Về tính chất toán tử của toán tử tích phân kỳ dị với dịch chuyển Carleman

  • Số trang: 61 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 46 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU TRUNG VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU TRUNG VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 1.2 1.3 Toán tử Noether và chỉ số của toán tử Noether . . . . . . . 5 1.1.1 Toán tử Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Chỉ số của toán tử Noether và một số tính chất . . . 6 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Một số tính chất của SIFO . . . . . . . . . . . . . . 17 Hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Hàm dịch chuyển và hàm dịch chuyển Carleman . . 21 1.3.2 Toán tử dịch chuyển Carleman và một số tính chất . 25 2 Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman 2.1 29 Trường hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng . . . . . 29 2.1.1 Tiêu chuẩn Noether cho toán tử tích phân kỳ dị với một nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Tiêu chuẩn Noether cho toán tử cặp đôi . . . . . . . 31 1 2.1.3 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một trong trường hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng . . . . . 34 2.1.4 Chỉ số của toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy 38 2.1.5 Chỉ số của SIFO Kveselava-Vekua . . . . . . . . . . 41 2.1.6 Chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Trường hợp dịch chuyển Carleman ngược hướng . . . . . . . 51 2.2.1 Toán tử thu hẹp và toán tử liên kết . . . . . . . . . 52 2.2.2 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman ngược hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 58 2 Lời nói đầu Lý thuyết hàm toán tử tích phân kỳ dị, phương trình tích phân kỳ dị và các bài toán bờ Riemann của hàm giải tích biến phức đã được xây dựng và phát triển trong nửa thế kỷ, từ những năm 1920 đến 1970. Các kết qủa nghiên cứu gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học nổi tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua,. . . . Để giải một lớp các phương trình tích phân kỳ dị người ta cần quan tâm tới toán tử hàm tích phân kỳ dị (singular integral funtional operator(SIFO)). Việc giải phương trình tích phân kỳ dị không phải bao giờ cũng thực hiện được tường minh nhưng từ việc nghiên cứu các toán tử tích phân kỳ dị đó ta có thể dự đoán được một số tính chất của nghiệm và tính giải được của phương trình. Tính chất Noether và chỉ số của SIFO là những tính chất liên quan đến sự tồn tại nghiệm và mối liên hệ giữa số nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tích phân kỳ dị thuần nhất với số điều kiện giải chuẩn. Luận văn tập trung nghiên cứu tính Noether và xây dựng công thức tính chỉ số của toán tử hàm tích phân kỳ dị cấp một với dịch chuyển Carleman. Luận văn gồm phần mở đầu và được chia thành hai chương: Chương 1: Giới thiệu về tiêu chuẩn Noether đối với một toán tử tuyến tính, chỉ số của một toán tử Noether, toán tử hàm tích phân kỳ dị cùng 3 với hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển Carleman. Là cơ sở để xác định tính chất Noether và công thức tính chỉ số của SIFO. Chương 2: Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman. Đây là phần chính của luận văn, trước tiên xây dựng tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số của SIO với một nhân Cauchy, toán tử cặp đôi, SIFO Kveselava-Vekua cho hệ số của chúng. Sau đó, tác giả phân chia dịch chuyển Carleman thành hai trường hợp bảo toàn hướng và ngược hướng đồng thời xây dựng tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo, các thành viên, các anh chị đồng nghiệp trong Seminar Giải tích trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu và giúp đỡ tận tình trong thời gian qua. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu toán tử Noether, chỉ số của toán tử Noether, toán tử tích phân kỳ dị, hàm dịch chuyển Carleman, toán tử dịch chuyển Carleman và một số tính chất quan trọng. 1.1 Toán tử Noether và chỉ số của toán tử Noether 1.1.1 Toán tử Noether Trong mục này, ta giới thiệu về tiêu chuẩn Noether và toán tử Noether. Cho X1 và X2 là các không gian Banach, L(X1 , X2 ) là không gian Banach các toán tử tuyến tính bị chặn A : X1 → X2 , với chuẩn ||A|| = sup{||Ax|| : ||x|| = 1} Định nghĩa 1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn A ∈ L(X1 , X2 ) được gọi là giải chuẩn nếu tập imA là đóng trong không gian X2 nghĩa là: imA = imA. 5 Không gian thương X2 imA được gọi là đối nhân của toán tử A và được kí hiệu bởi CokerA, kí hiệu β(A) = dim CokerA. Định nghĩa 1.2. Một toán tử tuyến tính bị chặn A ∈ L(X1 , X2 ) được gọi là một toán tử Noether nếu: 1, A là một toán tử giải chuẩn. 2, α(A) và β(A) là những số hữu hạn. 1.1.2 Chỉ số của toán tử Noether và một số tính chất Định nghĩa 1.3. Số nguyên: indA = α(A) − β(A) được gọi là chỉ số của toán tử Noether. Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn A : X1 → X2 được gọi là toán tử Noether nếu thỏa mãn hai điều kiện: 1, Toán tử A giải chuẩn (tức là: imA = imA), 2, Số α(A) = dim KerA và α(A∗ ) = dim KerA∗ là hữu hạn. A∗ là toán tử liên hợp của toán tử A. Định nghĩa 1.5. Số nguyên indA = α(A) − α(A∗ ) được gọi là chỉ số của toán tử Noether A. Định nghĩa 1.6. (Chỉ số của hàm số) Giả sử Γ là một chu tuyến đóng trơn và G(t) là một hàm liên tục và không triệt tiêu trên trên Γ. Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được hiểu là tỷ số độ tăng trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động hết một lượt dọc theo chu tuyến (theo chiều dương) và 2π. 6 ký hiệu {ω}Γ là độ tăng của ω dọc theo chu tuyến Γ thì chỉ số của 1 G(t) được viết dưới dạng IndG(t) = {arg G(t)}Γ . 2π Định nghĩa 1.7. (Toán tử compact) Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính f được gọi là compact nếuf ({x ∈ E : ||x|| ≤ 1}) là compact tương đối trong F . Nghĩa là bao đóng của nó là compact trong F. Toán tử compact có chỉ số bằng không. Toán tử Fredholm là toán tử Noether với chỉ số bằng không. A là toán tử Fredholm chính tắc nếu A = I + D, trong đó D là toán tử compact. Ví dụ 1.1. : toán tử U : C[a, b] → C[a, b] (U ϕ)(x) ≡ ϕ(x) + λ Z b K(x, s)ϕ(s)ds. a trong đó K(x, s) là hàm liên tục trên miền [a,b]x[a,b]. Sau đây, ta giới thiệu một số định lý cơ bản về công thức tính chỉ số của toán tử Noether: Nikolskii, Atkinson, Dieudonne, Mikhlin and Atkinson. Định lý 1.1. (Nikolskii) Toán tử A ∈ L(X1 , X2 ) là Fredholm khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: a, Toán tử A có biểu diễn A = B + D, trong đó B là toán tử khả nghịch liên tục và D là toán tử compact. b, Toán tử A có biểu diễn A = B1 + K trong đó B1 có nghịch đảo 7 liên tục, K là toán tử hữu hạn chiều. Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chứng minh điều kiện cần (b): Cho x1 (A), x2 (A), . . . , xα(A) (A) và u1 (A∗ ), u2 (A∗ ), . . . , uα(A) (A∗ ) là cơ sở của không gian con KerA và kerA∗ . Vì toán tử A là Fredholm nên α(A) = α(A∗ ) < ∞ α(A) α(A) α(A) nên tồn tại hệ {ξk }k=1 ∈ X1∗ và {ζk }j=1 ∈ X2 trực giao với hệ: {xk }k=1 α(A) và {uj }j=1 chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử: α(A) B1 x ≡ Ax + X ξj (x)ζj . (1.1) j=1 Chúng ta có B1 có nghịch đảo liên tục. Theo Định lý Banach nó là điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình B1 x = y, ∀y ∈ X2 . Chứng minh tính duy nhất của nghiệm: cho x0 ∈ X1 là một nghiệm của phương trình thuần nhất. Nghĩa là: B1 x0 = 0 thì: 0 = uj (B1 x0 ) = α(A) α(A) P P uj (Ax0 + ξj (x0 )ζj ) = uj (Ax0 )+ ξj (x0 )uj (ζ) = A∗ uj (x0 )+ξj (x0 ), j = j=1 j=1 1, 2, . . . , α(A). α(A) α(A) Do uj ∈ KerA∗ nên A∗ uj (x0 ) = 0. Do {ξj }j=1 và {uj }j=1 nên α(A) P uj (ξk ) = δjk . Suy ra, x0 ∈ KerA vì Ax0 = ξj (x0 ) = 0. Nên ta có j=1 biểu diễn: α(A) x0 = X αj xj j=1 α(A) Do x0 ∈ KerA và {xj }j=1 là cơ sở của KerA với mỗi hằng số αj . Mặt α(A) α(A) P P khác, 0 = ξj (x0 ) = ξj ( ) = αk ξj (xk ) = αj , j = 1, 2, ..., α(A). Dễ j=1 j=1 thấy x0 là nghiệm, hơn nữa nghiệm của phương trình B1 x = y nếu tồn tại thì duy nhất. 8 Bây giờ chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, ta viết lại phương trình dưới dạng một hệ phương trình:  α(A)  P  Ax =y− dj ξj j=1 (1.2)   ξj (x) = dj , j = 1, 2, . . . , α(A). Vì A là một toán tử giải chuẩn nên ta có đẳng thức: α(A) uj (y − X dk ξk ) = 0, j = 1, 2, . . . , α(A) = α(A∗ ) k=1 được thỏa mãn để phù hợp với phương trình α(A) X B1 x ≡ Ax + ξj (x)ζj . j=1 Cuối cùng chọn dj = uj (y) thì: α(A) uj (y) − X dk uj (ξk ) = uj (y) − dj = 0. k=1 Do đó phương trình đầu của hệ (1.2) được giải. Khi đó nghiệm tổng quát có dạng α(A) e+ x=x X cj x j . j=1 Trong đó cj là hằng số bất kỳ, chúng ta sẽ chọn sao cho các phương trình trong hệ (1.2) cũng thỏa mãn. Ta có: α(A) e+ dj = uj (y) = ξj (x) = ξj (x X e) + cj , j = 1, 2, . . . , α(A). ck xk ) = ξj (x k=1 (1.3) Nó đủ để chọn e), j = 1, 2, . . . , α(A). cj = uj (y) − ξj (x 9 Sao cho đẳng thức (1.3) đúng. Nghĩa là B1 là toán khả nghịch. Vì một toán tử hữu hạn chiều là toán tử compact nên biểu diễn a, được chứng minh. Bây giờ ta chỉ ra a, là điều kiện đủ của định lý Nikolskii. Vì B là toán tử khả nghịch, liên tục trong L(X1 , X2 ) nên ta được hai phương trình sau tương đương Ax = y và B −1 Ax = B −1 y . Do đó tính giải được của hai phương trình trên đồng thời xảy ra (hoặc không đồng thời xảy ra). Vì D1 B −1 D là một toán tử compact (D1 là tích của một toán tử bị chặn và một toán tử compact) thì toán tử B −1 A = I + D1 là một toán tử Fredholm chính tắc. Vì toán tử ban đầu A cũng là Fredholm. Định nghĩa 1.8. ta nói rằng một toán tử A có một chính quy trái (phải) nếu tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn R sao cho tích RA(AR) là một toán tử Fredholm. Toán tử R được gọi là chính quy trái (phải) của toán tử A. Toán tử A là có chính quy nếu nó đồng thời có chính quy trái và phải. Định lý 1.2. (Atkinson 1) Các khẳng địng sau của toán tử tuyến tính bị chặn A là tương đương: a, A là một toán tử Noether. b, Toán tử A có một chính quy. c, Tồn tại một cặp toán tử tuyến tính bị chặn B1 ∈ L(X2 , X1 ) và B2 ∈ L(X2 , X1 ) sao cho B1 A và AB2 là những toán tử Noether. Chứng minh. a, ⇒ b, cho A là một toán tử Noether. Vì α(A) < ∞ và β(A) < ∞. Không gian Banach KerA và imA thuộc X1 , X2 . X1 , X2 có các tổng trực tiếp: X1 = KerA M f1 , X2 = imA X M f2 . X f2 là không gian con hữu hạn chiều với chiều β(A) và cơ sở Trong đó X 10 β(A) e = AX f1 kí hiệu thương của hai toán tử A và X1 ta được {zj }j=1 . Cho A e xác định một - một từ X f1 vào imA. Hơn nữa, toán tử A e có một toán tử A e−1 . toán tử nghịch đảo bị chặn: A f2 . chúng ta viết: Xét toán tử chiếu: K1 : X1 → KerA và K2 : X2 → X α(A) X K1 = − ξj (x)xj , x ∈ X1 j=1 β(A) K2 = − X ξj (y)zj , y ∈ X2 . j=1 α(A) β(A) α(A) β(A) Trong đó hệ {ξj }j=1 và {ζj }j=1 là trực giao với các hệ {xj }j=1 và {zj }j=1 . e−1 (I − K2 ) là một chính quy của Chúng ta sẽ chỉ ra rằng toán tử R = A toán tử A. Toán tử K1 và K2 hữu hạn chiều có cùng vai trò như toán tử D 1 : X1 → X1 và D 2 : X2 → X2 . Nếu x ∈ X1 và y ∈ X2 thì: e−1 Ax = A e−1 A(K1 + I − K1 )x = A e−1 A(I e − K1 )x = (I − K1 )x RAx = A e−1 (I − K2 )y = (I − K2 )y ARy = AR(K2 + I − K2 )y = AA nên a, ⇒ b, được chứng minh. b, ⇒ c, được chứng minh tương tự. c, ⇒ a, từ KerA ⊂ Ker(B1 A), KerA∗ ⊂ Ker(AB2 )∗ . Ta thấy số chiều của các không gian con KerA và KerA∗ là hữu hạn nên số chiều của không gian Ker(B1 A) và Ker(AB2 )∗ là hữu hạn. Vì α(A) < ∞, β(A) < ∞ ta có 11 thể chỉ ra rằng imA đóng. Vì toán tử AB2 là toán tử Noether, chúng ta có: X2 = X2,1 M im(AB2 ) trong đó dim X2,1 ≤ ∞. Cho X2,3 = X2,1 ∩ imA thì X2,2 là một đa tạp tuyến tính và X2,2 được chứa trong không gian hữu hạn chiều X2,1 nên L X2,2 là một không gian con hữu hạn chiều và X2,2 im(AB2 ) ∩ imA Hơn nữa, mọi véctơ y ∈ imA có thể biểu diễn dưới dạng y = y1 + y2 trong đó y1 ∈ im(AB2 ) và y2 ∈ X2,1 . Vì y1 ∈ imA và imA là tuyến tính, nên ta có L y2 = y − y1 ∈ imA và suy ra y ∈ X2,2 . Hơn nữa, y ∈ X2,2 im(AB2 ) và chúng ta được imA = X2,2 M im(AB2 ). Suy ra, imA là một không gian con của X2 . Định lý 1.3. (Atkinson 2) Nếu toán tử tuyến tính bị chặn B : X1 → X2 và A : X2 → X3 là toán tử Noether, thì toán tử tích AB : X1 → X3 cũng là toán tử Noether và indAB = indA + indB. Chứng minh. Do các toán tử A và B có chính quy RA và RB tương ứng. Dễ thấy RB RA là một chính quy của tích AB. Hơn nữa, AB là toán tử Noether, không gian X1 , X2 , X3 có các biểu diễn sau: M X1 = X1,1 KerB, M M X2 = X2,1 imB = X2,2 KerA, M M X3 = X3,1 imA = X3,2 im(AB) M M im(AB). = X3,1 AX2,1 x ∈ Ker(AB) ⇔ Bx ∈ KerA. 12 Hơn nữa dim Ker(AB) = dim KerB + dim(KerA ∩ imB). Mặt khác, ta thấy rằng X3,2 = X3,1 M AX2,1 . Do đó dim Coker(AB) = dim X3,2 = dim KerA + dim AX2,1 Chúng ta có: dim AX2,1 = dim X2,1 −dim(X2,1 ∩KerA) = dim CokerB−dim(X2,1 ∩KerA). Suy ra, indAB = dim Ker(AB) − dim Coker(AB) = indB − dim CokerA + dim(KerA ∩ imB) + dim(KerA ∩ X2,1 ). Nhưng, dim(KerA ∩ imB) + dim(KerA ∩ X2,1 ) = dim KerA. Vậy ind(AB) = indA + indB. Hệ quả 1.1. Chỉ số của một chính quy hóa của một toán tử Noether A là số đối với chỉ số của toán tử A. Định lý 1.4. (Dieudonne) Cho một toán tử Noether A tồn tại một số dương %(A) sao cho mọi toán tử tuyến tính B thỏa mãn bất đẳng thức: ||B|| < %(A), toán tử A+B cũng là toán tử Noether và ind(A+B) = indA. 13 Chứng minh. Vì A là một toán tử Noether có một chính quy R, nghĩa là: RA = I + D1 , AR = I + D2 . (1.4) trong đó D1 , D2 là các toán tử compact. Thì: R(A+B) = RA+RB = I+D1 +RB(A+B)R = AR+BR = I+D2 +BR. (1.5) %(A) = ||R||−1 , Nếu ||B|| < ||R||−1 chúng ta có: ||RB|| = ||BR|| < 1. Suy ra, I + RB và I + BR có toán tử nghịch đảo liên tục. Theo Định lý Nikolskii, I + BR + D1 và I + BR + D2 là các toán tử Noether. Thật vậy, indR + indA = indRA = 0 ta lại có: indR + ind(A + B) = indR(A + B) = 0. Do đó chúng ta được: indA = ind(A + B) = −indR. Định lý 1.5. (Mikhlin và Atkinson) Nếu A là một toán tử Noether và D là một toán tử compact thì A + D là một toán tử Noether và: ind(A + D) = indA. Chứng minh. Toán tử Noether A có một chính quy R nghĩa là tồn tại R RA = I + D1 , AR = I + D2 , trong đó D1 và D2 là các toán tử compact. Ta có: R(A + D) = I + D1 + RD, (A + D)R = I + D2 + DR. trong đó DR và RD cũng là các toán tử compact bởi vì chúng là tích của một toán tử bị chặn và một toán tử compact. Suy ra, toán tử R là một 14 chính quy của toán tử A + D. Nghĩa là A + D là một toán tử Noether. Do đó tồn tại số ind(A + D). Chúng ta chú ý rằng: ind(RA) = ind(I + D1 ) = 0, ind(R(A + D)) = ind(I + D1 + RD) = 0, Mặt khác, ta có: indR + indA = 0, indR + ind(A + D) = 0. Suy ra, indA = ind(A + D). Định nghĩa 1.9. Toán tử Noether A và B là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục Φ : [0, 1] → Θ(X1 , X2 ) sao cho: Φ(0) = A và Φ(1) = B. Θ(X1 , X2 ) là tập con của tập các toán tử Noether L(X1 , X2 ) Định lý 1.6. Nếu toán tử Noether A : X1 → X2 và toán tử B : X1 → X2 là đồng luân thì: indA = indB. Chứng minh. Xét ánh xạ liên tục Φ : [0; 1] → Θ(X1 , X2 ) sao cho Φ (0) = A và Φ (1) = B. từ định lý Dieudonne và tính liên tục của ánh xạ Φ với mọi t0 ∈ [0; 1] tồn tại một số ε > 0 sao cho indΦ (t) = indΦ (t0 ) trong đó |t − t0 | < ε. Theo định lý Heine - Borel, chúng ta có thể bao phủ đoạn [0; 1] thành hữu hạn những khoảng có độ dài nhỏ hơn ε. So sánh chỉ số của toán tử Φ (t) với t thuộc các khoảng kể trên ta thấy chỉ số của Φ (t) bằng nhau trong mỗi khoảng. Bắt đầu với khoảng chứa Φ (0) = A kết thúc bởi Φ (1) = B. Suy ra, indA = indB. Chúng ta kí hiệu hai toán tử đồng luân A và B là A ' B. Đặc biệt từ định lý Mikhlin-Atkinson ta có A ' B nếu A − B là toán tử compact. 15 1.2 Toán tử tích phân kỳ dị 1.2.1 Toán tử tích phân kỳ dị Một đường cong định hướng Γ (đóng hoặc mở) được gọi là đường cong Lyapunop nếu các điều kiện sau thỏa mãn: tiếp tuyến tại mọi điểm t của Γ tồn tại và tiếp tuyến đó tạo với trục thực một góc Φ (t) và thỏa mãn điều kiện Holder: |Φ (t1 ) − Φ (t2 )| < A|t1 − t2 |µ , A > 0, 0 < µ ≤ 1. Một đường cong Lyapunop là biên của một miền liên thông bị chặn D+ trên mặt phẳng phức. Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng: z = 0 ∈ D+ , ta kí hiệu D− = C(D+ ∪ Γ). Đường cong Γ được định hướng sao cho khi di chuyển trên đường cong Γ thì miền D+ luôn thuộc bên tay trái của chuyển động. Chúng ta kí hiệu (r; t), ([r; t]) là một cung mở (đóng) trên Γ với các điểm biên là r và t. Các toán tử được xét trong luận văn tác động trong không gian Banach Lp (Γ), (1 < p < ∞), Lp (Γ), (1 < p < ∞) là tập các hàm khả đo được trên Γ, khả tích Lebesgue bậc p với chuẩn là ||ϕ||Lp Z 1 = ( |ϕ(t)|p dt) p , Γ và Hµ (Γ), µ ∈ (0; 1] là không gian các hàm xác định trên Γ và thỏa mãn điều kiện Holder với số mũ µ. Không gian Hµ (Γ) là không gian Banach với chuẩn |ϕ(r) − ϕ(t)| . |r − t|µ t,r∈Γ ||ϕ||Hµ = max |ϕ(t)| + sup t∈Γ 16 C(Γ) là không gian các hàm liên tục trên Γ với chuẩn: ||ϕ||C = max |ϕ(t)|. t∈Γ R(Γ) là hàm phân tuyến tính không có cực điểm trên Γ, rõ ràng R(Γ) ∈ C(Γ). R± là tập tất cả những hàm phân tuyến tính r± với cực điểm trong D∓ , tập con của những hàm r− (t) ∈ R− (Γ) triệt tiêu tại vô cực kí 0 hiệu là R− (Γ). Ta được, mỗi hàm r ∈ R(Γ) có thể biểu diễn dưới dạng: 0 r = r+ + r− . Trong đó r+ ∈ R+ (Γ) và r− ∈ R− (Γ). Định nghĩa 1.10. Chọn điểm t ∈ Γ làm tâm đường tròn bán kính % đủ nhỏ, giả sử t1 và t2 là giao điểm của đường tròn này với Γ. Do bán kính đủ nhỏ nên đường tròn không có điểm chung nào khác với Γ khác t1 và t2 . Gọi Γ% là phần của chu tuyến Γ đã loại bỏ đi phần thuộc đường tròn và lấy R ϕ(τ ) R ϕ(τ ) dτ. Giới hạn của tích phân dτ tích phân trên cung còn lại Γ% τ − t Γ% τ − t khi % → 0 được gọi là giá trị chính Cauchy của tích phân kỳ dị. Định nghĩa 1.11. (Toán tử tích phân kỳ dị) Toán tử: Z ϕ(τ ) 1 (Sϕ)(t) = dτ, t ∈ Γ, πi τ − t Γ trong đó tích phân được hiểu là lấy theo giá trị chính Cauchy. Hàm ϕ(t) được hiểu là hàm mật độ của tích phân kỳ dị trong không gian Lp (Γ), 1 < p < ∞. Toán tử S được gọi là toán tử của tích phân kỳ dị trên Γ. 1.2.2 Một số tính chất của SIFO Bổ đề 1.1. Cho Γ là một chu tuyến đóng, r+ ∈ R+ (Γ), r− ∈ R0 (Γ). Thì ta có đẳng thức (Sr+ )(t) = r+ (t) và (Sr− )(t) = −r− (t). Hệ quả 1.2. Cho Γ là một chu tuyến đóng Lyapunov và r ∈ R(Γ) thì ta được đẳng thức (S 2 r)(t) = r(t). 17 Hệ quả 1.3. Cho T là một đường tròn đơn vị {t ∈ C : |t| = 1} thì span{tk }+∞ −∞ (|t| = 1) trù mật trong Lp (T). Bổ đề 1.2. (Riesz) Toán tử S0 bị chặn trong Lp (T), 1 < p < ∞. Chứng minh. Cho ϕ(t) = tm , t ∈ T, m = 0, ±1, . . . , theo bổ đề trên    ϕ(t) khi m ≥ 0   (S0 ϕ)(t) =    −ϕ(t) khi m < 0. Vì hệ: {tm }+∞ −∞ bị chặn trong L2 (T) và ||S0 ||L2 = 1. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng toán tử S0 bị chặn trong không gian Lp (T)với p ∈ [2; ∞). n n −1 P P P Cho ϕ(t) = ak tk , ϕ+ (t) = ak tk , ϕ− (t) = ak tk . Vì ϕ = k=−n k=0 k=−n ϕ+ + ϕ− S0 ϕ = ϕ+ − ϕ− , theo bổ đề trên, ta có ϕ2 + (S0 ϕ)2 = 2(ϕ2+ + ϕ2− ) = 2S0 (ϕ2+ − ϕ2− ) = 2S0 (ϕS0 ϕ) Suy ra ||(S0 ϕ)2 ||Lp ≤ ||2S0 (ϕS0 ϕ)||Lp + ||ϕ2 ||Lp Sử dụng bất đẳng thức Holder, chúng ta có ||ϕ2 ||Lp = ||ϕ||2Lp , ||ϕ.ψ||Lp ≤ ||ϕ||L2p ||ψ||L2p Suy ra ||S0 ϕ||2L2p ≤ 2||S0 ||Lp ||ϕ||L2p ||S0 ϕ||L2p + ||ϕ||2L2p tương đương với y 2 − 2||S0 ||Lp y − 1 ≤ 0, với y = 18 ||S0 ϕ||L2p ||ϕ||L2p
- Xem thêm -