Vectơ riêng dương của một số ánh xạ tuyến tính dương

  • Số trang: 73 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Huy Vũ VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯƠNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Huy Vũ VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã Số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC Lời cảm ơn Phần mở đầu ..............................................................................................................1 Phần nội dung chính .................................................................................................2 Chương 1 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT DƯƠNG ......3 1.1 Không gian Banach có thứ tự ............................................................................3 1.2 Vecto riêng dương của ánh xạ compact dương .................................................4 Chương 2 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN HỢP .....................17 2.1 Ánh xạ bị chặn, liên tục theo nón. ..................................................................17 2.2 Các định lí về sự tồn tại vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp ..............18 Chương 3 SỰ DUY NHẤT CỦA VECTƠ RIÊNG DƯƠNG ..............................42 Chương 4 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG KHÔNG COMPACT ..............................................................................................57 Phần kết luận ...........................................................................................................68 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................69 Lời cảm ơn Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng gởi đến Thầy TS. Trần Đình Thanh đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn, lòng biết ơn sâu sắc. Xin chân thành tỏ bày lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã dành thời gian quý báo của mình để giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến cho luận văn của tôi. Xin chân thành cảm tạ quý Thầy, Cô khoa Toán – Tin học Trường Đại Học Sư Phạm, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức và hỗ trợ tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập. Tiếp đến xin chân thành cảm tạ quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập. Sau cùng, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung Học Phổ Thông Bình Phú đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được tham dự lớp Cao học tại Trường Đại Học Sư Phạm, Thành Phố Hồ Chí Minh. Xin gửi lời tri ân tất cả các bạn bè đồng nghiệp, các bạn cùng lớp Cao học Giải tích khóa 21, cùng gia đình đã động viên quan tâm đến tôi trong quãng thời gian học tập và làm luận văn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012 Học viên, Trần Huy Vũ 1 Phần mở đầu Vectơ riêng, giá trị riêng của các ánh xạ tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong Lý thuyết về phương trình vi phân, Tích phân, Giải tích hàm, Đại số,… Đặc biệt vectơ riêng dương và giá trị riêng dương của một ánh xạ tuyến tính dương trong không gian Banach có thứ tự tìm được các ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật hiện đại như Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết tối ưu, Lý thuyết về các lò phản ứng,… Sự tồn tại vectơ riêng dương với giá trị riêng dương thỏa mãn một số tính chất đặc biệt của ma trận dương được Perron chứng minh vào năm 1907. Kết quả tương tự được Entz mở rộng cho toán tử tuyến tính với hạch dương vào năm 1912. Các kết quả riêng biệt cho ma trận dương và toán tử tích phân dương đã được Krein và Rutman tổng quát hóa cho ánh xạ tuyến tính compact dương mạnh trong không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón trong những năm 1940. Từ đó đến nay sự tồn tại vectơ riêng dương tiếp tục được nghiên cứu cho nhiều lớp toán tử rộng hơn lớp toán tử compact dương mạnh để có thể ứng dụng vào các bài toán thực tiễn của khoa học và kỹ thuật. Các kết quả về tồn tại vectơ riêng dương của các ánh xạ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả bằng các phương pháp khác nhau trên nhiều bài báo và sách chuyên khảo. Luận văn này được trình bày sau khi thu thập các tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu chúng. Các kết quả được trình bày một hệ thống khoa học thống nhất với các chứng minh chi tiết. 2 Phần nội dung chính Nội dung bản luận văn bao gồm bốn chương: Chương 1. Nhắc lại các kiến thức về nón trong không gian Banach có thứ tự và sự tồn tại vecto riêng dương của ánh xạ compact dương. Chương 2. Trình bày sự tồn tại vecto riêng dương của ánh xạ liên hợp. Chương 3. Giới thiệu về điểm tựa trong, nón Minihedral và sự duy nhất của vecto riêng dương. Chương 4. Trình bày về vecto riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương không compact. 3 Chương 1 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT DƯƠNG 1.1 Không gian Banach có thứ tự Các kiến thức chuẩn bị được nêu dưới đây với các chứng minh chi tiết, được trích từ [1] của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach trên trường số thực, tập K trong không gian X được gọi là nón nếu như: i) K là tập đóng, K ≠ ∅ . ii) K+K ⊂K λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0 iii) K ∩ (− K ) ={θ } Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi nón K được định bởi x ≤ y ⇔ y − x ∈ K. Mỗi x ∈ K \ {θ } được gọi là phần tử dương. Mệnh đề 1.1. Giả sử " ≤ " là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó: a) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X . λ x ≤ λ y, ∀λ ≥ 0. b) Nếu xn ≤ yn , ∀n ∈ * ,lim = xn x,lim = yn y thì x ≤ y. c) Nếu {xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn ≤ x, ∀n ∈ *. Định nghĩa 1.2. Nón K được gọi là nón chuẩn nếu ∃N > 0 : θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y Mệnh đề 1.2. Giả sử " ≤ " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó: 4 1) Nếu u ≤ v thì đoạn u , v := {x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn. 2) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ∈ * ,lim = xn a,lim = zn a thì lim yn = a. 3) Nếu {xn } là dãy đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn = a . Định nghĩa 1.3. Nón K được gọi là nón chính qui trong ( X , ≤) nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên (hay mọi dãy giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ. Mệnh đề 1.3. Nón chính quy là nón chuẩn. Định nghĩa 1.4. Nón K được gọi là nón sinh nếu X= K − K , hay ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v. Mệnh đề 1.4. Nếu K là nón sinh thì tồn tại số M > 0 sao cho: ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v và u ≤ M x , v ≤ M x . Định nghĩa 1.5. Nếu K là nón tựa trong không gian Banach X thì ta định nghĩa nón liên hợp của K là K *= { f ∈ X * : f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ K }. Mệnh đề 1.5. x0 ∈ K ⇔ f ( x0 ) ≥ 0, ∀f ∈ K *. 1.2 Vecto riêng dương của ánh xạ compact dương Nhắc lại: 1. Ánh xạ tuyến tính  : X → X được gọi là ánh xạ compact (hoàn toàn liên tục) nếu B là quả cầu đơn vị đóng trong X thì  ( B ) là tập compact tương đối trong X. 2. Nếu dim  ( X ) < +∞ thì  là ánh xạ compact. 3. λ ∈  thỏa ( − λ I ) là song ánh tuyến tính tư X vào X thì λ được gọi là giá trị chính quy của ánh xạ  .Tập gồm các giá trị chính qui của  được gọi là tập giải của  , ký hiệu là ρ ( ). 4. Tập σ ( ) =  \ ρ ( ) được gọi là phổ của  . 5. = Số r ( ) sup{ λ : λ ∈ σ ( )} được gọi là bán kính phổ của  . 6. λ ∈ K là giá trị riêng của của  nếu có vecto x ≠ θ X sao cho:  ( x ) = λ x, và ta cũng nói x là vecto riêng của  ứng với giá trị riêng λ . 7. Nếu λ là giá trị riêng của  thì λ ∈ σ ( ). 5 8. Không gian Banach thực X có thứ tự sinh bởi nón K . Một ánh xạ tuyến tính  : X → X được gọi là ánh xạ dương nếu ∀x ≥ θ thì  ( x) ≥ θ , và ta cũng nói x là vecto riêng của  ứng với giá trị riêng λ . Định lí 1.1. Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K. Ánh xạ  :X →X là ánh xạ tuyến tính, compact, dương và: ∃u0 = v − w; v, w ∈ K , v ≠ θ ; ∃p ∈ * , ∃α > 0 sao cho  p (u0 ) ≥ α u0 . p Khi đó  có trong K vectơ riêng với giá trị riêng λ ≥ α . Chứng minh. Xét ánh xạ n : K ∩ B (0,1) → K ∩ B (0,1), v n . n ( x) = v  ( x) + n  ( x) + n xác định vì: • n ( x) = 1 •  ( x) + v v v v − =  ( x) ≥ 0 ⇒  ( x) + ≥ ≠ θ ⇒ n ( x) ≥ θ . n n n n Ngoài ra n compact do bởi khi ta lấy dãy {uk }k bị chặn thì ∃{uki }i sao cho { (uki )}i hội tụ. Do đó {n (uki )}i cũng hội tụ. Theo định lí điểm bất động Schauder thì ánh xạ n có điểm bất động, tức là: ∃xn ∈ K : n ( xn ) = xn , xn = 1 v n =x , x = ∃xn ∈ K : 1 . Đặt λn n n = v  ( xn ) + n  ( xn ) + v xn ) + ∃xn ∈ K , ∃λn > 0 :  (= λn x= 1. n , xn n p Chứng minh λn ≥ α .  ( xn ) + v > 0 , lúc đó ta có: n 6 Từ λn xn =  ( xn ) + v v u v ≥ , nên xn ≥ ≥ 0 . n n λn n λn n Gọi tn là số lớn nhất thỏa xn ≥ tnu0 thì tn ≥ Ta có λn xn =  ( xn ) + v ≥  ( xn ) n 1 > 0. λn n suy ra xn ≥ 1 λn  ( xn ), từ đây suy ra  1 2 1  1 2 1 1 2  ( xn ) . A( xn ) ≥    ( xn )  =  ( xn ), nên ta có xn ≥   ( xn )  = 2 λn  λn  λn  λn  λn … tiếp tục quá trình này ta có xn ≥ 1 λnp  p ( xn ), p ∈ * (1.1) Theo tính đơn điệu của ánh xạ dương cho ta: xn ≥ tnu0 tn (u0 ) ⇒  ( xn ) ≥  (tnu0 ) = ⇒  2 ( xn ) ≥ tn . 2 (u0 ) ... ⇒  p ( xn ) ≥ tn p (u0 ) Từ (1.1) và (1.2) suy ra xn ≥ p dẫn đến λn ≥ α Ta có λn =  ( xn ) + (1.2) tn tn tnα λn λn λnp  p (u0 ) ≥ p α u0 nên tn ≥ p , (1.3) { } v nên {λn } bị chặn, do đó ta có ∃ xnk ⊂ {λn }n sao cho: k n p lim λnk= λ ≥ α (do (1.3)) k →∞ Mặt khác  compact và { ( x )} hội tụ về nk i i y∈ X . {xnk }k { } { } bị chặn nên ∃ xnk ⊂ xnk sao cho k i i 7 { } ( ) v λnk xnk , cho nên dãy con xnk Ta có  xnk + = hội tụ về x0 ∈ K \ {θ } và i i i i i n  ( x0 ) = λ x0 . p Vậy  có vectơ riêng dương x0 ứng với giá trị riêng λ ≥ α . Định lí 1.2. Cho không gian Banach X, K là nón compact địa phương. Ánh xạ  : X → X là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương. Khi đó  có vectơ riêng trong K. Chứng minh. K là nón compact địa phương nên V= K ∩ B (θ ,1) là tập compact. Lấy u ∈ K \ {θ } , xét ánh xạ n : V → V= thỏa n ( x) u n , x ∈V . u  ( x) + n  ( x) + Ta có n là xác định, ∀n . Thật vậy: • n ( x) = 1 •  ( x) + u u u u − =  ( x) ≥ 0 ⇒  ( x) + ≥ ≠ θ . Nên n ( x) ≥ 0 n n n n Ta có n là ánh xạ compact. Thật vậy, lấy dãy {xk }k bị chặn Dãy {n ( xk )}k trong V, V compact ,nên ∃{n ( xki )}i hội tụ trong V. { } Tức là tồn tại dãy xki ⊂ { xk }k sao cho {n ( xki )}i hội tụ, ∀n. Theo định lí điểm bất động Schauder thì ánh xạ n có điểm bất động, nên ∃xn ∈ V : n ( xn ) = xn v ⇒ ∃xn ∈ V :  (= xn ) + λn= .xn , λn n Ta có λn =  ( xn ) + u n  ( xn ) + hay λn ≤  ( xn ) + ∃{λnk }k ⊂ {λn }n sao cho lim λnk= λ > 0 . k →∞ u , xn = 1 . n u ≤ u , ∀n hay {λn } bị chặn.Do đó: n 8 lim λn {xnk }k trong V, V compact nên ∃{xnki }i sao cho = i →∞ ki Ta có  ( xn ) + x= 1. 0 và x0 u u = λnk xnk , ∀i . = λn xn , ∀n nên  ( xnk ) + i i i nki n  ( x0 ) λ x0 , x0 ≠ θ .Vậy ánh xạ  có vectơ riêng x0 trong K. Cho i → +∞ , ta có = Hệ quả . Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính dương từ X và X đều có vectơ riêng dương. Chứng minh: E hữu hạn chiều nên B ( x, r ) là tập compact, ∀ B ( x, r ) .Vậy V= K ∩ B ( x, r ) là tập compact, ∀ B ( x, r ) . Định lí 1.3. Cho không gian Banach X. Giả sử rằng: 1) K là nón tựa sinh ( K − K = X) 2)  : X → X là ánh xạ tuyến tính, dương, compact có bán kính phổ là r (= ) λ0 > 0 . Khi đó  có trong K vectơ riêng x0 tương ứng với giá trị riêng λ0 . Chứng minh. Ký hiệu λ1, λ2 ,..., λk là các giá trị riêng của  thỏa λi = λ0 , ∀i= 1, k . Gọi X 0 là k ∞ không gian con sinh bởi tập   Ker (  − λi I ) n =i 1 n= 1 thì X 0 có số chiều hữu hạn. Khi đó ta có: • ( X 0 ) ⊂ X 0 • Phổ của 0 =  X là {λ1, λ2 ,..., λk } và 0 ( K 0 ) ⊂ K 0 , với 0 ∩X , K  =K + iK ={ x + iy : x, y ∈ K } . K 0 =K 0 Ta chứng minh K 0 ≠ {θ } 9 • Ký hiệu X1 là không gian con bù với X 0 theo nghĩa E = E0 ⊕ E1, 1 = | E1 . Ta có phổ của 1 là σ (1 ) = σ ( )  {λ1, λ2 ,..., λk } .Do đó tồn tại số q < λ0 sao cho σ (1 ) ⊂ {λ : λ ≤ q} . • ∀z ∈ X , ∃!u ∈ X 0 , v ∈ X1 : z = u + v u Đặt ánh xạ p : X → X 0 , p ( z ) = − K =   : u= p ( z ) ≠ θ . Do K X nên ∃z0 ∈ K 0 0 • Chọn q1, q2 : q < q1 < q2 < λ0 . Khi n đủ lớn, ta có 1n < q1n ; 0− n < q2− n , nên lim n →∞ 1n ( z0 − u0 ) 0n (u0 ) ≤ lim 0− n 1n n →∞ z 0 − u0 u0 n z −u q  ≤ 0 0 lim  1  = 0. u0 n →∞  q2   n   ( x0 ) Do đó dãy  n   ( x0 )    1  có dãy con hội tụ về phần tử x1 ∈ K 0 , x1 =   Nên K 0 ≠ {θ } . u n . Lấy u ∈ K 0 \ {θ } , Xét n : V → V := K 0 ∩ B (θ ,1) , n ( x) = u  ( x) + n  ( x) + Chứng minh tương tự Định lí 1.2, ta có ánh xạ  có vectơ riêng z0 ∈ K 0 tương ứng với giá trị riêng λ ≥ 0 . Và số λ này là một trong các số λ1, λ2 ,..., λk nên λ = λ0 , suy ra λ = λ0 . Nên  ( z0 ) = λ0 z0 . Giả sử z= 0 x0 + iy0 , ta có  ( x0 + iy0 ) = λ ( x0 + iy0 ); x0 ∈ K , y0 ∈ K ⇒  ( x0 ) + i ( y0 ) = λ0 x0 + iλ0 y0 ⇒  ( x0 ) = λ0 x0 ,  ( y0 ) = λ0 y0 và ít nhất một trong hai phần tử x0 , y0 khác θ . Vậy  có trong K vectơ riêng dương tương ứng giá trị riêng λ0 . 10 Định lí 1.4. Cho không gian Banach X, K-nón. Giả sử rằng: 1)  : X → X là ánh xạ tuyến tính, dương, compact. 2) ∃u ∈ X : −u ∈ K , ∃c > 0, p ∈ * :  p (u ) ≥ c pu . 3) ∀x ∈ X , ∃ dãy (α n ) : α n → 0, d ( n ( x), L( K )) ≤ α n  n ( x) , L( K= ) K −K Khi đó  có trong K vectơ riêng tương ứng giá trị riêng λ0 ≥ c và λ0 = r ( ). Chứng minh. Ký hiệu λ0 là bán kính phổ của  . Ta chứng minh λ0 ≥ c. Giả sử trái lại λ0 < c. Khi đó ∃λ : λ0 < λ < c, suy ra: ∞ 1 ∑ λ m +1  m (u ) hội tụ (do λ ∈ ρ ( ) ) nên lim m →∞ λ m =1 λ Ta có λ   c np 1 m +1  m (u ) = 0 . 1 1 np  1  np np u  np +1  (u )  = np  (u ) ≥ np c u = c λ  c Cho n → ∞, ta có u ≤ 0 . Mâu thuẫn với −u ∈ K . Vậy λ0 ≥ c. Đặt H=: K − K , ta chứng minh bán kính phổ của |H bằng λ0 . Chỉ cần chứng minh: Mọi vectơ riêng của  tương ứng với giá trị riêng λ mà = H + iH . Giả sử  ( x) = λ = λ0 thì chứa trong H x1 + ix2 , λ = λ x, x = λ0 . Khi đó  n ( x) = n ( x1 ) + i n ( x2 ) =λ n x và ∃α n → 0; β n → 0 thỏa: ( ) d (  n ( x2 ); L( K ) ) ≤ β n  n ( x2 ) d  n ( x1 ); L( K ) ≤ α n  n ( x1 )  )) Ta có d ( x= , L( K inf ) y∈L ( K x− y 11 = = = 1 inf λnx − λn y inf λnx − y ' n y∈L ( K ) λ 1 n y '∈L ( K ) λ 1  )) : = d (λ n x, L ( K n λ0 1 λ0 n  )) d ( n ( x), L( K  )) ≤ 1  d ( n ( x ), L( K )) + d ( n ( x ), L( K ))  Ta có d ( x, L( K 1 2  λ0n  ≤ 1  α  n ( x1 ) + β n  n ( x2 )  n  n  λ 0 ≤ 1  α  n ( x) + β n  n ( x)  n  n  λ 0 { Với  n ( x) = max  n ( x1 ) ,  n ( x2 ) = = = 1 λ0 n 1 λ0 n } (α n + β n )  n ( x ) (α n + β n ) λ n x (α n + β n ) x.  )) = 0 ⇔ x ∈ L( K ) = K −K  Cho n → ∞ , ta có d ( x, L( K  . Vậy bán kính phổ của  bằng λ . Nên x ∈ H 0 |H Áp dụng Định lí 1.3, ta có λ0 là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng trong K của ánh xạ  . Định lí 1.5. Cho không gian Banach X, nón K. Giả sử rằng: 1)  : X → X là ánh xạ tuyến tính, dương, hoàn toàn liên tục. λ0 sup{c > 0 : ∃u ∈ K \ {θ },  (u ) ≥ cu} thỏa λ0 > 0 . 2)= Khi đó λ0 là giá trị riêng tương ứng vectơ riêng dương của  . Chứng minh. 12 λ0 . Xét dãy {cn } thỏa cn > 0,  (un ) ≥ cnun , lim cn = n →∞ Theo chứng minh Định lí 1.1, ∃λn ≥ cn , xn ∈ K , xn = 1 sao cho  ( xn ) = λn xn . 1  ( xn ) ≤  , ∀n, nên {λn } bị chặn nên có dãy con hội tụ, có thể xn Khi đó= λn coi λn → λ ' và λ ' ≥ λ0 > 0 . Mặt khác,  là ánh xạ compact nên { ( xn )} có dãy con hội tụ. Nên ta có thể coi xn = 1 λn  ( xn ) → x0 , x0 ≠ θ (vì xn = 1 ). Qua giới hạn ở  ( xn ) = λn xn , ta có  ( x0 ) = λ ' x0 . Ta chứng minh λ ' = λ0 . Ta đã có λ ' ≥ λ0 .Cần chứng minh λ ' ≤ λ0 . Ta có λ ' > 0, x0 ∈ K \ {θ } :  ( x0 ) = λ ' x0 . Nên λ ' ∈ {c > 0, ∃u ∈ K \ {θ }:  (u ) ≥ cu}  ( x0 ) λ0 x0 , x0 ∈ K \ {θ }. Suy ra λ ' ≤ λ0 . Vậy = Định lí 1.6. Cho không gian Banach X, nón K.  : X → X là ánh xạ tuyến tính dương, compact. Khi đó  có vectơ riêng dương ⇔ ∃u > 0 và số µ = inf{λ > 0 : ∃x ≥ u ,  ( x) ≤ λ x} là dương. Chứng minh. Điều kiện cần (⇒) Giả sử  ( x0= ) λ0 x0 , x0 > θ , λ0 > 0. Lấy u = x0 , ta chứng minh nếu x ≥ u ,  ( x) ≤ λ x (*) thì λ ≥ λ0 . Và do đó µ ≥ λ0 nên µ > 0.  ( x0 ) =  (u ) ≤  ( x) ≤ λ x cho Giả sử ∃λ thỏa (*) mà λ < λ0 . Ta có 0 < λ0 x0 = nên λ > 0 . Ta ký hiệu t là số lớn nhất thỏa mãn điều kiện x ≥ tu  ( x) ≤ λ x ⇒ x ≥ 1 λ  ( x) ≥ 1 λ (tu ) = 1 λ (u ) t = 1 λ t λ0u , trong đó Mâu thuẫn tính lớn nhất của t. Do đó phải có λ ≥ λ0 . Điều kiện đủ (⇐) 1 λ thì t ≥ 1 .Từ tλ0 > t. 13 u n . Tập V= K ∩ B (θ ,1) lồi, đóng, bị chặn, xét ánh xạ n : n ( x) = u  ( x) + n  ( x) + Thì n là ánh xạ compact, n (V ) ⊂ V (do Định lí 1.1) Theo định lí điểm bất động Schauder, n có điểm bất động trong V,ta có: u n ∃xn ∈ V : n ( xn ) = xn , hay  ( xn ) += λn xn ,= λn yn nλn xn ≥ u = Đặt (vì λn xn ≥  ( xn ) + u xn 1. ,= n u t), ta có: n  ( yn ) = nλn ( xn ) ≤ nλn (λn xn ) =λn yn . Theo định nghĩa µ ta có λn ≥ µ . Ngoài ra ta còn có λn =  ( xn ) + u u ≤  + , ∀n. n n Vậy {λn } bị chặn nên có dãy con hội tụ, ta có thể coi λn → λ0 ≥ µ . Do  compact nên { ( xn )} có dãy con hội tụ và xn = u 1   ( xn ) +  .  n λn  Nên có thể coi xn → x0 ∈ K \ {θ }. Qua giới hạn ở  ( xn ) + u = λn xn ta có n =  ( x0 ) λ0 x0 , x0 ≠ θ . Vậy  có vectơ riêng dương x0 . Định lí 1.7. Cho không gian Banach X, nón K. Giả sử rằng: 1)  : X → X là ánh xạ tuyến tính dương, compact. 2) λ0 = sup {inf{λ :  ( x) ≤ λ x, ∀x ≥ u}} thỏa λ0 > 0. u >θ Khi đó  có vectơ riêng dương tương ứng giá trị riêng λ0 . Chứng minh. Do định nghĩa của λ0 nên ∃un ∈ K , un ≠ θ : dãy số {µn } , µn = inf{λ :  ( x) ≤ λ x, ∀x ≥ un } thỏa µn → λ0 . Theo Định lí 1.6, ∃xn ∈ K \ {θ }, xn = 1 và λn ≥ µn :  ( xn ) = λn xn , ta có: 14 = λn 1  ( xn ) ⇒ 0 < λn ≤  , ∀n. xn Vậy {λn } bị chặn nên có dãy con hội tụ.Có thể coi λn → λ ' ≥ λ0 . Mặt khác  compact nên { ( xn )} có dãy con hội tụ và xn = 1 λn  ( xn ) . Có thể coi xn → x0 > θ . Qua giới hạn ở  ( xn ) = λn xn ta có  ( x0 ) = λ ' x0 . Chứng minh λ ' = λ0 . Ta đã có λ ' ≥ λ0 . Chứng minh λ ' ≤ λ0 . Đặt u = x0 . Áp dụng phương pháp chứng minh Định lí 1.6, ta có: Từ x ≥ u ,  ( x) ≤ λ x thì λ ≥ λ '. = Vậy µ inf{λ :  ( x) ≤ λ x, x ≥ x0 } ≥ λ '. Do đó λ0 ≥ λ '. Vậy λ ' = λ0 , nên ta có =  ( x0 ) λ0 x0 , x0 ∈ K \ {θ }. Do đó  có vectơ riêng dương ứng với giá trị riêng λ0 . Định lí 1.8. Cho không gian Banach X, nón K và  : X → X là ánh xạ tuyến tính dương, compact. Khi đó  có vectơ riêng dương ⇔ ∃u > 0 sao cho = µ inf{λ > 0 : ∞ 1 ∑ λ m . m −1(u ) hội tụ } là số dương. m =1 Chứng minh. ) λ0 x0 , x0 > θ , λ0 > 0. Điều kiện cần (⇒) . Giả sử  ( x0= (u )  (= x0 ) λ= Lấy u = x0 , ta có = 0 x0 λ0u. Khi đó Nên ∀λ > λ0 > 0 thì chuỗi ∀λ ∈ ( 0, λ0 ) thì chuỗi µ λ0 > 0 . Do đó = ∞ 1 ∑ λ m  m −1(u ) hội tụ. m =1 ∞ 1 ∑ λ m  m −1(u ) phân kỳ. m =1 1 λ m  m −1 λ  (u ) =  0  λ  m −1 u λ . 15 Điều kiện đủ (⇐) Nếu µ > 0 thì bán kính phổ r của ánh xạ |H lớn hơn hay bằng µ , ( H= K − K ). ( x0 ) rx0 , x0 ≠ θ . = Theo Định lí 1.3, tồn tại phần tử x0 sao cho  Định lí 1.9. Cho không gian Banach X, nón K. Giả sử rằng: 1)  : X → X là ánh xạ tuyến tính, dương, compact. ∞   1 . m −1(u) hoäi tuï = 2) λ0 sup inf λ > 0 : ∑ m u >θ  m =1 λ     thỏa λ0 > 0.  Khi đó  có vectơ riêng dương tương ứng giá trị riêng λ0 . Chứng minh. Do định nghĩa của λ0 nên: ∞  1 ∃u0 > θ sao cho inf λ > 0 : ∑ . m −1(u0 ) hoäi tuï m  m =1 λ   là số dương.  Theo Định lí 1.8, ta có ∃x0 > θ , số λ ' ≥ λ0 sao cho  ( x0 ) = λ ' x0 . Ta chứng minh λ ' ≤ λ0 . Đặt u = x0 , xét các số λ sao cho Ta chứng minh λ ≥ λ '. Giả sử λ < λ ', đặt x := ∞ 1 ∞ ∑ 1 m =1 λ m . m (u= ) λ x − u. ⇒  ( x) + u = λ x. Suy ra x ≥ 1 λ .u. Ký hiệu t là số lớn nhất thỏa x ≥ tu thì t ≥ = Khi đó x 1 λ 1 λ 1 1 λ λ ∑ 1 m =1 λ m ∑ λ m . m −1(u ) , m =1 )  ( x= ∞ > 0. [ ( x) + u ] ≥ [ (tu ) + u ] = [tλ ' u + u ] (u )  (= x0 ) λ= ' x0 λ ' u ). (do = . m −1(u) hội tụ. ta có: 16 tλ ' 1 tλ '  tλ ' 1  + > >t Vậy x ≥  +  u , trong đó λ λ λ  λ λ (do λ < λ '; t > 0 ) Mâu thuẫn tính lớn nhất của t. Nên λ ≥ λ '. Do đó:   u >θ     . m −1(u) hoäi tuï  ≥ λ '. Vậy λ ' = λ0 . m m =1 λ  ∞ sup inf λ > 0 : ∑ λ0 = 1 Do đó ta có=  ( x0 ) λ0 x0 , x0 ≠ θ .
- Xem thêm -