Tài liệu Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương [tt]

§¹i häc HuÕ Tr­êng §¹i häc S­ Ph¹m trÇn ®ç minh ch©u VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè M· sè: 62.46.01.04 tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014 C«ng tr×nh ®­îc hoµn thµnh t¹i tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc HuÕ. Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: 1. PGS.TS. Lª thÞ Thanh Nhµn - §HKH Th¸i Nguyªn 2. GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt - §¹i häc HuÕ Ph¶n biÖn 1: ................................................................ Ph¶n biÖn 2:................................................................ Ph¶n biÖn 3: ................................................................ LuËn ¸n sÏ ®­îc b¶o vÖ tr­íc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp tr­êng häp t¹i tr­êng §¹i häc HuÕ, sè 04, Lª Lîi, thµnh phè Thõa Thiªn HuÕ, vµo håi................ngµy.....th¸ng.....n¨m 2015 Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: -Th­ viÖn quèc gia ViÖt Nam -Th­ viÖn tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc HuÕ 1 Më ®Çu Vµo nh÷ng n¨m 1960, A. Grothendieck ®· giíi thiÖu lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng dùa trªn c«ng tr×nh cña J. P. Serre n¨m 1955 vÒ c¸c bã ®¹i sè. Ngay sau ®ã, lý thuyÕt nµy nhanh chãng ph¸t triÓn vµ ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m. Ngµy nay lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng ®· trë thµnh c«ng cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh­ §¹i sè giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp... Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ quan träng vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng lµ tÝnh triÖt tiªu. Cho M lµ m«®un trªn vµnh giao ho¸n Noether R. N¨m 1967, A. Grothendieck ®· chØ ra r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng triÖt tiªu t¹i mäi cÊp HIi (M ) i > dim Supp M vµ nÕu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, M lµ h÷u h¹n sinh th× Hmd (M ) 6= 0, trong ®ã d = dim M. Sau ®ã, «ng còng chøng minh ®­îc ®é s©u cña M lµ sè i bÐ nhÊt ®Ó Hmi (M ) 6= 0. §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne næi tiÕng cßn kh¼ng ®Þnh r»ng nÕu cña vµnh ®Þa ph­¬ng I lµ i®ªan (R, m) víi dim R = n th× HIn (R) = 0 khi vµ chØ khi b R b + P) ≥ 1 víi mäi i®ªan nguyªn tè liªn kÕt chiÒu cao nhÊt P dim R/(I b TÝnh chÊt tiÕp theo ®­îc rÊt nhiÒu ng­êi quan cña vµnh ®Çy ®ñ m-adic R. t©m lµ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. Ngay c¶ khi M h÷u h¹n sinh th× HIi (M ) nh×n chung kh«ng h÷u h¹n sinh. V× thÕ ng­êi ta ®Æt ra c©u hái víi ®iÒu kiÖn nµo th× m«®un G. Faltings ®· ®Æc tr­ng sè HIi (M ) h÷u h¹n sinh. N¨m 1978, i bÐ nhÊt ®Ó HIi (M ) kh«ng h÷u h¹n sinh. §Æc biÖt, «ng cßn ®­a ra nguyªn lý ®Þa ph­¬ng toµn côc vÒ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. Mét trong nh÷ng tÝnh chÊt rÊt ®­îc chó ý cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng lµ tÝnh Artin. Cho (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph­¬ng vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. N¨m 1971, b»ng mét chøng 2 minh ng¾n gän sö dông gi¶i néi x¹ tèi thiÓu cña néi x¹ M vµ tÝnh Artin cña bao E(R/m), I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp ®· suy ra ®­îc Hmi (M ) lu«n lµ Artin víi mäi i ≥ 0. Sau ®ã, sö dông §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum- Hartshorne, R. Y. Sharp ph¸t hiÖn ra líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin thø hai lµ HId (M ). VÒ sau, L. Melkersson ®· chøng minh l¹i hai kÕt qu¶ vÒ tÝnh Artin nµy b»ng mét ph­¬ng ph¸p s¬ cÊp. NhiÒu th«ng tin vÒ hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin Hmi (M ) vµ HId (M ) ®· ®­îc ph¶n ¸nh th«ng qua c¸c c«ng tr×nh cña R. Y. Sharp, M. Brodmann-Sharp, M. Hochster vµ C. Huneke , K. E. Smith, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel, H. Zöschinger vµ c¸c c«ng tr×nh cña N. T. C­êng cïng c¸c häc trß. Theo I. G. Macdonald, tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña R-m«®un Artin A, kÝ hiÖu lµ AttR A, cã vai trß quan träng t­¬ng tù nh­ tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Môc ®Ých cña luËn ¸n lµ nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp bÊt k× víi gi¸ cùc ®¹i nhÊt víi gi¸ tïy ý së Hmi (M ) vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao HId (M ), tõ ®ã lµm râ cÊu tróc cña m«®un M vµ vµnh c¬ R. §ång thêi, c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt nµy cßn ®­îc nghiªn cøu trong mèi liªn hÖ víi sè béi, tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ ®èi ®Þa ph­¬ng hãa cña hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng r»ng mét nÕu Hmi (M ) vµ HId (M ). Nh¾c l¹i R-m«®un Artin A ®­îc gäi lµ tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè AnnR (0 :A p) = p víi mçi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR A. TÝnh b·o hßa nguyªn tè ®­îc giíi thiÖu bëi N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn nh»m nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un Artin. Hmi (M ) cã cÊu tróc b-m«®un Artin nªn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) trªn R b lu«n R Chó ý r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng x¸c ®Þnh. C©u hái tù nhiªn ®Æt ra lµ mèi quan hÖ gi÷a hai tËp AttR Hmi (M ) AttRb Hmi (M ) nh­ thÕ nµo. N¨m 1975, R. Y. Sharp chøng minh ®­îc khi b ch¹y trong Att b Hmi (M ) th× tËp c¸c i®ªan nguyªn i®ªan nguyªn tè P cña R vµ tè P∩R R i chÝnh lµ AttR Hm (M ). ¤ng cßn ®­a thªm mét sè th«ng tin vÒ 3 chiÒu cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña ®Ò ng­îc l¹i, cho tr­íc tËp Hmi (M ) trªn R. Tuy nhiªn, vÊn AttR Hmi (M ), b»ng c¸ch nµo x¸c ®Þnh ®­îc tËp AttRb Hmi (M ) vÉn ch­a ®­îc gi¶i quyÕt. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i ®­a ra c©u tr¶ lêi cho vÊn ®Ò ®ã. Khi R lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh Gorenstein, R. Y. Sharp ®· chøng minh nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph­¬ng ®Ó chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña i−dim R/p Hmi (M ) qua ®Þa ph­¬ng hãa HpRp (Mp ). ý t­ëng nµy tiÕp tôc ®­îc M. Brodmann vµ R. Y. Sharp sö dông ®Ó nghiªn cøu chiÒu vµ sè béi cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hmi (M ) vµ më réng kÕt qu¶ ®ã cho líp vµnh catenary phæ dông cã mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Chó ý r»ng nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph­¬ng nµy kh«ng ®óng trong tr­êng hîp tæng qu¸t. V× thÕ bµi to¸n thø hai ®­îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ t×m ®iÒu kiÖn cña vµnh c¬ së víi mäi m«®un R ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch Hmi (M ). KÕt qu¶ cña I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp n¨m 1971 ®· m« t¶ rÊt râ rµng tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i b. Tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, Hmd (M ) trªn R vµ R n¨m 1979, R. Y. Sharp tiÕp tôc m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña trªn vµnh HId (R) b Sau ®ã, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel ®· më réng kÕt qu¶ R. nµy cho m«®un. MÆc dï vËy, vÊn ®Ò x¸c ®Þnh tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña HId (M ) trªn vµnh R vÉn lµ vÊn ®Ò më. Bµi to¸n thø ba ®­îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un trªn vµnh HId (M ) R trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè, ®èi ®Þa ph­¬ng hãa vµ c«ng thøc béi liªn kÕt cña m«®un nµy. VÒ ph­¬ng ph¸p tiÕp cËn, ®Ó nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i, nÕu R lµ th­¬ng cña vµnh Gorenstein th× b»ng c¸ch sö dông ®èi ngÉu ®Þa ph­¬ng vµ c¸c tÝnh chÊt quen biÕt cña m«®un h÷u h¹n sinh ta cã i thÓ thu ®­îc nh÷ng th«ng tin cña Hm (M ) mét c¸ch nhanh chãng. Tuy nhiªn, trªn vµnh tïy ý, chóng t«i ph¶i sö dông khÐo lÐo tËp gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi 4 M. Brodmann vµ R. Y. Sharp vµ nh÷ng tÝnh chÊt ®Æc thï vÒ chiÒu cña m«®un Artin ®Ó chøng minh c¸c kÕt qu¶. §Ó nghiªn cøu líp m«®un HId (M ), chóng t«i cÇn ®Õn nh÷ng hiÓu biÕt s©u vÒ §Þnh lý ph©n tÝch nguyªn s¬ Noether, tÝnh chÊt ®èi h÷u h¹n cña HId (M ) vµ mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt vÒ líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nµy. LuËn ¸n ®­îc chia lµm 3 ch­¬ng. Ch­¬ng 1 nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ së nh­ biÓu diÔn thø cÊp, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, tÝnh catenary phæ dông cña vµnh. Ch­¬ng 2, ®­îc viÕt dùa theo c¸c bµi b¸o vµ tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp tïy ý víi gi¸ cùc ®¹i. Ch­¬ng 3 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k×. Trong suèt luËn ¸n, lu«n gi¶ thiÕt ph­¬ng, (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu Krull dim M = d vµ A lµ R-m«®un Artin. Trong Ch­¬ng 2, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn viÖc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ m-adic. Cô thÓ, chóng t«i ®Æc tr­ng vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ). Chóng t«i còng ®­a ra ®iÒu kiÖn cÇn cña vµnh c¬ së R ®Ó tån t¹i mét hµm tö ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch víi mäi m«®un Artin Hmi (M ). Víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh, c«ng thøc sau cho ta mèi quan hÖ gi÷a c tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M vµ tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M [ c= b R). b Ass b M Ass b (R/p R R p∈Ass M Tuy nhiªn c«ng thøc ®èi ngÉu cho m«®un Artin AttRb A = [ p∈AttR A A b R) b AssRb (R/p (1) 5 nh×n chung kh«ng ®óng thËm chÝ khi A = Hmi (M ) (xem VÝ dô 2.1.2). Chóng t«i chØ ra r»ng c«ng thøc (1) ®óng cho mäi m«®un Artin x¹ c¶m sinh A khi vµ chØ khi ¸nh b → Spec(R) lµ song ¸nh (MÖnh ®Ò 2.1.3). Khi R f a : Spec(R) lµ th­¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng minh ®­îc mèi quan hÖ sau gi÷a (R0 , m0 ) chiÒu n, chóng t«i chøng AttR Hmi (M )) vµ AttRb Hmi (M ) (MÖnh ®Ò 2.1.7) AttRb (Hmi (M )) = [ b R). b AssRb (R/p (2) i (M )) p∈AttR (Hm Chó ý r»ng tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph­¬ng R kh«ng thÓ viÕt d­íi d¹ng th­¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng nh­ng c«ng thøc (2) vÉn ®óng víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0 (xem VÝ dô 2.1.8). V× thÕ mét c©u hái tù nhiªn lµ liÖu quan hÖ (2) cßn ®óng trong tr­êng hîp tæng qu¸t h¬n, khi R lµ vµnh catenary phæ dông víi mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. §Þnh lý 2.2.5, kÕt qu¶ chÝnh ®Çu tiªn cña Ch­¬ng 2, tr¶ lêi mét phÇn cho c©u hái nµy, trong ®ã mét sè ®Æc tr­ng cña vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp AttRb (Hmi (M )) vµ AttR (Hmi (M )) ®­îc ®­a ra. C«ng cô chÝnh ®Ó chøng minh §Þnh lý 2.2.5 lµ kh¸i niÖm gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi M. Brodmann vµ R.Y. Sharp. Víi mçi sè nguyªn i ≥ 0, gi¶ gi¸ thø i cña M , kÝ hiÖu lµ PsuppiR (M ), ®­îc cho bëi c«ng thøc i−dim R/p PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec R : HpRp Chó ý r»ng vai trß cña (Mp ) 6= 0}. PsuppiR (M ) ®èi víi m«®un Artin Hmi (M ) theo nghÜa nµo ®ã t­¬ng tù nh­ tËp gi¸ ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Tõ §Þnh lý 2.2.5, chóng ta suy ra mét ®Æc tr­ng n÷a cho líp vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a vµ PsuppiR (M ) c) (HÖ qu¶ 2.2.8). PsuppiRb (M Víi mçi i®ªan nguyªn tè p cña R, hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa t¹i p lµ hµm tö khíp, tuyÕn tÝnh tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un tháa 6 m·n Mp lµ Rp -m«®un Noether vµ Mp 6= 0 víi mäi p ⊇ AnnR M. Tuy nhiªn, ngay c¶ khi p ⊇ AnnR A, nÕu p 6= m th× Ap = 0. V× thÕ, trªn nhiÒu khÝa c¹nh, hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa kh«ng h÷u Ých trong viÖc nghiªn cøu m«®un Artin. Do ®ã chóng ta cÇn x©y dùng víi mçi ®Þa ph­¬ng hãa" c¸c p ∈ Spec(R) mét hµm tö "®èi Fp : MR → MRp tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï Rp -m«®un sao cho Fp t­¬ng thÝch víi mäi R-m«®un Artin A, nghÜa lµ Fp cã c¸c tÝnh chÊt sau: (a) Fp lµ tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin; (b) Fp biÕn c¸c R-m«®un Artin thµnh c¸c Rp -m«®un Artin; (c) Fp (A) 6= 0 nÕu p ⊇ AnnR A víi mçi R-m«®un Artin A. Chóng t«i chØ ra mét ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i hµm tö ®èi ®Þa ph­¬ng hãa nh­ vËy lµ ¸nh x¹ tù nhiªn thí h×nh thøc cña b tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn. §Æc biÖt, mäi R→R R ®Òu lµ vµnh Artin (§Þnh lý 2.3.8). Mét sè t¸c gi¶ ®· x©y dùng ®èi ®Þa ph­¬ng hãa Fp , víi mçi p ∈ Spec(R). Tuy nhiªn kh«ng mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa nµo tháa m·n c¶ ba tÝnh chÊt (a), (b), (c) ë trªn. Víi gi¶ thiÕt R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay, M. Brodmann vµ R.Y. Sharp ®· xem vai trß cña i−dim(R/p) Rp -m«®un HpRp (Mp ) nh­ lµ ®èi ®Þa ph­¬ng hãa cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hmi (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi liªn kÕt cña Hmi (M ). C©u hái ®Æt ra lµ víi ®iÒu kiÖn nµo ta cã ®­îc mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch cho mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hmi (M )? §Þnh lý 2.3.11 lµ c©u tr¶ lêi bé phËn cho c©u hái nµy. Chóng t«i chØ ra r»ng ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó, víi mçi p ∈ Spec(R), tån t¹i mét hµm tö ®èi ®Þa ph­¬ng hãa Fp : MR → MRp tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un sao cho Fp t­¬ng thÝch víi mäi m«®un Hmi (M ) lµ vµnh R lµ catenary phæ dông víi mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Trong Ch­¬ng 3, chóng t«i quan t©m ®Õn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× trong mèi 7 liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ sè béi cña m«®un nµy. Theo N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn, mét nÕu R-m«®un A tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. TÝnh b·o hßa nguyªn tè nh×n chung kh«ng tháa m·n víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin. N. T. C­êng - L. T. Nhµn - N. T. Dung ®· ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i Hmd (M ) th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh R/ AnnR (Hmd (M )) vµ chØ ra r»ng nÕu R lµ miÒn nguyªn kh«ng catenary th× Hmdim R (R) kh«ng b·o hßa nguyªn tè. Víi cÊp i tïy ý, L. T. Nhµn vµ T. N. An ®· ®Æc tr­ng tÝnh Hmi (M ). Hä chøng minh r»ng Hmi (M ) tháa m·n tÝnh
i i b·o hßa nguyªn tè nÕu vµ chØ nÕu PsuppR (M ) = Var AnnR Hm (M ) . Chó b·o hßa nguyªn tè cña ý r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HId (M ) lµ Artin vµ m«®un nµy cã thÓ kh«ng tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè ngay c¶ khi R lµ th­¬ng cña vµnh chÝnh quy (xem VÝ dô 3.3.7). §Ó nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña HId (M ), chóng t«i ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un nµy th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th­¬ng cña M (§Þnh lý 3.1.2). Tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp ®· m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng trªn vµnh ®Çy ®ñ HIdim R (R) b KÕt qu¶ nµy ®· ®­îc K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel R. më réng cho m«®un. Trong luËn ¸n nµy, tõ §Þnh lý 3.1.2, chóng t«i më réng kÕt qu¶ trªn cña R. Y. Sharp cho tr­êng hîp m«®un HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè (HÖ qu¶ 3.2.2). PhÇn cuèi cña ch­¬ng dµnh ®Ó nghiªn cøu ®èi gi¸ vµ sè béi cho m«®un HId (M ). Hµm tö "®èi ngÉu víi ®Þa ph­¬ng hãa" ®Þnh nghÜa bëi K. E. Smith
Fp (−) = HomR HomR (−, E(R/m)), E(R/p) tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un, trong ®ã E(−) lµ bao 8 néi x¹ ®· gîi ý cho chóng t«i ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm tËp ®èi gi¸ cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HId (M ), kÝ hiÖu lµ CosR (HId (M )), tõ ®ã ®­a ra ®Æc tr­ng kh¸c cho tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña HId (M ) th«ng qua tËp ®èi gi¸ (§Þnh lý 3.3.5). Víi mçi R-m«®un Artin A, ta kÝ hiÖu N-dimR A lµ chiÒu Noether cña A giíi thiÖu bëi R. N. Roberts. Theo D. Kirby, nÕu q lµ i®ªan cña R sao cho (0 :A q) cã ®é dµi h÷u h¹n th× `R (0 :A qn+1 ) lµ mét ®a thøc bËc N-dimR A víi q hÖ sè h÷u tû khi n ®ñ lín, ta kÝ hiÖu ®a thøc nµy lµ ΘA (n). §Æt N-dimR A = s. Ta cã biÓu diÔn ΘqA (n) khi = `(0 :A q n+1 e0 (q, A) s )= n + ®a thøc cã bËc nhá h¬n s s! n  0, trong ®ã e0 (q, A) lµ mét sè nguyªn d­¬ng. Ta gäi e0 (q, A) lµ béi cña A øng víi q. N¨m 2002, M. Brodmann vµ R. Y. Sharp ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm tËp gi¶ gi¸ liªn kÕt cho m«®un ®èi gi¸ sè PsuppiR (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi Hmi (M ). KÕt qu¶ cuèi cïng cña Ch­¬ng 3 lµ sö dông tËp CosR (HId (M )) ®Ó ®­a ra c«ng thøc liªn kÕt vÒ sè béi cho HId (M ) khi m«®un nµy tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè (HÖ qu¶ 3.3.8). Ch­¬ng 1 kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc ®· biÕt vÒ biÓu diÔn thø cÊp vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, líp vµnh catenary phæ dông nh»m thuËn tiÖn cho viÖc theo dâi kÕt qu¶ trong c¸c ch­¬ng sau. Môc 1.1 nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ vÒ biÓu diÔn thø cÊp cña m«®un Artin. Môc 1.2 dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nh­ tÝnh ®éc lËp víi vµnh c¬ së, tÝnh triÖt tiªu, tÝnh Artin. Chóng t«i ®Æc biÖt quan t©m ®Õn nh÷ng tÝnh chÊt vÒ tËp i®ªan nguyªn 9 tè g¾n kÕt cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin. Môc 1.3 nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ mét sè kÕt qu¶ cña vµnh catenary phæ dông. Trong Môc 1.4, chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm chiÒu Noether vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin. Ch­¬ng 2 m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i Trong suèt ch­¬ng nµy, lu«n gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph­¬ng, A lµ R-m«®un Artin vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. Víi mçi i®ªan I cña R, kÝ hiÖu Var(I) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa I . b vµ M c lÇn l­ît lµ ®Çy ®ñ m-adic cña R vµ M . Môc tiªu cña ch­¬ng KÝ hiÖu R nµy lµ nghiªn cøu viÖc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ m-adic trong mèi liªn hÖ víi tÝnh catenary phæ dông vµ c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay cña vµnh c¬ së. CÊu tróc cña vµnh c¬ së cßn ®­îc ph¶n ¸nh qua sù tån t¹i i (M ) mµ chóng mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch cho mäi m«®un Artin Hm t«i nghiªn cøu trong phÇn cuèi cña ch­¬ng nµy. 2.1 ChuyÓn i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt qua ®Çy ®ñ Víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M , mèi liªn hÖ gi÷a tËp c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña c ®­îc cho bëi M vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M hai c«ng thøc sau. c= Bæ ®Ò 2.1.1. (i) Ass b M R [ b R); b AssRb (R/p p∈Ass M (ii) c . AssR M = P ∩ R | P ∈ AssRb M Cho  b-m«®un Artin nªn tËp i®ªan A lµ R-m«®un Artin. V× A cã cÊu tróc R b lu«n x¸c ®Þnh. R. Y. Sharp ®· chøng minh nguyªn tè g¾n kÕt cña A trªn R 10 mèi quan hÖ gi÷a hai tËp AttR A vµ AttRb A ®­îc cho bëi c«ng thøc nh­ sau AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}. C«ng thøc nµy lµ ®èi ngÉu víi c«ng thøc (ii) trong Bæ ®Ò 2.1.1. Tuy nhiªn ®èi ngÉu víi c«ng thøc (i) trong Bæ ®Ò 2.1.1 [ AttRb A = b R) b AssRb (R/p (1) p∈AttR A nh×n chung kh«ng ®óng, ngay c¶ khi A lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i (Xem VÝ dô 2.1.2). Sau ®©y chóng t«i ®­a ra ®Æc tr­ng cña vµnh c¬ së ®Ó c«ng thøc (1) ®óng víi mäi R-m«®un Artin A. MÖnh ®Ò 2.1.3. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) [ AttRb A = b R) b víi mçi R-m«®un Artin A; AssRb (R/p p∈AttR A (ii) b → Spec(R) lµ song ¸nh. ¸nh x¹ c¶m sinh f a : Spec(R) Chó ý r»ng, tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph­¬ng (R, m) kh«ng ®Çy ®ñ sao cho [ AttRb A = b R) b AssRb (R/p p∈AttR A víi mäi R-m«®un Artin A. Ch¼ng h¹n, nÕu R lµ mét vµnh ®Þnh gi¸ rêi r¹c kh«ng ®Çy ®ñ th× R tháa m·n ®iÒu kiÖn trong MÖnh ®Ò 2.1.3 vµ do ®ã c«ng thøc nµy lµ ®óng. VÝ dô 2.1.2 ®· chøng tá r»ng c«ng thøc (1) nh×n chung kh«ng ®óng cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i. V× thÕ ta tiÕp tôc xem xÐt mèi quan hÖ AttRb (Hmi (M )) [ = b R) b AssRb (R/p i (M )) p∈AttR (Hm gi÷a hai tËp AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ). KÕt qu¶ sau ®©y ®­a ra mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó c«ng thøc nµy lu«n ®óng. 11 MÖnh ®Ò sau ®©y lµ kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy. MÖnh ®Ò 2.1.7. Gi¶ sö Khi ®ã víi mçi R lµ th­¬ng cña mét vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng. R-m«®un h÷u h¹n sinh M AttRb (Hmi (M )) = vµ víi mçi sè nguyªn [ b R). b AssRb (R/p i ≥ 0 ta cã (2) i (M )) p∈AttR (Hm Chó ý r»ng tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph­¬ng (2) lu«n ®óng víi mäi (R, m) sao cho c«ng thøc R-m«®un Hmi (M ) nh­ng R kh«ng lµ th­¬ng cña mét vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng (xem VÝ dô 2.1.8). 2.2 Tr­êng hîp vµnh catenary phæ dông víi thí h×nh thøc Cohen- Macaulay Nh­ chóng ta ®· biÕt, nÕu R lµ th­¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng th× R lµ th­¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay, nh­ng ®iÒu ng­îc l¹i kh«ng ®óng, ch¼ng h¹n khi R lµ miÒn nguyªn chiÒu 1 trong VÝ dô 2.1.8 lµ vµnh Cohen- Macaulay nh­ng kh«ng lµ th­¬ng cña vµnh Gorenstein. Nãi c¸ch kh¸c, líp vµnh lµ th­¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng thùc sù n»m trong líp vµnh lµ th­¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay ®Þa ph­¬ng. T. Kawasaki ®· chøng minh ®­îc R lµ th­¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay ®Þa ph­¬ng khi vµ chØ khi R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Nh¾c l¹i r»ng, víi mçi b sao cho P ∩ R = p, ®ång p ∈ Spec(R) vµ P ∈ Spec(R) b c¶m sinh ra ®ång cÊu ®Þa ph­¬ng f : Rp → R bP . Khi cÊu tù nhiªn R → R bP ⊗ (Rp /pRp ) ∼ bP /pR bP cña ®ång cÊu f trªn i®ªan cùc ®¹i ®ã vµnh thí R =R pRp cña Rp ®­îc gäi lµ thí h×nh thøc cña R øng víi p vµ P. Mét c©u hái tù nhiªn lµ c«ng thøc (2) cßn ®óng khi xÐt trªn líp vµnh më réng h¬n nh­ líp vµnh catenary phæ dông víi mäi thí h×nh thøc Cohen-Macaulay? Môc tiªu cña tiÕt nµy lµ tr¶ lêi mét phÇn cho c©u hái ®ã. Cô thÓ, chóng t«i ®­a ra mét ®Æc tr­ng cho líp vµnh catenary phæ dông cã mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt tèi tiÓu cña b C«ng cô chñ yÕu mµ chóng t«i sö dông Hmi (M ) trªn R vµ R. 12 ®Ó chøng minh kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy lµ kh¸i niÖm gi¶ gi¸ thø i cña M , ®­îc giíi thiÖu bëi M. Brodmann vµ R. Y. Sharp. Kh¸i niÖm nµy ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau. §Þnh nghÜa 2.2.1. lµ Cho i ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. Gi¶ gi¸ thø i cña M , kÝ hiÖu PsuppiR (M ), ®­îc cho bëi c«ng thøc i−dim(R/p) PsuppiR M = {p ∈ Spec(R) | HpRp (Mp ) 6= 0}. §Þnh lý sau ®©y lµ kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy. §Þnh lý 2.2.5. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay; i (ii) min AttRb (Hm (M )) [ = min b R) b AssRb (R/p R- víi mäi i (M )) p∈AttR (Hm m«®un h÷u h¹n sinh (iii) M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0; dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR Hmi (M ) h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn víi mäi R-m«®un h÷u i ≥ 0. Tõ ®Þnh lý trªn, chóng t«i tiÕp tôc ®Æc tr­ng cÊu tróc cña vµnh c¬ së R th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp gi¶ gi¸ thø c. Nh×n chung, i cña M vµ M i i c ). ta cã mèi quan hÖ sau gi÷a hai tËp PsuppR (M ) vµ Psupp b (M R Bæ ®Ò 2.2.7. Víi mçi sè nguyªn i ≥ 0, ta cã c)}. PsuppiR M ⊆ {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M Sau ®©y, chóng t«i ®­a ra mét ®Æc tr­ng kh¸c cña vµnh catenary phæ dông víi mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua tËp gi¶ gi¸ thø i cña M. HÖ qu¶ 2.2.8. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay; (ii) c)} víi mäi R-m«®un h÷u h¹n PsuppiR M = {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M 13 sinh M 2.3 §èi ®Þa ph­¬ng hãa Khi vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0. R lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh Gorenstein, n¨m 1975, R. Y. Sharp ®· chøng minh nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph­¬ng ®Ó chuyÓn tËp i®ªan nguyªn i−dim R/p i tè g¾n kÕt cña Hm (M ) qua ®Þa ph­¬ng hãa HpRp xem tè i−dim R/p HpRp (Mp ). P. Schenzel còng (Mp ) nh­ lµ "®Þa ph­¬ng hãa" cña Hmi (M ) t¹i i®ªan nguyªn p ®Ó nghiªn cøu c¸c m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph­¬ng. ý t­ëng nµy tiÕp tôc ®­îc R. Y. Sharp vµ M. Brodmann sö dông ®Ó nghiªn cøu chiÒu vµ sè béi cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hmi (M ) vµ më réng kÕt qu¶ ®ã trªn líp vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ CohenMacaulay. VÊn ®Ò ë ®©y lµ nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph­¬ng nµy kh«ng ®óng trong tr­êng hîp tæng qu¸t. Môc tiªu cña tiÕt nµy lµ t×m ®iÒu kiÖn cña vµnh c¬ së R ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch cho mäi m«®un Hmi (M ). Víi mçi i®ªan nguyªn tè p cña R, ®Þa ph­¬ng hãa t¹i p lµ mét hµm tö khíp, tuyÕn tÝnh tõ ph¹m trï c¸c cho R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un sao Mp lµ Rp -m«®un Noether vµ Mp 6= 0 víi mäi p ⊇ AnnR M. Hµm tö nµy ®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu m«®un Noether. Tuy nhiªn, ®èi víi R-m«®un Artin A, nÕu p 6= m th× Ap = 0, do ®ã Supp(A) ⊆ {m}. Nh­ vËy, hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa kh«ng h÷u hiÖu trong viÖc nghiªn cøu m«®un Artin. V× thÕ chóng ta cÇn x©y dùng víi mçi ph­¬ng hãa" Artin p ∈ Spec(R) mét hµm tö "®èi ®Þa Fp : MR → MRp sao cho Fp t­¬ng thÝch víi mäi R-m«®un A, nghÜa lµ Fp cã c¸c tÝnh chÊt sau: (a) Fp lµ tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin; (b) Fp biÕn c¸c R-m«®un Artin thµnh c¸c Rp -m«®un Artin; (c) Fp (A) 6= 0 nÕu p ⊇ AnnR A víi mçi R-m«®un Artin A. Mét sè t¸c gi¶ ®· x©y dùng ®èi ®Þa ph­¬ng hãa Fp , víi mçi p ∈ Spec(R). 14 Tuy nhiªn kh«ng mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa nµo tháa m·n c¶ ba tÝnh chÊt (a), (b), (c) ë trªn. Trong tiÕt nµy, chóng t«i ®­a ra mét ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i ®èi ®Þa ph­¬ng tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b), (c) vµ tõ ®ã cho thÊy mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa nh­ thÕ nh×n chung kh«ng tån t¹i. Tr­íc hÕt chóng t«i tr×nh bµy mét sè bæ ®Ò chuÈn bÞ cho chøng minh kÕt qu¶ chÝnh. Bæ ®Ò 2.3.1. NÕu p ∈ AttR A th× AnnR (0 :A p) = p. Bæ ®Ò 2.3.3. Cho A = A1 + . . . + An A, trong ®ã Ai lµ pi -thø cÊp. Cho r lµ mét biÓu diÔn thø cÊp tèi tiÓu cña lµ sè nguyªn sao cho 0 < r < n. §Æt B = A1 + . . . + Ar . Khi ®ã AttR (A/B) = {pr+1 , . . . , pn }. Víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ p ∈ Spec(R), ta ®· biÕt tÝnh chÊt p 6⊇ AnnR M khi vµ chØ khi Mp = 0. NÕu Fp lµ mét hµm tö ®èi ®Þa ph­¬ng hãa tuyÕn tÝnh cña m«®un Artin th× ta còng cã mét tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ sau. Bæ ®Ò 2.3.4. Cho p ∈ Spec(R). Gi¶ sö r»ng p 6⊇ AnnR A. Khi ®ã Fp (A) = 0 víi mçi hµm tö tuyÕn tÝnh Bæ ®Ò 2.3.6. Cho Fp : MR → MRp . p ∈ Spec(R). Gi¶ sö tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c Artin sao cho Fp : MR → MRp R-m«®un Artin. Cho lµ mét hµm tö A lµ R-m«®un Fp (A) lµ Rp -m«®un Artin kh¸c 0. Khi ®ã AnnR (0 :A p) = p. Theo N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn, víi mçi R-m«®un Artin A ta cã N-dimR A ≤ dim(R/ AnnR A). H¬n n÷a, tån t¹i R-m«®un Artin A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A). MÖnh ®Ò sau ®©y ®­a ra mét sè ®Æc tr­ng ®Ó ®¼ng thøc x¶y ra, trong ®ã chó ý r»ng mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng gi÷a (i) vµ (iii) ®· ®­îc chøng minh bëi H. Zöschinger. MÖnh ®Ò 2.3.7. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) dim(R/ AnnR A) = N-dimR A víi mçi R-m«®un Artin A; (ii) dim(R/ AnnR A) = N-dimR A víi mçi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng 15 cÊp cao nhÊt (iii) b b vµ k = dim(R/P) b A = Hmk Rb (R/P) , trong ®ã P ∈ Spec(R) ; b b. dim(R/P) = dim(R/(P ∩ R)) víi mäi P ∈ Spec(R) §Þnh lý sau ®©y chØ ra ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch víi mäi m«®un Artin (nghÜa lµ tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b), (c) ®· nãi ®Õn ë trªn). Gi¶ sö r»ng tån t¹i, víi mçi §Þnh lý 2.3.8. p ∈ Spec(R), mét hµm tö Fp : MR → MRp tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b), (c). Khi ®ã ¸nh x¹ tù b tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn. §Æc biÖt, mäi thí h×nh thøc cña R nhiªn R → R ®Òu lµ vµnh Artin. §èi víi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin ta còng cã Hmi (M ), nh×n chung N-dimR (Hmi (M )) ≤ dim(R/ AnnR Hmi (M )). H¬n n÷a tån t¹i 1 (R)) vµnh ®Þa ph­¬ng (R, m) sao cho N-dimR (Hm Theo MÖnh ®Ò 1.4.8, t¹i mçi cÊp i, nÕu nguyªn tè th× < dim(R/ AnnR Hm1 (R)). Hmi (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa N-dimR (Hmi (M )) = dim(R/ AnnR Hmi (M )), nghÜa lµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè m¹nh h¬n, suy ra ®­îc ®¼ng thøc vÒ chiÒu. KÕt qu¶ sau i (M )) ®©y kh«ng nh÷ng ®­a ra mét vµi ®Æc tr­ng ®Ó ®¼ng thøc N-dimR (Hm = dim(R/ AnnR Hmi (M )) ®óng víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin Hmi (M ) mµ cßn cho thÊy khi ®¼ng thøc vÒ chiÒu nµy tháa m·n cho mäi m«®un M , t¹i mäi cÊp i th× nã t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Bæ ®Ò 2.3.10. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR (Hmi (M )) víi mäi (ii) víi mäi sè nguyªn i vµ R-m«®un h÷u h¹n sinh M ; Hmi (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè víi mäi sè nguyªn i, víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M ; (iii) Vµnh R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen- Macaulay. Víi mçi p ∈ Spec(R), cho Fp lµ ®èi ®Þa ph­¬ng hãa ®Þnh nghÜa bëi A. S. 16 Richardson. NÕu vµnh c¬ së Fp (Hmi (M )) = R lµ ®Çy ®ñ th× tõ ®èi ngÉu ®Þa ph­¬ng suy ra i−dim(R/p) HpRp (Mp ). Víi gi¶ thiÕt vµnh R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay, M. Brodmann vµ R. Y. Sharp ®· i−dim(R/p) xem vai trß cña Rp -m«®un HpRp (Mp ) nh­ lµ "®èi ®Þa ph­¬ng hãa" cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin c«ng thøc liªn kÕt cho sè béi cña Hmi (M ) nh»m x©y dùng thµnh c«ng Hmi (M ). V× thÕ vÊn ®Ò ë ®©y lµ t×m ®iÒu kiÖn ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin Hmi (M ). Trong phÇn nµy chóng t«i ®­a ra ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa nh­ vËy cho §Þnh lý 2.3.11. Gi¶ sö tån t¹i, víi mçi tÝnh Fp : MR → MRp Fp (Hmi (M )) 6= 0 mäi p ∈ Spec(R), mét hµm tö khíp, tuyÕn trªn ph¹m trï c¸c víi bÊt k× Hmi (M ). R-m«®un, Fp (Hmi (M )) lµ Artin vµ p ⊇ AnnR Hmi (M ), víi mäi sè nguyªn i vµ víi R-m«®un h÷u h¹n sinh M . Khi ®ã vµnh R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. KÕt luËn ch­¬ng II Tãm l¹i, trong ch­¬ng nµy chóng t«i ®· thu ®­îc c¸c kÕt qu¶ sau ®©y: - §Æc tr­ng vµnh c¬ së ®Ó c«ng thøc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt qua ®Çy ®ñ tháa m·n víi mäi R-m«®un Artin. - Chøng minh c«ng thøc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ khi vµnh c¬ së lµ th­¬ng cña vµnh Gorenstein. - §­a ra mét sè ®Æc tr­ng cña vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp AttRb Hmi (M ) vµ c). AttR Hmi (M ); mèi quan hÖ gi÷a Psuppi (M ) vµ Psuppi (M - ChØ ra mét ®iÒu kiÖn cÇn trªn vµnh c¬ së hãa t­¬ng thÝch víi mäi R ®Ó tån t¹i ®èi ®Þa ph­¬ng R-m«®un Artin. - §­a ra mét tiªu chuÈn cña vµnh c¬ së ®Ó tån t¹i ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hmi (M ). 17 Ch­¬ng 3 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ tïy ý Trong suèt ch­¬ng nµy, lu«n gi¶ thiÕt víi i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt (R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph­¬ng m, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d vµ A lµ R-m«®un Artin. Víi mçi i®ªan I cña R, kÝ hiÖu Var(I) lµ tËp c¸c b vµ M c lÇn l­ît lµ ®Çy ®ñ m-adic i®ªan nguyªn tè cña R chøa I . KÝ hiÖu R cña R vµ M . TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i b ®· ®­îc I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp Hmd (M ) trªn R vµ R m« t¶ râ rµng. Tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp tiÕp tôc m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña b Sau HIdim R (R) trªn vµnh R. ®ã, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel ®· më réng kÕt qu¶ nµy cho m«®un. Môc tiªu cña ch­¬ng nµy lµ m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un HId (M ) trªn vµnh R trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè, ®èi ®Þa ph­¬ng hãa vµ c«ng thøc béi liªn kÕt cña m«®un tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña HId (M ). §Ó nghiªn cøu HId (M ), chóng t«i ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un nµy th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th­¬ng cña M. 3.1 TÝnh b·o hßa nguyªn tè Theo N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn, mét nguyªn tè nÕu R-m«®un A tháa m·n tÝnh b·o hßa AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. Khi R lµ vµnh ®Çy ®ñ, mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin ®Òu tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Tuy nhiªn, nh×n chung c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin kh«ng cã tÝnh chÊt nµy. TÝnh b·o hßa nguyªn tè ®· ®­îc ®Æc tr­ng cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i. Trong tiÕt nµy, chóng t«i tiÕp tôc ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho líp m«®un ®èi 18 ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin cÊp cao nhÊt øng víi gi¸ bÊt k× HId (M ) th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th­¬ng cña M. Tr­íc hÕt, chóng t«i ®­a ra mét sè kÝ hiÖu liªn quan ®Õn ph©n tÝch nguyªn s¬ cña m«®un con 0 cña M. KÝ hiÖu nµy ®­îc sö dông trong toµn bé Ch­¬ng 3. \ N (p) lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän KÝ hiÖu 3.1.1. Cho 0 = p∈AssR M cña m«®un con 0 cña M . KÝ hiÖu p AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m .  §Æt N = \ N (p). V× mçi phÇn tö cña AssR (I, M ) ®Òu lµ i®ªan p∈AssR (I,M ) nguyªn tè liªn kÕt tèi thiÓu cña M nªn R-m«®un N kh«ng phô thuéc vµo sù lùa chän ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0. Sau ®©y lµ ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HId (M ) trong mèi liªn hÖ víi tÝnh catenary cña vµnh c¬ së vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña §Þnh lý 3.1.2. Cho HId (M ). R-m«®un N x¸c ®Þnh nh­ trong KÝ hiÖu 3.1.1. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè; √ (ii) R/ AnnR HId (M ) lµ vµnh catenary vµ I +p = m (i) nguyªn tè g¾n kÕt (iii) víi mäi i®ªan p cña HId (M ); R/ AnnR HId (M ) lµ vµnh catenary vµ HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ). 3.2 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt Trong tiÕt nµy chóng t«i më réng kÕt qu¶ cña K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel tõ tr­êng hîp R ®Çy ®ñ sang tr­êng hîp m«®un HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Tr­íc hÕt, tõ §Þnh lý 3.1.2, chóng ta cã hÖ qu¶ sau vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tËp AssR (I, M ) vµ AttR HId (M ).