Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Về vai trò của toán tử chiếu trong bài toán bất đẳng thức biến phân...

Tài liệu Về vai trò của toán tử chiếu trong bài toán bất đẳng thức biến phân

.PDF
41
214
69

Mô tả:

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M **************** HO€NG THÀ NG…N V— VAI TRÁ CÕA TON TÛ CHI˜U TRONG B€I TON B‡T NG THÙC BI˜N PH…N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - n«m 2015 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M **************** HO€NG THÀ NG…N V— VAI TRÁ CÕA TON TÛ CHI˜U TRONG B€I TON B‡T NG THÙC BI˜N PH…N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: TON GIƒI TCH M¢ sè: 60.46.01.02 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS. TSKH. L– DÔNG M×U Th¡i Nguy¶n - n«m 2015 Líi cam oan i Tæi xin cam oan to n bë nëi dung luªn v«n l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u tham kh£o. C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn v«n ho n to n trung thüc, khæng sao ch²p, tròng l°p vîi b§t k¼ t i li»u n o kh¡c. Håc vi¶n Ho ng Thà Ng¥n Líi c£m ìn ii Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n. Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi GS.TSKH L¶ Dông M÷u, th¦y l  ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï v  ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n. Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc, quþ th¦y, cæ gi¡o trong khoa To¡n, c¡c b¤n håc vi¶n lîp Cao håc To¡n K21B ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng. Qua ¥y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ng÷íi th¥n trong trong gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, kh½ch l» tæi trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nh kho¡ håc. M°c dò câ nhi·u câ g­ng nh÷ng luªn v«n n y v¨n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât v  h¤n ch¸. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa th¦y, cæ v  b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Xin tr¥n trång c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, ng y 14 th¡ng 03 n«m 2015 Håc vi¶n Ho ng Thà Ng¥n iii Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 C¡c ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1. C¡c ki¸n thùc v· khæng gian Hilbert 1.1.1. T½ch væ h÷îng . . . . . . . . . 1.1.2. Khæng gian ti·n Hilbert . . . 1.1.3. Khæng gian Hilbert . . . . . . 1.2. C¡c ki¸n thùc v· tªp lçi, h m lçi . . 1.2.1. Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. H m lçi . . . . . . . . . . . . 1.2.3. C¡c ành l½ t¡ch . . . . . . . . 1.2.4. D÷îi vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 2 . 3 . 3 . 8 . 8 . 10 . 12 . 12 2 Vai trá cõa to¡n tû chi¸u èi vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n iv 2.1. To¡n tû chi¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Sü tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ph÷ìng ph¡p chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 2.3.1. Ph÷ìng ph¡p chi¸u cì b£n . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Ph÷ìng ph¡p ¤o h m t«ng c÷íng . . . . . . . . 16 16 20 20 22 27 28 30 K¸t luªn 33 T i li»u tham kh£o 33 Mð ¦u 1 To¡n tû chi¸u l¶n mët tªp lçi âng l  mët lîp ¡nh x¤ quan trång trong gi£i t½ch, °c bi»t l  gi£i t½ch ùng döng.. Trong khæng gian Hilbert thüc to¡n tû n y luæn tçn t¤i v  câ nhi·u t½nh ch§t °c thò câ thº khai th¡c º nghi¶n cùu v  gi£i quy¸t nhi·u b i to¡n trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷ trong: Lþ thuy¸t tèi ÷u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  b i to¡n c¥n b¬ng. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  mët lîp b i to¡n quan trång câ nhi·u ùng döng trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m, c¡c b i to¡n vªt lþ v  k¾ thuªt công nh÷ trong tèi ÷u ho¡. C¡c h÷îng nghi¶n cùu ch½nh trong b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  sü tçn t¤i nghi»m v  ph÷ìng ph¡p gi£i, trong â ph÷ìng ph¡p düa v o to¡n tû chi¸u v  c¡c ành lþ iºm b§t ëng th÷íng ÷ñc sû döng, ÷ñc tr½ch d¨n chõ y¸u trong c¡c t i li»u [7], [9] . B£n luªn v«n n y nh¬m möc ½ch giîi thi»u vai trá cõa to¡n tû chi¸u trong khæng gian Hilbert v  vi»c ¡p döng lîp b i to¡n n y v o b§t ¯ng bi¸n ph¥n. Cö thº: 1. Sû döng to¡n tû chi¸u k¸t hñp vîi ành lþ iºm b§t ëng Brouwer º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. 2. Giîi thi»u hai ph÷ìng ph¡p düa v o to¡n tû chi¸u º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, â l  ph÷ìng ph¡p chi¸u cì b£n gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u m¤nh câ t½nh Lipschitz v  ph÷ìng ph¡p chi¸u t«ng c÷íng (chi¸u hai l¦n) º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u. 2 Ch÷ìng 1 C¡c ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, ta s³ nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc quan trång l m n·n t£ng º nghi¶n cùu ch÷ìng sau â l  c¡c ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Hilbert v  gi£i t½ch lçi. C¡c nëi dung trong ch÷ìng ÷ñc tr½ch d¨n tø c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3]. 1.1. C¡c ki¸n thùc v· khæng gian Hilbert 1.1.1. T½ch væ h÷îng ành ngh¾a 1.1.1. Cho H l  mët khæng gian vectì tr¶n tr÷íng sè thüc R. T½ch væ h÷îng tr¶n H l  mët ¡nh x¤ x¡c ành nh÷ sau: ., . : H × H → R (x, y) 7→ x, y tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y: 1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 khi v  ch¿ khi x = 0. 2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H. 3. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H. 4. 3 λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, λ ∈ R. x, y ÷ñc gåi l  t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v  y tr¶n H. 1.1.2. Khæng gian ti·n Hilbert ành ngh¾a 1.1.2. C°p H , ., . , trong â H l  mët khæng gian vectì tr¶n tr÷íng sè thüc R, .,. l  mët t½ch væ h÷îng tr¶n H ÷ñc gåi l  khæng gian ti·n Hilbert (hay cán gåi l  khæng gian Unita). ành lþ 1.1 (B§t ¯ng thùc Cauchy- Schwartz). Trong khæng gian ti·n Hilbert H, vîi måi x, y ∈ H ta luæn câ b§t ¯ng thùc sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y . (1.1) D§u b¬ng cõa b§t ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi x, y phö thuëc tuy¸n t½nh. Mèi quan h» giúa chu©n v  t½ch væ h÷îng ÷ñc thº hiºn qua ành l½ sau. ành lþ 1.2. Måi khæng gian ti·n Hilbert H ·u l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, vîi chu©n ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc q x = x, x ∀x ∈ H. (1.2) Chu©n n y ÷ñc gåi l  chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng. Theo ành lþ tr¶n, khæng gian ti·n Hilbert l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, câ thº ¦y õ ho°c khæng ¦y õ. 1.1.3. Khæng gian Hilbert ành ngh¾a 1.1.3. N¸u H l  mët khæng gian ti·n Hilbert v  ¦y õ èi vîi chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng th¼ ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert. V½ dö 1.1. 4 1. Khæng gian R l  khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng n x, y = n X xi yi , i=1 trong â x, y ∈ Rn, x = (x1, · · · , xn), v  chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn , n n X 2 X x = x, x = x . xi xi = i=1 i=1 2. Khæng gian n n o X 2 x < +∞ l = x = {xn }n ∈ K : 2 n=1 l  mët khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng x, y = ∞ X x n yn , n=1 v  chu©n c£m sinh v u∞ 2 uX x x = t n=1 vîi x, y ∈ l2, x = (xn), y = (yn ), n ∈ N. Nh÷ vªy ta câ khæng gian Hilbert l  mët khæng gian Banach. Do â c¡c khæng gian n y câ c¡c t½nh ch§t cõa mët khæng gian ành chu©n v  câ th¶m mët sè t½nh ch§t mîi sau ¥y. ành lþ 1.3. Gi£ sû H l  mët khæng gian ti·n Hilbert. Khi â t½ch væ h÷îng l  mët h m sè li¶n töc tr¶n H × H. ành lþ 1.4. Vîi måi x, y thuëc khæng gian ti·n Hilbert H ta luæn câ ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh sau: x + y 2 + x − y 2 = 2( x 2 + y 2 ). (1.3) 5 p döng ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh cho hai vectì x − y v  x − z ta câ h» qu£ sau. H» qu£ 1.1. Gi£ sû H l  mët khæng gian ti·n Hilbert v  x, y, z ∈ H. Khi â ta câ ¯ng thùc Apollonius: 2 2 y + z + y − z 2 . 2( x − y + x − z ) = 4 x − 2 Nhªn x²t 1.1. 1. ¯ng thùc (1.3) kh¡i qu¡t mët t½nh ch§t quen thuëc trong h¼nh håc: têng c¡c b¼nh ph÷ìng hai ÷íng ch²o cõa mët h¼nh b¼nh h nh b¬ng têng c¡c b¼nh ph÷ìng cõa c¡c c¤nh. V¼ lþ do â nâ câ t¶n l  ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh. 2. ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh công l  i·u ki»n õ º ÷a ÷ñc t½ch væ h÷îng v o khæng gian ành chu©n. Ng÷ñc l¤i n¸u H l  khæng gian ành chu©n, trong â ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh ÷ñc th£o m¢n vîi måi ph¦n tû thuëc H th¼ tr¶n H s³ tçn t¤i mët t½ch væ h÷îng sinh ra chu©n tr¶n khæng gian ành chu©n H, i·u n y ÷ñc thº hi»n qua ành lþ sau. ành lþ 1.5. Gi£ sû H, .  l  mët khæng gian ành chu©n tr¶n tr÷íng K, trong â ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh nghi»m óng vîi måi x, y ∈ H, tùc l :  2 2 2  2 x + y + x − y = 2 x + y . Khi â vîi tr÷íng R ta °t 2 2  1 x, y = p(x, y) = x + y − x − y , 4 mët t½ch væ h÷îng tr¶n H v  ta câ 2 x, x = x , ∀x ∈ H. th¼ ., . l  (1.4) iºm mîi nêi bªt cõa khæng gian Hilbert so vîi khæng gian ành chu©n l  trong khæng gian Hilbert kh¡i ni»m t½ch væ h÷îng bao h m c¡c kh¡i ni»m v· t½nh trüc giao, trüc chu©n. Trong ph¦n sau ¥y chóng ta s³ nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v  mët sè v½ dö li¶n quan. 6 ành ngh¾a 1.1.4. Cho H l  mët khæng gian ti·n Hilbert. 1. Hai ph¦n tû x, y ∈ H ÷ñc gåi l  trüc giao vîi nhau, k½ hi»u l  x⊥y n¸u x, y = 0. 2. Hai tªp A, B ⊂ H ÷ñc gåi l  trüc giao vîi nhau, k½ hi»u l  A⊥B n¸u vîi méi x ∈ A, y ∈ B ta câ x⊥y , tùc l  x, y = 0. 3. Ta nâi ph¦n tû x cõa H trüc giao vîi tªp con A cõa H n¸u vîi ∀y ∈ A ta câ x, y = 0 v  ÷ñc k½ hi»u l  x⊥A. 4. Ph¦n bò trüc giao cõa A ∈ H l  tªp hñp c¡c ph¦n tû tho£ m¢n:  A⊥ = x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ A , n¸u A = {x}, ta vi¸t x⊥ thay cho {x}⊥. 5. Hå O ⊂ H ÷ñc gåi l  h» trüc giao n¸u c¡c ph¦n tû cõa O æi mët trüc giao vîi nhau, tùc l  ∀x, y ∈ O, x 6= y, th¼ x, y = 0. 6. Hå E = {ei} i∈∧ ⊂ H ÷ñc gåi l  h» trüc chu©n n¸u E l  mët h» trüc giao v  ei = 1, ∀ei ∈ E. Nh÷ vªy E = {ei}i∈∧ l  mët h» trüc chu©n n¸u ( 0 n¸u i 6= j ei , ej = 1 n¸u i = j. ành lþ 1.6. N¸u A l  mët tªp hñp trong khæng gian ti·n Hilbert H th¼ A⊥ l  mët khæng gian con âng cõa H. ành lþ 1.7. H» trüc chu©n l  mët h» ëc lªp tuy¸n t½nh, tùc l  måi hå con húu h¤n cõa h» l  ëc lªp tuy¸n t½nh. Ng÷ñc l¤i, tø mët h» ¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû ëc lªp tuy¸n t½nh, ta câ thº x¥y düng ÷ñc mët h» trüc giao theo ph÷ìng ph¡p trüc giao ho¡ Schmidt. M»nh · 1.1. Trong khæng gian ti·n Hilbert H ta luæn câ: 1. N¸u x⊥y th¼ y⊥x, x⊥x khi v  ch¿ khi x = 0. 2. N¸u x⊥y vîi måi y ∈ H th¼ x = 0. 7 3. N¸u x⊥yi, vîi méi i ∈ {1, · · · , n} th¼ x⊥(λ1y1, · · · , λnyn). 4. N¸u x⊥yn vîi måi n v  limn→∞ yn = y th¼ x⊥y. 5. N¸u A trò mªt trong H th¼ M ⊥ = {0}. Tùc l  x⊥M khi v  ch¿ khi x = 0. 6. N¸u x⊥y th¼ x + y 2 = x 2 + y 2, têng qu¡t hìn, n¸u x1, · · · , xn æi mët trüc giao vîi nhau th¼ ta câ ¯ng thùc Pythagore x1 + · · · + xn 2 = x1 2 + · · · + xn 2 Mð rëng ¯ng thùc Pythagore ta câ ành l½ sau. ành lþ 1.8. Cho {xn, n ∈ N } l  h» trüc giao trong H th¼ chuéi ∗ ∞ X xn hëi tö n=1 . khi v  ch¿ khi chuéi ∞ X 2 xn hëi tö. Khi â n=1 ∞ ∞ X 2 X 2 xn . xn = n=1 n=1 °c bi»t, n¸u {en, n ∈ N } l  h» trüc chu©n trong H th¼ chuéi ∗ ∞ X λn en n=1 hëi tö khi v  ch¿ khi chuéi ∞ X 2 λ n hëi tö v  ∞ ∞ X 2 X 2 e n . λn en = n=1 n=1 n=1 ành lþ 1.9. Cho {e1, · · · , en} l  mët h» trüc chu©n trong khæng gian Hilbert H, k½ hi»u A l  khæng gian con sinh bði h» vectì {e1, · · · , en}. Khi â vîi méi x ∈ H ta câ n X y= xi , ei ei l  h¼nh chi¸u trüc giao i=1 cõa x l¶n khæng gian con n X xi , ei 2 ≤ x 2 . A v  i=1 8 1.2. C¡c ki¸n thùc v· tªp lçi, h m lçi Ta nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa gi£i t½ch lçi nh÷ tªp lçi, h m lçi, d÷îi vi ph¥n,. . . trong khæng gian Hilbert H. 1.2.1. Tªp lçi ành ngh¾a 1.2.1. Cho a ∈ H, khi â ta câ c¡c ành ngh¾a sau: 1. Tªp A ÷ñc gåi l  tªp affine n¸u (1 − λ)x + λy ∈ A ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R. 2. Giao cõa t§t c£ c¡c tªp affine chùa tªp A ÷ñc gåi l  bao affine cõa A, v  ÷ñc k½ hi»u l  af f A.  3. Ph¦n trong cõa tªp A, k½ hi»u l  intA = x ∈ H : ∃ > 0, x + B ⊂ A . Ph¦n trong t÷ìng èi cõa tªp A l  ph¦n trong cõa A trong af f A , ÷ñc k½ hi»u l  riA = x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A . ành ngh¾a 1.2.2. Mët tªp A ⊂ H ÷ñc gåi l  tªp lçi n¸u ∀a, b ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] ta câ λa + (1 − λ)b ∈ A. ành ngh¾a 1.2.3. Gi£ sû A ⊂ H, a, b ∈ A. o¤n th¯ng nèi hai iºm a, b ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:  [a, b] = x ∈ A : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1] . Nhªn x²t 1.2. V· m°t h¼nh håc, ành ngh¾a tªp lçi câ ngh¾a r¬ng, n¸u hai iºm b§t k¼ thuëc A, c£ o¤n th¯ng nèi hai iºm §y công n¬m trån trong A. V½ dö 1.2. 1. Tªp réng l  tªp lçi. 2. Tªp ch¿ chùa mët iºm duy nh§t l  tªp lçi. 9 3. Trong m°t ph¯ng hay trong khæng gian 3 chi·u, måi h¼nh quen thuëc nh÷ o¤n th¯ng, h¼nh tam gi¡c, h¼nh chú nhªt, h¼nh hëp chú nhªt, h¼nh trán, h¼nh c¦u . . . ·u l  nhúng tªp lçi. M»nh · 1.2. Ta câ: 1. Tªp lçi âng vîi ph²p giao, ph²p cëng v  ph²p nh¥n vîi mët sè thüc. 2. T½ch · c¡c cõa c¡c tªp lçi l  tªp lçi. 3. Tªp £nh v  t¤o £nh cõa tªp lçi qua ¡nh x¤ tuy¸n t½nh l  tªp lçi. ành ngh¾a 1.2.4. 1. x ∈ H ÷ñc gåi l  tê hñp lçi cõa x1, · · · , xn ∈ H n¸u tçn t¤i λi > 0, i = 1, · · · , n, n X λi = 1 sao cho x = i=1 n X λi xi . i=1 2. Gi£ sû A ⊂ H, giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa A ÷ñc gåi l  bao lçi cõa tªp A v  k½ hi»u l  coA. Giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi âng chùa A ÷ñc gåi l  bao lçi âng cõa tªp A, k½ hi»u l  coA. ành ngh¾a 1.2.5. 1. Tªp K ⊂ H ÷ñc gåi l  nân câ ¿nh t¤i 0 n¸u: ∀x ∈ K, ∀λ > 0, ⇒ λx ∈ K. 2. K ÷ñc gåi l  nân câ ¿nh t¤i x0 n¸u K − x0 l  nân câ ¿nh t¤i 0. 3. Nân K câ ¿nh t¤i 0 ÷ñc gåi l  nân lçi n¸u K l  mët tªp lçi, tùc l : ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 ⇒ λa + µy ∈ K. ành ngh¾a 1.2.6. Vectì x∗ ∈ H∗ ÷ñc gåi l  ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi A t¤i x0 ∈ A n¸u ∗ x , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ A. Tªp t§t c£ c¡c vectì ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi A t¤i x0 ∈ A ÷ñc gåi l  nân ph¡p tuy¸n cõa A t¤i x0, k½ hi»u l   NA (x0 ) = x∗ ∈ H∗ : x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ A . 10 1.2.2. H m lçi Gi£ sû A ∈ H l  tªp lçi kh¡c réng v  ¡nh x¤ f : A → R ∪ {+∞}. ành ngh¾a 1.2.7. 1. Tr¶n ç thà cõa h m f , k½ hi»u l  epif , ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:  epif = (x, r) ∈ A × R : f (x) ≤ r . 2. Mi·n húu hi»u (mi·n x¡c ành) cõa h m f , k½ hi»u l  domf , ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:  domf = x ∈ A : f (x) < +∞ . 3. H m f ÷ñc gåi l  ch½nh th÷íng n¸u domf 6= ∅ v  f (x) > −∞, vîi måi x ∈ A. 4. H m f ÷ñc gåi l  h m lçi tr¶n A n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1]. 5. H m f ÷ñc gåi l  h m lçi ng°t tr¶n A n¸u f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1]. 6. H m f ÷ñc gåi l  h m lçi m¤nh tr¶n A vîi h» sè α > 0 n¸u 2 1 f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)α x − y 2 vîi måi x, y ∈ A, måi λ ∈ [0, 1]. 7. H m f ÷ñc gåi l  h m lãm (t÷ìng ùng lãm ng°t, lãm m¤nh vîi h» sè α > 0) tr¶n A n¸u −f l  h m lçi (t÷ìng ùng lçi ng°t, lçi m¤nh vîi h» sè α > 0) tr¶n A. V½ dö 1.3. 1. H m affine f (x) = mët h m lçi. a, b + α, vîi ∀ a ∈ H∗, ∀ b ∈ H, ∀α ∈ R l  2. H m chu©n 11 q f (x) = x = x, x , ∀x ∈ Rn l  mët h m lçi. Ta câ m»nh · v· c¡c ph²p to¡n èi vîi c¡c h m lçi. Ph¦n chùng minh ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a. M»nh · 1.3. Cho f1, · · · , fn l  c¡c h m lçi ch½nh th÷íng. Khi â c¡c h m sau l  h m lçi: 1. n X  fi (x) = f1 + · · · + fn (x). i=1 2. n M fi = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ) : xi ∈ H,  n X xi = x . x=1 i=1 º kiºm tra t½nh lçi cõa mët h m sè kh£ vi ta câ m»nh · sau. K½ hi»u ∇f (x) l  ¤o h m cõa f t¤i x. M»nh · 1.4. Gi£ sû A ⊆ H v  f : A → H l  h m kh£ vi, ∇f li¶n töc. Khi â f l  h m lçi khi v  ch¿ khi: f (x) − f (y) ≤ ∇f (x), x − y , vîi måi x, y ∈ A. M»nh · 1.5. Gi£ sû fα, α ∈ I l  c¡c h m lçi tr¶n H. Khi â cªn  tr¶n cõa c¡c h m fα l  h m lçi. K½ hi»u l  ∨α∈I fα (x) = sup fα(x) α∈I ành ngh¾a 1.2.8. H m f : H → R ÷ñc gåi l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x0 ∈ H, n¸u tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0, tçn t¤i sè K > 0 sao cho |f (x) − f (x0 )| ≤ K x − x0 ∀x, y ∈ U. (1.6) H m f ÷ñc gåi l  Lipschitz àa ph÷ìng tr¶n tªp A ⊂ H, n¸u f Lipschitz àa ph÷ìng t¤i måi x ∈ A. H m f ÷ñc gåi l  Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz K tr¶n tªp A ⊂ H, n¸u (1.6) óng vîi måi x, x0 ∈ A. 12 Mèi quan h» giúa h m lçi v  h m Lipschitz àa ph÷ìng ÷ñc thº hi»n qua ành l½ sau. ành lþ 1.10. N¸u f l  h m lçi v  bà ch°n tr¶n trong mët l¥n cªn cõa x ∈ H th¼ f l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x. 1.2.3. C¡c ành l½ t¡ch ành ngh¾a 1.2.9. Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert, H∗ l  khæng gian li¶n hñp cõa H. L§y x∗ ∈ H∗, x∗ 6= 0, α ∈ R, ta câ  H(x∗ , α) = x ∈ H : x∗ , x = α ÷ñc gåi l  mët si¶u ph¯ng trong H. ành ngh¾a 1.2.10. Cho hai tªp A, B ∗ ∈ H, ta nâi r¬ng si¶u ph¯ng H(x , α) : 1. t¡ch hai tªp A v  B n¸u x∗, a ≤ α ≤ x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B. 2. t¡ch ng°t hai tªp A v  B n¸u x∗, a < α < x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B. 3. t¡ch m¤nh hai tªp A v  B n¸u sup x∗ , a < α < inf x∗ , b . b∈B a∈A ành lþ 1.11 (ành l½ t¡ch thù nh§t). Cho A v  B l  hai tªp lçi kh¡c réng trong khæng gian Hilbert H, A ∩ B = ∅. Khi â câ mët si¶u ph¯ng t¡ch A v  B . ành lþ 1.12 (ành l½ t¡ch thù hai). Cho A v  B l  hai tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert H v  A ∩ B = ∅. Trong â câ ½t nh§t mët tªp l  compact. Khi â, mët si¶u ph¯ng câ thº t¡ch m¤nh hai tªp A v  B . 1.2.4. D÷îi vi ph¥n ành ngh¾a 1.2.11. Gi£ sû f l  h m lçi tr¶n H. ¤o h m cõa h m f theo ph÷ìng d t¤i x0, k½ hi»u l  f 0 (x0 , d) = lim λ↓0 f (x0 + λd) − f (x0 ) λ 13 n¸u giîi h¤n n y tçn t¤i (câ thº húu h¤n ho°c b¬ng ±∞). Nhªn x²t 1.3. H m f 0(x0, d) l  h m thu¦n nh§t d÷ìng. ành ngh¾a 1.2.12. Gi£ sû f l  h m lçi tr¶n H.Phi¸m h m x∗ ∈ H ÷ñc gåi l  d÷îi gradient cõa h m f t¤i x ∈ H n¸u f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x ∀x ∈ H. ành ngh¾a 1.2.13. Tªp t§t c£ d÷îi gradient cõa f t¤i x ÷ñc gåi l  d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x, k½ hi»u l  ∂f (x), tùc l   ∂f (x) = x∗ ∈ H : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , ∀x ∈ H}. ành ngh¾a 1.2.14. H m f ÷ñc gåi l  kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x, n¸u ∂f (x) 6= 0. V½ dö 1.4. Cho A l  mët tªp lçi kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H. X²t h m ch¿ tr¶n tªp A ( ∂A(x) = 0 +∞ n¸u x ∈ A n¸u x 6∈ A. Khi â d÷îi vi ph¥n cõa h m ch¿ cõa A t¤i x ∈ A l  nân ph¡p tuy¸n cõa A t¤i x. ành lþ 1.13. Gi£ sû f l  h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n H v  λ > 0. Khi â vîi måi x ∈ H ∂(λf )(x) = λ∂f (x). ành lþ 1.14 (Moreau- Rockafellar). Cho f v  g l  hai h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n A, gi£ sû r¬ng f li¶n töc t¤i x ∈ dom g. Khi â ta câ ∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x), vîi måi x ∈ A. Chùng minh. • ∂(f + g)(x) ⊇ ∂f (x) + ∂g(x). Ta l§y x∗1 ∈ ∂f (x), x∗2 ∈ ∂g(x). Gi£ sû x∗1 + x∗2 ∈ ∂f (x) + ∂g(x). Khi â vîi måi y ∈ A ta câ x∗1 , y − x ≤ f (y) − f (x), 14 ∗ x2 , y − x ≤ g(y) − g(x). Cëng tøng v¸ cõa hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ ∗ x1 + x∗2 , y − x ≤ f (y) + g(y) − (f (x) + g(x)). Suy ra x∗1 + x∗2 ∈ ∂(f + g)(x). • ∂(f + g)(x) ⊆ ∂f (x) + ∂g(x). Ta câ int(epif ) 6= ∅. Thªt vªy, vîi måi  > 0 tçn mð cõa x sao cho f (x) − f (x) <  vîi måi x ∈ U. t¤i mët l¥n cªn Suy ra B := {(x, θ) ∈ A × H : θ > f (x) + , x ∈ U } ⊂ epif v  B l  mð suy ra int(epif ) 6= ∅. Gi£ sû x∗ ∈ ∂(f + g)(x). Ta x²t c¡c tªp sau: H1 = {(y, θ) ∈ A × H : θ ≥ f (x + y) − f (x)} H2 = {(y, θ) ∈ A × H : θ < x∗ , y − g(x + y) + g(x)}. Khi â H1 = epif − (x, f (x)) suy ra H1 l  lçi v  intH1 6= ∅. L§y (y1, θ1), (y2, θ2) ∈ H2 v  λ ∈ [0, 1], ta câ: θ1 < x∗ , y1 − g(x + y1 ) + g(x), θ2 < x∗ , y2 − g(x + y2 ) + g(x). V¼ g l  h m lçi n¶n g(λ(x + y1 ) + (1 − λ)(x + y2 )) ≤ λg(x + y1 ) + (1 − λ)g(x + y2 ). Tø hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ λθ1 + (1 − λ)θ2 < x∗ , λy1 + (1 − λ)y2 −g(λ(x+y1 )+(1−λ)(x+y2 ))+g(x)⇒ λ(y1 , θ1 )+(1−λ)(y2 , θ2 ) ∈ H2 . Vªy H2 lçi. Gi£ sû (x0, y0) ∈ H1 ∩ H2 th¼ x∗, x0 > −g(x + x0) + g(x) > f (x + x0 ) − f (x) ⇒ x∗ , x0 > f (x + x0 ) + g(x + x0 ) − (f (x) + g(x)). i·u n y m¥u thu¨n vîi x∗ ∈ ∂(f + g)(x). Vªy H1 ∩ H2 = ∅.
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan