I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
****************
HONG THÀ NG
N
V VAI TRÁ CÕA TON TÛ CHIU
TRONG BI TON BT NG THÙC BIN PH
N
LUN VN THC S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - n«m 2015
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
****************
HONG THÀ NG
N
V VAI TRÁ CÕA TON TÛ CHIU
TRONG BI TON BT NG THÙC BIN PH
N
LUN VN THC S TON HÅC
Chuy¶n ng nh: TON GII TCH
M¢ sè: 60.46.01.02
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:
GS. TSKH. L DÔNG M×U
Th¡i Nguy¶n - n«m 2015
Líi cam oan
i
Tæi xin cam oan to n bë nëi dung luªn v«n l cæng tr¼nh nghi¶n
cùu cõa ri¶ng tæi, ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u tham kh£o. C¡c k¸t qu£
tr¼nh b y trong luªn v«n ho n to n trung thüc, khæng sao ch²p, tròng
l°p vîi b§t k¼ t i li»u n o kh¡c.
Håc vi¶n
Ho ng Thà Ng¥n
Líi c£m ìn
ii
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m Th¡i
Nguy¶n. Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin gûi
líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc tîi GS.TSKH L¶ Dông M÷u, th¦y l
ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï v ëng vi¶n tæi
trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n.
Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc,
quþ th¦y, cæ gi¡o trong khoa To¡n, c¡c b¤n håc vi¶n lîp Cao håc To¡n
K21B ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡
tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu t¤i tr÷íng.
Qua ¥y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi ng÷íi th¥n trong
trong gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, kh½ch l» tæi trong suèt qu¡
tr¼nh ho n th nh kho¡ håc.
M°c dò câ nhi·u câ gng nh÷ng luªn v«n n y v¨n khæng tr¡nh
khäi nhúng thi¸u sât v h¤n ch¸. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n
âng gâp quþ b¡u cõa th¦y, cæ v b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n
hìn.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
Th¡i Nguy¶n, ng y 14 th¡ng 03 n«m 2015
Håc vi¶n
Ho ng Thà Ng¥n
iii
Möc löc
Líi cam oan
i
Líi c£m ìn
ii
Möc löc
iii
Mð ¦u
1
1 C¡c ki¸n thùc chu©n bà
2
1.1. C¡c ki¸n thùc v· khæng gian Hilbert
1.1.1. T½ch væ h÷îng . . . . . . . . .
1.1.2. Khæng gian ti·n Hilbert . . .
1.1.3. Khæng gian Hilbert . . . . . .
1.2. C¡c ki¸n thùc v· tªp lçi, h m lçi . .
1.2.1. Tªp lçi . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. H m lçi . . . . . . . . . . . .
1.2.3. C¡c ành l½ t¡ch . . . . . . . .
1.2.4. D÷îi vi ph¥n . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 2
. 2
. 3
. 3
. 8
. 8
. 10
. 12
. 12
2 Vai trá cõa to¡n tû chi¸u èi vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc
bi¸n ph¥n
iv
2.1. To¡n tû chi¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Sü tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ph÷ìng ph¡p chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
2.3.1. Ph÷ìng ph¡p chi¸u cì b£n . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Ph÷ìng ph¡p ¤o h m t«ng c÷íng . . . . . . . .
16
16
20
20
22
27
28
30
K¸t luªn
33
T i li»u tham kh£o
33
Mð ¦u
1
To¡n tû chi¸u l¶n mët tªp lçi âng l mët lîp ¡nh x¤ quan trång
trong gi£i t½ch, °c bi»t l gi£i t½ch ùng döng.. Trong khæng gian Hilbert
thüc to¡n tû n y luæn tçn t¤i v câ nhi·u t½nh ch§t °c thò câ thº khai
th¡c º nghi¶n cùu v gi£i quy¸t nhi·u b i to¡n trong c¡c l¾nh vüc kh¡c
nhau nh÷ trong: Lþ thuy¸t tèi ÷u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v
b i to¡n c¥n b¬ng.
B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l mët lîp b i to¡n quan trång câ
nhi·u ùng döng trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m, c¡c b i to¡n vªt lþ v k¾
thuªt công nh÷ trong tèi ÷u ho¡. C¡c h÷îng nghi¶n cùu ch½nh trong b i
to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l sü tçn t¤i nghi»m v ph÷ìng ph¡p gi£i,
trong â ph÷ìng ph¡p düa v o to¡n tû chi¸u v c¡c ành lþ iºm b§t
ëng th÷íng ÷ñc sû döng, ÷ñc tr½ch d¨n chõ y¸u trong c¡c t i li»u [7],
[9] .
B£n luªn v«n n y nh¬m möc ½ch giîi thi»u vai trá cõa to¡n tû chi¸u
trong khæng gian Hilbert v vi»c ¡p döng lîp b i to¡n n y v o b§t ¯ng
bi¸n ph¥n. Cö thº:
1. Sû döng to¡n tû chi¸u k¸t hñp vîi ành lþ iºm b§t ëng Brouwer
º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n
ph¥n.
2. Giîi thi»u hai ph÷ìng ph¡p düa v o to¡n tû chi¸u º gi£i b i to¡n
b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, â l ph÷ìng ph¡p chi¸u cì b£n gi£i b i
to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u m¤nh câ t½nh Lipschitz v
ph÷ìng ph¡p chi¸u t«ng c÷íng (chi¸u hai l¦n) º gi£i b i to¡n b§t
¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u.
2
Ch֓ng 1
C¡c ki¸n thùc chu©n bà
Trong ch÷ìng n y, ta s³ nhc l¤i mët sè ki¸n thùc quan trång l m
n·n t£ng º nghi¶n cùu ch÷ìng sau â l c¡c ki¸n thùc cì b£n v· khæng
gian Hilbert v gi£i t½ch lçi. C¡c nëi dung trong ch÷ìng ÷ñc tr½ch d¨n
tø c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3].
1.1. C¡c ki¸n thùc v· khæng gian Hilbert
1.1.1. T½ch væ h÷îng
ành ngh¾a 1.1.1. Cho H l mët khæng gian vectì tr¶n tr÷íng sè thüc
R.
T½ch væ h÷îng tr¶n H l mët ¡nh x¤ x¡c ành nh÷ sau:
., . : H × H → R
(x, y) 7→ x, y
tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y:
1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 khi v ch¿ khi x = 0.
2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H.
3. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H.
4.
3
λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, λ ∈ R.
x, y
÷ñc gåi l t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v y tr¶n H.
1.1.2. Khæng gian ti·n Hilbert
ành ngh¾a 1.1.2. C°p
H,
., ., trong â H l mët khæng gian vectì
tr¶n tr÷íng sè thüc R, .,. l mët t½ch væ h÷îng tr¶n H ÷ñc gåi l
khæng gian ti·n Hilbert (hay cán gåi l khæng gian Unita).
ành lþ 1.1 (B§t ¯ng thùc Cauchy- Schwartz). Trong khæng gian ti·n
Hilbert H, vîi måi x, y ∈ H ta luæn câ b§t ¯ng thùc sau:
| x, y |2 ≤ x, x y, y .
(1.1)
D§u b¬ng cõa b§t ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x, y phö thuëc
tuy¸n t½nh.
Mèi quan h» giúa chu©n v t½ch væ h÷îng ÷ñc thº hiºn qua ành l½ sau.
ành lþ 1.2. Måi khæng gian ti·n Hilbert H ·u l khæng gian tuy¸n
t½nh ành chu©n, vîi chu©n ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc
q
x
=
x, x
∀x ∈ H.
(1.2)
Chu©n n y ÷ñc gåi l chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng. Theo ành
lþ tr¶n, khæng gian ti·n Hilbert l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, câ
thº ¦y õ ho°c khæng ¦y õ.
1.1.3. Khæng gian Hilbert
ành ngh¾a 1.1.3. N¸u H l mët khæng gian ti·n Hilbert v ¦y õ èi
vîi chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng th¼ ÷ñc gåi l khæng gian Hilbert.
V½ dö 1.1.
4
1. Khæng gian R l khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng
n
x, y =
n
X
xi yi ,
i=1
trong â x, y ∈ Rn, x = (x1, · · · , xn),
v chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng
y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn ,
n
n
X
2
X
x
= x, x =
x .
xi xi =
i=1
i=1
2. Khæng gian
n
n
o
X
2
x < +∞
l = x = {xn }n ∈ K :
2
n=1
l mët khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng
x, y =
∞
X
x n yn ,
n=1
v chu©n c£m sinh
v
u∞
2
uX
x
x
= t
n=1
vîi x, y ∈ l2, x = (xn),
y = (yn ), n ∈ N.
Nh÷ vªy ta câ khæng gian Hilbert l mët khæng gian Banach. Do
â c¡c khæng gian n y câ c¡c t½nh ch§t cõa mët khæng gian ành chu©n
v câ th¶m mët sè t½nh ch§t mîi sau ¥y.
ành lþ 1.3. Gi£ sû H l mët khæng gian ti·n Hilbert. Khi â t½ch væ
h÷îng l mët h m sè li¶n töc tr¶n H × H.
ành lþ 1.4. Vîi måi x, y thuëc khæng gian ti·n Hilbert H ta luæn câ
¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh sau:
x + y
2 +
x − y
2 = 2(
x
2 +
y
2 ).
(1.3)
5
p döng ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh cho hai vectì x − y v x − z
ta câ h» qu£ sau.
H» qu£ 1.1. Gi£ sû H l mët khæng gian ti·n Hilbert v x, y, z ∈ H.
Khi â ta câ ¯ng thùc Apollonius:
2
2
y
+
z
+
y − z
2 .
2(
x − y
+
x − z
) = 4
x
−
2
Nhªn x²t 1.1.
1. ¯ng thùc (1.3) kh¡i qu¡t mët t½nh ch§t quen thuëc trong h¼nh håc:
têng c¡c b¼nh ph÷ìng hai ÷íng ch²o cõa mët h¼nh b¼nh h nh b¬ng
têng c¡c b¼nh ph÷ìng cõa c¡c c¤nh. V¼ lþ do â nâ câ t¶n l ¯ng
thùc h¼nh b¼nh h nh.
2. ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh công l i·u ki»n õ º ÷a ÷ñc t½ch væ
h÷îng v o khæng gian ành chu©n. Ng÷ñc l¤i n¸u H l khæng gian
ành chu©n, trong â ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh ÷ñc th£o m¢n vîi
måi ph¦n tû thuëc H th¼ tr¶n H s³ tçn t¤i mët t½ch væ h÷îng sinh
ra chu©n tr¶n khæng gian ành chu©n H, i·u n y ÷ñc thº hi»n
qua ành lþ sau.
ành lþ 1.5. Gi£ sû H,
.
l mët khæng gian ành chu©n tr¶n tr÷íng
K, trong â ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh nghi»m óng vîi måi x, y ∈ H,
tùc l :
2
2
2
2
x + y
+
x − y
= 2
x
+
y
.
Khi â vîi tr÷íng R ta °t
2
2
1
x, y = p(x, y) =
x + y
−
x − y
,
4
mët t½ch væ h÷îng tr¶n H v ta câ
2
x, x =
x
,
∀x ∈ H.
th¼
., .
l
(1.4)
iºm mîi nêi bªt cõa khæng gian Hilbert so vîi khæng gian ành
chu©n l trong khæng gian Hilbert kh¡i ni»m t½ch væ h÷îng bao h m c¡c
kh¡i ni»m v· t½nh trüc giao, trüc chu©n. Trong ph¦n sau ¥y chóng ta s³
nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v mët sè v½ dö li¶n quan.
6
ành ngh¾a 1.1.4. Cho H l mët khæng gian ti·n Hilbert.
1. Hai ph¦n
tû x, y ∈ H ÷ñc gåi l trüc giao vîi nhau, k½ hi»u l x⊥y
n¸u x, y = 0.
2. Hai tªp A, B ⊂ H ÷ñc gåi l trüc giao vîi nhau,
k½ hi»u l A⊥B
n¸u vîi méi x ∈ A, y ∈ B ta câ x⊥y , tùc l x, y = 0.
3. Ta nâi ph¦n
tû x cõa H trüc giao vîi tªp con A cõa H n¸u vîi
∀y ∈ A ta câ x, y = 0 v ÷ñc k½ hi»u l x⊥A.
4. Ph¦n bò trüc giao cõa A ∈ H l tªp hñp c¡c ph¦n tû tho£ m¢n:
A⊥ = x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ A ,
n¸u A = {x}, ta vi¸t x⊥ thay cho {x}⊥.
5. Hå O ⊂ H ÷ñc gåi l h» trüc giao n¸u c¡c ph¦n
tû cõa O æi mët
trüc giao vîi nhau, tùc l ∀x, y ∈ O, x 6= y, th¼ x, y = 0.
6. Hå E = {ei}
i∈∧
⊂ H ÷ñc gåi l h» trüc chu©n n¸u E l mët h»
trüc giao v
ei
= 1, ∀ei ∈ E. Nh÷ vªy E = {ei}i∈∧ l mët h» trüc
chu©n n¸u
(
0 n¸u i 6= j
ei , ej =
1 n¸u i = j.
ành lþ 1.6. N¸u A l mët tªp hñp trong khæng gian ti·n Hilbert H th¼
A⊥ l mët khæng gian con âng cõa H.
ành lþ 1.7. H» trüc chu©n l mët h» ëc lªp tuy¸n t½nh, tùc l måi hå
con húu h¤n cõa h» l ëc lªp tuy¸n t½nh.
Ng÷ñc l¤i, tø mët h» ¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû ëc lªp tuy¸n t½nh, ta
câ thº x¥y düng ÷ñc mët h» trüc giao theo ph÷ìng ph¡p trüc giao ho¡
Schmidt.
M»nh · 1.1. Trong khæng gian ti·n Hilbert H ta luæn câ:
1. N¸u x⊥y th¼ y⊥x, x⊥x khi v ch¿ khi x = 0.
2. N¸u x⊥y vîi måi y ∈ H th¼ x = 0.
7
3. N¸u x⊥yi, vîi méi i ∈ {1, · · · , n} th¼ x⊥(λ1y1, · · · , λnyn).
4. N¸u x⊥yn vîi måi n v limn→∞ yn = y th¼ x⊥y.
5. N¸u A trò mªt trong H th¼ M ⊥ = {0}. Tùc l x⊥M khi v ch¿ khi
x = 0.
6. N¸u x⊥y th¼
x + y
2 =
x
2 +
y
2, têng qu¡t hìn, n¸u x1, · · · , xn
æi mët trüc giao vîi nhau th¼ ta câ ¯ng thùc Pythagore
x1 + · · · + xn
2 =
x1
2 + · · · +
xn
2
Mð rëng ¯ng thùc Pythagore ta câ ành l½ sau.
ành lþ 1.8.
Cho {xn, n ∈ N } l h» trüc giao trong H th¼ chuéi
∗
∞
X
xn
hëi tö
n=1
.
khi v ch¿ khi chuéi
∞
X
2
xn
hëi tö. Khi â
n=1
∞
∞
X
2 X
2
xn
.
xn =
n=1
n=1
°c bi»t, n¸u {en, n ∈ N } l h» trüc chu©n trong H th¼ chuéi
∗
∞
X
λn en
n=1
hëi tö khi v ch¿ khi chuéi
∞
X
2
λ n
hëi tö v
∞
∞
X
2 X
2
e n .
λn en =
n=1
n=1
n=1
ành lþ 1.9. Cho {e1, · · · , en} l mët h» trüc chu©n trong khæng gian
Hilbert H, k½ hi»u A l khæng gian con sinh bði h» vectì {e1, · · · , en}.
Khi â vîi méi x ∈ H ta câ
n
X
y=
xi , ei ei
l h¼nh chi¸u trüc giao
i=1
cõa x l¶n khæng gian con
n
X
xi , ei 2 ≤
x
2 .
A v
i=1
8
1.2. C¡c ki¸n thùc v· tªp lçi, h m lçi
Ta nhc l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa gi£i t½ch lçi nh÷ tªp lçi,
h m lçi, d÷îi vi ph¥n,. . . trong khæng gian Hilbert H.
1.2.1. Tªp lçi
ành ngh¾a 1.2.1. Cho a ∈ H, khi â ta câ c¡c ành ngh¾a sau:
1. Tªp A ÷ñc gåi l tªp affine n¸u
(1 − λ)x + λy ∈ A
∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R.
2. Giao cõa t§t c£ c¡c tªp affine chùa tªp A ÷ñc gåi l bao affine cõa
A, v ÷ñc k½ hi»u l af f A.
3. Ph¦n
trong
cõa
tªp
A, k½ hi»u l intA = x ∈ H : ∃ > 0, x + B ⊂
A .
Ph¦n trong t÷ìng èi cõa tªp A l ph¦n trong cõa A trong af f A ,
÷ñc k½ hi»u l riA = x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A .
ành ngh¾a 1.2.2. Mët tªp A ⊂ H ÷ñc gåi l tªp lçi n¸u
∀a, b ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] ta câ λa + (1 − λ)b ∈ A.
ành ngh¾a 1.2.3. Gi£ sû A ⊂ H, a, b ∈ A. o¤n th¯ng nèi hai iºm
a, b ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:
[a, b] = x ∈ A : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1] .
Nhªn x²t 1.2. V· m°t h¼nh håc, ành ngh¾a tªp lçi câ ngh¾a r¬ng, n¸u
hai iºm b§t k¼ thuëc A, c£ o¤n th¯ng nèi hai iºm §y công n¬m trån
trong A.
V½ dö 1.2.
1. Tªp réng l tªp lçi.
2. Tªp ch¿ chùa mët iºm duy nh§t l tªp lçi.
9
3. Trong m°t ph¯ng hay trong khæng gian 3 chi·u, måi h¼nh quen thuëc
nh÷ o¤n th¯ng, h¼nh tam gi¡c, h¼nh chú nhªt, h¼nh hëp chú nhªt,
h¼nh trán, h¼nh c¦u . . . ·u l nhúng tªp lçi.
M»nh · 1.2. Ta câ:
1. Tªp lçi âng vîi ph²p giao, ph²p cëng v ph²p nh¥n vîi mët sè thüc.
2. T½ch · c¡c cõa c¡c tªp lçi l tªp lçi.
3. Tªp £nh v t¤o £nh cõa tªp lçi qua ¡nh x¤ tuy¸n t½nh l tªp lçi.
ành ngh¾a 1.2.4.
1. x ∈ H ÷ñc gåi l tê hñp lçi cõa x1, · · · , xn ∈ H n¸u tçn t¤i
λi > 0, i = 1, · · · , n,
n
X
λi = 1 sao cho x =
i=1
n
X
λi xi .
i=1
2. Gi£ sû A ⊂ H, giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa A ÷ñc gåi l bao
lçi cõa tªp A v k½ hi»u l coA. Giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi âng
chùa A ÷ñc gåi l bao lçi âng cõa tªp A, k½ hi»u l coA.
ành ngh¾a 1.2.5.
1. Tªp K ⊂ H ÷ñc gåi l nân câ ¿nh t¤i 0 n¸u:
∀x ∈ K, ∀λ > 0, ⇒ λx ∈ K.
2. K ÷ñc gåi l nân câ ¿nh t¤i x0 n¸u K − x0 l nân câ ¿nh t¤i 0.
3. Nân K câ ¿nh t¤i 0 ÷ñc gåi l nân lçi n¸u K l mët tªp lçi, tùc
l :
∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 ⇒ λa + µy ∈ K.
ành ngh¾a 1.2.6. Vectì x∗ ∈ H∗ ÷ñc gåi l ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi A
t¤i x0 ∈ A n¸u
∗
x , x − x0 ≤ 0,
∀x ∈ A.
Tªp t§t c£ c¡c vectì ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi A t¤i x0 ∈ A ÷ñc gåi l nân
ph¡p tuy¸n cõa A t¤i x0, k½ hi»u l
NA (x0 ) = x∗ ∈ H∗ : x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ A .
10
1.2.2. H m lçi
Gi£ sû A ∈ H l tªp lçi kh¡c réng v ¡nh x¤ f : A → R ∪ {+∞}.
ành ngh¾a 1.2.7.
1. Tr¶n ç thà cõa h m f , k½ hi»u l epif , ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:
epif = (x, r) ∈ A × R : f (x) ≤ r .
2. Mi·n húu hi»u (mi·n x¡c ành) cõa h m f , k½ hi»u l domf , ÷ñc
ành ngh¾a nh÷ sau:
domf = x ∈ A : f (x) < +∞ .
3. H m f ÷ñc gåi l ch½nh th÷íng n¸u domf 6= ∅ v f (x) > −∞, vîi
måi x ∈ A.
4. H m f ÷ñc gåi l h m lçi tr¶n A n¸u
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1].
5. H m f ÷ñc gåi l h m lçi ng°t tr¶n A n¸u
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1].
6. H m f ÷ñc gåi l h m lçi m¤nh tr¶n A vîi h» sè α > 0 n¸u
2
1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)α
x − y
2
vîi måi x, y ∈ A, måi λ ∈ [0, 1].
7. H m f ÷ñc gåi l h m lãm (t÷ìng ùng lãm ng°t, lãm m¤nh vîi h»
sè α > 0) tr¶n A n¸u −f l h m lçi (t÷ìng ùng lçi ng°t, lçi m¤nh
vîi h» sè α > 0) tr¶n A.
V½ dö 1.3.
1. H m affine f (x) =
mët h m lçi.
a, b + α,
vîi ∀ a ∈ H∗, ∀ b ∈ H, ∀α ∈ R l
2. H m chu©n
11
q
f (x) =
x
=
x, x , ∀x ∈ Rn
l mët h m lçi.
Ta câ m»nh · v· c¡c ph²p to¡n èi vîi c¡c h m lçi. Ph¦n chùng
minh ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a.
M»nh · 1.3. Cho f1, · · · , fn l c¡c h m lçi ch½nh th÷íng. Khi â c¡c
h m sau l h m lçi:
1.
n
X
fi (x) = f1 + · · · + fn (x).
i=1
2.
n
M
fi = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ) : xi ∈ H,
n
X
xi = x .
x=1
i=1
º kiºm tra t½nh lçi cõa mët h m sè kh£ vi ta câ m»nh · sau. K½
hi»u ∇f (x) l ¤o h m cõa f t¤i x.
M»nh · 1.4. Gi£ sû A ⊆ H v f : A → H l h m kh£ vi, ∇f li¶n
töc. Khi â f l h m lçi khi v ch¿ khi:
f (x) − f (y) ≤ ∇f (x), x − y , vîi måi x, y ∈ A.
M»nh · 1.5. Gi£ sû fα, α ∈ I l c¡c h m lçi tr¶n H. Khi â cªn
tr¶n cõa c¡c h m fα l h m lçi. K½ hi»u l ∨α∈I fα (x) = sup fα(x)
α∈I
ành ngh¾a 1.2.8. H m f : H → R ÷ñc gåi l Lipschitz àa ph÷ìng
t¤i x0 ∈ H,
n¸u tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0, tçn t¤i sè K > 0 sao cho
|f (x) − f (x0 )| ≤ K
x − x0
∀x, y ∈ U.
(1.6)
H m f ÷ñc gåi l Lipschitz àa ph÷ìng tr¶n tªp A ⊂ H, n¸u f Lipschitz
àa ph÷ìng t¤i måi x ∈ A.
H m f ÷ñc gåi l Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz K tr¶n tªp A ⊂ H,
n¸u (1.6) óng vîi måi x, x0 ∈ A.
12
Mèi quan h» giúa h m lçi v h m Lipschitz àa ph÷ìng ÷ñc thº
hi»n qua ành l½ sau.
ành lþ 1.10. N¸u f l h m lçi v bà ch°n tr¶n trong mët l¥n cªn cõa
x ∈ H th¼ f l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x.
1.2.3. C¡c ành l½ t¡ch
ành ngh¾a 1.2.9. Gi£ sû H l khæng gian Hilbert, H∗ l khæng gian
li¶n hñp cõa H. L§y x∗ ∈ H∗,
x∗ 6= 0, α ∈ R, ta câ
H(x∗ , α) = x ∈ H : x∗ , x = α
÷ñc gåi l mët si¶u ph¯ng trong H.
ành ngh¾a 1.2.10. Cho hai tªp A, B
∗
∈ H,
ta nâi r¬ng si¶u ph¯ng
H(x , α) :
1. t¡ch hai tªp A v B n¸u x∗, a ≤ α ≤ x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B.
2. t¡ch ng°t hai tªp A v B n¸u x∗, a < α < x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B.
3. t¡ch m¤nh hai tªp A v B n¸u
sup x∗ , a < α < inf x∗ , b .
b∈B
a∈A
ành lþ 1.11 (ành l½ t¡ch thù nh§t). Cho A v B l hai tªp lçi kh¡c
réng trong khæng gian Hilbert H, A ∩ B = ∅. Khi â câ mët si¶u ph¯ng
t¡ch A v B .
ành lþ 1.12 (ành l½ t¡ch thù hai). Cho A v B l hai tªp lçi âng
kh¡c réng trong khæng gian Hilbert H v A ∩ B = ∅. Trong â câ ½t nh§t
mët tªp l compact. Khi â, mët si¶u ph¯ng câ thº t¡ch m¤nh hai tªp A
v B .
1.2.4. D÷îi vi ph¥n
ành ngh¾a 1.2.11. Gi£ sû f l h m lçi tr¶n H. ¤o h m cõa h m f
theo ph÷ìng d t¤i x0, k½ hi»u l
f 0 (x0 , d) = lim
λ↓0
f (x0 + λd) − f (x0 )
λ
13
n¸u giîi h¤n n y tçn t¤i (câ thº húu h¤n ho°c b¬ng ±∞).
Nhªn x²t 1.3. H m f 0(x0, d) l h m thu¦n nh§t d÷ìng.
ành ngh¾a 1.2.12. Gi£ sû f l h m lçi tr¶n H.Phi¸m h m x∗ ∈ H
÷ñc gåi l d÷îi gradient cõa h m f t¤i x ∈ H n¸u
f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x
∀x ∈ H.
ành ngh¾a 1.2.13. Tªp t§t c£ d÷îi gradient cõa f t¤i x ÷ñc gåi l
d÷îi vi ph¥n
cõa f t¤i x, k½ hi»u l ∂f (x), tùc l
∂f (x) = x∗ ∈ H : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , ∀x ∈ H}.
ành ngh¾a 1.2.14. H m f ÷ñc gåi l kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x, n¸u
∂f (x) 6= 0.
V½ dö 1.4. Cho A l mët tªp lçi kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H.
X²t h m ch¿ tr¶n tªp A
(
∂A(x) =
0
+∞
n¸u x ∈ A
n¸u x 6∈ A.
Khi â d÷îi vi ph¥n cõa h m ch¿ cõa A t¤i x ∈ A l nân ph¡p tuy¸n cõa
A t¤i x.
ành lþ 1.13. Gi£ sû f l h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n H v λ > 0. Khi
â vîi måi x ∈ H
∂(λf )(x) = λ∂f (x).
ành lþ 1.14 (Moreau- Rockafellar). Cho f v g l hai h m lçi ch½nh
th÷íng tr¶n A, gi£ sû r¬ng f li¶n töc t¤i x ∈ dom g. Khi â ta câ
∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x), vîi måi x ∈ A.
Chùng minh. • ∂(f + g)(x) ⊇ ∂f (x) + ∂g(x).
Ta l§y x∗1 ∈ ∂f (x), x∗2 ∈ ∂g(x). Gi£ sû x∗1 + x∗2 ∈ ∂f (x) + ∂g(x). Khi
â vîi måi y ∈ A ta câ
x∗1 , y − x ≤ f (y) − f (x),
14
∗
x2 , y − x ≤ g(y) − g(x).
Cëng tøng v¸ cõa hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ
∗
x1 + x∗2 , y − x ≤ f (y) + g(y) − (f (x) + g(x)).
Suy ra x∗1 + x∗2 ∈ ∂(f + g)(x).
• ∂(f + g)(x) ⊆ ∂f (x) + ∂g(x).
Ta câ int(epif ) 6= ∅. Thªt vªy, vîi måi > 0 tçn
mð cõa x sao cho
f (x) − f (x) < vîi måi x ∈ U.
t¤i mët l¥n cªn
Suy ra B := {(x, θ) ∈ A × H : θ > f (x) + , x ∈ U } ⊂ epif
v B l mð suy ra int(epif ) 6= ∅.
Gi£ sû x∗ ∈ ∂(f + g)(x). Ta x²t c¡c tªp sau:
H1 = {(y, θ) ∈ A × H : θ ≥ f (x + y) − f (x)}
H2 = {(y, θ) ∈ A × H : θ < x∗ , y − g(x + y) + g(x)}.
Khi â H1 = epif − (x, f (x)) suy ra H1 l lçi v intH1 6= ∅.
L§y (y1, θ1), (y2, θ2) ∈ H2 v λ ∈ [0, 1], ta câ:
θ1 < x∗ , y1 − g(x + y1 ) + g(x),
θ2 < x∗ , y2 − g(x + y2 ) + g(x).
V¼ g l h m lçi n¶n
g(λ(x + y1 ) + (1 − λ)(x + y2 )) ≤ λg(x + y1 ) + (1 − λ)g(x + y2 ).
Tø hai b§t ¯ng thùc
tr¶n ta câ
λθ1 + (1 − λ)θ2 < x∗ , λy1 + (1 − λ)y2
−g(λ(x+y1 )+(1−λ)(x+y2 ))+g(x)⇒ λ(y1 , θ1 )+(1−λ)(y2 , θ2 ) ∈ H2 .
Vªy H2 lçi.
Gi£ sû (x0, y0) ∈ H1 ∩ H2 th¼ x∗, x0 > −g(x + x0) + g(x) >
f (x + x0 ) − f (x)
⇒ x∗ , x0 > f (x + x0 ) + g(x + x0 ) − (f (x) + g(x)). i·u n y m¥u
thu¨n vîi x∗ ∈ ∂(f + g)(x). Vªy H1 ∩ H2 = ∅.
- Xem thêm -