Sô´ biên .C13 .C13 P (B) = 2 1 2 79092 C13 .C13 .C13 = = 0, 30432 5 C52 2598960 ´ d̄ê’ có ı́t ` n ngu’oi. `’ Tı̀m xác suât • Vı́ du. 18 (Bài toán ngày sinh) Mô.t nhóm gôn ´ hai ngu’oi `’ có cùng ngày sinh (cùng ngày và cùng tháng). nhât ’ Giai ´ cô´ có ı́t `’ và E là biên ’ n ngu’oi Go.i S là tâ.p ho.’p các danh sách ngày sinh có thê’ cua ´ hai ngu’oi `’ trong nhóm có cùng ngày sinh trong năm. nhât ´ cô´ không có hai ngu’oi ´ kỳ trong nhóm có cùng ngày sinh. `’ bât Ta có E là biên `’ ho.’p cua ’ S là Sô´ các tru’ong n n(S) = |365.365 {z. . . 365} = 365 n `’ ho.’p thuâ.n lo.’i cho E là Sô´ tru’ong n(E) = = = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)] [365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)! (365 − n)! 365! (365−n)! ´ 3. Xác suât 9 ` kha’ năng nên Vı̀ các biên cô´ d̄ông 365! n(E) 365! (365−n)! P (E) = = = n n n(S) 365 365 .(365 − n)! ´ d̄ê’ ı́t nhât ´ có hai ngu’oi `’ có cùng ngày sinh là Do d̄ó xác suât P (E) = 1 − P (E) = 1 − `’ trong nhóm Sô´ ngu’oi n 5 10 15 20 23 30 40 50 60 70 365! (365−n)! 365n = 365! 365n .(365 − n)! ´ có ı́t nhât ´ 2 ngu’oi `’ có cùng ngày sinh Xác suât P (E) 0,027 0,117 0,253 0,411 0,507 0,706 0,891 0,970 0,994 0,999 ’ bài toán ngày sinh Bang ’ có mô.t sô´ ha.n chê: ´ theo lôi ´ cô’ d̄iên ´  Chú ý ¯Di.nh nghi˜a xác suât ´ cô´ so’ câp. ´ ˜’ ha.n các biên i) Nó chi’ xét cho hê. huu ` kha’ năng” cũng xay ’ lúc nào viê.c ”d̄ông ’ ra. ii) Không phai 3.2 ´ theo lôi ´ thông ´ kê D̄i.nh nghi˜a xác suât ´ cô´ A xuât ´ hiê.n m lân. ` Gia’ su’’ biên ` Khi 2 D̄i.nh nghi˜a 6 Thu.’c hiê.n phép thu’’ n lân. m ´ cô´ A và ty’ sô´ d̄u’o.’c go.i là tân ´ xuât ´ hiê.n biên ´ ` sô´ cua ` suât ’ biên d̄ó m d̄u’o.’c go.i là tân n ’’ cô´ A trong loa.t phép thu. ´ xuât ´ hiê.n biên ´ cô´ A dân ` suât ` vê` mô.t sô´ xác Cho sô´ phép thu’’ tăng lên vô ha.n, tân ´ cua ´ cô´ A. ’ biên d̄i.nh go.i là xác suât P (A) = n→∞ lim m n ´ 1000 viên d̄a.n vào bia. Có xâp ´ xi’ 50 viên trúng bia. Khi • Vı́ du. 19 Mô.t xa. thu’ băn ´ trúng bia là 50 = 5%. ´ d̄ê’ xa. thu’ băn d̄ó xác suât 1000 ´’ kha’ năng xuât ´ hiê.n mă.t sâp ´ khi tung mô.t d̄ông ` tiên, ` ngu’oi `’ • Vı́ du. 20 ¯Dê’ nghiên cuu ´ hành tung d̄ông ´ qua’ cho o’’ bang ´’ d̄ây: ` tiên ` nhiêu ` lân ` và thu d̄u’o.’c kêt ’ du’oi ta tiên ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 10 ´ ` Sô´ lân ` d̄u’o.’c Tân ` suât `’ làm Sô´ lân Ngu’oi ´ thı́ nghiê.m tung mă.t sâp f (A) Buyffon 4040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 3.3 ’ hı̀nh ho.c ´ theo quan d̄iêm D̄i.nh nghi˜a xác suât ’ diên ´ cô´ so’ câp ´ Ω d̄u’o.’c biêu ˜ 2 D̄i.nh nghi˜a 7 Xét mô.t phép thu’’ có không gian các biên ´ cô´ A ’’ miên ` hı̀nh ho.c Ω có d̄ô. d̄o (d̄ô. dài, diê.n tı́ch, thê’ tı́ch) huu ˜’ ha.n khác 0, biên boi ’ diên ´ cua ´ cô´ A d̄u’o.’c xác d̄i.nh boi: ˜ boi ’’ miên ` hı̀nh ho.c A. Khi d̄ó xác suât ’’ ’ biên d̄u’o.’c biêu ` A ’ miên Dô d̄o cua P (A) = ¯ . ` Ω ’ miên ¯Dô. d̄o cua ’ OA ta gieo ngâu ’ B và C có to.a d̄ô. tu’ong ˜ nhiên hai d̄iêm • Vı́ du. 21 Trên d̄oa.n thăng ’ ´ ´ ’ ung ’ d̄ô. ’ OB = x, OC = y (y ≥ x). Tı̀m xác suât sao cho d̄ô. dài cua d̄oa.n BC bé hon ’ d̄oa.n OB. dài cua ’ Giai ’ Gia’ su’’ OA = l. Các to.a d̄ô. x và y phai ` kiê.n: ’ mãn các d̄iêu thoa 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y≥x y I Q (*) ’ diên ˜ x và y lên hê. tru.c to.a d̄ô. vuông Biêu ’ có to.a d̄ô. thoa ’ mãn (*) thuô.c góc. Các d̄iêm ’ ´ ´ cô´ chăc tam giác OM Q (có thê xem nhu’ biên ´ chăn). M y=2x O x ’ ` bài toán ta phai ˜’ d̄iêm ’ có y − x < x hay y < 2x (**). Nhung Mă.t khác, theo yêu câu ´ ´ ` có ga.ch. Miên ` thuâ.n lo.’i cho biên cô cân ` tı̀m ’ mãn (*) và (**) thuô.c miên có to.a d̄ô. thoa ´ ` là tam giác OM I. Vâ.y xác suât cân tı́nh p= 1 diê.n tı́ch OM I = diê.n tı́ch OM Q 2 `’ gă • Vı́ du. 22 (Bài toán hai ngu’oi .p nhau) ’ xác d̄i.nh vào khoang ´ 20 gio. `’ he.n gă.p nhau o’’ mô.t d̄i.a d̄ıêm `’ ’ tu`’ 19 gio`’ d̄ên Hai ngu’oi ’ he.n trong khoang ´ chăn ´ sẽ d̄ên) ´ (chăc ´ d̄iêm ˜ ngu’oi `’ d̄ên `’ gian trên mô.t cách d̄ô.c ’ thoi Môi ´ ´ ´ ´ sẽ bo’ d̄i. Tı̀m xác suât ´ `’ kia d̄ên lâ.p voi ’ nhau, cho`’ trong 20 phút, nêu không thây ngu’oi `’ gă.p nhau. d̄ê’ hai ngu’oi ´ 3. Xác suât 11 ’ Giai ’ he.n cua ´ d̄iêm ˜ ngu’oi `’ gian d̄ên `’ ’ môi Go.i x, y là thoi ´ ´ `’ gă.p nhau. Rõ ràng x, y và A là biên cô hai ngu’oi ’ ˜ ’ [19, 20], ta là mô.t d̄iêm ngâu nhiên trong khoang có 19 ≤ x ≤ 20; 19 ≤ y ≤ 20. ’ `’ gă.p nhau thı̀ ¯Dê hai ngu’oi `’ |x − y| ≤ 20 phút = 31 gio. y 20 D A 19 Do d̄ó Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20} 1 A = {(x, y) : |x − y| ≤ } 3 ` 1. ` Ω băng ’ miên Diê.n tı́ch cua ` 1 − 2. 1 . 2 . 2 = ` A băng ’ miên Diê.n tı́ch cua 2 3 3 o 19 20 x 5 9 diên tı́ch A 5/9 Vâ.y P (A) = . = = 0, 555. diê.n tı́ch Ω 1 3.4 sau: ´ theo tiên d̄ê` D̄i.nh nghi˜a xác suât ´ chăn. ´ Go.i A là ho. các tâ.p con cua ´ cô´ chăc ` kiê.n ’ các d̄iêu ’ Ω thoa Gia’ su’’ Ω là biên ´’ Ω. i) A chua ´ A, B ∈ A thı̀ A, A + B, AB thuô.c A. ii) Nêu ´ ’ các tiên d̄ê` i) và ii) thı̀ A d̄u’o.’c go.i là d̄a.i sô. Ho. A thoa ’ và tı́ch vô ha.n A1 + A2 + ´ A1 , A2 , . . . , An , . . . là các phân ` tu’’ cua ’ A thı̀ tông iii) Nêu . . . + An và A1 A2 . . . An . . . cũng thuô.c A. ´ A thoa ´ ` kiê.n i), ii), iii) thı̀ A d̄u’o.’c go.i là σ d̄a.i sô. ’ các d̄iêu Nêu ´ trên (Ω, A) là mô.t hàm P sô´ xác d̄i.nh trên A có giá 2 D̄i.nh nghi˜a 8 Ta go.i xác suât ’ mãn 3 tiên d̄ê` sau: tri. trong [0,1] và thoa i) P (Ω) = 1. ´ ´’ A, B xung khăc). ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi ´ dãy {An } có tı́nh chât ´ A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . và A1 A2 . . . An . . . = ∅ thı̀ iii) Nêu lim P (An ) = 0. n→∞ ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 12 3.5 ´ cu ´ ’ a xác suât Các tı́nh chât ´’ mo.i biên ´ cô´ A i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi ii) P (Ω) = 1 iii) P (∅) = 0 ´ A ⊂ B thı̀ P (A) ≤ P (B). iv) Nêu v) P (A) + P (A) = 1. vi) P (A) = P (AB) + P (AB). ´ ´ ´’ TÍNH XÁC SUÂT MÔ . T SÔ CÔNG THUC 4. 4.1 ´’ cô.ng xác suât ´ Công thuc ´’ 1  Công thuc ´ (AB = ∅). Ta có ´ cô´ xung khăc Gia’ su’’ A và B là hai biên P (A + B) = P (A) + P (B) ´’ minh Chung ´ cô´ d̄ông ´ cô´ ` kha’ năng có thê’ xay ’ ra, trong d̄ó có mA biên Gia’ su’’ phép thu’’ có n biên ´ cô´ A và mB biên ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho biên ´ cô´ B. Khi d̄ó sô´ biên ´ cô´ thuâ.n thuâ.n lo.’i cho biên ´ ´ lo.’i cho biên cô A + B là m = mA + mB . Do d̄ó P (A + B) = mA + mB mA mB = + = P (A) + P (B) n n n 2 D̄i.nh nghi˜a 9 ´ tung ´ cô´ A1 , A2 , . . . , An d̄u’o.’c go.i là nhóm các biên ´ cô´ d̄ây ` d̄u’ xung khăc `’ i) Các biên ’ ´ tung ´ chăn. ´ Ta có ´ chúng xung khăc ´ cô´ chăc `’ d̄ôi và tông cua ’ chúng là biên d̄ôi nêu A1 + A2 + . . . + An = Ω, Ai Aj = ∅ ´ cô´ A và B d̄u’o.’c go.i là hai biên ´ cô´ d̄ô.c lâ.p nêu ´ su.’ tôn ` ta.i hay không tôn ` ii) Hai biên ´ ´ ´ ´ ´ ’ ` ` ’ biên cô này không anh ’ hu’ong ’ biên cô kia. ta.i cua ’ d̄ên su.’ tôn ta.i hay không tôn ta.i cua ´ cô´ A1 , A2 , . . . , An d̄u’o.’c go.i d̄ô.c lâ.p toàn phân ´ môi ´ cô´ d̄ô.c lâ.p ˜ biên ` nêu iii) Các biên ’ ´’ tı́ch cua ´ kỳ trong các biên ´ cô´ còn la.i. ’ mô.t tô ho.’p bât voi 4 Hê. qua’ 1 ´ tung ´ A1 , A2 , . . . , An là biên ´ cô´ xung khăc `’ d̄ôi thı̀ i) Nêu P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An ) ´’ tı́nh xác suât ´ 4. Mot .̂ sô´ công thuc 13 ´ tung ´ A1 , A2 , . . . , An là nhóm các biên ´ cô´ d̄ây ` d̄u’ xung khăc `’ d̄ôi thı̀ ii) Nêu n X P (Ai ) = 1 i=1 iii) P (A) = 1 − P (A). ´’ 2  Công thuc P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) ´’ minh Chung ´ cô´ d̄ông ´ cô´ ` kha’ năng có thê’ xay ’ ra, trong d̄ó có mA biên Gia’ su’’ phép thu’’ có n biên ´ cô´ A, mB biên ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho biên ´ cô´ B và k biên ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho thuâ.n lo.’i cho biên ´ cô´ AB. Khi d̄ó sô´ biên ´ cô´ thuâ.n lo.’i cho biên ´ cô´ A + B là mA + mB − k. biên Do d̄ó P (A + B) = mA mB k mA + mB − k = + − = P (A) + P (B) − P (AB). n n n n 4 Hê. qua’ 2 i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) = n X i=1 (−1)n−1 P (A1 A2 . . . An ). P (Ai ) − X P (Ai Aj ) + i t thı̀ `’ gian” boi Nêu ’ vi. thoi R(t) = P (T > t) ` A và B, nghi˜a là ’ thành phân Go.i PA và PB là d̄ô. tin câ.y cua ´ t d̄on `’ gian), PA = P (A hoa.t d̄ô.ng ı́t nhât ’ vi. thoi ´ t d̄on `’ gian). PB = P (B hoa.t d̄ô.ng ı́t nhât ’ vi. thoi ´ các thành phân ´ là R = pA .pB . ` hoa.t d̄ô.ng d̄ô.c lâ.p thı̀ d̄ô. tin câ.y cua ’ hê. thông Nêu • Vı́ du. 30 ´ cho boi ’’ ’ hê. thông Xét d̄ô. tin câ.y cua ´ A và B trên ` nôi hı̀nh bên. Thành phân ’ ’’ thành phân ` d̄on ’ có thê thay boi d̄inh ’ ´ ` voi ’ d̄ô. tin câ.y pA .pB . Thành phân song ´ C và D có thê’ thay boi ’’ ’ ngăt song cua ´ ´ ngăt d̄on ’ voi ’ d̄ô. tin câ.y 1−(1−pC ).(1− pD ). A ´ song song này là ’ hê. thông ¯Dô. tin câ.y cua 1 − (1 − pA .pB )[1 − (1 − (1 − pC ).(1 − pD ))] B C D ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 18 4.3 ´’ xác suât ´ d̄ây ´’ Bayes ` d̄u ’ và công thuc Công thuc ´’ xác suât ´ d̄ây ` d̄u ’ a) Công thuc ´’  Công thuc ´ tung ´ cô´ d̄ây ´ ` d̄u’ xung khăc `’ d̄ôi và B là biên Gia’ su’’ A1 , A2 , . . . , An là nhóm các biên ’ ´ ´ ’ ’ ra trong phép thu. cô bât kỳ có thê xay ’ Khi d̄ó ta có P (B) = n X P (Ai ).P (B/Ai ) i=1 ´’ minh Chung Vı̀ A1 + A2 + . . . + An = Ω nên B = B(A1 + A2 + . . . + An ) = BA1 + B2 + . . . + BAn ´ tung ´ cô´ A1 , A2 , . . . , An xung khăc ´ cô´ tı́ch BA1 , BA2 , . . ., `’ d̄ôi nên các biên Do các biên ´ `’ d̄ôi. BAn cũng xung khăc tung ´ ta có P (B) = Theo d̄i.nh lý cô.ng xác suât n X P (BAi ). i=1 ´’ nhân xác suât thı̀ P (BAi ) = P (Ai ).P (B/Ai ). Mă.t khác theo công thuc Do d̄ó P (B) = n X P (Ai ).P (B/Ai ). i=1 ´ ta thay d̄iêu ´’ trên còn d̄úng nêu ` kiê.n A1 + A2 + . . . + An = Ω boi ’’  Chú ý Công thuc B ⊂ A1 + A2 + . . . + An . ’ trong d̄ó sô´ san ’ do nhà máy I san ´ chiêm ´ ’ phâm ’ phâm ’ xuât • Vı́ du. 31 Xét mô.t lô san ´ ´ ´ ´ ´ ’ xuât chiêm 30%, nhà máy III san ’ xuât chiêm 50%. Xác suât phê´ 20%, nhà máy II san ’ cua ´ ’ nhà máy I là 0,001; nhà máy II là 0,005; nhà máy III là 0,006. Tı̀m xác suât phâm ’ ´ ngâu ˜ nhiên d̄u’o.’c d̄úng 1 phê´ phâm. d̄ê’ lây ’ Giai ’ lây ’ ´ cô´ san ´ ra là phê´ phâm ’ phâm Go.i B là biên ’ cua ´ cô´ lây ´ d̄u’o.’c san ’ phâm ’ nhà máy I, II, III A1 , A2 , A3 là biên ´ tung ´ cô´ xung khăc `’ d̄ôi. Ta có thı̀ A1 , A2 , A3 là nhóm các biên P (A1 ) = 0, 2; P (B/A1 ) = 0, 001; P (A2 ) = 0, 3; P (B/A2 ) = 0, 005; P (A3 ) = 0, 5 P (B/A3 ) = 0, 006 Do d̄ó P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) + P (A3 ).P (B/A3 ) = 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006 = 0, 0065 ´’ tı́nh xác suât ´ 4. Mot .̂ sô´ công thuc 19 ´ ´’ 4 bi trăng, ´ lân ` lu’o.’t (không hoàn • Vı́ du. 32 Mô.t hô.p chua 3 bi vàng và 1 bi xanh. Lây ’ ´ ´ d̄ê lây ´ d̄u’o.’c 1 bi trăng và 1 bi vàng. la.i) tu`’ hô.p ra 2 bi. Tı̀m xác suât ’ Giai ´ ´ cô´ lây ´ d̄u’o.’c bi trăng, ´ cô´ lây ´ d̄u’o.’c bi vàng. Go.i T là biên V là biên Ta có 4 1 3 = ; P (V ) = ; 8 2 8 3 4 P (V /T ) = ; P (T /V ) = 7 7 ´ và 1 bi vàng là ´ d̄ê’ lây ´ d̄u’o.’c 1 bi trăng Xác xuât P (T ) = 1 3 3 4 3 P (T V ) = P (T ).P (V /T ) + P (V ).P (T /V ) = . + . = . 2 7 8 7 7 ´ 2 Cây xác suât ´ cô. ´ Cây xác suât ´ cung ´’ mô.t dãy nhiêu ` biên ` phép thu’’ chua Trong thu.’c tê´ có nhiêu ´ cho ta mô.t công cu. thuâ.n lo.’i cho viê.c xác d̄i.nh câu ´ trúc các quan hê. bên trong các câp ´ ’ phép thu’ khi tı́nh xác suât. ´ trúc cua ´ d̄u’o.’c xác d̄i.nh nhu’ sau: ’ cây xác suât Câu ’ d̄ô` cây xác suât ´’ các kêt ´ qua’ cua ´ tu’ong ´’ voi ’’ ’ dãy phép thu. i) Vẽ biêu ’ ung ´ voi ´’ môi ˜ xác suât ˜ nhánh. ii) Gán môi ´ sau minh ho.a cho vı́ du. 32. Cây xác suât 3/7 T 1/2 3/8 4/7 V X T V X T V X 1 3 . 2 7 3 4 . 8 7 T V ´’ Bayes b) Công thuc ´’  Công thuc ´ tung ´ cô´ d̄ây ´ ` d̄u’ xung khăc `’ d̄ôi và B là biên Gia’ su’’ A1 , A2 , . . . , An là nhóm các biên ’ ´ ´ ’ ’ ra trong phép thu. cô bât kỳ có thê xay ’ Khi d̄ó ta có P (Ai ).P (B/Ai ) P (Ai /B) = Pn i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) i = 1, 2, . . . , n ´ ˜’ ’ vê` xác suât Chu’ong ’ 1. Nhung khái niêm . co’ ban 20 ´’ minh Chung ´’ xác suât ´ có d̄iêu ` kiê.n ta có Theo công thuc P (Ai /B) = (Ai B) P (Ai ).P (B/Ai ) = P (B) P (B) ´’ xác suât d̄ây ` d̄u’ thı̀ P (B) = Mă.t khác theo công thuc n X P (Ai ).P (B/Ai ). i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) Do d̄ó P (Ai /B) = Pn . i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) ´ máy, trong d̄ó có mô.t • Vı́ du. 33 Gia’ su’’ có 4 hô.p nhu’ nhau d̄u.’ng cùng mô.t chi tiêt ´ xâu, ´ 5 chi tiêt ´ tôt ´ do máy I san ´ còn ba hô.p còn la.i môi ˜ hô.p d̄u.’ng 4 ’ suât; hô.p 3 chi tiêt ´ xâu, ´ 6 chi tiêt ´ tôt ´ do máy II san ´ Lây ´ ngâu ˜ nhiên mô.t hô.p rôi ` tu`’ hô.p d̄ó ’ suât. chi tiêt ´ ´ lây ra mô.t chi tiêt máy. ´ d̄ê’ chi tiêt ´ máy lây ´ ra là tôt. ´ a) Tı̀m xác suât ´’ chi tiêt ´ tôt ´ o’’ câu a, tı̀m xác suât ´ d̄ê’ nó d̄u’o.’c lây ´ ra tu`’ hô.p cua ’ máy I. b) Voi ’ Giai ´ cô´ lây ´ d̄u’o.’c chi tiêt ´ tôt ´ Go.i B là biên ´ ´ ´ ´ máy cua ’ máy I, II A1 , A2 là biên cô lây d̄u’o.’c hô.p d̄u.’ng chi tiêt ´ ´ ´ ` thı̀ A1 , A2 là nhóm các biên cô xung khăc tung ’ d̄ôi. a) P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) 5 P (B/A1 ) = ; 8 1 P (A1 ) = ; 4 Do d̄ó b) P (A1 /B) = 3 P (A2 ) = ; 4 1 5 3 6 97 P (B) = . + . = 4 8 4 10 160 1 5 . P (A1 ).P (B/A1 ) 26 = 4978 = P (B) 97 160 ´ cua ’’ ’ câu a) cho boi * Cây xác suât 5 8 1 4 1 5 . 4 8 I X 6 10 3 4 T T II X 3 6 . 4 10 P (B/A2 ) = 6 10