§¹i häc HuÕ
Trêng §¹i häc S Ph¹m
trÇn ®ç minh ch©u
VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè
M· sè: 62.46.01.04
tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
HuÕ - 2014
C«ng tr×nh ®îc hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc HuÕ.
Ngêi híng dÉn khoa häc:
1. PGS.TS. Lª thÞ Thanh Nhµn - §HKH Th¸i Nguyªn
2. GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt - §¹i häc HuÕ
Ph¶n biÖn 1: ................................................................
Ph¶n biÖn 2:................................................................
Ph¶n biÖn 3: ................................................................
LuËn ¸n sÏ ®îc b¶o vÖ tríc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp trêng häp
t¹i trêng §¹i häc HuÕ, sè 04, Lª Lîi, thµnh phè Thõa Thiªn HuÕ, vµo
håi................ngµy.....th¸ng.....n¨m 2015
Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i:
-Th viÖn quèc gia ViÖt Nam
-Th viÖn trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc HuÕ
1
Më ®Çu
Vµo nh÷ng n¨m 1960, A. Grothendieck ®· giíi thiÖu lý thuyÕt ®èi
®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng dùa trªn c«ng tr×nh cña J. P. Serre n¨m 1955 vÒ c¸c
bã ®¹i sè. Ngay sau ®ã, lý thuyÕt nµy nhanh chãng ph¸t triÓn vµ ®îc nhiÒu
nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m. Ngµy nay lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng ®· trë thµnh c«ng cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau
cña to¸n häc nh §¹i sè giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp...
Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ quan träng vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng lµ
tÝnh triÖt tiªu. Cho
M lµ m«®un trªn vµnh giao ho¸n Noether R. N¨m 1967,
A. Grothendieck ®· chØ ra r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
triÖt tiªu t¹i mäi cÊp
HIi (M )
i > dim Supp M vµ nÕu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng,
M lµ h÷u h¹n sinh th× Hmd (M ) 6= 0, trong ®ã d = dim M. Sau ®ã, «ng còng
chøng minh ®îc ®é s©u cña
M lµ sè i bÐ nhÊt ®Ó Hmi (M ) 6= 0. §Þnh lý triÖt
tiªu Lichtenbaum-Hartshorne næi tiÕng cßn kh¼ng ®Þnh r»ng nÕu
cña vµnh ®Þa ph¬ng
I lµ i®ªan
(R, m) víi dim R = n th× HIn (R) = 0 khi vµ chØ khi
b R
b + P) ≥ 1 víi mäi i®ªan nguyªn tè liªn kÕt chiÒu cao nhÊt P
dim R/(I
b TÝnh chÊt tiÕp theo ®îc rÊt nhiÒu ngêi quan
cña vµnh ®Çy ®ñ m-adic R.
t©m lµ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. Ngay c¶ khi
M h÷u h¹n sinh th× HIi (M ) nh×n chung kh«ng h÷u h¹n sinh. V× thÕ ngêi ta
®Æt ra c©u hái víi ®iÒu kiÖn nµo th× m«®un
G. Faltings ®· ®Æc trng sè
HIi (M ) h÷u h¹n sinh. N¨m 1978,
i bÐ nhÊt ®Ó HIi (M ) kh«ng h÷u h¹n sinh. §Æc
biÖt, «ng cßn ®a ra nguyªn lý ®Þa ph¬ng toµn côc vÒ tÝnh h÷u h¹n sinh cña
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng.
Mét trong nh÷ng tÝnh chÊt rÊt ®îc chó ý cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng lµ tÝnh Artin. Cho
(R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph¬ng vµ
M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. N¨m 1971, b»ng mét chøng
2
minh ng¾n gän sö dông gi¶i néi x¹ tèi thiÓu cña
néi x¹
M vµ tÝnh Artin cña bao
E(R/m), I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp ®· suy ra ®îc Hmi (M )
lu«n lµ Artin víi mäi
i ≥ 0. Sau ®ã, sö dông §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-
Hartshorne, R. Y. Sharp ph¸t hiÖn ra líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Artin thø hai lµ
HId (M ). VÒ sau, L. Melkersson ®· chøng minh l¹i hai kÕt
qu¶ vÒ tÝnh Artin nµy b»ng mét ph¬ng ph¸p s¬ cÊp. NhiÒu th«ng tin vÒ
hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin
Hmi (M ) vµ HId (M ) ®· ®îc
ph¶n ¸nh th«ng qua c¸c c«ng tr×nh cña R. Y. Sharp, M. Brodmann-Sharp, M.
Hochster vµ C. Huneke , K. E. Smith, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel, H.
Zöschinger vµ c¸c c«ng tr×nh cña N. T. Cêng cïng c¸c häc trß.
Theo I. G. Macdonald, tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
R-m«®un Artin
A, kÝ hiÖu lµ AttR A, cã vai trß quan träng t¬ng tù nh tËp i®ªan nguyªn
tè liªn kÕt ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Môc ®Ých cña luËn ¸n lµ nghiªn
cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp
bÊt k× víi gi¸ cùc ®¹i
nhÊt víi gi¸ tïy ý
së
Hmi (M ) vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao
HId (M ), tõ ®ã lµm râ cÊu tróc cña m«®un M vµ vµnh c¬
R. §ång thêi, c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt nµy cßn ®îc nghiªn cøu
trong mèi liªn hÖ víi sè béi, tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ ®èi ®Þa ph¬ng hãa
cña hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
r»ng mét
nÕu
Hmi (M ) vµ HId (M ). Nh¾c l¹i
R-m«®un Artin A ®îc gäi lµ tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè
AnnR (0 :A p) = p víi mçi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR A. TÝnh b·o
hßa nguyªn tè ®îc giíi thiÖu bëi N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn nh»m nghiªn
cøu cÊu tróc cña m«®un Artin.
Hmi (M ) cã cÊu tróc
b-m«®un Artin nªn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) trªn R
b lu«n
R
Chó ý r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
x¸c ®Þnh. C©u hái tù nhiªn ®Æt ra lµ mèi quan hÖ gi÷a hai tËp
AttR Hmi (M )
AttRb Hmi (M ) nh thÕ nµo. N¨m 1975, R. Y. Sharp chøng minh ®îc khi
b ch¹y trong Att b Hmi (M ) th× tËp c¸c i®ªan nguyªn
i®ªan nguyªn tè P cña R
vµ
tè
P∩R
R
i
chÝnh lµ AttR Hm (M ). ¤ng cßn ®a thªm mét sè th«ng tin vÒ
3
chiÒu cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
®Ò ngîc l¹i, cho tríc tËp
Hmi (M ) trªn R. Tuy nhiªn, vÊn
AttR Hmi (M ), b»ng c¸ch nµo x¸c ®Þnh ®îc tËp
AttRb Hmi (M ) vÉn cha ®îc gi¶i quyÕt. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i ®a ra
c©u tr¶ lêi cho vÊn ®Ò ®ã.
Khi
R lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh Gorenstein, R. Y. Sharp ®· chøng minh
nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng ®Ó chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
cña
i−dim R/p
Hmi (M ) qua ®Þa ph¬ng hãa HpRp
(Mp ). ý tëng nµy tiÕp tôc ®îc
M. Brodmann vµ R. Y. Sharp sö dông ®Ó nghiªn cøu chiÒu vµ sè béi cho c¸c
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Hmi (M ) vµ më réng kÕt qu¶ ®ã cho líp
vµnh catenary phæ dông cã mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Chó ý
r»ng nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng nµy kh«ng ®óng trong trêng hîp
tæng qu¸t. V× thÕ bµi to¸n thø hai ®îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ t×m
®iÒu kiÖn cña vµnh c¬ së
víi mäi m«®un
R ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch
Hmi (M ).
KÕt qu¶ cña I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp n¨m 1971 ®· m« t¶ rÊt râ rµng
tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt víi gi¸
cùc ®¹i
b. Tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne,
Hmd (M ) trªn R vµ R
n¨m 1979, R. Y. Sharp tiÕp tôc m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
trªn vµnh
HId (R)
b Sau ®ã, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel ®· më réng kÕt qu¶
R.
nµy cho m«®un. MÆc dï vËy, vÊn ®Ò x¸c ®Þnh tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
cña
HId (M ) trªn vµnh R vÉn lµ vÊn ®Ò më. Bµi to¸n thø ba ®îc gi¶i quyÕt
trong luËn ¸n nµy lµ m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un
trªn vµnh
HId (M )
R trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè, ®èi ®Þa ph¬ng
hãa vµ c«ng thøc béi liªn kÕt cña m«®un nµy.
VÒ ph¬ng ph¸p tiÕp cËn, ®Ó nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
víi gi¸ cùc ®¹i, nÕu
R lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein th× b»ng c¸ch sö dông
®èi ngÉu ®Þa ph¬ng vµ c¸c tÝnh chÊt quen biÕt cña m«®un h÷u h¹n sinh ta cã
i
thÓ thu ®îc nh÷ng th«ng tin cña Hm
(M ) mét c¸ch nhanh chãng. Tuy nhiªn,
trªn vµnh tïy ý, chóng t«i ph¶i sö dông khÐo lÐo tËp gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi
4
M. Brodmann vµ R. Y. Sharp vµ nh÷ng tÝnh chÊt ®Æc thï vÒ chiÒu cña m«®un
Artin ®Ó chøng minh c¸c kÕt qu¶. §Ó nghiªn cøu líp m«®un
HId (M ), chóng
t«i cÇn ®Õn nh÷ng hiÓu biÕt s©u vÒ §Þnh lý ph©n tÝch nguyªn s¬ Noether, tÝnh
chÊt ®èi h÷u h¹n cña
HId (M ) vµ mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt vÒ líp m«®un ®èi
®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng nµy.
LuËn ¸n ®îc chia lµm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬
së nh biÓu diÔn thø cÊp, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin, chiÒu vµ
tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, tÝnh catenary phæ dông cña vµnh.
Ch¬ng 2, ®îc viÕt dùa theo c¸c bµi b¸o vµ tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn
¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp
tïy ý víi gi¸ cùc ®¹i. Ch¬ng 3 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp
i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt
víi gi¸ bÊt k×.
Trong suèt luËn ¸n, lu«n gi¶ thiÕt
ph¬ng,
(R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa
M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu Krull dim M = d vµ A lµ
R-m«®un Artin.
Trong Ch¬ng 2, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn viÖc chuyÓn
tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ m-adic. Cô thÓ, chóng
t«i ®Æc trng vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay
th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp
AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ). Chóng
t«i còng ®a ra ®iÒu kiÖn cÇn cña vµnh c¬ së
R ®Ó tån t¹i mét hµm tö ®èi ®Þa
ph¬ng hãa t¬ng thÝch víi mäi m«®un Artin
Hmi (M ).
Víi mçi
R-m«®un h÷u h¹n sinh, c«ng thøc sau cho ta mèi quan hÖ gi÷a
c
tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M vµ tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M
[
c=
b R).
b
Ass b M
Ass b (R/p
R
R
p∈Ass M
Tuy nhiªn c«ng thøc ®èi ngÉu cho m«®un Artin
AttRb A =
[
p∈AttR A
A
b R)
b
AssRb (R/p
(1)
5
nh×n chung kh«ng ®óng thËm chÝ khi A
= Hmi (M ) (xem VÝ dô 2.1.2). Chóng
t«i chØ ra r»ng c«ng thøc (1) ®óng cho mäi m«®un Artin
x¹ c¶m sinh
A khi vµ chØ khi ¸nh
b → Spec(R) lµ song ¸nh (MÖnh ®Ò 2.1.3). Khi R
f a : Spec(R)
lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng
minh ®îc mèi quan hÖ sau gi÷a
(R0 , m0 ) chiÒu n, chóng t«i chøng
AttR Hmi (M )) vµ AttRb Hmi (M ) (MÖnh ®Ò
2.1.7)
AttRb (Hmi (M ))
=
[
b R).
b
AssRb (R/p
(2)
i (M ))
p∈AttR (Hm
Chó ý r»ng tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph¬ng
R kh«ng thÓ viÕt díi d¹ng
th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng nhng c«ng thøc (2) vÉn ®óng víi
mäi
R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0 (xem VÝ dô
2.1.8). V× thÕ mét c©u hái tù nhiªn lµ liÖu quan hÖ (2) cßn ®óng trong trêng
hîp tæng qu¸t h¬n, khi
R lµ vµnh catenary phæ dông víi mäi thí h×nh thøc lµ
Cohen-Macaulay. §Þnh lý 2.2.5, kÕt qu¶ chÝnh ®Çu tiªn cña Ch¬ng 2, tr¶ lêi
mét phÇn cho c©u hái nµy, trong ®ã mét sè ®Æc trng cña vµnh catenary phæ
dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c
tËp
AttRb (Hmi (M )) vµ AttR (Hmi (M )) ®îc ®a ra.
C«ng cô chÝnh ®Ó chøng minh §Þnh lý 2.2.5 lµ kh¸i niÖm gi¶ gi¸ giíi thiÖu
bëi M. Brodmann vµ R.Y. Sharp. Víi mçi sè nguyªn
i ≥ 0, gi¶ gi¸ thø i cña
M , kÝ hiÖu lµ PsuppiR (M ), ®îc cho bëi c«ng thøc
i−dim R/p
PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec R : HpRp
Chó ý r»ng vai trß cña
(Mp ) 6= 0}.
PsuppiR (M ) ®èi víi m«®un Artin Hmi (M ) theo nghÜa
nµo ®ã t¬ng tù nh tËp gi¸ ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Tõ §Þnh lý 2.2.5,
chóng ta suy ra mét ®Æc trng n÷a cho líp vµnh catenary phæ dông vµ mäi
thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a
vµ
PsuppiR (M )
c) (HÖ qu¶ 2.2.8).
PsuppiRb (M
Víi mçi i®ªan nguyªn tè
p cña R, hµm tö ®Þa ph¬ng hãa t¹i p lµ hµm tö
khíp, tuyÕn tÝnh tõ ph¹m trï c¸c
R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un tháa
6
m·n
Mp lµ Rp -m«®un Noether vµ Mp 6= 0 víi mäi p ⊇ AnnR M. Tuy nhiªn,
ngay c¶ khi
p ⊇ AnnR A, nÕu p 6= m th× Ap = 0. V× thÕ, trªn nhiÒu khÝa
c¹nh, hµm tö ®Þa ph¬ng hãa kh«ng h÷u Ých trong viÖc nghiªn cøu m«®un
Artin. Do ®ã chóng ta cÇn x©y dùng víi mçi
®Þa ph¬ng hãa"
c¸c
p ∈ Spec(R) mét hµm tö "®èi
Fp : MR → MRp tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï
Rp -m«®un sao cho Fp
t¬ng thÝch
víi mäi
R-m«®un Artin A, nghÜa lµ
Fp cã c¸c tÝnh chÊt sau:
(a)
Fp lµ tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin;
(b)
Fp biÕn c¸c R-m«®un Artin thµnh c¸c Rp -m«®un Artin;
(c)
Fp (A) 6= 0 nÕu p ⊇ AnnR A víi mçi R-m«®un Artin A.
Chóng t«i chØ ra mét ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i hµm tö ®èi ®Þa ph¬ng hãa
nh vËy lµ ¸nh x¹ tù nhiªn
thí h×nh thøc cña
b tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn. §Æc biÖt, mäi
R→R
R ®Òu lµ vµnh Artin (§Þnh lý 2.3.8).
Mét sè t¸c gi¶ ®· x©y dùng ®èi ®Þa ph¬ng hãa
Fp , víi mçi p ∈ Spec(R).
Tuy nhiªn kh«ng mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa nµo tháa m·n c¶ ba tÝnh chÊt
(a), (b), (c) ë trªn. Víi gi¶ thiÕt
R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh
thøc lµ Cohen-Macaulay, M. Brodmann vµ R.Y. Sharp ®· xem vai trß cña
i−dim(R/p)
Rp -m«®un HpRp
(Mp ) nh lµ ®èi ®Þa ph¬ng hãa cña m«®un ®èi ®ång
®iÒu ®Þa ph¬ng
Hmi (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi liªn kÕt cña
Hmi (M ). C©u hái ®Æt ra lµ víi ®iÒu kiÖn nµo ta cã ®îc mét ®èi ®Þa ph¬ng
hãa t¬ng thÝch cho mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Hmi (M )? §Þnh
lý 2.3.11 lµ c©u tr¶ lêi bé phËn cho c©u hái nµy. Chóng t«i chØ ra r»ng ®iÒu
kiÖn cÇn ®Ó, víi mçi
p ∈ Spec(R), tån t¹i mét hµm tö ®èi ®Þa ph¬ng hãa
Fp : MR → MRp tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un
sao cho
Fp t¬ng thÝch víi mäi m«®un Hmi (M ) lµ vµnh R lµ catenary phæ
dông víi mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay.
Trong Ch¬ng 3, chóng t«i quan t©m ®Õn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× trong mèi
7
liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ sè béi cña m«®un nµy. Theo N. T.
Cêng vµ L. T. Nhµn, mét
nÕu
R-m«®un A
tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè
AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. TÝnh b·o
hßa nguyªn tè nh×n chung kh«ng tháa m·n víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu
®Þa ph¬ng Artin. N. T. Cêng - L. T. Nhµn - N. T. Dung ®· ®Æc trng tÝnh
b·o hßa nguyªn tè cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi
gi¸ cùc ®¹i
Hmd (M ) th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh R/ AnnR (Hmd (M )) vµ
chØ ra r»ng nÕu
R lµ miÒn nguyªn kh«ng catenary th× Hmdim R (R) kh«ng b·o
hßa nguyªn tè. Víi cÊp
i tïy ý, L. T. Nhµn vµ T. N. An ®· ®Æc trng tÝnh
Hmi (M ). Hä chøng minh r»ng Hmi (M ) tháa m·n tÝnh
i
i
b·o hßa nguyªn tè nÕu vµ chØ nÕu PsuppR (M ) = Var AnnR Hm
(M ) . Chó
b·o hßa nguyªn tè cña
ý r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
HId (M ) lµ Artin vµ m«®un nµy cã
thÓ kh«ng tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè ngay c¶ khi
R lµ th¬ng cña
vµnh chÝnh quy (xem VÝ dô 3.3.7). §Ó nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n
kÕt cña
HId (M ), chóng t«i ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un nµy
th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th¬ng cña
M (§Þnh lý
3.1.2).
Tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp ®· m« t¶ tËp
i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
trªn vµnh ®Çy ®ñ
HIdim R (R)
b KÕt qu¶ nµy ®· ®îc K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel
R.
më réng cho m«®un. Trong luËn ¸n nµy, tõ §Þnh lý 3.1.2, chóng t«i më réng
kÕt qu¶ trªn cña R. Y. Sharp cho trêng hîp m«®un
HId (M ) tháa m·n tÝnh
b·o hßa nguyªn tè (HÖ qu¶ 3.2.2).
PhÇn cuèi cña ch¬ng dµnh ®Ó nghiªn cøu ®èi gi¸ vµ sè béi cho m«®un
HId (M ). Hµm tö "®èi ngÉu víi ®Þa ph¬ng hãa" ®Þnh nghÜa bëi K. E. Smith
Fp (−) = HomR HomR (−, E(R/m)), E(R/p)
tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un, trong ®ã E(−) lµ bao
8
néi x¹ ®· gîi ý cho chóng t«i ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm tËp ®èi gi¸ cña m«®un
®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
HId (M ), kÝ hiÖu lµ CosR (HId (M )), tõ ®ã ®a ra
®Æc trng kh¸c cho tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña
HId (M ) th«ng qua tËp ®èi
gi¸ (§Þnh lý 3.3.5).
Víi mçi
R-m«®un Artin A, ta kÝ hiÖu N-dimR A lµ chiÒu Noether cña A
giíi thiÖu bëi R. N. Roberts. Theo D. Kirby, nÕu
q lµ i®ªan cña R sao cho
(0 :A q) cã ®é dµi h÷u h¹n th× `R (0 :A qn+1 ) lµ mét ®a thøc bËc N-dimR A víi
q
hÖ sè h÷u tû khi n ®ñ lín, ta kÝ hiÖu ®a thøc nµy lµ ΘA (n). §Æt N-dimR A
= s.
Ta cã biÓu diÔn
ΘqA (n)
khi
= `(0 :A q
n+1
e0 (q, A) s
)=
n + ®a thøc cã bËc nhá h¬n s
s!
n 0, trong ®ã e0 (q, A) lµ mét sè nguyªn d¬ng. Ta gäi e0 (q, A) lµ
béi cña
A øng víi q. N¨m 2002, M. Brodmann vµ R. Y. Sharp ®· giíi thiÖu
kh¸i niÖm tËp gi¶ gi¸
liªn kÕt cho m«®un
®èi gi¸
sè
PsuppiR (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi
Hmi (M ). KÕt qu¶ cuèi cïng cña Ch¬ng 3 lµ sö dông tËp
CosR (HId (M )) ®Ó ®a ra c«ng thøc liªn kÕt vÒ sè béi cho HId (M )
khi m«®un nµy tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè (HÖ qu¶ 3.3.8).
Ch¬ng 1
kiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc ®· biÕt vÒ biÓu
diÔn thø cÊp vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Artin, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, líp vµnh catenary
phæ dông nh»m thuËn tiÖn cho viÖc theo dâi kÕt qu¶ trong c¸c ch¬ng sau.
Môc 1.1 nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ vÒ biÓu diÔn thø cÊp cña
m«®un Artin.
Môc 1.2 dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña m«®un ®èi
®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng nh tÝnh ®éc lËp víi vµnh c¬ së, tÝnh triÖt tiªu, tÝnh
Artin. Chóng t«i ®Æc biÖt quan t©m ®Õn nh÷ng tÝnh chÊt vÒ tËp i®ªan nguyªn
9
tè g¾n kÕt cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin.
Môc 1.3 nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ mét sè kÕt qu¶ cña vµnh catenary phæ dông.
Trong Môc 1.4, chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm chiÒu Noether vµ tÝnh b·o
hßa nguyªn tè cña m«®un Artin.
Ch¬ng 2
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng víi gi¸
cùc ®¹i
Trong suèt ch¬ng nµy, lu«n gi¶ thiÕt
(R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph¬ng,
A lµ R-m«®un Artin vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. Víi
mçi i®ªan
I cña R, kÝ hiÖu Var(I) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa I .
b vµ M
c lÇn lît lµ ®Çy ®ñ m-adic cña R vµ M . Môc tiªu cña ch¬ng
KÝ hiÖu R
nµy lµ nghiªn cøu viÖc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña c¸c m«®un
®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng víi gi¸ cùc ®¹i
Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ m-adic trong
mèi liªn hÖ víi tÝnh catenary phæ dông vµ c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay
cña vµnh c¬ së. CÊu tróc cña vµnh c¬ së cßn ®îc ph¶n ¸nh qua sù tån t¹i
i
(M ) mµ chóng
mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch cho mäi m«®un Artin Hm
t«i nghiªn cøu trong phÇn cuèi cña ch¬ng nµy.
2.1 ChuyÓn i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt qua ®Çy ®ñ
Víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M , mèi liªn hÖ gi÷a tËp c¸c i®ªan nguyªn
tè liªn kÕt cña
c ®îc cho bëi
M vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M
hai c«ng thøc sau.
c=
Bæ ®Ò 2.1.1. (i) Ass b M
R
[
b R);
b
AssRb (R/p
p∈Ass M
(ii)
c .
AssR M = P ∩ R | P ∈ AssRb M
Cho
b-m«®un Artin nªn tËp i®ªan
A lµ R-m«®un Artin. V× A cã cÊu tróc R
b lu«n x¸c ®Þnh. R. Y. Sharp ®· chøng minh
nguyªn tè g¾n kÕt cña A trªn R
10
mèi quan hÖ gi÷a hai tËp
AttR A vµ AttRb A ®îc cho bëi c«ng thøc nh sau
AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}.
C«ng thøc nµy lµ ®èi ngÉu víi c«ng thøc (ii) trong Bæ ®Ò 2.1.1. Tuy nhiªn
®èi ngÉu víi c«ng thøc (i) trong Bæ ®Ò 2.1.1
[
AttRb A =
b R)
b
AssRb (R/p
(1)
p∈AttR A
nh×n chung kh«ng ®óng, ngay c¶ khi
A lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
víi gi¸ cùc ®¹i (Xem VÝ dô 2.1.2).
Sau ®©y chóng t«i ®a ra ®Æc trng cña vµnh c¬ së ®Ó c«ng thøc (1) ®óng
víi mäi
R-m«®un Artin A.
MÖnh ®Ò 2.1.3. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i)
[
AttRb A =
b R)
b víi mçi R-m«®un Artin A;
AssRb (R/p
p∈AttR A
(ii)
b → Spec(R) lµ song ¸nh.
¸nh x¹ c¶m sinh f a : Spec(R)
Chó ý r»ng, tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph¬ng (R, m) kh«ng ®Çy ®ñ sao cho
[
AttRb A =
b R)
b
AssRb (R/p
p∈AttR A
víi mäi
R-m«®un Artin A. Ch¼ng h¹n, nÕu R lµ mét vµnh ®Þnh gi¸ rêi r¹c
kh«ng ®Çy ®ñ th×
R tháa m·n ®iÒu kiÖn trong MÖnh ®Ò 2.1.3 vµ do ®ã c«ng
thøc nµy lµ ®óng.
VÝ dô 2.1.2 ®· chøng tá r»ng c«ng thøc (1) nh×n chung kh«ng ®óng cho
c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng víi gi¸ cùc ®¹i. V× thÕ ta tiÕp tôc xem
xÐt mèi quan hÖ
AttRb (Hmi (M ))
[
=
b R)
b
AssRb (R/p
i (M ))
p∈AttR (Hm
gi÷a hai tËp
AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ). KÕt qu¶ sau ®©y ®a ra mét ®iÒu
kiÖn ®ñ ®Ó c«ng thøc nµy lu«n ®óng.
11
MÖnh ®Ò sau ®©y lµ kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy.
MÖnh ®Ò 2.1.7. Gi¶ sö
Khi ®ã víi mçi
R
lµ th¬ng cña mét vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng.
R-m«®un h÷u h¹n sinh M
AttRb (Hmi (M )) =
vµ víi mçi sè nguyªn
[
b R).
b
AssRb (R/p
i ≥ 0 ta cã
(2)
i (M ))
p∈AttR (Hm
Chó ý r»ng tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph¬ng
(2) lu«n ®óng víi mäi
(R, m) sao cho c«ng thøc
R-m«®un Hmi (M ) nhng R kh«ng lµ th¬ng cña mét
vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng (xem VÝ dô 2.1.8).
2.2
Trêng hîp vµnh catenary phæ dông víi thí h×nh thøc Cohen-
Macaulay
Nh chóng ta ®· biÕt, nÕu R lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng th×
R lµ th¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay, nhng ®iÒu ngîc l¹i kh«ng ®óng,
ch¼ng h¹n khi
R lµ miÒn nguyªn chiÒu 1 trong VÝ dô 2.1.8 lµ vµnh Cohen-
Macaulay nhng kh«ng lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein. Nãi c¸ch kh¸c, líp
vµnh lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng thùc sù n»m trong líp vµnh lµ
th¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay ®Þa ph¬ng. T. Kawasaki ®· chøng minh
®îc
R lµ th¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay ®Þa ph¬ng khi vµ chØ khi R
lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Nh¾c
l¹i r»ng, víi mçi
b sao cho P ∩ R = p, ®ång
p ∈ Spec(R) vµ P ∈ Spec(R)
b c¶m sinh ra ®ång cÊu ®Þa ph¬ng f : Rp → R
bP . Khi
cÊu tù nhiªn R → R
bP ⊗ (Rp /pRp ) ∼
bP /pR
bP cña ®ång cÊu f trªn i®ªan cùc ®¹i
®ã vµnh thí R
=R
pRp cña Rp ®îc gäi lµ
thí h×nh thøc
cña
R øng víi p vµ P. Mét c©u hái
tù nhiªn lµ c«ng thøc (2) cßn ®óng khi xÐt trªn líp vµnh më réng h¬n nh
líp vµnh catenary phæ dông víi mäi thí h×nh thøc Cohen-Macaulay? Môc
tiªu cña tiÕt nµy lµ tr¶ lêi mét phÇn cho c©u hái ®ã. Cô thÓ, chóng t«i ®a
ra mét ®Æc trng cho líp vµnh catenary phæ dông cã mäi thí h×nh thøc lµ
Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n
kÕt tèi tiÓu cña
b C«ng cô chñ yÕu mµ chóng t«i sö dông
Hmi (M ) trªn R vµ R.
12
®Ó chøng minh kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy lµ kh¸i niÖm gi¶ gi¸ thø
i cña M ,
®îc giíi thiÖu bëi M. Brodmann vµ R. Y. Sharp. Kh¸i niÖm nµy ®îc ®Þnh
nghÜa nh sau.
§Þnh nghÜa 2.2.1.
lµ
Cho
i ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. Gi¶ gi¸ thø i cña M , kÝ hiÖu
PsuppiR (M ), ®îc cho bëi c«ng thøc
i−dim(R/p)
PsuppiR M = {p ∈ Spec(R) | HpRp
(Mp ) 6= 0}.
§Þnh lý sau ®©y lµ kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy.
§Þnh lý 2.2.5. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i) R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay;
i
(ii) min AttRb (Hm (M ))
[
= min
b R)
b
AssRb (R/p
R-
víi mäi
i (M ))
p∈AttR (Hm
m«®un h÷u h¹n sinh
(iii)
M
vµ víi mäi sè nguyªn
i ≥ 0;
dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR Hmi (M )
h¹n sinh
M
vµ víi mäi sè nguyªn
víi mäi
R-m«®un
h÷u
i ≥ 0.
Tõ ®Þnh lý trªn, chóng t«i tiÕp tôc ®Æc trng cÊu tróc cña vµnh c¬ së
R
th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp gi¶ gi¸ thø
c. Nh×n chung,
i cña M vµ M
i
i c
).
ta cã mèi quan hÖ sau gi÷a hai tËp PsuppR (M ) vµ Psupp b (M
R
Bæ ®Ò 2.2.7. Víi mçi sè nguyªn
i ≥ 0, ta cã
c)}.
PsuppiR M ⊆ {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M
Sau ®©y, chóng t«i ®a ra mét ®Æc trng kh¸c cña vµnh catenary phæ dông
víi mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua tËp gi¶ gi¸ thø
i cña M.
HÖ qu¶ 2.2.8. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i) R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay;
(ii)
c)} víi mäi R-m«®un h÷u h¹n
PsuppiR M = {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M
13
sinh
M
2.3
§èi ®Þa ph¬ng hãa
Khi
vµ víi mäi sè nguyªn
i ≥ 0.
R lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh Gorenstein, n¨m 1975, R. Y. Sharp ®·
chøng minh nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng ®Ó chuyÓn tËp i®ªan nguyªn
i−dim R/p
i
tè g¾n kÕt cña Hm
(M ) qua ®Þa ph¬ng hãa HpRp
xem
tè
i−dim R/p
HpRp
(Mp ). P. Schenzel còng
(Mp ) nh lµ "®Þa ph¬ng hãa" cña Hmi (M ) t¹i i®ªan nguyªn
p ®Ó nghiªn cøu c¸c m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph¬ng.
ý tëng
nµy tiÕp tôc ®îc R. Y. Sharp vµ M. Brodmann sö dông ®Ó nghiªn cøu chiÒu
vµ sè béi cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Hmi (M ) vµ më réng
kÕt qu¶ ®ã trªn líp vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ CohenMacaulay. VÊn ®Ò ë ®©y lµ nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng nµy kh«ng
®óng trong trêng hîp tæng qu¸t. Môc tiªu cña tiÕt nµy lµ t×m ®iÒu kiÖn cña
vµnh c¬ së
R ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch cho mäi m«®un
Hmi (M ).
Víi mçi i®ªan nguyªn tè
p cña R, ®Þa ph¬ng hãa t¹i p lµ mét hµm tö
khíp, tuyÕn tÝnh tõ ph¹m trï c¸c
cho
R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un sao
Mp lµ Rp -m«®un Noether vµ Mp 6= 0 víi mäi p ⊇ AnnR M. Hµm tö nµy
®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu m«®un Noether. Tuy nhiªn, ®èi víi
R-m«®un Artin A, nÕu p 6= m th× Ap = 0, do ®ã Supp(A) ⊆ {m}. Nh vËy,
hµm tö ®Þa ph¬ng hãa kh«ng h÷u hiÖu trong viÖc nghiªn cøu m«®un Artin.
V× thÕ chóng ta cÇn x©y dùng víi mçi
ph¬ng hãa"
Artin
p ∈ Spec(R) mét hµm tö "®èi ®Þa
Fp : MR → MRp sao cho Fp
t¬ng thÝch
víi mäi
R-m«®un
A, nghÜa lµ Fp cã c¸c tÝnh chÊt sau:
(a)
Fp lµ tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin;
(b)
Fp biÕn c¸c R-m«®un Artin thµnh c¸c Rp -m«®un Artin;
(c)
Fp (A) 6= 0 nÕu p ⊇ AnnR A víi mçi R-m«®un Artin A.
Mét sè t¸c gi¶ ®· x©y dùng ®èi ®Þa ph¬ng hãa
Fp , víi mçi p ∈ Spec(R).
14
Tuy nhiªn kh«ng mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa nµo tháa m·n c¶ ba tÝnh chÊt (a),
(b), (c) ë trªn. Trong tiÕt nµy, chóng t«i ®a ra mét ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i
®èi ®Þa ph¬ng tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b), (c) vµ tõ ®ã cho thÊy mét ®èi
®Þa ph¬ng hãa nh thÕ nh×n chung kh«ng tån t¹i. Tríc hÕt chóng t«i tr×nh
bµy mét sè bæ ®Ò chuÈn bÞ cho chøng minh kÕt qu¶ chÝnh.
Bæ ®Ò 2.3.1. NÕu
p ∈ AttR A th× AnnR (0 :A p) = p.
Bæ ®Ò 2.3.3. Cho
A = A1 + . . . + An
A,
trong ®ã
Ai
lµ
pi -thø
cÊp. Cho
r
lµ mét biÓu diÔn thø cÊp tèi tiÓu cña
lµ sè nguyªn sao cho
0 < r < n.
§Æt
B = A1 + . . . + Ar . Khi ®ã
AttR (A/B) = {pr+1 , . . . , pn }.
Víi mçi
R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ p ∈ Spec(R), ta ®· biÕt tÝnh chÊt
p 6⊇ AnnR M khi vµ chØ khi Mp = 0. NÕu Fp lµ mét hµm tö ®èi ®Þa ph¬ng
hãa tuyÕn tÝnh cña m«®un Artin th× ta còng cã mét tÝnh chÊt t¬ng tù nh
sau.
Bæ ®Ò 2.3.4. Cho
p ∈ Spec(R). Gi¶ sö r»ng p 6⊇ AnnR A. Khi ®ã Fp (A) = 0
víi mçi hµm tö tuyÕn tÝnh
Bæ ®Ò 2.3.6. Cho
Fp : MR → MRp .
p ∈ Spec(R).
Gi¶ sö
tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c
Artin sao cho
Fp : MR → MRp
R-m«®un
Artin. Cho
lµ mét hµm tö
A
lµ
R-m«®un
Fp (A) lµ Rp -m«®un Artin kh¸c 0. Khi ®ã AnnR (0 :A p) = p.
Theo N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn, víi mçi
R-m«®un Artin A ta cã
N-dimR A ≤ dim(R/ AnnR A). H¬n n÷a, tån t¹i R-m«®un Artin A sao cho
N-dimR A < dim(R/ AnnR A). MÖnh ®Ò sau ®©y ®a ra mét sè ®Æc trng
®Ó ®¼ng thøc x¶y ra, trong ®ã chó ý r»ng mÖnh ®Ò t¬ng ®¬ng gi÷a (i) vµ
(iii) ®· ®îc chøng minh bëi H. Zöschinger.
MÖnh ®Ò 2.3.7. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i)
dim(R/ AnnR A) = N-dimR A víi mçi R-m«®un Artin A;
(ii) dim(R/ AnnR A)
= N-dimR A víi mçi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
15
cÊp cao nhÊt
(iii)
b
b vµ k = dim(R/P)
b
A = Hmk Rb (R/P)
, trong ®ã P ∈ Spec(R)
;
b
b.
dim(R/P)
= dim(R/(P ∩ R)) víi mäi P ∈ Spec(R)
§Þnh lý sau ®©y chØ ra ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa
t¬ng thÝch víi mäi m«®un Artin (nghÜa lµ tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b),
(c) ®· nãi ®Õn ë trªn).
Gi¶ sö r»ng tån t¹i, víi mçi
§Þnh lý 2.3.8.
p ∈ Spec(R),
mét hµm tö
Fp : MR → MRp tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b), (c). Khi ®ã ¸nh x¹ tù
b tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn. §Æc biÖt, mäi thí h×nh thøc cña R
nhiªn R → R
®Òu lµ vµnh Artin.
§èi víi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin
ta còng cã
Hmi (M ), nh×n chung
N-dimR (Hmi (M )) ≤ dim(R/ AnnR Hmi (M )). H¬n n÷a tån t¹i
1
(R))
vµnh ®Þa ph¬ng (R, m) sao cho N-dimR (Hm
Theo MÖnh ®Ò 1.4.8, t¹i mçi cÊp i, nÕu
nguyªn tè th×
< dim(R/ AnnR Hm1 (R)).
Hmi (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa
N-dimR (Hmi (M )) = dim(R/ AnnR Hmi (M )), nghÜa lµ tÝnh
b·o hßa nguyªn tè m¹nh h¬n, suy ra ®îc ®¼ng thøc vÒ chiÒu. KÕt qu¶ sau
i
(M ))
®©y kh«ng nh÷ng ®a ra mét vµi ®Æc trng ®Ó ®¼ng thøc N-dimR (Hm
=
dim(R/ AnnR Hmi (M )) ®óng víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin
Hmi (M ) mµ cßn cho thÊy khi ®¼ng thøc vÒ chiÒu nµy tháa m·n cho mäi m«®un
M , t¹i mäi cÊp i th× nã t¬ng ®¬ng víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè.
Bæ ®Ò 2.3.10. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i)
dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR (Hmi (M ))
víi mäi
(ii)
víi mäi sè nguyªn
i
vµ
R-m«®un h÷u h¹n sinh M ;
Hmi (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè víi mäi sè nguyªn i, víi mäi
R-m«®un h÷u h¹n sinh M ;
(iii) Vµnh
R
lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-
Macaulay.
Víi mçi
p ∈ Spec(R), cho Fp lµ ®èi ®Þa ph¬ng hãa ®Þnh nghÜa bëi A. S.
16
Richardson. NÕu vµnh c¬ së
Fp (Hmi (M )) =
R lµ ®Çy ®ñ th× tõ ®èi ngÉu ®Þa ph¬ng suy ra
i−dim(R/p)
HpRp
(Mp ). Víi gi¶ thiÕt vµnh
R lµ catenary phæ dông
vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay, M. Brodmann vµ R. Y. Sharp ®·
i−dim(R/p)
xem vai trß cña Rp -m«®un HpRp
(Mp ) nh lµ "®èi ®Þa ph¬ng hãa" cña
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin
c«ng thøc liªn kÕt cho sè béi cña
Hmi (M ) nh»m x©y dùng thµnh c«ng
Hmi (M ). V× thÕ vÊn ®Ò ë ®©y lµ t×m ®iÒu
kiÖn ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch víi mäi m«®un ®èi ®ång
®iÒu ®Þa ph¬ng Artin
Hmi (M ). Trong phÇn nµy chóng t«i ®a ra ®iÒu kiÖn
cÇn ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa nh vËy cho
§Þnh lý 2.3.11. Gi¶ sö tån t¹i, víi mçi
tÝnh
Fp : MR → MRp
Fp (Hmi (M )) 6= 0
mäi
p ∈ Spec(R), mét hµm tö khíp, tuyÕn
trªn ph¹m trï c¸c
víi bÊt k×
Hmi (M ).
R-m«®un, Fp (Hmi (M )) lµ Artin vµ
p ⊇ AnnR Hmi (M ),
víi mäi sè nguyªn
i
vµ víi
R-m«®un h÷u h¹n sinh M . Khi ®ã vµnh R lµ catenary phæ dông vµ mäi
thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay.
KÕt luËn ch¬ng II
Tãm l¹i, trong ch¬ng nµy chóng t«i ®· thu ®îc c¸c kÕt qu¶ sau ®©y:
- §Æc trng vµnh c¬ së ®Ó c«ng thøc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
qua ®Çy ®ñ tháa m·n víi mäi
R-m«®un Artin.
- Chøng minh c«ng thøc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
Hmi (M )
qua ®Çy ®ñ khi vµnh c¬ së lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein.
- §a ra mét sè ®Æc trng cña vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh
thøc Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp
AttRb Hmi (M ) vµ
c).
AttR Hmi (M ); mèi quan hÖ gi÷a Psuppi (M ) vµ Psuppi (M
- ChØ ra mét ®iÒu kiÖn cÇn trªn vµnh c¬ së
hãa t¬ng thÝch víi mäi
R ®Ó tån t¹i ®èi ®Þa ph¬ng
R-m«®un Artin.
- §a ra mét tiªu chuÈn cña vµnh c¬ së ®Ó tån t¹i ®èi ®Þa ph¬ng hãa
t¬ng thÝch víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Hmi (M ).
17
Ch¬ng 3
M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt
víi gi¸ tïy ý
Trong suèt ch¬ng nµy, lu«n gi¶ thiÕt
víi i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt
(R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph¬ng
m, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d
vµ
A lµ R-m«®un Artin. Víi mçi i®ªan I cña R, kÝ hiÖu Var(I) lµ tËp c¸c
b vµ M
c lÇn lît lµ ®Çy ®ñ m-adic
i®ªan nguyªn tè cña R chøa I . KÝ hiÖu R
cña
R vµ M .
TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt víi
gi¸ cùc ®¹i
b ®· ®îc I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp
Hmd (M ) trªn R vµ R
m« t¶ râ rµng. Tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp
tiÕp tôc m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
b Sau
HIdim R (R) trªn vµnh R.
®ã, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel ®· më réng kÕt qu¶ nµy cho m«®un.
Môc tiªu cña ch¬ng nµy lµ m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un
HId (M ) trªn vµnh R trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè, ®èi ®Þa
ph¬ng hãa vµ c«ng thøc béi liªn kÕt cña m«®un
tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
HId (M ). §Ó nghiªn cøu
HId (M ), chóng t«i ®Æc trng tÝnh b·o hßa
nguyªn tè cho m«®un nµy th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã
vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét
m«®un th¬ng cña
M.
3.1 TÝnh b·o hßa nguyªn tè
Theo N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn, mét
nguyªn tè
nÕu
R-m«®un A tháa m·n tÝnh b·o hßa
AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. Khi
R lµ vµnh ®Çy ®ñ, mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin ®Òu tháa m·n
tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Tuy nhiªn, nh×n chung c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng Artin kh«ng cã tÝnh chÊt nµy. TÝnh b·o hßa nguyªn tè ®· ®îc ®Æc
trng cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng víi gi¸ cùc ®¹i. Trong tiÕt
nµy, chóng t«i tiÕp tôc ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho líp m«®un ®èi
18
®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin cÊp cao nhÊt øng víi gi¸ bÊt k× HId (M ) th«ng qua
tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th¬ng cña M. Tríc hÕt, chóng
t«i ®a ra mét sè kÝ hiÖu liªn quan ®Õn ph©n tÝch nguyªn s¬ cña m«®un con
0 cña M. KÝ hiÖu nµy ®îc sö dông trong toµn bé Ch¬ng 3.
\
N (p) lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän
KÝ hiÖu 3.1.1. Cho 0 =
p∈AssR M
cña m«®un con
0 cña M . KÝ hiÖu
p
AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m .
§Æt
N =
\
N (p). V× mçi phÇn tö cña AssR (I, M ) ®Òu lµ i®ªan
p∈AssR (I,M )
nguyªn tè liªn kÕt tèi thiÓu cña
M nªn R-m«®un N kh«ng phô thuéc vµo sù
lùa chän ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0.
Sau ®©y lµ ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng
HId (M ) trong mèi liªn hÖ víi tÝnh catenary cña vµnh c¬ së vµ tËp
c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
§Þnh lý 3.1.2. Cho
HId (M ).
R-m«®un N
x¸c ®Þnh nh trong KÝ hiÖu 3.1.1. Khi ®ã
c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè;
√
(ii) R/ AnnR HId (M ) lµ vµnh catenary vµ
I +p = m
(i)
nguyªn tè g¾n kÕt
(iii)
víi mäi i®ªan
p cña HId (M );
R/ AnnR HId (M ) lµ vµnh catenary vµ HId (M ) ∼
= Hmd (M/N ).
3.2 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
Trong tiÕt nµy chóng t«i më réng kÕt qu¶ cña K. Divaani-Aazar vµ P.
Schenzel tõ trêng hîp
R ®Çy ®ñ sang trêng hîp m«®un HId (M ) tháa m·n
tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Tríc hÕt, tõ §Þnh lý 3.1.2, chóng ta cã hÖ qu¶ sau
vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tËp
AssR (I, M ) vµ AttR HId (M ).
- Xem thêm -
.PDF 
52 
41 
102 
