Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc của các quần thể sinh học...

Tài liệu Về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc của các quần thể sinh học

.PDF
66
102
83

Mô tả:

§¹i häc quèc gia Hµ néi Tr­êng §¹i Häc khoa häc tù nhiªn NguyÔn H÷u TrÝ VÒ sù tån t¹i sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c cña c¸c quÇn thÓ sinh häc LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Hµ Néi - 2012 §¹i häc quèc gia Hµ néi Tr­êng §¹i Häc khoa häc tù nhiªn NguyÔn H÷u TrÝ VÒ sù tån t¹i sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c cña c¸c quÇn thÓ sinh häc Chuyªn ngµnh: To¸n gi¶i tÝch M· sè: 60 46 01. LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: TS. §Æng Anh TuÊn Hµ néi - 2012 Môc lôc Môc lôc i Lêi c¶m ¬n ii Më ®Çu 1 Tæng Quan 1 3 . . . . 3 1.2 X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè 1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n 1.4 X©y dùng tèc ®é sãng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y 2 36 2.1 Tèc ®é lan truyÒn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Sù héi tô ®Õn gi¸ trÞ c©n b»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 62 Më ®Çu QuÇn thÓ sinh häc lµ mét hÖ ®éng lùc trong thùc tÕ cã t¸c ®éng cña c¸c yÕu tè kh¸ch quan. Khi xem xÐt mét hÖ sinh th¸i chóng ta g¾n nã víi mét m« h×nh to¸n häc cho c¸c hÖ thèng tiÕn triÓn theo thêi gian, vµ ng­êi ta th­êng gi¶ thiÕt hÖ thèng ho¹t ®éng liªn tôc, hoÆc rêi r¹c ®Òu. Tõ ®ã, c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch liªn tôc vµ rêi r¹c ®­îc nghiªn cøu ®Ó m« t¶ hÖ thèng t­¬ng øng víi c¸c gi¶ thiÕt thêi gian lý t­ëng ®­îc ®Æt ra. Trong luËn v¨n nµy chóng t«i tr×nh bµy mét nghiªn cøu vÒ sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y cña m« h×nh rêi r¹c trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè. §©y lµ m« h×nh ®­îc Weinberger nghiªn cøu vµ cho kÕt qu¶ trong bµi MATH. SIAM ANAL Vol. No. 3, May 1982. H." Long-time behavior of a class of biological models". Víi ®Ò tµi: VÒ sù tån t¹i sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c cña c¸c quÇn thÓ sinh häc LuËn v¨n gåm 2 ch­¬ng. Ch­¬ng 1. Tæng quan. Néi dung ch­¬ng nµy ®­îc viÕt thµnh 4 môc. Môc 1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè. Môc 1.2. X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa. Môc 1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n. Môc 1.4 X©y dùng tèc ®é sãng. Ch­¬ng 2. Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y. thµnh 3 môc. Môc 2.1 Tèc ®é lan truyÒn Môc 2.2 Sù héi tô ®Õn gi¸ trÞ c©n b»ng. Môc 2.2 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y. KÕt luËn. 1 Néi dung Ch­¬ng 2 ®­îc viÕt Trong phÇn nµy chóng t«i ®¸nh gi¸ ®ãng gãp cña luËn v¨n vµ ®Ò cÊp tíi h­íng nghiªn cøu trong thêi gian tiÕp theo ®ã lµ t×m hiÓu øng dông lý thuyÕt cña Wenberger cho c¸c líp m« h×nh trong ®ã to¸n tö Q[u] cã thÓ kh«ng compact.. Hµ Néi, ngµy 25 th¸ng 07 n¨m 2012 T¸c gi¶ NguyÔn H÷u TrÝ 2 Ch­¬ng 1 Tæng Quan Trong ch­¬ng nµy chóng ta tr×nh bµy mét sè thuËt ng÷ vµ ®Þnh nghÜa c¬ b¶n liªn quan ®Õn m« h×nh sinh th¸i vµ hÖ rêi r¹c cña mét sè c¸c quÇn thÓ sinh häc. 1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè Chóng ta xem xÐt mét m« h×nh ®­îc gäi lµ b­íc ®Öm trong di truyÒn häc cña mét quÇn thÓ. Chóng ta ph©n lo¹i c¸ thÓ cña quÇn thÓ cña mét loµi l­ìng béi nhÊt ®Þnh. NÕu xÐt mét gen gåm hai alen kiÓu gen: AA, Aa, aa, hîp tö lµ: Aa. A vµ a. Th× trong quÇn thÓ sÏ cã ba trong ®ã kiÓu gen ®ång hîp tö lµ: AA, aa vµ kiÓu gen dÞ M«i tr­êng sèng tù nhiªn hoÆc nh©n t¹o ®­îc ph©n chia thµnh c¸c vïng ph©n biÖt gäi lµ " Hèc ". C¸c c¸ thÓ cña cïng mét loµi sèng trong mét vïng riªng biÖt ®ã ®­îc gäi lµ mét quÇn thÓ. Cã sù c¸ch ly sinh s¶n ë mét møc ®é nhÊt ®Þnh víi c¸c quÇn thÓ l©n cËn cïng loµi. Vµ sù di c­, nhËp c­ cña c¸c c¸ thÓ lµm thay ®æi tÇn sè alen, vµ thµnh 3 phÇn kiÓu gen cña quÇn thÓ. C¸c c¸ thÓ trong mét quÇn thÓ giao phèi ngÉu nhiªn víi nhau ®Ó sinh ra thÕ hÖ sau. Tû lÖ sè l­îng alen A víi tæng sè alen cña gen ®ã trong quÇn thÓ ®­îc gäi lµ tÇn sè alen cña alen A, gäi tÇn sè alen A ë thÕ hÖ thø n trong quÇn thÓ lµ: khi ®ã tÇn sè alen cña alen a lµ: 1 − un (i). thµnh phÇn kiÓu gen t­¬ng øng: un (i) Theo ®Þnh luËt Hardy- Weinberg th× AA; Aa; aa cña quÇn thÓ t­¬ng øng lµ (un (i))2 : 2un (1 − un ) : ((1 − un (i))2 trong ®iÒu kiÖn kh«ng cã sù t¸c ®éng cña chän läc tù nhiªn, kh«ng x¶y ra ®ét biÕn mµ chØ phô thuéc vµo kiÓu gen cña nã ®èi víi gen ®­îc xem xÐt. Sù ph©n ®«i trong giai ®o¹n di c­ cña ba kiÓu gen cã c¸c tû lÖ (1 + si ) : 1 : (1 + ti ) sau ®ã tû lÖ sèng sãt t¹i thêi ®iÓm di c­ lµ (1 + si )(un (i))2 : 2un (1 − un ) : (1 + ti )((1 − un (i))2 . Chóng ta gi¶ ®Þnh r»ng tæng sè c¸c c¸ thÓ trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø i sèng sãt sau khi di c­ lµ pi kh«ng phô thuéc vµo kiÓu gen cña chóng. Gi¶ sö r»ng lij lµ mét phÇn c¸ thÓ cña mçi kiÓu gen trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø i di c­ trë thµnh mét phÇn cña c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø j . Khi ®ã phÇn gen trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø j sau khi di c­ cho bëi c«ng thøc: un+1 (j) = X mji gi (un (i)) (1.1.1) i trong ®ã: gi (u) = 2(1 + si )u2 + 2u(1 − u) 2[(1 + si )u2 + 2u(1 − u) + (1 + σi )(1 − u)2 ] 4 (1.1.2) lµ phÇn gen cña deme thø i tr­íc thêi ®iÓm di c­ vµ lji pi mji = P k lji pi lµ mét phÇn c¸c c¸ thÓ cña deme thø Khi ®ã hµm j (1.1.3) di c­ ®Õn hèc thÝch hîp vµo ®êi thø i. {un (i) : i = 1; 2; ...} tháa m·n hÖ un+1 = Q[un ], (1) víi Q[u](j ) = X (1.1.4) mji gi (un (i)). i C«ng viÖc hiÖn t¹i chóng ta chØ xÐt víi m«i tr­êng sèng ®ång nhÊt. B»ng c¸ch nµy, ta xem xÐt tÊt c¶ c¸c "Hèc" gièng nhau nhËn ®­îc kÕt qu¶ b»ng c¸ch tÞnh tiÕn ®Õn thêi ®iÓm thÝch hîp, víi hÖ sè dÞch chuyÓn lij phï hîp vµ phô thuéc vµo thÕ hÖ thø i thÝch hîp cho thÕ hÖ thø j . Mét tr­êng hîp ®Æc biÖt, r»ng c¸c sinh vËt ®ang sèng trong mÆt ph¼ng R2 . BiÓu diÔn bëi b¶n ®å chia thµnh c¸c « vu«ng 1 1 1 1 {(x; y)|(k − )h < x < (k + )h, (l − )h < y < (l + )h, k, l = 0; 1; 2...} 2 2 2 2 víi ®é dµi h, ®ã lµ c¸c "Hèc". Täa ®é t©m cña h×nh vu«ng lµ béi cña nh­ mét vector. cña h. h vµ xem cã thÓ x¸c ®Þnh trªn c¬ së tõ hai vector cã thµnh phÇn lµ béi H Trªn thùc tÕ H thùc chÊt lµ sù ®ång nhÊt s vµ t, p c¸c d¹ng tr­ëng thµnh ®Òu gièng nhau ë tÊt c¶ c¸c "Hèc", vµ hÖ sè dÞch chuyÓn lij chØ phô thuéc vµo sù kh¸c biÖt cña vector ®Þnh r»ng xi − xj gi÷a trung t©m cña c¸c "Hèc". HiÖn t¹i ta chØ gi¶ s, t, p kh«ng phô thuéc vµo u, do ®ã chóng lµ mét h»ng sè. Sao cho X k lij = X l(xi − xj ) = X l(xi ) = i k Tõ (1.3) ta cã mij = lij ≡ m(xi − xj ). 5 X i li0 = 1. Ta ®Þnh nghÜa to¸n tö Q nh­ sau: Q[u](x) = X (1.1.5) m(x − y)g(u(y)), y∈H trong ®ã: X mji (x) = 1 y∈H vµ g(u) = su2 + u . 1 + su2 + σ(1 − u)2 (1.1.6) u(1 − u)[su − σ(1 − u)] . 1 + su2 + σ(1 − u)2 (1.1.7) Chóng ta thÊy r»ng: g(u) − u = §Þnh nghÜa cña u cho thÊy r»ng ta chØ ph¶i xÐt hµm u(x) sao cho 0 DÔ dµng nhËn thÊy r»ng g t¨ng tõ 0 ®Õn nhËn gi¸ trÞ trong ®o¹n [0; 1]. Tõ (1.7) ta thÊy r»ng cã ba tÝnh chÊt: (i) NÕu g 1 gièng nh­ u t¨ng tõ 0 ®Õn 6 u 5 1. 1 vµ Q[u] s > 0 > σ , ®ång hîp tö AA lµ phï hîp víi ®ång hîp tö aa vµ g(u) > u, víi 0 < u < 1. (1.1.8) §iÒu ®ã cßn cho thÊy trong tr­êng hîp dÞ hîp tö trong vïng trung gian.( NÕu s < 0 < σ, nÕu thay thÕ biÕn (ii) NÕu s vµ σ th× g(u) < u, 0 < u < 1. Ta cã thÓ lo¹i bá tr­êng hîp trªn u thµnh 1 − u, vµ thay ®æi thuéc tÝnh cña A vµ a.) lµ c¸c sè ©m. Tõ (1.1.7) ta cã c¸c tÝnh chÊt: g(u) > u, víi 0 < u < π1 , g(u) < u, víi π1 < u < 1. 6 (1.1.9) Trong ®ã σ . s+σ π1 = (iii) Khi s vµ σ (1.1.10) lµ c¸c sè d­¬ng, khi ®ã: g(u) < u, víi 0 < u < π0 , g(u) > u, víi π0 < u < 1. (1.1.11) Trong ®ã: π0 = σ . s+σ Chó ý r»ng ch­a cã lý do cô thÓ ®Ó 1+s (1.1.10') vµ 1+σ kh«ng phô thuéc vµo u khi c¸c thµnh phÇn d©n sè c¹nh tranh. NÕu p lµ h»ng sè vÉn cã ®­îc c¸c c«ng thøc (1.5); (1.6), c«ng thøc (1.1.7) cho thÊy r»ng thËm chÝ vµo s vµ σ vÉn phô thuéc u vµ khi ®ã (1.1.8) vÉn tháa m·n. Quy m« d©n sè cì p tr­íc khi chuyÓn ®æi cã thÓ phô thuéc vµo thµnh phÇn cÊu t¹o di truyÒn cña d©n sè vµ do ®ã trªn u. Tõ (1.1.3) cho thÊy r»ng trong mét m«i tr­êng ®ång nhÊt mij lµ mét hµm cña u(xi ) còng nh­ cña xi − xj . Nãi chung c¸c m« h×nh di chó cã thÓ phô thuéc vµo kiÓu di truyÒn vµ kh¶ n¨ng sinh s¶n. NÕu ta gi¶ ®Þnh kh«ng cã sù t¸c ®éng sau di c­, khi ®ã ta cã thÎ ®o¸n ®­îc c¸c gi¸ trÞ lA (x hèc t¹i x − y, u) cña giao tö A vµ la (x bëi mét deme sinh ra t¹i y − y, u) cña mét giao tö sinh ra trong nÕu phÇn gen ban ®Çu lµ u. Trong tr­êng hîp nµy ta cã hÖ un+1 = Q[un ], (1) víi to¸n tö P Q[u](x) = P − y, u(y)) . y∈H [lA (x − y, u(y)) − la (x − y, u(y))] y∈H lA (x 7 (1.1.12) NÕu cã giao phèi kh«ng ngÉu nhiªn, phÇn gen míi lµ mét hµm nh­ vÕ ph¶i cña (1.1.12). §iÒu kiÖn trªn cã thÓ söa ®æi theo c¸c c¸ch kh¸c nhau. C¸c hèc nµy cã thÓ bao gåm h×nh b×nh hµnh, h×nh lôc gi¸c, hoÆc khu vùc kh¸c thay v× h×nh vu«ng. Chóng ta cã thÓ xem giíi h¹n gi÷a c¸c vïng lµ rÊt nhá, do ®ã un (x) sÏ trë thµnh c¸c hµm liªn tôc theo biÕn x vµ trong c«ng thøc (1.5) to¸n tö Q thay bëi Z m(x − y)g(u(y)). (1.1.13) Q[u](x) = R2 NÕu m(x) chØ phô thuéc vµo kho¶ng c¸ch Euclid |x|. Trong m«i tr­êng sèng rêi r¹c (kh«ng lu©n phiªn ®èi xøng), khi ®ã ta thay thÕ to¸n tö Q ®Ó cã ®­îc u víi c¸c mèi liªn hÖ vÒ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. NÕu ta ®Þnh nghÜa un (x) = u(nτ, x), trong ®ã u(t, x) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ∂u = D∆u + f (u). ∂t Khi ®ã un (*) tháa m·n un+1 = Q[un ], (1) trong ®ã Q[v](x) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ u(τ, x) víi u(t, x) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: ∂u = D∆u + f (u), ∂t 1.2 u(0, x) = v(x). (1.1.14) X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa Trong phÇn nµy ta x©y dùng mét sè ®Þnh nghÜa vÒ c¸c hÖ sinh th¸i vµ c¸c c«ng thøc to¸n häc cña nã. §Þnh nghÜa 1.1. trong Rn Mét m«i tr­êng sèng víi c¸c tÝnh chÊt sau: NÕu H ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ lµ tËp c¸c ®iÓm x, y ∈ H 8 th× x + y, x − y ∈ H . NÕu Nh­ vËy H x, y ∈ H th× x + y, x − y ∈ H , ®iÒu nµy chøng tá phÇn tö 0 ∈ H. lµ mét nhãm ®èi víi phÐp céng. §Þnh nghÜa 1.2. Gäi B lµ tËp c¸c hµm sè liªn tôc trªn H [0; π+ ],( nÕu π+ = ∞ th× B lµ tËp c¸c hµm sè liªn tôc trªn H nhËn gi¸ trÞ trªn nhËn gi¸ trÞ trªn [0; ∞] ). Víi mçi y thuéc H ta ®Þnh nghÜa to¸n tö dÞch chuyÓn: Ty u(x) ≡ u(x − y). Mét hÖ tiÕn hãa ®­îc x¸c ®Þnh theo quy luËt un+1 = Q[un ], trong ®ã un+1 vµ un lµ c¸c phÇn tö cña B vµ Q lµ mét to¸n tö trong B. C¸c tÝnh chÊt cña hÖ tiÕn hãa lµ c¸c tÝnh chÊt cña Q. Tõ c¸c nhËn xÐt trªn ta gi¶ thiÕt to¸n tö To¸n tö Q nh­ sau: Q lµ liªn tôc víi sù thay ®æi cña u, vµ tháa m·n tÝnh chÊt: (i) Q[u] ∈ B, ∀u∈ B. (ii) Q[Ty [u]] = Ty [Q[u]], ∀u∈ B, y∈H. (iii) C¸c h»ng 0 5 π0 < π1 5 π+ sao cho Q[α] > α α ∈ (π0 ; π1 ), Q[π0 ] = π0 , Q[π1 ] = π1 , π1 < ∞. (iv) u 5 v suy ra Q[u] 5 Q[v]. (v) un → u khi n → ∞ lµ héi tô ®Òu trªn tËp bÞ chÆn trong H , khi ®ã Q[un ](x) → Q[u](x), víi mçi x ∈ H. 9 (1.2.1) Ngoµi ra to¸n tö Q cßn tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: α ∈ (π1 , π+ ) nÕu π1 < π+ . Q[α] < α, Hai tËp låi K1 vµ K2 trong Rn , vµ mét sè ε1 vµ nÕu vµ π1 = π+ u < π1 trong > 0. Gi¶ sö r»ng nÕu π1 < π+ vµ cïng víi c¸c tÝnh chÊt trªn, khi ®ã nÕu K1 hoÆc K2 (1.2.2) u < π1 + ε1 (1.2.3) b > 0 sao cho u(x) = 0, víi |x| 5 b ⇒ Q[u](0) = 0. Mäi d·y hµm vn trong B víi vn 5 π1 (1.2.4) cã mét d·y con vnk Q[vnk ] héi tô ®Òu trªn mäi tËp bÞ chÆn trong H . Chóng ta b¾t ®Çu víi hµm ®­îc d·y hµm un H th× ta cã Q[u](0) < π1 . Víi h»ng sè trong u0 trong B sao cho d·y (1.2.5) khi ®ã sÏ dù ®o¸n víi n ®ñ lín ta ®­îc x¸c ®Þnh theo quy t¾c: un+1 = Q[un ]. Chóng ta chØ quan t©m ®Õn nghiÖm sãng ch¹y cña ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng un (x) = W [x · ξ − nc], trong ®ã W kh«ng theo quy luËt mét hµm sè cña c¸c biÕn, ξ lµ mét vector cè ®Þnh, (®­îc gäi ph­¬ng sãng), vµ c ®­îc gäi lµ tèc ®é sãng. Hµm ®Þnh nghÜa lÊy gi¸ trÞ theo W (s) ®­îc s d­íi d¹ng x · ξ − nc víi x ∈ H, n = 0, 1, 2, ... Ta thÊy r»ng Q[u](x0 ) = Q[T−x0 [u]](0), ∀x0 ∈ Rn . Hai tÝnh chÊt cña to¸n tö Q suy ra tõ tõ c¸c gi¶ thiÕt trªn. 10 (1.2.6) (vi) NÕu α lµ mét hµm h»ng khi ®ã Q[α] còng lµ mét hµm h»ng. ThËt vËy: α lµ hµm h»ng khi vµ chØ khi α(x − y) = α(x) = α víi mäi y ∈ H. Ta cã Ty [Q[α]](x) = Q[α](x − y). Mµ Q[Ty [α]](x) = Q[α(x − y)](x) = Q[α](x), víi mäi y ∈ H. Tõ Ty [Q[α]](x) = Q[Ty [α]](x), suy ra Q[α](x − y) = Q[α](x) víi mäi y. VËy Q[α] lµ hµm h»ng. (vii) D·y sè ®Õn hµm h»ng α. αn héi tô ®Õn α ®­îc xem nh­ mét d·y hµm h»ng héi tô ®Òu Qua t¸c ®éng cña Q th× d·y hµm h»ng Q[αn ](x) héi tô ®Õn Q[α]. 1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n Trong phÇn nµy chóng ta ®­a ra hai ®Ò xuÊt c¬ b¶n ®­îc sö dông trong c¸c chøng minh cña phÇn sau. 11 MÖnh ®Ò 1.1. tö (Nguyªn lý so s¸nh). Cho R lµ mét to¸n tö tõ B vµo B. To¸n R ®­îc gäi lµ b¶o toµn thø tù nÕu tháa m·n: v = w ⇒ R[v] = R[w] NÕu d·y vn Vµ víi d·y vµ nÕu (1.3.1) tháa m·n bÊt ®¼ng thøc: wn (1.3.2) wn+1 5 R[wn ], (1.3.3) tháa m·n: v0 = w0 Chøng minh. vn+1 = R[vn ]. vn = wn , ∀n ∈ N . th× Tõ v0 = w0 suy ra R[v0 ] = R[w0 ]. MÆt kh¸c ta cã v1 = R[v0 ], w1 5 R[w0 ] do ®ã v1 = R[v0 ] = R[w0 ] = w1 . T­¬ng tù: v2 = R[v1 ] = R[w1 ] = w2 ............................... vn = R[vn−1 ] = R[wn−1 ] = wn , ∀n ∈ N. MÖnh ®Ò 1.2. Cho R lµ mét to¸n tö tõ B vµo B. To¸n tö R tháa m·n(1.3.1),vµ R[w0 ] = w0 . NÕu d·y wn x¸c ®Þnh wn+1 = R[wn ], th× wn+1 = wn , ∀n ∈ N . 12 Chøng minh. Chän vn = wn+1 , ∀n ∈ N th× v0 = w1 = R[w0 ] = w0 , vµ ¸p dông (1.3.1) tÝnh chÊt cña R ta cã: v1 = w2 = R[w1 ] = R[w0 ] = w1 = v0 v2 = w3 = R[w2 ] = R[w1 ] = w2 = v1 ....................................... vn = wn+1 = R[wn ] = R[wn−1 ] = wn = vn−1 suy ra 1.4 wn+1 = wn , ∀n ∈ N . X©y dùng tèc ®é sãng Trong phÇn nµy ta sÏ x¸c ®Þnh tèc ®é sãng c∗ (ξ) t­¬ng øng víi to¸n tö Q tháa m·n ®iÒu kiÖn (1.2.1). Tèc ®é sãng sÏ ®­îc ®iÒu chØnh trong c¸c kÕt qu¶ ®Þnh lý ë ph©n tiÕp theo. Ta sÏ ®Þnh nghÜa c∗ (ξ) - tèc ®é sãng, vµ ®­a ra mét sè kÕt qu¶ liªn quan. Tèc ®é sãng c∗ (ξ) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ gi¸ trÞ v« h­íng nh­ lµ hµm cña ®¬n vÞ vector ξ . Chóng ta cã thÓ hiÓu c∗ (ξ) lµ tèc ®é sãng theo ph­¬ng ξ . §Ó x¸c ®Þnh c∗ (ξ) ta chän hµm ϕ cã tÝnh chÊt ®­îc ®Þnh nghÜa theo ®Þnh nghÜa (1.4). Nh÷ng hµm cã tÝnh chÊt trªn sau nµy ta ký hiÖu lµ hµm ϕ(s). Ta chän hµm ϕ(s) nh­ sau: Hµm ϕ(s) lµ mét hµm sè nhËn gi¸ trÞ thùc tháa m·n c¸c tÝnh chÊt: (i) ϕ lµ mét hµm liªn tôc kh«ng t¨ng. (ii) ϕ(−∞) ∈ (π0 , π1 ). (1.4.1) 13 (iii) ϕ(s) = 0, ∀s = 0. §Þnh nghÜa 1.3. Víi sè thùc c vµ vector ξ, to¸n tö ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: Rc,ξ [a](s) ≡ max{ϕ(s), Q[a(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}. Hai tÝnh chÊt cña (i) Víi (1.4.2) R suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Q th¶o m·n tÝnh chÊt (1.2.1) khi ®ã ta cã: Rc,ξ [α](s) > α(c, ξ; x · ξ + s + c) = α, víi α ∈ (π0 , π1 ). (1.4.3) ThËt vËy: Rc,ξ [α](s) ≡ max{ϕ(s), Q[α(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} = Q[α(c, ξ; x · ξ + s + c)](0) = Q[α](0) > α, theo tÝnh chÊt (1.2.1) cña Q, víi α ∈ (π0 , π1 ), ∀x ∈ H. (ii) Víi Q th¶o m·n tÝnh chÊt (iv) trong ®Þnh nghÜa 1.3, khi ®ã nÕu u 5 v th× Rc,ξ [u](s) 5 Rc,ξ [v](s). ThËt vËy: Tõ tÝnh chÊt (iv) cña Q nÕu u 5 v th× Q[u(c, ξ; x · ξ + s + c)](0) 5 Q[v(c, ξ; x · ξ + s + c)](0). MÆt kh¸c Rc,ξ [u](s) ≡ max{ϕ(s), Q[u(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} 5 max{ϕ(s), Q[v(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} ≡ Rc,ξ [u](s). 14 VËy: Nãi c¸ch kh¸c §Þnh nghÜa 1.4. NÕu u 5 v th× Rc,ξ [u](s) 5 Rc,ξ [v](s). Rc,ξ lµ ®¬n ®iÖu. Víi sè thùc c vµ vector ξ , d·y an (c, ξ, s) ®­îc x¸c ®Þnh bëi: (1.4.4) an+1 = Rc,ξ [an ], a0 = ϕ. D­íi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt cña d·y Bæ ®Ò 1.1. tôc theo D·y an (c, ξ, s) an : kh«ng gi¶m theo n, kh«ng t¨ng theo s vµ c, vµ liªn c, ξ , vµ s. Chøng minh. +) Ta chøng minh an kh«ng gi¶m theo n. Ta cã a0 (c, ξ; s) = ϕ(s), suy ra a1 (c, ξ; s) = Rc,ξ [a0 ](s) = max{ϕ(s), Q[a0 (c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} = ϕ(s) = a0 (c, ξ; s). Do Rc,ξ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, tõ mÖnh ®Ò 1.2 ta cã an+1 (c, ξ; s) = an (c, ξ; s). Suy ra d·y an (c, ξ; s) lµ d·y kh«ng gi¶m theo +) Ta chøng minh an kh«ng t¨ng theo Víi cña hµm n. s vµ c theo ph­¬ng ph¸p quy n¹p. n = 0 th× a0 (c, ξ; s) = ϕ(s) lµ mét hµm kh«ng t¨ng theo ®Þnh nghÜa ϕ(s), suy ra nÕu ∀c0 5 c; ∀s0 5 s th× ϕ(s0 ) = ϕ(s). 15 Gi¶ sö an (c, ξ; s) lµ kh«ng t¨ng theo Tøc lµ c, s lµ ®óng. ∀c0 5 c; ∀s0 5 s th× an (c0 , ξ; s0 ) = an (c, ξ; s). Ta chøng minh an+1 (c0 , ξ; s0 ) = an+1 (c, ξ; s), ∀c0 5 c; ∀s0 5 s. ThËt vËy: ∀c0 5 c; ∀s0 5 s suy ra x · ξ + s0 + c0 5 x · ξ + s + c, vµ tõ tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña an ta cã: an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c0 ) = an (c, ξ; x · ξ + s + c), nªn theo tÝnh chÊt (iv) cña Q ta cã Q[an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c)](0) = Q[an (c, ξ; x · ξ + s + c)](0). Khi ®ã an+1 (c0 , ξ; s0 ) = Rc0 ,ξ [an (c0 , ξ; s0 )] = max{ϕ(s0 ), Q[an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c0 )](0)} = max{ϕ(s), Q[an (c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} = an+1 (c, ξ; s). Nh­ vËy an (c, ξ; s) kh«ng t¨ng theo +) Ta chøng minh s vµ c víi mäi n. an (c, ξ; s) liªn tôc theo c¸c biÕn c, s, ξ b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p. Víi hµm n = 0 th× a0 (c, ξ; s) = ϕ(s) lµ mét hµm liªn tôc theo ®Þnh nghÜa cña ϕ(s). Suy ra a0 (c, ξ; s) liªn lôc theo c¸c biÕn c, s, ξ . Gi¶ sö an (c, ξ; s) liªn tôc theo c¸c biÕn Tøc lµ mäi d·y c, s, ξ lµ ®óng. (cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn (c, ξ; s) khi υ → ∞ th× an (cυ , ξυ ; sυ ) héi 16 tô ®Õn an (c, ξ; s) khi υ → ∞. Ta chøng minh an+1 (cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn an+1 (c, ξ; s) khi υ → ∞. ThËt vËy: XÐt mçi cho x thuéc mét tËp bÞ chÆn B1 trong H , suy ra tån t¹i sè d­¬ng R sao |x| 6 R, ∀x ∈ B1 . Gi¶ sö (cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn (c, ξ; s) khi υ → ∞, suy ra d·y (cυ , ξυ , sυ ) bÞ chÆn, tøc lµ cã c¸c sè M1 > 0; M2 > 0; M3 > 0 tån t¹i υ0 > 0 sao cho ∀υ > υ0 th× |c| 6 M1 , |ξ| 6 M2 , |s| 6 M3 , vµ |cυ | 6 M1 , |ξυ | 6 M2 , |sυ | 6 M3 . Suy ra |x · ξ + c + s| 5 |x|.|ξ| + |c| + |s| = M1 + RM2 + M3 vµ |x · ξυ + cυ + sυ | 5 |x|.|ξυ | + |cυ | + |sυ | = M1 + RM2 + M3 . Khi ®ã tËp M = [−M1 ; M1 ] × [−M2 ; M2 ] × [−(M1 + RM2 + M3 ); M1 + RM2 + M3 ] lµ tËp ®ãng vµ bÞ chÆn, ®iÓm M lµ tËp h÷u h¹n suy ra M lµ mét tËp compact, vµ hai (cυ , ξυ , x · ξυ + sυ + cυ ), (c, ξ, x · ξ + s + c) n»m trong M . V× an lµ hµm liªn tôc theo tÊt c¶ c¸c biÕn trªn tËp compact M suy ra an liªn tôc ®Òu trªn thuéc M , nghÜa lµ ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀(c1 , ξ1 , s1 ), ∀(c2 , ξ2 , s2 ) M tháa m·n |(c1 , ξ1 , s1 ) − (c2 , ξ2 , s2 )| < δ th× |an (c1 , ξ1 , s1 ) − an (c2 , ξ2 , s2 )| < . 17
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan