§¹i häc quèc gia Hµ néi
Trêng §¹i Häc khoa häc tù nhiªn
NguyÔn H÷u TrÝ
VÒ sù tån t¹i
sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c
cña c¸c quÇn thÓ sinh häc
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Hµ Néi - 2012
§¹i häc quèc gia Hµ néi
Trêng §¹i Häc khoa häc tù nhiªn
NguyÔn H÷u TrÝ
VÒ sù tån t¹i
sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c
cña c¸c quÇn thÓ sinh häc
Chuyªn ngµnh: To¸n gi¶i tÝch
M· sè: 60 46 01.
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Ngêi híng dÉn khoa häc: TS. §Æng Anh TuÊn
Hµ néi - 2012
Môc lôc
Môc lôc
i
Lêi c¶m ¬n
ii
Më ®Çu
1
Tæng Quan
1
3
. . . .
3
1.2 X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng trëng d©n sè
1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n
1.4 X©y dùng tèc ®é sãng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y
2
36
2.1 Tèc ®é lan truyÒn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2 Sù héi tô ®Õn gi¸ trÞ c©n b»ng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
KÕt luËn
Tµi liÖu tham kh¶o
61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
62
Më ®Çu
QuÇn thÓ sinh häc lµ mét hÖ ®éng lùc trong thùc tÕ cã t¸c ®éng cña c¸c
yÕu tè kh¸ch quan. Khi xem xÐt mét hÖ sinh th¸i chóng ta g¾n nã víi mét m«
h×nh to¸n häc cho c¸c hÖ thèng tiÕn triÓn theo thêi gian, vµ ngêi ta thêng gi¶
thiÕt hÖ thèng ho¹t ®éng liªn tôc, hoÆc rêi r¹c ®Òu. Tõ ®ã, c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch
liªn tôc vµ rêi r¹c ®îc nghiªn cøu ®Ó m« t¶ hÖ thèng t¬ng øng víi c¸c gi¶ thiÕt
thêi gian lý tëng ®îc ®Æt ra.
Trong luËn v¨n nµy chóng t«i tr×nh bµy mét nghiªn cøu vÒ sù tån t¹i nghiÖm
sãng ch¹y cña m« h×nh rêi r¹c trong di truyÒn häc vµ t¨ng trëng d©n sè. §©y
lµ m« h×nh ®îc Weinberger nghiªn cøu vµ cho kÕt qu¶ trong bµi MATH. SIAM
ANAL Vol. No. 3, May 1982. H." Long-time behavior of a class of biological
models".
Víi ®Ò tµi:
VÒ sù tån t¹i sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c cña c¸c quÇn thÓ sinh häc
LuËn v¨n gåm 2 ch¬ng.
Ch¬ng 1. Tæng quan.
Néi dung ch¬ng nµy ®îc viÕt thµnh 4 môc.
Môc 1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng trëng d©n sè.
Môc 1.2. X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa.
Môc 1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n.
Môc 1.4 X©y dùng tèc ®é sãng.
Ch¬ng 2. Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y.
thµnh 3 môc.
Môc 2.1 Tèc ®é lan truyÒn
Môc 2.2 Sù héi tô ®Õn gi¸ trÞ c©n b»ng.
Môc 2.2 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y.
KÕt luËn.
1
Néi dung Ch¬ng 2 ®îc viÕt
Trong phÇn nµy chóng t«i ®¸nh gi¸ ®ãng gãp cña luËn v¨n vµ ®Ò cÊp tíi
híng nghiªn cøu trong thêi gian tiÕp theo ®ã lµ t×m hiÓu øng dông lý thuyÕt cña
Wenberger cho c¸c líp m« h×nh trong ®ã to¸n tö
Q[u] cã thÓ kh«ng compact..
Hµ Néi, ngµy 25 th¸ng 07 n¨m 2012
T¸c gi¶
NguyÔn H÷u TrÝ
2
Ch¬ng 1
Tæng Quan
Trong ch¬ng nµy chóng ta tr×nh bµy mét sè thuËt ng÷ vµ ®Þnh nghÜa c¬
b¶n liªn quan ®Õn m« h×nh sinh th¸i vµ hÖ rêi r¹c cña mét sè c¸c quÇn thÓ sinh
häc.
1.1
Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng
trëng d©n sè
Chóng ta xem xÐt mét m« h×nh ®îc gäi lµ bíc ®Öm trong di truyÒn häc
cña mét quÇn thÓ. Chóng ta ph©n lo¹i c¸ thÓ cña quÇn thÓ cña mét loµi lìng béi
nhÊt ®Þnh. NÕu xÐt mét gen gåm hai alen
kiÓu gen:
AA, Aa, aa,
hîp tö lµ:
Aa.
A
vµ
a.
Th× trong quÇn thÓ sÏ cã ba
trong ®ã kiÓu gen ®ång hîp tö lµ:
AA, aa vµ kiÓu gen dÞ
M«i trêng sèng tù nhiªn hoÆc nh©n t¹o ®îc ph©n chia thµnh c¸c vïng
ph©n biÖt gäi lµ " Hèc ". C¸c c¸ thÓ cña cïng mét loµi sèng trong mét vïng riªng
biÖt ®ã ®îc gäi lµ mét quÇn thÓ.
Cã sù c¸ch ly sinh s¶n ë mét møc ®é nhÊt ®Þnh víi c¸c quÇn thÓ l©n cËn
cïng loµi. Vµ sù di c, nhËp c cña c¸c c¸ thÓ lµm thay ®æi tÇn sè alen, vµ thµnh
3
phÇn kiÓu gen cña quÇn thÓ.
C¸c c¸ thÓ trong mét quÇn thÓ giao phèi ngÉu nhiªn víi nhau ®Ó sinh ra
thÕ hÖ sau.
Tû lÖ sè lîng alen
A víi tæng sè alen cña gen ®ã trong quÇn thÓ ®îc gäi
lµ tÇn sè alen cña alen A, gäi tÇn sè alen A ë thÕ hÖ thø n trong quÇn thÓ lµ:
khi ®ã tÇn sè alen cña alen
a lµ: 1 − un (i).
thµnh phÇn kiÓu gen t¬ng øng:
un (i)
Theo ®Þnh luËt Hardy- Weinberg th×
AA; Aa; aa cña quÇn thÓ t¬ng øng lµ
(un (i))2 : 2un (1 − un ) : ((1 − un (i))2
trong ®iÒu kiÖn kh«ng cã sù t¸c ®éng cña chän läc tù nhiªn, kh«ng x¶y ra ®ét
biÕn mµ chØ phô thuéc vµo kiÓu gen cña nã ®èi víi gen ®îc xem xÐt.
Sù ph©n ®«i trong giai ®o¹n di c cña ba kiÓu gen cã c¸c tû lÖ
(1 + si ) : 1 : (1 + ti )
sau ®ã tû lÖ sèng sãt t¹i thêi ®iÓm di c lµ
(1 + si )(un (i))2 : 2un (1 − un ) : (1 + ti )((1 − un (i))2 .
Chóng ta gi¶ ®Þnh r»ng tæng sè c¸c c¸ thÓ trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn
sù ph©n loµi thø i sèng sãt sau khi di c lµ pi kh«ng phô thuéc vµo kiÓu gen cña
chóng. Gi¶ sö r»ng lij lµ mét phÇn c¸ thÓ cña mçi kiÓu gen trong c¸c c¸ thÓ liªn
quan ®Õn sù ph©n loµi thø
i di c trë thµnh mét phÇn cña c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn
sù ph©n loµi thø j . Khi ®ã phÇn gen trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi
thø
j
sau khi di c cho bëi c«ng thøc:
un+1 (j) =
X
mji gi (un (i))
(1.1.1)
i
trong ®ã:
gi (u) =
2(1 + si )u2 + 2u(1 − u)
2[(1 + si )u2 + 2u(1 − u) + (1 + σi )(1 − u)2 ]
4
(1.1.2)
lµ phÇn gen cña deme thø i tríc thêi ®iÓm di c vµ
lji pi
mji = P
k lji pi
lµ mét phÇn c¸c c¸ thÓ cña deme thø
Khi ®ã hµm
j
(1.1.3)
di c ®Õn hèc thÝch hîp vµo ®êi thø i.
{un (i) : i = 1; 2; ...} tháa m·n hÖ
un+1 = Q[un ], (1)
víi
Q[u](j ) =
X
(1.1.4)
mji gi (un (i)).
i
C«ng viÖc hiÖn t¹i chóng ta chØ xÐt víi m«i trêng sèng ®ång nhÊt. B»ng
c¸ch nµy, ta xem xÐt tÊt c¶ c¸c "Hèc" gièng nhau nhËn ®îc kÕt qu¶ b»ng c¸ch
tÞnh tiÕn ®Õn thêi ®iÓm thÝch hîp, víi hÖ sè dÞch chuyÓn lij phï hîp vµ phô thuéc
vµo thÕ hÖ thø
i thÝch hîp cho thÕ hÖ thø j .
Mét trêng hîp ®Æc biÖt, r»ng c¸c sinh vËt ®ang sèng trong mÆt ph¼ng
R2 .
BiÓu diÔn bëi b¶n ®å chia thµnh c¸c « vu«ng
1
1
1
1
{(x; y)|(k − )h < x < (k + )h, (l − )h < y < (l + )h, k, l = 0; 1; 2...}
2
2
2
2
víi ®é dµi
h,
®ã lµ c¸c "Hèc". Täa ®é t©m cña h×nh vu«ng lµ béi cña
nh mét vector.
cña
h.
h
vµ xem
cã thÓ x¸c ®Þnh trªn c¬ së tõ hai vector cã thµnh phÇn lµ béi
H
Trªn thùc tÕ
H
thùc chÊt lµ sù ®ång nhÊt
s vµ t, p c¸c d¹ng trëng thµnh
®Òu gièng nhau ë tÊt c¶ c¸c "Hèc", vµ hÖ sè dÞch chuyÓn lij chØ phô thuéc vµo
sù kh¸c biÖt cña vector
®Þnh r»ng
xi − xj
gi÷a trung t©m cña c¸c "Hèc". HiÖn t¹i ta chØ gi¶
s, t, p kh«ng phô thuéc vµo u, do ®ã chóng lµ mét h»ng sè. Sao cho
X
k
lij =
X
l(xi − xj ) =
X
l(xi ) =
i
k
Tõ (1.3) ta cã
mij = lij ≡ m(xi − xj ).
5
X
i
li0 = 1.
Ta ®Þnh nghÜa to¸n tö Q nh sau:
Q[u](x) =
X
(1.1.5)
m(x − y)g(u(y)),
y∈H
trong ®ã:
X
mji (x) = 1
y∈H
vµ
g(u) =
su2 + u
.
1 + su2 + σ(1 − u)2
(1.1.6)
u(1 − u)[su − σ(1 − u)]
.
1 + su2 + σ(1 − u)2
(1.1.7)
Chóng ta thÊy r»ng:
g(u) − u =
§Þnh nghÜa cña u cho thÊy r»ng ta chØ ph¶i xÐt hµm u(x) sao cho 0
DÔ dµng nhËn thÊy r»ng
g
t¨ng tõ
0
®Õn
nhËn gi¸ trÞ trong ®o¹n
[0; 1].
Tõ (1.7) ta thÊy r»ng
cã ba tÝnh chÊt:
(i) NÕu
g
1
gièng nh
u
t¨ng tõ
0
®Õn
6 u 5 1.
1
vµ
Q[u]
s > 0 > σ , ®ång hîp tö AA lµ phï hîp víi ®ång hîp tö aa vµ
g(u) > u, víi 0 < u < 1.
(1.1.8)
§iÒu ®ã cßn cho thÊy trong trêng hîp dÞ hîp tö trong vïng trung gian.(
NÕu
s < 0 < σ,
nÕu thay thÕ biÕn
(ii) NÕu
s vµ σ
th×
g(u) < u,
0 < u < 1.
Ta cã thÓ lo¹i bá trêng hîp trªn
u thµnh 1 − u, vµ thay ®æi thuéc tÝnh cña A vµ a.)
lµ c¸c sè ©m. Tõ (1.1.7) ta cã c¸c tÝnh chÊt:
g(u) > u, víi 0 < u < π1 ,
g(u) < u, víi π1 < u < 1.
6
(1.1.9)
Trong ®ã
σ
.
s+σ
π1 =
(iii) Khi s vµ
σ
(1.1.10)
lµ c¸c sè d¬ng, khi ®ã:
g(u) < u, víi 0 < u < π0 ,
g(u) > u, víi π0 < u < 1.
(1.1.11)
Trong ®ã:
π0 =
σ
.
s+σ
Chó ý r»ng cha cã lý do cô thÓ ®Ó
1+s
(1.1.10')
vµ
1+σ
kh«ng phô thuéc vµo
u khi c¸c thµnh phÇn d©n sè c¹nh tranh. NÕu p lµ h»ng sè vÉn cã ®îc c¸c c«ng
thøc (1.5); (1.6), c«ng thøc (1.1.7) cho thÊy r»ng thËm chÝ
vµo
s vµ σ
vÉn phô thuéc
u vµ khi ®ã (1.1.8) vÉn tháa m·n.
Quy m« d©n sè cì
p tríc khi chuyÓn ®æi cã thÓ phô thuéc vµo thµnh phÇn
cÊu t¹o di truyÒn cña d©n sè vµ do ®ã trªn
u. Tõ (1.1.3) cho thÊy r»ng trong mét
m«i trêng ®ång nhÊt mij lµ mét hµm cña u(xi ) còng nh cña
xi − xj . Nãi chung
c¸c m« h×nh di chó cã thÓ phô thuéc vµo kiÓu di truyÒn vµ kh¶ n¨ng sinh s¶n.
NÕu ta gi¶ ®Þnh kh«ng cã sù t¸c ®éng sau di c, khi ®ã ta cã thÎ ®o¸n ®îc c¸c
gi¸ trÞ lA (x
hèc t¹i
x
− y, u)
cña giao tö
A
vµ la (x
bëi mét deme sinh ra t¹i
y
− y, u)
cña mét giao tö sinh ra trong
nÕu phÇn gen ban ®Çu lµ
u.
Trong trêng
hîp nµy ta cã hÖ
un+1 = Q[un ], (1)
víi to¸n tö
P
Q[u](x) = P
− y, u(y))
.
y∈H [lA (x − y, u(y)) − la (x − y, u(y))]
y∈H lA (x
7
(1.1.12)
NÕu cã giao phèi kh«ng ngÉu nhiªn, phÇn gen míi lµ mét hµm nh vÕ ph¶i cña
(1.1.12).
§iÒu kiÖn trªn cã thÓ söa ®æi theo c¸c c¸ch kh¸c nhau. C¸c hèc nµy cã thÓ
bao gåm h×nh b×nh hµnh, h×nh lôc gi¸c, hoÆc khu vùc kh¸c thay v× h×nh vu«ng.
Chóng ta cã thÓ xem giíi h¹n gi÷a c¸c vïng lµ rÊt nhá, do ®ã
un (x) sÏ trë thµnh
c¸c hµm liªn tôc theo biÕn
x vµ trong c«ng thøc (1.5) to¸n tö Q thay bëi
Z
m(x − y)g(u(y)).
(1.1.13)
Q[u](x) =
R2
NÕu
m(x)
chØ phô thuéc vµo kho¶ng c¸ch Euclid
|x|.
Trong m«i trêng
sèng rêi r¹c (kh«ng lu©n phiªn ®èi xøng), khi ®ã ta thay thÕ to¸n tö
Q ®Ó cã ®îc
u víi c¸c mèi liªn hÖ vÒ ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
NÕu ta ®Þnh nghÜa
un (x) = u(nτ, x),
trong ®ã
u(t, x)
lµ nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh
∂u
= D∆u + f (u).
∂t
Khi ®ã
un
(*)
tháa m·n
un+1 = Q[un ], (1)
trong ®ã
Q[v](x)
®îc ®Þnh nghÜa lµ
u(τ, x)
víi
u(t, x)
lµ nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh:
∂u
= D∆u + f (u),
∂t
1.2
u(0, x) = v(x).
(1.1.14)
X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa
Trong phÇn nµy ta x©y dùng mét sè ®Þnh nghÜa vÒ c¸c hÖ sinh th¸i vµ c¸c
c«ng thøc to¸n häc cña nã.
§Þnh nghÜa 1.1.
trong
Rn
Mét m«i trêng sèng
víi c¸c tÝnh chÊt sau: NÕu
H
®îc ®Þnh nghÜa nh lµ tËp c¸c ®iÓm
x, y ∈ H
8
th×
x + y, x − y ∈ H .
NÕu
Nh vËy
H
x, y ∈ H
th×
x + y, x − y ∈ H ,
®iÒu nµy chøng tá phÇn tö
0 ∈ H.
lµ mét nhãm ®èi víi phÐp céng.
§Þnh nghÜa 1.2.
Gäi
B
lµ tËp c¸c hµm sè liªn tôc trªn
H
[0; π+ ],( nÕu π+ = ∞ th× B lµ tËp c¸c hµm sè liªn tôc trªn H
nhËn gi¸ trÞ trªn
nhËn gi¸ trÞ trªn
[0; ∞] ).
Víi mçi
y
thuéc
H
ta ®Þnh nghÜa to¸n tö dÞch chuyÓn:
Ty u(x) ≡ u(x − y).
Mét hÖ tiÕn hãa ®îc x¸c ®Þnh theo quy luËt
un+1 = Q[un ],
trong ®ã
un+1
vµ
un
lµ c¸c phÇn tö cña
B vµ Q lµ mét to¸n tö trong B. C¸c tÝnh
chÊt cña hÖ tiÕn hãa lµ c¸c tÝnh chÊt cña
Q.
Tõ c¸c nhËn xÐt trªn ta gi¶ thiÕt to¸n tö
To¸n tö
Q nh sau:
Q lµ liªn tôc víi sù thay ®æi cña u, vµ tháa m·n tÝnh chÊt:
(i) Q[u] ∈ B, ∀u∈ B.
(ii) Q[Ty [u]] = Ty [Q[u]], ∀u∈ B, y∈H.
(iii)
C¸c h»ng
0 5 π0 < π1 5 π+
sao cho
Q[α] > α α ∈ (π0 ; π1 ), Q[π0 ] = π0 , Q[π1 ] = π1 , π1 < ∞.
(iv) u 5 v
suy ra
Q[u] 5 Q[v].
(v) un → u khi n → ∞ lµ héi tô ®Òu trªn tËp bÞ chÆn trong H , khi ®ã
Q[un ](x) → Q[u](x), víi mçi x ∈ H.
9
(1.2.1)
Ngoµi ra to¸n tö
Q cßn tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau:
α ∈ (π1 , π+ ) nÕu π1 < π+ .
Q[α] < α,
Hai tËp låi K1 vµ K2 trong Rn , vµ mét sè ε1
vµ nÕu
vµ
π1 = π+
u < π1
trong
> 0. Gi¶ sö r»ng nÕu π1 < π+
vµ cïng víi c¸c tÝnh chÊt trªn, khi ®ã nÕu
K1
hoÆc
K2
(1.2.2)
u < π1 + ε1
(1.2.3)
b > 0 sao cho
u(x) = 0, víi |x| 5 b ⇒ Q[u](0) = 0.
Mäi d·y hµm
vn
trong
B
víi
vn 5 π1
(1.2.4)
cã mét d·y con
vnk
Q[vnk ] héi tô ®Òu trªn mäi tËp bÞ chÆn trong H .
Chóng ta b¾t ®Çu víi hµm
®îc d·y hµm
un
H
th× ta cã
Q[u](0) < π1 .
Víi h»ng sè
trong
u0
trong
B
sao cho d·y
(1.2.5)
khi ®ã sÏ dù ®o¸n víi
n
®ñ lín ta
®îc x¸c ®Þnh theo quy t¾c:
un+1 = Q[un ].
Chóng ta chØ quan t©m ®Õn nghiÖm sãng ch¹y cña ph¬ng tr×nh díi d¹ng
un (x) = W [x · ξ − nc],
trong ®ã
W
kh«ng theo quy luËt mét hµm sè cña c¸c biÕn,
ξ
lµ mét vector cè
®Þnh, (®îc gäi ph¬ng sãng), vµ c ®îc gäi lµ tèc ®é sãng. Hµm
®Þnh nghÜa lÊy gi¸ trÞ theo
W (s)
®îc
s díi d¹ng x · ξ − nc víi x ∈ H, n = 0, 1, 2, ...
Ta thÊy r»ng
Q[u](x0 ) = Q[T−x0 [u]](0), ∀x0 ∈ Rn .
Hai tÝnh chÊt cña to¸n tö
Q suy ra tõ tõ c¸c gi¶ thiÕt trªn.
10
(1.2.6)
(vi) NÕu
α lµ mét hµm h»ng khi ®ã Q[α] còng lµ mét hµm h»ng.
ThËt vËy:
α lµ hµm h»ng khi vµ chØ khi
α(x − y) = α(x) = α
víi mäi
y ∈ H.
Ta cã
Ty [Q[α]](x) = Q[α](x − y).
Mµ
Q[Ty [α]](x) = Q[α(x − y)](x) = Q[α](x),
víi mäi
y ∈ H.
Tõ
Ty [Q[α]](x) = Q[Ty [α]](x),
suy ra
Q[α](x − y) = Q[α](x) víi mäi y.
VËy
Q[α] lµ hµm h»ng.
(vii) D·y sè
®Õn hµm h»ng
α.
αn
héi tô ®Õn
α ®îc xem nh mét d·y hµm h»ng héi tô ®Òu
Qua t¸c ®éng cña
Q
th× d·y hµm h»ng
Q[αn ](x)
héi tô ®Õn
Q[α].
1.3
Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n
Trong phÇn nµy chóng ta ®a ra hai ®Ò xuÊt c¬ b¶n ®îc sö dông trong c¸c
chøng minh cña phÇn sau.
11
MÖnh ®Ò 1.1.
tö
(Nguyªn lý so s¸nh). Cho
R
lµ mét to¸n tö tõ
B
vµo
B.
To¸n
R ®îc gäi lµ b¶o toµn thø tù nÕu tháa m·n:
v = w ⇒ R[v] = R[w]
NÕu d·y
vn
Vµ víi d·y
vµ nÕu
(1.3.1)
tháa m·n bÊt ®¼ng thøc:
wn
(1.3.2)
wn+1 5 R[wn ],
(1.3.3)
tháa m·n:
v0 = w0
Chøng minh.
vn+1 = R[vn ].
vn = wn , ∀n ∈ N .
th×
Tõ v0
= w0 suy ra
R[v0 ] = R[w0 ].
MÆt kh¸c ta cã
v1 = R[v0 ], w1 5 R[w0 ]
do ®ã
v1 = R[v0 ] = R[w0 ] = w1 .
T¬ng tù:
v2 = R[v1 ] = R[w1 ] = w2
...............................
vn = R[vn−1 ] = R[wn−1 ] = wn , ∀n ∈ N.
MÖnh ®Ò 1.2.
Cho
R lµ mét to¸n tö tõ B vµo B. To¸n tö R tháa m·n(1.3.1),vµ
R[w0 ] = w0 . NÕu d·y wn
x¸c ®Þnh
wn+1 = R[wn ], th× wn+1 = wn , ∀n ∈ N .
12
Chøng minh.
Chän
vn = wn+1 , ∀n ∈ N
th×
v0 = w1 = R[w0 ] = w0 ,
vµ ¸p dông (1.3.1) tÝnh chÊt cña R ta cã:
v1 = w2 = R[w1 ] = R[w0 ] = w1 = v0
v2 = w3 = R[w2 ] = R[w1 ] = w2 = v1
.......................................
vn = wn+1 = R[wn ] = R[wn−1 ] = wn = vn−1
suy ra
1.4
wn+1 = wn , ∀n ∈ N .
X©y dùng tèc ®é sãng
Trong phÇn nµy ta sÏ x¸c ®Þnh tèc ®é sãng c∗ (ξ) t¬ng øng víi to¸n tö
Q
tháa m·n ®iÒu kiÖn (1.2.1). Tèc ®é sãng sÏ ®îc ®iÒu chØnh trong c¸c kÕt qu¶
®Þnh lý ë ph©n tiÕp theo. Ta sÏ ®Þnh nghÜa c∗ (ξ) - tèc ®é sãng, vµ ®a ra mét sè
kÕt qu¶ liªn quan. Tèc ®é sãng c∗ (ξ) ®îc ®Þnh nghÜa lµ gi¸ trÞ v« híng nh lµ
hµm cña ®¬n vÞ vector ξ . Chóng ta cã thÓ hiÓu c∗ (ξ) lµ tèc ®é sãng theo ph¬ng
ξ . §Ó x¸c ®Þnh c∗ (ξ) ta chän hµm ϕ cã tÝnh chÊt ®îc ®Þnh nghÜa theo ®Þnh nghÜa
(1.4). Nh÷ng hµm cã tÝnh chÊt trªn sau nµy ta ký hiÖu lµ hµm
ϕ(s). Ta chän hµm
ϕ(s) nh sau:
Hµm
ϕ(s) lµ mét hµm sè nhËn gi¸ trÞ thùc tháa m·n c¸c tÝnh chÊt:
(i) ϕ lµ mét hµm liªn tôc kh«ng t¨ng.
(ii) ϕ(−∞) ∈ (π0 , π1 ).
(1.4.1)
13
(iii) ϕ(s) = 0, ∀s = 0.
§Þnh nghÜa 1.3.
Víi sè thùc
c
vµ vector
ξ,
to¸n tö ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng
thøc:
Rc,ξ [a](s) ≡ max{ϕ(s), Q[a(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}.
Hai tÝnh chÊt cña
(i) Víi
(1.4.2)
R suy ra tõ ®Þnh nghÜa.
Q th¶o m·n tÝnh chÊt (1.2.1) khi ®ã ta cã:
Rc,ξ [α](s) > α(c, ξ; x · ξ + s + c) = α, víi α ∈ (π0 , π1 ).
(1.4.3)
ThËt vËy:
Rc,ξ [α](s) ≡ max{ϕ(s), Q[α(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}
= Q[α(c, ξ; x · ξ + s + c)](0) = Q[α](0)
> α, theo tÝnh chÊt (1.2.1) cña Q,
víi
α ∈ (π0 , π1 ), ∀x ∈ H.
(ii) Víi
Q th¶o m·n tÝnh chÊt (iv) trong ®Þnh nghÜa 1.3, khi ®ã nÕu u 5 v
th×
Rc,ξ [u](s) 5 Rc,ξ [v](s).
ThËt vËy:
Tõ tÝnh chÊt (iv) cña
Q nÕu u 5 v th×
Q[u(c, ξ; x · ξ + s + c)](0) 5 Q[v(c, ξ; x · ξ + s + c)](0).
MÆt kh¸c
Rc,ξ [u](s) ≡ max{ϕ(s), Q[u(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}
5 max{ϕ(s), Q[v(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}
≡ Rc,ξ [u](s).
14
VËy:
Nãi c¸ch kh¸c
§Þnh nghÜa 1.4.
NÕu
u 5 v th× Rc,ξ [u](s) 5 Rc,ξ [v](s).
Rc,ξ
lµ ®¬n ®iÖu.
Víi sè thùc
c vµ vector ξ , d·y an (c, ξ, s) ®îc x¸c ®Þnh bëi:
(1.4.4)
an+1 = Rc,ξ [an ], a0 = ϕ.
Díi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt cña d·y
Bæ ®Ò 1.1.
tôc theo
D·y
an (c, ξ, s)
an :
kh«ng gi¶m theo
n,
kh«ng t¨ng theo
s
vµ
c,
vµ liªn
c, ξ , vµ s.
Chøng minh.
+) Ta chøng minh an kh«ng gi¶m theo
n.
Ta cã
a0 (c, ξ; s) = ϕ(s),
suy ra
a1 (c, ξ; s) = Rc,ξ [a0 ](s)
= max{ϕ(s), Q[a0 (c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}
= ϕ(s) = a0 (c, ξ; s).
Do
Rc,ξ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, tõ mÖnh ®Ò 1.2 ta cã
an+1 (c, ξ; s) = an (c, ξ; s).
Suy ra d·y an (c, ξ; s) lµ d·y kh«ng gi¶m theo
+) Ta chøng minh an kh«ng t¨ng theo
Víi
cña hµm
n.
s vµ c theo ph¬ng ph¸p quy n¹p.
n = 0 th× a0 (c, ξ; s) = ϕ(s) lµ mét hµm kh«ng t¨ng theo ®Þnh nghÜa
ϕ(s), suy ra nÕu ∀c0 5 c; ∀s0 5 s th×
ϕ(s0 ) = ϕ(s).
15
Gi¶ sö an (c, ξ; s) lµ kh«ng t¨ng theo
Tøc lµ
c, s lµ ®óng.
∀c0 5 c; ∀s0 5 s th×
an (c0 , ξ; s0 ) = an (c, ξ; s).
Ta chøng minh
an+1 (c0 , ξ; s0 ) = an+1 (c, ξ; s), ∀c0 5 c; ∀s0 5 s.
ThËt vËy:
∀c0 5 c; ∀s0 5 s suy ra x · ξ + s0 + c0 5 x · ξ + s + c, vµ tõ tÝnh chÊt ®¬n
®iÖu cña an ta cã:
an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c0 ) = an (c, ξ; x · ξ + s + c),
nªn theo tÝnh chÊt (iv) cña
Q ta cã
Q[an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c)](0) = Q[an (c, ξ; x · ξ + s + c)](0).
Khi ®ã
an+1 (c0 , ξ; s0 ) = Rc0 ,ξ [an (c0 , ξ; s0 )]
= max{ϕ(s0 ), Q[an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c0 )](0)}
= max{ϕ(s), Q[an (c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}
= an+1 (c, ξ; s).
Nh vËy an (c, ξ; s) kh«ng t¨ng theo
+) Ta chøng minh
s vµ c víi mäi n.
an (c, ξ; s) liªn tôc theo c¸c biÕn c, s, ξ b»ng ph¬ng
ph¸p quy n¹p.
Víi
hµm
n = 0 th× a0 (c, ξ; s) = ϕ(s) lµ mét hµm liªn tôc theo ®Þnh nghÜa cña
ϕ(s). Suy ra a0 (c, ξ; s) liªn lôc theo c¸c biÕn c, s, ξ .
Gi¶ sö an (c, ξ; s) liªn tôc theo c¸c biÕn
Tøc lµ mäi d·y
c, s, ξ lµ ®óng.
(cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn (c, ξ; s) khi υ → ∞ th× an (cυ , ξυ ; sυ ) héi
16
tô ®Õn an (c, ξ; s) khi
υ → ∞.
Ta chøng minh an+1 (cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn an+1 (c, ξ; s) khi
υ → ∞.
ThËt vËy:
XÐt mçi
cho
x thuéc mét tËp bÞ chÆn B1 trong H , suy ra tån t¹i sè d¬ng R sao
|x| 6 R, ∀x ∈ B1 .
Gi¶ sö
(cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn (c, ξ; s) khi υ → ∞, suy ra d·y (cυ , ξυ , sυ )
bÞ chÆn, tøc lµ cã c¸c sè
M1 > 0; M2 > 0; M3 > 0 tån t¹i υ0 > 0 sao cho
∀υ > υ0 th×
|c| 6 M1 , |ξ| 6 M2 , |s| 6 M3 ,
vµ
|cυ | 6 M1 , |ξυ | 6 M2 , |sυ | 6 M3 .
Suy ra
|x · ξ + c + s| 5 |x|.|ξ| + |c| + |s| = M1 + RM2 + M3
vµ
|x · ξυ + cυ + sυ | 5 |x|.|ξυ | + |cυ | + |sυ | = M1 + RM2 + M3 .
Khi ®ã tËp
M = [−M1 ; M1 ] × [−M2 ; M2 ] × [−(M1 + RM2 + M3 ); M1 + RM2 + M3 ]
lµ tËp ®ãng vµ bÞ chÆn,
®iÓm
M lµ tËp h÷u h¹n suy ra M lµ mét tËp compact, vµ hai
(cυ , ξυ , x · ξυ + sυ + cυ ), (c, ξ, x · ξ + s + c) n»m trong M .
V× an lµ hµm liªn tôc theo tÊt c¶ c¸c biÕn trªn tËp compact M suy ra an
liªn tôc ®Òu trªn
thuéc
M , nghÜa lµ ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀(c1 , ξ1 , s1 ), ∀(c2 , ξ2 , s2 )
M tháa m·n
|(c1 , ξ1 , s1 ) − (c2 , ξ2 , s2 )| < δ
th×
|an (c1 , ξ1 , s1 ) − an (c2 , ξ2 , s2 )| < .
17
- Xem thêm -